U dvodimenzionalnom prostoru dvije se linije sijeku samo u jednoj točki, definiranoj koordinatama (x,y). Budući da oba pravca prolaze kroz svoju točku sjecišta, koordinate (x,y) moraju zadovoljiti obje jednadžbe koje opisuju te pravce. Uz neke dodatne vještine, možete pronaći točke sjecišta parabola i drugih kvadratnih krivulja.

Koraci

Točka presjeka dviju linija

Napišite jednadžbu za svaki redak, izolirajući varijablu "y" na lijevoj strani jednadžbe. Ostale članove jednadžbe treba staviti na desnu stranu jednadžbe. Možda će jednadžba koja vam je dana sadržavati varijablu f(x) ili g(x) umjesto "y"; u ovom slučaju, izolirajte takvu varijablu. Da biste izolirali varijablu, učinite odgovarajuće matematičke operacije na obje strane jednadžbe.

• Ako vam jednadžbe pravaca nisu dane, na temelju informacija koje znate.
• Primjer. Zadane su ravne linije opisane jednadžbama i y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Da biste izolirali "y" u drugoj jednadžbi, dodajte broj 12 objema stranama jednadžbe:

1. Tražite točku presjeka obiju pravaca, odnosno točku čije koordinate (x, y) zadovoljavaju obje jednadžbe. Budući da je varijabla "y" na lijevoj strani svake jednadžbe, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednadžbe mogu se izjednačiti. Napiši novu jednadžbu.

   • Primjer. Jer y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) I y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), tada možemo napisati sljedeću jednakost: .

2. Pronađite vrijednost varijable "x". Nova jednadžba sadrži samo jednu varijablu, "x". Da biste pronašli "x", izolirajte tu varijablu na lijevoj strani jednadžbe izvođenjem odgovarajuće matematike na obje strane jednadžbe. Trebali biste dobiti jednadžbu oblika x = __ (ako to ne možete učiniti, pogledajte ovaj odjeljak).

   • Primjer. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Dodati 2 x (\displaystyle 2x) na svaku stranu jednadžbe:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Oduzmite 3 od svake strane jednadžbe:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Svaku stranu jednadžbe podijelite s 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Pomoću pronađene vrijednosti varijable "x" izračunajte vrijednost varijable "y". Da biste to učinili, zamijenite pronađenu vrijednost "x" u jednadžbu (bilo koju) ravne linije.

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) I y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Provjerite odgovor. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost "x" u drugu jednadžbu retka i pronađite vrijednost "y". Ako primite drugačije značenje"y", provjerite ispravnost svojih izračuna.

   • Primjer: x = 3 (\displaystyle x=3) I y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dobili ste istu vrijednost za y, tako da nema pogrešaka u vašim izračunima.

5. Zapišite koordinate (x,y). Nakon što ste izračunali vrijednosti "x" i "y", pronašli ste koordinate točke sjecišta dviju linija. Zapišite koordinate sjecišta u (x,y) obliku.

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) I y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dakle, dvije se ravne crte sijeku u točki s koordinatama (3,6).

6. Proračuni u posebnim slučajevima. U nekim slučajevima vrijednost varijable "x" nije moguće pronaći. Ali to ne znači da ste pogriješili. Poseban slučaj događa se kada je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

   • Ako su dvije linije paralelne, one se ne sijeku. U ovom slučaju, varijabla “x” će se jednostavno smanjiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u besmislenu jednakost (npr. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). U tom slučaju u svom odgovoru zapišite da se pravci ne sijeku ili da nema rješenja.
   • Ako obje jednadžbe opisuju jednu ravnu liniju, tada će točke presjeka biti beskonačan skup. U ovom slučaju, varijabla "x" će se jednostavno smanjiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u strogu jednakost (npr. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). U tom slučaju u svom odgovoru napišite da se dvije linije poklapaju.

