Kako riješiti primjere s nepravim razlomcima. Pozitivni i negativni razlomci

S razlomcima se susrećemo u životu mnogo ranije nego što počnu učiti u školi. Ako cijelu jabuku prerežete na pola, tada ćemo dobiti komad voća - ½. Izrežite ga ponovno - bit će ¼. To su razlomci. I sve je, čini se, jednostavno. Za odraslu osobu. Za dijete (i ova tema početi učiti na kraju osnovna škola) sažetak matematički pojmovi su još uvijek zastrašujuće nerazumljivi, a učitelj mora na pristupačan način objasniti što su pravi razlomak, a što nepravi, obični i decimalni, koje se operacije mogu izvoditi s njima i, što je najvažnije, zašto je sve to potrebno.

Što su razlomci

Upoznavanje sa nova tema u školi počinje običnim razlomcima. Lako ih je prepoznati po vodoravnoj liniji koja razdvaja dva broja - iznad i ispod. Gornji dio naziva se brojnik, a donji nazivnik. Postoji i pisanje nepravih i pravilnih običnih razlomaka malim slovima - kroz kosu crtu, na primjer: ½, 4/9, 384/183. Ova opcija se koristi kada je visina reda ograničena i nije moguće primijeniti "dvokatni" oblik unosa. Zašto? Da, jer je prikladnije. Malo kasnije ćemo to provjeriti.

Osim običnih, postoje i decimalni razlomci. Vrlo ih je lako razlikovati: ako se u jednom slučaju koristi vodoravna ili kosa crta, au drugom - zarez koji odvaja nizove brojeva. Pogledajmo primjer: 2.9; 163.34; 1.953. Namjerno smo upotrijebili točku i zarez kao graničnik za razdvajanje brojeva. Prvi od njih čitat će se ovako: "dva cijela, devet desetina."

Novi koncepti

Vratimo se običnim razlomcima. Ima ih dvije vrste.

Definicija pravog razlomka je sljedeća: to je razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika. Zašto je to važno? Sad ćemo vidjeti!

Imate nekoliko jabuka narezanih na polovice. Ukupno - 5 dijelova. Kako se kaže: imate jabuke "dvije i pol" ili "pet sekundi"? Naravno, prva opcija zvuči prirodnije, au razgovoru s prijateljima koristit ćemo je. Ali ako treba izračunati koliko će tko dobiti voća, ako je pet ljudi u tvrtki, zapisat ćemo broj 5/2 i podijeliti ga s 5 - s gledišta matematike, to će biti jasnije.

Dakle, za imenovanje pravih i nepravih razlomaka vrijedi pravilo: ako se u razlomku može razlikovati cijeli dio (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), onda je on netočan. Ako se to ne može učiniti, kao u slučaju ½, 13/16, 9/10, to će biti točno.

Osnovno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i nazivnik razlomka istovremeno pomnože ili podijele istim brojem, njegova se vrijednost neće promijeniti. Zamislite: tortu su izrezali na 4 jednaka dijela i dali su vam jedan. Ista torta je izrezana na osam dijelova i data su vam dva. Zar nije svejedno? Uostalom, ¼ i 2/8 su ista stvar!

Smanjenje

Autori zadataka i primjera u udžbenicima matematike često pokušavaju zbuniti učenike nudeći razlomke koji su nezgrapni za pisanje, a zapravo se mogu smanjiti. Evo primjera pravilnog razlomka: 167/334, koji, čini se, izgleda vrlo "strašno". Ali zapravo, možemo to napisati kao ½. Broj 334 djeljiv je sa 167 bez ostatka - nakon ove operacije dobivamo 2.

mješoviti brojevi

Nepravi razlomak može se prikazati kao mješoviti broj. Tada se cijeli dio pomakne naprijed i ispiše u razini vodoravne crte. Zapravo, izraz ima oblik zbroja: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 i tako dalje.

Da biste izvadili cijeli dio, morate brojnik podijeliti nazivnikom. Napiši ostatak dijeljenja iznad, iznad crte i cijeli dio ispred izraza. Tako dobivamo dva strukturna dijela: cijele jedinice + pravi razlomak.

Također možete izvesti obrnutu operaciju - za to morate pomnožiti cijeli broj s nazivnikom i dodati dobivenu vrijednost brojniku. Ništa komplicirano.

Množenje i dijeljenje

Čudno je da je množenje razlomaka lakše nego njihovo zbrajanje. Sve što je potrebno je produžiti vodoravnu liniju: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

S dijeljenjem je također sve jednostavno: trebate pomnožiti razlomke unakrsno: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Zbrajanje razlomaka

Što učiniti ako trebate izvršiti zbrajanje ili i u njihovom nazivniku različite brojeve? Neće raditi na isti način kao kod množenja - ovdje treba razumjeti definiciju pravilnog razlomka i njegovu bit. Moramo dovesti uvjete do zajednički nazivnik, odnosno na dnu obje frakcije trebao bi biti isti broj.

Da biste to učinili, trebali biste koristiti osnovno svojstvo razlomka: pomnožite oba dijela s istim brojem. Na primjer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kako odabrati na koji nazivnik dovesti pojmove? To mora biti najmanji višekratnik obaju nazivnika: za 1/3 i 1/9 to će biti 9; za ½ i 1/7 - 14, jer ne postoji manja vrijednost djeljiva sa 2 i 7 bez ostatka.

Korištenje

Što trebaš nepravi razlomci? Uostalom, mnogo je prikladnije odmah odabrati cijeli dio, dobiti mješoviti broj - i to je to! Ispada da ako trebate pomnožiti ili podijeliti dva razlomka, isplativije je koristiti pogrešne.

