วิธีหาค่าประมาณของรากที่สอง วิธีการโดยประมาณในการแยกรากที่สอง (โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข)

ก่อนการกำเนิดของเครื่องคิดเลข นักเรียนและครูคำนวณรากที่สองด้วยมือ มีหลายวิธีในการคำนวณ รากที่สองตัวเลขด้วยตนเอง บางคนเสนอวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ บางคนให้คำตอบที่แน่นอน

ขั้นตอน

ตัวประกอบที่สำคัญ

แยกตัวประกอบจำนวนรูทเป็นตัวประกอบที่เป็นตัวเลขกำลังสองคุณจะได้คำตอบโดยประมาณหรือแน่นอนทั้งนี้ขึ้นอยู่กับหมายเลขรูท ตัวเลขกำลังสองคือตัวเลขที่สามารถหาค่ารากที่สองทั้งหมดได้ ตัวประกอบคือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของตัวเลข 8 คือ 2 และ 4 เนื่องจาก 2 x 4 = 8 ตัวเลข 25, 36, 49 เป็นตัวเลขกำลังสอง เนื่องจาก √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 ตัวประกอบกำลังสอง คือตัวประกอบ ซึ่งเป็นตัวเลขกำลังสอง ขั้นแรก พยายามแยกตัวประกอบจำนวนรูทเป็นตัวประกอบกำลังสอง

• ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 400 (ด้วยตนเอง) ขั้นแรก ลองแยกตัวประกอบ 400 เป็นตัวประกอบกำลังสอง 400 เป็นผลคูณของ 100 นั่นคือหารด้วย 25 ลงตัว - นี่คือเลขกำลังสอง การหาร 400 ด้วย 25 ได้ 16 จำนวน 16 ก็เป็นเลขกำลังสองเช่นกัน ดังนั้น 400 สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบกำลังสองของ 25 และ 16 นั่นคือ 25 x 16 = 400
• สามารถเขียนได้ดังนี้ √400 = √(25 x 16)

1. รากที่สองของผลคูณของพจน์บางพจน์ เท่ากับสินค้า รากที่สองจากแต่ละเทอม เช่น √(a x b) = √a x √b ใช้กฎนี้และหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสองแต่ละตัวแล้วคูณผลลัพธ์เพื่อหาคำตอบ

   • ในตัวอย่างของเรา หารากที่สองของ 25 และ 16
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. ถ้าจำนวนรากไม่แตกออกเป็นสอง ตัวคูณกำลังสอง(ซึ่งเกิดขึ้นเกือบตลอดเวลา) คุณจะไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนว่าเป็นจำนวนเต็มได้ แต่คุณสามารถลดความซับซ้อนของปัญหาได้โดยแยกจำนวนรูทออกเป็นแฟคเตอร์กำลังสองและแฟคเตอร์ธรรมดา จากนั้นคุณจะหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสองและคุณจะได้รากของตัวประกอบสามัญ

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของตัวเลข 147 ตัวเลข 147 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นสองตัวประกอบกำลังสอง แต่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบต่อไปนี้ได้ 49 และ 3 แก้ปัญหาได้ดังนี้
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. หากจำเป็น ให้ประเมินค่าของรูทตอนนี้คุณสามารถประเมินค่าของรูท (หาค่าโดยประมาณ) ได้โดยเปรียบเทียบกับค่าของรูทของตัวเลขกำลังสองที่ใกล้เคียงที่สุด (บนทั้งสองด้านของเส้นจำนวน) กับจำนวนรูท คุณจะได้ค่าของรูทเป็นเศษส่วนทศนิยม ซึ่งต้องคูณด้วยตัวเลขหลังเครื่องหมายรูท

   • ลองกลับไปที่ตัวอย่างของเรา หมายเลขรากคือ 3 ตัวเลขกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือตัวเลข 1 (√1 = 1) และ 4 (√4 = 2) ดังนั้น ค่าของ √3 จึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 เนื่องจากค่าของ √3 น่าจะใกล้ 2 มากกว่า 1 การประมาณการของเราคือ √3 = 1.7 เราคูณค่านี้ด้วยตัวเลขที่เครื่องหมายรูท: 7 x 1.7 \u003d 11.9 หากคุณคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะได้ 12.13 ซึ่งใกล้เคียงกับคำตอบของเรามาก
     • วิธีนี้ใช้ได้กับ ตัวเลขใหญ่. ตัวอย่างเช่น พิจารณา √35 หมายเลขรากคือ 35 เลขกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือตัวเลข 25 (√25 = 5) และ 36 (√36 = 6) ดังนั้น ค่าของ √35 จึงอยู่ระหว่าง 5 ถึง 6 เนื่องจากค่าของ √35 ใกล้เคียงกับ 6 มากกว่าค่า 5 มาก (เนื่องจาก 35 น้อยกว่า 36 เพียง 1 รายการ) เราจึงระบุได้ว่า √35 น้อยกว่าเล็กน้อย 6. การตรวจสอบด้วยเครื่องคิดเลขทำให้เราได้คำตอบ 5.92 - เราพูดถูก

4. อีกวิธีหนึ่งคือแยกจำนวนรูทเป็นตัวประกอบสำคัญปัจจัยเฉพาะคือตัวเลขที่หารด้วย 1 ลงตัวเท่านั้น เขียนตัวประกอบเฉพาะในอนุกรมแล้วหาคู่ ตัวคูณเท่ากัน. ปัจจัยดังกล่าวสามารถนำออกจากเครื่องหมายของรูตได้

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 45 เราแยกจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 45 \u003d 9 x 5 และ 9 \u003d 3 x 3 ดังนั้น √45 \u003d √ (3 x 3 x 5) สามารถนำ 3 ออกจากเครื่องหมายรูต: √45 = 3√5 ตอนนี้เราสามารถประมาณ √5 ได้แล้ว
   • ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11) คุณได้ตัวคูณ 2s สามตัว; หยิบสองสามอันแล้วนำออกจากเครื่องหมายของรูต
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ตอนนี้ เราสามารถประเมิน √2 และ √11 และหาคำตอบโดยประมาณได้

   คำนวณรากที่สองด้วยตนเอง

   การใช้การแบ่งคอลัมน์

   1. วิธีนี้เกี่ยวข้องกับกระบวนการที่คล้ายกับการหารยาวและให้คำตอบที่ถูกต้องขั้นแรก วาดเส้นแนวตั้งที่แบ่งแผ่นงานออกเป็นสองส่วน จากนั้นลากเส้นแนวนอนไปทางขวาและด้านล่างขอบด้านบนของแผ่นงานเล็กน้อยไปยังเส้นแนวตั้ง ตอนนี้แบ่งจำนวนรูทออกเป็นคู่ของตัวเลข โดยเริ่มจากส่วนที่เป็นเศษส่วนหลังจุดทศนิยม ดังนั้น หมายเลข 79520789182.47897 จึงเขียนเป็น "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"

      • ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณรากที่สองของตัวเลข 780.14 ลากเส้นสองเส้น (ตามภาพ) แล้วเขียนตัวเลขทางซ้ายบนเป็น "7 80, 14" เป็นเรื่องปกติที่หลักแรกจากด้านซ้ายเป็นตัวเลขที่ไม่มีการจับคู่ คำตอบ (รากของ ให้หมายเลข) จะเขียนไว้ที่มุมขวาบน

   2. จากคู่ของตัวเลขแรก (หรือตัวเลขหนึ่งตัว) จากด้านซ้าย ให้หาจำนวนเต็มที่มากที่สุด n ซึ่งกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับคู่ของตัวเลข (หรือหนึ่งตัวเลข) ที่เป็นปัญหา อีกนัยหนึ่ง ให้หาเลขกำลังสองที่ใกล้เคียงที่สุดแต่น้อยกว่าคู่แรกของตัวเลข (หรือเลขเดี่ยว) จากทางซ้าย แล้วหารากที่สองของตัวนั้น เลขสี่เหลี่ยม; คุณจะได้รับหมายเลข n. เขียนพบ n ที่ด้านบนขวา และเขียนสี่เหลี่ยม n ที่ด้านล่างขวา

      • ในกรณีของเรา เลขแรกทางซ้ายจะเป็นเลข 7 ต่อไป 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. ลบกำลังสองของตัวเลข n ที่คุณเพิ่งพบจากคู่ตัวเลขแรก (หรือตัวเลขหนึ่งตัว) จากด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์ของการคำนวณภายใต้ subtrahend (กำลังสองของตัวเลข n)

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 4 จาก 7 เพื่อให้ได้ 3

   4. ดึงตัวเลขคู่ที่สองออกมาแล้วจดไว้ข้างๆ ค่าที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าจากนั้นเพิ่มตัวเลขที่มุมขวาบนเป็นสองเท่าแล้วเขียนผลลัพธ์ที่ด้านล่างขวาด้วย "_×_=" ต่อท้าย

      • ในตัวอย่างของเรา คู่ที่สองของตัวเลขคือ "80" เขียน "80" หลัง 3 จากนั้น การเพิ่มตัวเลขจากด้านบนขวาเป็นสองเท่า จะได้ 4 เขียน "4_×_=" จากด้านล่างขวา

   5. เติมช่องว่างทางด้านขวา

      • ในกรณีของเรา ถ้าเราใส่ตัวเลข 8 แทนขีดกลาง แล้ว 48 x 8 \u003d 384 ซึ่งมากกว่า 380 ดังนั้น 8 จึงเป็นตัวเลขที่มากเกินไป แต่ 7 ก็ใช้ได้ เขียน 7 แทนขีดกลางและรับ: 47 x 7 \u003d 329 เขียน 7 จากด้านบนขวา - นี่คือตัวเลขที่สองในรากที่สองที่ต้องการของตัวเลข 780.14

   6. ลบตัวเลขผลลัพธ์จากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์จากขั้นตอนก่อนหน้าด้านล่างตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย ค้นหาความแตกต่างและเขียนไว้ใต้ตัวเลขที่ลบออก

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 329 จาก 380 ซึ่งเท่ากับ 51

   7. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 4หากคู่ตัวเลขที่พังยับเยินเป็นส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขเดิม ให้ใส่ตัวคั่น (จุลภาค) ของจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการจากด้านบนขวา ทางด้านซ้าย ให้ขีดคู่ตัวเลขถัดไป เพิ่มตัวเลขที่ด้านบนขวาเป็นสองเท่าและเขียนผลลัพธ์ที่ด้านล่างขวาด้วย "_×_=" ต่อท้าย

      • ในตัวอย่างของเรา คู่ตัวเลขถัดไปที่จะถูกทำลายจะเป็นเศษส่วนของตัวเลข 780.14 ดังนั้นให้ใส่ตัวคั่นของจำนวนเต็มและส่วนเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการจากด้านบนขวา รื้อถอน 14 และเขียนลงที่ด้านล่างซ้าย สองเท่าบนขวา (27) คือ 54 ดังนั้นเขียน "54_×_=" ที่ด้านล่างขวา

   8. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 5 และ 6หามัน จำนวนมากที่สุดแทนที่ขีดกลางทางด้านขวา (แทนที่จะใช้ขีดกลาง คุณต้องแทนที่ตัวเลขเดียวกัน) เพื่อให้ผลการคูณน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

      • ในตัวอย่างของเรา 549 x 9 = 4941 ซึ่งน้อยกว่าตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย (5114) เขียน 9 ที่มุมขวาบนแล้วลบผลลัพธ์ของการคูณจากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย: 5114 - 4941 = 173

   9. หากคุณต้องการหาตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเติมสำหรับรากที่สอง ให้เขียนเลขศูนย์คู่ถัดจากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย แล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 4, 5 และ 6 ทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องตามต้องการ (จำนวน ทศนิยม)

      เข้าใจกระบวนการ

      1. สำหรับการดูดซึม วิธีนี้ให้คิดถึงจำนวนที่คุณต้องการหารากที่สองเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยม S ในกรณีนี้ คุณจะต้องหาความยาวของด้าน L ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้น คำนวณค่าของ L โดยที่L² = S

         ป้อนตัวอักษรสำหรับแต่ละหลักในคำตอบของคุณแทนด้วย A หลักแรกในค่าของ L (รากที่สองที่ต้องการ) B จะเป็นตัวเลขที่สอง C ที่สามเป็นต้น

         ระบุตัวอักษรสำหรับตัวเลขนำหน้าแต่ละคู่ระบุด้วย S เป็นคู่แรกของตัวเลขในค่า S โดย S b เป็นคู่ที่สองของหลักเป็นต้น

         อธิบายความเชื่อมโยงของวิธีนี้กับการหารยาวในการดำเนินการหาร ซึ่งในแต่ละครั้งเราสนใจเฉพาะตัวเลขถัดไปเพียงหลักเดียวของจำนวนที่หารลงตัว เมื่อคำนวณรากที่สอง เราจะใช้ตัวเลขสองหลักตามลำดับ (เพื่อให้ได้ตัวเลขหลักถัดไปในค่ารากที่สอง) .