   Problemi s kvadratnom funkcijom

   1. Definicija kvadratne funkcije. U kvadratnoj funkciji, jedna ili više varijabli imaju drugi stupanj (ali ne viši), na primjer, x 2 (\displaystyle x^(2)) ili y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafovi kvadratnih funkcija su krivulje koje se ne smiju sijeći ili se mogu sijeći u jednoj ili dvije točke. U ovom odjeljku ćemo vam reći kako pronaći sjecište ili točke sjecišta kvadratnih krivulja.

   2. Prepišite svaku jednadžbu izdvajanjem varijable "y" na lijevoj strani jednadžbe. Ostale članove jednadžbe treba staviti na desnu stranu jednadžbe.

      • Primjer. Pronađite točku(e) presjeka grafova x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) I
      • Izolirajte varijablu "y" na lijevoj strani jednadžbe:
      • I y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • U ovom primjeru dana vam je jedna kvadratna funkcija i jedna linearna funkcija. Upamtite da ako vam se daju dva kvadratne funkcije, izračuni su slični koracima navedenim u nastavku.

   3. Izjednačite izraze s desne strane svake jednadžbe. Budući da je varijabla "y" na lijevoj strani svake jednadžbe, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednadžbe mogu se izjednačiti.

      • Primjer. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) I y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Prenesite sve članove dobivene jednadžbe u njezinu lijeva strana, a s desne strane upišite 0. Da biste to učinili, napravite neke osnovne matematike. To će vam omogućiti da riješite dobivenu jednadžbu.

      • Primjer. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Oduzmite "x" s obje strane jednadžbe:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Oduzmite 7 od obje strane jednadžbe:

   5. Riješite kvadratnu jednadžbu. Pomicanjem svih članova jednadžbe na njezinu lijevu stranu, dobit ćete kvadratnu jednadžbu. Može se riješiti na tri načina: posebnom formulom i.

      • Primjer. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Kada faktorirate jednadžbu, dobivate dva binoma, koji, kada se pomnože, daju izvornu jednadžbu. U našem primjeru, prvi izraz x 2 (\displaystyle x^(2)) može se rastaviti na x * x. Zapišite ovo: (x)(x) = 0
      • U našem primjeru, slobodni član -6 može se rastaviti na sljedeće faktore: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • U našem primjeru, drugi izraz je x (ili 1x). Zbrajajte svaki par faktora lažnog člana (u našem primjeru -6) dok ne dobijete 1. U našem primjeru, odgovarajući par faktora lažnog člana su brojevi -2 i 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), jer − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Upiši u prazna mjesta pronađeni par brojeva: .

   6. Ne zaboravite na drugu točku sjecišta dva grafikona. Ako problem riješite brzo i ne baš pažljivo, možete zaboraviti na drugu točku sjecišta. Evo kako pronaći x koordinate dviju točaka sjecišta:

      • Primjer (faktorizacija). Ako je u jednadžbi (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jedan od izraza u zagradama će biti jednak 0, tada će cijela jednadžba biti jednaka 0. Stoga je možemo napisati ovako: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) I x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (odnosno, pronašli ste dva korijena jednadžbe).
      • Primjer (korištenje formule ili dodatak puni kvadrat) . Kada koristite jednu od ovih metoda, pojavit će se rješenje Korijen. Na primjer, jednadžba iz našeg primjera poprimit će oblik x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Upamtite da ćete pri vađenju kvadratnog korijena dobiti dva rješenja. U našem slučaju: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), I 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Dakle, napišite dvije jednadžbe i pronađite dvije vrijednosti x.

   7. Grafovi se sijeku u jednoj točki ili se uopće ne sijeku. Do takvih situacija dolazi ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

      • Ako se grafovi sijeku u jednoj točki, tada se kvadratna jednadžba proširuje na isti množitelji, na primjer, (x-1) (x-1) = 0, a kvadratni korijen iz 0 pojavljuje se u formuli ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). U ovom slučaju jednadžba ima samo jedno rješenje.
      • Ako se grafovi uopće ne sijeku, jednadžba se ne može faktorizirati, a kvadratni korijen od negativan broj(Na primjer, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). U tom slučaju u svom odgovoru napišite da nema rješenja.

Prilikom rješavanja nekih geometrijski problemi Koristeći metodu koordinata, morate pronaći koordinate točke sjecišta linija. Najčešće morate tražiti koordinate točke sjecišta dviju linija na ravnini, ali ponekad postoji potreba za određivanjem koordinata točke sjecišta dviju linija u prostoru. U ovom članku bavit ćemo se pronalaženjem koordinata točke u kojoj se dva pravca sijeku.

Navigacija po stranici.

Točka presjeka dviju linija je definicija.

Najprije odredimo točku presjeka dviju linija.

Dakle, pronaći koordinate sjecišta dviju linija definiranih na ravnini opće jednadžbe, trebate riješiti sustav sastavljen od jednadžbi zadanih pravaca.

Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite točku sjecišta dviju linija definiranih u pravokutni sustav koordinate na ravnini jednadžbama x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0.

Riješenje.

Date su nam dvije opće jednadžbe linija, napravimo sustav od njih: . Rješenja rezultirajućeg sustava jednadžbi lako se pronalaze rješavanjem njegove prve jednadžbe s obzirom na varijablu x i zamjenom ovog izraza u drugu jednadžbu:

Nađeno rješenje sustava jednadžbi daje nam tražene koordinate točke presjeka dviju pravaca.

Odgovor:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0 .

Dakle, pronalaženje koordinata točke presjeka dviju ravnina, definiranih općim jednadžbama na ravnini, svodi se na rješavanje sustava dviju ravnina. linearne jednadžbe s dvije nepoznate varijable. Ali što ako pravci na ravnini nisu dani općim jednadžbama, već jednadžbama drugog tipa (vidi vrste jednadžbi pravca na ravnini)? U tim slučajevima možete prvo svesti jednadžbe pravaca na opći oblik, a tek nakon toga pronaći koordinate točke sjecišta.

Primjer.

i .

Riješenje.

Prije pronalaženja koordinata sjecišta zadanih pravaca, njihove jednadžbe reduciramo na Opća pojava. Prijelaz s parametarskih jednadžbi ravnih linija općoj jednadžbi ove linije je kako slijedi:

Sada izvršimo potrebne radnje s kanonskom jednadžbom ravne linije:

Dakle, željene koordinate točke presjeka pravaca su rješenje sustava jednadžbi oblika . Da bismo ga riješili koristimo:

Odgovor:

M 0 (-5, 1)

Postoji još jedan način za pronalaženje koordinata točke presjeka dviju linija na ravnini. Pogodno je koristiti kada je jedna od linija dana parametarskim jednadžbama oblika , a druga je jednadžba ravne linije drugog tipa. U ovom slučaju, u drugoj jednadžbi, umjesto varijabli x i y, možete zamijeniti izraze I , odakle će biti moguće dobiti vrijednost koja odgovara sjecištu zadanih linija. U ovom slučaju točka sjecišta linija ima koordinate.

Nađimo ovom metodom koordinate točke presjeka pravaca iz prethodnog primjera.

Primjer.

Odredite koordinate točke presjeka pravaca i .

Riješenje.

Zamijenimo pravolinijski izraz u jednadžbu:

Rješavanjem dobivene jednadžbe dobivamo . Ova vrijednost odgovara zajedničkoj točki linija i . Izračunavamo koordinate sjecišta zamjenom u parametarske jednadžbe ravno:
.

Odgovor:

M 0 (-5, 1) .

Da bismo upotpunili sliku, treba raspraviti još jednu točku.

Prije pronalaženja koordinata sjecišta dviju pravaca na ravnini, korisno je uvjeriti se da se zadani pravci stvarno sijeku. Ako se ispostavi da se izvorne linije podudaraju ili su paralelne, tada ne može biti govora o pronalaženju koordinata točke sjecišta takvih linija.

Možete, naravno, bez takve provjere i odmah stvoriti sustav jednadžbi oblika i riješiti ga. Ako sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje, tada ono daje koordinate točke u kojoj se izvorni pravci sijeku. Ako sustav jednadžbi nema rješenja, onda možemo zaključiti da su izvorni pravci paralelni (jer ne postoji takav par realni brojevi x i y, što bi istovremeno zadovoljilo obje jednadžbe zadanih pravaca). Iz prisutnosti beskonačnog broja rješenja sustava jednadžbi slijedi da izvorne ravne linije imaju beskonačno mnogo zajedničke točke, odnosno poklapaju se.

Pogledajmo primjere koji odgovaraju ovim situacijama.

Primjer.

Utvrdite da li se pravci i sijeku, a ako se sijeku, onda odredite koordinate sjecišta.

Riješenje.

Zadane jednadžbe ravne linije odgovaraju jednadžbama I . Riješimo sustav sastavljen od ovih jednadžbi .

Očito je da se jednadžbe sustava linearno izražavaju jedna kroz drugu (druga jednadžba sustava dobiva se iz prve množenjem oba njezina dijela s 4), stoga sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja. Dakle, jednadžbe definiraju isti pravac i ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta tih pravaca.

Odgovor:

Jednadžbe i definiraju istu ravnu crtu u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy, pa ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišne točke.

Primjer.

Odredite koordinate točke presjeka pravaca I , ako je moguće.

Riješenje.

Uvjet zadatka dopušta da se pravci ne sijeku. Kreirajmo sustav od ovih jednadžbi. Primijenimo ga za rješavanje, jer nam omogućuje da utvrdimo kompatibilnost ili nekompatibilnost sustava jednadžbi, i ako je kompatibilan, pronađemo rješenje:

Posljednja jednadžba sustava nakon izravnog prolaska Gaussove metode pretvorila se u netočnu jednakost, stoga sustav jednadžbi nema rješenja. Iz ovoga možemo zaključiti da su izvorni pravci paralelni, a ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta tih pravaca.

Drugo rješenje.

Utvrdimo sijeku li se zadani pravci.

- vektor normalne linije , i vektor je vektor normalne linije . Provjerimo izvršenje I : jednakost je istina, jer, dakle, normalni vektori zadane prave su kolinearne. Tada su ti pravci paralelni ili podudarni. Dakle, ne možemo pronaći koordinate sjecišta izvornih linija.

Odgovor:

Nemoguće je pronaći koordinate sjecišta zadanih pravaca jer su ti pravci paralelni.

Primjer.

Nađite koordinate sjecišta pravaca 2x-1=0 i , ako se sijeku.

Riješenje.

Sastavimo sustav jednadžbi koje su opće jednadžbe zadanih ravnih linija: . Determinanta glavne matrice ovog sustava jednadžbi je različita od nule , stoga sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje, koje označava sjecište zadanih pravaca.

Da bismo pronašli koordinate točke sjecišta pravaca, moramo riješiti sustav:

Dobiveno rješenje nam daje koordinate točke presjeka pravaca, tj. 2x-1=0 i .

Odgovor:

Određivanje koordinata sjecišta dviju pravaca u prostoru.

Koordinate točke presjeka dviju linija u trodimenzionalni prostor nalaze se slično.

Pogledajmo rješenja primjera.

Primjer.

Odredite koordinate sjecišta dviju pravaca zadanih u prostoru jednadžbama I .

Riješenje.

Sastavimo sustav jednadžbi od jednadžbi zadanih pravaca: . Rješenje ovog sustava dat će nam željene koordinate točke presjeka pravaca u prostoru. Pronađimo rješenje pisanog sustava jednadžbi.

Glavna matrica sustava ima oblik , i prošireno - .

Idemo definirati A i rang matrice T. Koristimo

Sjecajući se na x-osi, potrebno je riješiti jednadžbu y₁=y₂, odnosno k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Transformirajte ovu nejednadžbu da dobijete k₁x-k₂x=b₂-b₁. Sada izrazite x: x=(b₂-b₁)/(k1-k₂). Na taj način ćete pronaći točku sjecišta grafova, koja se nalazi na OX osi. Pronađite sjecište na ordinatnoj osi. Samo zamijenite x vrijednost koju ste ranije pronašli u bilo koju od funkcija.

Prethodna opcija je prikladna za grafikone. Ako je funkcija , koristite slijedeći upute. Na isti način kao kod linearne funkcije, pronađite vrijednost x. Da biste to učinili, riješite kvadratnu jednadžbu. U jednadžbi 2x² + 2x - 4=0 pronađite (jednadžba je navedena kao primjer). Da biste to učinili, upotrijebite formulu: D= b² – 4ac, gdje je b vrijednost prije X, a c je numerička vrijednost.

Zamjena numeričke vrijednosti, dobiti izraz oblika D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Jednadžbe ovise o vrijednosti diskriminante. Sada vrijednosti varijable b sa znakom “-” dodajte ili oduzmite (izmjenu) korijen dobivene diskriminante i podijelite s dvostruki proizvod koeficijent a. Tako ćete pronaći korijene jednadžbe, odnosno koordinate presječnih točaka.

Grafikoni funkcija imaju jednu osobitost: os OX presijecat će se dvaput, odnosno pronaći ćete dvije koordinate osi x. Ako primite periodična vrijednost ovisnosti X o Y, tada znajte da graf siječe x-os u beskonačnom broju točaka. Provjerite jeste li pronašli sjecišne točke. Da biste to učinili, zamijenite vrijednosti X u jednadžbu f(x)=0.

Izvori:

• Pronalaženje točaka sjecišta pravaca

Ako znate vrijednost a, onda možete reći da ste riješili kvadratnu jednadžbu, jer ćete njezine korijene pronaći vrlo lako.

Trebat će vam

• -diskriminantna formula za kvadratnu jednadžbu;
• -poznavanje tablice množenja

upute

Video na temu

Koristan savjet

Diskriminant kvadratne jednadžbe može biti pozitivan, negativan ili jednak 0.

Izvori:

• Riješenje kvadratne jednadžbe
• diskriminirajuće čak

Savjet 3: Kako pronaći koordinate točaka sjecišta grafa funkcije

Graf funkcije y = f (x) je skup svih točaka u ravnini, koordinate x, koje zadovoljavaju relaciju y = f (x). Grafikon funkcije jasno prikazuje ponašanje i svojstva funkcije. Za konstruiranje grafa obično se odabire nekoliko vrijednosti argumenta x i za njih se izračunavaju odgovarajuće vrijednosti funkcije y=f(x). Da biste točnije i vizualno izradili grafikon, korisno je pronaći njegove točke sjecišta s koordinatnim osima.

upute

Pri prelasku apscisne osi (X osi) vrijednost funkcije je 0, tj. y=f(x)=0. Za izračunavanje x potrebno je riješiti jednadžbu f(x)=0. U slučaju funkcije dobivamo jednadžbu ax+b=0 i nalazimo x=-b/a.

Dakle, os X siječe se u točki (-b/a,0).

U više teški slučajevi, na primjer, u slučaju kvadratne ovisnosti y o x, jednadžba f(x)=0 ima dva korijena, dakle, x-os se siječe dva puta. U slučaju da y ovisi o x, na primjer y=sin(x), ima beskonačan broj sjecišnih točaka s X osi.

Da biste provjerili ispravnost pronalaženja koordinata točaka sjecišta grafa funkcije s X osi, potrebno je zamijeniti pronađene x vrijednosti f (x). Vrijednost izraza za bilo koji od izračunatih x mora biti jednaka 0.

upute

Prvo je potrebno razgovarati o izboru koordinatnog sustava pogodnog za rješavanje problema. Obično se u problemima ove vrste jedan od trokuta postavlja na os 0X tako da se jedna točka poklapa s ishodištem. Stoga ne biste trebali odstupiti od općeprihvaćenih kanona rješenja i učiniti isto (vidi sliku 1). Sama metoda definiranja trokuta ne igra temeljnu ulogu, jer uvijek možete prijeći s jednog od njih na (kao što ćete kasnije moći provjeriti).

Neka je traženi trokut zadan s dva vektora njegovih stranica AC i AB a(x1, y1) odnosno b(x2, y2). Štoviše, prema konstrukciji, y1=0. Treća strana BC odgovara c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), prema ovoj ilustraciji. Točka A nalazi se u ishodištu koordinata, tj koordinate A(0, 0). Također je lako primijetiti da koordinate B (x2, y2), a C (x1, 0). Iz ovoga možemo zaključiti da se definiranje trokuta s dva vektora automatski podudara s definiranjem trokuta s tri točke.

Zatim trebate dopuniti traženi trokut do odgovarajućeg paralelograma ABDC veličine. Štoviše, to u točki raskrižja dijagonale paralelograma dijele se tako da je AQ središnja trokuta ABC, spušta se od A na stranicu BC. Dijagonalni vektor s sadrži ovaj i prema pravilu paralelograma je geometrijski zbroj a i b. Tada je s = a + b, i njegov koordinate s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Isto koordinate također će biti u točki D(x1+x2, y2).

Sada možete nastaviti sa sastavljanjem jednadžbe ravne linije koja sadrži s, medijan AQ i, što je najvažnije, željenu točku raskrižja medijan H. Budući da je sam vektor s vodilica za dani pravac, a poznata mu je i točka A(0, 0), najjednostavnije je koristiti jednadžbu ravninskog pravca u kanonskom obliku: (x -x0)/m =(y-y0)/n. Ovdje (x0, y0) koordinate proizvoljna točka ravna linija (točka A(0, 0)) i (m, n) – koordinate s (vektor (x1+x2, y2). I tako će željena ravna linija l1 izgledati kao: x/(x1+x2)=y/ y2.

Najbolji način da ga pronađete je na raskrižju. Stoga biste trebali pronaći drugu ravnu liniju koja sadrži tzv. N. Da biste to učinili, na Sl. 1 konstrukcija drugog paralelograma APBC, čija dijagonala g=a+c =g(2x1-x2, -y2) sadrži drugu središnju CW, spuštenu od C na stranicu AB. Ova dijagonala sadrži točku C(x1, 0), koordinate koji će igrati ulogu (x0, y0), a vektor smjera ovdje će biti g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Stoga je l2 dan jednadžbom: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

1. Da biste pronašli koordinate sjecišta grafova funkcija, potrebno je obje funkcije međusobno izjednačiti, pomaknuti sve članove koji sadrže $ x $ na lijevu stranu, a ostale na desnu stranu i pronaći korijene rezultirajuća jednadžba.
2. Druga metoda je stvoriti sustav jednadžbi i riješiti ga zamjenom jedne funkcije u drugu
3. Treća metoda uključuje grafička konstrukcija funkcije i vizualna definicija sjecišta.

Slučaj dviju linearnih funkcija

Razmotrimo dva linearne funkcije$ f(x) = k_1 x+m_1 $ i $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Te se funkcije nazivaju izravnim. Prilično ih je lako konstruirati; trebate uzeti bilo koje dvije vrijednosti $ x_1 $ i $ x_2 $ i pronaći $ f(x_1) $ i $ (x_2) $. Zatim ponovite isto s funkcijom $ g(x) $. Zatim vizualno pronađite koordinatu sjecišta grafova funkcija.

Trebali biste znati da linearne funkcije imaju samo jednu sjecišnu točku i to samo kada $ k_1 \neq k_2 $. Inače, u slučaju $ k_1=k_2 $ funkcije su paralelne jedna s drugom, budući da je $ k $ koeficijent nagiba. Ako $ k_1 \neq k_2 $ ali $ m_1=m_2 $, tada će točka sjecišta biti $ M(0;m) $. Preporučljivo je zapamtiti ovo pravilo za brzo rješavanje problema.

Primjer 1

Neka je zadano $ f(x) = 2x-5 $ i $ g(x)=x+3 $. Odredite koordinate sjecišta grafova funkcija.

