Δομή γενικών λύσεων γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων. Δομή της γενικής λύσης

Για ένα γραμμικό ανομοιογενές διαφορική εξίσωση n-πρώτη σειρά

y(n) + ένα 1(Χ)y(n- 1) + ... + ένα- 1 (Χ) y" + ένα(Χ)y = f(x),

Οπου y = y(Χ) - Δεν γνωστή λειτουργία, ένα 1(Χ),ένα 2(Χ), ..., ένα- 1(Χ), ένα(Χ), φά(Χ) - γνωστό, συνεχές, έκθεση:
1) εάν y 1(Χ) Και y 2(Χ) - δύο λύσεις Δεν ομοιογενής εξίσωση, μετά η συνάρτηση
y(Χ) = y 1(Χ) - y 2(Χ) - λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης.
2) αν y 1(Χ) λύση ανομοιογενούς εξίσωσης και y 2(Χ) είναι η λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης και μετά η συνάρτηση
y(Χ) = y 1(Χ) + y 2(Χ) - λύση μιας μη ομογενούς εξίσωσης.
3) αν y 1(Χ), y 2(Χ), ..., yn(Χ) - nγραμμικά ανεξάρτητες λύσεις ομογενούς εξίσωσης, και ych(Χ) - αυθαίρετη απόφασηανομοιογενής εξίσωση,
τότε για οποιαδήποτε αρχικές τιμές
Χ 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Εκφραση
y(Χ)=ντο 1 y 1(Χ) + ντο 2 y 2(Χ) + ... + cn yn(Χ) +ych(Χ)
που ονομάζεται γενική απόφασηγραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση n-η σειρά.

Να βρούμε μερικές λύσεις ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστέςμε τις δεξιές πλευρές της φόρμας:
Pk(Χ)exp(a Χ)cos( bx) + Q Μ(Χ)exp(a Χ)αμαρτία( bx),
Οπου Pk(Χ), Q Μ(Χ) - πολυώνυμα βαθμού κΚαι ΜΚατά συνέπεια, υπάρχει ένας απλός αλγόριθμος για την κατασκευή μιας συγκεκριμένης λύσης, που ονομάζεται μέθοδος επιλογής.

Μέθοδος επιλογής ή μέθοδος αβέβαιους συντελεστές, είναι όπως ακολουθεί.
Η απαιτούμενη λύση της εξίσωσης γράφεται ως:
(Πρ(Χ)exp(a Χ)cos( bx) + Qr(Χ)exp(a Χ)αμαρτία( bx))xs,
Οπου Πρ(Χ), Qr(Χ) - πολυώνυμα βαθμού r= μέγ.( κ, Μ) Με άγνωστοςσυντελεστές
pr , pr- 1, ..., Π 1, Π 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Ετσι, να βρω γενική λύσηακολουθεί γραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές
βρείτε τη γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης (γράψτε τη χαρακτηριστική εξίσωση, βρείτε όλες τις ρίζες χαρακτηριστική εξίσωση μεγάλο 1, μεγάλο 2, ... , ln, σημειωσε θεμελιώδες σύστημαλύσεις y 1(Χ), y 2(Χ), ..., yn(Χ));
βρείτε κάποια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση ych(Χ);
γράψτε την έκφραση για τη γενική λύση
y(Χ)=ντο 1 y 1(Χ) + ντο 2 y 2(Χ) + ... + cn yn(Χ) + ych(Χ);

Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές με σωστη πλευρα ειδικού τύπου. Μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών.

Διαφορική εξίσωση της μορφής (1)

όπου , f είναι μια γνωστή συνάρτηση, που ονομάζεται γραμμική διαφορική εξίσωση νης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Αν , τότε η εξίσωση (1) ονομάζεται ομοιογενής, διαφορετικά - ανομοιογενής.

Για γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές και με τη δεξιά πλευρά μιας ειδικής μορφής, δηλαδή, που αποτελείται από αθροίσματα και γινόμενα συναρτήσεων, μπορεί να αναζητηθεί μια συγκεκριμένη λύση με τη μέθοδο των απροσδιόριστων συντελεστών. Ο τύπος της συγκεκριμένης λύσης εξαρτάται από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Παρακάτω είναι ένας πίνακας τύπων μερικών λύσεων σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση με ειδική δεξιά πλευρά.