      2. พิจารณาคู่แรกของตัวเลข Sa ของตัวเลข S (Sa = 7 ในตัวอย่างของเรา) และหารากที่สองของมันในกรณีนี้ หลักแรก A ของค่าที่ต้องการของรากที่สองจะเป็นตัวเลขดังกล่าว ซึ่งกำลังสองที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ S a (นั่นคือ เรากำลังมองหา A ที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันA² ≤ สา< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • สมมุติว่าเราต้องหาร 88962 ด้วย 7; ที่นี่ขั้นตอนแรกจะคล้ายกัน: เราพิจารณาหลักแรกของตัวเลขหาร 88962 (8) และเลือกจำนวนที่มากที่สุดที่เมื่อคูณด้วย 7 ให้ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 8 นั่นคือเรากำลังหา จำนวน d ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. ลองนึกภาพสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีพื้นที่ที่คุณต้องการคำนวณคุณกำลังมองหา L นั่นคือความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็น S. A, B, C เป็นตัวเลขในตัวเลข L. คุณสามารถเขียนต่างกันได้: 10A + B \u003d L (สำหรับ เลขสองหลัก) หรือ 100A + 10V + C = L (สำหรับ ตัวเลขสามหลัก) และอื่นๆ

         • อนุญาต (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². จำไว้ว่า 10A+B เป็นตัวเลขที่ B หมายถึงหนึ่งและ A หมายถึงสิบ ตัวอย่างเช่น ถ้า A=1 และ B=2 ดังนั้น 10A+B จะเท่ากับตัวเลข 12 (10A+B)²คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 100A²คือพื้นที่ของจตุรัสใหญ่ด้านใน B²คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กด้านใน 10A×Bคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมแต่ละรูป การเพิ่มพื้นที่ของตัวเลขที่อธิบาย คุณจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม

แยกรากที่สอง "ด้วยตนเอง"

ตัวอย่างเช่น ลองใช้หมายเลข 223729 ในการแยกรูท เราต้องดำเนินการดังต่อไปนี้:

แต่)แบ่งตัวเลขจากขวาไปซ้ายเป็นตัวเลขสองหลักต่อหลัก โดยวางขีดบน - 223729 → 22 "37" 29" ศูนย์ เช่น 4765983→04"76"59"83"

ข)ใส่เครื่องหมายกรณฑ์บนตัวเลขแล้วเขียนเครื่องหมายเท่ากับ:

22"37"29"→=… .

หลังจากนั้นเราก็เริ่มคำนวณรูท ดำเนินการเป็นขั้นตอน และในแต่ละขั้นตอนจะมีการประมวลผลตัวเลขเดิม 1 หลัก กล่าวคือ สองหลักติดต่อกันจากซ้ายไปขวาและได้ผลลัพธ์หนึ่งหลัก

ขั้นตอนที่ 1— แยกรากที่สองที่มีข้อเสียจากหลักแรก:

\u003d 4 ... (มีข้อเสีย)

ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 1 คือตัวเลขตัวแรกของตัวเลขที่ต้องการ:

ขั้นตอนที่ 2- เรายกกำลังสองหลักแรกที่ได้รับ แอตทริบิวต์ภายใต้หลักแรกและใส่เครื่องหมายลบดังนี้:

และเราทำการคำนวณตามที่เขียนไว้แล้ว

ขั้นตอนที่ 3- เรากำหนดสองหลักของหลักถัดไปทางด้านขวาของผลการลบ และวางเส้นแนวตั้งทางด้านซ้ายของจำนวนผลลัพธ์ดังนี้:

หลังจากนั้น เมื่อรับรู้ตัวเลขหลังเครื่องหมาย = เป็นตัวเลขธรรมดา คูณด้วย 2 แล้วกำหนดช่องว่างทางด้านซ้ายของเส้นแนวตั้งที่เราใส่จุดและใส่จุดไว้ใต้จุดนี้ด้วย

จุดหมายถึงการค้นหาตัวเลข ตัวเลขนี้จะเป็นตัวเลขที่สองในจำนวนสุดท้ายคือ จะปรากฏหลังเลข 4 ให้ค้นหาตามกฎดังนี้

นี่คือจำนวนสูงสุดk ว่าเลข8k , เช่น. ตัวเลขที่ได้จาก 8 โดยการเพิ่มหลักk คูณด้วยk , ไม่เกิน 637.

ที่ กรณีนี้นี่คือหมายเลข 7 เพราะ 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637 เรามี:

ขั้นตอนที่ 4— ลองวาดเส้นแนวนอนแล้วเขียนผลลัพธ์ของการลบด้านล่าง:

637 - 609 \u003d 28. เรากำหนดแอตทริบิวต์ของหลักสุดท้ายของจำนวนรากเริ่มต้นเป็นจำนวน 28 และรับหมายเลข 2829 ลากเส้นแนวตั้งทางด้านซ้ายของมันแล้วคูณ 47 ด้วย 2 และแอตทริบิวต์ของจำนวนผลลัพธ์ 94 ไปที่ ทางซ้ายของเส้นแนวตั้ง เหลือที่ไว้เป็นจุดสำหรับค้นหาหลักสุดท้าย หมายเลข 3 จะพอดีโดยไม่มีเศษเหลือตั้งแต่ 943 ∙ 3 \u003d 2829 ซึ่งหมายความว่านี่คือหลักสุดท้ายของตัวเลขที่ต้องการเช่น = 473.

