Μέθοδοι επίλυσης συστήματος εξισώσεων. Επίλυση πολύπλοκων συστημάτων εξισώσεων

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Συστήματα εξισώσεων. Η μέθοδος αντικατάστασης, η μέθοδος πρόσθεσης, η μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την 9η τάξη
Προσομοιωτής για σχολικά βιβλία Atanasyan L.S. Προσομοιωτής για σχολικά βιβλία Pogorelova A.V.

Τρόποι επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων

Παιδιά, μελετήσαμε συστήματα εξισώσεων και μάθαμε πώς να τα λύνουμε χρησιμοποιώντας γραφήματα. Τώρα ας δούμε ποιοι άλλοι τρόποι επίλυσης συστημάτων υπάρχουν;
Σχεδόν όλοι οι τρόποι επίλυσής τους δεν διαφέρουν από αυτούς που μελετήσαμε στην 7η τάξη. Τώρα πρέπει να κάνουμε κάποιες προσαρμογές σύμφωνα με τις εξισώσεις που έχουμε μάθει να λύνουμε.
Η ουσία όλων των μεθόδων που περιγράφονται στο αυτό το μάθημα, είναι η αντικατάσταση του συστήματος από ένα ισοδύναμο σύστημα με περισσότερα απλή θέακαι τρόπος επίλυσης. Παιδιά, θυμηθείτε τι είναι ισοδύναμο σύστημα.

Μέθοδος αντικατάστασης

Ο πρώτος τρόπος επίλυσης συστημάτων εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι πολύ γνωστός σε εμάς - αυτή είναι η μέθοδος αντικατάστασης. Χρησιμοποιήσαμε αυτή τη μέθοδο για να λύσουμε γραμμικές εξισώσεις. Τώρα ας δούμε πώς να λύσουμε εξισώσεις στη γενική περίπτωση;

Πώς πρέπει να προχωρήσει κάποιος όταν παίρνει μια απόφαση;
1. Να εκφράσετε τη μία από τις μεταβλητές ως προς την άλλη. Οι πιο συνηθισμένες μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στις εξισώσεις είναι οι x και y. Σε μια από τις εξισώσεις, εκφράζουμε μια μεταβλητή ως προς την άλλη. Συμβουλή: Ρίξτε μια καλή ματιά και στις δύο εξισώσεις πριν ξεκινήσετε να λύνετε και επιλέξτε αυτή όπου θα είναι ευκολότερο να εκφράσετε τη μεταβλητή.
2. Αντικαταστήστε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση, αντί για τη μεταβλητή που εκφράστηκε.
3. Λύστε την εξίσωση που πήραμε.
4. Αντικαταστήστε τη λύση που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση. Εάν υπάρχουν πολλές λύσεις, τότε είναι απαραίτητο να τις αντικαταστήσετε διαδοχικά για να μην χάσετε μερικές λύσεις.
5. Ως αποτέλεσμα, θα λάβετε ένα ζεύγος αριθμών $(x;y)$, οι οποίοι πρέπει να γραφτούν ως απάντηση.

Παράδειγμα.
Λύστε ένα σύστημα με δύο μεταβλητή μέθοδοςαντικαταστάσεις: $\αρχή(περιπτώσεις)x+y=5, \\xy=6\end(περιπτώσεις)$.

Λύση.
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στις εξισώσεις μας. Προφανώς, η έκφραση του y ως x στην πρώτη εξίσωση είναι πολύ πιο εύκολη.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Αντικαταστήστε την πρώτη παράσταση στη δεύτερη εξίσωση $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση χωριστά:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Πήραμε δύο λύσεις της δεύτερης εξίσωσης $x_1=2$ και $x_2=3$.
Αντικαταστήστε διαδοχικά στη δεύτερη εξίσωση.
Αν $x=2$ τότε $y=3$. Αν $x=3$ τότε $y=2$.
Η απάντηση θα είναι δύο ζεύγη αριθμών.
Απάντηση: $(2;3)$ και $(3;2)$.

Μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης

Αυτή τη μέθοδο μελετήσαμε και στην 7η δημοτικού.
Είναι γνωστό ότι ορθολογική εξίσωσησε δύο μεταβλητές, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με οποιονδήποτε αριθμό, θυμόμαστε να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Πολλαπλασιάσαμε μια από τις εξισώσεις με έναν συγκεκριμένο αριθμό, έτσι ώστε όταν η εξίσωση που προκύπτει προστεθεί στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, μια από τις μεταβλητές να καταστραφεί. Στη συνέχεια λύθηκε η εξίσωση ως προς την υπόλοιπη μεταβλητή.
Αυτή η μέθοδος εξακολουθεί να λειτουργεί, αν και δεν είναι πάντα δυνατό να καταστραφεί μία από τις μεταβλητές. Αλλά επιτρέπει σε κάποιον να απλοποιήσει σημαντικά τη μορφή μιας από τις εξισώσεις.

Παράδειγμα.
Λύστε το σύστημα: $\begin(περιπτώσεις)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(περιπτώσεις)$.

Λύση.
Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με 2.
$\begin(περιπτώσεις)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(περιπτώσεις)$.
Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Όπως μπορείτε να δείτε, η μορφή της εξίσωσης που προκύπτει είναι πολύ πιο απλή από την αρχική. Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης.
$\begin(περιπτώσεις)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(περιπτώσεις)$.
Ας εκφράσουμε το x έως το y στην εξίσωση που προκύπτει.
$\begin(περιπτώσεις)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end (περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end (περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end (περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end (περιπτώσεις)$.
$\αρχή(περιπτώσεις)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end (περιπτώσεις)$.
Πήρα $y=-1$ και $y=-3$.
Αντικαταστήστε αυτές τις τιμές διαδοχικά στην πρώτη εξίσωση. Παίρνουμε δύο ζεύγη αριθμών: $(1;-1)$ και $(-1;-3)$.
Απάντηση: $(1;-1)$ και $(-1;-3)$.

Μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής

Μελετήσαμε και αυτή τη μέθοδο, αλλά ας την ξαναδούμε.

Παράδειγμα.
Λύστε το σύστημα: $\begin(περιπτώσεις)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(περιπτώσεις)$.

Λύση.
Ας παρουσιάσουμε την αντικατάσταση $t=\frac(x)(y)$.
Ας ξαναγράψουμε την πρώτη εξίσωση με μια νέα μεταβλητή: $t+\frac(2)(t)=3$.
Ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Πήρα $t=2$ ή $t=1$. Ας εισάγουμε την αντίστροφη αλλαγή $t=\frac(x)(y)$.
Πήρα: $x=2y$ και $x=y$.

Για κάθε μία από τις εκφράσεις, το αρχικό σύστημα πρέπει να επιλυθεί ξεχωριστά:
$\begin(περιπτώσεις)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(περιπτώσεις)$. $\begin(περιπτώσεις)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(περιπτώσεις)$. $\begin(περιπτώσεις)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=2y, \\7y^2=1\end(περιπτώσεις)$. $\begin(περιπτώσεις)x=2y, \\y^2=1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(περιπτώσεις)$. $\αρχή(περιπτώσεις)x=y, \\y=±1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(περιπτώσεις)$. $\begin(περιπτώσεις)x=±1, \\y=±1\end(περιπτώσεις)$.
Λάβαμε τέσσερα ζεύγη λύσεων.
Απάντηση: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Παράδειγμα.
Λύστε το σύστημα: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(περιπτώσεις)$.

Λύση.
Εισάγουμε την αντικατάσταση: $z=\frac(2)(x-3y)$ και $t=\frac(3)(2x+y)$.
Ας ξαναγράψουμε τις αρχικές εξισώσεις με νέες μεταβλητές:
$\begin(περιπτώσεις)z+t=2, \\4z-3t=1\end(περιπτώσεις)$.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αλγεβρική προσθήκη:
$\begin(περιπτώσεις)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)7z=7, \\4z-3t=1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)z=1, \\-3t=1-4\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)z=1, \\t=1\end(περιπτώσεις)$.
Ας εισάγουμε την αντίστροφη αντικατάσταση:
$\begin(περιπτώσεις)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x-3y=2, \\2x+y=3\end(περιπτώσεις)$.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης:
$\begin(περιπτώσεις)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=2+3y, \\7y=-1\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(περιπτώσεις)$.
$\begin(περιπτώσεις)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end (περιπτώσεις)$.
Απάντηση: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Προβλήματα σε συστήματα εξισώσεων για ανεξάρτητη λύση

Επίλυση συστημάτων:
1. $\begin(περιπτώσεις)2x-2y=6, \\xy =-2\end(περιπτώσεις)$.
2. $\begin(περιπτώσεις)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(περιπτώσεις)$.
3. $\begin(περιπτώσεις)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(περιπτώσεις)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ τέλος(περιπτώσεις)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(περιπτώσεις)$.

Σύστημα γραμμικές εξισώσειςμε δύο άγνωστα - πρόκειται για δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθούν όλες οι κοινές λύσεις τους. Θα εξετάσουμε συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γενική μορφήΈνα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Εδώ οι x και y είναι άγνωστες μεταβλητές, οι a1, a2, b1, b2, c1, c2 είναι μερικές πραγματικούς αριθμούς. Μια λύση σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους είναι ένα ζεύγος αριθμών (x, y) έτσι ώστε αν αυτοί οι αριθμοί αντικατασταθούν στις εξισώσεις του συστήματος, τότε καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Εξετάστε έναν από τους τρόπους επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή τη μέθοδο πρόσθεσης.

Αλγόριθμος επίλυσης με μέθοδο πρόσθεσης

Αλγόριθμος επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστες μεθόδους πρόσθεσης.

1. Εάν απαιτείται, από ισοδύναμους μετασχηματισμούςεξισώσει τους συντελεστές για μία από τις άγνωστες μεταβλητές και στις δύο εξισώσεις.

2. Προσθέτοντας ή αφαιρώντας τις εξισώσεις που προκύπτουν για να πάρετε μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με έναν άγνωστο και βρείτε μια από τις μεταβλητές.

4. Αντικαταστήστε την παράσταση που προκύπτει σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λύστε αυτήν την εξίσωση, λαμβάνοντας έτσι τη δεύτερη μεταβλητή.

5. Ελέγξτε το διάλυμα.

Ένα παράδειγμα λύσης με τη μέθοδο προσθήκης

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, λύνουμε με τη μέθοδο της πρόσθεσης επόμενο σύστημαγραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Εφόσον καμία από τις μεταβλητές δεν έχει τους ίδιους συντελεστές, εξισώνουμε τους συντελεστές της μεταβλητής y. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση επί τρία και τη δεύτερη εξίσωση επί δύο.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Παίρνω το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Τώρα αφαιρέστε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση. Παρουσιάζουμε σαν όρουςκαι να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Αντικαθιστούμε την προκύπτουσα τιμή στην πρώτη εξίσωση από το αρχικό μας σύστημα και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Το αποτέλεσμα είναι ένα ζεύγος αριθμών x=6 και y=14. Ελέγχουμε. Κάνουμε αντικατάσταση.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε δύο αληθινές ισότητες, επομένως, βρήκαμε τη σωστή λύση.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, δικαστική εντολή, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται ευρέως σε οικονομική βιομηχανίαστο μαθηματική μοντελοποίηση διάφορες διαδικασίες. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση προβλημάτων διαχείρισης και σχεδιασμού παραγωγής, διαδρομές logistics ( έργο μεταφοράς) ή τοποθέτηση εξοπλισμού.

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στον τομέα των μαθηματικών, αλλά και στη φυσική, τη χημεία και τη βιολογία, κατά την επίλυση προβλημάτων εύρεσης του μεγέθους του πληθυσμού.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένας όρος για δύο ή περισσότερες εξισώσεις με πολλές μεταβλητές για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθεί μια κοινή λύση. Μια τέτοια ακολουθία αριθμών για την οποία όλες οι εξισώσεις γίνονται αληθινές ισότητες ή αποδεικνύουν ότι η ακολουθία δεν υπάρχει.