Σύνθετο αεροπλάνο. Συντελεστής και όρισμα μιγαδικού αριθμού. Το κύριο νόημα του επιχειρήματος. Γεωμετρική σημασία

Οι μιγαδικοί αριθμοί γράφονται με τη μορφή: a+ bi. Εδώ τα a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, και το i είναι μια φανταστική μονάδα, δηλ. i 2 = –1. Ο αριθμός a ονομάζεται τετμημένη και b είναι η τεταγμένη του μιγαδικού αριθμού a+ bi. Δύο μιγαδικοί αριθμοί a+ bi και a – bi ονομάζονται συζευγμένοι μιγαδικοί αριθμοί.

Γεωμετρική παράστασημιγαδικοί αριθμοί. Πραγματικοί αριθμοίαντιπροσωπεύονται από σημεία στην αριθμητική γραμμή:

Εδώ, το σημείο Α αντιπροσωπεύει τον αριθμό –3, το σημείο Β τον αριθμό 2 και το Ο σημαίνει μηδέν. Αντίθετα, οι μιγαδικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται με τελείες επίπεδο συντεταγμένων. Για το σκοπό αυτό επιλέγουμε ορθογώνιες (καρτεσιανές) συντεταγμένες με τις ίδιες κλίμακες και στους δύο άξονες. Επειτα μιγαδικός αριθμόςΤο a+ bi θα παριστάνεται από το σημείο P με τετμημένη α και τεταγμένη β (βλ. σχήμα). Αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο.

Το μέτρο συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού είναι το μήκος του διανύσματος OP που αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμό στο επίπεδο συντεταγμένων (μιγαδικό). Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού a+ bi συμβολίζεται με | a+ bi | ή το γράμμα r και ισούται με:

Οι συζευγμένοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν τον ίδιο συντελεστή. __

Το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού είναι η γωνία μεταξύ του άξονα OX και του διανύσματος OP που αντιπροσωπεύει αυτόν τον μιγαδικό αριθμό. Ως εκ τούτου, tan = β/α.

D U ανώτερων τάξεων

Όπως έχουμε ήδη πει, οι διαφορικές εξισώσεις μπορούν να περιέχουν παραγώγους διαφόρων τάξεων.

Τέτοιες διαφορικές εξισώσεις έχουν λύσεις που περιέχουν τόσες αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης → ποια είναι η σειρά της διαφορικής εξίσωσης, δηλ. για μια διαφορική εξίσωση 2ης τάξης θα υπάρχουν δύο αυθαίρετες σταθερές C1 και C2, για μια 3ης τάξης →C1, C2 και C3, κ.λπ.

Έτσι, η γενική λύση (γενικό ολοκλήρωμα) μιας τέτοιας διαφορικής εξίσωσης θα είναι η συνάρτηση

Για να ληφθεί μια συγκεκριμένη λύση τέτοιων διαφορικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να τεθούν τόσες αρχικές συνθήκες όσες είναι η σειρά της διαφορικής εξίσωσης ή πόσες αυθαίρετες σταθερές λαμβάνονται στη γενική λύση.

D U σε πλήρη διαφορικά. Συντελεστής ολοκλήρωσης

Μια διαφορική εξίσωση της μορφής ονομάζεται διαφορική εξίσωση σε πλήρη διαφορικά αν η αριστερή της πλευρά είναι η πλήρης διαφορική ορισμένων ομαλή λειτουργία, δηλ. Αν , . Απαραίτητο και επαρκής κατάστασηγια να υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση έχει τη μορφή:

Για να λύσετε μια διαφορική εξίσωση σε ολικά διαφορικά, πρέπει να βρείτε τη συνάρτηση. Τότε η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με τη μορφή μιας αυθαίρετης σταθεράς C.

Συντελεστής ολοκλήρωσης για μια διαφορική εξίσωση

ονομάζεται μια τέτοια συνάρτηση, μετά τον πολλαπλασιασμό με την οποία η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται σε εξίσωση σε ολικά διαφορικά. Εάν οι συναρτήσεις Μ και Ν στην εξίσωση έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους και δεν εξαφανίζονται ταυτόχρονα, τότε υπάρχει ένας συντελεστής ολοκλήρωσης. Ωστόσο, γενική μέθοδοςδεν υπάρχει τρόπος να το βρεις.

Δομή της γενικής λύσης του LNDU

Θεωρήστε τη γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− ανεξάρτητα από το αρχικό σημείο (x0, y0, ) , x0∈ , υπάρχουν τιμές C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 τέτοιες ώστε η συνάρτηση y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) να ικανοποιεί αρχικές συνθήκες y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Η παρακάτω πρόταση είναι αληθής (το θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης).

Αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης μιας γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι συνεχείς στο διάστημα , και οι συναρτήσεις y1(x), y2(x),..., yn(x) σχηματίζουν ένα σύστημα λύσεων στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση , τότε η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

όπου C1,...,Cn είναι αυθαίρετες σταθερές, το y*(x) είναι μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης.

LNDU 2η τάξη

Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης.

Εξίσωση της μορφής y" + py" + qy = f(x), όπου p και q - πραγματικούς αριθμούς, f(x) - συνεχής λειτουργία, ονομάζεται γραμμική ανομοιογενής εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Η γενική λύση μιας εξίσωσης είναι το άθροισμα μιας συγκεκριμένης λύσης μιας ανομοιογενούς εξίσωσης και μιας γενικής λύσης της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης. Η εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια ομοιογενή εξίσωση έχει μελετηθεί. Για να βρούμε μια συγκεκριμένη λύση, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, η οποία δεν περιέχει διαδικασία ολοκλήρωσης.

Ας σκεφτούμε διαφορετικά είδηδεξιές πλευρές της εξίσωσης y" + py" + qy = f(x).

1) Η δεξιά πλευρά έχει τη μορφή F(x) = Pn(x), όπου το Pn(x) είναι πολυώνυμο βαθμού n. Στη συνέχεια, μια συγκεκριμένη λύση y μπορεί να αναζητηθεί με τη μορφή όπου το Qn (x) είναι ένα πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το Pn (x), και το r είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ίσος με μηδέν.

Παράδειγμα.Να βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης y" – 2y" + y = x+1.

Λύση:Η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή Υ = ex (C1 + C2x). Δεδομένου ότι καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης k2 – 2k + 1 = 0 δεν είναι ίση με μηδέν (k1 = k2 = 1), αναζητούμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή όπου τα Α και Β είναι άγνωστοι συντελεστές. Διαφοροποιώντας δύο φορές και αντικαθιστώντας τα «και» σε αυτήν την εξίσωση, βρίσκουμε –2A + Ax + B = x + 1.

Εξισώνοντας τους συντελεστές για τις ίδιες δυνάμεις του x και στις δύο πλευρές της ισότητας: A = 1, –2A + B = 1, βρίσκουμε A = 1, B = 3. Άρα, μια συγκεκριμένη λύση δεδομένη εξίσωσηέχει τη μορφή = x + 3 και η γενική του λύση είναι y = ex (C1 + C2x) + x + Z.

2) Η δεξιά πλευρά έχει τη μορφή f(x) = eax Pn(x), όπου Рn (x) είναι πολυώνυμο βαθμού n. Στη συνέχεια θα πρέπει να αναζητηθεί μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή όπου το Qn(x) είναι ένα πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το Pn (x), και το r είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ίσος με a. Αν a = 0, τότε f(x) = Pn (x), δηλ., εμφανίζεται η περίπτωση 1.

LOD με σταθερούς συντελεστές.

Θεωρήστε τη διαφορική εξίσωση

όπου είναι πραγματικές σταθερές.

Για να βρούμε μια γενική λύση στην εξίσωση (8), κάνουμε αυτό. Συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση για την εξίσωση (8): (9)

Έστω οι ρίζες της εξίσωσης (9), και μεταξύ αυτών μπορεί να υπάρχουν πολλαπλάσια. Δυνατόν επόμενες περιπτώσεις:

α) - πραγματικό και διαφορετικό. Η γενική λύση της ομοιογενούς εξίσωσης θα είναι ;

β) οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές, αλλά ανάμεσά τους υπάρχουν πολλαπλάσια, δηλ. , τότε η γενική λύση θα είναι

γ) αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές (k=a±bi), τότε η γενική λύση έχει τη μορφή .

Γενική δομή λύσεις σε LDE 2ης τάξης

Θεωρήστε τη γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης σε ένα διάστημα είναι η συνάρτηση y = Φ(x, C1,..., Cn), ανάλογα με n αυθαίρετες σταθερές C1,..., Cn και ικανοποιητική παρακάτω συνθήκες:

− για οποιαδήποτε αποδεκτές τιμέςτων σταθερών C1,..., Cn η συνάρτηση y = Φ(x, C1,..., Cn) είναι λύση της εξίσωσης στο ;

− ανεξάρτητα από το αρχικό σημείο (x0, y0, ) , x0∈ , υπάρχουν τιμές C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 τέτοιες ώστε η συνάρτηση y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) να ικανοποιεί οι αρχικές συνθήκες y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Η γνώση του θεμελιώδους συστήματος λύσεων μιας εξίσωσης καθιστά δυνατή την κατασκευή μιας γενικής λύσης αυτής της εξίσωσης. Ας θυμηθούμε τον ορισμό της γενικής λύσης της διαφορικής εξίσωσης Π-η σειρά

Λειτουργία
, που ορίζεται σε κάποιο τομέα παραλλαγής μεταβλητών
, σε κάθε σημείο της οποίας υπάρχει η ύπαρξη και η μοναδικότητα μιας λύσης στο πρόβλημα Cauchy, και η οποία έχει συνεχείς μερικές παραγώγους σε σχέση με Χκατά παραγγελία Πσυμπεριλαμβανομένης, ονομάζεται γενική λύση της εξίσωσης (15) στην υποδεικνυόμενη περιοχή εάν:

σύστημα εξισώσεων

επιλύσιμο στην καθορισμένη περιοχή σε σχέση με αυθαίρετες σταθερές
, Ετσι

(16)

2. λειτουργία
είναι μια λύση της εξίσωσης (15) για όλες τις τιμές αυθαίρετων σταθερών
, που εκφράζεται με τους τύπους (16), όταν το σημείο
ανήκει στην υπό εξέταση περιοχή.

Θεώρημα 1. (σχετικά με τη δομή της γενικής λύσης μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης). Εάν οι λειτουργίες
,
, …,
σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε μια ομοιογενή γραμμική εξίσωση Π-η σειρά
στο μεσοδιάστημα
, δηλ. στο διάστημα της συνέχειας των συντελεστών, τότε η συνάρτηση
είναι μια γενική λύση αυτής της εξίσωσης στην περιοχή ρε:
,
,
.

Απόδειξη.Σε κάθε σημείο της υποδεικνυόμενης περιοχής υπάρχει ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης στο πρόβλημα Cauchy. Ας δείξουμε τώρα ότι η συνάρτηση
ικανοποιεί τον ορισμό μιας γενικής λύσης της εξίσωσης Π-η σειρά.

σύστημα εξισώσεων

επιλύσιμο στον τομέα ρεσε σχέση με αυθαίρετες σταθερές
αφού η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski για το θεμελιώδες σύστημα λύσεων (12) και, επομένως, είναι διαφορετική από το μηδέν.

2. Λειτουργία
από την ιδιότητα των λύσεων μιας ομογενούς γραμμικής εξίσωσης, είναι λύση της εξίσωσης
για όλες τις τιμές αυθαίρετων σταθερών
.

Επομένως η συνάρτηση
είναι μια γενική λύση της εξίσωσης
στην περιοχή ρε. Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Παράδειγμα.

Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι προφανώς οι συναρτήσεις
,
. Αυτές οι αποφάσεις αποτελούν ένα θεμελιώδες σύστημα αποφάσεων, αφού

Επομένως, η γενική λύση της αρχικής εξίσωσης είναι η συνάρτηση.

Δομή της γενικής λύσης ανομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης νης τάξης.

Ας θεωρήσουμε ένα ανομοιογενές γραμμική εξίσωση Π-η σειρά

Ας δείξουμε ότι, όπως στην περίπτωση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης πρώτης τάξης, η ολοκλήρωση της εξίσωσης (1) ανάγεται στην ολοκλήρωση μιας ομοιογενούς εξίσωσης εάν είναι γνωστή μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης (1).

Αφήνω
- μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης (1), δηλ.

,
. (2)

Ας βάλουμε
, Οπου z– νέα άγνωστη συνάρτηση από Χ. Τότε η εξίσωση (1) θα πάρει τη μορφή

ή
,

από όπου, δυνάμει της ταυτότητας (2), αποκτούμε

. (3)

Αυτή είναι μια ομοιογενής γραμμική εξίσωση, η αριστερή πλευρά της οποίας είναι ίδια με αυτή της ανομοιογενούς εξίσωσης (1) που εξετάζουμε. Εκείνοι. έχουμε μια ομοιογενή εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτή την ανομοιογενή εξίσωση (1).

,
, …,
,

είναι ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων στην ομογενή εξίσωση (3). Τότε όλες οι λύσεις αυτής της εξίσωσης περιέχονται στον τύπο για τη γενική της λύση, δηλ.

Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή zστον τύπο
, παίρνουμε

Η συνάρτηση που προκύπτει είναι μια γενική λύση της εξίσωσης (1) στην περιοχή ρε.

Έτσι, δείξαμε ότι η γενική λύση της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης (1) είναι ίση με το άθροισμα κάποιας συγκεκριμένης λύσης αυτής της εξίσωσης και τη γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης.

Παράδειγμα.Να βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης