Красников Г.Е., Нагорнов О., Старостин Н.В. Моделирование физических процессов с использованием пакета Comsol Multiphysics

Электрические кабели характеризуются такими параметрами, как импеданс и коэффициент затухания. В данном топике будет рассмотрен пример моделирования коаксиального кабеля, для которого существует аналитическое решение. Мы покажем вам, как рассчитать параметры кабеля, исходя из результатов моделирования электромагнитных полей в среде COMSOL Multiphysics. Разобравшись с принципами построения модели коаксиального кабеля, в дальнейшем мы сможем применять полученные знания для вычисления параметров линий передач или кабелей произвольного типа.

Вопросы проектирования электрических кабелей

Электрические кабели, называемые также линиями электропередачи, в настоящее время повсеместно применяются для передачи данных и электроэнергии. Даже если вы читаете этот текст с экрана на сотового телефона или планшетного компьютера, используя “беспроводную” связь, все равно внутри вашего устройства остаются “проводные” линии электропередачи, соединяющие различные электрические компоненты в единое целое. А вернувшись вечером домой, вы, скорее всего, подключите к устройству кабель питания для зарядки.

Применяются самые разнообразные линии электропередач от малых, выполненных в виде копланарных волноводов на печатных монтажных платах, до очень больших высоковольтных линий электропередачи . Они также должны функционировать в различных и, зачастую, экстремальных режимах и условиях эксплуатации, от трансатлантических телеграфных кабелей до электропроводки на космических кораблях, внешний вид которой приведен на рисунке ниже. Линии передачи необходимо разрабатывать с учетом всех необходимых требований, чтобы гарантировать их надежную работу в заданных условиях. Кроме этого, они могут являться предметом исследований с целью дальнейшей оптимизации конструкции, включая выполнение требований по механической прочности и малому весу.

Соединительные провода в грузовом отсеке макета шаттла OV-095 в Shuttle Avionics Integration Laboratory (SAIL).

При проектировании и использовании кабелей, инженеры часто оперируют с распределенными (или удельными, т.е. приходящимися на единицу длины) параметрами для последовательного сопротивления (R), последовательной индуктивности (L), шунтирующей емкости (C), и шунтирующей проводимости (G, иногда называемой проводимостью изоляции). Эти параметры вполне можно использовать для расчета качества функционирования кабеля, его характеристического импеданса и потерь в нем при распространении сигналов. Однако важно иметь в виду, что эти параметры находятся из решения уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Для численного решения уравнений Максвелла с целью расчета электромагнитных полей, а также для учета влияния мультифизических эффектов, можно использовать среду COMSOL Multiphysics, что позволит определить, каким образом изменяются параметры кабеля и его эффективность при различных режимах работы и условиях эксплуатации. Разработанная модель может быть впоследствии преобразована в интуитивно-понятное приложение, подобно приведенному , которое рассчитывает параметры для стандартных и часто используемых линий передач.

В данном топике мы разберем случай коаксиального кабеля — фундаментальной задачи, которая обычно содержится в любом стандартном учебном курсе по СВЧ-технике или линиям электропередач. Коаксиальный кабель является настолько фундаментальным физическим объектом, что Оливер Хевисайд (Oliver Heaviside) запатентовал его в 1880 году, спустя всего лишь несколько лет после того, как Максвелл сформулировал свои знаменитые уравнения. Для студентов изучающих историю науки — это тот самый Оливер Хевисайд, который впервые сформулировал уравнения Максвелла в том векторном виде, который является теперь общепринятым; тот, кто впервые использовал термин “импеданс”; и кто внес весомый вклад в развитие теории линий электропередач.

Результаты аналитического решения для коаксиального кабеля

Начнем свое рассмотрение с коаксиального кабеля, имеющего характерные размеры, обозначенные на схематичном изображении его поперечного сечения, представленном ниже. Диэлектрическая сердцевина между внутренним и внешним проводником имеет относительную диэлектрическую проницаемость (\epsilon_r = \epsilon" -j\epsilon"" ) равную 2.25 – j*0.01, относительную магнитную проницаемость (\mu_r ) равную 1 и нулевую проводимость, тогда как внутренний и внешний проводники обладают проводимостью (\sigma ) равной 5.98e7 С/м (Сименс/метр).

2D поперечное сечение коаксиального кабеля со значениями характерных размеров: a = 0.405 мм, b = 1.45 мм, и t = 0.1 мм.

Стандартный метод решения для линий электропередач заключается в том, что структура электромагнитных полей в кабеле предполагается известной, а именно считается, что они будут осциллировать и затухать в направлении распространения волны, в то время как в поперечном направлении профиль сечения поля остается неизменным. Если затем мы находим решение, удовлетворяющее исходным уравнениям, то в силу теоремы единственности, найденное решение будет являться верным.

На математическом языке все вышесказанное эквивалентно тому, что решение уравнений Максвелла ищется в виде анзац -формы

для электромагнитного поля , где (\gamma = \alpha + j\beta ) является комплексной постоянной распространения, а \alpha и \beta являются коэффициентами затухания и распространения, соответственно. В цилиндрических координатах для коаксиального кабеля, это приводит к хорошо известным решениям для полей

\begin{align}
\mathbf{E}&= \frac{V_0\hat{r}}{rln(b/a)}e^{-\gamma z}\\
\mathbf{H}&= \frac{I_0\hat{\phi}}{2\pi r}e^{-\gamma z}
\end{align}

из которых затем получаются распределенные параметры на единицу длины

\begin{align}
L& = \frac{\mu_0\mu_r}{2\pi}ln\frac{b}{a} + \frac{\mu_0\mu_r\delta}{4\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
C& = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon"}{ln(b/a)}\\
R& = \frac{R_s}{2\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
G& = \frac{2\pi\omega\epsilon_0\epsilon""}{ln(b/a)}
\end{align}

где R_s = 1/\sigma\delta — поверхностное сопротивление, а \delta = \sqrt{2/\mu_0\mu_r\omega\sigma} является .

Чрезвычайно важно подчеркнуть, что соотношения для емкости и шунтирующей проводимости выполняются для любых частот, в то время как выражения для сопротивления и индуктивности зависят от глубины скин-слоя и, следовательно, применимы только при частотах, на которых глубина скин-слоя много меньше физической толщины проводника. Именно поэтому второй член в выражении для индуктивности, называемый также внутренней индуктивностью , может быть незнаком некоторым читателям, так как им обычно пренебрегают, когда металл рассматривается как идеальный проводник. Этот член представляет собой индуктивность, вызванную проникновением магнитного поля в металл, обладающий конечной проводимостью, и пренебрежимо мал при достаточно высоких частотах. (Он также может быть представлен в виде L_{Internal} = R/\omega .)

Для последующего сопоставления с численными результатами, можно вычислить соотношение для сопротивления по постоянному току из выражения для проводимости и площади поперечного сечения металла. Аналитическое выражение для индуктивности (по постоянному току) немного сложнее, и поэтому мы приводим его здесь для справки.

L_{DC} = \frac{\mu}{2\pi}\left\{ln\left(\frac{b+t}{a}\right) + \frac{2\left(\frac{b}{a}\right)^2}{1- \left(\frac{b}{a}\right)^2}ln\left(\frac{b+t}{b}\right) – \frac{3}{4} + \frac{\frac{\left(b+t\right)^4}{4} – \left(b+t\right)^2a^2+a^4\left(\frac{3}{4} + ln\frac{\left(b+t\right)}{a}\right) }{\left(\left(b+t\right)^2-a^2\right)^2}\right\}

Теперь, когда у нас есть значения C и G во всем диапазоне частот, значения для R и L по постоянному току, и их асимптотические значения в области высоких частот, мы обладаем прекрасными ориентирами для сравнения с численными результатами.

Моделирование кабелей в модуле AC/DC

При постановке задачи для численного моделирования, всегда важно учитывать следующий момент: возможно ли использование симметрии задачи для уменьшения размеров модели и увеличения скорости вычислений. Как мы видели ранее, точное решение будет иметь вид \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} . Поскольку интересующее нас пространственное изменение полей, происходит в первую очередь в xy -плоскости, то мы хотим выполнить моделирование только в 2D-поперечном сечении кабеля. Однако при этом возникает проблема, которая заключается в том, что для 2D-уравнений, используемых в AC/DC модуле, предполагается, что поля остаются инвариантными в направлении перпендикулярном плоскости моделирования. Это означает, что мы не сможем получить информацию о пространственном изменении анзац-решения за счет единственного 2D AC/DC-моделирования. Однако с помощью моделирования в двух различных плоскостях это возможно. Последовательное сопротивление и индуктивность зависят от тока и энергии, запасенной в магнитном поле, тогда как шунтирующая проводимость и емкость зависят от энергии в электрическом поле. Рассмотрим эти аспекты более подробно.

Распределенные параметры для шунтирующей проводимости и емкости

Поскольку шунтирующая проводимость и емкость могут быть рассчитаны, исходя из распределения электрического поля, начнем с применения интерфейса Электрические токи .

Граничные условия и свойства материала для интерфейса моделирования Электрические токи.

После того, как геометрия модели определена и присвоены значения свойствам материала, делается предположение о том, что поверхность проводников является эквипотенциальной (что абсолютно обосновано, поскольку разница в проводимостях между проводником и диэлектриком, составляет, как правило, почти 20 порядков по величине). Затем мы задаем значения физических параметров, присваивая внутреннему проводнику электрический потенциал V 0 и заземление внешнему проводнику для нахождения электрического потенциала в диэлектрике. Вышеуказанные аналитические выражения для емкости получаются из следующих наиболее общих соотношений

\begin{align}
W_e& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}\\
W_e& = \frac{C|V_0|^2}{4}\\
C& = \frac{1}{|V_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}

где первое соотношение является уравнением электромагнитной теории, а второе уравнением теории цепей.

Третье соотношение является комбинацией первого и второго уравнений. Подставляя вышеуказанные известные выражения для полей, мы получим приведенный ранее аналитический результат для C в коаксиальном кабеле. В итоге эти уравнения позволяют нам определить ёмкость через значения полей для произвольного кабеля. По результатам моделирования, мы можем вычислить интеграл плотности электрической энергии, что дает для емкости значение 98.142 пФ/м и совпадает с теорией. Поскольку G и C и связаны выражением

G=\frac{\omega\epsilon"" C}{\epsilon"}

у нас теперь имеется два из четырех параметров.

Стоит повторить, что мы сделали предположение о том, что проводимость диэлектрической области равна нулю. Это стандартное предположение, которое делается во всех учебных пособиях, и мы также следуем здесь этому соглашению, потому что оно не оказывает существенного влияния на физику — в отличие от включения нами в рассмотрение члена внутренней индуктивности, что обсуждалось ранее. Многие материалы для диэлектрического сердечника обладают ненулевой проводимостью, но это легко может быть учтено при моделировании, просто подставив новые значения в свойства материала. В этом случае, для обеспечения надлежащего сопоставления с теорией, необходимо также внести соответствующие поправки в теоретические выражения.

Удельные параметры для последовательного сопротивления и индуктивности

Аналогичным образом, последовательное сопротивление и индуктивность можно рассчитать с помощью моделирования при использовании интерфейса Магнитные поля в модуле AC/DC. Настройки моделирования элементарны, что иллюстрируется на рисунке ниже.

Области проводников добавляются к узлу Одновитковая Катушка в разделе Группа катушек, и, выбранная опция обратного направления тока гарантирует, что направление тока во внутреннем проводнике будет противоположным току внешнего проводника, что обозначается на рисунке точками и крестиками. При расчете частотной зависимости будет учитываться распределение тока в одновитковой катушке, а не произвольное распределение тока, показанное на рисунке.

Для вычисления индуктивности обратимся к следующим уравнениям, которые являются магнитным аналогом предыдущих уравнений.

\begin{align}
W_m& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}\\
W_m& = \frac{L|I_0|^2}{4}\\
L& = \frac{1}{|I_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}

Для вычисления сопротивления, применяется несколько другая техника. Сначала, мы интегрируем резистивные потери для определения рассеиваемой мощности, приходящейся на единицу длины. А затем используем хорошо известное соотношение P = I_0^2R/2 для расчета сопротивления. Поскольку R и L изменяются с частотой, давайте посмотрим на расчетные значения и аналитическое решение в пределе постоянного тока и в области высоких частот.

“Аналитическое решение для постоянного тока” и ” Аналитическое решение в области высоких частот” графические зависимости соответствуют решениям аналитических уравнений для постоянного тока и в области высоких частот, которые обсуждались ранее в тексте статьи. Отметим, что обе зависимости приведены в логарифмическом масштабе по частотной оси.

Хорошо видно, что расчетные значения плавно переходят из решения для постоянного тока в области низких частот в высокочастотное решение, которое будет справедливым при глубине скин-слоя много меньшей толщины проводника. Разумно предположить, что переходная область располагается приблизительно в том месте по оси частот, где глубина скин-слоя и толщина проводника различаются не более чем на порядок величины. Эта область лежит в диапазоне от 4.2e3 Гц до 4.2e7 Гц, что в точности соответствует ожидаемому результату.

Характеристический импеданс и постоянная распространения

Теперь, когда мы завершили трудоемкую работу по вычислению R, L, C, и G, остаются еще два других, существенных для анализа линий электропередач параметра, которые нужно определить. Ими являются характеристический импеданс (Z c) и комплексная постоянная распространения (\gamma = \alpha + j\beta ), где \alpha — коэффициент затухания, а \beta — коэффициент распространения.

\begin{align}
Z_c& = \sqrt{\frac{(R+j\omega L)}{(G+j\omega C)}}\\
\gamma& = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}
\end{align}

На рисунке ниже, представлены эти значения, вычисленные с помощью аналитических формул в режимах постоянного тока и высокочастотного сигнала, в сравнении со значениями, определенными по результатам моделирования. Кроме этого, четвертой зависимостью на графике является импеданс, рассчитанный в среде COMSOL Multiphysics с помощью модуля Радиочастоты, который мы кратко рассмотрим чуть позже. Как можно заметить, результаты численного моделирования хорошо согласуются с аналитическими решениями для соответствующих предельных режимов, а также дают правильные значения в переходной области.

Сравнение характеристического импеданса, вычисленного с использованием аналитических выражений и определенного по результатам моделирования в среде COMSOL Multiphysics. Аналитические кривые строились с помощью соответствующих предельных выражений для режима постоянного тока и высокочастотной области, рассмотренных ранее, тогда как для моделирования в среде COMSOL Multiphysics использовались модули AC/DC и Радиочастоты. Для наглядности, толщина линии “RF module” была специально увеличена.

Моделирование кабеля в области высоких частот

Энергия электромагнитного поля распространяется в виде волн, а значит рабочая частота и длина волны обратно пропорциональны друг другу. По мере того, как мы сдвигаемся в область все более высоких частот, мы вынуждены принимать во внимание относительный размер длины волны и электрический размер кабеля. Как обсуждалось в предыдущей записи , мы должны сменить AC/DC на модуль Радиочастоты при электрическом размере приблизительно λ/100 (о концепции «электрического размера» см. там же). Если в качестве электрического размера мы выберем диаметр кабеля, а вместо скорости света в вакууме — скорость света в диэлектрическом сердечнике кабеля, то получим частоту для перехода в районе 690 МГц.

При таких высоких частотах, сам кабель более уместно рассматривать в качестве волновода, а возбуждение кабеля можно рассматривать, как моды волновода. Используя волноводную терминологию, до сих пор мы рассматривали моду специального типа, называемую TEM -модой, которая может распространяться на любой частоте. Когда поперечное сечение кабеля и длина волны становятся сопоставимы, мы также должны учитывать возможность существования мод высших порядков. В отличие от TEM-моды большинство волноводных мод может распространяться только при частоте возбуждения выше некоторой характеристической частоты отсечки. Благодаря цилиндрической симметрии в нашем примере, имеется выражение для частоты отсечки первой моды высшего порядка — TE11. Эта частота отсечки f c = 35.3 ГГц, но даже при такой относительно простой геометрии, частота отсечки является решением трансцендентного уравнения, которое мы не будем рассматривать в данной статье.

Так какое значение для наших результатов имеет эта самая частота отсечки? Выше этой частоты, энергия волны, переносимая в TEM-моде, которой мы интересуемся, имеет потенциальную возможность вступить во взаимодействие с TE11-модой. В идеализированной геометрии, подобной смоделированной здесь, никакого взаимодействия не будет. В реальной же ситуации, однако, любые дефекты в конструкции кабеля могут привести к взаимодействию мод на частотах выше частоты отсечки. Это может являться результатом воздействия целого ряда неконтролируемых факторов: от погрешностей изготовления до градиентов свойств материала. Такую ситуацию проще всего избежать на стадии проектирования кабелей, расчитав работу на заведомо более низких частотах, чем частота отсечки мод высшего порядка, так чтобы распространяться могла только одна мода. Если это представляет интерес, то вы можете также использовать среду COMSOL Multiphysics для моделирования взаимодействия между модами высших порядков, как это сделано в этой (хотя это выходит за рамки настоящей статьи).

Модальный анализ в модуле Радиочастоты и модуле Волновая оптика

Моделирование мод высших порядков идеально реализуется с помощью модального анализа в модуле Радиочастоты и модуле Волновая оптика. Анзац-формой решения в этом случае является выражение \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} , которое в точности соответствует структуре мод, что и является нашей целью. В результате, модальный анализ сразу выдает решение для пространственного распределения поля и комплексной постоянной распространения для каждой из заданного количества мод. При этом мы можем использовать ту же геометрию модели, что и прежде, за исключением того, что нам достаточно использовать в качестве области моделирования только диэлектрический сердечник и .

Результаты расчета константы затухания и эффективного показателя преломления волновой моды из Модового Анализа. Аналитическая кривая на левом графике — коэффициент затухания в зависимости от частоты — вычисляется с использованием тех же самых выражений, как и в случае ВЧ-кривых, используемых для сравнения с результатами моделирования в AC/DC модуле. Аналитическая кривая на правом графике — эффективный показатель преломления в зависимости от частоты — это просто n = \sqrt{\epsilon_r\mu_r} . Для наглядности, размер линии “COMSOL — TEM” был преднамеренно увеличен на обоих графиках.

Отчетливо видно, что результаты Модового Анализа TEM-моды совпадают с аналитической теорией и, что рассчитанная мода высшего порядка появляется на предварительно определенной частоте отсечки. Удобно, что комплексная постоянная распространения непосредственно вычисляется в процессе моделирования и не требует промежуточных вычислений R, L, C, и G. Это становится возможным в силу того, что \gamma явным образом включена в искомую форму анзац-решения и находится при решении подстановкой ее в основное уравнение. При желании, другие параметры также могут быть вычислены для TEM-моды, а более подробную информацию об этом можно найти в из Галереи Приложений. Заслуживает также внимания тот факт, что этот же метод модального анализа может быть использован для расчета диэлектрических волноводов, как это реализовано в .

Заключительные замечания по моделированию кабелей

К настоящему моменту мы тщательно проанализировали модель коаксиального кабеля. Мы вычислили распределенные параметры от режима постоянного тока до области высоких частот и рассмотрели первую моду высшего порядка. Немаловажно, что результаты модального анализа зависят только от геометрических размеров и свойств материала кабеля. Результаты для моделирования в модуле AC/DC требуют дополнительной информации о том, каким образом кабель возбуждается, но, надеюсь, вы в курсе о том, что подключается к вашему кабелю! Мы использовали аналитическую теорию исключительно для того, чтобы сравнить результаты численного моделирования с хорошо известными результатами для эталонной модели. Это означает, что анализ можно обобщить и на другие кабели, равно как и добавить к нему взаимосвязи для мультифизического моделирования, которые включают в себя температурные изменения и структурные деформации.

Несколько интересных нюансов для построения модели (в виде ответов на возможные вопросы):

“Почему вы не упомянули и/или не привели графики характеристического импеданса и всех распределенных параметров для TE11-моды?”
- Потому что только TEM-моды имеют однозначно определенные напряжение, ток и характеристический импеданс. В принципе, возможно, приписать некоторые из этих значений модам высших порядков, и этот вопрос более подробно буден рассмотрен в дальнейших статьях, а также в различных работах по теории линий передач и СВЧ-техники.
“Когда я решаю задачу на моды с использованием Модального анализа, они маркируются с помощью своих рабочих индексов. Откуда берутся обозначения TEM- и TE11-мод?”
- Эти обозначения появляются при теоретическом анализе и используются для удобства при обсуждении результатов. Такое наименование не всегда возможно при произвольной геометрии волновода (или кабеля в волноводном режиме), однако стоит учитывать, что данное обозначение всего лишь “имя”. Какое бы наименование не было у моды, она по-прежнему несет электромагнитную энергию (исключая, разумеется, нетуннелирующие эванесцентные волны)?
“Почему в некоторых ваших формулах присутствует дополнительный множитель ½?”
- Это происходит при решении задач электродинамики в частотной области, а именно, при умножении двух комплексных величин. При выполнении усреднения по времени, появляется дополнительный множитель ½, в отличие от выражений во временной области (или при постоянном токе). За дополнительной информацией вы можете обратиться к трудам по классической электродинамике.

Литература

Следующие монографии были использованы при написании этой заметки и послужат превосходными источниками при поиске дополнительной информации:

Microwave Engineering (СВЧ техника) , by David M. Pozar
Foundations for Microwave Engineering (Основы СВЧ-техники) , by Robert E. Collin
Inductance Calculations (Расчет индуктивности) , by Frederick W. Grover
Classical Electrodynamics (Классическая электродинамика) , by John D. Jackson

Последняя версия продуктов COMSOL Multiphysics® и COMSOL Server™ содержит современную интегрированную среду для проведения инженерного анализа, которая позволяет специалистам в области численного моделирования создавать мультифизические модели и разрабатывать приложения для моделирования, которые могут быть с легкостью развернуты для доступа сотрудников и клиентов по всему миру.

Берлингтон, штат Массачусетс, 17 июня 2016 года . Компания COMSOL, Inc., ведущий поставщик программного обеспечения для мультифизического моделирования, сегодня сообщает о выходе новой версии программного обеспечения для моделирования COMSOL Multiphysics® и COMSOL Server™. В пакет COMSOL Multiphysics®, COMSOL Server™ и модули расширения были добавлены сотни новых ожидаемых пользователями функций и усовершенствований с целью повышения точности, удобства и производительности продукта. От новых решателей и методов до разработки приложений и инструментов развертывания, новая версия программного обеспечения COMSOL® 5.2a расширяет возможности электротехнического, механического, гидродинамического и химического моделирования и оптимизации.

Новые мощные инструменты мультифизического моделирования

В COMSOL Multiphysics 5.2a три новых решателя производят более быстрые и менее требовательные к объему памяти вычисления. Сглаженный алгебраический многосеточный решатель (SA-AMG) особенно эффективен при моделировании линейно-упругих систем, но также может быть применен и для многих других расчетов. Этот решатель экономно использует память, позволяя рассчитывать сложные конструкции с миллионами степеней свободы на обычном компьютере или ноутбуке.

Пример 1. Задачи термовязкостной акустики решаются с помощью решателя для декомпозиции областей. Результатом являются локальное ускорение, полное акустическое давление и полная плотность вязкой диссипации энергии. Подобная модель COMSOL® используется в создании микрофонов и динамиков для таких товаров широкого потребления, как смартфоны, планшеты и ноутбуки. Она состоит из 2,5 миллионов степеней свободы и требует для решения 14 ГБ ОЗУ. В предыдущих версиях прямой решатель потребовал бы 120 ГБ ОЗУ.

Решатель для декомпозиции областей был оптимизирован для работы с большими мультифизическими моделями. «Благодаря решателю для декомпозиции областей специалисты по моделированию смогли создать надежную и гибкую технологию для более эффективного расчета взаимосвязей в мультифизических задачах. Раньше для подобных целей был нужен прямой решатель, более требовательный к компьютерной памяти, - поясняет Якоб Истрем (Jacob Ystrom), технический руководитель отдела численного анализа в компании COMSOL. - Пользователь сможет получить выгоду от эффективности этого решателя, используя его как на одиночном компьютере, на кластере, так и во взаимодействии с другими решателями, такими как сглаженный алгебраический многосеточный решатель (SA-AMG)».

