Vrste jednadžbi i metode za njihovo rješavanje. Linearne jednadžbe

Ministarstvo općeg i strukovno obrazovanje RF

Općinska obrazovna ustanova

Gimnazija br.12

pisanje

na temu: Jednadžbe i načini njihovog rješavanja

Završio: učenik 10 "A" razreda

Krutko Evgeny

Provjereno: učiteljica matematike Iskhakova Gulsum Akramovna

Tjumenj 2001

Plan................................................. ................................................. ............................... jedan

Uvod ................................................................. ................................................ .. ...................... 2

Glavni dio................................................ ................................................. .............. 3

Zaključak................................................. ................................................. ................ 25

Dodatak................................................. ................................................. ............... 26

Popis referenci ................................................................. ................................................................ ... 29

Plan.

Uvod.

Referenca za povijest.

Jednadžbe. Algebarske jednadžbe.

a) Osnovne definicije.

b) Linearna jednadžba i kako je riješiti.

c) Kvadratne jednadžbe i metode za njihovo rješavanje.

d) Dvočlane jednadžbe, način njihovog rješavanja.

e) Kubične jednadžbe i metode za njihovo rješavanje.

e) Bikvadratna jednadžba i kako to riješiti.

g) Jednadžbe četvrtog stupnja i metode za njihovo rješavanje.

g) Jednadžbe visokih stupnjeva i metode iz rješenja.

h) Racionalna algebarska jednadžba i njezina metoda

i) Iracionalne jednadžbe i načine rješavanja.

j) Jednadžbe koje sadrže nepoznanicu pod predznakom.

apsolutnu vrijednost i kako to riješiti.

Transcendentalne jednadžbe.

a) eksponencijalne jednadžbe i kako ih riješiti.

b) Logaritamske jednadžbe i kako ih riješiti.

Uvod

Matematičko obrazovanje stekao u općeobrazovna škola, je bitna komponenta opće obrazovanje i zajednička kultura modernog čovjeka. Gotovo sve što okružuje modernu osobu na ovaj ili onaj način je povezano s matematikom. ALI nedavna postignuća u fizici, tehnologiji i informacijska tehnologija ne ostavljajte sumnje da će stvari ostati iste i u budućnosti. Stoga se rješavanje mnogih praktičnih problema svodi na rješavanje razne vrste jednadžbe naučiti kako ih riješiti.

Ovim radom pokušava se generalizirati i sistematizirati proučeno gradivo o navedenoj temi. Gradivo sam rasporedio prema stupnju njegove složenosti, počevši od najjednostavnijeg. Uključuje obje vrste jednadžbi koje su nam poznate iz školskog tečaja algebre i dodatni materijal. Istovremeno sam pokušao prikazati vrste jednadžbi koje se ne proučavaju školski tečaj, ali čije znanje može biti potrebno pri ulasku u višu obrazovna ustanova. U svom radu, pri rješavanju jednadžbi, nisam se ograničio samo na realno rješenje, već sam naznačio i složeno, jer smatram da inače jednadžba jednostavno nije riješena. Uostalom, ako u jednadžbi nema pravih korijena, onda to ne znači da ona nema rješenja. Nažalost, zbog nedostatka vremena nisam uspio iznijeti sav materijal koji imam, ali i uz materijal koji je ovdje prezentiran mogu se pojaviti mnoga pitanja. Nadam se da je moje znanje dovoljno da odgovorim na većinu pitanja. Dakle, predstavit ću materijal.

Matematika... otkriva red

simetrija i sigurnost,

i ovo je najvažnije vrste lijep.

Aristotel.

Referenca za povijest

U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerojatno još nije bilo kovanica ni novčanika. No, s druge strane, bile su hrpe, kao i lonci, košare, koje su bile savršene za ulogu cache-skladišta s nepoznatim brojem predmeta. "Tražimo gomilu, koja, zajedno s dvije trećine, polovicom i jednom sedmom, iznosi 37 ...", - učio je u II tisućljeću pr. nova era Egipatski pisar Ahmes. U drevnim matematički problemi Mezopotamija, Indija, Kina, Grčka, nepoznate količine izražavale su broj paunova u vrtu, broj bikova u stadu, ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir pri diobi imovine. Pisari, službenici i svećenici upućeni u tajno znanje, dobro uvježbani u znanosti brojanja, prilično su se uspješno nosili s takvim zadaćama.

Izvori koji su došli do nas ukazuju da su drevni znanstvenici posjedovali neke općenite metode za rješavanje problema s nepoznatim količinama. Međutim, niti jedan papirus, niti jedna glinena ploča ne daje opis ovih tehnika. Autori su svoje numeričke izračune samo povremeno opskrbljivali zločestim komentarima poput: "Pogledaj!", "Učini to!", "Utvrdili ste da je ispravno." U tom smislu iznimka je "Aritmetika" grčkog matematičara Diofanta Aleksandrijskog (III. stoljeće) - zbirka zadataka za sastavljanje jednadžbi sa sustavnim prikazom njihovih rješenja.

Međutim, rad bagdadskog učenjaka iz 9. stoljeća postao je prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao nadaleko poznat. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" iz arapskog naslova ove rasprave - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Knjiga obnove i kontrasta") - s vremenom se pretvorila u riječ "algebra", svima dobro poznatu, a sam rad al-Khwarizmija poslužio je kao polazište u razvoju znanosti o rješavanju jednadžbi.

jednadžbe. Algebarske jednadžbe

Osnovne definicije

U algebri se razmatraju dvije vrste jednakosti – identiteti i jednadžbe.

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve (dopuštene) vrijednosti slova ). Zapisati identitet zajedno sa znakom

znak se također koristi.

Jednadžba- ovo je jednakost koja je zadovoljena samo za neke vrijednosti slova koja su u njoj uključena. Slova uključena u jednadžbu, prema uvjetu zadatka, mogu biti nejednaka: neka mogu uzeti sve svoje dopuštene vrijednosti(zovu se parametrima ili koeficijenti jednadžbe i obično se označavaju prvim slovima latinično pismo:

, , ... – ili ista slova, opremljena indeksima: , , ... ili , , ...); zovu se drugi čije se vrijednosti mogu pronaći nepoznato(obično se označavaju zadnjim slovima latinične abecede: , , , ... - ili istim slovima, opremljenim indeksima: , , ... ili , , ...).

NA opći pogled jednadžba se može napisati ovako:

(, , ..., ).

