Matematičke granice. Mrežni kalkulator

Za one koji žele naučiti kako pronaći granice, u ovom članku ćemo vam reći o tome. Nećemo ulaziti u teoriju; nastavnici je obično drže na predavanjima. Dakle, "dosadnu teoriju" trebate zabilježiti u svoje bilježnice. Ako to nije slučaj, onda možete čitati udžbenike posuđene u knjižnici. obrazovna ustanova ili na drugim internetskim izvorima.

Dakle, koncept granice je vrlo važan u proučavanju kolegija viša matematika, pogotovo kada ste suočeni s integralni račun te razumjeti vezu limesa i integrala. U trenutnom materijalu ćemo razmotriti jednostavni primjeri, kao i načine za njihovo rješavanje.

Primjeri rješenja

Primjer 1
Izračunajte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Riješenje
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Ljudi nam često šalju ova ograničenja sa zahtjevom da im pomognemo riješiti ih. Odlučili smo ih istaknuti poseban primjer i objasnite da se ta ograničenja u pravilu samo trebaju zapamtiti. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo osigurati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!
Odgovor
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Što učiniti s nesigurnošću oblika: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Primjer 3
Riješite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Riješenje
Kao i uvijek, počinjemo zamjenom vrijednosti $ x $ u izraz ispod znaka granice. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Što je sada sljedeće? Što bi se na kraju trebalo dogoditi? Budući da se radi o neizvjesnosti, ovo još nije odgovor i nastavljamo s izračunom. Budući da imamo polinom u brojnicima, faktorizirat ćemo ga pomoću formule poznate svima iz škole $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Sjećaš li se? Sjajno! Sada samo naprijed i iskoristi to uz pjesmu :) Nalazimo da je brojnik $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Nastavljamo rješavati uzimajući u obzir gornju transformaciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Odgovor
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Pomaknimo granicu u zadnja dva primjera do beskonačnosti i razmotrimo nesigurnost: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Primjer 5
Izračunajte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Riješenje
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Što uraditi? Što da napravim? Ne paničarite, jer nemoguće je moguće. Potrebno je izbaciti x i u brojniku i u nazivniku, a zatim ga smanjiti. Nakon toga pokušajte izračunati granicu. Pokušajmo... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Koristeći definiciju iz primjera 2 i zamjenjujući beskonačnost za x, dobivamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Odgovor
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritam za izračunavanje granica

Dakle, sažmimo ukratko primjere i izradimo algoritam za rješavanje granica:

Zamijenite točku x u izraz iza znaka granice. Ako se dobije određeni broj ili beskonačnost, tada je limit potpuno riješen. Inače, imamo nesigurnost: "nula podijeljeno s nulom" ili "beskonačno podijeljeno s beskonačnim" i prijeđite na sljedeće korake uputa.
Da biste eliminirali nesigurnost "nule podijeljene s nulom", trebate faktorizirati brojnik i nazivnik. Smanjite slične. Zamijenite točku x u izraz ispod znaka granice.
Ako je nesigurnost "beskonačnost podijeljena s beskonačnošću", tada izbacujemo i brojnik i nazivnik x do najvećeg stupnja. Skraćujemo X-ove. Zamjenjujemo vrijednosti x ispod granice u preostali izraz.

U ovom ste članku naučili osnove rješavanja ograničenja koja se često koriste u tečaju. Matematička analiza. Naravno, ovo nisu sve vrste zadataka koje nude ispitivači, već samo najjednostavnije granice. O drugim vrstama zadataka govorit ćemo u budućim člancima, ali prvo morate naučiti ovu lekciju kako biste krenuli naprijed. Raspravljajmo što učiniti ako postoje korijeni, stupnjevi, proučavajmo infinitezimalne ekvivalentne funkcije, divne granice, L'Hopitalovo pravilo.

Ako ne možete sami odrediti granice, nemojte paničariti. Uvijek nam je drago pomoći!

Nesigurnost vrste i vrste najčešće je nesigurnost koju je potrebno otkriti prilikom rješavanja ograničenja.

Većina Problemi ograničenja s kojima se studenti susreću sadrže upravo takve nesigurnosti. Kako bi ih se otkrilo ili, točnije, izbjegle nejasnoće, postoji nekoliko umjetnih tehnika za transformaciju vrste izraza ispod znaka granice. Te tehnike su sljedeće: dijeljenje brojnika i nazivnika po članu s najvećom potencijom varijable, množenje konjugiranim izrazom i faktorizacija za naknadno smanjivanje pomoću rješenja kvadratne jednadžbe i skraćene formule množenja.

Nesigurnost vrste

Primjer 1.

n je jednak 2. Stoga dijelimo brojnik i nazivnik član po član sa:

Komentirajte desnu stranu izraza. Strelice i brojevi pokazuju kojim razlomcima teže nakon zamjene nšto znači beskonačnost. Ovdje, kao u primjeru 2, stupanj n U nazivniku ima više nego u brojniku, zbog čega cijeli razlomak ima tendenciju da bude infiniteziman ili "super-mali".

Dobivamo odgovor: limit ove funkcije s varijablom koja teži beskonačnosti jednaka je .

Primjer 2. .

Riješenje. Ovdje je najveća snaga varijable x jednak je 1. Stoga brojnik i nazivnik dijelimo član po član s x:

Komentar napretka odluke. U brojniku zabijemo “x” ispod korijena trećeg stupnja, a kako bi njegov izvorni stupanj (1) ostao nepromijenjen, dodijelimo mu isti stupanj kao i korijenu, odnosno 3. Nema strelica niti dodatnih brojeva u ovom unosu, pa pokušajte mentalno, ali po analogiji s prethodnim primjerom odredite čemu teže izrazi u brojniku i nazivniku nakon zamjene beskonačnosti umjesto "x".

Dobili smo odgovor: granica ove funkcije s varijablom koja teži beskonačnosti jednaka je nuli.

Nesigurnost vrste

Primjer 3. Otkrijte neizvjesnost i pronađite granicu.

Riješenje. Brojnik je razlika kubova. Rastavimo ga na faktore koristeći skraćenu formulu množenja iz tečaja školska matematika:

Nazivnik sadrži kvadratni trinom koji ćemo faktorizirati rješavanjem kvadratne jednadžbe (još jednom poveznica na rješavanje kvadratnih jednadžbi):

Zapišimo izraz dobiven kao rezultat transformacija i pronađimo granicu funkcije:

Primjer 4. Otključajte neizvjesnost i pronađite granicu

Riješenje. Teorem o granici kvocijenta ovdje nije primjenjiv jer

Stoga razlomak transformiramo na identičan način: množenjem brojnika i nazivnika binomom konjugiranim na nazivnik, i smanjivanjem s x+1. Prema korolariji teorema 1 dobivamo izraz čijim rješavanjem nalazimo željenu granicu:

Primjer 5. Otključajte neizvjesnost i pronađite granicu

Riješenje. Izravna zamjena vrijednosti x= 0 V dana funkcija dovodi do neizvjesnosti oblika 0/0. Da ga otvorimo, učinimo transformacije identiteta i konačno dobivamo željeni limit:

Primjer 6. Izračunati

Riješenje: Iskoristimo teoreme o granicama

Odgovor: 11

Primjer 7. Izračunati

Riješenje: u ovom primjeru granice brojnika i nazivnika jednake su 0:

; . Dobili smo, dakle, teorem o limitu kvocijenta se ne može primijeniti.

Faktorizirajmo brojnik i nazivnik kako bismo smanjili razlomak zajedničkim faktorom koji teži nuli i time omogućili primjenu teorema 3.

Kvadratni trinom u brojniku proširujemo prema formuli, gdje su x 1 i x 2 korijeni trinoma. Nakon faktorizacije i nazivnika, smanjite razlomak za (x-2), a zatim primijenite teorem 3.

Odgovor:

Primjer 8. Izračunati

Riješenje: Kada brojnik i nazivnik teže beskonačnosti, dakle, izravnom primjenom teorema 3 dobivamo izraz , koji predstavlja nesigurnost. Da biste se riješili nesigurnosti ove vrste, trebate podijeliti brojnik i nazivnik s najvećom potencijom argumenta. U u ovom primjeru treba podijeliti sa x:

Odgovor:

Primjer 9. Izračunati

Riješenje: x 3:

Odgovor: 2

Primjer 10. Izračunati

Riješenje: Kada brojnik i nazivnik teže beskonačnosti. Podijelimo brojnik i nazivnik najvećom potencijom argumenta, tj. x 5:

Brojnik razlomka teži 1, nazivnik teži 0, dakle razlomak teži beskonačnosti.

Odgovor:

Primjer 11. Izračunati

Riješenje: Kada brojnik i nazivnik teže beskonačnosti. Podijelimo brojnik i nazivnik najvećom potencijom argumenta, tj. x 7:

Odgovor: 0

Izvedenica.

Derivacija funkcije y = f(x) u odnosu na argument x naziva se granica omjera njegovog prirasta y prema prirastu x argumenta x, kada priraštaj argumenta teži nuli: . Ako je ta granica konačna, tada funkcija y = f(x) kaže se da je diferencijabilan u točki x. Ako ta granica postoji, onda kažu da funkcija y = f(x) ima beskonačnu derivaciju u točki x.

Izvedenice osnovnog elementarne funkcije:

1. (konst)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Pravila razlikovanja:

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Riješenje: Ako se derivacija drugog člana nalazi pomoću pravila diferencijacije razlomaka, tada je prvi član složena funkcija čija se derivacija nalazi po formuli:

, Gdje , Zatim

Pri rješavanju su korištene formule: 1,2,10,a,c,d.

Odgovor:

Primjer 21. Pronađite izvod funkcije

Riješenje: oba pojma - složene funkcije, gdje je za prvi , , a za drugi , , onda

Odgovor:

Izvedene primjene.

1. Brzina i ubrzanje

Neka funkcija s(t) opisuje položaj objekt u nekom koordinatnom sustavu u trenutku t. Tada je prva derivacija funkcije s(t) trenutna ubrzati objekt:
v=s′=f′(t)
Druga derivacija funkcije s(t) predstavlja trenutnu ubrzanje objekt:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Jednadžba tangente
y−y0=f′(x0)(x−x0),
gdje su (x0,y0) koordinate tangentne točke, f′(x0) je vrijednost derivacije funkcije f(x) u tangentnoj točki.

3. Normalna jednadžba
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

gdje su (x0,y0) koordinate točke na koju je povučena normala, f′(x0) je vrijednost derivacije funkcije f(x) u ovoj točki.

4. Rastuća i opadajuća funkcija
Ako je f′(x0)>0, tada funkcija raste u točki x0. Na slici ispod funkcija raste kao x x2.
Ako je f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Ako je f′(x0)=0 ili derivacija ne postoji, tada nam ovaj kriterij ne dopušta odrediti prirodu monotonosti funkcije u točki x0.

5. Lokalni ekstremi funkcije
Funkcija f(x) ima lokalni maksimum u točki x1, ako postoji okolina točke x1 takva da za sve x iz te okoline vrijedi nejednakost f(x1)≥f(x).
Slično, funkcija f(x) ima lokalni minimum u točki x2, ako postoji okolina točke x2 takva da za sve x iz te okoline vrijedi nejednakost f(x2)≤f(x).

6. Kritične točke
Točka x0 je kritična točka funkcija f(x), ako je derivacija f′(x0) u njoj jednaka nuli ili ne postoji.

7. Prvi dovoljan znak postojanja ekstrema
Ako funkcija f(x) raste (f′(x)>0) za sve x u nekom intervalu (a,x1] i opada (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) za sve x iz intervala $

$ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

$ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Prije nego počnete rješavati, odredite vrstu vašeg problema

Upišite 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Da bi se otkrile takve nesigurnosti, potrebno je brojnik i nazivnik razlomka pomnožiti s konjugatom izraza koji sadrži korijen.

Primjer 1
Pronađite granicu s korijenom $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$
Riješenje
Zamijenite $ x \to 4 $ u funkciju sublimit: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ Dobivamo nesigurnost $ [\frac(0)(0)] $. Pomnožimo brojnik i nazivnik izrazom koji mu je konjugiran, budući da sadrži korijen: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ Koristeći formulu za razliku kvadrata $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ limit reduciramo na sljedeći oblik: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ Otvaramo zagrade u nazivniku i pojednostavljujemo ga: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ Smanjimo funkciju u limitu za $ x-4 $, imamo: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!
Odgovor
$$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$

Tip 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Granice s korijenom ove vrste, kada $ x \to \infty $ moraju se izračunati drugačije, za razliku od prethodnog slučaja. Potrebno je odrediti najveće potencije izraza brojnika i nazivnika. Zatim izvadite najviši od dva stupnja iz zagrada i skratite.

Upišite 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Ova vrsta ograničenja često se pojavljuje u dodatnim ispitnim zadacima. Uostalom, učenici često ne izračunavaju ispravno granice ove vrste. Kako riješiti granice s korijenima ove vrste? Jednostavno je. Potrebno je pomnožiti i podijeliti funkciju u limesu s njoj konjugiranim izrazom.

Primjer 3
Izračunajte granicu korijena $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$
Riješenje
Za $ x \to \infty $ u granici vidimo: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ Nakon množenja i dijeljenja njegovim konjugatom imamo granicu: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2 -3x)+x) = $$ Pojednostavimo brojnik pomoću formule razlike kvadrata: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ Nakon otvaranja zagrada i pojednostavljenja dobivamo: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ Opet zamjenjujemo $ x \to \infty $ u granicu i izračunavamo je: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$
Odgovor
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$

\početak(jednadžba) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\kraj(jednadžba)

Primjer br. 4

Pronađite $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Budući da je $\lim_(x\to 4)\lijevo(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\desno)=0$ i $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$, tada imamo posla s nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Da biste se riješili iracionalnosti koja je uzrokovala ovu neizvjesnost, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik s izrazom konjugiranim s brojnikom. ovdje neće pomoći jer će množenje s $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ dovesti do sljedećeg rezultata:

$$ \lijevo(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\desno)\lijevo(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\desno)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Kao što vidite, takvo množenje nas neće spasiti od razlike u korijenima, što uzrokuje nesigurnost $\frac(0)(0)$. Morate pomnožiti s drugim izrazom. Ovaj izraz mora biti takav da, nakon množenja njime, razlika u kubnim korijenima nestane. Ali kubni korijen može se "ukloniti" samo trećom potencijom, pa morate koristiti . Zamjenom $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$ u desnu stranu ove formule, dobivamo:

$$ \lijevo(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\desno)\lijevo(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

Dakle, nakon množenja s $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ razlika u kockasti korijeni su nestali. To je izraz $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ koji će biti konjugiran na izraz $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Vratimo se našoj granici i pomnožimo brojnik i nazivnik s izrazom konjugiranim s brojnikom $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno |=\\ =\lim_(x\do 4)\frac(\lijevo(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\desno)\lijevo(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))((16-x^2)\lijevo(\sqrt((5x -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\lijevo(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \desno)) $$

Problem je praktično riješen. Ostaje samo uzeti u obzir da je $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (vidi). Osim toga, $4x-16=4(x-4)$, tako da prepisujemo posljednju granicu u ovom obliku:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\lijevo(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\lijevo(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ desno))=\\ =-4\cdot\lim_(x\do 4)\frac(1)((x+4)\lijevo(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\lijevo(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \desno))=-\ frac(1)(24). $$

Odgovor: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Razmotrimo još jedan primjer (primjer br. 5) u ovom dijelu, gdje je primjenjiv. U osnovi, shema rješenja se ne razlikuje od prethodnih primjera, osim što će konjugirani izraz imati drugačiju strukturu. Usput, vrijedi napomenuti da u standardnim izračunima i testovima često postoje problemi gdje se, na primjer, izrazi s kubnim korijenom stavljaju u brojnik, a izrazi s kvadratnim korijenom stavljaju se u nazivnik. U ovom slučaju, morate pomnožiti i brojnik i nazivnik različitim konjugiranim izrazima. Na primjer, pri izračunavanju granice $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$ koja sadrži nesigurnost oblika $\frac(0) (0 )$, množenje će izgledati ovako:

$$ \lim_(x\do 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno|= \lim_ (x\do 8)\frac(\lijevo(\sqrt(x)-2\desno)\cdot \lijevo(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno)\cdot\lijevo (\sqrt(x+1)+3\desno))(\lijevo(\sqrt(x+1)-3\desno)\cdot\lijevo(\sqrt(x+1)+3\desno)\cdot\ lijevo(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno))=\\= \lim_(x\do 8)\frac((x-8)\cdot\lijevo(\sqrt( x+1)+3\desno))(\lijevo(x-8\desno)\cdot\lijevo(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno))= \lim_(x \do 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

O svim gore primijenjenim transformacijama već je bilo riječi ranije, pa vjerujem da ovdje nema posebnih nejasnoća. Međutim, ako rješenje vašeg sličnog primjera izazove pitanja, napišite o tome na forumu.