Uzmimo sljedeći primjer: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Čini se da se uopće nema što rezati. Ali što ako rezultat zbrajanja zapišemo u prve zagrade kao nepravi razlomak? Pogled: (37/17) / (37/68)

Sada sve dolazi na svoje mjesto! Napišimo primjer na takav način da sve postane očito: (37 * 68) / (17 * 37).

Skratimo 37 u brojniku i nazivniku, te na kraju gornji i donji dio podijelimo sa 17. Sjećate li se osnovnog pravila za prave i neprave razlomke? Možemo ih pomnožiti i podijeliti s bilo kojim brojem, sve dok to činimo za brojnik i nazivnik u isto vrijeme.

Dakle, dobili smo odgovor: 4. Primjer je izgledao komplicirano, a odgovor sadrži samo jednu znamenku. To se često događa u matematici. Glavna stvar je ne bojati se i slijediti jednostavna pravila.

Uobičajene pogreške

Prilikom vježbanja učenik lako može napraviti jednu od popularnih grešaka. Obično se javljaju zbog nepažnje, a ponekad i zbog činjenice da proučavani materijal još nije pravilno odložen u glavi.

Često zbroj brojeva u brojniku izaziva želju za smanjenjem njegovih pojedinačnih komponenti. Pretpostavimo da u primjeru: (13 + 2) / 13, napisano bez zagrada (s vodoravnom crtom), mnogi učenici zbog neiskustva precrtavaju 13 odozgo i odozdo. Ali ni u kojem slučaju to ne treba učiniti, jer jest greška! Kad bi umjesto zbrajanja stajao znak množenja, u odgovoru bismo dobili broj 2. Ali kod zbrajanja nije dopuštena operacija s jednim od članova, već samo s cijelim zbrojem.

Djeca često griješe pri dijeljenju razlomaka. Uzmimo dva pravilna nesvodiva razlomka i podijelimo jedan s drugim: (5/6) / (25/33). Učenik može zbuniti i zapisati dobiveni izraz kao (5*25) / (6*33). Ali to bi se dogodilo s množenjem, au našem slučaju sve će biti malo drugačije: (5 * 33) / (6 * 25). Smanjujemo ono što je moguće, au odgovoru ćemo vidjeti 11/10. Dobiveni nepravi razlomak zapisujemo kao decimalu - 1,1.

Zagrade

Upamtite to u bilo kojem matematički izrazi redoslijed radnji određen je prvenstvom znakova operacije i prisutnošću zagrada. Ako su ostale stvari jednake, slijed radnji se broji s lijeva na desno. To vrijedi i za razlomke - izraz u brojniku ili nazivniku izračunava se strogo prema ovom pravilu.

To je rezultat dijeljenja jednog broja s drugim. Ako se ne dijele u potpunosti, ispada djelić - to je sve.

Kako napisati razlomak na računalu

Budući da standardni alati ne dopuštaju uvijek stvaranje frakcije koja se sastoji od dva "kata", studenti ponekad idu na razne trikove. Na primjer, kopiraju brojnike i nazivnike u Paint editor i lijepe ih zajedno, povlačeći vodoravnu crtu između njih. Naravno, postoji jednostavnija opcija, koja, usput, pruža puno dodatne mogućnosti koji će vam biti od koristi u budućnosti.

Otvorite Microsoft Word. Jedna od ploča na vrhu zaslona zove se "Umetni" - kliknite je. S desne strane, na strani gdje se nalaze ikone za zatvaranje i minimiziranje prozora, nalazi se gumb Formula. To je upravo ono što nam treba!

Ako koristite ovu funkciju, na zaslonu će se pojaviti pravokutno područje u kojem možete koristiti bilo koji matematički znakovi nedostaje na tipkovnici, kao i pisanje razlomaka u klasičnom obliku. Odnosno, odvajanje brojnika i nazivnika vodoravnom crtom. Možda ćete se čak iznenaditi da je takav pravi razlomak tako lako zapisati.

Naučite matematiku

Ako ste u 5-6 razredu, uskoro će znanje matematike (uključujući sposobnost rada s razlomcima!) biti potrebno u mnogim školski predmeti. U gotovo svim problemima u fizici, pri mjerenju mase tvari u kemiji, u geometriji i trigonometriji, razlomci se ne mogu izostaviti. Uskoro ćete naučiti sve računati u svom umu, čak i bez pisanja izraza na papiru, ali sve više i više složeni primjeri. Stoga naučite što je pravi razlomak i kako s njim raditi, nastavite s tim nastavni plan i program uradi svoju zadaću na vrijeme, i onda ćeš uspjeti.

Frakcija u matematici, broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Razlomci su dio polja racionalni brojevi. Razlomci su podijeljeni u 2 formata prema načinu pisanja: obični ljubazan i decimal .

Brojnik razlomka- broj koji pokazuje broj preuzetih dionica (nalazi se na vrhu razlomka - iznad crte). Nazivnik razlomka- broj koji pokazuje na koliko je dijelova jedinica podijeljena (nalazi se ispod crte - u donjem dijelu). , zauzvrat, podijeljeni su na: ispraviti I pogrešno, mješoviti I kompozitni usko povezana s mjernim jedinicama. 1 metar sadrži 100 cm, što znači da je 1 m podijeljen na 100 jednakih dijelova. Dakle, 1 cm = 1/100 m (jedan centimetar je jednak stotinki metra).

ili 3/5 (tri petine), ovdje je 3 brojnik, 5 je nazivnik. Ako je brojnik manji od nazivnika, tada je razlomak manji od jedan i zove se ispraviti:

Ako je brojnik jednak nazivniku, razlomak je jednak jedan. Ako je brojnik veći od nazivnika, razlomak je veći od jedan. U oba nedavni slučajevi razlomak se zove pogrešno:

Da biste izolirali najveći cijeli broj koji se nalazi u nepravilnom razlomku, morate brojnik podijeliti nazivnikom. Ako se dijeljenje izvodi bez ostatka, tada je uzeti nepravi razlomak jednak kvocijentu:

Ako se dijeljenje izvodi s ostatkom, tada (nepotpuni) kvocijent daje željeni cijeli broj, ostatak postaje brojnik razlomka; nazivnik razlomljenog dijela ostaje isti.

