Trokut je primitivni poligon omeđen na ravnini s tri točke i tri segmenta koji povezuju te točke u parovima. Kutovi u trokutu su oštar, tupi i pravi. Zbroj kutova u trokutu je kontinuiran i jednak je 180 stupnjeva.

Trebat će vam

• Osnovna znanja iz geometrije i trigonometrije.

Uputa

1. Označimo duljine stranica trokuta a=2, b=3, c=4 i njegove kutove u, v, w, od kojih svaki leži na suprotnoj strani jedne strane. Prema zakonu kosinusa, kvadrat duljine stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata duljina druge 2 stranice minus dvostruki umnožak ovih stranica za kosinus kuta između njih. To jest, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u). Zamjenjujemo duljine stranica u ovaj izraz i dobivamo: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u).

2. Izrazimo cos(u) iz dobivene jednakosti. Dobivamo sljedeće: cos(u) = 7/8. Zatim nalazimo stvarni kut u. Da bismo to učinili, izračunavamo arccos(7/8). To jest, kut u = arccos(7/8).

3. Slično, izražavajući druge strane u terminima ostatka, nalazimo preostale kutove.

Bilješka!
Vrijednost jednog kuta ne može biti veća od 180 stupnjeva. Znak arccos() ne može sadržavati broj veći od 1 i manji od -1.

Koristan savjet
Da bi se otkrila sva tri kuta, nije potrebno izraziti sve tri strane, dopušteno je detektirati samo 2 kuta, a treći se može dobiti oduzimanjem vrijednosti preostalih 2 od 180 stupnjeva. To proizlazi iz činjenice da je zbroj svih kutova trokuta kontinuiran i jednak 180 stupnjeva.

U geometriji, kut je lik kojeg čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke (vrh kuta). Najčešće se kutovi mjere u stupnjevima, s punim kutom, odnosno okretanjem, jednakim 360 stupnjeva. Kut poligona možete izračunati ako znate vrstu poligona i veličinu njegovih ostalih kutova ili, u slučaju pravokutnog trokuta, duljinu dviju njegovih stranica.

Koraci

Izračunavanje uglova poligona

Izbrojite broj uglova u poligonu.

Pronađite zbroj svih kutova poligona. Formula za pronalaženje zbroja svih unutarnjih kutova poligona je (n - 2) x 180, gdje je n broj stranica i kutova poligona. Ovdje su zbrojevi kutova nekih uobičajenih poligona:

• Zbroj kutova trokuta (trostranog mnogokuta) je 180 stupnjeva.
• Zbroj kutova četverokuta (četverostranog mnogokuta) je 360 ​​stupnjeva.
• Zbroj kutova peterokuta (petostranog poligona) je 540 stupnjeva.
• Zbroj kutova šesterokuta (šestostranog poligona) je 720 stupnjeva.
• Zbroj kutova osmerokuta (osmerokutnog poligona) je 1080 stupnjeva.

1. Odrediti je li poligon pravilan. Pravilan mnogokut je onaj u kojem su sve strane i svi kutovi međusobno jednaki. Primjeri pravilnih poligona su jednakostranični trokut i kvadrat, dok je zgrada Pentagona u Washingtonu DC izgrađena u obliku pravilnog peterokuta, a znak stop je u obliku pravilnog osmerokuta.

   Dodajte poznate kutove poligona, a zatim oduzmite taj zbroj od ukupnog zbroja svih njegovih kutova. Većina geometrijskih problema ove vrste odnosi se na trokute ili četverokute, budući da zahtijevaju manje unosa, pa ćemo i mi učiniti isto.

   • Ako su dva kuta trokuta 60 stupnjeva, odnosno 80 stupnjeva, zbrojite te brojeve. Dobiti 140 stupnjeva. Zatim oduzmite ovaj zbroj od ukupnog zbroja svih kutova trokuta, tj. od 180 stupnjeva: 180 - 140 = 40 stupnjeva. (Trokut, čiji su svi kutovi međusobno nejednaki, naziva se nejednakostraničan.)
   • Ovo rješenje možete zapisati kao a = 180 - (b + c), gdje je a kut koji želite pronaći, b i c su poznati kutovi. Za poligone s više od tri strane zamijenite 180 zbrojem kutova zadane vrste poligona i dodajte po jedan član zbroju u zagradama za svaki poznati kut.
   • Neki poligoni imaju svoje "trikove" koji će vam pomoći da izračunate nepoznati kut. Na primjer, jednakokračni trokut je trokut s dvije jednake stranice i dva jednaka kuta. Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice i suprotni kutovi jednaki.

