Μειώστε τα κοινά κλάσματα σε απευθείας σύνδεση αριθμομηχανή. Ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Μείωση κλασμάτων (ακατάλληλο, μικτό)

Όταν εργάζονται με κλάσματα, πολλοί μαθητές κάνουν τα ίδια λάθη. Και όλα αυτά γιατί ξεχνούν στοιχειώδεις κανόνες αριθμητική. Σήμερα θα επαναλάβουμε αυτούς τους κανόνες σε συγκεκριμένες εργασίες που δίνω στις τάξεις μου.

Εδώ είναι μια εργασία που προσφέρω σε όλους όσους προετοιμάζονται για τις εξετάσεις στα μαθηματικά:

Μια εργασία. Λιμενική φώκαινατρώει 150 γραμμάρια τροφής την ημέρα. Όμως μεγάλωσε και άρχισε να τρώει 20% περισσότερο. Πόσα γραμμάρια τροφής τρώει τώρα το γουρούνι;

Δεν η σωστή απόφαση. Αυτό είναι ένα ποσοστό πρόβλημα που καταλήγει στην εξίσωση:

Πολλοί (πολύ πολλοί) μειώνουν τον αριθμό 100 στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος:

Αυτό είναι το λάθος που έκανε ο μαθητής μου την ημέρα που έγραψε αυτό το άρθρο. Οι αριθμοί που έχουν μειωθεί σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Περιττό να πούμε ότι η απάντηση είναι λάθος. Κρίνετε μόνοι σας: το γουρούνι έφαγε 150 γραμμάρια και άρχισε να τρώει 3150 γραμμάρια. Αύξηση όχι κατά 20%, αλλά κατά 21 φορές, δηλ. κατά 2000%.

Για να αποφύγετε τέτοιες παρεξηγήσεις, θυμηθείτε τον βασικό κανόνα:

Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές. Οι όροι δεν μπορούν να μειωθούν!

Έτσι, η σωστή λύση στο προηγούμενο πρόβλημα μοιάζει με αυτό:

Το κόκκινο σηματοδοτεί τους αριθμούς που μειώνονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμητής είναι το γινόμενο, ο παρονομαστής είναι συνηθισμένος αριθμός. Επομένως, η μείωση είναι απολύτως νόμιμη.

Εργασία με αναλογίες

Άλλος ένας προβληματικός τομέας αναλογίες. Ειδικά όταν η μεταβλητή βρίσκεται και στις δύο πλευρές. Για παράδειγμα:

Μια εργασία. Λύστε την εξίσωση:

Λάθος απόφαση - κάποιοι κυριολεκτικά φαγούρα για να κόψουν τα πάντα κατά m :

Οι μειωμένες μεταβλητές εμφανίζονται με κόκκινο χρώμα. Αποδεικνύεται ότι η έκφραση 1/4 = 1/5 είναι πλήρης ανοησία, αυτοί οι αριθμοί δεν είναι ποτέ ίσοι.

Και τώρα - η σωστή απόφαση. Ουσιαστικά, αυτό είναι κοινό γραμμική εξίσωση . Επιλύεται είτε μεταφέροντας όλα τα στοιχεία στη μία πλευρά είτε με την κύρια ιδιότητα της αναλογίας:

Πολλοί αναγνώστες θα αντιταχθούν: "Πού είναι το σφάλμα στην πρώτη λύση;" Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. Ας θυμηθούμε τον κανόνα της εργασίας με εξισώσεις:

Οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να διαιρεθεί και να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αριθμό, μη μηδενικό.

Έκοψες τσιπάκι; Μπορεί να διαιρεθεί μόνο με αριθμούς διαφορετικό από το μηδέν. Συγκεκριμένα, μπορείτε να διαιρέσετε με τη μεταβλητή m μόνο αν m != 0. Τι γίνεται όμως αν m = 0 τελικά; Αντικαταστήστε και ελέγξτε:

Πήραμε τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. m = 0 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Για το υπόλοιπο m != 0, λαμβάνουμε μια έκφραση της μορφής 1/4 = 1/5, η οποία, φυσικά, δεν είναι αληθής. Έτσι, δεν υπάρχουν μη μηδενικές ρίζες.