Naziva se broj koji sadrži cijeli i razlomački dio mješoviti. Frakcija mješoviti broj može biti nepravi razlomak. Tada je moguće izdvojiti najveći cijeli broj iz razlomka i prikazati mješoviti broj na način da razlomak postane pravi razlomak (ili potpuno nestane).

Na riječ "razlomci" mnogi se naježe. Zato što se sjećam škole i zadataka koji su se rješavali iz matematike. To je bila dužnost koja se morala ispuniti. Ali što ako zadatke koji sadrže prave i neprave razlomke tretiramo kao zagonetku? Uostalom, mnogi odrasli rješavaju digitalne i japanske križaljke. Shvatite pravila i to je to. Isto ovdje. Treba se samo udubiti u teoriju - i sve će doći na svoje mjesto. A primjeri će se pretvoriti u način treniranja mozga.

Koje vrste razlomaka postoje?

Počnimo s onim što jest. Razlomak je broj koji ima neki razlomak od jedan. Može se napisati u dva oblika. Prvi se zove obični. To jest, onaj koji ima vodoravni ili kosi potez. To je jednako znaku dijeljenja.

U takvom zapisu broj iznad crtice naziva se brojnik, a ispod nje nazivnik.

Među običnim razlomcima razlikuju se pravi i krivi razlomci. Za prvi, modulo brojnik uvijek je manji od nazivnika. Krivi se tako zovu jer imaju suprotnost. Vrijednost pravilnog razlomka uvijek je manja od jedan. Dok je pogrešan uvijek veći od ovog broja.

Postoje i mješoviti brojevi, odnosno oni koji imaju cijeli i razlomački dio.

Druga vrsta zapisa je decimal. O njenom odvojenom razgovoru.

Koja je razlika između nepravih razlomaka i mješovitih brojeva?

Uglavnom, ništa. To je samo drugačija oznaka istog broja. Nepravi razlomci nakon jednostavnih radnji lako postaju mješoviti brojevi. I obrnuto.

Sve ovisi o konkretnoj situaciji. Ponekad je u zadacima prikladnije koristiti nepravilan razlomak. A ponekad ga je potrebno prevesti u mješoviti broj, a tada će se primjer vrlo lako riješiti. Dakle, što koristiti: neprave razlomke, mješovite brojeve - ovisi o zapažanju rješavača problema.

Mješoviti broj također se uspoređuje sa zbrojem cijelog i razlomljenog dijela. Štoviše, sekunda je uvijek manja od jedinice.

Kako predstaviti mješoviti broj kao nepravi razlomak?

Ako želite izvršiti neku radnju s nekoliko brojeva koji su upisani u različiti tipovi, onda ih trebate učiniti istima. Jedna metoda je predstavljanje brojeva kao nepravih razlomaka.

U tu svrhu morat ćete slijediti sljedeći algoritam:

• pomnožiti nazivnik cjelobrojnim dijelom;
• rezultatu dodajte vrijednost brojnika;
• napišite odgovor iznad crte;
• nazivnik ostaviti isti.

Evo primjera kako napisati nepravilne razlomke iz mješovitih brojeva:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Kako napisati nepravi razlomak kao mješoviti broj?

Sljedeća metoda je suprotna od gore opisane. To jest, kada se svi mješoviti brojevi zamijene nepravilnim razlomcima. Algoritam radnji bit će sljedeći:

• podijelimo brojnik nazivnikom da dobijemo ostatak;
• upišite kvocijent umjesto cijelog dijela mješovitog;
• ostatak treba staviti iznad crte;
• djelitelj će biti nazivnik.

Primjeri takve transformacije:

76/14; 76:14 = 5 s ostatkom 6; odgovor je 5 cijelih brojeva i 6/14; razlomački dio u ovom primjeru treba smanjiti za 2, dobivate 3/7; konačni odgovor je 5 cijelih 3/7.

108/54; nakon dijeljenja dobije se kvocijent 2 bez ostatka; to znači da se svi nepravi razlomci ne mogu prikazati kao mješoviti broj; odgovor je cijeli broj - 2.

Kako pretvoriti cijeli broj u nepravi razlomak?

Postoje situacije kada je takva akcija neophodna. Da biste dobili nepravilne razlomke s unaprijed određenim nazivnikom, morat ćete izvršiti sljedeći algoritam:

• pomnožiti cijeli broj željenim nazivnikom;
• napišite ovu vrijednost iznad crte;
• stavite nazivnik ispod njega.

Najjednostavnija opcija je kada je nazivnik jednako jedan. Tada nema potrebe za množenjem. Dovoljno je samo napisati cijeli broj, koji je naveden u primjeru, i staviti jedinicu ispod crte.

Primjer: Neka 5 bude nepravilan razlomak s nazivnikom 3. Nakon množenja 5 s 3, dobit ćete 15. Taj će broj biti nazivnik. Odgovor na zadatak je razlomak: 15/3.

Dva pristupa rješavanju zadataka s različitim brojevima

U primjeru je potrebno izračunati zbroj i razliku te umnožak i kvocijent dvaju brojeva: 2 cijela broja 3/5 i 14/11.

U prvom pristupu mješoviti broj bit će predstavljen kao nepravi razlomak.

Nakon izvođenja gore opisanih koraka dobit ćete sljedeću vrijednost: 13/5.

Da biste pronašli zbroj, morate razlomke pretvoriti u isti nazivnik. 13/5 pomnoženo s 11 postaje 143/55. A 14/11 nakon množenja s 5 dobit će oblik: 70/55. Za izračun zbroja potrebno je samo zbrojiti brojnike: 143 i 70, a zatim odgovor zapisati s jednim nazivnikom. 213/55 - ovaj nepravi razlomak je odgovor na problem.

Pri pronalaženju razlike ti isti brojevi se oduzimaju: 143 - 70 = 73. Odgovor je razlomak: 73/55.

Kada množite 13/5 i 14/11, ne morate svesti na zajednički nazivnik. Samo pomnožite brojnike i nazivnike u parovima. Odgovor će biti: 182/55.

Isto tako i s podjelom. Za prava odluka trebate zamijeniti dijeljenje množenjem i okrenuti djelitelj: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

U drugom pristupu Nepravi razlomak postaje mješoviti broj.

Nakon izvođenja radnji algoritma, 14/11 će se pretvoriti u mješoviti broj sa cijeli dio 1 i razlomak 3/11.

Prilikom izračunavanja zbroja potrebno je odvojeno zbrajati cijeli i razlomački dio. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konačni odgovor je 3 cijela 48/55. U prvom pristupu bio je razlomak 213/55. Ispravnost možete provjeriti pretvaranjem u mješoviti broj. Nakon dijeljenja 213 s 55, kvocijent je 3, a ostatak je 48. Lako je vidjeti da je odgovor točan.

Kod oduzimanja znak "+" zamjenjuje se znakom "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Da biste provjerili odgovor iz prethodnog pristupa, morate ga pretvoriti u mješoviti broj: 73 je podijeljeno s 55 i dobili ste kvocijent 1 i ostatak 18.

Za pronalaženje umnoška i kvocijenta nezgodno je koristiti mješovite brojeve. Ovdje se uvijek preporuča prijeći na neprave razlomke.

Ovaj članak govori o obični razlomci. Ovdje ćemo se upoznati s pojmom razlomka cjeline, što će nas dovesti do definicije običnog razlomka. Zatim ćemo se usredotočiti na prihvaćene oznake za obične razlomke i navesti primjere razlomaka, reći o brojniku i nazivniku razlomka. Nakon toga dat ćemo definicije točnih i nepravih, pozitivnih i negativnih razlomaka, te razmotriti položaj razlomaka na koordinatni snop. Zaključno, navodimo glavne akcije s razlomcima.

Navigacija po stranici.

Udjeli cjeline

Prvo predstavljamo koncept dijeljenja.

Pretpostavimo da imamo neki objekt sastavljen od nekoliko potpuno identičnih (odnosno jednakih) dijelova. Radi jasnoće, možete zamisliti, na primjer, jabuku izrezanu na nekoliko dijelova jednake dijelove, ili naranča, koja se sastoji od nekoliko jednakih kriški. Svaki od tih jednakih dijelova koji čine cijeli predmet naziva se udio cjeline ili jednostavno dionice.

Imajte na umu da su dionice različite. Objasnimo ovo. Recimo da imamo dvije jabuke. Prvu jabuku prerežemo na dva jednaka dijela, a drugu na 6 jednakih dijelova. Jasno je da će se udio prve jabuke razlikovati od udjela druge jabuke.

Ovisno o broju dionica koje čine cijeli objekt, te dionice imaju svoja imena. Analizirajmo dijeli imena. Ako se predmet sastoji od dva dijela, svaki od njih se naziva jednim drugim dijelom cijelog predmeta; ako se predmet sastoji od tri dijela, tada se bilo koji od njih naziva jedan treći dio, i tako dalje.

Otkucaj jedne sekunde ima posebno ime - pola. Jedna trećina je pozvana treći, i jedan četverostruki - četvrtina.

Radi kratkoće, sljedeće oznake dionica. Jedna druga dionica označava se kao ili 1/2, jedna trećina dionice - kao ili 1/3; jedna četvrtina udjela - like ili 1/4, i tako dalje. Imajte na umu da se oznaka s vodoravnom crtom koristi češće. Da učvrstimo gradivo, navedimo još jedan primjer: natuknica označava stotinu šezdeset i sedmu cjelinu.

Koncept udjela prirodno se proteže od objekata do veličina. Na primjer, jedna od mjera za duljinu je metar. Za mjerenje duljina manjih od jednog metra mogu se koristiti djelići metra. Tako možete koristiti, na primjer, pola metra ili desetinku ili tisućinku metra. Udjeli ostalih količina primjenjuju se na sličan način.

Obični razlomci, definicija i primjeri razlomaka

Za opis broja dionica koriste se obični razlomci. Navedimo primjer koji će nam omogućiti da se približimo definiciji običnih razlomaka.

Neka se naranča sastoji od 12 dijelova. Svaka dionica u ovom slučaju predstavlja jednu dvanaestinu cijele naranče, tj. Označimo dva otkucaja kao , tri otkucaja kao , i tako dalje, 12 otkucaja kao . Svaki od ovih unosa naziva se obični razlomak.

Sada dajmo generalku definicija običnih razlomaka.

Izražena definicija običnih razlomaka omogućuje nam da donesemo primjeri običnih razlomaka: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . A evo i zapisa ne odgovaraju glasovnoj definiciji običnih razlomaka, odnosno nisu obični razlomci.

Brojnik i nazivnik

Radi praktičnosti, u običnim razlomcima razlikujemo brojnik i nazivnik.

Definicija.

Brojnik obični razlomak (m/n) je prirodni broj m.

Definicija.

Nazivnik obični razlomak (m/n) je prirodni broj n.

Dakle, brojnik se nalazi iznad razlomka (lijevo od kose crte), a nazivnik ispod razlomka (desno od kose crte). Na primjer, uzmimo običan razlomak 17/29, brojnik tog razlomka je broj 17, a nazivnik je broj 29.

Ostaje da raspravimo značenje sadržano u brojniku i nazivniku običnog razlomka. Nazivnik ulomka pokazuje koliko se dionica sastoji od jedne stavke, a brojnik pak označava broj takvih dionica. Na primjer, nazivnik 5 razlomka 12/5 znači da se jedna stavka sastoji od pet dijelova, a brojnik 12 znači da je uzeto 12 takvih dijelova.

Prirodni broj kao razlomak s nazivnikom 1

Nazivnik običnog razlomka može biti jednak jedinici. U ovom slučaju možemo pretpostaviti da je predmet nedjeljiv, drugim riječima, nešto je cjelina. Brojnik takvog razlomka pokazuje koliko je cijelih predmeta uzeto. Tako, obični razlomak oblika m/1 ima značenje prirodnog broja m . Time smo potkrijepili jednakost m/1=m .

Prepišimo posljednju jednakost ovako: m=m/1 . Ova jednakost nam omogućuje da svaki prirodni broj m predstavimo kao običan razlomak. Na primjer, broj 4 je razlomak 4/1, a broj 103498 je razlomak 103498/1.

Tako, bilo koji prirodni broj m može se prikazati kao obični razlomak s nazivnikom 1 kao m/1, a bilo koji obični razlomak oblika m/1 može se zamijeniti prirodnim brojem m.

Crta razlomka kao znak dijeljenja

Prikaz izvornog objekta u obliku n dionica nije ništa drugo nego podjela na n jednakih dijelova. Nakon što je predmet podijeljen na n dionica, možemo je jednako podijeliti na n ljudi - svatko će dobiti jednu dionicu.

Ako inicijalno imamo m identične predmete, od kojih je svaki podijeljen na n dionica, tada možemo jednako podijeliti tih m stavki među n ljudi, dajući svakoj osobi po jednu dionicu od svake od m stavki. U ovom slučaju svaka osoba će imati m dionica 1/n, a m dionica 1/n daje obični razlomak m/n. Dakle, obični razlomak m/n može se koristiti za predstavljanje podjele m predmeta među n ljudi.

Tako smo dobili eksplicitnu vezu između običnih razlomaka i dijeljenja (vidi opću ideju dijeljenja prirodnih brojeva). Ovaj odnos se izražava na sljedeći način: Crtica razlomka može se shvatiti kao znak dijeljenja, odnosno m/n=m:n.

Uz pomoć običnog razlomka možete napisati rezultat dijeljenja dva prirodni brojevi, za koje se ne vrši cjelobrojno dijeljenje. Na primjer, rezultat dijeljenja 5 jabuka s 8 ljudi može se napisati kao 5/8, odnosno svaki će dobiti pet osmina jabuke: 5:8=5/8.

Jednaki i nejednaki obični razlomci, usporedba razlomaka

Prilično prirodna radnja je usporedba običnih razlomaka, jer je jasno da se 1/12 naranče razlikuje od 5/12, a 1/6 jabuke je ista kao i druga 1/6 ove jabuke.

Kao rezultat usporedbe dvaju običnih razlomaka dobiva se jedan od rezultata: razlomci su ili jednaki ili nejednaki. U prvom slučaju imamo jednaki obični razlomci, au drugom nejednaki obični razlomci. Dajmo definiciju jednakih i nejednakih običnih razlomaka.

Definicija.

jednak, ako je jednakost a d=b c istinita.

Definicija.

Dva obična razlomka a/b i c/d nejednak, ako jednakost a d=b c nije zadovoljena.

Evo nekoliko primjera jednakih razlomaka. Na primjer, obični razlomak 1/2 jednak je razlomku 2/4, jer je 1 4=2 2 (po potrebi pogledajte pravila i primjere množenja prirodnih brojeva). Radi jasnoće, možete zamisliti dvije identične jabuke, prva je prerezana na pola, a druga na 4 dijela. Očito je da su dvije četvrtine jabuke 1/2 dionice. Drugi primjeri jednakih običnih razlomaka su razlomci 4/7 i 36/63, te par razlomaka 81/50 i 1620/1000.

A obični razlomci 4/13 i 5/14 nisu jednaki jer je 4 14=56, a 13 5=65, odnosno 4 14≠13 5. Drugi primjer nejednakih običnih razlomaka su razlomci 17/7 i 6/4.

Ako se pri usporedbi dva obična razlomka pokaže da nisu jednaki, tada ćete možda morati otkriti koji je od ovih običnih razlomaka manje drugi, a koji više. Da bi se to saznalo, koristi se pravilo za usporedbu običnih razlomaka, čija je bit uspoređivane razlomke dovesti do zajedničkog nazivnika i potom usporediti brojnike. Detaljne informacije o ovoj temi prikupljene su u članku usporedba razlomaka: pravila, primjeri, rješenja.

Razlomački brojevi

Svaki razlomak je zapis razlomački broj. Odnosno, razlomak je samo "ljuska" frakcijskog broja, njegov izgled, a cijelo semantičko opterećenje sadržano je upravo u frakcijskom broju. Međutim, radi sažetosti i praktičnosti, koncept razlomka i razlomka se kombiniraju i jednostavno nazivaju razlomak. Ovdje je prikladno parafrazirati poznatu izreku: kažemo razlomak - mislimo razlomački broj, kažemo razlomački broj - mislimo na razlomak.

Razlomci na koordinatnoj gredi

Svi razlomački brojevi koji odgovaraju običnim razlomcima imaju svoje jedinstveno mjesto na , to jest, postoji korespondencija jedan na jedan između razlomaka i točaka koordinatne zrake.

Da bi se došlo do točke koja odgovara razlomku m / n na koordinatnoj zraci, potrebno je od ishodišta u pozitivnom smjeru odgoditi m odsječaka čija je duljina 1 / n razlomak jediničnog segmenta. Takvi se segmenti mogu dobiti dijeljenjem jednog segmenta na n jednakih dijelova, što se uvijek može učiniti pomoću šestara i ravnala.

Na primjer, pokažimo točku M na koordinatnoj zraci koja odgovara razlomku 14/10. Duljina odsječka s krajevima u točki O i točkom koja joj je najbliža, označena malom crticom, iznosi 1/10 jediničnog odsječka. Točka s koordinatom 14/10 udaljena je od ishodišta za 14 takvih segmenata.

Jednaki razlomci odgovaraju istom razlomačkom broju, tj. jednaki razlomci su koordinate iste točke na koordinatnoj zraci. Na primjer, jedna točka odgovara koordinatama 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na koordinatnoj zraci, jer su svi napisani razlomci jednaki (nalazi se na udaljenosti od polovice jediničnog segmenta, odgođenog od ishodište u pozitivnom smjeru).

Na vodoravnoj i desno usmjerenoj koordinatnoj zraci točka čija je koordinata veliki razlomak nalazi se desno od točke čija je koordinata manja frakcija. Slično, točka s manjom koordinatom nalazi se lijevo od točke s većom koordinatom.

Pravi i nepravi razlomci, definicije, primjeri

Među običnim razlomcima postoje pravi i nepravi razlomci. Ova podjela u osnovi ima usporedbu brojnika i nazivnika.

Dajmo definiciju pravih i nepravih običnih razlomaka.

Definicija.

Pravilan razlomak je običan razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika, tj. ako je m

Definicija.

Nepravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojnik veći ili jednak nazivniku, odnosno ako je m≥n, tada je obični razlomak nepravilan.

Evo nekoliko primjera pravih razlomaka: 1/4 , , 32 765/909 003 . Doista, u svakom od napisanih običnih razlomaka brojnik je manji od nazivnika (po potrebi pogledajte članak usporedba prirodnih brojeva), pa su oni po definiciji točni.

A evo i primjera nepravih razlomaka: 9/9, 23/4,. Doista, brojnik prvog od napisanih običnih razlomaka jednak je nazivniku, a kod ostalih razlomaka brojnik je veći od nazivnika.

Postoje i definicije pravih i nepravih razlomaka koje se temelje na usporedbi razlomaka s jedinicom.

Definicija.

ispraviti ako je manji od jedan.

Definicija.

Obični razlomak se zove pogrešno, ako je ili jednak jedan ili veći od 1 .

Dakle, obični razlomak 7/11 je točan, budući da je 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , i 27/27=1 .

Razmislimo o tome kako obični razlomci čiji je brojnik veći ili jednak nazivniku zaslužuju takav naziv – “pogrešni”.

Uzmimo nepravi razlomak 9/9 kao primjer. Ovaj razlomak znači da se uzima devet dijelova predmeta koji se sastoji od devet dijelova. Odnosno, od dostupnih devet dionica možemo napraviti cijeli predmet. To jest, nepravi razlomak 9/9 u biti daje cijeli objekt, to jest, 9/9=1. Općenito, nepravi razlomci s brojnikom jednakim nazivniku označavaju jedan cijeli predmet, a takav se razlomak može zamijeniti prirodnim brojem 1.

Sada razmotrite neprave razlomke 7/3 i 12/4. Sasvim je očito da od tih sedam trećina možemo napraviti dva cijela objekta (jedan cijeli objekt je 3 dionice, onda za sastavljanje dva cijela objekta treba nam 3 + 3 = 6 dionica) i dalje će ostati jedna trećina. Odnosno, nepravi razlomak 7/3 u biti znači 2 stavke pa čak i 1/3 udjela takve stavke. A od dvanaest četvrtina možemo napraviti tri cijela predmeta (tri predmeta sa po četiri dijela). Odnosno, razlomak 12/4 u biti znači 3 cijela objekta.

Razmotreni primjeri dovode nas do sljedećeg zaključka: neprave razlomke možemo zamijeniti ili prirodnim brojevima, kada se brojnik podijeli s nazivnikom (npr. 9/9=1 i 12/4=3), ili zbrojem prirodan broj i pravi razlomak, kada brojnik nije ravnomjerno djeljiv s nazivnikom (npr. 7/3=2+1/3 ). Možda upravo to nepravilni razlomci zaslužuju takav naziv - "pogrešni".

Posebno je zanimljiv prikaz nepravog razlomka kao zbroja prirodnog broja i pravog razlomka (7/3=2+1/3). Taj se proces naziva izdvajanje cijelog dijela iz nepravog razlomka i zaslužuje zasebno i pažljivije razmatranje.

Također je vrijedno napomenuti da postoji vrlo bliska veza između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva.

Pozitivni i negativni razlomci

Svaki obični razlomak odgovara pozitivnom razlomkom (vidi članak pozitivni i negativni brojevi). Odnosno, obični razlomci su pozitivni razlomci. Na primjer, obični razlomci 1/5, 56/18, 35/144 su pozitivni razlomci. Kada je potrebno naglasiti pozitivnost razlomka, ispred njega se stavlja znak plus, na primjer +3/4, +72/34.