   Izračunavanje kutova pravokutnog trokuta

   1. Odredite koje podatke znate. Pravokutni trokut naziva se tako jer mu je jedan od kutova pravi. Možete pronaći vrijednost jednog od dva preostala kuta ako znate jednu od sljedećih vrijednosti:

      Odredite koju trigonometrijsku funkciju koristiti. Trigonometrijske funkcije izražavaju omjere dviju od tri strane trokuta. Postoji šest trigonometrijskih funkcija, ali sljedeće su najčešće korištene:

U životu se često moramo susresti s problemima iz matematike: u školi, na fakultetu, a onda pomažemo djetetu oko zadaće. Ljudi određenih profesija svakodnevno će se susresti s matematikom. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti matematička pravila. U ovom članku analizirat ćemo jedan od njih: pronalaženje kraka pravokutnog trokuta.

Što je pravokutni trokut

Prvo, sjetimo se što je pravokutni trokut. Pravokutni trokut je geometrijski lik od tri segmenta koji spajaju točke koje ne leže na istoj pravoj crti, a jedan od kutova ovog lika je 90 stupnjeva. Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se katetama, a strana koja leži nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Postoji nekoliko načina da saznate duljinu noge. Želio bih ih detaljnije razmotriti.

Pitagorin teorem za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Ako znamo hipotenuzu i katet, onda možemo pronaći duljinu nepoznate katete pomoću Pitagorinog teorema. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b su katete. Transformiramo formulu i dobijemo: a²=c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a katet 3 cm. Transformiramo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim odlučujemo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrijski odnosi za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također je moguće pronaći nepoznatu nogu ako su poznate bilo koja druga stranica i bilo koji oštar kut pravokutnog trokuta. Postoje četiri opcije za pronalaženje kraka pomoću trigonometrijskih funkcija: po sinusima, kosinusima, tangentima, kotangensima. Za rješavanje problema pomoći će nam donja tablica. Razmotrimo ove opcije.

Pomoću sinusa pronađite katet pravokutnog trokuta

Sinus kuta (sin) je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. Formula: sin \u003d a / c, gdje je a krak nasuprot zadanom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobivamo: a=sin*c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, a kut A je 30 stupnjeva. Prema tablici izračunavamo sinus kuta A, jednak je 1/2. Zatim pomoću transformirane formule rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta pomoću kosinusa

Kosinus kuta (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos \u003d b / c, gdje je b krak uz zadani kut, a c je hipotenuza. Transformirajmo formulu i dobijemo: b=cos*c.

Primjer. Kut A je 60 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm Prema tablici izračunavamo kosinus kuta A, jednak je 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Pomoću tangente pronađite katet pravokutnog trokuta

Tangens kuta (tg) je omjer suprotne noge i susjedne. Formula: tg \u003d a / b, gdje je a noga nasuprot kutu, a b susjedna. Transformirajmo formulu i dobijemo: a=tg*b.

Primjer. Kut A je 45 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm Prema tablici računamo tangentu kuta A, jednaka je Riješi: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Pomoću kotangensa pronađite katet pravokutnog trokuta

Kotangens kuta (ctg) je omjer susjednog kraka i suprotnog kraka. Formula: ctg \u003d b / a, gdje je b noga koja se nalazi uz kut, a suprotna je. Drugim riječima, kotangens je "obrnuta tangenta". Dobivamo: b=ctg*a.

Primjer. Kut A je 30 stupnjeva, suprotni krak 5 cm Prema tablici tangenta kuta A je √3. Izračunajte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.

U geometriji se često javljaju problemi vezani uz stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su druge dvije poznate.

Trokuti su jednakokračni, jednakostranični i jednakostranični. Od sve raznolikosti, za prvi primjer, odabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od kutova je 90 °, stranice koje su uz njega zovu se noge, a treći hipotenuza).

Brza navigacija po članku

Duljina stranica pravokutnog trokuta

Rješenje problema proizlazi iz teorema velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbroj kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu njegove hipotenuze: a²+b²=c²

• Pronađite kvadrat duljine noge a;
• Nađi kvadrat kateta b;
• Sastavili smo ih;
• Iz dobivenog rezultata izvlačimo korijen drugog stupnja.

Primjer: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. To jest, duljina hipotenuze ovog trokuta je 5.

Ako trokut nema pravi kut, tada duljine dviju stranica nisu dovoljne. Za to je potreban treći parametar: to može biti kut, visina, površina trokuta, polumjer upisane kružnice itd.

Ako je poznat opseg

U ovom slučaju zadatak je još lakši. Opseg (P) je zbroj svih strana trokuta: P=a+b+c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobivamo rezultat.

Primjer: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rješavamo jednadžbu prenoseći sve poznate parametre na jednu stranu znaka jednakosti:

2) Zamijenite vrijednosti umjesto njih i izračunajte treću stranu:

c=18-7-6=5, ukupno: treća stranica trokuta je 5.

Ako je kut poznat

Za izračunavanje treće strane trokuta s obzirom na kut i druge dvije stranice, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijske jednadžbe. Poznavajući odnos stranica trokuta i sinusa kuta, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, morate kvadrirati obje strane i zbrojiti njihove rezultate. Zatim oduzmite od dobivenog proizvoda stranica, pomnoženog s kosinusom kuta: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Ako je područje poznato

U ovom slučaju, jedna formula nije dovoljna.

1) Prvo izračunamo sin γ izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Koristeći sljedeću formulu, izračunavamo kosinus istog kuta:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) I opet koristimo sinusni teorem:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednadžbu dobivamo odgovor na problem.

čije su duljine stranica (a, b, c) poznate, koristite kosinusni teorem. Ona kaže da je kvadrat duljine obje strane jednak zbroju kvadrata duljina druge dvije, od čega se oduzima dvostruki umnožak duljina istih dviju stranica i kosinusa kuta između njih. . Ovaj teorem možete koristiti za izračunavanje kuta u bilo kojem od vrhova, važno je znati samo njegov položaj u odnosu na stranice. Na primjer, da bismo pronašli kut α koji leži između stranica b i c, teorem se mora napisati na sljedeći način: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Izrazite kosinus željenog kuta iz formule: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). Primijenite inverznu kosinusnu funkciju na oba dijela jednadžbe - arc kosinus. Omogućuje vam da vratite vrijednost kuta u stupnjevima prema vrijednosti kosinusa: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Lijeva strana se može pojednostaviti i izračun kuta između stranica b i c poprimiće konačni oblik: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

Prilikom pronalaženja veličina oštrih kutova u pravokutnom trokutu, poznavanje duljina svih stranica nije potrebno, dovoljne su dvije od njih. Ako su ove dvije strane kraci (a i b), podijelite duljinu one koja leži nasuprot željenom kutu (α) s duljinom druge. Tako dobivate vrijednost tangente željenog kuta tg (α) = a / b, a primjenom inverzne funkcije - tangenta luka na oba dijela jednakosti - i pojednostavljivanjem, kao u prethodnom koraku, lijevu stranu, izvodite konačna formula: α = arctg (a / b ).

Ako su poznate stranice krak (a) i hipotenuza (c), za izračunavanje kuta (β) koji te stranice čine, upotrijebite kosinusnu funkciju i njen inverz - arc kosinus. Kosinus je određen omjerom duljine kraka i hipotenuze, a konačna formula može se napisati na sljedeći način: β = arccos(a/c). Za izračunavanje istog početnog akutnog kuta (α) koji leži nasuprot poznatog kraka, upotrijebite isti omjer, zamjenjujući arkkosinus arksinusom: α = arcsin(a/c).

Izvori:

• formula trokuta s 2 strane

Savjet 2: Kako pronaći kutove trokuta prema duljinama njegovih stranica

Postoji nekoliko opcija za pronalaženje vrijednosti svih kutova u trokutu, ako su poznate duljine njegova tri. stranke. Jedan od načina je korištenje dvije različite formule površine trokut. Da biste pojednostavili izračune, također možete primijeniti sinusni teorem i teorem o zbroju kutova trokut.

Uputa

Koristite, na primjer, dvije formule za izračun površine trokut, od kojih jedan uključuje samo tri njegova poznata stranke s (Gerona), a u drugom - dva stranke s i sinus kuta između njih. Korištenje različitih parova u drugoj formuli stranke, možete odrediti veličinu svakog od kutova trokut.

Riješite problem općenito. Heronova formula određuje površinu trokut, kao kvadratni korijen proizvoda poluperimetra (polovica svih stranke) na razlici između poluperimetra i svakog od stranke. Zamijenimo li zbroj stranke, tada se formula može napisati na sljedeći način: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C drugo stranke s područje trokut može se izraziti kao polovica umnožaka njegova dva stranke sinusom kuta između njih. Na primjer, za stranke a i b s kutom γ između njih, ova formula se može napisati na sljedeći način: S=a∗b∗sin(γ). Zamijenite lijevu stranu jednadžbe Heronovom formulom: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Izvedite iz ove jednadžbe formulu za