Συμπεράσματα: συνδυάζοντας τα όλα μαζί

Λοιπόν, για να λυθεί κλασματικές ορθολογικές εξισώσειςθυμηθείτε τρεις κανόνες:

Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές. Ενώσεις - δεν μπορείτε. Επομένως, μάθετε να παραγοντοποιείτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας: προϊόν ακραία στοιχείαίσο με το γινόμενο των μέσων όρων·
Οι εξισώσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν μόνο με μη μηδενικούς αριθμούς k. Η περίπτωση k = 0 πρέπει να ελεγχθεί χωριστά.

Θυμηθείτε αυτούς τους κανόνες και μην κάνετε λάθη.

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση, θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται με το 4, δηλ. παραμένει το υπόλοιπο της διαίρεσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης κατά τη διαίρεση με υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός ο αριθμός είναι 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, που δεν είναι στη συνήθη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Όταν δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο. χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση, το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.

Μπορείτε να ελέγξετε κατά τη διαίρεση πολλαπλασιάζοντας. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a \u003d b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο διαίρεσης των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n) \), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Οι παρακάτω κανόνες είναι σωστοί:

Για να πάρετε ένα κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα με το n ίσα μέρη(μετοχές) και πάρε μ τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο με το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μείωση του κλάσματος.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε μια τέτοια ενέργεια ονομάζεται μείωση των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή .

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. μικτούς αριθμούς

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4) \) σημαίνει τα τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά προβλήματα της προηγούμενης παραγράφου κοινά κλάσματαχρησιμοποιείται για να δηλώσει μέρος ενός συνόλου. ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗπροτείνει ότι το μέρος πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το σύνολο, αλλά τότε τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5) \) ή \(\frac(8)(5) \); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς ονομάζονται τέτοια κλάσματα, στα οποία ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή. ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή κλάσματα των οποίων ο αριθμητής μικρότερο από τον παρονομαστή, που ονομάζεται κατάλληλα κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι αυτό το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο ή ίσο με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει και όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο με την πρώτη ματιά να προσδιορίσουμε εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Πρόσθεση κλασμάτων.

Με τους κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Εύκολη προσθήκη κλασμάτων ίδιοι παρονομαστές. Βρείτε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7) \) και \(\frac(3)(7) \). Είναι εύκολο να δούμε ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Αν θέλετε να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να αναχθούν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι εγγραφές όπως \(2\frac(2)(3) \) καλούνται μικτά κλάσματα. Ο αριθμός 2 ονομάζεται ολόκληρο μέρος μικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3) \) είναι του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3) \) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Η διαίρεση του αριθμού 8 με τον αριθμό 3 δίνει δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3) \) και \(2\frac(2)(3) \). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3) \) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3) \). Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ακατάλληλο κλάσμα ξεχώρισε το σύνολο.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Αφαίρεση κλασματικοί αριθμοί, όπως και τα φυσικά, προσδιορίζεται με βάση την πράξη της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσουμε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) μειώνοντας το κλάσμα και επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Πάρτε το κλάσμα \(\frac(2)(3) \) και «αναποδογυρίστε» το ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2) \). Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα \(\frac(2)(3) \).

Αν τώρα «αντιστρέφουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2) \), τότε παίρνουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3) \). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3) \) και \(\frac(3)(2) \) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7) \).

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, η διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να μειωθεί σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή μικτό κλάσμα, τότε, για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε λεπτομερώς πώς μείωση του κλάσματος. Αρχικά, ας μιλήσουμε για αυτό που ονομάζεται μείωση κλασμάτων. Μετά από αυτό, ας μιλήσουμε για τη μείωση ενός αναγώγιμου κλάσματος σε μια μη αναγώγιμη μορφή. Στη συνέχεια, παίρνουμε τον κανόνα για τη μείωση των κλασμάτων και, τέλος, εξετάζουμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;

Γνωρίζουμε ότι τα συνηθισμένα κλάσματα υποδιαιρούνται σε αναγώγιμα και μη αναγώγιμα κλάσματα. Από τα ονόματα, μπορείτε να μαντέψετε ότι τα αναγώγιμα κλάσματα μπορούν να μειωθούν, αλλά τα μη αναγώγιμα όχι.

Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος; Μειώστε το κλάσμα- αυτό σημαίνει διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του με το θετικό και το μη ένα. Είναι σαφές ότι ως αποτέλεσμα της αναγωγής του κλάσματος, λαμβάνεται ένα νέο κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή και, λόγω της κύριας ιδιότητας του κλάσματος, το κλάσμα που προκύπτει είναι ίσο με το αρχικό.

Για παράδειγμα, ας μειώσουμε το κοινό κλάσμα 8/24 διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με το 2. Με άλλα λόγια, ας μειώσουμε το κλάσμα 8/24 κατά 2. Αφού 8:2=4 και 24:2=12, ως αποτέλεσμα αυτής της αναγωγής, προκύπτει το κλάσμα 4/12, το οποίο είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα 8/24 (βλ. ίσα και άνισα κλάσματα). Ως αποτέλεσμα, έχουμε .

Αναγωγή συνηθισμένων κλασμάτων σε μη αναγώγιμη μορφή

Συνήθως, ο τελικός στόχος της αναγωγής του κλάσματος είναι να ληφθεί ένα μη αναγώγιμο κλάσμα που να είναι ίσο με το αρχικό αναγώγιμο κλάσμα. Αυτός ο στόχος μπορεί να επιτευχθεί με τη μείωση του αρχικού μειωμένου κλάσματος με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του. Αυτή η μείωση οδηγεί πάντα σε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα. Πράγματι, κλάσμα είναι μη αναγώγιμη, αφού είναι γνωστό ότι και - . Εδώ λέμε ότι το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςαριθμητής και παρονομαστής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος αριθμός, με την οποία μπορεί να μειωθεί αυτό το κλάσμα.

Ετσι, αναγωγή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφήσυνίσταται στη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του αρχικού μειωμένου κλάσματος με το GCD τους.

Ας αναλύσουμε ένα παράδειγμα, για το οποίο επιστρέφουμε στο κλάσμα 8/24 και το μειώνουμε με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 8 και 24, που ισούται με 8. Αφού 8:8=1 και 24:8=3, φτάνουμε στο μη αναγώγιμο κλάσμα 1/3. Ετσι, .

Σημειώστε ότι η φράση "μείωση του κλάσματος" συχνά σημαίνει μείωση του αρχικού κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή. Με άλλα λόγια, η μείωση του κλάσματος αναφέρεται πολύ συχνά ως διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους (και όχι με κανέναν από τους κοινούς διαιρέτες τους).

Πώς να μειώσετε ένα κλάσμα; Κανόνας και παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων

Απομένει μόνο να αναλύσουμε τον κανόνα για τη μείωση των κλασμάτων, ο οποίος εξηγεί πώς να μειώσετε αυτό το κλάσμα.

Κανόνας μείωσης κλασμάτωναποτελείται από δύο βήματα:

Πρώτον, βρίσκεται το GCD του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος.
δεύτερον, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρούνται με το GCD τους, το οποίο δίνει ένα μη αναγώγιμο κλάσμα ίσο με το αρχικό.

Ας αναλύσουμε Παράδειγμα μείωσης κλασμάτωνσύμφωνα με τον δεδομένο κανόνα.

Παράδειγμα.

Μειώστε το κλάσμα 182/195.

Λύση.