Ovisno o broju nepoznata jednadžba naziva se jednadžba s jednom, dvije itd. nepoznanicama.

Jednadžba je matematički izraz koji je jednadžba koja sadrži nepoznanicu. Ako je jednakost istinita za bilo koje dopuštene vrijednosti nepoznanica koje su u njoj uključene, tada se naziva identitetom; na primjer: relacija poput (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) vrijedi za sve vrijednosti x.

Ako jednadžba koja sadrži nepoznati x vrijedi samo za određene vrijednosti x, a ne za sve vrijednosti x, kao u slučaju identiteta, tada bi moglo biti korisno odrediti one vrijednosti x za koje jednadžba je važeća. Takve vrijednosti x nazivaju se korijenima ili rješenjima jednadžbe. Na primjer, broj 5 je korijen jednadžbe 2x + 7= 17.

U grani matematike koja se zove teorija jednadžbi, glavni predmet proučavanja su metode rješavanja jednadžbi. U školskom kolegiju algebre velika se pozornost posvećuje jednadžbama.

Povijest proučavanja jednadžbi seže mnogo stoljeća unatrag. Najpoznatiji matematičari koji su doprinijeli razvoju teorije jednadžbi bili su:

Arhimed (oko 287.-212. pr. Kr.) - starogrčki znanstvenik, matematičar i mehaničar. U proučavanju jednog problema, svedenog na kubičnu jednadžbu, Arhimed je otkrio ulogu karakteristike, koja je kasnije postala poznata kao diskriminant.

François Viet živio je u 16. stoljeću. Dao je veliki doprinos proučavanju razni problemi matematika. Posebno je uveo doslovni zapis za koeficijente jednadžbe i uspostavio vezu između korijena kvadratne jednadžbe.

Leonhard Euler (1707. - 1783.) - matematičar, mehaničar, fizičar i astronom. Autor sv. 800 radova iz matematičke analize, diferencijalne jednadžbe, geometrija, teorija brojeva, približni proračuni, nebeska mehanika, matematika, optika, balistika, brodogradnja, teorija glazbe itd. Imao je značajan utjecaj na razvoj znanosti. Izveo je formule (Eulerove formule) izražavajući trigonometrijske funkcije varijabla x kroz eksponencijalnu funkciju.

Lagrange Joseph Louis (1736. - 1813.), francuski matematičar i mehaničar. Posjeduje izvanredna istraživanja, među kojima su istraživanja o algebri (simetrična funkcija korijena jednadžbe, o diferencijalnim jednadžbama (teorija singularnih rješenja, metoda varijacije konstanti).

J. Lagrange i A. Vandermonde – francuski matematičari. Godine 1771. prvi put je korištena metoda rješavanja sustava jednadžbi (metoda supstitucije).

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - njemački matematičar. Napisao je knjigu koja opisuje teoriju jednadžbi s podjelom na krug (tj. jednadžbe xn - 1 = 0), koja je na mnogo načina bila prototip Galoisove teorije. Osim uobičajene metode rješavajući ove jednadžbe, uspostavio vezu između njih i konstrukcije pravilnih poligona. On je, prvi put nakon starogrčkih znanstvenika, napravio značajan iskorak u ovoj stvari, naime: pronašao je sve one vrijednosti n za koje je pravilni n-kut može se izgraditi šestarom i ravnalom. Naučio kako dodati. Zaključio je da se sustavi jednadžbi mogu međusobno zbrajati, dijeliti i množiti.

O. I. Somov - obogatio je različite dijelove matematike važnim i brojnim djelima, među kojima i teoriju određenih algebarskih jednadžbi višim stupnjevima.

Galois Evariste (1811-1832), francuski matematičar. Njegova glavna zasluga je formuliranje skupa ideja, do kojih je došao u vezi s nastavkom istraživanja rješivosti algebarskih jednadžbi, koje su započeli J. Lagrange, N. Abel i drugi, stvorio teoriju algebarskih jednadžbi viših stupnjeva s jednom nepoznatom.

A. V. Pogorelov (1919. - 1981.) - U njegovom radu geometrijske metode povezuju se s analitičke metode teorija diferencijalnih jednadžbi s parcijalnim derivacijama. Njegovi radovi također su imali značajan utjecaj na teoriju nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.

P. Ruffini - talijanski matematičar. Dokazu nerješivosti jednadžbe 5. stupnja posvetio je niz radova, sustavno koristi zatvorenost skupa zamjena.

Unatoč činjenici da znanstvenici već dugo proučavaju jednadžbe, znanost ne zna kako i kada su ljudi dobili potrebu za korištenjem jednadžbi. Poznato je samo da su probleme koji vode do rješenja najjednostavnijih jednadžbi ljudi rješavali od vremena kada su postali ljudi. Još 3 - 4 tisuće godina pr. e. Egipćani i Babilonci znali su rješavati jednadžbe. Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi poklapa se sa modernim, ali nije poznato kako su došle do toga.

NA Drevni Egipt i Babilona, ​​korištena je metoda lažnog položaja. Jednadžba prvog stupnja s jednom nepoznatom uvijek se može svesti na oblik ax + b = c, u kojem su a, b, c cijeli brojevi. Prema pravilima aritmetičke operacije sjekira \u003d c - b,

Ako je b > c, tada je c b negativan broj. Negativni brojevi bili nepoznati Egipćanima i mnogim drugim kasnijim narodima (na ravnoj nozi s pozitivni brojevi počeli su se koristiti u matematici tek u sedamnaestom stoljeću). Za rješavanje problema koje sada rješavamo jednadžbama prvog stupnja, izumljena je metoda lažnog položaja. U Ahmesovom papirusu 15 problema je riješeno ovom metodom. Egipćani su imali poseban znak za nepoznati broj, koji se donedavno čitao "kako" i prevodio riječju "gomila" ("gomila" ili "nepoznati broj" jedinica). Sad malo manje netočno čitaju: "aha". Metoda rješenja koju koristi Ahmes naziva se metoda jedne lažne pozicije. Ovom metodom rješavaju se jednadžbe oblika ax = b. Ova metoda se sastoji u dijeljenju svake strane jednadžbe s a. Koristili su ga i Egipćani i Babilonci. Na različitih naroda korištena je metoda dvaju lažnih položaja. Arapi su mehanizirali ovu metodu i dobili oblik u kojem je ušla u udžbenike europskih naroda, uključujući i Aritmetiku Magnitskog. Magnitsky metodu rješavanja naziva "lažnim pravilom" i piše u dijelu svoje knjige koji izlaže ovu metodu:

Zelo bo lukav je ovaj dio, Kao da s njim sve možeš staviti. Ne samo ono što je u građanstvu, Nego i više znanosti u svemiru, Čak su navedene u sferi neba, Kao mudri postoji potreba.