Γραμμική εξίσωση

Οι εξισώσεις της μορφής ax+by=c ονομάζονται γραμμικές. Οι χαρακτηρισμοί x, y είναι οι άγνωστοι, η τιμή των οποίων πρέπει να βρεθεί, b, a είναι οι συντελεστές των μεταβλητών, c είναι ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης.
Η επίλυση της εξίσωσης σχεδιάζοντας τη γραφική της παράσταση θα μοιάζει με ευθεία γραμμή, της οποίας όλα τα σημεία είναι η λύση του πολυωνύμου.

Είδη συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Τα πιο απλά είναι παραδείγματα συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές X και Y.

F1(x, y) = 0 και F2(x, y) = 0, όπου F1,2 είναι συναρτήσεις και (x, y) είναι μεταβλητές συνάρτησης.

Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων - σημαίνει να βρούμε τέτοιες τιμές (x, y) για τις οποίες το σύστημα γίνεται αληθινή ισότητα ή να διαπιστωθεί ότι δεν υπάρχουν κατάλληλες τιμές των x και y.

Ένα ζεύγος τιμών (x, y), γραμμένο ως συντεταγμένες σημείου, ονομάζεται λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Εάν τα συστήματα έχουν μία κοινή λύση ή δεν υπάρχει λύση, ονομάζονται ισοδύναμα.

Τα ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι συστήματα δεξί μέροςπου ισούται με μηδέν. Εάν το δεξί μέρος μετά το πρόσημο "ίσο" έχει τιμή ή εκφράζεται με συνάρτηση, ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ομοιογενές.

Ο αριθμός των μεταβλητών μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερος από δύο, τότε θα πρέπει να μιλήσουμε για ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τρεις ή περισσότερες μεταβλητές.

Αντιμέτωποι με συστήματα, οι μαθητές υποθέτουν ότι ο αριθμός των εξισώσεων πρέπει απαραίτητα να συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων, αλλά αυτό δεν είναι έτσι. Ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα δεν εξαρτάται από τις μεταβλητές, μπορεί να υπάρχει ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός από αυτές.

Απλές και σύνθετες μέθοδοι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων

Δεν υπάρχει γενικός αναλυτικός τρόπος επίλυσης παρόμοια συστήματα, όλες οι μέθοδοι βασίζονται σε αριθμητικές λύσεις. ΣΤΟ σχολικό μάθημαμαθηματικά, όπως μέθοδοι όπως μετάθεση, αλγεβρική πρόσθεση, αντικατάσταση, καθώς και γραφικές και μέθοδος μήτρας, λύση με τη μέθοδο Gauss.

Το κύριο καθήκον στις μεθόδους διδασκαλίας επίλυσης είναι να διδάξουν πώς να αναλύουν σωστά το σύστημα και να βρίσκουν βέλτιστο αλγόριθμολύσεις για κάθε παράδειγμα. Το κύριο πράγμα δεν είναι να απομνημονεύσετε ένα σύστημα κανόνων και ενεργειών για κάθε μέθοδο, αλλά να κατανοήσετε τις αρχές της εφαρμογής μιας συγκεκριμένης μεθόδου.

Επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων της 7ης τάξης του προγράμματος δευτεροβάθμιο σχολείοαρκετά απλό και εξηγημένο με μεγάλη λεπτομέρεια. Σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο για τα μαθηματικά, δίνεται αρκετή προσοχή σε αυτή την ενότητα. Η λύση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο των Gauss και Cramer μελετάται λεπτομερέστερα στα πρώτα μαθήματα των ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο υποκατάστασης

Οι ενέργειες της μεθόδου αντικατάστασης στοχεύουν στην έκφραση της τιμής μιας μεταβλητής μέσω της δεύτερης. Η έκφραση αντικαθίσταται στην υπόλοιπη εξίσωση και στη συνέχεια ανάγεται σε μια ενιαία μεταβλητή μορφή. Η ενέργεια επαναλαμβάνεται ανάλογα με τον αριθμό των αγνώστων στο σύστημα

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων της 7ης τάξης με τη μέθοδο αντικατάστασης:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, η μεταβλητή x εκφράστηκε μέσω F(X) = 7 + Y. Η προκύπτουσα έκφραση, που αντικαταστάθηκε στη 2η εξίσωση του συστήματος στη θέση του X, βοήθησε να ληφθεί μία μεταβλητή Y στη 2η εξίσωση . Λύση αυτό το παράδειγμαδεν προκαλεί δυσκολίες και σας επιτρέπει να λάβετε την τιμή Y. Το τελευταίο βήμα είναι να ελέγξετε τις τιμές που λάβατε.

Δεν είναι πάντα δυνατό να λυθεί ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αντικατάσταση. Οι εξισώσεις μπορεί να είναι σύνθετες και η έκφραση της μεταβλητής ως προς το δεύτερο άγνωστο θα είναι πολύ επαχθής για περαιτέρω υπολογισμούς. Όταν υπάρχουν περισσότερα από 3 άγνωστα στο σύστημα, η λύση αντικατάστασης είναι επίσης μη πρακτική.

Λύση παραδείγματος συστήματος γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων:

Λύση με αλγεβρική πρόσθεση

Κατά την αναζήτηση μιας λύσης σε συστήματα με τη μέθοδο πρόσθεσης, προσθήκη όρου προς όρο και πολλαπλασιασμός των εξισώσεων με διάφορους αριθμούς. Ο απώτερος στόχος των μαθηματικών πράξεων είναι μια εξίσωση με μία μεταβλητή.

Για εφαρμογές αυτή τη μέθοδοθέλει εξάσκηση και παρατηρητικότητα. Δεν είναι εύκολο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης με τον αριθμό των μεταβλητών 3 ή περισσότερες. Η αλγεβρική πρόσθεση είναι χρήσιμη όταν οι εξισώσεις περιέχουν κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς.

