1. tüüpi rakenduse kõverjooneline integraal. Kurvilineaarsete integraalide arvutamine: teooria ja näited

5. loeng 1. ja 2. tüüpi kõverjoonelised integraalid, nende omadused.

Kõvera massi probleem. 1. tüüpi kõverjooneline integraal.

Kõvera massi probleem. Olgu tükkhaaval sileda materjalikõvera L igas punktis (AB) määratud selle tihedus. Määrake kõvera mass.

Jätkame samamoodi nagu lameda piirkonna massi määramisel ( kahekordne integraal) ja ruumiline keha (kolmekordne integraal).

1. Korraldame kaarepiirkonna L jaotuse elementideks - elementaarkaaredeks nii, et neil elementidel ei oleks ühiseid sisemised punktid Ja ( tingimus A )

3. Koostage integraalsumma , kus on kaare pikkus (tavaliselt kasutatakse kaare ja selle pikkuse kohta sama tähistus). See on kõvera massi ligikaudne väärtus. Lihtsustus seisneb selles, et eeldasime, et kaare tihedus on iga elemendi puhul konstantne ja võtsime piiratud arvu elemente.

Liikumine ettenähtud piirini (tingimus B ), saame integraalsummade piiriks esimest tüüpi kõverjoonelise integraali:

.

Eksistentsi teoreem.

Olgu funktsioon pidev tükkhaaval tasasel kaarel L. Siis eksisteerib integraalsummade piirväärtusena esimest tüüpi sirgintegraal.

Kommenteeri. See piirang ei sõltu

Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali omadused.

1. Lineaarsus
a) superpositsiooni omadus

b) homogeensuse omadus .

Tõestus. Kirjutame üles võrrandite vasakpoolsetele külgedele integraalide summad. Kuna integraalsummal on lõplik arv liikmeid, liigume edasi võrduste parempoolsete külgede integraalsummade juurde. Seejärel liigume piirini, saavutame võrdsuse piirile ülemineku teoreemi soovitud tulemus.

2. Aditiivsus.
Kui , See = +

3. Siin on kaare pikkus.

4. Kui kaarel on ebavõrdsus rahuldatud, siis

Tõestus. Kirjutame üles integraalsummade võrratuse ja liigume edasi piirini.

Pange tähele, et see on eriti võimalik

5. Hinnangu teoreem.

Kui on konstandid, mis siis

Tõestus. Ebavõrdsuse integreerimine (kinnistu 4), saame . Omaduse 1 järgi saab integraalide alt välja võtta konstandid. Kasutades omadust 3, saame soovitud tulemuse.

6. Keskmise väärtuse teoreem(integraali väärtus).

Mõte on olemas , Mida

Tõestus. Kuna funktsioon on suletud korral pidev piiratud komplekt, siis on selle infimum olemas ja ülemine serv . Ebavõrdsus on rahul. Jagades mõlemad pooled L-ga, saame . Aga number suletud põhja ja vahele ülemine serv funktsioonid. Kuna funktsioon on pidev suletud piiriga hulgal L, siis mingil hetkel peab funktsioon selle väärtuse võtma. Seega .

Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine.

Parameetristagem kaar L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Olgu t 0 vastav punktile A ja t 1 punktile B. Siis taandub esimest tüüpi sirgintegraal väärtuseks kindel integraal (- 1. semestrist tuntud valem kaare pikkuse diferentsiaali arvutamiseks):

Näide. Arvutage homogeense (tihedus võrdne k) spiraali ühe pöörde mass: .

2. tüüpi kõverjooneline integraal.

Jõu töö probleem.

Kui palju tööd toodab jõud?F(M) punkti liigutamiselMmööda kaaretAB? Kui kaar AB oleks sirgjooneline segment ja jõud oleks punkti M liigutamisel piki kaaret AB suuruselt ja suunast konstantne, siis saaks töö arvutada valemiga , kus on vektorite vaheline nurk. IN üldine juhtum seda valemit saab kasutada integraalsumma koostamiseks, eeldades, et piisavalt väikese pikkusega kaare elemendile mõjub konstantne jõud. Kaare väikese elemendi pikkuse asemel võite võtta seda kokkutõmbava akordi pikkuse, kuna need suurused on tingimusel (esimene poolaasta) samaväärsed lõpmata väikesed suurused.

1. Korraldame regiooni-kaare AB jagamise elementideks - elementaarkaaredeks nii, et neil elementidel ei oleks ühiseid sisepunkte ja( tingimus A )

2. Märgime partitsiooni elementidele “märgitud punktid” M i ja arvutame nendes oleva funktsiooni väärtused

3. Konstrueerime integraalsumma , kus on vektor, mis on suunatud piki -kaare all olevat kõõlu.

4. Ettenähtud limiidini minek (tingimus B ), saame integraalsummade (ja jõu töö) piiriks teist tüüpi kõverjoonelise integraali:

. Sageli tähistatakse

Eksistentsi teoreem.

Olgu vektorfunktsioon pidev tükkhaaval tasasel kaarel L. Siis eksisteerib integraalsummade piiriks teist tüüpi kõverjooneline integraal.

.

Kommenteeri. See piirang ei sõltu

Sektsiooni valimise meetod, kui tingimus A on täidetud

partitsioonielementidel "märgitud punktide" valimine,

Meetod partitsiooni täpsustamiseks, kui tingimus B on täidetud

2. tüüpi kõverjoonelise integraali omadused.

1. Lineaarsus
a) superpositsiooni omadus

b) homogeensuse omadus .

Tõestus. Kirjutame üles võrrandite vasakpoolsetele külgedele integraalide summad. Kuna integraalsummas on liikmete arv lõplik, siis omadust kasutades dot toode, liigume edasi võrduste parempoolsete külgede integraalsummade juurde. Seejärel liigume piirini, kasutades võrdsuse piirile ülemineku teoreemi, saame soovitud tulemuse.

2. Aditiivsus.
Kui , See = + .

Tõestus. Valime piirkonna L partitsiooni nii, et ükski partitsioonielement (esialgu ja partitsiooni täpsustamisel) ei sisaldaks korraga nii elemente L 1 kui ka elemente L 2. Seda saab teha olemasoluteoreemi abil (märkus teoreemi juurde). Järgmisena viiakse tõestus läbi integraalsummade kaudu, nagu lõikes 1.

3. Orienteeruvus.

= -

Tõestus. Integraal üle kaare –L, s.o. kaare läbimise negatiivses suunas on integraalsummade limiit, mille mõistes on asemel (). Võttes skalaarkorrutisest ja lõpliku arvu liikmete summast välja “miinuse” ja minnes piirini, saame vajaliku tulemuse.

Kõvera massi probleem. Olgu tükkhaaval sileda materjalikõvera L igas punktis (AB) määratud selle tihedus. Määrake kõvera mass.

Jätkame samamoodi nagu lameda piirkonna (kaksikintegraal) ja ruumikeha (kolmikintegraal) massi määramisel.

1. Korraldame ala-kaare L jaotuse elementideks - elementaarkaaredeks et neil elementidel ei oleks ühiseid sisepunkte ja
(tingimus A )

2. Märgime partitsiooni elementidele “märgitud punktid” M i ja arvutame nendes oleva funktsiooni väärtused

3. Konstrueerime integraalsumma
, Kus - kaare pikkus (tavaliselt võetakse kaare ja selle pikkuse kohta kasutusele samad tähised). See on kõvera massi ligikaudne väärtus. Lihtsustus seisneb selles, et eeldasime, et kaare tihedus on iga elemendi puhul konstantne ja võtsime piiratud arvu elemente.

Liikumine ettenähtud piirini
(tingimus B ), saame integraalsummade piiriks esimest tüüpi kõverjoonelise integraali:

.

Eksistentsi teoreem 10 .

Laske funktsioonil
on pidev tükkhaaval tasasel kaarel L 11. Siis eksisteerib integraalsummade piirina esimest tüüpi joonintegraal.

Kommenteeri. See piirang ei sõltu

partitsiooni valimise meetod, kui tingimus A on täidetud

partitsioonielementidel "märgitud punktide" valimine,

partitsiooni täpsustamise meetod, kui tingimus B on täidetud

Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali omadused.

1. Lineaarsus a) superpositsiooni omadus

b) homogeensuse omadus
.

Tõestus. Kirjutame üles võrrandite vasakpoolsetele külgedele integraalide summad. Kuna integraalsummal on lõplik arv liikmeid, liigume edasi võrduste parempoolsete külgede integraalsummade juurde. Seejärel liigume piirini, kasutades võrdsuse piirile ülemineku teoreemi, saame soovitud tulemuse.

2. Aditiivsus. Kui
, See
=
+

Tõestus. Valime piirkonna L partitsiooni nii, et ükski partitsiooni element (esialgu ja partitsiooni täpsustamisel) ei sisaldaks korraga nii elemente L 1 kui ka elemente L 2. Seda saab teha olemasoluteoreemi abil (märkus teoreemi juurde). Järgmisena viiakse tõestus läbi integraalsummade kaudu, nagu lõikes 1.

3.
.Siin - kaare pikkus .

4. Kui kaarel siis on ebavõrdsus rahuldatud

Tõestus. Kirjutame üles integraalsummade võrratuse ja liigume edasi piirini.

Pange tähele, et see on eriti võimalik

5. Hinnangu teoreem.

Kui konstandid on olemas
, midagi

Tõestus. Ebavõrdsuse integreerimine
(kinnistu 4), saame
. Konstandi omaduse 1 järgi
saab integraalide alt välja võtta. Kasutades omadust 3, saame soovitud tulemuse.

6. Keskmise väärtuse teoreem(integraali väärtus).

Mõte on olemas
, Mida

Tõestus. Alates funktsioonist
pidev suletud piiritletud hulgal , siis on selle infimum olemas
ja ülemine serv
. Ebavõrdsus on rahul. Jagades mõlemad pooled L-ga, saame
. Aga number
funktsiooni alumise ja ülemise piiri vahele. Alates funktsioonist
on pidev suletud piiritletud hulgal L, siis mingil hetkel
funktsioon peab selle väärtuse aktsepteerima. Seega
.

Juhuks, kui integratsioonipiirkond on teatud tasapinnas paiknev kõvera segment. Reaintegraali üldine tähistus on järgmine:

Kus f(x, y) on kahe muutuja funktsioon ja L- kõver piki segmenti AB milline integratsioon toimub. Kui integrand on võrdne ühega, siis joonintegraal pikkusega võrdne kaar AB .

Nagu alati sees integraalarvutus, kõverjoonelise integraali all mõistetakse millegi väga suure mõne väga väikese osa integraalsummade piiri. Mida summeeritakse kõverjooneliste integraalide korral?

Olgu tasapinnal segment AB mingi kõver L ja kahe muutuja funktsioon f(x, y) määratletud kõvera punktides L. Teeme selle kõvera segmendiga järgmise algoritmi.

1. Tükeldatud kõver AB täppidega osadeks (pildid allpool).
2. Valige igas osas vabalt punkt M.
3. Leia funktsiooni väärtus valitud punktides.
4. Funktsiooni väärtused korrutatakse
   • korpuse osade pikkused esimest tüüpi kõverjooneline integraal ;
   • osade projektsioonid koordinaatteljele juhul teist tüüpi kõverjooneline integraal .
5. Leidke kõigi toodete summa.
6. Leia leitud integraalsumma piir, eeldusel, et kõvera pikima osa pikkus kipub olema null.

Kui mainitud limiit on olemas, siis see integraalsumma piiriks ja seda nimetatakse funktsiooni kõverjooneliseks integraaliks f(x, y) mööda kõverat AB .

esimene liik

Kõverjoonelise integraali juhtum
teist liiki

Tutvustame järgmist tähistust.

Mi( ζ i; η i)- igal saidil valitud koordinaatidega punkt.

fi( ζ i; η i)- funktsiooni väärtus f(x, y) valitud punktis.

Δ si- kõvera lõigu osa pikkus (esimest tüüpi kõverjoonelise integraali puhul).

Δ xi- kõvera segmendi osa projektsioon teljele Ox(teist tüüpi kõverjoonelise integraali puhul).

d= maxΔ s i- kõvera segmendi pikima osa pikkus.

Esimest tüüpi kõverjoonelised integraalid

Lähtudes ülaltoodust integraalsummade piiri kohta, kirjutatakse esimest tüüpi joonintegraal järgmiselt:

.

Esimest tüüpi joonintegraalil on kõik omadused, mis tal on kindel integraal. Siiski on üks oluline erinevus. Kindla integraali puhul muutub integreerimise piiride vahetamisel märk vastupidiseks:

Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali puhul pole vahet, milline kõvera punkt AB (A või B) loetakse segmendi alguseks ja kumb on lõpp, st

.

Teist tüüpi kõverjoonelised integraalid

Integraalsummade piiri kohta öeldu põhjal kirjutatakse teist tüüpi kõverjooneline integraal järgmiselt:

.

Teist tüüpi kõverjoonelise integraali korral, kui kõvera lõigu algus ja lõpp on vahetatud, muutub integraali märk:

.

Teist tüüpi kõverjoonelise integraali integraalsumma koostamisel võetakse funktsiooni väärtused fi( ζ i; η i) saab korrutada ka kõvera segmendi osade projektsiooniga teljele Oy. Siis saame integraali

.

Praktikas kasutatakse tavaliselt teist tüüpi kõverjooneliste integraalide ühendust, see tähendab kahte funktsiooni f = P(x, y) Ja f = K(x, y) ja integraalid

,

ja nende integraalide summa

helistas teist tüüpi üldine kõverjooneline integraal .

Esimest tüüpi kõverjooneliste integraalide arvutamine

Esimest tüüpi kõverjooneliste integraalide arvutamine taandatakse kindlate integraalide arvutamiseks. Vaatleme kahte juhtumit.

Olgu tasapinnal antud kõver y = y(x) ja kõvera segment AB vastab muutuja muutusele x alates a juurde b. Seejärel kõvera punktides integrandi funktsioon f(x, y) = f(x, y(x)) ("Y" tuleb väljendada "X" kaudu) ja kaare diferentsiaal ja joonintegraali saab arvutada valemi abil

.

Kui integraali on lihtsam üle integreerida y, siis kõvera võrrandist peame väljendama x = x(y) (“x” kuni “y”), kus arvutame integraali valemi abil

.

Näide 1.

Kus AB- sirge lõik punktide vahel A(1; −1) ja B(2; 1) .

Lahendus. Koostame sirgjoone võrrandi AB, kasutades valemit (kahte antud punkti läbiva sirge võrrand A(x1 ; y 1 ) Ja B(x2 ; y 2 ) ):

Sirgvõrrandist väljendame y läbi x :

Siis ja praegu saame arvutada integraali, kuna meil on alles vaid "X":

Olgu ruumis antud kõver

Seejärel tuleb kõvera punktides funktsioon väljendada parameetri kaudu t() ja kaardiferentsiaal , seetõttu saab kõverjoonelise integraali arvutada valemi abil

Samamoodi, kui tasapinnal on antud kõver

,

siis kõverjooneline integraal arvutatakse valemiga

.

Näide 2. Arvuta sirge integraal

Kus L- ringjoone osa

asub esimeses oktanis.

Lahendus. See kõver on veerand tasapinnal paiknevast ringjoonest z= 3. See vastab parameetri väärtustele. Sest

siis kaardiferentsiaal

Avaldame integrandi funktsiooni parameetri kaudu t :

Nüüd, kui meil on kõik parameetri kaudu väljendatud t, saame selle kõverjoonelise integraali arvutamise taandada kindlaks integraaliks:

Teist tüüpi kõverjooneliste integraalide arvutamine

Nii nagu esimest tüüpi kõverjooneliste integraalide puhul, taandatakse ka teist tüüpi integraalide arvutamine kindlate integraalide arvutamiseks.

Kõver on antud Descartes'i ristkülikukujulistes koordinaatides

Olgu tasapinnal olev kõver antud funktsiooni "Y" võrrandiga, väljendatuna "X" kaudu: y = y(x) ja kõvera kaar AB vastab muutusele x alates a juurde b. Seejärel asendame avaldise "y" kuni "x" integrandiga ja määrame selle "y" avaldise diferentsiaali "x" suhtes: . Nüüd, kui kõik on väljendatud “x”-ga, arvutatakse teist tüüpi joonintegraal kindla integraalina:

Teist tüüpi kõverjooneline integraal arvutatakse sarnaselt, kui kõver on antud funktsiooni "x" võrrandiga, mis on väljendatud "y" kaudu: x = x(y) , . Sel juhul on integraali arvutamise valem järgmine:

Näide 3. Arvuta sirge integraal

, Kui

A) L- sirge segment O.A., Kus KOHTA(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- parabooli kaar y = x² alates KOHTA(0; 0) kuni A(1; −1) .

a) Arvutame sirgjoonelise lõigu (joonisel sinine) kõverjoonelise integraali. Kirjutame sirgjoone võrrandi ja väljendame "Y" kuni "X":

.

Me saame dy = dx. Lahendame selle kõverjoonelise integraali:

b) kui L- parabooli kaar y = x² , saame dy = 2xdx. Arvutame integraali:

Äsja lahendatud näites saime kahel juhul sama tulemuse. Ja see ei ole juhus, vaid mustri tulemus, kuna see integraal vastab järgmise teoreemi tingimustele.

Teoreem. Kui funktsioonid P(x,y) , K(x,y) ja nende osatuletised on piirkonnas pidevad D funktsioonid ja selle piirkonna punktides on osatuletised võrdsed, siis kõverjooneline integraal ei sõltu integratsiooni teest piki sirget L asub piirkonnas D .

Kõver on antud parameetrilisel kujul

Olgu ruumis antud kõver

.

ja integrandidesse, mida me asendame

väljendades neid funktsioone parameetri kaudu t. Saame kõverjoonelise integraali arvutamise valemi:

Näide 4. Arvuta sirge integraal

,

Kui L- osa ellipsist

tingimusele vastav y ≥ 0 .

Lahendus. See kõver on tasapinnal asuv ellipsi osa z= 2. See vastab parameetri väärtusele.

saame esitada kõverjoonelise integraali kindla integraali kujul ja arvutada selle:

Kui on antud kõvera integraal ja L - suletud rida, siis nimetatakse sellist integraali üleintegraaliks suletud silmus ja seda on lihtsam arvutada Greeni valem .

Veel näiteid joonintegraalide arvutamisest

Näide 5. Arvuta sirge integraal

Kus L- sirge lõik punktide vahel, mis lõikuvad koordinaattelgedega.

Lahendus. Määrame sirge ja koordinaattelgede lõikepunktid. Sirge asendamine võrrandis y= 0, saame ,. Asendamine x= 0, saame ,. Seega lõikepunkt teljega Ox - A(2; 0) , teljega Oy - B(0; −3) .

Sirgvõrrandist väljendame y :

.

, .

Nüüd saame sirgintegraali esitada kindla integraalina ja hakata seda arvutama:

Integrandis valime teguri ja viime selle integraalimärgist välja. Saadud integrandis kasutame diferentsiaalmärgiga liitumine ja lõpuks saame selle kätte.

Teoreetiline miinimum

Füüsikas leidub sageli kõverjoonelisi ja pindintegraale. Neid on kahte tüüpi, millest esimest arutatakse siin. See
integraalide tüüp konstrueeritakse vastavalt üldine skeem, millega tuuakse sisse kindlad, topelt- ja kolmikintegraalid. Tuletagem seda skeemi lühidalt meelde.
On mõni objekt, mille üle integreerimine toimub (ühe-, kahe- või kolmemõõtmeline). See objekt on purustatud väikesteks osadeks,
igas osas valitakse punkt. Igas punktis arvutatakse integrandi väärtus ja korrutatakse selle osa mõõtmega, mis
kuulub antud punkt(lõigu pikkus, osalise piirkonna pindala või maht). Seejärel summeeritakse kõik sellised tooted ja limiit on täidetud
üleminek objekti lõpmatusteks osadeks jagamisele. Saadud piiri nimetatakse integraaliks.

1. Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali definitsioon

Vaatleme kõveral defineeritud funktsiooni. Eeldatakse, et kõver on parandatav. Tuletagem meelde, mida see jämedalt öeldes tähendab,
et kõverale saab kirjutada suvaliselt väikeste linkidega katkendjoone ja piirjoones on see lõpmatu suur hulk lingid, katkendjoone pikkus peaks jääma
lõplik. Kõver jagatakse osapikkusteks kaaredeks ja igale kaarele valitakse punkt. Koostamisel on teos
summeerimine toimub kõigi osakaarede ulatuses . Seejärel toimub üleminek piirini suurima pikkuse tendentsiga
osakaaredest nullini. Piir on esimest tüüpi kõverjooneline integraal
.
Selle integraali oluline tunnus, mis otseselt tuleneb tema definitsioonist, on sõltumatus integratsiooni suunast, s.o.
.

2. Esimest tüüpi pinnaintegraali definitsioon

Vaatleme funktsiooni, mis on määratletud siledal või tükkhaaval siledal pinnal. Pind on jagatud osadeks
aladega valitakse igal sellisel alal punkt. Koostamisel on teos , tehakse summeerimine
üle kõigi osapiirkondade . Seejärel tehakse üleminek piirini kõigist osadest suurima läbimõõdu tendentsiga
alad nullini. Piir on esimest tüüpi pinnaintegraal
.

3. Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine

Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamise meetod on näha juba selle formaalsest tähistusest, kuid tegelikult tuleneb sellest otseselt
määratlused. Integraal taandatakse kindlaks, tuleb lihtsalt üles kirjutada kõvera kaare diferentsiaal, mida mööda integreerimine toimub.
Alustame sellest lihtne juhtum integreerimine piki antud tasapinnakõverat selgesõnaline võrrand. Sel juhul kaare diferentsiaal
.
Seejärel tehakse integrandis muutuja muutmine ja integraal võtab kuju
,
kus segment vastab muutuja muutusele piki kõvera seda osa, mida mööda integreerimine toimub.

Väga sageli määratakse kõver parameetriliselt, st. vormi võrrandid Siis kaardiferentsiaal
.
See valem on väga lihtsalt põhjendatud. Põhimõtteliselt on see Pythagorase teoreem. Kaardiferentsiaal on tegelikult kõvera lõpmatu väikese osa pikkus.
Kui kõver on sile, siis võib selle lõpmatust osa lugeda sirgjooneliseks. Sirge jaoks on meil seos
.
Selle teostamiseks väikese kõvera kaare jaoks tuleks liikuda piiratud sammudelt diferentsiaalidele:
.
Kui kõver on määratud parameetriliselt, arvutatakse diferentsiaalid lihtsalt välja:
jne.
Vastavalt sellele arvutatakse pärast integrandi muutujate muutmist kõvera integraal järgmiselt:
,
kus kõvera osa, mida mööda integreerimine toimub, vastab parameetri muutuse segmendile.

Mõnevõrra keerulisem on olukord juhul, kui kõver on määratud kõverjoonelistes koordinaatides. Seda küsimust arutatakse tavaliselt diferentsiaali raames
geomeetria. Anname integraali arvutamise valem piki antud kõverat polaarkoordinaadid võrrand:
.
Samuti anname polaarkoordinaatides kaare diferentsiaali põhjenduse. Üksikasjalik arutelu võrgu ehitamisest polaarsüsteem koordinaadid
cm. Valime kõvera väikese kaare, mis asub koordinaatjoonte suhtes, nagu on näidatud joonisel fig. 1. Kõigi esiletoodud väiksuse tõttu
kaar jälle saame rakendada Pythagorase teoreemi ja kirjutada:
.
Siit järgneb kaare diferentsiaali soovitud avaldis.

Puhtaga teoreetiline punkt Visuaalsest vaatenurgast piisab, kui mõista, et esimest tüüpi kõverjooneline integraal tuleb taandada konkreetsele juhtumile -
kindlale integraalile. Tõepoolest, tehes muudatuse, mis on tingitud kõvera parameetritest, mille järgi integraal arvutatakse, saame
üks-ühele kaardistamine antud kõvera osa ja parameetrimuutuste segmendi vahel. Ja see on integraali taandamine
piki sirget, mis langeb kokku koordinaatide telg- kindel integraal.

4. Esimest tüüpi pindintegraali arvutamine

Pärast eelmist punkti peaks olema selge, et esimest tüüpi pinnaintegraali arvutamise üks peamisi osi on pinnaelemendi kirjutamine,
mille kaudu integreerimine toimub. Alustame jällegi eksplitsiitse võrrandiga määratletud pinna lihtsast juhtumist. Siis
.
Integrandis tehakse asendus ja pinnaintegraal taandatakse kahekordseks:
,
kus on tasandi piirkond, millesse on projitseeritud pinna osa, mille kohal integreerimine toimub.

Tihti on aga võimatu defineerida pinda eksplitsiitse võrrandiga ja siis defineeritakse see parameetriliselt, s.t. vormi võrrandid
.
Pinnaelement on sel juhul kirjutatud keerulisemaks:
.
Pinnaintegraali saab kirjutada vastavalt:
,
kus on parameetrite muutuste vahemik, mis vastab pinna osale, millel integreerimine toimub.

5. Esimest tüüpi kõverjooneliste ja pindintegraalide füüsiline tähendus

Käsitletud integraalid on väga lihtsad ja selged füüsiline tähendus. Olgu mingi kõver, mille joontihedus ei ole
konstant ja on punkti funktsioon . Leiame selle kõvera massi. Jagame kõvera paljudeks väikesteks elementideks,
mille piires võib selle tihedust pidada ligikaudu konstantseks. Kui kõvera väikese tüki pikkus on võrdne , siis selle mass
, kus on valitud kõvera tüki mis tahes punkt (mis tahes, kuna tihedus on sees
see tükk on ligikaudu konstantne). Sellest lähtuvalt saadakse kogu kõvera mass selle üksikute osade masside liitmisel:
.
Võrdsuse täpseks muutmiseks tuleb minna kõvera lõpmatuteks osadeks jagamise piirini, kuid see on esimest tüüpi kõverjooneline integraal.

Samamoodi lahendatakse kõvera kogulaengu küsimus, kui on teada lineaarlaengu tihedus .

Neid argumente saab kergesti üle kanda ebaühtlaselt laetud pinna puhul pinnatihedus tasu . Siis
pindlaeng on esimest tüüpi pinnaintegraal
.

Märkus. Parameetriliselt määratletud pinnaelemendi tülikat valemit on ebamugav meeles pidada. Teine avaldis saadakse diferentsiaalgeomeetrias,
see kasutab nn esiteks ruutvorm pinnad.

Esimest tüüpi kõverjooneliste integraalide arvutamise näited

Näide 1. Integraal piki joont.
Arvuta integraal

mööda joont, mis läbib punkte ja .

Esiteks kirjutame sirgjoone võrrandi, mida mööda integreerimine toimub: . Leiame väljendi:
.
Arvutame integraali:

Näide 2. Integraal piki kõverat tasapinnal.
Arvuta integraal

mööda paraboolikaaret punktist punkti.

Seadepunktid ja võimaldab teil väljendada muutujat paraboolvõrrandist: .

Arvutame integraali:
.

Küll aga oli võimalik teha arvutusi ka muul viisil, kasutades ära asjaolu, et kõver on antud muutuja suhtes lahendatud võrrandiga.
Kui võtame parameetrina muutuja, toob see kaasa väike muutus kaardiferentsiaali avaldised:
.
Sellest lähtuvalt muutub integraal veidi:
.
Seda integraali on lihtne arvutada, asendades diferentsiaali all oleva muutuja. Tulemuseks on sama integraal, mis esimese arvutusmeetodi puhul.

Näide 3. Integraal piki kõverat tasapinnal (kasutades parametriseerimist).
Arvuta integraal

mööda ringi ülemist poolt .

Muidugi saate ühe muutuja väljendada ringi võrrandist ja seejärel teha ülejäänud arvutused standardsel viisil. Kuid võite ka kasutada
parameetrilise kõvera spetsifikatsioon. Nagu teate, saab ringi määratleda võrranditega. Ülemine poolring
vastab parameetri muutusele piires . Arvutame kaare diferentsiaali:
.
Seega

Näide 4. Integraal piki kõverat polaarkoordinaatides määratud tasapinnal.
Arvuta integraal

mööda lemniskaati paremat sagarat .

Ülaltoodud joonisel on kujutatud lemniskaati. Integreerimine peab toimuma piki selle paremat laba. Leiame kõvera kaare diferentsiaali :
.
Järgmine samm on polaarnurga integreerimise piiride määramine. On selge, et ebavõrdsus tuleb rahuldada ja seega
.
Arvutame integraali:

Näide 5. Integraal piki ruumikõverat.
Arvuta integraal

piki spiraali pööret, mis vastab parameetrite muutumise piiridele

Parameetriliste võrranditega määratletud kõverat AB nimetatakse sujuvaks, kui funktsioonid ja neil on lõigul pidevad tuletised ja pealegi kui lõplik arv Lõigu punktides neid tuletisi ei eksisteeri või need kaovad korraga, siis nimetan kõverat jupikaupa siledaks. Olgu AB tasane kõver, sile või tükkide kaupa sile. Olgu f(M) funktsioon, mis on defineeritud kõveral AB või mõnes seda kõverat sisaldavas domeenis D. Vaatleme kõvera A B jagamist osadeks punktide kaupa (joonis 1). Valime igal kaarel A^At+i suvalise punkti Mk ja koostame summa, kus Alt on kaare pikkus ja nimetame seda funktsiooni f(M) integraalsummaks kaare pikkuse ulatuses. kõver. Olgu D / suurim osakaare pikkustest, st 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused ruumikõverate jaoks 2. tüüpi kõverjoonte integraalid Kõverajoonelise integraali arvutamine Omadused Definitsioonide vaheline seos. Kui integraalsumma (I) juures on lõplik piir, mis ei sõltu kõvera AB osadeks jagamise meetodist ega ka partitsiooni iga kaare punktide valikust, siis nimetatakse seda piiri funktsiooni f( \-ndat tüüpi kõverjooneliseks integraaliks M) piki kõverat AB (integraal üle kõvera kaare pikkuse) ja on tähistatud sümboliga Sel juhul nimetatakse funktsiooni /(M) integreeritavaks piki kõverat ABU, nimetatakse kõverat A B kontuuriks integratsioon, A on integratsiooni alguspunkt, B on integratsiooni lõpp-punkt. Seega definitsiooni järgi näide 1. Olgu muutuva lineaartihedusega J(M) mass jaotunud mööda mingit sujuvat kõverat L. Leidke kõvera L mass m. (2) Jagame kõvera L n suvaliseks osaks) ja arvutame ligikaudselt iga osa massi, eeldades, et iga osa tihedus on konstantne ja võrdne tihedusega selle mis tahes punktis , näiteks äärmises vasakpoolses punktis /(Af*). Siis summa ksh, kus D/d on D-nda osa pikkus, on massi m ligikaudne väärtus. On selge, et mida väiksem on kõvera L partitsioon, seda väiksema vea saame kogu kõvera L mass, s.o. Parempoolne piir on aga 1. tüüpi kõverjooneline integraal. Niisiis, 1.1. 1. tüüpi kõverjoonelise integraali olemasolu Võtame kõvera AB parameetriks kaare I pikkuse, mõõdetuna lähtepunktist A (joonis 2). Seejärel saab AB kõverat kirjeldada võrranditega (3), kus L on AB kõvera pikkus. Võrrandeid (3) nimetatakse AB kõvera naturaalvõrranditeks. Kui läheb kõveral AB defineeritud funktsioon f(x) y taandatakse muutuja I funktsiooniks: / (x(1)) y(1)). Olles tähistanud punktile Mky vastava parameetri I väärtusega, kirjutame integraalsumma (I) ümber kujul See on teatud integraalile vastav integraalsumma, kuna integraalsummad (1) ja (4) on võrdsed omavahel, siis on ka neile vastavad integraalid võrdsed. Seega (5) Teoreem 1. Kui funktsioon /(M) on pidev piki sujuvat kõverat AB, siis on olemas kõverjooneline integraal (kuna nendel tingimustel on võrduses (5) paremal kindel integraal). 1.2. 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused 1. Integraalsumma (1) vormist järeldub, et s.o. 1. tüüpi kõverjoonelise integraali väärtus ei sõltu lõimimissuunast. 2. Lineaarsus. Kui iga funktsiooni /() jaoks on kõverjooneline integraal piki kõverat ABt, siis funktsiooni a/ puhul, kus a ja /3 on suvalised konstandid, on olemas ka kõverjooneline integraal piki kõverat AB> ja 3. Liituvus . Kui kõver AB koosneb kahest tükist ja funktsiooni /(M) jaoks on kõverjooneline integraal ABU kohal, siis on integraalid 4-ga. Kui kõveral AB on 0, siis 5. Kui funktsioon on integreeritav kõveral AB , siis funktsioon || on integreeritav ka A B-l ja samal ajal b-l. Keskmine valem. Kui funktsioon / on pidev piki kõverat AB, siis sellel kõveral on punkt Mc, kus L on kõvera AB pikkus. 1.3. 1. tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine Olgu kõver AB antud parameetriliste võrranditega, kus punkt A vastab väärtusele t = kuni ja punkt B väärtusele. Eeldame, et funktsioonid) on pidevad koos nende tuletistega ja ebavõrdsus on täidetud. Seejärel arvutatakse kõvera kaare diferentsiaal Täpsemalt, kui kõver AB on antud eksplitsiitse võrrandiga pidevalt diferentseeruv [a, b] ja punkt A vastab väärtusele x = a ja punkt B - väärtus x = 6, siis, võttes parameetriks x, saame 1,4. Ruumikõverate 1. tüüpi kõverjoonelised integraalid Eespool tasapinnalise kõvera jaoks sõnastatud 1. tüüpi kõverjoonelise integraali definitsioon on sõna otseses mõttes üle antud juhul, kui funktsioon f(M) on antud mööda mõnda ruumikõverat AB. Olgu kõver AB antud parameetriliste võrranditega 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused ruumikõveratele 2. tüüpi kõverjoonelised integraalid Kõverajoonelise integraali arvutamine Omadused Seos vahel Siis saab piki seda kõverat võetud kõverjoonelise integraali taandada kindlaks integraaliks kasutades järgmine valem: Näide 2. Arvutage kõverjooneline integraal, kus L on punktis* asuvate tippudega kolmnurga kontuur (joonis 3). Aditiivsuse omaduse järgi saame arvutada iga integraali eraldi. Kuna segmendil OA on meil: , siis segmendil AN on meil, kus ja siis Joon. Lõpetuseks, Seetõttu märkige. Integraalide arvutamisel kasutasime omadust 1, mille järgi. 2. tüüpi kõverjoonelised integraalid Olgu A B sujuv või tükkhaaval sujuv orienteeritud kõver xOy tasapinnal ja vektorfunktsioon, mis on defineeritud mõnes kõverat AB sisaldavas domeenis D. Jagame kõvera AB osadeks punktidega, mille koordinaate tähistame vastavalt (joonis 4). Igal elementaarkaarel AkAk+\ võtame suvalise punkti ja teeme summa, milleks on suurima kaare pikkus. Kui summal (1) on lõplik piir, mis ei sõltu ei kõvera AB jaotusmeetodist ega punktide valikust rjk) elementaarkaaredel, siis nimetatakse seda piiri vektori 2-linna kõverjooneliseks integraaliks. funktsioon piki kõverat AB ja on tähistatud sümboliga Nii definitsiooni järgi Lause 2. Kui mõnes kõverat AB sisaldavas domeenis D on funktsioonid pidevad, siis eksisteerib 2-linna kõverjooneline integraal. Olgu punkti M(x, y) raadiuse vektor. Siis saab integrandi valemis (2) esitada vektorite F(M) ja dr skalaarkorrutisena. Seega saab kõvera AB 2. tüüpi vektorfunktsiooni integraali lühidalt kirjutada järgmiselt: 2.1. 2. tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine Olgu kõver AB määratletud parameetriliste võrranditega, kus funktsioonid on pidevad koos tuletistega segmendil ja parameetri t muutus t0-st t\-ni vastab a liikumisele. punkt piki punkti A kõverat AB punkti B. Kui mõnes piirkonnas D, mis sisaldab kõverat AB, on funktsioonid pidevad, siis taandatakse 2. tüüpi kõverjooneline integraal järgmiseks kindlaks integraaliks: Seega arvutatakse 2. tüüpi kõverjoonelise integraali saab taandada ka kindla integraali arvutamiseks. О) Näide 1. Arvutage integraal piki punkte ühendavat sirge lõiku 2) piki samu punkte ühendavat parabooli) sirge parameetri võrrand, kust Nii 2) sirge AB võrrand: Seega on vaadeldav näide, et väärtus 2. tüüpi kõvera integraal sõltub üldiselt integratsioonitee kujust. 2.2. 2. tüüpi kõverjoonelise integraali omadused 1. Lineaarsus. Kui ruumikõverate jaoks on olemas 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused 2. tüüpi kõverjoonelised integraalid Kõverajoonelise integraali arvutamine Omadused Seos mis tahes reaalse a ja /5 vahel on integraal, kus 2. Additenost. Kui kõver AB on jagatud osadeks AC ja SB ning on olemas kõverjooneline integraal, siis on olemas ka 2. tüüpi kõverjoonelise integraali füüsikalise tõlgenduse viimane omadus looduslikud võrrandid F mööda teatud rada: kui liikumissuund piki kõverat muutub, muutub jõuvälja töö mööda seda kõverat märki vastupidiseks. 2.3. Seos 1. ja 2. tüüpi kõverjooneliste integraalide vahel Vaatleme 2. tüüpi kõverjoonelist integraali, kus orienteeritud kõver AB (A on alguspunkt, B on lõpp-punkt) on antud vektorvõrrandiga (siin I on kõverjoone pikkus). kõver mõõdetuna suunas, kuhu AB kõver on orienteeritud) (joonis 6). Siis dr või kus r = m(1) - ühikvektor kõvera AB puutuja punktis M(1). Seejärel Pange tähele, et selle valemi viimane integraal on 1. tüüpi kõverjooneline integraal. Kui kõvera AB orientatsioon muutub, asendatakse puutuja r ühikvektor vastupidise vektoriga (-r), mis toob kaasa selle integrandi märgi ja seega ka integraali enda märgi muutumise.