U crtežu s tri projekcije, dubina točke AA 2 projicira se bez izobličenja na ravnine P 1 i P 2 (Sl. 62, A). Ova nam okolnost omogućuje konstruiranje treće - frontalne projekcije točke A po njegovoj horizontali A 1 i frontalni A 2 projekcije (sl. 62, V). Da biste to učinili, morate nacrtati vodoravnu komunikacijsku liniju kroz prednju projekciju točke A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Zatim, bilo gdje na crtežu, nacrtajte os projekcije P 2 / P 3 _|_ A 2 A 3, izmjerite dubinu f točke na horizontali projekcijsko polje i postavite ga duž vodoravne spojne linije od osi projekcije P 2 / P 3. Dobivamo projekcija profila A 3 bodova A.

Dakle, u složenom crtežu koji se sastoji od tri ortogonalne projekcije točke, dvije projekcije su na istoj spojnoj liniji; komunikacijske linije su okomite na odgovarajuće osi projekcija; dvije projekcije točke u potpunosti određuju položaj njezine treće projekcije.

Treba napomenuti da u složenim crtežima, u pravilu, ravnine projekcija nisu ograničene i njihov položaj je određen osi (slika 62, c). U slučajevima kada uvjeti problema to ne zahtijevaju,

Ispada da se projekcije točaka mogu dati bez prikazivanja osi (sl. 63, a, b). Takav se sustav naziva neutemeljenim. Komunikacijske linije također se mogu nacrtati s prekidom (slika 63, b).

62.gif

Slika:

63.gif

Slika:

34. Položaj točke u trodimenzionalnom kutnom prostoru

§ 34. Položaj točke u prostoru trodimenzionalnog kuta

Položaj projekcija točaka u složenom crtežu ovisi o položaju točke u prostoru trodimenzionalnog kuta. Pogledajmo neke slučajeve:

• točka se nalazi u prostoru (vidi sliku 62). U ovom slučaju ima dubinu, visinu i širinu;
• točka se nalazi na ravnini projekcije P 1- nema visinu, P 2 - nema dubinu, Pz - nema širinu;
• točka se nalazi na osi projekcija, P 2 / P 1 nema dubinu i visinu, P 2 / P 3 nema dubinu i širinu, a P 1 / P 3 nema visinu i širinu.

35. Natjecateljski bodovi

§ 35. Natjecateljski bodovi

Dvije točke u prostoru mogu se locirati na različite načine. U zasebnom slučaju mogu se smjestiti tako da se njihove projekcije na neku projekcijsku ravninu podudaraju. Takve se točke nazivaju natječući se. Na sl. 64, A pruža se iscrpan crtež točaka A I U. Nalaze se tako da se njihove projekcije podudaraju na ravnini P 1 [A 1 == B 1]. Takve se točke nazivaju horizontalno natječu. Ako projekcije točaka A i B podudaraju na ravnini

P 2(Sl. 64, b), zovu se frontalno natječući se. A ako projekcije točaka A I U podudaraju se na ravnini P 3 [A 3 == B 3 ] (Sl. 64, c), nazivaju se profil natjecatelja.

Vidljivost na crtežu određena je konkurentskim točkama. Za horizontalno konkurentne točke bit će vidljiva ona koja ima veću visinu, za frontalno konkurentne točke bit će vidljiva ona s većom dubinom, a za profilne konkurentne točke bit će vidljiva ona s većom širinom.

64.gif

Slika:

36. Zamjena ravnina projekcija

§ 36. Zamjena ravnina projekcija

Svojstva crteža s tri projekcije točke dopuštaju korištenje njegovih vodoravnih i frontalnih projekcija za konstruiranje treće na druge ravnine projekcija koje su unesene umjesto zadanih.

Na sl. 65, A pokazna točka A a njegove projekcije su horizontalne A 1 i frontalni A 2. Prema uvjetima problema potrebno je zamijeniti ravnine P 2. Označimo novu ravninu projekcije P 4 i postavimo je okomito na P 1. Na sjecištu ravnina P 1 i P 4 dobivamo novu os P 1 / P 4 . Nova projekcija točke A 4 nalazit će se na komunikacijska linija koja prolazi kroz točku A 1 i okomito na os P 1 / P 4 .