Αλγόριθμος δράσης λύσης:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με κάποιο αριθμό. Σαν άποτέλεσμα αριθμητική πράξηένας από τους συντελεστές της μεταβλητής πρέπει να είναι ίσος με 1.
Προσθέστε την προκύπτουσα έκφραση όρο προς όρο και βρείτε ένα από τα άγνωστα.
Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στη 2η εξίσωση του συστήματος για να βρείτε την υπόλοιπη μεταβλητή.

Μέθοδος επίλυσης με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής

Μια νέα μεταβλητή μπορεί να εισαχθεί εάν το σύστημα χρειάζεται να βρει μια λύση για όχι περισσότερες από δύο εξισώσεις, ο αριθμός των αγνώστων δεν πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερος από δύο.

Η μέθοδος χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει μία από τις εξισώσεις εισάγοντας μια νέα μεταβλητή. Η νέα εξίσωση λύνεται σε σχέση με το εισαγόμενο άγνωστο και η τιμή που προκύπτει χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της αρχικής μεταβλητής.

Το παράδειγμα δείχνει ότι με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής t, ήταν δυνατό να μειωθεί η 1η εξίσωση του συστήματος στο πρότυπο τετράγωνο τριώνυμο. Μπορείτε να λύσετε ένα πολυώνυμο βρίσκοντας το διαχωριστικό.

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή της διάκρισης από γνωστή φόρμουλα: D = b2 - 4*a*c, όπου D είναι η επιθυμητή διάκριση, b, a, c είναι οι πολλαπλασιαστές του πολυωνύμου. ΣΤΟ δεδομένο παράδειγμα a=1, b=16, c=39, άρα D=100. Αν ο διακριτής Πάνω απο το μηδέν, τότε υπάρχουν δύο λύσεις: t = -b±√D / 2*a, εάν η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν, τότε υπάρχει μόνο μία λύση: x= -b / 2*a.

Η λύση για τα συστήματα που προκύπτουν βρίσκεται με τη μέθοδο της προσθήκης.

Μια οπτική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων

Κατάλληλο για συστήματα με 3 εξισώσεις. Η μέθοδος είναι να βασιστείτε άξονα συντεταγμένωνγραφήματα κάθε εξίσωσης που περιλαμβάνεται στο σύστημα. Οι συντεταγμένες των σημείων τομής των καμπυλών και θα είναι κοινή λύσησυστήματα.

Η γραφική μέθοδος έχει μια σειρά από αποχρώσεις. Εξετάστε διάφορα παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με οπτικό τρόπο.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, κατασκευάστηκαν δύο σημεία για κάθε γραμμή, οι τιμές της μεταβλητής x επιλέχθηκαν αυθαίρετα: 0 και 3. Με βάση τις τιμές του x, βρέθηκαν οι τιμές για το y: 3 και 0. Σημεία με συντεταγμένες (0, 3) και (3, 0) σημειώθηκαν στο γράφημα και συνδέθηκαν με μια γραμμή.

Τα βήματα πρέπει να επαναληφθούν για τη δεύτερη εξίσωση. Το σημείο τομής των ευθειών είναι η λύση του συστήματος.

Το παρακάτω παράδειγμα πρέπει να βρεθεί γραφική λύσησυστήματα γραμμικών εξισώσεων: 0,5x-y+2=0 και 0,5x-y-1=0.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, το σύστημα δεν έχει λύση, γιατί οι γραφικές παραστάσεις είναι παράλληλες και δεν τέμνονται σε όλο τους το μήκος.

Τα συστήματα από τα Παραδείγματα 2 και 3 είναι παρόμοια, αλλά όταν κατασκευάζονται, γίνεται προφανές ότι οι λύσεις τους είναι διαφορετικές. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι δεν είναι πάντα δυνατό να πούμε εάν το σύστημα έχει λύση ή όχι, είναι πάντα απαραίτητο να δημιουργηθεί ένα γράφημα.

Το Matrix και οι ποικιλίες του

Οι πίνακες χρησιμοποιούνται για συντομογραφίασυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένας πίνακας ονομάζεται μήτρα. ιδιαίτερο είδοςγεμάτο με αριθμούς. Το n*m έχει n - γραμμές και m - στήλες.

Ένας πίνακας είναι τετράγωνος όταν ο αριθμός των στηλών και των γραμμών είναι ίσος. Ένας πίνακας - ένα διάνυσμα είναι ένας πίνακας μιας στήλης με άπειρα πιθανός αριθμόςγραμμές. Ένας πίνακας με μονάδες κατά μήκος μιας από τις διαγωνίους και άλλα μηδενικά στοιχεία ονομάζεται ταυτότητα.

Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ένας τέτοιος πίνακας, όταν πολλαπλασιαστεί με τον οποίο ο αρχικός μετατρέπεται σε μονάδα, ένας τέτοιος πίνακας υπάρχει μόνο για τον αρχικό τετράγωνο.

Κανόνες μετατροπής συστήματος εξισώσεων σε πίνακα

Όσον αφορά τα συστήματα εξισώσεων, οι συντελεστές και τα ελεύθερα μέλη των εξισώσεων γράφονται ως αριθμοί του πίνακα, μια εξίσωση είναι μια σειρά του πίνακα.

Μια γραμμή πίνακα ονομάζεται μη μηδενική εάν τουλάχιστον ένα στοιχείο της γραμμής δεν είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, εάν σε κάποια από τις εξισώσεις ο αριθμός των μεταβλητών διαφέρει, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγετε μηδέν στη θέση του αγνώστου που λείπει.

Οι στήλες του πίνακα πρέπει να αντιστοιχούν αυστηρά στις μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές της μεταβλητής x μπορούν να γραφτούν μόνο σε μία στήλη, για παράδειγμα η πρώτη, ο συντελεστής του αγνώστου y - μόνο στη δεύτερη.

Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα, όλα τα στοιχεία του πίνακα πολλαπλασιάζονται διαδοχικά με έναν αριθμό.

Επιλογές για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Ο τύπος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα είναι αρκετά απλός: K -1 = 1 / |K|, όπου K -1 - αντίστροφη μήτρα, και |Κ| - ορίζουσα μήτρας. |Κ| δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια λύση.

Η ορίζουσα υπολογίζεται εύκολα για έναν πίνακα δύο προς δύο, είναι απαραίτητο μόνο να πολλαπλασιαστούν τα στοιχεία διαγώνια μεταξύ τους. Για την επιλογή "τρία επί τρία", υπάρχει ένας τύπος |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο ή μπορείτε να θυμάστε ότι πρέπει να πάρετε ένα στοιχείο από κάθε γραμμή και κάθε στήλη, έτσι ώστε οι αριθμοί στηλών και γραμμών των στοιχείων να μην επαναλαμβάνονται στο γινόμενο.

Επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Η μέθοδος μήτρας για την εύρεση λύσης καθιστά δυνατή τη μείωση των δυσκίνητων σημειώσεων κατά την επίλυση συστημάτων με μεγάλη ποσότηταμεταβλητές και εξισώσεις.

Στο παράδειγμα, a nm είναι οι συντελεστές των εξισώσεων, ο πίνακας είναι διάνυσμα x n είναι οι μεταβλητές και b n είναι οι ελεύθεροι όροι.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο Gauss

ΣΤΟ ανώτερα μαθηματικάΗ μέθοδος Gauss μελετάται μαζί με τη μέθοδο Cramer και η διαδικασία εύρεσης λύσης σε συστήματα ονομάζεται μέθοδος λύσης Gauss-Cramer. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την εύρεση μεταβλητές συστήματοςμε πολλές γραμμικές εξισώσεις.

Η μέθοδος Gauss μοιάζει πολύ με τις λύσεις αντικατάστασης και αλγεβρικής προσθήκης, αλλά είναι πιο συστηματική. Στο σχολικό μάθημα χρησιμοποιείται η Gaussian λύση για συστήματα 3 και 4 εξισώσεων. Ο σκοπός της μεθόδου είναι να φέρει το σύστημα στη μορφή ενός ανεστραμμένου τραπεζοειδούς. τρόπος αλγεβρικοί μετασχηματισμοίκαι αντικαταστάσεις είναι η τιμή μιας μεταβλητής σε μια από τις εξισώσεις του συστήματος. Η δεύτερη εξίσωση είναι μια έκφραση με 2 άγνωστα, και 3 και 4 - με 3 και 4 μεταβλητές, αντίστοιχα.

Αφού φέρει το σύστημα στην περιγραφόμενη μορφή, η περαιτέρω λύση ανάγεται στη διαδοχική αντικατάσταση γνωστών μεταβλητών στις εξισώσεις του συστήματος.

Στα σχολικά εγχειρίδια για την 7η τάξη, ένα παράδειγμα μιας λύσης Gauss περιγράφεται ως εξής:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, στο βήμα (3) προέκυψαν δύο εξισώσεις 3x 3 -2x 4 =11 και 3x 3 +2x 4 =7. Η λύση οποιασδήποτε από τις εξισώσεις θα σας επιτρέψει να βρείτε μία από τις μεταβλητές x n.

Το θεώρημα 5, το οποίο αναφέρεται στο κείμενο, αναφέρει ότι εάν μία από τις εξισώσεις του συστήματος αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη, τότε το σύστημα που θα προκύψει θα είναι επίσης ισοδύναμο με το αρχικό.

Η μέθοδος Gauss είναι δύσκολο να κατανοηθεί από τους μαθητές Λύκειο, αλλά είναι ένας από τους πιο ενδιαφέροντες τρόπους ανάπτυξης της ευρηματικότητας των παιδιών που είναι εγγεγραμμένα στο πρόγραμμα σε βάθος μελέτηστα μαθήματα μαθηματικών και φυσικής.

Για ευκολία στην καταγραφή των υπολογισμών, συνηθίζεται να κάνετε τα εξής:

Οι συντελεστές εξισώσεων και οι ελεύθεροι όροι γράφονται με τη μορφή πίνακα, όπου κάθε σειρά του πίνακα αντιστοιχεί σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. χωρίζει την αριστερή πλευρά της εξίσωσης από τη δεξιά πλευρά. Οι λατινικοί αριθμοί δηλώνουν τους αριθμούς των εξισώσεων στο σύστημα.

Πρώτα, γράφουν τη μήτρα με την οποία θα εργαστούν και μετά όλες τις ενέργειες που πραγματοποιήθηκαν με μία από τις σειρές. Ο προκύπτων πίνακας γράφεται μετά το σύμβολο "βέλος" και συνεχίζει να εκτελεί τις απαραίτητες αλγεβρικές πράξεις μέχρι να επιτευχθεί το αποτέλεσμα.

Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να ληφθεί ένας πίνακας στον οποίο μία από τις διαγώνιες είναι 1 και όλοι οι άλλοι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή ο πίνακας μειώνεται σε μία ενιαία μορφή. Δεν πρέπει να ξεχνάμε να κάνουμε υπολογισμούς με τους αριθμούς και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

Αυτή η σημείωση είναι λιγότερο επαχθής και σας επιτρέπει να μην αποσπάτε την προσοχή αναφέροντας πολλά άγνωστα.

Η δωρεάν εφαρμογή οποιασδήποτε μεθόδου λύσης θα απαιτήσει προσοχή και κάποια εμπειρία. Δεν εφαρμόζονται όλες οι μέθοδοι. Ορισμένοι τρόποι εύρεσης λύσεων είναι πιο προτιμότεροι σε έναν συγκεκριμένο τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας, ενώ άλλοι υπάρχουν για σκοπούς μάθησης.

Με αυτό το βίντεο, ξεκινάω μια σειρά μαθημάτων για συστήματα εξισώσεων. Σήμερα θα μιλήσουμε για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων μέθοδος προσθήκης- είναι ένα από τα πιο απλούς τρόπουςαλλά και ένα από τα πιο αποτελεσματικά.

Η μέθοδος προσθήκης αποτελείται από τρία απλά βήματα:

Κοιτάξτε το σύστημα και επιλέξτε μια μεταβλητή που έχει τους ίδιους (ή αντίθετους) συντελεστές σε κάθε εξίσωση.
Τρέξιμο αλγεβρική αφαίρεση(Για αντίθετους αριθμούς- προσθήκη) εξισώσεων μεταξύ τους, μετά από τις οποίες φέρνουν παρόμοιους όρους.
Λύστε τη νέα εξίσωση που προέκυψε μετά το δεύτερο βήμα.

Εάν όλα γίνονται σωστά, τότε στην έξοδο θα πάρουμε μια ενιαία εξίσωση με μία μεταβλητή- Δεν θα είναι δύσκολο να λυθεί. Τότε μένει μόνο να αντικαταστήσουμε τη ρίζα που βρέθηκε στο αρχικό σύστημα και να λάβουμε την τελική απάντηση.

Ωστόσο, στην πράξη δεν είναι τόσο απλό. Υπάρχουν διάφοροι λόγοι για αυτό:

Η επίλυση εξισώσεων με πρόσθεση σημαίνει ότι όλες οι σειρές πρέπει να περιέχουν μεταβλητές με τους ίδιους/αντίθετους συντελεστές. Τι γίνεται αν αυτή η απαίτηση δεν πληρούται;
Όχι πάντα, αφού προσθέσουμε / αφαιρέσουμε εξισώσεις με αυτόν τον τρόπο, θα έχουμε μια όμορφη κατασκευή που λύνεται εύκολα. Είναι δυνατόν να απλοποιηθούν με κάποιο τρόπο οι υπολογισμοί και να επιταχυνθούν οι υπολογισμοί;

Για να λάβετε απάντηση σε αυτές τις ερωτήσεις και ταυτόχρονα για να αντιμετωπίσετε μερικές επιπλέον λεπτές αποχρώσεις που πολλοί μαθητές «πέφτουν πάνω τους», παρακολουθήστε το εκπαιδευτικό μου βίντεο:

Με αυτό το μάθημα, ξεκινάμε μια σειρά διαλέξεων για συστήματα εξισώσεων. Και θα ξεκινήσουμε με τα πιο απλά από αυτά, δηλαδή αυτά που περιέχουν δύο εξισώσεις και δύο μεταβλητές. Κάθε ένα από αυτά θα είναι γραμμικό.

Τα συστήματα είναι ένα υλικό της 7ης τάξης, αλλά αυτό το μάθημα θα είναι επίσης χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου που θέλουν να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους σχετικά με αυτό το θέμα.

Γενικά, υπάρχουν δύο μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων συστημάτων:

Μέθοδος προσθήκης;
Μια μέθοδος έκφρασης μιας μεταβλητής με όρους μιας άλλης.

Σήμερα θα ασχοληθούμε με την πρώτη μέθοδο - θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αφαίρεσης και της πρόσθεσης. Αλλά για αυτό πρέπει να κατανοήσετε το εξής γεγονός: αφού έχετε δύο ή περισσότερες εξισώσεις, μπορείτε να πάρετε οποιαδήποτε από αυτές και να τις προσθέσετε μαζί. Προστίθενται όρο προς όρο, δηλ. Τα "Χ" προστίθενται στα "Χ" και δίνονται παρόμοια.

Τα αποτελέσματα τέτοιων μηχανορραφιών θα είναι μια νέα εξίσωση, η οποία, αν έχει ρίζες, σίγουρα θα είναι μεταξύ των ριζών της αρχικής εξίσωσης. Έτσι, το καθήκον μας είναι να κάνουμε την αφαίρεση ή την πρόσθεση με τέτοιο τρόπο ώστε είτε το $x$ είτε το $y$ να εξαφανιστεί.

Πώς να το πετύχετε και ποιο εργαλείο να χρησιμοποιήσετε για αυτό - θα μιλήσουμε για αυτό τώρα.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης

Έτσι, μαθαίνουμε να εφαρμόζουμε τη μέθοδο πρόσθεσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα δύο απλών εκφράσεων.

Εργασία #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι το $y$ έχει συντελεστή $-4$ στην πρώτη εξίσωση και $+4$ στη δεύτερη. Είναι αμοιβαία αντίθετα, οπότε είναι λογικό να υποθέσουμε ότι αν τα αθροίσουμε, τότε στο ποσό που προκύπτει, τα «παιχνίδια» θα εκμηδενιστούν αμοιβαία. Προσθέτουμε και παίρνουμε:

Επιλύουμε την πιο απλή κατασκευή:

Τέλεια, βρήκαμε το X. Τι να τον κάνεις τώρα; Μπορούμε να το αντικαταστήσουμε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις. Ας το βάλουμε στο πρώτο:

\[-4y=12\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(2;-3\δεξιά)$.

Εργασία #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Εδώ, η κατάσταση είναι εντελώς παρόμοια, μόνο με τα Xs. Ας τα συνδυάσουμε:

Πήραμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση, ας τη λύσουμε:

Τώρα ας βρούμε $x$:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;3\δεξιά)$.

Σημαντικά Σημεία

Έτσι, μόλις λύσαμε δύο απλά συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης. Για άλλη μια φορά τα βασικά σημεία:

Εάν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές για μία από τις μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να προσθέσετε όλες τις μεταβλητές στην εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, ένα από αυτά θα καταστραφεί.
Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος για να βρούμε τη δεύτερη.
Η τελική καταγραφή της απάντησης μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, όπως αυτό - $x=...,y=...$, ή με τη μορφή συντεταγμένων σημείων - $\left(...;... \right)$. Η δεύτερη επιλογή είναι προτιμότερη. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι η πρώτη συντεταγμένη είναι $x$ και η δεύτερη είναι $y$.
Ο κανόνας για τη σύνταξη της απάντησης με τη μορφή συντεταγμένων σημείων δεν ισχύει πάντα. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν ο ρόλος των μεταβλητών δεν είναι $x$ και $y$, αλλά, για παράδειγμα, $a$ και $b$.

Στα παρακάτω προβλήματα, θα εξετάσουμε την τεχνική της αφαίρεσης όταν οι συντελεστές δεν είναι αντίθετοι.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων με τη μέθοδο της αφαίρεσης

Εργασία #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι εδώ δεν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές, αλλά υπάρχουν πανομοιότυποι. Επομένως, αφαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη εξίσωση:

Τώρα αντικαθιστούμε την τιμή $x$ σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος. Πάμε πρώτα:

Απάντηση: $\αριστερά(2;5\δεξιά)$.

Εργασία #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε πάλι τον ίδιο συντελεστή $5$ για $x$ στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση. Επομένως, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι πρέπει να αφαιρέσετε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:

Έχουμε υπολογίσει μία μεταβλητή. Τώρα ας βρούμε το δεύτερο, για παράδειγμα, αντικαθιστώντας την τιμή $y$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;-2 \δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Τι βλέπουμε λοιπόν; Στην ουσία, το σχήμα δεν διαφέρει από τη λύση των προηγούμενων συστημάτων. Η μόνη διαφορά είναι ότι δεν προσθέτουμε εξισώσεις, αλλά τις αφαιρούμε. Κάνουμε αλγεβρική αφαίρεση.

Με άλλα λόγια, μόλις δείτε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κοιτάξετε είναι οι συντελεστές. Αν είναι ίδιες οπουδήποτε, οι εξισώσεις αφαιρούνται και αν είναι αντίθετες, εφαρμόζεται η μέθοδος πρόσθεσης. Αυτό γίνεται πάντα για να εξαφανιστεί ένα από αυτά και στην τελική εξίσωση που παραμένει μετά την αφαίρεση, θα παρέμενε μόνο μία μεταβλητή.

Φυσικά, δεν είναι μόνο αυτό. Τώρα θα εξετάσουμε συστήματα στα οποία οι εξισώσεις είναι γενικά ασυνεπείς. Εκείνοι. δεν υπάρχουν τέτοιες μεταβλητές σε αυτές που θα ήταν είτε ίδιες είτε αντίθετες. Στην περίπτωση αυτή, για την επίλυση τέτοιων συστημάτων, επιπλέον υποδοχή, δηλαδή τον πολλαπλασιασμό καθεμιάς από τις εξισώσεις με έναν ειδικό συντελεστή. Πώς να το βρείτε και πώς να λύσετε τέτοια συστήματα γενικά, τώρα θα μιλήσουμε για αυτό.

Επίλυση προβλημάτων πολλαπλασιάζοντας με έναν συντελεστή

Παράδειγμα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε ότι ούτε για $x$ ούτε για $y$ οι συντελεστές όχι μόνο είναι αμοιβαία αντίθετοι, αλλά γενικά δεν συσχετίζονται με κανένα τρόπο με άλλη εξίσωση. Αυτοί οι συντελεστές δεν θα εξαφανιστούν με κανέναν τρόπο, ακόμα κι αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τις εξισώσεις μεταξύ τους. Επομένως, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο πολλαπλασιασμός. Ας προσπαθήσουμε να απαλλαγούμε από τη μεταβλητή $y$. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από τη δεύτερη εξίσωση και τη δεύτερη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από την πρώτη εξίσωση, χωρίς να αλλάξουμε το πρόσημο. Πολλαπλασιάζουμε και παίρνουμε ένα νέο σύστημα:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας το δούμε: για $y$, αντίθετοι συντελεστές. Σε μια τέτοια περίπτωση, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί η μέθοδος προσθήκης. Ας προσθέσουμε:

Τώρα πρέπει να βρούμε το $y$. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το $x$ στην πρώτη έκφραση:

\[-9y=18\αριστερά| :\αριστερά(-9 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(4;-2\δεξιά)$.

Παράδειγμα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Και πάλι, οι συντελεστές για καμία από τις μεταβλητές δεν είναι συνεπείς. Ας πολλαπλασιάσουμε με τους συντελεστές στο $y$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18\αριστερά| 6 \δεξιά. \\& 13x-6y=-32\αριστερά| 4 \δεξιά. \\\τέλος (στοίχιση) \δεξιά .\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Μας νέο σύστημαείναι ισοδύναμο με το προηγούμενο, αλλά οι συντελεστές στο $y$ είναι αμοιβαία αντίθετοι, και επομένως είναι εύκολο να εφαρμοστεί η μέθοδος πρόσθεσης εδώ:

Τώρα βρείτε το $y$ αντικαθιστώντας το $x$ στην πρώτη εξίσωση:

Απάντηση: $\αριστερά(-2;1\δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Ο βασικός κανόνας εδώ είναι: πολλαπλασιάζετε πάντα μόνο με θετικούς αριθμούς- αυτό θα σας σώσει από ανόητα και προσβλητικά λάθη που σχετίζονται με την αλλαγή των ζωδίων. Γενικά, το σχέδιο λύσης είναι αρκετά απλό:

Εξετάζουμε το σύστημα και αναλύουμε κάθε εξίσωση.
Αν δούμε ότι ούτε για το $y$ ούτε για το $x$ οι συντελεστές είναι συνεπείς, π.χ. δεν είναι ούτε ίσες ούτε αντίθετες, τότε κάνουμε τα εξής: επιλέξτε τη μεταβλητή που θέλετε να απαλλαγείτε και μετά κοιτάξτε τους συντελεστές σε αυτές τις εξισώσεις. Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή της δεύτερης και τη δεύτερη αντίστοιχη με τον συντελεστή της πρώτης, τότε στο τέλος θα πάρουμε ένα σύστημα που είναι εντελώς ισοδύναμο με το προηγούμενο και οι συντελεστές είναι $y $ θα είναι συνεπής. Όλες οι ενέργειες ή οι μετασχηματισμοί μας στοχεύουν μόνο στο να πάρουμε μία μεταβλητή σε μία εξίσωση.
Βρίσκουμε μία μεταβλητή.
Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και βρίσκουμε τη δεύτερη.
Γράφουμε την απάντηση με τη μορφή συντεταγμένων σημείων, αν έχουμε μεταβλητές $x$ και $y$.