Primjer br. 5

Pronađite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Budući da je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ i $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, tada imamo s nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu neizvjesnost koristimo . Konjugirani izraz za brojnik ima oblik

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Množenjem brojnika i nazivnika razlomka $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ gornjim konjugiranim izrazom dobit ćemo:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno|=\\ =\ lim_(x\do 2)\frac(\lijevo(\sqrt(5x+6)-2\desno)\cdot \lijevo(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))((x^3-8)\cdot\lijevo(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\lijevo(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\lijevo(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno)) $$

Budući da $5x-10=5\cdot(x-2)$ i $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (vidi. ) , to:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\lijevo(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\lijevo(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\desno))=\\ \lim_(x\do 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\lijevo(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\lijevo(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\desno))=\frac(5)(384). $$

Odgovor: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Primjer br. 6

Pronađite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Budući da je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ i $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, tada imamo posla s neizvjesnošću $\frac(0)(0)$. U takvim situacijama, kada su izrazi ispod korijena isti, možete koristiti metodu zamjene. Potrebno je zamijeniti izraz ispod korijena (tj. $3x-5$) uvođenjem neke nove varijable. Međutim, jednostavno korištenje novog slova neće učiniti ništa. Zamislimo da smo izraz $3x-5$ jednostavno zamijenili slovom $t$. Tada će razlomak ispod granice postati: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$. Iracionalnost nije nigdje nestala, samo se donekle promijenila, što nimalo nije olakšalo zadatak.

Ovdje je prikladno zapamtiti da samo stupanj može ukloniti korijen. Ali koju biste točno diplomu trebali koristiti? Pitanje nije trivijalno, jer imamo dva korijena. Jedan je peti korijen, a drugi je treći korijen. Stupanj treba biti takav da uklanja oba korijena u isto vrijeme! Trebamo prirodni broj koji je istovremeno djeljiv sa $3$ i $5$. Postoji beskonačno mnogo takvih brojeva, ali najmanji od njih je broj $15$. On je pozvan najmanji zajednički višekratnik brojevi $3$ i $5$. A zamjena bi trebala biti ovakva: $t^(15)=3x-5$. Pogledajte što ova zamjena čini korijenima.

Teorija granica jedna je od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja limita prilično je opsežno, budući da postoje deseci metoda za rješavanje limita raznih vrsta. Postoje deseci nijansi i trikova koji vam omogućuju rješavanje ovog ili onog ograničenja. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja koja se najčešće susreću u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka povijesna pozadina. U 19. stoljeću živio je Francuz Augustin Louis Cauchy, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, posebice definiciju limita. Mora se reći da je taj isti Cauchy bio, jest i bit će u noćnim morama svih studenata fizike i matematike, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a svaki je teorem odvratniji od drugoga. U tom smislu, nećemo razmatrati strogu definiciju granice, ali ćemo pokušati učiniti dvije stvari:

1. Shvatite što je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Ispričavam se zbog nekih neznanstvenih objašnjenja, važno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je zapravo i zadatak projekta.

Dakle, koja je granica?

A samo primjer zašto čupavoj babi....

Svaki limit sastoji se od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi "X ima tendenciju na jedan." Najčešće - točno, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima mjesto jednog može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod znakom granice, u ovom slučaju .

Sama snimka glasi ovako: "granica funkcije dok x teži jedinici."

Pogledajmo sljedeće važno pitanje - što znači izraz "x"? nastoji do jednog"? I što uopće znači "nastojati"?
Koncept granice je koncept, da tako kažemo, dinamičan. Izgradimo niz: prvo , zatim , , …, , ….
Odnosno, izraz “x nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se jedinstvu približavaju beskrajno blizu i praktički koincidiraju s njim.

Kako riješiti gornji primjer? Na temelju gore navedenog, trebate samo zamijeniti jedan u funkciju ispod znaka granice:

Dakle, prvo pravilo: Kada nam se zada bilo kakvo ograničenje, prvo jednostavno pokušavamo uključiti broj u funkciju.

Razmotrili smo najjednostavnije granice, ali i one se u praksi pojavljuju, i to ne tako rijetko!

