Относительной ошибки i го периода. Абсолютные и относительные ошибки измерений

Погрешность измерения - оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение никакой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно РМГ 29-99 термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины х д, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. с некоторой оговорённой вероятностью

В 2004 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределённость измерений», однако ГОСТ Р 50.2.038-2004 допускает использовать термин погрешность для документов, использующихся в России.

Выделяют следующие виды погрешностей:

· абсолютная погрешность;

· относительна погрешность;

· приведенная погрешность;

· основная погрешность;

· дополнительная погрешность;

· систематическая погрешность;

· случайная погрешность;

· инструментальная погрешность;

· методическая погрешность;

· личная погрешность;

· статическая погрешность;

· динамическая погрешность.

Погрешности измерений классифицируются по следующим признакам.

· По способу математического выражения погрешности делятся на абсолютные погрешности и относительные погрешности.

· По взаимодействию изменений во времени и входной величины погрешности делятся на статические погрешности и динамические погрешности.

· По характеру появления погрешности делятся на систематические погрешности и случайные погрешности.

· По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные.

· По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.

Абсолютная погрешность – это значение, вычисляемое как разность между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины. Абсолютная погрешность вычисляется по следующей формуле:

AQ n =Q n /Q 0 , где AQ n – абсолютная погрешность; Q n – значение некой величины, полученное в процессе измерения; Q 0 – значение той же самой величины, принятое за базу сравнения (настоящее значение).

Абсолютная погрешность меры – это значение, вычисляемое как разность между числом, являющимся номинальным значением меры, и настоящим (действительным) значением воспроизводимой мерой величины.

Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения. Относительная погрешность вычисляется по следующей формуле:

Где ∆Q – абсолютная погрешность; Q 0 – настоящее (действительное) значение измеряемой величины. Относительная погрешность выражается в процентах.

Приведенная погрешность – это значение, вычисляемое как отношение значения абсолютной погрешности к нормирующему значению.

Нормирующее значение определяется следующим образом:

· для средств измерений, для которых утверждено номинальное значение, это номинальное значение принимается за нормирующее значение;

· для средств измерений, у которых нулевое значение располагается на краю шкалы измерения или вне шкалы, нормирующее значение принимается равным конечному значению из диапазона измерений. Исключением являются средства измерений с существенно неравномерной шкалой измерения;

· для средств измерений, у которых нулевая отметка располагается внутри диапазона измерений, нормирующее значение принимается равным сумме конечных численных значений диапазона измерений;

· для средств измерения (измерительных приборов), у которых шкала неравномерна, нормирующее значение принимается равным целой длине шкалы измерения или длине той ее части, которая соответствует диапазону измерения. Абсолютная погрешность тогда выражается в единицах длины.

Погрешность измерения включает в себя инструментальную погрешность, методическую погрешность и погрешность отсчитывания. Причем погрешность отсчитывания возникает по причине неточности определения долей деления шкалы измерения.

Инструментальная погрешность – это погрешность, возникающая из-за допущенных в процессе изготовления функциональных частей средств измерения ошибок.

Методическая погрешность – это погрешность, возникающая по следующим причинам:

· неточность построения модели физического процесса, на котором базируется средство измерения;

· неверное применение средств измерений.

Субъективная погрешность – это погрешность возникающая из-за низкой степени квалификации оператора средства измерений, а также из-за погрешности зрительных органов человека, т. е. причиной возникновения субъективной погрешности является человеческий фактор.

Погрешности по взаимодействию изменений во времени и входной величины делятся на статические и динамические погрешности.

Статическая погрешность – это погрешность, которая возникает в процессе измерения постоянной (не изменяющейся во времени) величины.

Динамическая погрешность – это погрешность, численное значение которой вычисляется как разность между погрешностью, возникающей при измерении непостоянной (переменной во времени) величины, и статической погрешностью (погрешностью значения измеряемой величины в определенный момент времени).

По характеру зависимости погрешности от влияющих величин погрешности делятся на основные и дополнительные.

Основная погрешность – это погрешность, полученная в нормальных условиях эксплуатации средства измерений (при нормальных значениях влияющих величин).