Od novog aviona P 4 zamjenjuje ravninu frontalne projekcije P 2, vis A prikazan je jednako u punoj veličini i na ravnini P 2 i na ravnini P 4.

Ova nam okolnost omogućuje određivanje položaja projekcije A 4, u sustavu ravnina P 1 _|_ P 4(Sl. 65, b) na složenom crtežu. Da biste to učinili, dovoljno je izmjeriti visinu točke na ravnini koja se zamjenjuje

nost projekcije P 2, staviti na novi spojni pravac s nove osi projekcija - i novu projekciju točke. A 4 izgradit će se.

Ako se umjesto horizontalne ravnine projekcije uvede nova ravnina projekcije, tj. P 4 _|_ P 2 (sl. 66, A), tada će u novom sustavu ravnina nova projekcija točke biti na istoj komunikacijskoj liniji s frontalnom projekcijom, a A 2 A 4 _|_. U ovom slučaju, dubina točke je ista na ravnini P 1, i u avionu P 4. Na toj osnovi grade A 4(Sl. 66, b) na komunikacijskoj liniji A 2 A 4 na takvoj udaljenosti od nove osi P 1 / P 4 na čemu A 1 koji se nalazi od osi P 2 / P 1.

Kao što je već navedeno, izgradnja novih dodatnih projekcija uvijek je povezana s određenim zadacima. U budućnosti će se razmatrati niz metričkih i položajnih problema koji se mogu riješiti metodom zamjene ravnina projekcija. U zadacima gdje uvođenje jedne dodatne ravnine neće dati željeni rezultat, uvodi se još jedna dodatna ravnina koja se označava s P 5. Postavlja se okomito na već uvedenu ravninu P 4 (Sl. 67, a), tj. P 5 P 4 i proizvesti konstrukciju sličnu onima koje smo prethodno raspravljali. Sada se udaljenosti mjere na zamijenjenoj drugoj od glavnih ravnina projekcije (na sl. 67, b na površini P 1) i odgoditi ih na novu komunikacijsku liniju A 4 A 5, od nove osi projekcije P 5 / P 4. U novom sustavu ravnina P 4 P 5 dobiva se novi dvoprojekcijski crtež koji se sastoji od ortogonalnih projekcija A 4 i A 5 , povezani komunikacijskom linijom

Projekcijski aparati

Projekcijski uređaj (slika 1) uključuje tri projekcijske ravnine:

π 1 – horizontalna projekcijska ravnina;

π 2 – frontalna ravnina projekcija;

π 3– ravnina projekcije profila .

Ravnine projekcije su međusobno okomite ( π 1^ π 2^ π 3), a njihove sjecišne linije čine osi:

Presjek ravnina π 1 I π 2čine os 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Presjek ravnina π 1 I π 3čine os 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Presjek ravnina π 2 I π 3čine os 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Sjecište osi (OX∩OY∩OZ=0) smatra se početnom točkom (točka 0).

Budući da su ravnine i osi međusobno okomite, takav je aparat sličan Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Projekcijske ravnine dijele cijeli prostor na osam oktanata (na sl. 1 označeni su rimskim brojevima). Ravnine projekcije smatraju se neprozirnima, a gledatelj je uvijek unutra ja-ti oktant.

Ortogonalna projekcija sa središtima projekcije S 1, S 2 I S 3 odnosno za horizontalnu, frontalnu i profilnu projekcijsku ravninu.

A.

Iz projekcijskih centara S 1, S 2 I S 3 izlaze projicirane zrake l 1, l 2 I l 3 A

- A 1 A;

- A 2 – frontalna projekcija bodova A;

- A 3– profilna projekcija točke A.

Točku u prostoru karakteriziraju njezine koordinate A(x,y,z). Bodovi A x, A y I A z odnosno na osi 0X, 0Y I 0Z pokazati koordinate x, y I z bodova A. Na sl. 1 daje sve potrebne oznake i prikazuje veze između točke A prostor, njegove projekcije i koordinate.

Dijagram točaka

Da biste dobili zaplet točke A(slika 2), u aparatu za projekciju (slika 1) ravnina π 1 A 1 0X π 2. Zatim avion π 3 s točkastom projekcijom A 3, rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko osi 0Z, dok se ne poravna s ravninom π 2. Smjer rotacije ravnine π 2 I π 3 prikazano na sl. 1 strelice. U isto vrijeme ravno A 1 A x I A 2 A x 0X okomito A 1 A 2, i ravne linije A 2 A x I A 3 A x nalazit će se na zajedničkoj osi 0Z okomito A 2 A 3. U nastavku ćemo te retke zvati redom vertikalna I horizontalna komunikacijske linije.

Treba napomenuti da pri prelasku s projekcijskog aparata na dijagram projicirani objekt nestaje, ali ostaju sačuvani svi podaci o njegovom obliku, geometrijskim dimenzijama i položaju u prostoru.

A(x A, y A, z Ax A, y A I z A u sljedećem nizu (slika 2). Ovaj niz se naziva metoda konstruiranja točkastog dijagrama.

1. Osi se crtaju ortogonalno OX, OY I OZ.

2. Na osi VOL x A bodova A i dobiti položaj točke A x.

3. Kroz točku A x okomito na os VOL

A x duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A A 1 na dijagramu.

A x duž osi OZ ucrtava se brojčana vrijednost koordinate zA bodova A A 2 na dijagramu.

6. Kroz točku A 2 paralelno s osi VOL nacrtana je horizontalna komunikacijska linija. Sjecište ove linije i osi OZ dat će položaj točke A z.

7. Na horizontalnoj komunikacijskoj liniji od točke A z duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A te se odredi položaj profilne projekcije točke A 3 na dijagramu.

Karakteristike točaka

Sve točke u prostoru dijele se na točke posebnog i općeg položaja.

Točke posebnog položaja. Točke koje pripadaju projekcijskom aparatu nazivaju se točkama posebnog položaja. To uključuje točke koje pripadaju projekcijskim ravninama, osima, ishodištima i projekcijskim središtima. Karakteristične značajke pojedinih položajnih točaka su:

Metamatematički – jedna, dvije ili sve numeričke vrijednosti koordinata jednake su nuli i (ili) beskonačnosti;

Na dijagramu su dvije ili sve projekcije točke smještene na osi i (ili) u beskonačnosti.

Točke općeg položaja. U točke općeg položaja spadaju točke koje ne pripadaju projekcijskom aparatu. Na primjer, točka A na sl. 1. i 2.

U općem slučaju, numeričke vrijednosti koordinata točke karakteriziraju njezinu udaljenost od ravnine projekcije: koordinata x iz aviona π 3; Koordinirati g iz aviona π 2; Koordinirati z iz aviona π 1. Treba napomenuti da znakovi za numeričke vrijednosti koordinata označavaju smjer u kojem se točka udaljava od ravnina projekcije. Ovisno o kombinaciji predznaka za brojčane vrijednosti koordinata točke, ovisi u kojem se oktanu nalazi.

Metoda dvije slike

U praksi se uz metodu pune projekcije koristi i dvoslikovna metoda. Razlikuje se po tome što ova metoda eliminira treću projekciju objekta. Da bi se dobio aparat za projekciju metode dvije slike, ravnina projekcije profila sa svojim središtem projekcije isključena je iz aparata za puno projekciju (slika 3). Štoviše, na os 0X dodijeljena je referentna točka (točka 0 ) i iz nje okomito na os 0X u ravninama projekcija π 1 I π 2 nacrtati sjekire 0Y I 0Z odnosno.

U ovom uređaju, cijeli prostor je podijeljen u četiri kvadranta. Na sl. 3 označeni su rimskim brojevima.

Ravnine projekcije smatraju se neprozirnima, a gledatelj je uvijek unutra ja-ti kvadrant.

Razmotrimo rad uređaja na primjeru projiciranja točke A.

Iz projekcijskih centara S 1 I S 2 izlaze projicirane zrake l 1 I l 2. Ove zrake prolaze kroz točku A i sijekući se s ravninama projekcija čine njegove projekcije:

- A 1– horizontalna projekcija točke A;

- A 2– frontalna projekcija točke A.

Da biste dobili zaplet točke A(slika 4), u aparatu za projekciju (slika 3) ravnina π 1 s rezultirajućom projekcijom točke A 1 rotirati u smjeru kazaljke na satu oko osi 0X, dok se ne poravna s ravninom π 2. Smjer rotacije ravnine π 1 prikazano na sl. 3 strijele. U ovom slučaju na dijagramu točke dobivene metodom dviju slika ostaje samo jedna vertikalna komunikacijska linija A 1 A 2.

U praksi, ucrtavanje točke A(x A, y A, z A) provodi se prema numeričkim vrijednostima njegovih koordinata x A, y A I z A u sljedećem nizu (slika 4).

1. Nacrtana je os VOL i dodijeljena je referentna točka (točka 0 ).

2. Na osi VOL ucrtava se brojčana vrijednost koordinate x A bodova A i dobiti položaj točke A x.

3. Kroz točku A x okomito na os VOL povučena je vertikalna komunikacijska linija.

4. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke A x duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A te se odredi položaj horizontalne projekcije točke A 1 OY nije nacrtan, ali se pretpostavlja da se njegove pozitivne vrijednosti nalaze ispod osi VOL, a negativni su veći.

5. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke A x duž osi OZ ucrtava se brojčana vrijednost koordinate zA bodova A te se odredi položaj čeone projekcije točke A 2 na dijagramu. Treba napomenuti da je u dijagramu os OZ nije nacrtan, ali se pretpostavlja da se njegove pozitivne vrijednosti nalaze iznad osi VOL, a negativni su manji.

Natjecateljski bodovi

Točke na istoj projekcijskoj gredi nazivaju se konkurentske točke. U smjeru projicirajuće grede imaju zajedničku projekciju, t.j. njihove projekcije su identične. Karakteristična značajka konkurentskih točaka na dijagramu je identična podudarnost njihovih istoimenih projekcija. Konkurencija leži u vidljivosti ovih projekcija u odnosu na promatrača. Drugim riječima, u prostoru za promatrača jedna od točaka je vidljiva, druga nije. I, sukladno tome, na crtežu: jedna od projekcija konkurentskih točaka je vidljiva, a projekcija druge točke je nevidljiva.

Na modelu prostorne projekcije (sl. 5) iz dvije konkurentne točke A I U vidljiva točka A prema dvije karakteristike koje se međusobno nadopunjuju. Sudeći po lancu S 1 →A→B točka A bliže promatraču od točke U. I, prema tome, dalje od ravnine projekcije π 1(oni. zA > zA).

Riža. 5 sl.6

Ako je sama točka vidljiva A, tada je vidljiva i njegova projekcija A 1. U odnosu na projekciju koja se s njim podudara B 1. Radi jasnoće i, ako je potrebno, na dijagramu, nevidljive projekcije točaka obično se stavljaju u zagrade.

Uklonimo točke na modelu A I U. Njihove podudarne projekcije na ravnini će ostati π 1 a zasebne projekcije – na π 2. Ostavimo uvjetno frontalnu projekciju promatrača (⇩) koja se nalazi u središtu projekcije S 1. Zatim, duž lanca slika ⇩ → A 2 → B 2 to će se moći prosuditi zA > z B a da je sama točka vidljiva A i njegovu projekciju A 1.

Razmotrimo na sličan način konkurentske bodove S I D u izgledu u odnosu na ravninu π 2. Budući da zajednička projicirajuća greda ovih točaka l 2 paralelno s osi 0Y, zatim znak vidljivosti natjecateljskih točaka S I D određena nejednakošću y C > y D. Stoga ta točka D zatvorena točkom S a sukladno tome i projekcija točke D 2 bit će pokriven projekcijom točke C 2 na površini π 2.

Razmotrimo kako se određuje vidljivost konkurentskih točaka u složenom crtežu (slika 6).

Sudeći po podudarnim projekcijama A 1≡U 1 same točke A I U nalaze se na jednoj izbočenoj gredi paralelnoj s osi 0Z. To znači da se koordinate mogu uspoređivati zA I z B ove točke. Da bismo to učinili, koristimo ravninu frontalne projekcije s odvojenim slikama točaka. U u ovom slučaju zA > z B. Iz ovoga slijedi da je projekcija vidljiva A 1.