В версии 5.2а доступен новый явный решатель, основанный на разрывном методе Галеркина, для решения нестационарных задач акустики. «Комбинация разрывного метода Галеркина и поглощающих слоев в нестационарных условиях позволяет использовать меньше памяти устройства при создании самых реалистичных моделей», - утверждает Мадс Йенсен (Mads Jensen), менеджер по техническим продуктам, отдел акустики.

Простое и масштабируемое создание и развертывание приложений для глобального использования

Полный комплект вычислительных инструментов программного пакета COMSOL Multiphysics® и Среды разработки приложений позволяет специалистам в области моделирования проектировать и совершенствовать свои продукты, а также создавать приложения для удовлетворения нужд своих коллег и клиентов. Приложения для моделирования позволяют пользователям без опыта работы в таких программах использовать их в своих целях. В версии 5.2a разработчики могут создавать более динамичные приложения, в которых пользовательский интерфейс может меняться в процессе работы приложения, централизовать работу с единицами измерения для команд из разных стран, а также прикреплять гиперссылки и видео.

Пример 2. Этот пример приложения, доступный в Библиотеке приложений COMSOL Multiphysics® и COMSOL Server™, может быть использован для разработки магнитно-индукционного устройства для нагрева продуктов питания.

Приложения распространяются среди организаций с помощью COMSOL Client for Windows® или с помощью подключения к COMSOL Server™ через веб-браузер. Это экономически выгодное решение позволяет контролировать использование приложения как пользователями в организации, так и клиентами и покупателями по всему миру. В последней версии администраторы могут настроить индивидуальный внешний вид и оформление программ COMSOL Server™, разрабатывая фирменный стиль своих приложений, а также установить число предварительно запущенных приложений для наиболее часто используемых задач.

«Благодаря гибкой настройке внешнего вида и стиля приложений, запускаемых с помощью COMSOL Server, наши клиенты могут развивать свой бренд, узнаваемый и используемый их покупателями и другими специалистами», - поясняет Сванте Литтмарк (Svante Littmarck), президент и исполнительный директор COMSOL Inc.

Пример 3. Администраторы могут разработать индивидуальный графический стиль веб-интерфейса COMSOL Server™. Они получают возможность добавлять HTML-код и менять цветовое оформление, логотипы, а также экран авторизации для создания фирменного дизайна.

«Среда разработки приложений позволила нам предоставить другим отделам доступ к приложению анализа, для использования которого им не нужно знать теоретических основ метода конечных элементов, - сообщает Ромен Атель (Romain Haettel), главный инженер Корпоративного исследовательского центра АBB. - Мы также используем лицензию COMSOL Server для распространения нашего приложения среди своих коллег по всему миру с целью тестирования. Мы надеемся, что новая версия COMSOL Server позволит нам в короткие сроки выпустить программное обеспечение с собственным фирменным стилем, которое понравится пользователям еще больше». Корпоративный исследовательский центр АBB является мировым лидером в производстве силовых трансформаторов и первопроходцем в создании и развертывании приложений моделирования для использования по всему миру.

«Клиенты доверяют нашим мультифизическим решениям для создания и развертывания приложений благодаря исключительной надежности и простоте их использования. Они пожинают плоды этой технологии, внедряя более эффективные рабочие потоки и процессы», - говорит Литтмарк.

Сотни долгожданных функций и усовершенствований в COMSOL Multiphysics®, COMSOL Server™ и модулях расширения

Версия 5.2a предлагает новые и усовершенствованные функциональные возможности, ожидаемые пользователями: от базовых технологий до специальных граничных условий и библиотек материалов. Например, алгоритм тетраэдральной сетки вместе с современным алгоритмом оптимизации качества позволяют с легкостью создавать грубые сетки, использующиеся в предварительных исследованиях сложных геометрий САПР, состоящих из множества мелких деталей. Визуализации теперь включают аннотации в формате LaTeX, усовершенствованные графики скалярного поля, экспорт в формате VTK и новые палитры цветов.

Добавлена возможность учета векторного магнитного гистерезиса для моделирования трансформаторов и ферромагнитных материалов. Доступно граничное условие главного терминала для легкого моделирования устройств с сенсорным экраном и микроэлектромеханических устройств. При моделировании трассировки лучей можно комбинировать материалы с градиентным и постоянным показателем преломления в сеточных областях и областях с отсутствием сетки. Новый график оптической аберрации служит для измерения монохроматической аберрации. Использование четырехполюсников, быстрая развертка по частоте и нелинейное преобразование частоты теперь доступны для высокочастотного электромагнитного анализа.

Инженеры-проектировщики и инженеры-технологи, работающие во всех отраслях производства, получат выгоду от новой функции адгезии и когезии при анализе различных процессов, включающих механический контакт взаимодействующих деталей. Стал доступен новый физический интерфейс для моделирования линейной и нелинейной магнитострикции. Пользователи, моделирующие теплопередачу, теперь могут получить доступ к метеорологическим базам данных с 6 000 метеостанций, а также смоделировать жидкие, твердые или пористые тонкослоистые среды в разрезе.

Пример 4. Численное моделирование COMSOL® врезного времяпролетного ультразвукового расходомера для нестационарного потока. Ультразвуковой сигнал, проходящий через устройство, показан в разных временных интервалах. В первую очередь вычисляется устойчивый фоновый поток в расходомере. Далее используется физический интерфейс Convected Wave Equation, Time Explicit (Конвекционное волновое уравнение с явным указанием времени) для моделирования ультразвукового сигнала, проходящего через устройство. Интерфейс основан на разрывном методе Галеркина

Пользователи, моделирующие поток жидкости в условиях действия сил плавучести, оценят новый способ учета силы тяжести в областях с неоднородной плотностью, упрощающий создание моделей естественной конвекции, в которых плотность жидкости может зависеть от температуры, минерализации и других условий. При моделировании течения в трубопроводе пользователь теперь может выбирать новые характеристики насоса.

Для химического моделирования появился новый мультифизический интерфейс течения с химическими реакциями, а также возможность расчета поверхностной реакции в слое гранул реагента. Производители и проектировщики аккумуляторов теперь могут моделировать сложные трехмерные сборки батарейных блоков, используя новый интерфейс Single Particle Battery (Одночастичная модель батареи). Разряд и заряд аккумулятора моделируются с помощью одночастичной модели в каждой точке геометрического построения. Это позволяет оценить геометрическое распределение плотности тока и локальное состояние заряда в аккумуляторной батарее.

Обзор новых функций и инструментов версии 5.2a

COMSOL Multiphysics®, Среда разработки приложений и COMSOL Server™ : Внешний вид пользовательского интерфейса приложений моделирования может изменяться в процессе их работы. Централизованное управление единицами измерения для помощи командам, работающим в разных странах. Поддержка гиперссылок и видео. Новое окно Add Multiphysics (Добавить мультифизическую модель) позволяет пользователям с легкостью создать мультифизическую модель шаг за шагом, предоставляя список доступных предопределенных мультифизических связей для выбранных физических интерфейсов. Для многих полей, включая поля для ввода уравнений, была добавлена возможность автоматического завершения ввода.
Геометрия и сетка : Усовершенствованный алгоритм построения тетраэдральной сетки в новой версии может с легкостью создавать грубые сетки для сложных геометрий САПР, состоящих из множества мелких деталей. Новый алгоритм оптимизации, включенный в функцию построения сетки, улучшает качество элементов; это увеличивает точность решения и скорость сходимости. В интерактивных чертежах двумерных геометрий теперь улучшены точки привязки и отображение координат.
Инструменты математического моделирования, анализа и визуализации : В новой версии добавлены три новых решателя: сглаженный алгебраический многосеточный метод, решатель для декомпозиции областей и разрывный метод Галеркина (DG). Пользователи теперь могут сохранить данные и графики в узле Export (Экспорт) раздела Results (Результаты) в формате VTK, что позволит им импортировать результаты моделирования и сетки, созданные в COMSOL, в другое программное обеспечение.
Электротехника : В модуль AC/DC теперь включена встроенная модель материалов для магнитного гистерезиса Джилса - Атертона. Новые взаимосвязи сосредоточенных четырехполюсников, появившиеся в модуле «Радиочастоты», позволяют при моделировании сосредоточенных элементов представлять части высокочастотной схемы в упрощенном виде, без необходимости моделирования деталей.
Механика : В модуль «Механика конструкций» включены новые функции адгезии и когезии, доступные как подузел в расширении Contact (Контакт). Доступен физический интерфейс Magnetostriction (Магнитострикция), поддерживающий линейную и нелинейную магнитострикцию. Возможность нелинейного моделирования материалов была расширена новыми моделями пластичности, смешанного изотропного и кинематического отвердения и вязкоэластичности с большими деформациями.
Гидродинамика : Модуль «Вычислительная гидродинамика» и модуль «Теплопередача» теперь учитывают силу тяжести и одновременно компенсируют гидростатическое давление на границах. Доступна новая функция линеаризации плотности в интерфейсе Non-Isothermal Flow (Неизотермический поток). Это упрощение часто используется для свободно-конвективных потоков.
Химия : Производители и проектировщики аккумуляторов теперь могут моделировать сложные трехмерные сборки батарейных блоков, используя новый физический интерфейс Single Particle Battery (Одночастичная модель батареи), доступный в модуле «Аккумуляторы и топливные элементы». В дополнение к этому в новой версии доступен новый физический интерфейс Reacting Flow Multiphysics (Мультифизический реагирующий поток).

Используя COMSOL Multiphysics®, Среду разработки приложений и COMSOL Server™, специалисты в области моделирования имеют все условия для создания динамических, простых в использовании, быстрых в разработке и масштабируемых приложений для определенной области производства.

Доступность

Чтобы просмотреть обзорное видео и скачать COMSOL Multiphysics® и программное обеспечение COMSOL Server™ 5.2a, посетите сайт https://www.comsol.ru/release/5.2a .

О компании COMSOL

Компания COMSOL - глобальный поставщик программного обеспечения для компьютерного моделирования, используемого технологическими компаниями, научными лабораториями и университетами для проектирования продуктов и проведения исследований. Программный пакет COMSOL Multiphysics® - это интегрированная программная среда для создания физических моделей и приложений для моделирования. Особая ценность программы состоит в возможности учета междисциплинарных или мультифизических явлений. Дополнительные модули расширяют возможности платформы моделирования для электрических, механических, гидродинамических и химических прикладных областей. Богатый инструментарий импорта-экспорта позволяет интегрировать COMSOL Multiphysics® со всеми основными инструментами САПР, имеющимися на рынке инженерного программного обеспечения. Специалисты в области компьютерного моделирования применяют COMSOL Server™, чтобы предоставить группам разработчиков, производственным отделам, испытательным лабораториям и клиентам компании возможность воспользоваться приложениями в любой точке мира. Компания COMSOL была основана в 1986 году. На сегодняшний день в нашем штате более 400 сотрудников в 22 отделениях в различных странах, и мы сотрудничаем с сетью дистрибьюторов для продвижения наших решений.

COMSOL, COMSOL Multiphysics, Capture the Concept и COMSOL Desktop являются зарегистрированными торговыми марками компании COMSOL AB. COMSOL Server, LiveLink и Simulation for Everyone являются торговыми марками компании COMSOL AB. Другие названия продуктов и брендов являются торговыми марками или зарегистрированными торговыми марками соответствующих владельцев .

а). Чертеж расчетной области с указанием граничных условий и решаемого уравнения б). Результаты расчета – картина поля и значение сопротивление растекания

для однородного грунта. Результаты вычисления коэффициента экранирования.

в). Результаты расчета – картина поля и значение сопротивление растекания для двухслойного грунта. Результаты вычисления коэффициента экранирования.

2. Исследование электрического поля в нелинейном ограничителе перенапряжений

Нелинейные ограничители перенапряжений (рис.2.1) применяются для защиты высоковольтного оборудования от перенапряжений. Типичный ограничитель перенапряжений с полимерной изоляцией состоит из нелинейного оксидно-цинкового резистора (1), размещаемого внутри изоляционного стеклопластикового цилиндра (2), на наружную поверхность которого напрессована силиконовая изоляционная покрышка (3). Изоляционный корпус ограничителя с обоих концов закрыт металлическими фланцами (4), имеющими резьбовое присоединение к стеклопластиковой трубе.

Если ограничитель находится под рабочим напряжением сети, то активный ток, протекающий через резистор пренебрежимо мал и электрические поля в рассматриваемой конструкции хорошо описываются уравнениями электростатики

div gradU 0

E gradU,

где - электрический потенциал, - вектор напряженности электрического поля.

В рамках данной работы необходимо исследовать распределение электрического поля в ограничителе и рассчитать его емкость.

Рис.2.1 Конструкция нелинейного ограничителя перенапряжений

Поскольку ограничитель перенапря-жений является телом вращения, то при расчете электрического поля целесообразно применить цилиндрическую систему координат. В качестве примера будет рассмотрен аппарат на напряжение 77 кв. Аппарат для работы установлен на проводящее цилиндрическое основание. Расчетная область с указанием размеров и граничных условий представлена на рис.2.2. Внешние размеры расчетной области следует выбрать равными примерно 3- 4 высоты аппарата вместе с установочной базой высотой 2.5 м. Уравнение для потенциала в условиях цилиндрической симметрии можно записать в цилиндрической системе координат с двумя независимыми переменными в виде

Рис.2.2 Расчетная область и граничные условия

На границе расчетной (заштрихованной) области (рис. 2.2) устанавливаются следующие граничные условия: на поверхности верхнего фланца потенциал, соответствующий рабочему напряжению U=U 0 аппарата, поверхность нижнего фланца и основания аппарата заземлены, на границах внешней

области задается условия исчезновения поля U 0; на участках границы с

r=0 задается условие осевой симметрии (axis symmetry).

Из физических свойств материалов конструкции ограничителя перенапряжений необходимо задать относительную диэлектрическую проницаемость, значения которой приведены в таблице 2.1

Относительная диэлектрическая проницаемость подобластей расчетной области

Рис. 2.3

Конструктивные размеры приведены на рис.2.3

ограничителя перенапряжений и основания

Построение расчетной модели начинается с запуска Comsol Multiphysics и на стартовой вкладке

Выбираем 1) тип геометрии (space dimension) – 2D Axisymmetric, 2) Тип физической задачи – AC/DC module- >static->electrostatics.

Важно заметить, что все геометрические размеры и другие параметры задачи следует задавать, используя систему единиц SI.

Рисование расчетной области начинаем с нелинейного резистора (1). Для этого в меню Draw выбираем specify objects->rectangle и вводим width 0.0425 и hight 0.94, а так же координаты базовой точки r=0 и z=0.08. Затем аналогично рисуем: стенку стеклопластиковой трубы: (Width= 0.0205, hight=1.05, r=0.0425, z=0.025); стенку резиновой изоляции

(width=0.055, hight=0.94, r=0.063, z=0.08).

Далее рисуются прямоугольники заготовок подобластей фланцев: верхнего (width=0.125, hight=0.04, r=0, z=1.06), (width=0.073, hight=0.04, r=0, z=1.02) и нижнего (width=0.073, hight=0.04, r=0, z=0.04), (width=0.125, hight=0.04, r=0, z=0). На этом этапе построения геометрии модели следует выполнить скругление острых кромок электродов. Для этого используется команда Fillet меню Draw. Для того, чтобы воспользоваться этой командой, выделяем мышью прямоугольник один из углов которого будет сглаживаться и выполняем Draw->Fillet. Далее мышью отмечаем вершину сглаживаемого угла и во всплывшем окне вводим значение радиуса скругления. Этим методом выполним скругления углов сечения фланцев имеющих непосредственный контакт с воздухом (рис.2.4), установив начальный радиус скругления равным 0.002 м. далее этот радиус следует выбрать исходя из ограничения коронного разряда.

После выполнения операций скругления кромок остается начертить основание (base) и внешюю область. Это можно сделать описанными выше командами вычерчивания прямоугольника. Для основания (width=0.2, hight=2.4, r=0, z=-2.4) и для внешней области (width=10, hight=10, r=0, z=- 2.4).