Ako stavite znak minus ispred običnog razlomka, tada će ovaj unos odgovarati negativnom razlomku. U ovom slučaju može se govoriti o negativni razlomci. Evo nekoliko primjera negativnih razlomaka: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Pozitivni i negativni razlomci m/n i −m/n su suprotni brojevi. Na primjer, razlomci 5/7 i −5/7 su suprotni razlomci.

Pozitivni razlomci, kao i pozitivni brojevi općenito, označavaju povećanje, prihod, promjenu neke vrijednosti naviše itd. Negativni ulomci odgovaraju trošku, dugu, promjeni bilo koje vrijednosti u smjeru smanjenja. Na primjer, negativni razlomak -3/4 može se protumačiti kao dug čija je vrijednost 3/4.

Na horizontali i desno usmjereni negativni razlomci nalaze se lijevo od referentne točke. Točke koordinatnog pravca čije su koordinate pozitivni razlomak m/n i negativni razlomak −m/n nalaze se na istoj udaljenosti od ishodišta, ali na suprotnim stranama točke O .

Ovdje vrijedi spomenuti razlomke oblika 0/n. Ti razlomci su jednaki broju nula, odnosno 0/n=0 .

Pozitivni razlomci, negativni razlomci i 0/n razlomci kombiniraju se u racionalne brojeve.

Akcije s razlomcima

Jednu akciju s običnim razlomcima - uspoređivanje razlomaka - već smo razmotrili gore. Definirane su još četiri aritmetike operacije s razlomcima- zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka. Stanimo na svakom od njih.

Opća suština radnji s razlomcima slična je suštini odgovarajućih radnji s prirodnim brojevima. Povucimo analogiju.

Množenje razlomaka može se smatrati radnjom u kojoj se iz razlomka nalazi razlomak. Da pojasnimo, uzmimo primjer. Pretpostavimo da imamo 1/6 jabuke i trebamo uzeti 2/3. Dio koji nam treba je rezultat množenja razlomaka 1/6 i 2/3. Rezultat množenja dva obična razlomka je obični razlomak (koji je u konkretnom slučaju jednak prirodnom broju). Nadalje preporučujemo da proučite informacije o članku množenje razlomaka - pravila, primjeri i rješenja.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. Razred 6: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Proučavajući kraljicu svih znanosti – matematiku, svatko se u nekom trenutku suoči s razlomcima. Iako ovaj koncept (kao i same vrste razlomaka ili matematičke operacije s njima) nije nimalo težak, s njim se mora pažljivo postupati, jer će u stvarnom životu izvan škole biti vrlo koristan. Dakle, obnovimo naše znanje o razlomcima: što je to, čemu služi, koje vrste razlomaka postoje i kako napraviti razne aritmetičke operacije.

Njezino veličanstvo razlomak: što je to

Razlomci u matematici su brojevi od kojih se svaki sastoji od jednog ili više dijelova jedinice. Takvi se razlomci nazivaju i običnim ili jednostavnim. U pravilu se pišu kao dva broja, koji su odvojeni vodoravnom crtom ili kosom crtom, naziva se "frakcijski". Na primjer: ½, ¾.

Gornji ili prvi od ovih brojeva je brojnik (pokazuje koliko je razlomaka broja uzeto), a donji ili drugi je nazivnik (pokazuje na koliko je dijelova jedinica podijeljena).

Crtica razlomka zapravo funkcionira kao znak dijeljenja. Na primjer, 7:9=7/9

Tradicionalno, obični razlomci su manji od jedan. Dok decimale mogu biti veće od njega.

Čemu služe razlomci? Da, za sve, jer u stvarnom svijetu nisu svi brojevi cijeli brojevi. Na primjer, dvije učenice u kantini zajedno su kupile jednu ukusnu čokoladicu. Kad su htjeli podijeliti desert, susreli su prijateljicu i odlučili i nju počastiti. Međutim, sada je potrebno pravilno podijeliti čokoladicu, s obzirom da se sastoji od 12 kvadrata.

Djevojke su isprva htjele sve ravnomjerno podijeliti, a onda bi svaka dobila po četiri komada. No, nakon što su dobro razmislili, odlučili su svoju djevojku počastiti ne 1/3, već 1/4 čokolade. A budući da učenice nisu dobro proučavale razlomke, nisu uzele u obzir da će u takvoj situaciji kao rezultat imati 9 komada koji su vrlo loše podijeljeni na dva. Ovaj prilično jednostavan primjer pokazuje koliko je važno moći točno pronaći dio broja. Ali u životu ima još puno takvih slučajeva.

Vrste razlomaka: obični i decimalni

Svi matematički razlomci podijeljeni su u dvije velike znamenke: obične i decimalne. Značajke prvog od njih opisane su u prethodnom odlomku, pa je sada vrijedno obratiti pozornost na drugu.

Decimala je pozicioni zapis razlomka broja, koji je fiksiran slovom odvojenim zarezom, bez crtice ili kose crte. Na primjer: 0,75, 0,5.

Zapravo, decimalni razlomak je identičan običnom, međutim, njegov nazivnik je uvijek jedan iza kojeg slijede nule - otuda i njegov naziv.

Broj ispred decimalne točke je cijeli broj, a sve iza decimalne točke je razlomak. Bilo koji prosti razlomak može se pretvoriti u decimalni. Dakle, decimalni razlomci navedeni u prethodnom primjeru mogu se napisati kao obični: ¾ i ½.

Vrijedno je napomenuti da i decimalni i obični razlomci mogu biti pozitivni i negativni. Ako im prethodi znak "-", ovaj ulomak je negativan, ako je "+" - onda pozitivan.

Podvrste običnih razlomaka

Postoje takve vrste jednostavnih razlomaka.

Podvrsta decimalnog razlomka

Za razliku od jednostavnog, decimalni razlomak je podijeljen u samo 2 vrste.

• Konačna - dobila je naziv zbog činjenice da nakon decimalne točke ima ograničen (konačni) broj znamenki: 19,25.
• Beskonačni razlomak je broj s beskonačnim brojem znamenki iza decimalne točke. Na primjer, kada podijelite 10 sa 3, rezultat će biti beskonačni razlomak 3,333 ...

Zbrajanje razlomaka

Izvođenje raznih aritmetičkih manipulacija s razlomcima malo je teže nego s običnim brojevima. Međutim, ako naučite osnovna pravila, rješavanje bilo kojeg primjera s njima neće biti teško.

Na primjer: 2/3+3/4. Najmanji zajednički višekratnik za njih bit će 12, stoga je potrebno da taj broj bude u svakom nazivniku. Da bismo to učinili, pomnožimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 4, ispada 8/12, činimo isto s drugim izrazom, ali samo pomnožimo s 3 - 9/12. Sada možete jednostavno riješiti primjer: 8/12+9/12= 17/12. Dobiveni razlomak je netočna vrijednost jer je brojnik veći od nazivnika. Može se i treba pretvoriti u ispravnu mješovitu dijeljenjem 17:12 = 1 i 5/12.

Ako se zbrajaju mješoviti razlomci, prvo se radnje izvode s cijelim brojevima, a zatim s razlomcima.

Ako primjer sadrži decimalni i obični razlomak, potrebno je da oba postanu prosta, pa ih dovesti na isti nazivnik i zbrojiti. Na primjer 3,1+1/2. Broj 3.1 može se napisati kao mješoviti razlomak od 3 i 1/10, ili kao nepravilan - 31/10. Zajednički nazivnik za članove bit će 10, pa morate redom pomnožiti brojnik i nazivnik 1/2 s 5, ispada 5/10. Onda možete lako sve izračunati: 31/10+5/10=35/10. Dobiveni rezultat je nepravi kontraktibilni razlomak, dovodimo ga u normalan oblik, smanjujući ga za 5: 7/2=3 i 1/2, odnosno decimalno - 3,5.

Kod zbrajanja 2 decimale važno je da iza decimalne točke bude isti broj znamenki. Ako to nije slučaj, samo trebate dodati potreban broj nula, jer u decimalnom razlomku to se može učiniti bezbolno. Na primjer, 3,5+3,005. Da biste riješili ovaj zadatak, morate prvom broju dodati 2 nule, a zatim redom zbrajati: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Oduzimanje razlomaka

Prilikom oduzimanja razlomaka vrijedi učiniti isto kao i kod zbrajanja: svesti na zajednički nazivnik, oduzeti jedan brojnik od drugog, ako je potrebno, rezultat pretvoriti u mješoviti razlomak.

Na primjer: 16/20-5/10. Zajednički nazivnik bit će 20. Trebate dovesti drugi razlomak na ovaj nazivnik, pomnoživši oba njegova dijela s 2, dobit ćete 10/20. Sada možete riješiti primjer: 16/20-10/20= 6/20. Međutim, ovaj se rezultat odnosi na svodive razlomke, pa je vrijedno podijeliti oba dijela s 2 i rezultat je 3/10.

Množenje razlomaka

Dijeljenje i množenje razlomaka mnogo su jednostavnije operacije od zbrajanja i oduzimanja. Činjenica je da pri obavljanju ovih poslova ne treba tražiti zajednički nazivnik.

Da biste pomnožili razlomke, samo trebate naizmjenično pomnožiti oba brojnika, a zatim oba nazivnika. Smanjite dobiveni rezultat ako je razlomak smanjene vrijednosti.

Na primjer: 4/9x5/8. Nakon naizmjeničnog množenja, rezultat je 4x5/9x8=20/72. Takav se razlomak može smanjiti za 4, pa je konačni odgovor u primjeru 5/18.

Kako podijeliti razlomke

Dijeljenje razlomaka također je jednostavna radnja, zapravo se još uvijek svodi na njihovo množenje. Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, trebate okrenuti drugi i pomnožiti s prvim.

Na primjer, dijeljenje razlomaka 5/19 i 5/7. Da biste riješili primjer, trebate zamijeniti nazivnik i brojnik drugog razlomka i pomnožiti: 5/19x7/5=35/95. Rezultat se može smanjiti za 5 - ispada 7/19.

Ako trebate podijeliti razlomak s prostim brojem, tehnika je malo drugačija. U početku je vrijedno napisati ovaj broj kao nepravilan razlomak, a zatim ga podijeliti prema istoj shemi. Na primjer, 2/13:5 treba napisati kao 2/13:5/1. Sada trebate preokrenuti 5/1 i pomnožiti dobivene razlomke: 2/13x1/5= 2/65.

Ponekad morate podijeliti mješovite frakcije. S njima treba postupati kao s cijelim brojevima: pretvoriti ih u neprave razlomke, okrenuti djelitelj i sve pomnožiti. Na primjer, 8 ½: 3. Pretvaranje svega u neprave razlomke: 17/2: 3/1. Nakon toga slijedi preokret 3/1 i množenje: 17/2x1/3= 17/6. Sada biste krivi razlomak trebali prevesti u pravi - 2 cijela broja i 5/6.

Dakle, nakon što ste shvatili što su razlomci i kako s njima možete izvoditi razne aritmetičke operacije, morate pokušati ne zaboraviti na to. Na kraju krajeva, ljudi su uvijek skloniji dijeliti nešto na dijelove nego dodavati, pa to morate znati učiniti kako treba.