Bodovi C I D u složenom crtežu koji se razmatra (slika 6) također su na istoj izbočenoj gredi, ali samo paralelno s osi 0Y. Stoga, iz usporedbe y C > y D zaključujemo da je projekcija C 2 vidljiva.

Opće pravilo . Vidljivost za podudaranje projekcija konkurentskih točaka određuje se usporedbom koordinata tih točaka u smjeru zajedničke projekcijske zrake. Vidljiva je projekcija točke čija je koordinata veća. U ovom slučaju, koordinate se uspoređuju na ravnini projekcije s odvojenim slikama točaka.

U ovom ćemo članku pronaći odgovore na pitanja o tome kako napraviti projekciju točke na ravninu i kako odrediti koordinate te projekcije. U teoretskom dijelu oslonit ćemo se na pojam projekcije. Definirat ćemo pojmove i dati informacije ilustracijama. Učvrstimo stečeno znanje rješavanjem primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Projekcija, vrste projekcije

Radi lakšeg pregledavanja prostornih figura koriste se crteži koji prikazuju te figure.

Definicija 1

Projekcija figure na ravninu– crtanje prostorne figure.

Očito, postoji niz pravila koja se koriste za izradu projekcije.

Definicija 2

Projekcija– postupak konstruiranja crteža prostornog lika u ravnini pomoću pravila konstruiranja.

Ravnina projekcije- ovo je ravnina u kojoj je slika izgrađena.

Korištenje određenih pravila određuje vrstu projekcije: središnji ili paralelno.

Poseban slučaj paralelna projekcija je okomita projekcija ili ortogonalna: u geometriji se uglavnom koristi. Zbog toga se u govoru često izostavlja sam pridjev "okomit": u geometriji se jednostavno kaže "projekcija figure" i pod tim se misli na konstruiranje projekcije metodom okomitog projiciranja. U posebnim slučajevima, naravno, može se dogovoriti nešto drugo.

Primijetimo činjenicu da je projekcija figure na ravninu u biti projekcija svih točaka te figure. Dakle, da bi se mogao proučavati prostorni lik na crtežu, potrebno je dobiti osnovna vještina projicirati točku na ravninu. O čemu ćemo govoriti u nastavku.

Podsjetimo se da se u geometriji najčešće kada se govori o projekciji na ravninu misli na korištenje okomite projekcije.

Napravimo konstrukcije koje će nam omogućiti da dobijemo definiciju projekcije točke na ravninu.

Recimo da je dan trodimenzionalni prostor, au njemu se nalaze ravnina α i točka M 1 koja ne pripada ravnini α. Provucimo dana točka M 1 ravno A okomito na zadanu ravninu α. Točku presjeka pravca a i ravnine α označavamo kao H 1, ona će prema konstrukciji služiti kao osnovica okomice spuštene iz točke M 1 na ravninu α.

Ako je dana točka M 2 koja pripada zadanoj ravnini α, tada će M 2 služiti kao projekcija same sebe na ravninu α.

Definicija 3

- ovo je ili sama točka (ako pripada danoj ravnini), ili osnovica okomice spuštene iz dane točke na danu ravninu.

Određivanje koordinata projekcije točke na ravninu, primjeri

Neka su u trodimenzionalnom prostoru zadani: pravokutni koordinatni sustav O x y z, ravnina α, točka M 1 (x 1, y 1, z 1). Potrebno je pronaći koordinate projekcije točke M 1 na zadanu ravninu.

Rješenje očito slijedi iz gornje definicije projekcije točke na ravninu.

Označimo projekciju točke M 1 na ravninu α kao H 1 . Prema definiciji, H 1 je sjecišna točka zadane ravnine α i pravca a povučenog kroz točku M 1 (okomito na ravninu). Oni. Koordinate projekcije točke M1 koje su nam potrebne su koordinate točke presjeka pravca a i ravnine α.

Dakle, za pronalaženje koordinata projekcije točke na ravninu potrebno je:

Dobiti jednadžbu ravnine α (ako nije navedena). Ovdje će vam pomoći članak o vrstama jednadžbi ravnina;

Odrediti jednadžbu pravca a koji prolazi kroz točku M 1 i okomit je na ravninu α (proučiti temu o jednadžbi pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravninu);

Nađite koordinate točke presjeka pravca a i ravnine α (članak - nalaženje koordinate točke presjeka ravnine i pravca). Dobiveni podaci bit će koordinate koje su nam potrebne za projekciju točke M 1 na ravninu α.

Pogledajmo teoriju s praktičnim primjerima.

Primjer 1

Odredite koordinate projekcije točke M 1 (- 2, 4, 4) na ravninu 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Riješenje

Kao što vidimo, dana nam je jednadžba ravnine, tj. nema potrebe sastavljati ga.

Napišimo kanonske jednadžbe pravca a koji prolazi točkom M 1 i okomit je na zadanu ravninu. U tu svrhu odredimo koordinate vektora usmjeravanja pravca a. Budući da je pravac a okomit na zadanu ravninu, vektor smjera pravca a je normalni vektor ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Tako, a → = (2, - 3, 1) – vektor smjera pravca a.

Sastavimo sada kanonske jednadžbe pravca u prostoru koji prolazi točkom M 1 (- 2, 4, 4) i ima vektor smjera a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Da bismo pronašli tražene koordinate, sljedeći korak je određivanje koordinata sjecišta pravca x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 i ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . U te svrhe krećemo od kanonske jednadžbe na jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Kreirajmo sustav jednadžbi:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

I riješimo to pomoću Cramerove metode:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Dakle, tražene koordinate zadane točke M 1 na zadanoj ravnini α bit će: (0, 1, 5).

Odgovor: (0 , 1 , 5) .

Primjer 2

U pravokutni sustav koordinate O x y z trodimenzionalni prostor zadane točke A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) i M 1 (-1, -2, 5). Potrebno je pronaći koordinate projekcije M 1 na ravninu A B C

Riješenje

Najprije napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Zapišimo to parametarske jednadžbe pravac a, koji će proći kroz točku M 1 okomito na ravninu A B C. Ravnina x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ima normalni vektor s koordinatama (1, - 2, 2), t.j. vektor a → = (1, - 2, 2) – vektor smjera pravca a.

Sada, imajući koordinate točke linije M 1 i koordinate vektora smjera ove linije, pišemo parametarske jednadžbe linije u prostoru:

Zatim odredimo koordinate sjecišta ravnine x – 2 y + 2 z – 4 = 0 i pravca

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Da bismo to učinili, zamijenimo u jednadžbu ravnine:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Sada, koristeći parametarske jednadžbe x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, nalazimo vrijednosti varijabli x, y i z za λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Tako će projekcija točke M 1 na ravninu A B C imati koordinate (- 2, 0, 3).

Odgovor: (- 2 , 0 , 3) .

Zasebno se zadržimo na pitanju pronalaženja koordinata projekcije točke na koordinatne ravnine i ravnine koje su paralelne s koordinatnim ravninama.

Neka su zadane točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i koordinatne ravnine O x y, O x z i O y z. Koordinate projekcije te točke na te ravnine bit će redom: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) i (0, y 1, z 1). Razmotrimo i ravnine paralelne zadanim koordinatnim ravninama:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

A projekcije date točke M 1 na te ravnine bit će točke s koordinatama x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 i - D A, y 1, z 1.

Pokažimo kako je dobiven ovaj rezultat.

Kao primjer, definirajmo projekciju točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravninu A x + D = 0. Ostali slučajevi su slični.

Dana ravnina je paralelna s koordinatnom ravninom O y z i i → = (1, 0, 0) je njezina normalni vektor. Isti vektor služi kao vektor smjera pravca okomitog na O y z ravninu. Tada će parametarske jednadžbe pravca povučenog kroz točku M 1 i okomitog na zadanu ravninu imati oblik:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Nađimo koordinate sjecišta ovog pravca i zadane ravnine. Zamijenimo prvo jednakosti u jednadžbu A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 i dobijemo: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Zatim izračunavamo potrebne koordinate koristeći parametarske jednadžbe ravne linije s λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Odnosno, projekcija točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravninu bit će točka s koordinatama - D A, y 1, z 1.

Primjer 2

Potrebno je odrediti koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na koordinatna ravnina O x y i na ravninu 2 y - 3 = 0.

Riješenje

Koordinatna ravnina O x y će odgovarati nepotpuno opća jednadžba ravnina z = 0. Projekcija točke M 1 na ravninu z = 0 imat će koordinate (- 6, 0, 0).

Jednadžba ravnine 2 y - 3 = 0 može se napisati kao y = 3 2 2. Sada samo zapišite koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na ravninu y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Odgovor:(- 6 , 0 , 0) i - 6 , 3 2 2 , 1 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

PROJECIRANJE TOČKE NA DVIJE PROJEKCIJSKE RAVNINE

Formiranje segmenta ravne linije AA 1 može se prikazati kao rezultat kretanja točke A u bilo kojoj ravnini H (slika 84, a), a formiranje ravnine kao kretanje segmenta ravne linije AB (Sl. 84, b).

Točka - glavna geometrijski element linija i ploha, stoga proučavanje pravokutne projekcije predmeta počinje konstruiranjem pravokutnih projekcija točke.

U prostoru diedralnog kuta koji tvore dvije okomite ravnine - frontalna (vertikalna) ravnina projekcija V i vodoravna ravnina projekcija H, postavljamo točku A (slika 85, a).

Sjecište ravnina projekcija je ravna crta koja se naziva os projekcije i označava se slovom x.

V ravnina je ovdje prikazana kao pravokutnik, a H ravnina kao paralelogram. Nagnuta stranica ovog paralelograma obično je nacrtana pod kutom od 45° u odnosu na njegovu horizontalnu stranu. Duljina nagnute stranice uzima se jednakom 0,5 njezine stvarne duljine.

Iz točke A spuštaju se okomice na ravnine V i H. Točke a" i a sjecišta okomica s ravninama projekcija V i H su pravokutne projekcije točka A. Lik Aaa x a" u prostoru je pravokutnik. Stranička os tog pravokutnika u vizualnoj slici smanjena je 2 puta.

Poravnajmo H ravnine s V ravninom rotirajući V oko linije presjeka x ravnina. Rezultat je sveobuhvatan crtež točke A (Sl. 85, b)

Kako bi se pojednostavio složeni crtež, granice projekcijskih ravnina V i H nisu naznačene (slika 85, c).

Okomice povučene iz točke A na ravnine projekcija nazivaju se pravcima projekcije, a osnovice tih pravaca - točke a i a" - nazivaju se projekcijama točke A: a" je frontalna projekcija točke A, a je horizontalna projekcija točke A. točke A.

Pravac a" a naziva se okomiti pravac projekcijske veze.

Mjesto projekcije točke na složenom crtežu ovisi o položaju te točke u prostoru.

Ako točka A leži na vodoravnoj ravnini projekcija H (slika 86, a), tada se njegova vodoravna projekcija a podudara s danom točkom, a frontalna projekcija a" nalazi se na osi. Kada se točka B nalazi na frontalnoj ravnina projekcija V, njezina frontalna projekcija podudara se s tom točkom, a horizontalna projekcija leži na osi x. Horizontalna i frontalna projekcija zadane točke C, koja leži na osi x, podudaraju se s tom točkom. Složeni crtež točaka A, B i C prikazano je na slici 86, b.

PROJECIRANJE TOČKE NA TRI PROJEKCIJSKE RAVNINE

U slučajevima kada je nemoguće zamisliti oblik predmeta iz dvije projekcije, on se projicira na tri projekcijske ravnine. U ovom slučaju uvodi se ravnina projekcije profila W, okomito na ravnine V i H. Vizualni prikaz sustava triju projekcijskih ravnina dan je na sl. 87, a.

Bridovi trostranog kuta (sjecišta ravnina projekcija) nazivaju se osi projekcija i označavaju se x, y i z. Sjecište osi projekcija naziva se početak osi projekcija i označava se slovom O. Pustimo okomicu iz točke A na ravninu projekcije W i, označavajući osnovicu okomice slovom “a”, dobiti projekciju profila točke A.

Da bi se dobio složeni crtež točke A, ravnine H i W se kombiniraju s ravninom V, rotirajući ih oko osi Ox i Oz. Opsežan crtež točke A prikazan je na sl. 87, b i c.

Odsječke projiciranih pravaca iz točke A na ravnine projekcija nazivamo koordinatama točke A i označavamo ih: x A, y A i z A.

Na primjer, koordinata z A točke A, jednaka segmentu a"a x (sl. 88, a i b), je udaljenost od točke A do horizontalne ravnine projekcije H. Koordinata y točke A, jednaka segment aa x, udaljenost je od točke A do frontalne ravnine projekcija V. Koordinata x A, jednaka segmentu aa y - udaljenost od točke A do ravnine profila projekcija W.

Dakle, udaljenost između projekcije točke i osi projekcije određuje koordinate točke i ključ je za čitanje njezina složenog crteža. Iz dviju projekcija točke mogu se odrediti sve tri koordinate točke.

Ako su zadane koordinate točke A (npr. x A = 20 mm, y A = 22 mm i z A = 25 mm), tada se mogu konstruirati tri projekcije te točke.

Da biste to učinili, od ishodišta koordinata O u smjeru osi Oz, koordinata z A je položena prema gore i koordinata y A je položena dolje. Od krajeva odloženih segmenata - točke a z i a y (Sl. 88, a) - nacrtajte ravne linije paralelne s osi Ox i položite ih na segmente jednake x koordinati A. Rezultirajuće točke a" i a su frontalne i horizontalne projekcije točke A.

Koristeći dvije projekcije a" i a točke A, možete konstruirati njegovu profilnu projekciju na tri načina:

1) iz ishodišta koordinata O nacrtajte pomoćni luk s polumjerom Oa y jednakim koordinati (Sl. 87, b i c), iz dobivene točke a y1 nacrtajte ravnu liniju paralelnu s osi Oz i položite izvan segmenta jednakog z A;

2) iz točke a y nacrtajte pomoćnu ravnu liniju pod kutom od 45 ° prema osi Oy (slika 88, a), dobijete točku a y1 itd.;

3) iz ishodišta O povucite pomoćnu ravnu liniju pod kutom od 45 ° na os Oy (slika 88, b), dobijete točku a y1 itd.

Metoda projekcije temelj je teorije konstruiranja slika crteža u inženjerskoj grafici. Najčešće se koristi kada je potrebno pronaći sliku tijela u obliku njegove projekcije na ravninu ili dobiti podatke o njegovom položaju u prostoru.

upute

• U višedimenzionalnom prostoru bilo koja slika objekta na ravnini može se dobiti projekcijom. Međutim, ne treba suditi o geometrijskom obliku tijela ili o obliku najjednostavnijih slika u geometriji na temelju jedne projekcije točke. Najviše pune informacije o slici geometrijskog tijela daje nekoliko projekcija točaka. Zašto koristiti projekcije točaka tijela u najmanje dvije ravnine?
• Na primjer, potrebno je graditi projekcija točka A. Da biste to učinili, postavite dvije ravnine okomite jedna na drugu. Jedan je vodoravni, nazivajući ga horizontalnim avion a označavajući sve projekcije elemenata s indeksom 1. Druga je okomita. Nazovite ga frontalnim u skladu s tim. avion, a projekcijama elemenata dodijelimo indeks 2. Obje ove ravnine smatrajmo beskonačnima i neprozirnima. Linija njihova sjecišta postaje OX koordinatna os.
• Zatim prihvatite kao činjenicu da je prostor između ravnina projekcije uvjetno podijeljen na četvrtine. Nalazite se u prvoj četvrtini i vidite samo one linije i točke koje se nalaze u tom diedralnom području.
• Bit procesa projekcije je prolazak zrake kroz zadanu točku dok se zrake ne susretnu avion projekcije. Ova metoda zove se metoda ortogonalne projekcije. Prema njoj spustite okomicu iz točke A na horizontalnu i frontalnu ravninu. Osnovica ove okomice bit će horizontalna projekcija točke A1 ili frontalna projekcija točke A2. Tako ćete dobiti položaj ove točke u prostoru zadane ravnine projekcije.