	Следующим этапом подготовки

	модели является задание физических
	свойств элементов конструкции. В
	нашей задаче	диэлектрическая
	проницаемость.			удобства
	редактирования			создадим
	список констант, используя меню
	Options->constats. В ячейки таблицы
	констант
	константы и ее значение, причем
	имена можно назначать произвольно.
Рис.2.4 Области скругления (Fillet)	Числовые значения	диэлектрической
	проницаемости		материалов
	конструкции		ограничителя

	приведены выше. Дадим, например,
	следующие		постоянным

eps_var, eps_tube, eps_rubber, числовые значения которых будут определять относительную диэлектрическую проницаемость соответственно нелинейного резистора, стеклопластиковой трубы, внешней изоляции.

Далее переводим Сomsol Мultiphysis c в режим задания свойств подобластей с помощью команды Physics->Subdomain settings. Используя команду zoom window можно увеличивать при необходимости фрагменты чертежа. Для задания физических свойств подобласти ее следует выделить мышью на чертеже или выбрать из списка, который появится на экране после выполнения данной выше команды. Выделенная область окрашивается на чертеже. В окноε r isotropic редактора свойств подобластей следует ввести имя соответствующей константы. Для внешней подобласти следует сохранить установленное по умолчанию значение диэлектрической проницаемости, равное 1.

Подобласти, находящихся внутри потенциальных электродов (фланцы и основание) следует исключить из анализа. Для этого в окне редактора свойств подобластей следует снять указатель active in this domain. Эта команда должна быть выполнена, например, для подобластей, показанных на

Следующий этап подготовки модели-


постановка граничных условий. Для
перехода к	редактированию		граничных
условий используется команда Physucs-

мыши выделяется нужная линия и с
	приведенной
запускается редактор граничных условий.
Тип и значение		граничного	условия на
каждом отрезке границы назначается в
соответствии		рис. 2.2. При задании

потенциала верхнего фланца его целесообразно также внести в список констант, например под именем U0 и с числовым значением 77000.

Завершает подготовку модели к расчету построение сетки конечных элементов. Для обеспечения высокой точности расчета поля вблизи кромок следует использовать ручную настройку размера конечных элементов в области скруглений. Для этого в режиме редактирования граничных условий выделить с помощью курсора мыши непосредственно скругление. Для выделения всех скруглений удерживаем клавишу Ctrl. Далее выбираем пункт меню Mesh-Free mesh parametrs->Boundary. В окно maximum element size

следует ввести числовое значение, получаемое умножением радиуса скругления на 0.1. Это обеспечит построение сетки, адаптированной к кривизне скругления кромки фланца. Построение сетки выполняется командой командой Mesh->Initialize mesh. Сетку можно сделать более густой с помощью команды Mesh->refine mesh. Команда Mesh->Refine selection

позволяет получить локальное сгущение сетки, например, вблизи линий с малым радиусом кривизны. При выполнении этой команды с помощью мыши на чертеже выделяется прямоугольная область, в пределах которой будет выполняться измельчение сетки. Для того, чтобы просмотреть уже построенную сетку можно использовать команду Mesh-> mesh mode.

Решение задачи выполняется командой Solve->solve problem. После выполнения расчета Сomsol Мultiphysis переходит в режим постпроцессора. При этом на экран выводится графическое представление результатов расчета. (По умолчанию это цветовая картина распределения электрического потенциала).

Для получения более удобного при распечатки на принтере представления картины поля можно изменить способ представления например следующим образом. Командой Postprocesing->Plot parameters открывается редактор постпроцессора. На закладке General активизировать два пункта: Contour и Streamline. В результате будет отображаться картина роля, состоящая из линий равного потенциала и силовых линий (напряженность электрического поля) – рис.2.6.

В рамках данной работы решаются две задачи:

выбор радиусов скругления кромок электродов, граничащих с воздухом, по условию возникновения коронного разряда и расчет электрической емкости ограничителя перенапряжений.

а) Выбор радиусов скругления кромок

При решении этой задачи следует исходить из величины напряженности начала коронного разряда равной примерно 2.5*106 В/м. После формирования и решения задачи для оценки распределения напряженности электрического поля вдоль поверхности верхнего фланца следует перевести Сomsol Мultiphysis в режим редактирования граничных условий и выделить необходимый участок границы верхнего фланца (рис.9)

Типичная картина поля ограничителя перенапряжений

Выделение участка границы фланца для построения распределения напряженности электрического поля

Далее с помощью команды Postprocessing -> Domain plot parameters-> Line extrusion следует редактор величин для рисования линейных распределений и ввести в окно отображаемой величины имя модуля напряженности электрического поля - normE_emes. После нажатия OK будет построен график распределения напряженности поля вдоль выделенного участка границы. Если напряженность поля превосходит указанную выше величину, то следует вернуться к построению геометрической модели (Draw->Draw mode) и увеличить радиусы скругления кромок. После выбора подходящих радиусов скругления сравнить распределение напряженности вдоль поверхности фланца с начальным вариантом.

2) Расчет электрической емкости

В рамках данной работы воспользуемся энергетическим способом оценки емкости. Для этого вычисляется объемный интеграл по всей

расчетной области от плотности энергии электростатического поля с помощью команды Postprocessing->Subdomain integration. При этом в появившемся окне со списком подобластей следует выделить все подобласти, содержащие диэлектрик, включая воздух, а в качестве интегрируемой величины выбрать плотность энергии поля -We_emes. Важно, чтобы режим вычисления интеграла с учетом осевой симметрии был активирован . В

результате вычисления интеграла (после нажатия OK) в нижней части

C 2We _emes /U 2 вычисляется емкость объекта.

Если заменить диэлектрическую проницаемость в области нелинейного резистора на значение, соответствующее стеклопластику, то свойства исследуемой конструкции будут полностью соответствовать полимерному опорному изолятору стержневого типа. Следует рассчитать емкость опорного изолятора и сравнить ее с емкостью ограничителя перенапряжений.

1. Модель (уравнение, геометрия, физические свойства, граничные условия)

2. Таблица результатов расчета максимальных напряженностей электрического поля на поверхности верхнего фланца при различных радиусах скругления. Следует привести распределения напряженности электрического поля на поверхности фланца при минимальном и максимальном из исследованных значениях радиуса скругления

3. Результаты расчета емкости ОПН и опорного изолятора

4. Объяснение результатов, выводы

3. Оптимизация электростатического экрана для нелинейного ограничителя перенапряжений.

В рамках данной работы следует на основе расчетов электростатического поля выбрать геометрические параметры тороидального экрана нелинейного ограничителя перенапряжений на напряжение 220 кВ. Данный аппарат состоит из двух одинаковых модулей включаемых последовательно путем установки друг на друга. Целый аппарат устанавливается на вертикальное основание высотой 2.5 м (рис.3.1).

Модули аппарата представляют собой полую изоляционную конструкцию цилиндрической формы, внутри которой располагается нелинейный резистор, представляющий собой колонку кругового сечения. Верхняя и нижняя части модуля оканчиваются металлическими фланцами, используемыми в качестве контактного соединения (рис. 3.1).

Рис.3.1 Конструкция двухмодульного ОПН -220 с выравнивающим экраном

Высота аппарата в сборе составляет около 2 м. Поэтому электрическое поле распределяется по его высоте с заметной неравномерностью. Это вызывает неравномерное распределение токов в резисторе ОПН при воздействии рабочего напряжения. В результате часть резистора получает повышенный нагрев, в то время как в других части колонки оказываются не нагруженными. Для того чтобы избежать данного явления в процессе длительной эксплуатации применяются тороидальные экраны, устанавливаемые на верхнем фланце аппарата, размеры и расположение которых выбирают исходя из достижения наиболее равномерного распределения электрического поля по высоте аппарата.

Поскольку конструкция ОПН с тороидальным экраном обладает осевой симметрией, то для расчета целесообразно использовать двухмерное уравнение для потенциала в цилиндрической системе координат

Для решения задачи в Comsol MultiPhysics используется модель 2-D Axial Symmetry AC/DC module->Static->Electrostatics. Расчетная область вычерчивается в соответствии с рис. 3.1 с учетом осевой симметрии.

Подготовка расчетной области выполняется по аналогии с работой 2. Внутренние области металлических фланцев целесообразно исключить из расчетной области (рис.3.2) с помощью команд Create composite object меню Draw. Внешние размеры расчетной области составляют 3-4 полной высоты конструкции. Острые кромки фланцев следует скруглить с радиусом 5-8 мм.

Физические свойства подобластей определяются значением относительной диэлектрической проницаемости применяемых материалов, значения которой приведены в таблице

Таблица 3.1

Относительная диэлектрическая проницаемость материалов конструкции ОПН

	Relative Permittivity

Tube (Glass plastic)
External insulation (rubber)

Граничные условия : 1) Поверхность верхнего фланца верхнего модуля и поверхность выравнивающего экрана Potential – фазное напряжение сети 154000*√2 В; 2) Поверхность нижнего фланца нижнего модуля, поверхность основания, поверхность земли – ground; 3) Поверхность промежуточных фланцев (нижний фланец верхнего и верхний фланец нижнего модуля) Floating Potential; 4) Линия осевой симметрии (r=0) – Axial Symmetry; 5)

Удаленные границы расчетной области Zero Charge/Symmetry Применяемое на промежуточном фланце граничное условие типа плавающий потенциал физически основано на равенстве нуля полного электрического

2. Руководство быстрого начала работы с COMSOL

Цель этого раздела состоит в том, чтобы ознакомить читателя со средой COMSOL, сосредотачиваясь прежде всего на том, как использовать еѐ графический интерфейс пользователя. Для облегчения этого быстрого начала данный подраздел содержит обзор последовательности действий по созданию несложных моделей и получению результатов моделирования.

Двумерная модель теплопередачи от медного кабеля в простом радиаторе

Эта модель исследует некоторые эффекты термоэлектрического нагревания. Строго рекомендуется, чтобы Вы следовали последовательности действий по моделированию, описанной в этом примере, даже если вы – не специалист в области теплопередачи; обсуждение сосредотачивается, прежде всего, на том, как использовать GUI-приложение COMSOL, а не на физических основах моделируемого явления.

Рассмотрим алюминиевый радиатор, который отводит тепло от изолированного высоковольтного медного кабеля. Ток в кабеле приводит к выделению теплоты из-за того, что кабель обладает электрическим сопротивлением. Эта теплота проходит через радиатор и рассеивается в окружающем воздухе. Пусть температура внешней поверхности радиатора постоянна и равна 273 K.

Рис. 2.1 . Геометрия поперечного сечения медной жилы с радиатором: 1 – радиатор; 2 – электрически изолированная медная жила.

В этом примере моделируется геометрия радиатора, поперечное сечение которого представляет собой правильную восьмиконечную звезду (рис. 2.1). Пусть геометрия радиатора плоскопараллельная. Пусть протяжѐнность радиатора в направлении оси z много

больше диаметра описанной окружности звезды. В этом случае можно игнорировать вариации температуры в направлении оси z , т.е. температурное поле можно считать тоже плоскопараллельным. Распределение температуры можно рассчитывать в двумерной геометрической модели в декартовых координатахx ,y .

Эта методика пренебрежения вариациями физических величин в одном направлении часто удобна при постановке реальных физических моделей. Вы можете часто использовать симметрию, чтобы создавать двумерные или одномерные модели высокой точности, значительно экономя время вычисления и память.

Технология моделирования в GUI-приложении COMSOL

Чтобы начать моделирование, нужно произвести запуск GUI-приложения COMSOL. Если на компьютере установлены MATLAB и COMSOL, то запуск COMSOL можно осуществить с рабочего стола Windows или кнопкой "Пуск" ("Программы", "COMSOL with MATLAB ").

В результате выполнения этой команды на экране будет развѐрнута фигура COMSOL и фигура Навигатора моделей (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Общий вид фигуры Навигатора моделей

Поскольку нас сейчас интересует двумерная модель теплопередачи, нужно на закладке New Навигатора в полеSpace dimension выбрать2D , выбрать модельApplication Modes/ COMSOL Multiphysics/ Heat transfer/Conduction/Steady-state analysis и нажать кнопку OK.

В результате этих действий фигура Навигатора моделей и поле axes COMSOL приобретут вид, изображѐнный на рис. 2.3, 2.4. По умолчанию моделирование выполняется в системе единиц СИ (система единиц выбирается по закладке Settings Навигатора моделей).

Рис. 2.3, 2.4. Фигура Навигатора моделей и поле axes COMSOL в прикладном режиме

Прорисовка геометрии

Теперь GUI-приложение COMSOL готово к прорисовке геометрии (действует режим Draw Mode). Прорисовывать геометрию можно, выполняя команды группы Draw главного меню или с помощью вертикально расположенной инструментальной панели, расположенной в левой части фигуры COMSOL.

Пусть начало координат находится в центре медной жилы. Пусть радиус жилы равен 2 мм. Поскольку радиатор представляет собой правильную звезду, половина его вершин лежит на вписанной окружности, а другая половина – на описанной окружности. Пусть радиус вписанной окружности равен 3 мм, углы при внутренних вершинах – прямые.

Существует несколько способов прорисовки геометрии. Наиболее простые из них – непосредственное рисование мышью в поле axes и вставка геометрических объектов из рабочей области MATLAB.

Например, нарисовать медную жилу можно следующим образом. Нажимаем кнопку вертикальной панели инструментов, устанавливаем указатель мыши в начале координат, нажимаем клавишу Ctrl и левую кнопку мыши и удерживаем их, перемещаем указатель мыши от начала координат до тех пор, пока радиус рисуемого круга не станет равным 2, отпускаем кнопку мыши и клавишу Ctrl. Прорисовку правильной звезды радиатора выполнить гораздо

сложнее. Можно с помощью кнопки нарисовать многоугольник, затем сделать по нему мышью двойной щелчок и в развѐрнутом диалоговом окне исправить значения координат всех вершин звезды. Такая операция слишком сложна и трудоѐмка. Рисуемую звезду можно

представить комбинацией квадратов, которые удобно создавать кнопками ,(при рисовании мышью нужно тоже удерживать клавишу Ctrl, чтобы получались квадраты, а не прямоугольники). Для точного позиционирования квадратов нужно делать по ним двойные щелчки и в разворачиваемых диалоговых окнах корректировать их параметры (координаты, длины и углы поворота можно задавать выражениями MATLAB). После точного позиционирования квадратов нужно из них создать составной геометрический объект, выполняя следующую последовательность действий. Выделяем квадраты, делая по ним одинарный щелчок мышью и удерживая клавишу Ctrl (выделяемые объекты будут

подсвечиваться коричневым цветом), нажимаем кнопку , в развѐрнутом диалоговом окне исправляем формулу составного объекта, нажимаем кнопку OK. Формула составного объекта

– это выражение, содержащее операции над множествами (в данном случае понадобится объединение множеств (+) и вычитание множеств (–)). Теперь круг и звезда готовы. Как видно, оба способа прорисовки звезды достаточно трудоѐмки.

Гораздо проще и быстрее создать геометрические объекты в рабочей области MATLAB и затем вставить их в поле axes командой GUI-приложения COMSOL. Для этого редактором m- файлов создадим и выполним следующий вычислительный сценарий:

C1=circ2(0,0,2e-3); % Объект круг r_radiator=3e-3; % Внутренний радиус радиатора

R_radiator=r_radiator*sqrt(0.5)/sin(pi/8); % Наружный радиус радиатора r_vertex=repmat(,1,8); % Радиальные координаты вершин звезды al_vertex=0:pi/8:2*pi-pi/8; % Угловые координаты вершин звезды x_vertex=r_vertex.*cos(al_vertex);

y_vertex=r_vertex.*sin(al_vertex); % Декартовые координаты вершин звезды

P1=poly2(x_vertex,y_vertex); % Объект многоугольник

Чтобы вставить геометрические объекты в поле axes, нужно выполнить команду File/ Import/ Geometry Objects . Выполнение этой команды приведѐт к развѐртыванию диалогового окна, вид которого показан на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Общий вид диалогового окна вставки геометрических объектов из рабочей области

Нажатие кнопки OK приведѐт к вставке геометрических объектов (рис. 2.6). Объекты будут выделены и подсвечены коричневым цветом. В результате такого импорта параметры координатной сетки в GUI-приложении COMSOL настраиваются автоматически при нажатии

на кнопку . На этом прорисовку геометрии можно считать законченной. Следующий этап моделирования –з адание коэффициентов PDE и задание граничных условий.

Рис. 2.6. Общий вид прорисованной геометрии токоведущей медной жилы с радиатором: C1, P1 – имена (метки) геометрических объектов (C1 – круг, P1 – многоугольник).

Задание коэффициентов PDE

Переход в режим задания коэффициентов PDE осуществляется командой Physics/ Subdomain Settings . В этом режиме в поле axes геометрия расчѐтной области изображается в виде объединения неперекрывающихся подобластей, которые называютсязонами . Чтобы номера зон было видно, нужно выполнить командуOptions/ Labels/ Show Subdomain Labels . Общий вид поля axes с расчѐтной областью в режиме PDE Mode с показом номеров зон изображѐн на рис. 2.7. Как видно, в данной задаче расчѐтная область состоит из двух зон: зона №1 – радиатор, зона №2 – медная токоведущая жила.

Рис. 2.7. Изображение расчѐтной области в режиме PDE Mode

Для ввода параметров материальных свойств (коэффициентов PDE) нужно воспользоваться командой PDE/ PDE Specification. По этой команде развернѐтся диалоговое окно ввода коэффициентов PDE, изображѐнное на рис. 2.8 (в общем случае вид этого окна зависит от действующего прикладного режима GUI-приложения COMSOL).

Рис. 2.8. Диалоговое окно ввода коэффициентов PDE в прикладном режиме теплопередачи Зоны 1 и 2 состоят из материалов, обладающих разными теплофизическими свойствами, источником тепла является только медная жила. Пусть плотность тока в жиле d =5e7A/m2 ; удельная электрическая проводимость меди g =5,998e7 S/m; коэффициент теплопроводности медиk = 400; радиатор пусть сделан из алюминия, имеющего коэффициент теплопроводностиk = 160. Известно, что объѐмная плотность мощности тепловых потерь при протекании электрического тока через вещество равна Q=d2 /g . Выделим зону №2 в панели Subdomain Selection и загрузим из библиотеки материалов (Library material/Load ) соответствующие параметры для меди (рис. 2.9).

Рис.2.9. Ввод параметров свойств меди

Теперь выделим зону №1 и введѐм параметры алюминия (рис. 2.10).

Рис.2.10 . Ввод параметров свойств алюминия

Нажатие кнопки Apply приведѐт к тому, что коэффициенты PDE будут приняты. Закрыть диалоговое окно можно кнопкой OK. На этом заканчивается ввод коэффициентов PDE.

Задание граничных условий

Чтобы задать граничные условия нужно перевести GUI-приложение COMSOL в режим ввода граничных условий. Переход этот осуществляется командойPhysics/ Boundary Settings . В этом режиме в поле axes отображаются внутренние и внешние граничные сегменты (по умолчанию в виде стрелок, указывающих положительные направления сегментов). Общий вид модели в этом режиме показан на рис. 2.11.

Рис.2.11. Показ граничных сегментов в режиме Boundary Settings

По условию задачи температура на внешней поверхности радиатора равна 273 К. Для задания такого граничного условия нужно сначала выделить все внешние граничные сегменты. Для этого можно, удерживая клавишу Ctrl, мышью щѐлкнуть по всем внешним сегментам. Выделенные сегменты подсветятся красным цветом (см. рис. 2.12).

Рис. 2.12. Выделенные внешние граничные сегменты

По команде Physics/ Boundary Settings также развернѐтся диалоговое окно, вид которого показан на рис. 2.13. Вообще, его вид зависит от действующего прикладного режима моделирования.

Рис.2.13 . Диалоговое окно ввода граничных условий

На рис. 2.13 показано введѐнное значение температуры на выделенных сегментах. В этом диалоговом окне есть также панель выделения сегментов. Так что, не обязательно их выделять непосредственно в поле axes. Если нажать кнопку OK или Apply, OK, то введѐнные граничные условия будут приняты. На этом в данной задаче ввод граничных условий можно считать законченным. Следующий этап моделирования – генерация конечноэлементной сетки.

Генерация конечноэлементной сетки

Для генерации сетки достаточно выполнить команду Mesh/ Initialise Mesh . Сетка автоматически сгенерируется в соответствии с текущими настройками генератора сетки. Автоматически сгенерированная сетка изображена на рис. 2.13.

М.: НИЯУ МИФИ, 2012. — 184 с.Описание:
Предназначено для изучения среды математического моделирования Comsol Multiphysics. В пособии подробно рассматриваются ключевые методы работы с данной системой и разбираются конкретные типовые задачи. Также в книге содержится руководство по математическому программированию на Comsol Script и особенности взаимодействия пакета Comsol Multiphysics с системой Matlab.
Данное пособие - первое руководство по Comsol Multiphysics на русском языке.
Полезно для студентов 3 и 4 курсов, изучающих курс математического моделирования.Содержание:
Метод конечных элементов.
Теоретическое введение.
Виды конечных элементов.Начало работы с FEMLAB.
Установка.
Общие принципы работы.
Прикладные режимы.
Процесс постановки и решения задачи.
Среда Comsol Multiphysics 3.5a.
Навигатор моделей.
Рабочая среда программы.
Задание областей.
Рисование базовых геометрических объектов.
Преобразования объектов.
Логические операции с объектами.
Аналитическое задание объектов.
Постановка задачи.
Задание коэффициентов уравнения.
Задание граничных условий.
Генерация сетки.
Треугольная сетка.
Четырёхугольные элементы.
Выбор базисных функций.
Решение задачи.
Стационарные решатели.
Визуализация результатов.
Построение главного графика.
Экспорт графика в файл.
Построение графиков на сечениях и точках.
Построение графиков на границах и в ключевых точках области.
Выражения и функции в FEMLAB.
Введение.
Задание констант и регулярных выражений.
Использование констант и регулярных выражений.
Функции.
Свойства осей и грида.Практическое моделирование на FEMLAB.
Решение нестационарных задач.
Постановка задачи.
Решение задачи.
Визуализация решения.
Учёт начальных условий задачи.
Решение дифференциально-алгебраических систем уравнений.
Решение задач на собственные значения.
Решение задач с параметром.
Решение уравнений акустики.
Общие сведения.
Математическая постановка задачи.
Прикладной режим уравнений акустики.
Граничные условия.
Пример задачи на распространение звука. Акустика реактивного глушителя.
Решение задач строительной механики.
Теоретическое введение.
Прикладной режим уравнений строительной механики.
Закрепления.
Нагрузки.
Пример задачи распределения напряжений в трапециевидной мембране.
Решение задачи нахождения скоростей течения льда системой FEMLAB.
Теоретические сведения.
Постановка и решение задачи.
Реализация мультифизического режима.
Решение задач с изменяющейся геометрией.
Решение задачи нагревания капли жидкости.
Формы уравнений.
Общие сведения.
Прикладные режимы.
Коэффициентная форма уравнения.
Генеральная форма.
Слабая форма.
Решение одномерных задач.
Решение трёхмерных задач.
Задание трёхмерной геометрии.
Задание уравнений и генерация сетки.
Визуализация результатов.
Переход от двумерной геометрии к трёхмерной.Связь с Matlab. Comsol Script.
Введение.
Запуск совместной работы с Matlab и Comsol Script.
Начало работы с Comsol Script.
Основные сведения.
Работа с памятью Comsol Script.
Векторы, матрицы и массивы в Comsol Script.
Элементы программирования в Comsol Script.
Оператор ветвления if.
Цикл с условием.
Цикл со счётчиком.
Оператор выбора.
Моделирование задач в Maltab и Comsol Script.
Объектная модель FEMLAB.
Решение уравнения Пуассона.
Импорт и экспорт модели.
Создание геометрических объектов.
Создание базовых геометрических объектов.
Создание сложных объектов.
Преобразования объектов и логические операции.
Интерполяция геометрических объектов.
Задание модели.
Основные положения.
Постановка задачи.
Задание уравнений.
Генерация сетки.
Тестовые функции.
Константы и выражения.
Выбор решателя.
Визуализация и обработка данных.