Sadržaj Magnitskyjevih pjesama može se sažeti na sljedeći način: ovaj dio aritmetike je vrlo lukav. Uz njegovu pomoć možete izračunati ne samo ono što je potrebno u svakodnevnoj praksi, već rješava i "viša" pitanja s kojima se "mudri" suočavaju. Magnitsky koristi "lažno pravilo" u obliku koji su mu dali Arapi, nazivajući ga "aritmetikom dviju pogrešaka" ili "metodom pondera". Indijski matematičari često su davali probleme u stihovima. Lotus izazov:

Iznad tihog jezera, pola mjere iznad vode, vidjela se boja lotosa. Odrastao je sam, a vjetar u valu savio ga je u stranu, i ne više

Cvijeće iznad vode. Našao je svoje ribarsko oko Dvije mjere od mjesta gdje je odrastao. Koliko ovdje jezera ima duboku vodu? Ponudit ću vam pitanje.

Vrste jednadžbi

Linearne jednadžbe

Linearne jednadžbe su jednadžbe oblika: ax + b = 0, gdje su a i b neke konstante. Ako a nije jednako nuli, tada jednadžba ima jedan korijen: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

Na primjer: riješite linearnu jednadžbu: 4x + 12 = 0.

Rješenje: T. do a = 4, a b = 12, zatim x = - 12: 4; x = - 3.

Provjerite: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Budući da je k 0 = 0, tada je -3 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor. x = -3

Ako je a nula, a b nula, tada je korijen jednadžbe ax + b = 0 bilo koji broj.

Na primjer:

0 = 0. Budući da je 0 0, tada je korijen jednadžbe 0x + 0 = 0 bilo koji broj.

Ako je a nula, a b nije nula, tada jednadžba ax + b = 0 nema korijena.

Na primjer:

0 \u003d 6. Budući da 0 nije jednako 6, tada 0x - 6 \u003d 0 nema korijena.

Sustavi linearnih jednadžbi.

Sustav linearnih jednadžbi je sustav u kojem su sve jednadžbe linearne.

Riješiti sustav znači pronaći sva njegova rješenja.

Prije rješavanja sustava linearnih jednadžbi možete odrediti broj njegovih rješenja.

Neka je zadan sustav jednadžbi: (a1h + b1y = s1, (a2h + b2y = c2.

Ako a1 podijeljen s a2 nije jednak b1 podijeljen s b2, tada sustav ima jedno jedinstveno rješenje.

Ako je a1 podijeljeno s a2 jednako b1 podijeljeno s b2, ali jednako c1 podijeljeno s c2, tada sustav nema rješenja.

Ako je a1 podijeljeno s a2 jednako b1 podijeljeno s b2, i jednako c1 podijeljeno s c2, tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Sustav jednadžbi koji ima barem jedno rješenje naziva se konzistentan.

Zglobni sustav naziva se definitivnim ako ima konačan broj rješenja, a neodređeno ako je skup njegovih rješenja beskonačan.

Sustav koji nema jedinstveno rješenje naziva se nedosljednim ili nedosljednim.

Načini rješavanja linearnih jednadžbi

Postoji nekoliko načina rješavanja linearnih jednadžbi:

1) Metoda odabira. Ovo je najviše najjednostavniji način. Ona leži u činjenici da su sve valjane vrijednosti nepoznate odabrane nabrajanjem.

Na primjer:

Riješite jednadžbu.

Neka je x = 1. Tada

4 = 6. Budući da 4 nije jednako 6, onda je naša pretpostavka da je x = 1 bila netočna.

Neka je x = 2.

6 = 6. Budući da je 6 jednako 6, onda je naša pretpostavka da je x = 2 bila točna.

Odgovor: x = 2.

2) Način pojednostavljenja

Ova metoda leži u činjenici da se svi članovi koji sadrže nepoznato prenose na lijevu stranu, a poznati na desnu s suprotan znak, dajte slične i podijelite obje strane jednadžbe s koeficijentom nepoznanice.

Na primjer:

Riješite jednadžbu.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Odgovor. x = 5.

3) Grafički način.

Sastoji se u tome što se gradi graf funkcija zadana jednadžba. Budući da će u linearnoj jednadžbi y \u003d 0 graf biti paralelan s y-osi. Točka presjeka grafa s osi x bit će rješenje ove jednadžbe.

Na primjer:

Riješite jednadžbu.

Neka je y = 7. Tada je y = 2x + 3.

Napravimo graf funkcija obje jednadžbe:

Načini rješavanja sustava linearnih jednadžbi

U sedmom razredu proučavaju se tri načina rješavanja sustava jednadžbi:

1) Metoda zamjene.

Ova metoda se sastoji u tome da se u jednoj od jednadžbi jedna nepoznanica izražava u terminima druge. Dobiveni izraz se zamjenjuje u drugu jednadžbu, koja se zatim pretvara u jednadžbu s jednom nepoznatom, a zatim se rješava. Rezultirajuća vrijednost ove nepoznanice zamjenjuje se u bilo koju jednadžbu izvornog sustava i pronalazi vrijednost druge nepoznanice.

Na primjer.

Riješite sustav jednadžbi.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Zamijenite rezultirajući izraz u drugu jednadžbu:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Zamijenite rezultirajuću vrijednost u jednadžbu 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Ispitivanje.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Odgovor: x = 1; y = 1.

2) Način dodavanja.

Ova metoda je da ako ovaj sustav sastoji se od jednadžbi koje, kada se zbrajaju član po član, tvore jednadžbu s jednom nepoznanicom, tada rješavanjem ove jednadžbe dobivamo vrijednost jedne od nepoznanica. Rezultirajuća vrijednost ove nepoznanice zamjenjuje se u bilo koju jednadžbu izvornog sustava i pronalazi vrijednost druge nepoznanice.

Na primjer:

Riješite sustav jednadžbi.

/ 3y - 2x \u003d 5,

\5x - 3y \u003d 4.

Riješimo rezultirajuću jednadžbu.

3x = 9; : (3) x = 3.

Zamijenimo dobivenu vrijednost u jednadžbu 3y - 2x = 5.

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Dakle, x = 3; y = 3 2/3.

Ispitivanje.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Odgovor. x = 3; y = 3 2/3

3) Grafički način.

Ova se metoda temelji na činjenici da se grafovi jednadžbi crtaju u jednom koordinatnom sustavu. Ako se grafovi jednadžbe sijeku, tada su koordinate presječne točke rješenje ovog sustava. Ako su grafovi jednadžbe paralelni pravci, tada dati sustav nema rješenja. Ako se grafovi jednadžbi spoje u jednu ravnu liniju, tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Na primjer.

Riješite sustav jednadžbi.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Konstruiramo grafove funkcija y = 2x - 5 i y = 3 - 6x na istom koordinatnom sustavu.

Grafovi funkcija y \u003d 2x - 5 i y \u003d 3 - 6x sijeku se u točki A (1; -3).

Stoga će rješenje ovog sustava jednadžbi biti x = 1 i y = -3.

Ispitivanje.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Odgovor. x = 1; y = -3.

Zaključak

Na temelju svega navedenog možemo zaključiti da su jednadžbe potrebne u moderni svijet ne samo za rješavanje praktičnih problema, već i kao znanstveno sredstvo. Stoga su mnogi znanstvenici proučavali ovo pitanje i nastavljaju proučavati.

Tekst rada postavljen je bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan na kartici "Datoteke rada" u PDF formatu

UVOD

"Jednadžba je zlatni ključ koji otključava sav matematički sezam"

S. Koval

Matematičko obrazovanje stečeno u školi je vrlo glavni dioživot suvremenog čovjeka. Gotovo sve što nas okružuje na ovaj ili onaj način povezano je s matematikom. Rješenje mnogih praktičnih problema svodi se na rješavanje jednadžbi raznih vrsta.

Jednadžbe su najopsežnija tema cijelog kolegija algebre. U prošlosti akademska godina na satovima algebre upoznali smo se s kvadratnim jednadžbama. Kvadratne jednadžbe imaju široku primjenu u rješavanju različitih problema, kako u području matematike, tako i u području fizike i kemije.

U školskom kolegiju matematike osnovni rješenja kvadratne jednadžbe. Međutim, postoje i druge metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi, od kojih vam neke omogućuju brzo i racionalno rješavanje.

Proveli smo anketu među 84 učenika 8-9 razreda na dva pitanja:

Koje metode rješavanja kvadratnih jednadžbi poznajete?

Koje najviše koristite?

Na temelju rezultata ankete dobiveni su sljedeći rezultati:

Analizirajući rezultate, došli smo do zaključka da većina učenika koristi korijenske formule pri rješavanju kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta i da nisu dovoljno svjesni kako rješavati kvadratne jednadžbe.

Stoga je tema koju smo odabrali relevantna.

Postavili smo ispred sebe cilj: istražiti nekonvencionalne načine rješavanje kvadratnih jednadžbi, za upoznavanje učenika 8. i 9. razreda u različiti putevi rješenja, razvijati sposobnost odabira racionalnog načina rješavanja kvadratne jednadžbe.

Da biste postigli ovaj cilj, morate riješiti sljedeće zadaci:

prikupiti informacije o različitim načinima rješavanja kvadratnih jednadžbi,

savladati pronađena rješenja,

napisati program za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristeći formule korijena kvadratne jednadžbe u Excelu,

razviti didaktički materijal za sat ili izvannastavne aktivnosti za nestandardne metode rješavanje kvadratnih jednadžbi,

s učenicima 8.-9. razreda provesti sat "Neobični načini rješavanja kvadratnih jednadžbi".

Predmet proučavanja: kvadratne jednadžbe.

Predmet istraživanja: različiti načini rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Vjerujemo u to praktični značaj rad se sastoji u mogućnosti korištenja banke tehnika i metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi u matematici i izvannastavne aktivnosti, kao i u upoznavanju učenika 8-9 razreda s ovim materijalom.

POGLAVLJE 1. NEOBIČNE METODE ZA RJEŠAVANJE KVADRATNIH JEDNADŽBI

1. 1. SVOJSTVA KOEFICIJENATA (a,b,c)

Metoda se temelji na svojstvima koeficijenata a,b,c:

Ako je a a+b+c=0, onda = 1, =

Primjer:

-6x 2 + 2x +4=0, tada = 1, = = .

Ako je a a-b+c=0, tada = -1, = -

Primjer:

2017x 2 + 2001x +16 = 0, tada = -1, -.

1. 1. OVISNOSTI KOEFICIJENATA (a,b,c)

Vrijede sljedeće ovisnosti koeficijenata a,b,c:

Ako je b=a 2 +1, c=a, tada je x 1 =-a; x 2 \u003d -.

Ako je b=-(a 2 +1), a=c, tada je x 1 =a; x 2 =.

Ako je b=a 2 -1, c=-a, tada je x 1 =-a; x 2 = .

Ako je b=-(a 2 -1), -a=c, tada je x 1 =a; x 2 \u003d -.

Riješimo sljedeće jednadžbe:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. "REVERZIJA" GLAVNOG KOEFICIJENTA

Koeficijent a se množi slobodnim terminom, kao da se na njega „prenosi“, stoga se naziva „metodom prijenosa“. Nadalje, korijene pronalazi Vietin teorem. Pronađeni korijeni se dijele s prethodno prenesenim koeficijentom, zahvaljujući čemu nalazimo korijene jednadžbe.

Primjer:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

“Prebacimo” koeficijent 2 na slobodni član, kao rezultat dobivamo jednadžbu

na 2 - 3y + 2 = 0.

Prema Vietinom teoremu

na 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

na 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Odgovor: 0,5; jedan.

1. 1. METODA GRAFIČKOG RJEŠENJA

Ako je u jednadžbi a x 2 + bx + c= 0 premjestiti drugi i treći član na desna strana, tada dobivamo a x 2 = -bx-c .

Napravimo grafove ovisnosti na= sjekira 2 i na= -bx-c u jednom koordinatnom sustavu.

Graf prve ovisnosti je parabola koja prolazi kroz ishodište. Graf druge ovisnosti je ravna crta.

Mogući su sljedeći slučajevi:

ravna crta i parabola mogu se sijeći u dvije točke, apscise presječnih točaka su korijeni kvadratne jednadžbe;

pravac i parabola se mogu dodirivati ​​(samo jedna zajednička točka), t.j. jednadžba ima jedno rješenje;

ravna crta i parabola nemaju zajedničke točke, tj. kvadratna jednadžba nema korijena.

Riješimo sljedeće jednadžbe:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 \u003d - 2x + 3

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo graf funkcije y \u003d x 2 i graf funkcije y \u003d - 2x + 3. Označavajući apscise točaka sjecišta, dobivamo odgovor.

Odgovor: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 \u003d - 6x - 9

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo graf funkcije y \u003d x 2 i graf funkcije y \u003d -6x - 9. Označavajući apscisu dodirne točke, dobivamo odgovor.

Odgovor: x = - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

U jednom koordinatnom sustavu gradimo graf funkcije y \u003d 2x 2 i graf funkcije

Parabola y = 2x 2 i pravac y = 4x - 7 nemaju zajedničkih točaka, stoga jednadžba nema korijena.

Odgovor: nema korijena.

1. 1. RJEŠAVANJE KVADRATSKIH JEDNADŽBI UZ POMOĆ KOMPASA I ravnala

Rješavamo jednadžbu ax 2 + bx + c \u003d 0:

Konstruirajmo točke S(-b:2a,(a+c):2a) - središte kružnice i točku A(0,1).

Nacrtaj kružnicu polumjera SA.

Apscise točaka presjeka s osi Ox korijeni su izvorne jednadžbe.

U ovom slučaju moguća su tri slučaja:

1) Polumjer kružnice je veći od ordinate središta ( AS>SK, ili R>), kružnica siječe os Oh u dvije točke..B( x 1 ; 0) i D(x 2 ;0), gdje x 1 i x 2 - korijeni kvadratne jednadžbe Oh 2 + bx + c = 0.

2) Polumjer kružnice jednak je ordinati središta ( AS = SV, ili R=), krug dodiruje os Oh u točki B( x 1 ; 0), gdje x 1 je korijen kvadratne jednadžbe.

3) Polumjer kružnice manji je od ordinate središta ( KAO< SВ , ili R< ), kružnica nema zajedničkih točaka s x-osi, u kojem slučaju jednadžba nema rješenja.

a) AS > SV ili R >, b) AS = SV ili R= u) KAO< SВ, ili R< .

Dva rješenja x 1 i x 2 . Jedno Rješenje x 1.. Nema rješenja.

Primjer 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

Odluka:

Nacrtajmo krug radijusa SA, gdje ALI (0;1).

Odgovor: x 1 = 1, x 2 \u003d 3.

Primjer 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Odluka: Pronađite koordinate S: x=3, y=5.

Odgovor: x=3.

Primjer 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Odluka: Koordinate središta kruga: x= - 2 i y = 3.

Odgovor: nema korijena

1. 1. NOMOGRAMSKO RJEŠENJE

Nomogram (od grčkog "nomos" - zakon i gram), grafički prikaz funkcije nekoliko varijabli, što omogućuje korištenje jednostavnih geometrijske operacije(npr. primjenom ravnala) istražiti funkcionalne ovisnosti bez izračuna. Na primjer, riješite kvadratnu jednadžbu bez korištenja formula.

Staro je i sada zaboravljeni način rješenje kvadratnih jednadžbi, postavljeno na 83. stranici zbirke: Bradis V.M. "Četverodimenzionalne matematičke tablice". - M., "DROFA", 2000. Tablica XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbi z 2 + pz + q = 0(vidi Dodatak 1).

Ovaj nomogram omogućuje, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, određivanje korijena jednadžbe prema njezinim koeficijentima.

Krivolinijska skala nomograma se gradi prema formulama: OV= , AB =

Uz pretpostavku OS = p, ED = q, OE = a(sve u cm), iz sličnih trokuta SAN i CDF dobivamo omjer odakle, nakon zamjena i pojednostavljenja, slijedi jednadžba z 2 + pz + q = 0, a slovo z označava oznaku bilo koje točke na krivolinijskoj skali.

Primjer 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

Na ljestvici p nalazimo oznaku -9, a na q skali oznaku 8. Kroz te oznake povlačimo ravnu liniju koja siječe krivulju skale nomograma na oznakama 1 i 8. Prema tome, korijeni jednadžbe 1 i 8.

Odgovor: 1; osam.

Upravo je ta jednadžba riješena u Bradysovoj tablici na stranici 83 (vidi Dodatak 1).

Primjer 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podijelimo koeficijente ove jednadžbe s 2, dobijemo jednadžbu:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0.5.

Primjer 3:x 2 - 25x + 66 = 0

Koeficijenti p i q su izvan skale. Izvršimo zamjenu x=5z, dobivamo jednadžbu:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

što se rješava pomoću nomograma.

Uzmi z 1 = 0,6 i z 2 = 4,4,

gdje x 1 = 5z 1 = 3,0 i x 2 = 5z 2 = 22,0.

Odgovor: 3; 22.

Primjer 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , a negativni korijen pronaći oduzimanjem pozitivan korijen van -str , oni. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Odgovor: 1; -6.

Primjer 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogram daje pozitivan korijen od z 1 =4, a negativan je z 2 =-p-4=

= 2 - 4= -2.

Odgovor: 4; -2.

2. POGLAVLJE

Odlučili smo napisati program za rješavanje kvadratne jednadžbe s koristeći Excel- raširena je kompjuterski program. Potreban je za izvođenje proračuna, sastavljanje tablica i dijagrama, jednostavno izračunavanje i složene funkcije. Dio je paketa Microsoft Office.

List Excel programi, gdje su prikazane formule:

Prikazuje se Excel list konkretan primjer rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 - 14x - 15 = 0:

3. POGLAVLJE

Formula korijena kvadratne jednadžbe pomoću diskriminanta D i D1	Svestranost, jer može se koristiti za rješavanje apsolutno svih kvadratnih jednadžbi	Glomazan diskriminator nije uključen u tablicu kvadrata
Vietin teorem	Brzo rješenje u određenim slučajevima i ušteda vremena	Ako diskriminant nije savršen kvadrat cijelog broja. Necjelobrojni koeficijenti b i c.
Izbor pun kvadrat	Pravilnom transformacijom u kvadrat binoma dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu i stoga se korijeni nalaze brže	Teškoća odabira punog kvadrata kada razlomački koeficijenti jednadžbe
Metoda grupiranja	Može se riješiti bez poznavanja formula	Nije uvijek moguće rastaviti srednji pojam na prikladne pojmove za grupiranje
Grafički način	Nisu potrebne formule. Možete brzo saznati broj korijena jednadžbe	Aproksimacija rješenja
Svojstva koeficijenti a,b,c	Brzina odluke. Za jednadžbe s velikim koeficijentima	Pogodno samo za neke jednadžbe
"Reroll" glavnog koeficijenta	Brzina rješenja ako su korijeni cijeli broj	Isto kao i korištenje Vietinog teorema
Nomogram	vidljivost Sve što je potrebno za rješavanje je nomogram	Nemate uvijek nomogram sa sobom. Netočnost rješenja
Pronalaženje korijena šestarom i ravnalom	vidljivost	Ako su koordinate središta necijeli brojevi. Pronalaženje korijena jednadžbi s velikim koeficijentima

ZAKLJUČAK

“Često je za studenta algebre korisnije riješiti isti problem na tri različita načina nego tri ili četiri različita problema. Rješavanje jednog problema razne metode, usporedbom možete saznati koji je kraći i učinkovitiji. Tako se stvara iskustvo."

Walter Warwick Sawyer

Tijekom rada prikupljali smo materijal i proučavali metode rješavanja (pronalaženja korijena) kvadratnih jednadžbi. Rješenje jednadžbi na različite načine prikazano je u Dodatku 2.

studiranje različiti putevi rješavajući kvadratne jednadžbe, zaključili smo da za svaku jednadžbu možete odabrati svoj najučinkovitiji i najracionalniji način pronalaženja korijena. Svako od rješenja je jedinstveno i prikladno u određenim slučajevima. Neke metode rješavanja štede vrijeme, što je važno kod rješavanja zadataka za OGE, druge pomažu u rješavanju jednadžbe s vrlo velikim koeficijentima. Pokušali smo usporediti različita rješenja sastavljanjem tablice koja odražava prednosti i nedostatke svake od metoda.

Razvili smo se Priručnik. S bankom zadataka na temu možete se upoznati u Dodatku 3.

Korištenje Microsoft Excel, sastavili smo proračunska tablica, što vam omogućuje da automatski izračunate korijene kvadratne jednadžbe pomoću formula korijena.

Imali smo lekciju neobične načine rješavanje kvadratnih jednadžbi, za učenike 9. razreda. Učenicima su se metode jako svidjele, napomenuli su da će im stečeno znanje biti od koristi daljnje obrazovanje. Rezultat sata bio je rad učenika u kojem su se predstavili razne opcije rješavanje kvadratnih jednadžbi (vidi Dodatak 4).

Materijal rada može koristiti onima koji vole matematiku i onima koji žele znati više o matematici.

KNJIŽEVNOST

Bradis V. M. “Četveroznamenkaste matematičke tablice za Srednja škola“, M.: Drfa, 2000.

Vilenkin N.Ya. "Algebra za 8. razred", M .: Obrazovanje, 2000.

Galitsky M.L. "Zbirka zadataka iz algebre", M .: Obrazovanje 2002.

Glazer G.I. "Povijest matematike u školi", M.: Obrazovanje, 1982.

Zvavich L.I. "Algebra 8. razred", Moskva: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. „Algebra 8. razred“, Moskva: Obrazovanje, 2015.

Pluzhnikov I. "10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi" // Matematika u školi. - 2000.- Broj 40.

Presman A.A. "Rješenje kvadratne jednadžbe pomoću šestara i ravnala"//M., Kvant, br. 4/72, str.34.

Savin A.P. " enciklopedijski rječnik mladi matematičar,

Moskva: Pedagogija, 1989.

Internetski resursi:

http://revolution.allbest.ru/

DODATAK 1

"ZBIRKA BRADIS V.M."

DODATAK 2

"RJEŠAVANJE JEDNADŽBE NA SVE NAČINE"

Početna jednadžba:4x 2 +3x -1 = 0.

1.Formula korijena kvadratne jednadžbe pomoću diskriminanta D

4x 2 +3x -1 = 0

D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => jednadžba ima dva korijena

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. Vietin teorem

4x 2 +3x -1 = 0, podijelite jednadžbu sa 4 da bude smanjena

x 2 +x -=0

x 1 = -1

x 2 =

3. Metoda odabira punog kvadrata

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2x *+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + -) (2x + +) = 0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

x 1 = x 2 = -1

4. Metoda grupiranja

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0, proizvod = 0 kada je jedan od faktora = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

x 1 = x 2 = -1

5. Svojstva koeficijenata

4x 2 +3x -1 = 0

Ako je a - b+c=0, tada = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Metoda "prijenosa" glavnog koeficijenta

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

Vietin teorem:

y 1 = -4

y 2 = 1

Pronađene korijene podijelimo s glavnim koeficijentom i dobijemo korijene naše jednadžbe:

x 1 = -1

x 2 =

7. Metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću šestara i ravnala

4x 2 +3x -1 = 0

Odredite koordinate točke središta kružnice po formulama:

x 1 = -1

x 2 =

8. Grafičko rješenje

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

U jednom koordinatnom sustavu gradimo graf funkcije y = 4x 2 i graf funkcije

y \u003d - 3x + 1. Označavajući apscise točaka presjeka, dobivamo odgovor:

x 1 = -1

9. Korištenje nomograma

4x 2 +3x -1 = 0, podijelimo koeficijente jednadžbe 1/s 4, dobijemo jednadžbu

x 2 +x -= 0.

Nomogram daje pozitivan korijen = ,

a negativni korijen se nalazi oduzimanjem pozitivnog korijena od - str , oni.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Rješenje ove jednadžbe u EXCEL-u

DODATAK 3

„DIDAKTIČKI MATERIJAL ZA TEMU

“RJEŠENJE KVADRATIVNIH JEDNADŽBI” »

10x 2 + 2017h + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1,5

55x 2 -44x -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75,5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0,2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

DODATAK 4

STUDENTSKI RADOVI

Znam školska matematika, dijete prvi put čuje izraz "jednadžba". Što je to, pokušajmo to shvatiti zajedno. U ovom članku ćemo razmotriti vrste i metode rješavanja.

Matematika. Jednadžbe

Za početak, predlažemo da se pozabavimo samim konceptom, što je to? Kao što mnogi udžbenici matematike kažu, jednadžba su neki izrazi između kojih uvijek postoji znak jednakosti. Ti izrazi sadrže slova, takozvane varijable, čija se vrijednost mora pronaći.

Ovo je atribut sustava koji mijenja svoju vrijednost. dobar primjer varijable su:

• temperatura zraka;
• visina djeteta;
• težina i tako dalje.

U matematici se označavaju slovima, na primjer, x, a, b, c ... Obično je zadatak u matematici sljedeći: pronaći vrijednost jednadžbe. To znači da trebate pronaći vrijednost tih varijabli.

Sorte

Jednadžba (što je, raspravljali smo u prethodnom odlomku) može biti sljedećeg oblika:

• linearni;
• kvadrat;
• kubični;
• algebarski;
• transcendentan.

Za detaljnije upoznavanje sa svim vrstama, razmotrit ćemo svaku zasebno.

Linearna jednadžba

Ovo je prva vrsta s kojom se učenici upoznaju. Oni se rješavaju prilično brzo i jednostavno. Dakle, što je linearna jednadžba? Ovo je izraz oblika: ax=s. Nije baš jasno, pa dajmo nekoliko primjera: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Pogledajmo primjere jednadžbi. Da bismo to učinili, moramo prikupiti sve poznate podatke s jedne strane, a nepoznate podatke s druge strane: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Ovdje se koristi elementarna pravila matematika: a*c=e, iz ovoga c=e/a; a=e/s. Da bismo dovršili rješenje jednadžbe, izvršimo jednu radnju (u našem slučaju dijeljenje) x=13; x=8; x=5. Ovo su bili primjeri množenja, sada pogledajmo oduzimanje i zbrajanje: x + 3 = 9; 10x-5=15. Poznate podatke prenosimo u jednom smjeru: x=9-3; x=20/10. Izvodimo posljednju radnju: x=6; x=2.

Moguće su i varijante linearnih jednadžbi, gdje se koristi više od jedne varijable: 2x-2y=4. Da bismo riješili, potrebno je svakom dijelu dodati 2y, dobivamo 2x-2y + 2y = 4-2y, kao što smo primijetili, na lijevoj strani znaka jednakosti -2y i +2y su smanjeni, dok mi imaju: 2x \u003d 4 -2u. Posljednji korak je podijeliti svaki dio s dva, dobivamo odgovor: x je jednako dva minus y.

Problemi s jednadžbama nalaze se čak i na Ahmesovim papirusima. Evo jednog od problema: zbroj broja i njegovog četvrtog dijela iznosi 15. Da bismo ga riješili, zapisujemo sljedeću jednadžbu: x plus jedna četvrtina x jednako je petnaest. Vidimo još jedan primjer kao rezultat rješenja, dobivamo odgovor: x=12. Ali ovaj se problem može riješiti na drugi način, naime egipatski ili, kako se to na drugi način naziva, metodom pretpostavke. Koristi se u papirusu sljedeće rješenje: uzeti četiri i njegov četvrti dio, odnosno jedan. Ukupno daju pet, sada se petnaest mora podijeliti sa zbrojem, dobijemo tri, posljednjom radnjom tri pomnožimo s četiri. Dobivamo odgovor: 12. Zašto u rješenju dijelimo petnaest sa pet? Tako saznajemo koliko puta petnaest, odnosno rezultat koji trebamo dobiti manji je od pet. U srednjem vijeku problemi su se rješavali na ovaj način, postao je poznat kao metoda lažnog položaja.

Kvadratne jednadžbe

Osim primjera o kojima smo ranije govorili, postoje i drugi. Što točno? Što je kvadratna jednadžba? Izgledaju kao sjekira 2 +bx+c=0. Da biste ih riješili, morate se upoznati s nekim konceptima i pravilima.

Najprije morate pronaći diskriminant koristeći formulu: b 2 -4ac. Postoje tri moguća rješenja:

• diskriminirajući Iznad nule;
• manje od nule;
• jednaka nuli.

U prvoj opciji možemo dobiti odgovor iz dva korijena, koji se nalaze po formuli: -b + - korijen diskriminanta podijeljen s udvostručenim prvim koeficijentom, odnosno 2a.

U drugom slučaju, jednadžba nema korijena. U trećem slučaju, korijen se nalazi po formuli: -b / 2a.

Razmotrimo primjer kvadratne jednadžbe za detaljnije upoznavanje: tri x na kvadrat minus četrnaest x minus pet jednako je nuli. Za početak, kao što je ranije napisano, tražimo diskriminant, u našem slučaju to je 256. Imajte na umu da je rezultirajući broj veći od nule, stoga bismo trebali dobiti odgovor koji se sastoji od dva korijena. Dobiveni diskriminant zamjenjujemo u formulu za pronalaženje korijena. Kao rezultat, imamo: x je jednako pet i minus jedna trećina.

Posebni slučajevi u kvadratnim jednadžbama

Ovo su primjeri u kojima su neke vrijednosti nula (a, b ili c), a moguće i više od jedan.

Na primjer, uzmite sljedeću jednadžbu, koja je kvadratna: dva x na kvadrat jednaka su nuli, ovdje vidimo da su b i c nula. Pokušajmo to riješiti, za to podijelimo oba dijela jednadžbe s dva, imamo: x 2 \u003d 0. Kao rezultat, dobivamo x=0.

Drugi slučaj je 16x 2 -9=0. Ovdje je samo b=0. Rješavamo jednadžbu, prenosimo slobodni koeficijent na desnu stranu: 16x 2 = 9, sada svaki dio dijelimo sa šesnaest: x 2 = devet šesnaestih. Budući da imamo x na kvadrat, korijen od 9/16 može biti negativan ili pozitivan. Odgovor pišemo na sljedeći način: x je jednako plus / minus tri četvrtine.

Takav je odgovor također moguć, budući da jednadžba uopće nema korijen. Pogledajmo ovaj primjer: 5x 2 +80=0, ovdje b=0. Da biste riješili slobodni član, bacite ga na desnu stranu, nakon ovih radnji dobivamo: 5x 2 \u003d -80, sada svaki dio dijelimo s pet: x 2 \u003d minus šesnaest. Ako je bilo koji broj na kvadrat, onda negativno značenje nećemo dobiti. Stoga naš odgovor zvuči ovako: jednadžba nema korijen.

Trinomska ekspanzija

Zadatak za kvadratne jednadžbe može zvučati i na drugi način: rastaviti kvadratni trinom za množitelje. To se može učiniti pomoću sljedeće formule: a (x-x 1) (x-x 2). Za to je, kao iu drugoj verziji zadatka, potrebno pronaći diskriminant.

Razmotrimo sljedeći primjer: 3x 2 -14x-5, faktoriziraj trinom. Pronalazimo diskriminant, koristeći nam već poznatu formulu, ispada da je 256. Odmah napominjemo da je 256 veće od nule, dakle, jednadžba će imati dva korijena. Nalazimo ih, kao u prethodnom odlomku, imamo: x = pet i minus jednu trećinu. Upotrijebimo formulu za razlaganje trinoma na faktore: 3(x-5)(x+1/3). U drugoj zagradi dobili smo znak jednakosti, jer formula sadrži znak minus, a korijen je također negativan, koristeći elementarno znanje matematike, u zbroju imamo predznak plus. Da pojednostavimo, množimo prvi i treći član jednadžbe da bismo se riješili razlomka: (x-5) (x + 1).

Kvadratne jednadžbe

NA ovaj stavak naučiti rješavati više složene jednadžbe. Krenimo odmah s primjerom:

(x 2 - 2x) 2 - 2 (x 2 - 2x) - 3 = 0. Možemo primijetiti elemente koji se ponavljaju: (x 2 - 2x), zgodno nam je zamijeniti ga drugom varijablom za rješenje, i zatim riješite uobičajenu kvadratnu jednadžbu, odmah napominjemo da ćemo u takvom zadatku dobiti četiri korijena, to vas ne bi trebalo uplašiti. Označavamo ponavljanje varijable a. Dobivamo: a 2 -2a-3=0. Naš sljedeći korak je pronaći diskriminant nove jednadžbe. Dobivamo 16, nalazimo dva korijena: minus jedan i tri. Sjećamo se da smo izvršili zamjenu, zamjenjujemo ove vrijednosti, kao rezultat imamo jednadžbe: x 2 - 2x \u003d -1; x 2 - 2x=3. Rješavamo ih u prvom odgovoru: x jednako jednom, u drugom: x je jednako minus jedan i tri. Odgovor pišemo na sljedeći način: plus / minus jedan i tri. U pravilu se odgovor piše uzlaznim redoslijedom.

Kubične jednadžbe

Razmotrimo drugu moguća varijanta. Biti će oko kubične jednadžbe. Izgledaju ovako: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. U nastavku ćemo razmotriti primjere jednadžbi, ali prvo malo teorije. Mogu imati tri korijena, postoji i formula za pronalaženje diskriminanta za kubičnu jednadžbu.

Razmotrimo primjer: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Kako to riješiti? Da bismo to učinili, jednostavno izvadimo x iz zagrada: x(3x 2 +4x+2)=0. Sve što nam preostaje je izračunati korijene jednadžbe u zagradama. Diskriminant kvadratne jednadžbe u zagradama manji je od nule, pa izraz ima korijen: x=0.

Algebra. Jednadžbe

Idemo dalje na sljedeća vrsta. Sada ćemo ukratko pregledati algebarske jednadžbe. Jedan od zadataka je sljedeći: faktorizirajte 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Najprikladniji način bi bio sljedeće grupiranje: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Imajte na umu da smo 8x2 iz prvog izraza predstavili kao zbroj 3x2 i 5x2. Sada iz svake zagrade izvadimo zajednički faktor 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Vidimo da imamo zajednički faktor: x na kvadrat plus jedan, vadimo ga iz zagrada: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Daljnje proširenje je nemoguće, budući da obje jednadžbe imaju negativan diskriminant.

Transcendentalne jednadžbe

Predlažemo da se bavimo sljedećom vrstom. To su jednadžbe koje sadrže transcendentalne funkcije, naime logaritamske, trigonometrijske ili eksponencijalne. Primjeri: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 i tako dalje. Kako se rješavaju naučit ćete iz tečaja trigonometrije.

Funkcija

Posljednji korak je razmatranje koncepta jednadžbe funkcije. Za razliku od prethodnih opcija, dati tip nije riješen, već se na njemu gradi graf. Da biste to učinili, jednadžba treba biti dobro analizirana, pronaći sve potrebne točke za izgradnju, izračunati minimalne i maksimalne točke.

Jednadžba koja je kvadratni trinom obično se naziva kvadratna jednadžba. Sa stajališta algebre, opisuje se formulom a*x^2+b*x+c=0. U ovoj formuli, x je nepoznata koja se može pronaći (naziva se slobodna varijabla); a, b i c su brojčani koeficijenti. Što se tiče komponenti ovoga, postoji niz ograničenja: na primjer, koeficijent a ne bi trebao biti jednak 0.

Rješavanje jednadžbe: pojam diskriminanta

Vrijednost nepoznatog x, pri kojoj se kvadratna jednadžba pretvara u pravu jednakost, naziva se korijenom takve jednadžbe. Da biste riješili kvadratnu jednadžbu, prvo morate pronaći vrijednost posebnog koeficijenta - diskriminanta, koji će pokazati broj korijena razmatrane jednakosti. Diskriminant se izračunava po formuli D=b^2-4ac. U tom slučaju rezultat izračuna može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli.

U ovom slučaju treba imati na umu da koncept zahtijeva da samo koeficijent a bude strogo različit od 0. Stoga koeficijent b može biti jednak 0, a sama jednadžba u ovom slučaju je a*x^2+ c=0. U takvoj situaciji u formulama za izračun diskriminanta i korijena treba koristiti vrijednost koeficijenta jednaku 0. Dakle, diskriminant će u ovom slučaju biti izračunat kao D=-4ac.

Rješenje jednadžbe s pozitivnim diskriminantom

Ako se diskriminant kvadratne jednadžbe pokaže pozitivnim, iz ovoga možemo zaključiti da ova jednakost ima dva korijena. Ovi se korijeni mogu izračunati pomoću sljedeće formule: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Dakle, za izračunavanje vrijednosti korijena kvadratne jednadžbe za pozitivna vrijednost korišten diskriminant poznate vrijednosti koeficijenti dostupni u . Zahvaljujući korištenju zbroja i razlike u formuli za izračun korijena, rezultat izračuna bit će dvije vrijednosti koje pretvaraju dotičnu jednakost u ispravnu.

Rješenje jednadžbe s nulom i negativnim diskriminantom

Ako se pokazalo da je diskriminant kvadratne jednadžbe jednak 0, možemo zaključiti da rečena jednadžba ima jedan korijen. Strogo govoreći, u ovoj situaciji, jednadžba još uvijek ima dva korijena, ali zbog nulte diskriminanta one će biti međusobno jednake. U ovom slučaju x=-b/2a. Ako se tijekom izračunavanja vrijednost diskriminanta pokaže negativnom, treba zaključiti da razmatrana kvadratna jednadžba nema korijena, odnosno takve vrijednosti x kod kojih se pretvara u pravu jednakost.