Ας κάνουμε και τα δύο βήματα που ορίζονται από τον κανόνα μείωσης κλασμάτων.

Πρώτα βρίσκουμε το gcd(182, 195) . Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη (βλ.): 195=182 1+13 , 182=13 14 , δηλαδή gcd(182, 195)=13 .

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος 182/195 με το 13, ενώ παίρνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 14/15, το οποίο είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα. Αυτό ολοκληρώνει τη μείωση του κλάσματος.

Εν συντομία, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Σε αυτό, με τη μείωση των κλασμάτων, μπορείτε να ολοκληρώσετε. Αλλά για να συμπληρώσετε την εικόνα, εξετάστε δύο ακόμη τρόπους μείωσης των κλασμάτων, που συνήθως χρησιμοποιούνται σε ήπιες περιπτώσεις.

Μερικές φορές ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός μειωμένου κλάσματος είναι εύκολος. Η μείωση του κλάσματος σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ απλή: απλά πρέπει να αφαιρέσετε όλους τους κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η μέθοδος προκύπτει άμεσα από τον κανόνα της μείωσης του κλάσματος, αφού το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων του αριθμητή και του παρονομαστή είναι ίσο με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους.

Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Μειώστε το κλάσμα 360/2940.

Λύση.

Ας αναλύσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε πρωταρχικούς παράγοντες: 360=2 2 2 3 3 5 και 2 940=2 2 3 5 7 7 . Με αυτόν τον τρόπο, .

Τώρα απαλλαγούμε από τους κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή, για ευκολία, απλώς τους διαγράφουμε: .

Τέλος, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές: , και ολοκληρώνεται η αναγωγή του κλάσματος.

Εδώ σύντομη είσοδοςλύσεις: .

Απάντηση:

Εξετάστε έναν άλλο τρόπο μείωσης ενός κλάσματος, ο οποίος συνίσταται στη διαδοχική αναγωγή. Εδώ, σε κάθε βήμα, το κλάσμα μειώνεται από κάποιον κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος είναι είτε προφανής είτε εύκολα προσδιοριζόμενος χρησιμοποιώντας

Για να κατανοήσουμε πώς να μειώσουμε τα κλάσματα, ας δούμε πρώτα ένα παράδειγμα.

Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο. Και το 360 και το 420 τελειώνουν σε έναν αριθμό, οπότε μπορούμε να μειώσουμε αυτό το κλάσμα κατά 2. Στο νέο κλάσμα, και το 180 και το 210 διαιρούνται επίσης με το 2, μειώνουμε αυτό το κλάσμα κατά 2. Στους αριθμούς 90 και 105, το άθροισμα των τα ψηφία διαιρούνται με το 3, άρα και οι δύο αυτοί αριθμοί διαιρούνται με το 3, μειώνουμε το κλάσμα κατά 3. Στο νέο κλάσμα, το 30 και το 35 τελειώνουν σε 0 και 5, που σημαίνει ότι και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με το 5, οπότε μειώνουμε το κλάσμα κατά 5. Το κλάσμα που προκύπτει, έξι έβδομα, είναι μη αναγώγιμο. Αυτή είναι η τελική απάντηση.

Μπορούμε να καταλήξουμε στην ίδια απάντηση με διαφορετικό τρόπο.

Και το 360 και το 420 τελειώνουν σε μηδέν, που σημαίνει ότι διαιρούνται με το 10. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 10. Στο νέο κλάσμα, και ο αριθμητής 36 και ο παρονομαστής 42 διαιρούνται με το 2. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2. Στο επόμενο κλάσμα, τόσο ο αριθμητής 18 όσο και ο παρονομαστής 21 διαιρούνται με το 3, πράγμα που σημαίνει ότι μειώνουμε το κλάσμα κατά 3. Φτάσαμε στο αποτέλεσμα - έξι έβδομα.

Και μια ακόμα λύση.

Την επόμενη φορά θα εξετάσουμε παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων.