Kako pronaći djelitelj geometrijske progresije. Pojam geometrijske progresije

Geometrijska progresija, uz aritmetiku, je važna serije brojeva, koji se proučava u školski tečaj algebre u 9. razredu. U ovom ćemo članku pogledati nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na njezina svojstva.

Definicija geometrijske progresije

Prvo, definirajmo ovo serije brojeva. Takav niz naziva se geometrijska progresija racionalni brojevi, koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa sa stalni broj, naziva nazivnik.

Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožite 3 (prvi element) sa 2, dobit ćete 6. Ako pomnožite 6 sa 2, dobit ćete 12, i tako dalje.

Članovi niza koji se razmatra obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.

Gornja definicija progresije može se matematičkim jezikom napisati na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, tada je b1-1 = 1, i dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, onda je an = b * a1 i opet dolazimo do definicije dotičnog niza brojeva. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.

Nazivnik geometrijske progresije

Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:

• b > 1. Postoji sve veći niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će cijeli niz rasti samo u apsolutnoj vrijednosti, ali se smanjuje ovisno o predznaku brojeva.
• b = 1. Često se ovaj slučaj ne naziva progresijom, budući da postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.

Formula za iznos

Prije nego što prijeđemo na razmatranje konkretnih problema koristeći nazivnik vrste progresije koja se razmatra, potrebno je dati važna formula za zbroj njegovih prvih n elemenata. Formula izgleda ovako: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da biste pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.

Beskonačno padajući niz

Gore je objašnjeno što je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1, kada se podigne na veliki stupnjevi teži nuli, odnosno b∞ => 0 ako je -1

Kako će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.

Pogledajmo sada nekoliko zadataka gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na konkretnim brojevima.

Zadatak br. 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja

Za dana geometrijska progresija, nazivnik progresije je 2, a njen prvi element je 3. Čemu će biti jednak njen 7. i 10. član, a koliki je zbroj njenih sedam početnih elemenata?

Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, za izračunavanje elementa broj n koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.

Upotrijebimo dobro poznatu formulu za zbroj i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Zadatak br. 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije

Neka -2 bude jednako nazivniku geometrijske progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do uključivo 10. elementa ovog niza.

Postavljeni problem ne može se riješiti izravno pomoću poznate formule. Može se riješiti na 2 načina razne metode. Radi cjelovitosti prikaza teme donosimo obje.

Metoda 1. Ideja je jednostavna: morate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim od jednog oduzeti drugi. Izračunavamo manji iznos: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veći zbroj: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu zbrojena samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u iznos koji treba izračunati prema uvjetima problema. Na kraju, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između m i n članova predmetnog niza. Radimo potpuno isto kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom iznosa. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti u dobiveni izraz poznati brojevi i izračunajte konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Zadatak br. 3. Što je nazivnik?

Neka je a1 = 2, nađi nazivnik geometrijske progresije, uz uvjet da je njegov beskonačni zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.

Na temelju uvjeta problema nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za beskonačno opadajući zbroj progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje samo zamjena poznate vrijednosti i dobijemo traženi broj: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ili -0,333(3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza modul b ne bi trebao prelaziti 1. Kao što se može vidjeti, |-1 / 3|

Zadatak br. 4. Obnavljanje niza brojeva

Neka su dana 2 elementa niza brojeva, npr. 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Iz tih podataka potrebno je rekonstruirati cijeli niz, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.

Da biste riješili zadatak, morate prvo zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati pojam. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada podijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo nazivnik uzimajući peti korijen omjera članova poznatih iz izjave problema, b = 1,148698. Zamijenimo dobiveni broj u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Tako smo pronašli nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.

Gdje se koriste geometrijske progresije?

Kad ne bi bilo praktične primjene ovog niza brojeva, njegovo bi se proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali takva aplikacija postoji.

Ispod su 3 najpoznatija primjera:

• Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahilej ne može sustići sporu kornjaču, riješen je pomoću koncepta beskonačno padajućeg niza brojeva.
• Ako zrna pšenice stavite na svako polje šahovske ploče tako da na 1. polje stavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3 i tako dalje, tada će vam za popunjavanje svih polja na ploči trebati 18446744073709551615 zrna!
• U igrici "Tower of Hanoi" za pomicanje diskova s ​​jedne šipke na drugu potrebno je izvršiti 2n - 1 operacija, odnosno njihov broj eksponencijalno raste s brojem n upotrijebljenih diskova.

Ako za svaki prirodni broj n odgovarati pravi broj a n , onda kažu da se daje niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, niz brojeva je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti pojam sekvence , A prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 član niza a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste definirali niz, trebate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se slijed navodi pomoću n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , zatim prvih sedam članova niz brojeva instalirajte na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno ako ima konačni brojčlanova. Niz se zove beskrajan , ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove smanjujući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rastući niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — silazni niz. ◄

Naziva se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - određeni broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za definiranje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n th član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja jednako razmaknutih članova te aritmetičke progresije.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi sljedeća jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova i broja članova:

Odavde, posebice, slijedi da ako trebate zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dano aritmetička progresija, zatim količine a 1 , a n, d, n IS n povezan s dvije formule:

Stoga, ako značenja tri navedenih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz tih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• Ako d > 0 , tada se povećava;
• Ako d < 0 , tada se smanjuje;
• Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - određeni broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za definiranje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n Taj se član može pronaći pomoću formule:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

Dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje željenu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n Član geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni član b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

Za b 5 može se zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za svaku geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n I S n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija izmjenična: njezini članovi s neparnim brojevima imaju isti predznak kao prvi član, a članovi s parnim brojevima imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati pomoću formule:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija zove se beskonačna geometrijska progresija čiji je nazivnik modula manji 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Odgovara prilici

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je izmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem se neograničeno približava zbroj prvih n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

upute

10, 30, 90, 270...

Morate pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Riješenje:

Opcija 1. Uzmimo proizvoljan član progresije (na primjer 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.

Ako je poznat zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova opadajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbroj prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.

Prvi član padajuće geometrijske progresije jednako jedan, a zbroj svih njegovih članova jednak je dva.

Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Riješenje:

Zamijenite podatke iz zadatka u formulu. Ispostavit će se:
2=1/(1-q), odakle – q=1/2.

Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s određenim brojem q koji se naziva nazivnik progresije.

upute

Ako su poznata dva susjedna geometrijska člana b(n+1) i b(n), da biste dobili nazivnik, morate broj s većim podijeliti s onim koji mu prethodi: q=b(n+1)/b (n). To proizlazi iz definicije progresije i njezina nazivnika. Važan uvjet je nejednakost prvog člana i nazivnika progresije na nulu, inače se smatra neodređenim.

Tako se između članova progresije uspostavljaju sljedeći odnosi: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Pomoću formule b(n)=b1 q^(n-1) može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojem su poznati nazivnik q i član b1. Također, svaka od progresija jednaka je po modulu prosjeku svojih susjednih članova: |b(n)|=√, gdje je progresija dobila svoj .

Analog geometrijske progresije je najjednostavniji eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x eksponent, a je određeni broj. U ovom slučaju, nazivnik progresije podudara se s prvim članom i jednak broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti pojam progresiju ako se za argument x uzme prirodan broj n (brojač).

Postoji za zbroj prvih n članova geometrijske progresije: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ova formula vrijedi za q≠1. Ako je q=1, tada se zbroj prvih n članova izračunava formulom S(n)=n b1. Usput, progresija će se zvati rastuća kada je q veći od jedan i b1 je pozitivan. Ako nazivnik progresije ne premašuje apsolutnu vrijednost jedan, progresiju ćemo zvati opadajućom.

Poseban slučaj geometrijska progresija – beskonačno padajuća geometrijska progresija (b.u.g.p.). Činjenica je da će se članovi opadajuće geometrijske progresije uvijek iznova smanjivati, ali nikada neće doći do nule. Unatoč tome, moguće je pronaći zbroj svih članova takve progresije. Određuje se formulom S=b1/(1-q). Ukupno n članova je beskonačno.

Da biste vizualizirali kako možete zbrajati beskonačan broj brojeva, a da ne dobijete beskonačnost, ispecite kolač. Odrežite pola. Zatim odrežite 1/2 polovine i tako dalje. Dijelovi koje ćete dobiti nisu ništa drugo nego članovi beskonačno padajuće geometrijske progresije s nazivnikom 1/2. Ako zbrojite sve te komade, dobit ćete originalnu tortu.

Geometrijski problemi su posebna sorta vježbe koje zahtijevaju prostorno razmišljanje. Ako ne možete riješiti geometrijski zadatak, pokušajte slijediti pravila u nastavku.

upute

Pažljivo pročitajte uvjete zadatka; ako se nečega ne sjećate ili ne razumijete, ponovno pročitajte.

Pokušajte odrediti koju vrstu geometrijski problemi to su npr.: računski, kada treba saznati neku vrijednost, zadaci na , koji zahtijevaju logički lanac zaključivanja, zadaci o konstrukciji pomoću šestara i ravnala. Više zadataka mješoviti tip. Nakon što ste shvatili vrstu problema, pokušajte razmišljati logično.

Primijenite potreban teorem za zadani zadatak, ali ako imate nedoumica ili uopće nema opcija, pokušajte se sjetiti teorije koju ste učili o relevantnoj temi.

Također zapišite rješenje problema u obliku nacrta. Pokušajte se prijaviti poznate metode provjeravajući ispravnost vaše odluke.

Pažljivo ispunite rješenje zadatka u svojoj bilježnici, bez brisanja i precrtavanja, a što je najvažnije - možda će trebati vremena i truda za rješavanje prvih geometrijskih zadataka. Međutim, čim svladate ovaj proces, počet ćete klikati zadatke poput oraha, uživati ​​u tome!

Geometrijska progresija je niz brojeva b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) takav da je b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Drugim riječima, svaki član progresije dobiva se iz prethodnog množenjem s nekim nazivnikom progresije q koji nije nula.

upute

Problemi progresije se najčešće rješavaju tako da se sastavi i zatim prati sustav s obzirom na prvi član progresije b1 i nazivnik progresije q. Za izradu jednadžbi korisno je zapamtiti neke formule.

Kako izraziti n-ti član progresije kroz prvi član progresije i nazivnik progresije: b(n)=b1*q^(n-1).

Razmotrimo posebno slučaj |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Razmotrimo određenu seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg njegovog elementa točno četiri puta veća od prethodnog. To znači da je ova serija progresija.

Geometrijska progresija je beskonačni niz brojeva čija je glavna značajka da se sljedeći broj dobiva iz prethodnog množenjem s određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z ·q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Razdoblje kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći razumjeti koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na temelju ove formule, nazivnik progresije može se pronaći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, morate posljednji pomnožiti s q.

Da biste postavili ovu progresiju, morate navesti njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih članova i njihov zbroj.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko vrsta:

• Ako su i a 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer toga prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako je |q| manji od jedan, to jest, množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima padajuća geometrijska progresija. Primjer toga prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veće od jedan, q je manje.

Tada se niz brojeva može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.

• Izmjenični znak. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3, q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Postoje mnoge formule za prikladnu upotrebu geometrijskih progresija:

• Z-term formula. Omogućuje vam izračunavanje elementa pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je prebrojati četvrti element progresije.

Riješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata čija je količina jednaka z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednako 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz brojeva koji se beskonačno ponavljaju.

Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S5.

Riješenje:S 5 = 22 - izračun pomoću formule.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Riješenje:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neka svojstva:

• Karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet radi za bilo kojiz, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja u geometrijskoj progresiji nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od tog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Gdjet- udaljenost između ovih brojeva.

• Elementirazlikuju se u qjednom.
• Logaritmi elemenata progresije također čine progresiju, ali aritmetičku, odnosno svaki od njih veći je od prethodnog za određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjima za razred 9.

• Uvjeti:a 1 = 3, a 3 = 48. Pronađiteq.

Rješenje: svaki sljedeći element veći je od prethodnog uq jednom.Potrebno je izraziti neke elemente preko drugih pomoću nazivnika.

Stoga,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Uvjeti:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6.

Riješenje:Da biste to učinili, samo pronađite q, prvi element i zamijenite ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , stoga,q= 2

a 2 = q · a 1,Zato a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: za to je dovoljno četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

• Bankovni klijent položio je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, pod čijim se uvjetima svake godine klijentu dodaje 6% iznosa glavnice. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: početni iznos je 10 tisuća rubalja. To znači da će godinu dana nakon ulaganja na računu biti iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Sukladno tome, iznos na računu nakon još godinu dana bit će izražen na sljedeći način:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je dan prvim elementom jednakim 10 tisuća i nazivnikom jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri problema izračuna zbroja:

Geometrijska progresija se koristi u raznim problemima. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS 5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih treba zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

Riješenje:

U geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno za izračunavanje zbroja potrebno je znati elementa 1 i nazivnikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, trebate pronaćia 1 , znajućia 2 Iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

NUMERIČKI NIZOVI VI

§ l48. Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije

Do sada, kada govorimo o zbrojevima, uvijek smo pretpostavljali da je broj članova u tim zbrojevima konačan (na primjer, 2, 15, 1000 itd.). Ali kada se rješavaju neki problemi (osobito više matematike) mora se raditi sa zbrojevima beskonačnog broja članova

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Koji su to iznosi? A-priorat zbroj beskonačnog broja članova a 1 , a 2 , ..., a n , ... zove se limit sume S n prvi P brojevi kada P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Granica (2), naravno, može, ali i ne mora postojati. Prema tome, kažu da zbroj (1) postoji ili ne postoji.

Kako možemo saznati postoji li suma (1) u svakom konkretnom slučaju? Općenito rješenje ovog problema daleko nadilazi opseg našeg programa. Međutim, postoji jedan važan poseban slučaj koji sada moramo razmotriti. Govorit ćemo o zbrajanju članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Neka a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je beskonačno padajuća geometrijska progresija. To znači da | q |< 1. Сумма первых P uvjeti ove progresije su jednaki

Iz osnovnih teorema o granicama varijabli (vidi § 136) dobivamo:

Ali 1 = 1, a qn = 0. Prema tome

Dakle, zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije jednak je prvom članu ove progresije podijeljen s jedan minus nazivnik ove progresije.

1) Zbroj geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... jednak je

a zbroj geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3/2 , ... jednako

2) Pretvorite jednostavni periodični razlomak 0,454545 ... u obični.

Da biste riješili ovaj problem, zamislite ovaj razlomak kao beskonačnu sumu:

Desna strana ove jednakosti je zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije, čiji je prvi član jednak 45/100, a nazivnik je 1/100. Zato

Korištenjem opisane metode može se dobiti opće pravilo za pretvaranje prostih periodičnih razlomaka u obične razlomke (vidi II. poglavlje, § 38):

Za pretvaranje jednostavnog periodičnog razlomka u obični razlomak, potrebno je učiniti sljedeće: u brojnik staviti period decimalnog razlomka, au nazivnik - broj koji se sastoji od devetki uzetih onoliko puta koliko ima znamenki u razdoblju decimalnog razlomka.

3) Pretvorite mješoviti periodički razlomak 0,58333 .... u obični razlomak.

Zamislimo ovaj razlomak kao beskonačnu sumu:

Na desnoj strani te jednakosti svi članovi, počevši od 3/1000, tvore beskonačno padajuću geometrijsku progresiju, čiji je prvi član jednak 3/1000, a nazivnik 1/10. Zato

Korištenjem opisane metode može se dobiti opće pravilo za pretvaranje mješovitih periodičnih razlomaka u obične razlomke (vidi II. poglavlje, § 38). Namjerno ga ovdje ne predstavljamo. Nema potrebe zapamtiti ovo glomazno pravilo. Mnogo je korisnije znati da se svaki mješoviti periodički razlomak može prikazati kao zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije i određenog broja. I formula

za zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije, morate se, naravno, sjetiti.

Kao vježbu predlažemo da, uz dolje navedene zadatke br. 995-1000, još jednom pogledate zadatak br. 301 § 38.

Vježbe

995. Kako se zove zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije?

996. Odredi zbrojeve beskonačno opadajućih geometrijskih progresija:

997. Kod kojih vrijednosti x napredovanje

da li beskonačno opada? Nađite zbroj takve progresije.

998. U jednakostraničnom trokutu sa stranicom A upisuje se novi trokut spajanjem središta njegovih stranica; u taj se trokut na isti način upisuje novi trokut i tako u nedogled.

a) zbroj opsega svih tih trokuta;

b) zbroj njihovih površina.

999. Kvadrat sa stranicom A upisuje se novi kvadrat spajanjem središta njegovih stranica; kvadrat je upisan u ovaj kvadrat na isti način, i tako dalje ad infinitum. Odredite zbroj opsega svih tih kvadrata i zbroj njihovih površina.

1000. Sastavite beskonačno padajuću geometrijsku progresiju tako da je njezin zbroj jednak 25/4, a zbroj kvadrata njegovih članova jednak 625/24.