Дополнительная погрешность – это погрешность, которая возникает в условиях несоответствия значений влияющих величин их нормальным значениям, или если влияющая величина переходит границы области нормальных значений.

Нормальные условия – это условия, в которых все значения влияющих величин являются нормальными либо не выходят за границы области нормальных значений.

Рабочие условия – это условия, в которых изменение влияющих величин имеет более широкий диапазон (значения влияющих не выходят за границы рабочей области значений).

Рабочая область значений влияющей величины – это область значений, в которой проводится нормирование значений дополнительной погрешности.

По характеру зависимости погрешности от входной величины погрешности делятся на аддитивные и мультипликативные.

Аддитивная погрешность – это погрешность, возникающая по причине суммирования численных значений и не зависящая от значения измеряемой величины, взятого по модулю (абсолютного).

Мультипликативная погрешность – это погрешность, изменяющаяся вместе с изменением значений величины, подвергающейся измерениям.

Надо заметить, что значение абсолютной аддитивной погрешности не связано со значением измеряемой величины и чувствительностью средства измерений. Абсолютные аддитивные погрешности неизменны на всем диапазоне измерений.

Значение абсолютной аддитивной погрешности определяет минимальное значение величины, которое может быть измерено средством измерений.

Значения мультипликативных погрешностей изменяются пропорционально изменениям значений измеряемой величины. Значения мультипликативных погрешностей также пропорциональны чувствительности средства измерений Мультипликативная погрешность возникает из-за воздействия влияющих величин на параметрические характеристики элементов прибора.

Погрешности, которые могут возникнуть в процессе измерений, классифицируют по характеру появления. Выделяют:

· систематические погрешности;

· случайные погрешности.

В процессе измерения могут также появиться грубые погрешности и промахи.

Систематическая погрешность – это составная часть всей погрешности результата измерения, не изменяющаяся или изменяющаяся закономерно при многократных измерениях одной и той же величины. Обычно систематическую погрешность пытаются исключить возможными способами (например, применением методов измерения, снижающих вероятность ее возникновения), если же систематическую погрешность невозможно исключить, то ее просчитывают до начала измерений и в результат измерения вносятся соответствующие поправки. В процессе нормирования систематической погрешности определяются границы ее допустимых значений. Систематическая погрешность определяет правильность измерений средств измерения (метрологическое свойство). Систематические погрешности в ряде случаев можно определить экспериментальным путем. Результат измерений тогда можно уточнить посредством введения поправки.

Способы исключения систематических погрешностей делятся на четыре вида:

· ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений;

· устранение погрешностей в процессе уже начатого измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставлениям, симметричных наблюдений;

· корректировка результатов измерения посредством внесения поправки (устранение погрешности путем вычислений);

· определение пределов систематической погрешности в случае, если ее нельзя устранить.

Ликвидация причин и источников погрешностей до начала проведения измерений. Данный способ является самым оптимальным вариантом, так как его использование упрощает дальнейший ход измерений (нет необходимости исключать погрешности в процессе уже начатого измерения или вносить поправки в полученный результат).

Для устранения систематических погрешностей в процессе уже начатого измерения применяются различные способы

Способ введения поправок базируется на знании систематической погрешности и действующих закономерностей ее изменения. При использовании данного способа в результат измерения, полученный с систематическими погрешностями, вносят поправки, по величине равные этим погрешностям, но обратные по знаку.

Способ замещения состоит в том, что измеряемая величина заменяется мерой, помещенной в те же самые условия, в которых находился объект измерения. Способ замещения применяется при измерении следующих электрических параметров: сопротивления, емкости и индуктивности.

Способ компенсации погрешности по знаку состоит в том, что измерения выполняются два раза таким образом, чтобы погрешность, неизвестная по величине, включалась в результаты измерений с противоположным знаком.

Способ противопоставления похож на способ компенсации по знаку. Данный способ состоит в том, что измерения выполняют два раза таким образом, чтобы источник погрешности при первом измерении противоположным образом действовал на результат второго измерения.

Случайная погрешность – это составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно, незакономерно при проведении повторных измерений одной и той же величины. Появление случайной погрешности нельзя предвидеть и предугадать. Случайную погрешность невозможно полностью устранить, она всегда в некоторой степени искажает конечные результаты измерений. Но можно сделать результат измерения более точным за счет проведения повторных измерений. Причиной случайной погрешности может стать, например, случайное изменение внешних факторов, воздействующих на процесс измерения. Случайная погрешность при проведении многократных измерений с достаточно большой степенью точности приводит к рассеянию результатов.

Промахи и грубые погрешности – это погрешности, намного превышающие предполагаемые в данных условиях проведения измерений систематические и случайные погрешности. Промахи и грубые погрешности могут появляться из-за грубых ошибок в процессе проведения измерения, технической неисправности средства измерения, неожиданного изменения внешних условий.

Пусть некоторая случайная величина a измеряется n раз в одинаковых условиях. Результаты измерений дали набор n различных чисел

Абсолютная погрешность - величина размерная. Среди n значений абсолютных погрешностей обязательно встречаются как положительные, так и отрицательные.

За наиболее вероятное значение величины а обычно принимают среднее арифметическое значение результатов измерений

Чем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному.

Абсолютной погрешностью i

Относительной погрешностью i -го измерения называется величина

Относительная погрешность - величина безразмерная. Обычноотносительная погрешность выражается в процентах, для этого e i домножают на 100%. Величина относительной погрешности характеризует точность измерения.

Средняя абсолютная погрешность определяется так:

Подчеркнем необходимость суммирования абсолютных значений (модулей) величин Dа i . В противном случае получится тождественный нулевой результат.

Средней относительной погрешностью называется величина

При большом числе измерений .

Относительную погрешность можно рассматривать как значение погрешности, приходящееся на единицу измеряемой величины.

О точности измерений судят на основании сравнения погрешностей результатов измерений. Поэтому погрешности измерений выражают в такой форме, чтобы для оценки точности достаточно было сопоставить только одни погрешности результатов, не сравнивая при этом размеры измеряемых объектов или зная эти размеры весьма приближенно. Из практики известно, что абсолютная погрешность измерения угла не зависит от значения угла, а абсолютная погрешность измерения длины зависит от значения длины. Чем больше значение длины, тем при данном методе и условиях измерения абсолютная погрешность будет больше. Следовательно, по абсолютной погрешности результата о точности измерения угла судить можно, а о точности измерения длины нельзя. Выражение погрешности в относительной форме позволяет сравнивать в известных случаях точность угловых и линейных измерений.

Основные понятия теории вероятности. Случайная погрешность.

Случайной погрешностью называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений – некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности.

Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.

Случайные ошибки являются неизбежным следствием любых измерений и обусловлены:

а) неточностью отсчетов по шкале приборов и инструментов;

б) не идентичностью условий повторных измерений;

в) беспорядочными изменениями внешних условий (температуры, давления, силового поля и т.д.), которые невозможно контролировать;

г) всеми другими воздействиями на измерения, причины которых нам неизвестны. Величину случайной погрешности можно свести к минимуму путем многократного повторения эксперимента и соответствующей математической обработки полученных результатов.

Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения.

Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника – все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок.

Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка.

Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке.

Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п.

Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.

В связи с тем, что возникновение случайных погрешностей неизбежно и неустранимо, основной задачей всякого процесса измерения является доведение погрешностей до минимума.

В основе теории погрешностей лежат два основных предположения, подтверждаемых опытом:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т.е погрешности в сторону увеличения и уменьшения результата встречаются достаточно часто.

2. Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые, таким образом, вероятность возникновения погрешности уменьшается с ростом ее величины.

Поведение случайных величин описывают статистические закономерности, которые являются предметом теории вероятностей. Статистическим определением вероятности w i события i является отношение

где n - общее число опытов, n i - число опытов, в которых событие i произошло. При этом общее число опытов должно быть очень велико (n ®¥). При большом числе измерений случайные ошибки подчиняются нормальному распределению (распределение Гаусса), основными признаками которого являются следующие:

1. Чем больше отклонение значения измеренной величины от истинного, тем меньше вероятность такого результата.

2. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.

Из приведенных выше допущений вытекает, что для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. Пусть произведено n измерений: x 1 , x 2 , ... x n - одним и тем же методом и с одинаковой тщательностью. Можно ожидать, что число dn полученных результатов, которые лежат в некотором достаточно узком интервале от x до x + dx , должно быть пропорционально:

Величине взятого интервала dx ;

Общему числу измерений n .

Вероятность dw (x ) того, что некоторое значение x лежит в интервале от x до x + dx, определяется следующим образом:

(при числе измерений n ®¥).

Функция f (х ) называется функцией распределения или плотностью вероятности.

В качестве постулата теории ошибок принимается, что результаты прямых измерений и их случайные погрешности при большом их количестве подчиняются закону нормального распределения.

Найденная Гауссом функция распределения непрерывной случайной величины x имеет следующий вид:

, где mиs - параметры распределения.

Параметрmнормального распределения равен среднему значению áx ñ случайной величины, которое при произвольной известной функции распределения определяется интегралом

Таким образом, величина m является наиболее вероятным значением измеряемой величины x, т.е. ее наилучшей оценкой.

Параметр s 2 нормального распределения равен дисперсии D случайной величины, которая в общем случае определяется следующим интегралом

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины .

Среднее отклонение (погрешность) случайной величины ásñ определяется с помощью функции распределения следующим образом

Средняя погрешность измерений ásñ, вычисленная по функции распределения Гаусса, соотносится с величиной среднего квадратического отклонения s следующим образом:

< s> = 0,8s .

Параметры s и m связаны между собой следующим образом:

Это выражение позволяет находить среднее квадратическое отклонение s , если имеется кривая нормального распределения.

График функции Гаусса представлен на рисунках. Функция f (x ) симметрична относительно ординаты, проведенной в точке x = m; проходит через максимум в точке x = m и имеет перегиб в точках m ±s. Таким образом, дисперсия характеризует ширину функции распределения, или показывает, насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно ее истинного значения. Чем точнее измерения, тем ближе к истинному значению результаты отдельных измерений, т.е. величина s - меньше. На рисунке A изображена функция f (x ) для трех значений s.

Площадь фигуры, ограниченной кривой f (x ) и вертикальными прямыми, проведенными из точек x 1 и x 2 (рис.Б), численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал Dx = x 1 - x 2 , которая называется доверительной вероятностью. Площадь под всей кривой f (x ) равна вероятности попадания случайной величины в интервал от 0 до ¥, т.е.

так как вероятность достоверного события равна единице.

Используя нормальное распределение, теория ошибок ставит и решает две основные задачи. Первая - оценка точности проведенных измерений. Вторая - оценка точности среднего арифметического значения результатов измерений.5. Доверительный интервал. Коэффициент Стъюдента.

Теория вероятностей позволяет определить величину интервала, в котором с известной вероятностью w находятся результаты отдельных измерений. Эта вероятность называется доверительной вероятностью , а соответствующий интервал (<x > ± Dx ) w называется доверительным интервалом. Доверительная вероятность также равна относительной доле результатов, оказавшихся внутри доверительного интервала.

Если число измерений n достаточно велико, то доверительная вероятность выражает долю из общего числа n тех измерений, в которых измеренная величина оказалась в пределах доверительного интервала. Каждой доверительной вероятности w соответствует свой доверительный интервал.w 2 80%. Чем шире доверительный интервал, тем больше вероятность получить результат внутри этого интервала. В теории вероятностей устанавливается количественная связь между величиной доверительного интервала, доверительной вероятностью и числом измерений.

Если в качестве доверительного интервала выбрать интервал, соответствующий средней погрешности, то есть Da = áDа ñ, то при достаточно большом числе измеренийон соответствует доверительной вероятности w 60%. При уменьшении числа измерений доверительная вероятность, соответствующая такому доверительному интервалу (áа ñ ± áDа ñ), уменьшается.