Αλλά ακόμη και ένας τόσο απλός αλγόριθμος έχει τις δικές του λεπτές αποχρώσεις, για παράδειγμα, οι συντελεστές $x$ ή $y$ μπορεί να είναι κλάσματα και άλλοι "άσχημοι" αριθμοί. Τώρα θα εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις ξεχωριστά, γιατί σε αυτές μπορείτε να ενεργήσετε με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο από ό,τι σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο.

Επίλυση προβλημάτων με κλασματικούς αριθμούς

Παράδειγμα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αρχικά, σημειώστε ότι η δεύτερη εξίσωση περιέχει κλάσματα. Αλλά σημειώστε ότι μπορείτε να διαιρέσετε $4$ με $0,8$. Παίρνουμε 5$. Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση επί $5$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρούμε τις εξισώσεις η μία από την άλλη:

$n$ βρήκαμε, τώρα υπολογίζουμε $m$:

Απάντηση: $n=-4;m=5$

Παράδειγμα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2,5p+1,5k=-13\αριστερά| 4 \δεξιά. \\& 2p-5k=2\αριστερά| 5 \δεξιά. \\\end(στοίχιση )\ σωστά.\]

Εδώ, όπως και στο προηγούμενο σύστημα, υπάρχουν κλασματικές πιθανότητες, ωστόσο, για καμία από τις μεταβλητές οι συντελεστές δεν χωρούν μεταξύ τους κατά ακέραιο αριθμό φορών. Επομένως, χρησιμοποιούμε τον τυπικό αλγόριθμο. Ξεφορτωθείτε το $p$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αφαίρεσης:

Ας βρούμε το $p$ αντικαθιστώντας το $k$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $p=-4;k=-2$.

Αποχρώσεις της λύσης

Αυτό είναι όλο βελτιστοποίηση. Στην πρώτη εξίσωση, δεν πολλαπλασιάσαμε καθόλου με τίποτα, και η δεύτερη εξίσωση πολλαπλασιάστηκε με $5$. Ως αποτέλεσμα, έχουμε λάβει μια συνεπή και ομοιόμορφη εξίσωση για την πρώτη μεταβλητή. Στο δεύτερο σύστημα, ενεργήσαμε σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο.

Αλλά πώς να βρείτε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσετε τις εξισώσεις; Άλλωστε, αν πολλαπλασιάσετε με κλασματικοί αριθμοί, παίρνουμε νέα κλάσματα. Επομένως, τα κλάσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό που θα έδινε έναν νέο ακέραιο και μετά, οι μεταβλητές θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με συντελεστές, ακολουθώντας τον τυπικό αλγόριθμο.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας στη μορφή του αρχείου απάντησης. Όπως είπα ήδη, δεδομένου ότι εδώ δεν έχουμε $x$ και $y$ εδώ, αλλά άλλες τιμές, χρησιμοποιούμε μια μη τυπική σημείωση της φόρμας:

Επίλυση πολύπλοκων συστημάτων εξισώσεων

Ως τελευταία συγχορδία στο σημερινό βίντεο εκμάθησης, ας δούμε μερικά πραγματικά πολύπλοκα συστήματα. Η πολυπλοκότητά τους θα συνίσταται στο γεγονός ότι θα περιέχουν μεταβλητές τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά. Επομένως, για να τα λύσουμε, θα πρέπει να εφαρμόσουμε προεπεξεργασία.

Σύστημα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 3\αριστερά(2x-y \δεξιά)+5=-2\αριστερά(x+3y \δεξιά)+4 \\& 6\αριστερά(y+1 \δεξιά )-1=5\αριστερά(2x-1 \δεξιά)+8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Κάθε εξίσωση έχει μια ορισμένη πολυπλοκότητα. Επομένως, με κάθε έκφραση, ας κάνουμε όπως με μια κανονική γραμμική κατασκευή.

Συνολικά, παίρνουμε το τελικό σύστημα, το οποίο είναι ισοδύναμο με το αρχικό:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας δούμε τους συντελεστές του $y$: το $3$ ταιριάζει σε $6$ δύο φορές, οπότε πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Οι συντελεστές του $y$ είναι τώρα ίσοι, οπότε αφαιρούμε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση: $$

Τώρα ας βρούμε το $y$:

Απάντηση: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Σύστημα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4\αριστερά(a-3b \δεξιά)-2a=3\αριστερά(b+4 \δεξιά)-11 \\& -3\αριστερά(b-2a \δεξιά )-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας μετατρέψουμε την πρώτη έκφραση:

Ας ασχοληθούμε με το δεύτερο:

\[-3\αριστερά(b-2a \δεξιά)-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Συνολικά, το αρχικό μας σύστημα θα έχει την ακόλουθη μορφή:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Εξετάζοντας τους συντελεστές του $a$, βλέπουμε ότι η πρώτη εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρούμε τη δεύτερη από την πρώτη κατασκευή:

Τώρα βρείτε το $a$:

Απάντηση: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Αυτό είναι όλο. Ελπίζω ότι αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε αυτό το δύσκολο θέμα, δηλαδή την επίλυση συστημάτων απλών γραμμικών εξισώσεων. Θα υπάρξουν πολλά περισσότερα μαθήματα σχετικά με αυτό το θέμα περαιτέρω: θα αναλύσουμε περισσότερα σύνθετα παραδείγματα, όπου θα υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές και οι ίδιες οι εξισώσεις θα είναι ήδη μη γραμμικές. Τα λέμε σύντομα!