Primjer s beskonačnošću:

Hajdemo shvatiti što je to? To je slučaj kada raste neograničeno, to jest: prvo, zatim, zatim, zatim, i tako u nedogled.

Što se događa s funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo rečeno, prema našem prvom pravilu, umjesto "X" u funkciju ubacujemo beskonačnost i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer s beskonačnošću:

Opet počinjemo povećavati do beskonačnosti i promatramo ponašanje funkcije:

Zaključak: kada funkcija raste neograničeno:

I još niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtite najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako negdje imate nedoumica, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da pokušajte konstruirati niz , , . Ako tada , , .

Napomena: strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva nije točan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.

Obratite pozornost i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje zadano s velikim brojem na vrhu, ili čak s milijunom: , onda je svejedno , budući da će prije ili kasnije "X" poprimiti takve divovske vrijednosti da će milijun u usporedbi s njima biti pravi mikrob.

Što trebate zapamtiti i razumjeti od navedenog?

1) Kada se zada bilo kakvo ograničenje, prvo jednostavno pokušavamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao što je , itd.

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada je , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

Primjer:

Izračunajte granicu

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Što dobivamo na vrhu? Beskonačnost. I što se događa ispod? Također beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove neizvjesnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je , i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj, te je potrebno primijeniti neku tehniku rješenja koju ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ove vrste?

Prvo pogledamo brojnik i nađemo najveću snagu:

Vodeći stepen u brojniku je dvojka.

Sada gledamo nazivnik i također ga nalazimo na najveću potenciju:

Najviši stupanj nazivnika je dva.

Zatim biramo najveću potenciju brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki su dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojnik i nazivnik podijeliti s najvećom potencijom.

Evo ga, odgovor, a ne beskonačnost uopće.

Što je temeljno važno u dizajnu odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako je ima.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje za međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, već znači da se rješenje prekida radi međuobjašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti što kamo ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate učiniti ništa od ovoga, ali tada će možda nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. Trebaš li to?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stupnju:

Maksimalni stupanj u brojniku: 3
Maksimalni stupanj u nazivniku: 4
Odaberite najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, dijelimo brojnik i nazivnik s .
Kompletan zadatak bi mogao izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stupanj "X" u brojniku: 2
Maksimalni stupanj "X" u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojnik i nazivnik podijeliti s . Konačno rješenje može izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Notacija ne znači dijeljenje s nulom (ne možete dijeliti s nulom), već dijeljenje s infinitezimalnim brojem.

Stoga, otkrivanjem neizvjesnosti vrsta, možda ćemo moći konačni broj, nula ili beskonačnost.

Granice s nesigurnošću vrste i način njihovog rješavanja

Sljedeća skupina granica donekle je slična upravo razmatranim granicama: brojnik i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Granica rješenja
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak:

U tom slučaju se dobiva tzv.

Opće pravilo: ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika, onda to otkriti morate rastaviti brojnik i nazivnik na faktore.

Da biste to učinili, najčešće morate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule množenja. Ako su te stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tablice i pročitati nastavni materijal Vruće formule za školski tečaj matematike. Usput, najbolje ga je ispisati; to je potrebno vrlo često, a informacije se bolje apsorbiraju s papira.

Dakle, riješimo našu granicu

Rastavite brojnik i nazivnik na faktore

Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednadžbu:

Prvo nalazimo diskriminantu:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminant velik, na primjer 361, koristimo kalkulator; funkcija vađenja kvadratnog korijena je na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako se korijen ne izluči u cijelosti (dobije se razlomak sa zarezom), vrlo je vjerojatno da je diskriminant krivo izračunat ili je došlo do tipfelera u zadatku.

Zatim nalazimo korijene:

Tako:

Svi. Brojnik je faktoriziran.

Nazivnik. Nazivnik je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da ga se pojednostavi.

Očito, može se skratiti na:

Sada zamijenimo -1 u izraz koji ostaje ispod znaka granice:

Naravno, u testu, testu ili ispitu rješenje se nikada ne opisuje tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati ovako:

Rastavimo brojnik na faktore.

Primjer 5

Izračunajte granicu

Prvo, "završna" verzija rješenja

Rastavimo brojnik i nazivnik na faktore.

Brojnik:
Nazivnik:

,

Što je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo izvukli 2 iz zagrada, a zatim upotrijebili formulu za razliku kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.