Таким образом, для оценки доверительного интервала случайной величины можно пользоваться величиной средней погрешностиáDа ñ.

Для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа, а именно, величину доверительного интервала и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины погрешности без соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла.

Если известна средняя погрешность измерения ásñ, доверительный интервал, записанный в виде (<x > ± ásñ) w , определен с доверительной вероятностью w = 0,57.

Если известно среднее квадратическое отклонение s распределения результатов измерений, указанный интервал имеет вид (<x >± t w s) w , где t w - коэффициент, зависящий от величины доверительной вероятности и рассчитывающийся по распределению Гаусса.

Наиболее часто используемые величиныDx приведены в таблице 1.

В физике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений.

Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов все измерения можно производить только с известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Точность измерений зависит от используемых при измерениях прибо- ров и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совершаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

В результате i-го измерения (i – номер измерения) величины "Х”, получается приближенное число Х i , отличающееся от истинного значения Хист на некоторую величину ∆Х i = |Х i – Х|, которая является допущенной ошибкой или, другими словами, погрешностью. Истинная погрешность нам не известна, так как мы не знаем истинного значения измеряемой величины. Истинное значение измеряемой физической величины лежит в интервале

Х i – ∆Х < Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

где Х i – значение величины Х, полученное при измерении (то есть измеренное значение); ∆Х – абсолютная погрешность определения величины Х.

Абсолютная ошибка (погрешность) измерения ∆Х – это абсолютная величина разности между истинным значением измеряемой величины Хист и результатом измерения X i: ∆Х = |Х ист – X i |.

Относительная ошибка (погрешность) измерения δ (характеризующая точность измерения) численно равна отношению абсолютной погрешности измерения ∆Х к истинному значению измеряемой величины Х ист (часто выражается в процентах): δ = (∆Х / Х ист) 100% .

Погрешности или ошибки измерений можно разделить на три класса: систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно (согласно некоторой функциональной зависимости) изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, недостатков принятого метода измерений, каких-либо упущений экспериментатора, влияния внешних условий или дефекта самого объекта измерения.

В любом измерительном приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, то есть эти погрешности характеризуются постоянным знаком. Например, если при взвешивании одна из гирь имеет массу на 0,01 г большую, чем указано на ней, то найденное значение массы тела будет завышенным на эту величину, сколько бы измерений ни производилось. Иногда систематические ошибки можно учесть или устранить, иногда этого сделать нельзя. Например, к неустранимым ошибкам относятся ошибки приборов, о которых мы можем лишь сказать, что они не превышают определенной величины.

Случайными ошибками называют ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Появление случайных ошибок обусловлено действием многих разнообразных и неконтролируемых причин.

Например, при взвешивании весами этими причинами могут быть колебания воздуха, осевшие пылинки, разное трение в левом и правом подвесе чашек и др. Случайные ошибки проявляются в том, что, произведя измерения одной и той же величины Х в одинаковых условиях опыта, мы получаем несколько различающихся значений: Х1, Х2, Х3,…, Х i ,…, Х n , где Х i – результат i-го измерения. Установить какую-либо закономерность между результатами не удается, поэтому результат i - го измерения Х считается случайной величиной. Случайные ошибки могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.

Промахи и грубые погрешности – чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями экспериментатора (например, из-за невнимательности вместо показания прибора «212» записывается совершенно другое число – «221»). Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.

Измерения могут быть проведены с точки зрения их точности техническим и лабораторным методами.

При использовании технических методов измерение проводится один раз. В этом случае удовлетворяются такой точностью, при которой погрешность не превышает некоторого определенного, заранее заданного значения, определяемого погрешностью примененной измерительной аппаратурой.

При лабораторных методах измерений требуется более точно указать значение измеряемой величины, чем это допускает ее однократное измерение техническим методом. В этом случае делают несколько измерений и вычисляют среднее арифметическое полученных значений, которое принимают за наиболее достоверное (истинное) значение измеряемой величины. Затем производят оценку точности результата измерений (учет случайных погрешностей).

Из возможности проведения измерений двумя методами вытекает и существование двух методов оценки точности измерений: технического и лабораторного.