Riješenje

Kako to učiniti? Budući da su predstavljene dvije linearne funkcije, prvo što gledamo je koeficijent nagiba obje funkcije $ k_1 = 2 $ i $ k_2 = 1 $. Primjećujemo da $ k_1 \neq k_2 $, tako da postoji jedna točka presjeka. Pronađimo to pomoću jednadžbe $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Članove sa $ x $ pomičemo ulijevo, a ostale udesno: $$ 2x - x = 3+5 $$ Dobili smo $ x=8 $ apscisu sjecišta grafova, a sada idemo pronaći ordinatu. Da bismo to učinili, zamijenimo $ x = 8 $ u bilo koju jednadžbu, bilo u $ f(x) $ ili u $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Dakle, $ M (8;11) $ je točka presjeka grafova dviju linearnih funkcija. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo osigurati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ M (8;11) $$

Slučaj dviju nelinearnih funkcija

Primjer 3

Pronađite koordinate sjecišta grafova funkcija: $ f(x)=x^2-2x+1 $ i $ g(x)=x^2+1 $

Riješenje

Što učiniti s dvoje nelinearne funkcije? Algoritam je jednostavan: izjednačavamo jednadžbe i nalazimo korijene: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Raširili smo ga okolo različitim strankamačlanovi jednadžbe sa i bez $x$: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Apscisa pronađena željenu točku, ali nije dovoljno. Ordinata $y$ još uvijek nedostaje. Zamjenjujemo $ x = 0 $ u bilo koju od dvije jednadžbe uvjeta problema. Na primjer: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - sjecište grafova funkcija

Odgovor

$$ M (0;1) $$

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Pozdrav dragi čitatelju!

Nastavimo se upoznavati s geometrijskim algoritmima. U prošloj lekciji pronašli smo jednadžbu pravca pomoću koordinata dviju točaka. Dobili smo jednadžbu oblika:

Danas ćemo napisati funkciju koja će pomoću jednadžbi dviju ravnih linija pronaći koordinate njihove sjecišne točke (ako postoji). Za provjeru jednakosti realnih brojeva koristit ćemo se posebnom funkcijom RealEq().

Točke na ravnini opisane su parom realnih brojeva. Kada koristite pravi tip, bolje je implementirati operacije usporedbe pomoću posebnih funkcija.

Razlog je poznat: na tipu Real u programskom sustavu Pascal ne postoji relacija reda, pa se zapisi oblika a = b, gdje su a i b realni brojevi, bolje je ne koristiti.
Danas ćemo predstaviti funkciju RealEq() za implementaciju operacije “=” (strogo jednako):

Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) početak RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Zadatak. Zadane su jednadžbe dviju ravnih linija: i . Pronađite točku njihova sjecišta.

Riješenje. Očito rješenje je riješiti sustav jednadžbi linija: Napišimo ovaj sustav malo drugačije:
(1)

Uvedimo sljedeću oznaku: , , . Ovdje je D determinanta sustava, a determinante su rezultat zamjene stupca koeficijenata za odgovarajuću nepoznanicu stupcem slobodnih članova. Ako je , tada je sustav (1) određen, odnosno ima jedinstveno rješenje. Ovo se rješenje može pronaći pomoću sljedećih formula: , koje se nazivaju Cramerove formule. Da vas podsjetim kako se računa determinanta drugog reda. Odrednica razlikuje dvije dijagonale: glavnu i sporednu. Glavnu dijagonalu čine elementi uzeti u smjeru od gornjeg lijevog kuta determinante prema donjem desnom kutu. Bočna dijagonala - od gornjeg desnog do donjeg lijevog kuta. Determinanta drugog reda jednaka je umnošku elemenata glavne dijagonale umanjenom za umnožak elemenata sporedne dijagonale.

Kod koristi funkciju RealEq() za provjeru jednakosti. Proračuni na realnim brojevima izvode se s točnošću od _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(točnost izračuna) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) početak RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Sastavili smo program s kojim možete, poznavajući jednadžbe pravaca, pronaći koordinate njihovih sjecišta.