Одним из наиболее важных вопросов в численном анализе является вопрос о том, как ошибка, возникшая в определенном месте в ходе вычислений, распространяется дальше, то есть становится ли ее влияние больше или меньше по мере того, как производятся последующие операции. Крайним случаем является вычитание двух почти равных чисел: даже при очень маленьких ошибках обоих этих чисел относительная ошибка разности может оказаться очень большой. Такая относительная ошибка будет распространяться дальше при выполнении всех последующих арифметических операций.

Одним из источников вычислительных погрешностей (ошибок) является приближенное представление вещественных чисел в ЭВМ, обусловленное конечностью разрядной сетки. Хотя исходные данные представляются в ЭВМ с большой точностью накопление погрешностей округления в процессе счета может привести к значительной результирующей погрешности, а некоторые алгоритмы могут оказаться и вовсе непригодными для реального счета на ЭВМ. Подробнее о представлении вещественных чисел в ЭВМ можно узнать .

Распространение ошибок

В качестве первого шага при рассмотрении такого вопроса, как распространение ошибок, необходимо найти выражения для абсолютной и относительной ошибок результата каждого из четырех арифметических действий как функции величин, участвющих в операции, и их ошибок.

Абсолютная ошибка

Сложение

Имеются два приближения и к двум величинам и , а также соответствующие абсолютные ошибки и . Тогда в результате сложения имеем

Ошибка суммы, которую мы обозначим через , будет равна

Вычитание

Тем же путем получаем

Умножение

При умножении мы имеем

Поскольку ошибки обычно гораздо меньше самих величин, пренебрегаем произведением ошибок:

Ошибка произведения будет равна

Деление

Преобразовываем это выражение к виду

Множитель, стоящий в скобках, при можно разложить в ряд

Перемножая и пренебрегая всеми членами, которые содержат произведения ошибок или степени ошибок выше первой, имеем

Следовательно,

Необходимо четко понимать, что знак ошибки бывает известен только в очень редких случаях. Не факт, например, что ошибка увеличивается при сложении и уменьшается при вычитании потому, что в формуле для сложения стоит плюс, а для вычитания - минус. Если, например, ошибки двух чисел имеют противоположные знаки, то дело будет обстоять как раз наоборот, то есть ошибка уменьшится при сложении и увеличится при вычитании этих чисел.

Относительная ошибка

После того, как мы вывели формулы для распространения абсолютных ошибок при четырех арифметических действиях, довольно просто вывести соответствующие формулы для относительных ошибок. Для сложения и вычитания формулы были преобразованы с тем, чтобы в них входила в явном виде относительная ошибка каждого исходного числа.

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Мы начинаем арифметическую операцию, имея в своем распоряжении два приближенных значения и с соответствующими ошибками и . Ошибки эти могут быть любого происхождения. Величины и могут быть экспериментальными результатами, содержащими ошибки; они могут быть результатами предварительного вычисления согласно какому-либо бесконечному процессу и поэтому могут содержать ошибки ограничения; они могут быть результатами предшествующих арифметических операций и могут содержать ошибки округления. Естественно, они могут также содержать в различных комбинациях и все три вида ошибок.

Вышеприведенные формулы дают выражение ошибки результата каждого из четырех арифметических действий как функции от ; ошибка округления в данном арифметическом действии при этом не учитывается . Если же в дальнейшем необходимо будет подсчитать, как распространяется в последующих арифметических операциях ошибка этого результата, то необходимо к вычисленной по одной из четырех формул ошибке результата прибавить отдельно ошибку округления .

Графы вычислительных процессов

Теперь рассмотрим удобный способ подсчета распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении. С этой целью мы будем изображать последовательность операций в вычислении с помощью графа и будем писать около стрелок графа коэффициенты, которые позволят нам сравнительно легко определить общую ошибку окончательного результата. Метод этот удобен еще и тем, что позволяет легко определить вклад любой ошибки, возникшей в процессе вычислений, в общую ошибку.

Рис.1 . Граф вычислительного процесса

На рис.1 изображен граф вычислительного процесса . Граф следует читать снизу вверх, следуя стрелкам. Сначала выполняются операции, расположенные на каком-либо горизонтальном уровне, после этого - операции, расположенные на более высоком уровне, и т. д. Из рис.1, например, ясно, что x и y сначала складываются, а потом умножаются на z . Граф, изображенный на рис.1 , является только изображением самого вычислительного процесса. Для подсчета общей ошибки результата необходимо дополнить этот граф коэффициентами, которые пишутся около стрелок согласно следующим правилам.

Сложение

Пусть две стрелки, которые входят в кружок сложения, выходят из двух кружков с величинами и . Эти величины могут быть как исходными, так и результатами предыдущих вычислений. Тогда стрелка, ведущая от к знаку + в кружке, получает коэффициент , стрелка же, ведущая от к знаку + в кружке, получает коэффициент .

Вычитание

Если выполняется операция , то соответствующие стрелки получают коэффициенты и .

Умножение

Обе стрелки, входящие в кружок умножения, получают коэффициент +1.

Деление

Если выполняется деление , то стрелка от к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от к косой черте в кружке получает коэффициент −1.

Смысл всех этих коэффициентов следующий: относительная ошибка результата любой операции (кружка) входит в результат следующей операции, умножаясь на коэффициенты у стрелки, соединяющей эти две операции .

Примеры

Рис.2 . Граф вычислительного процесса для сложения , причем

Применим теперь методику графов к примерам и проиллюстрируем, что означает распространение ошибки в практических вычислениях.

Пример 1

Рассмотрим задачу сложения четырех положительных чисел:

, .

Граф этого процесса изображен на рис.2 . Предположим, что все исходные величины заданы точно и не имеют ошибок, и пусть , и являются относительными ошибками округления после каждой следующей операции сложения. Последовательное применение правила для подсчета полной ошибки окончательного результата приводит к формуле

Сокращая сумму в первом члене и умножая все выражение на , получаем

Учитывая, что ошибка округления равна (в данном случае предполагается, что действительное число в ЭВМ представляется в виде десятичной дроби с t значищими цифрами), окончательно имеем

Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.

Введение

Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.

Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.

За измерение длины вязли метры, массы - килограммы, объёма - кубические литры, времени - секунды, скорости - метры за секунду.

При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.

Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.

Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:

Дека.
Гекто.
Кило.
Мега.
Гига.
Тера.

В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10 6 .

В простой линейке длина имеет единицу измерения - сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.

Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром - чтобы гигрометром - чтобы определять влажность, амперметром - замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.

Насколько точны будут показатели проведенных измерений?

Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.

Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».

Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.

Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.

Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.

При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.

Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.

После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см.

Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:

А = а ± D (а)

А - в виде величины для измерительных процессов;

а - значение результата замеров;

D - обозначение абсолютной погрешности.

При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.

Знакомство с понятием

Если рассматривать в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:

Абсолютную.
Относительную.
Приведенную.

Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.

Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.

При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.

Как рассчитать погрешность прямых измерений?

Есть способы изображения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.

Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.

При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.

Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой физических величин.

Понятие прямого измерения

Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.

Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.

Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.

Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:

Погрешностью приборов.
Погрешностью системы отсчета.

Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.

D = D (пр.) + D (отс.)

Пример с медицинским термометром

Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.

D отс. = С/2

Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:

D = 0,1 o С + 0,1 o С / 2 = 0,15 o С

На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. Точность измерения не указана. Остается только погрешность отсчета.

Если цена деления шкалы этого термометра равна 2 o С, то можно измерять температуру с точностью до 1 o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.

Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.

Точность электроизмерительных приборов

Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.

Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.

Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности - 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.

Применение знаний

Таким образом, D c = c (max) Х γ /100

Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.

Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:

Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
Класс точности -(γ) = 4.
U(о) = 4,2 В.
С=0,2 В

Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:

D U = DU (пр.)+ С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Это погрешность прибора.

Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:

D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В

По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.

Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.

Учимся определять погрешность взвешивания

Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.

Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.

Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.

Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.

D m = D m (весов) + D m (гирь)

Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.

Применение таблиц

Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.

Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.

Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.

Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.

Итоги

В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.