943 2829

โดยหลักการแล้ว หากเศษที่เหลือไม่ใช่ศูนย์ ก็เป็นไปได้ที่จะใส่เครื่องหมายจุลภาคหลังตัวเลขที่พบของตัวเลขนั้น ให้เขียนเลขทศนิยมสองตำแหน่งเป็นหลักถัดไป หรือเลขศูนย์สองตัวถ้ามี ไม่มีและทำการแยกสแควร์รูทต่อไปอย่างแม่นยำมากขึ้น ตัวอย่างเช่น:

= 4,123…

วิธีการโดยประมาณในการแยกรากที่สอง

(โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข)

1 วิธี

ชาวบาบิโลนโบราณใช้ ด้วยวิธีดังต่อไปนี้การหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวน x พวกเขาแทนจำนวน x เป็นผลรวม a 2 + b โดยที่ 2 นั้นใกล้เคียงที่สุดกับ x กำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติ a (a 2 ? x) และใช้สูตร . (1)

โดยใช้สูตร (1) เราแยกรากที่สองออกจากตัวเลข 28:

ผลลัพธ์ของการรูทของ 28 โดยใช้เครื่องคิดเลขคือ 5.2915026 อย่างที่คุณเห็น วิธีบาบิโลนให้ค่าประมาณที่ดีกับค่ารูทที่แน่นอน

2 วิธี

Isaac Newton ได้พัฒนาวิธีการแยกรากที่สองซึ่งมีอายุย้อนไปถึง Heron of Alexandria (ค.ศ. 100) วิธีนี้ (เรียกว่าวิธีของนิวตัน) มีดังนี้

อนุญาต เอ 1 - การประมาณค่าแรกของตัวเลข (เป็น 1 คุณสามารถใช้ค่าของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติ - ค่ากำลังสองที่แน่นอนที่ไม่เกิน เอ็กซ์) .

ได้เวลาถอดประกอบ วิธีการสกัดราก. พวกมันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของรากโดยเฉพาะบนความเท่าเทียมกันซึ่งใช้ได้กับ non . ใด ๆ จำนวนลบข.

ด้านล่างเราจะพิจารณาวิธีการหลักในการแยกราก

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - การแยกรากจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

หากเป็นตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ เป็นต้น ไม่อยู่ในมือ แต่มีเหตุผลที่จะใช้วิธีการแยกรูทซึ่งเกี่ยวข้องกับการแยกหมายเลขรูทออกเป็นปัจจัยง่ายๆ

แยกจากกันก็คุ้มค่าที่จะอาศัยอยู่ซึ่งเป็นไปได้สำหรับรากที่มีเลขชี้กำลังคี่

สุดท้าย ให้พิจารณาวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาตัวเลขของค่ารากได้ตามลำดับ

มาเริ่มกันเลย.

การใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

มากที่สุด กรณีง่ายตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ อนุญาตให้แยกราก ตารางเหล่านี้คืออะไร?

ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางอยู่บนพื้นหลังสีเทา โดยการเลือกแถวและคอลัมน์ที่ต้องการ จะช่วยให้คุณสร้างตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่ 8 หลักสิบและหลักหน่วย 3 หน่วย โดยเราจะกำหนดหมายเลข 83 ให้คงที่ โซนที่สองครอบครองส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวบางแถวและบางคอลัมน์ และมีกำลังสองของตัวเลขที่เกี่ยวข้องตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 หลักสิบและคอลัมน์ที่ 3 ที่เราเลือก มีเซลล์ที่มีหมายเลข 6889 ซึ่งเป็นกำลังสองของหมายเลข 83

ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางกำลังสอง มีเพียงลูกบาศก์เท่านั้น ยกกำลังที่สี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน

ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ยกกำลังสี่ ฯลฯ อนุญาตให้คุณแยกรากที่สอง รากลูกบาศก์, รากที่สี่เป็นต้น ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการของการประยุกต์ใช้ในการแยกราก

สมมติว่าเราต้องแยกรากของดีกรีที่ n ออกจากตัวเลข a ในขณะที่ตัวเลข a อยู่ในตารางองศาที่ n ตามตารางนี้ เราพบจำนวน b ที่ a=b n แล้ว ดังนั้น หมายเลข b จะเป็นรากที่ต้องการของดีกรีที่ n

ตัวอย่างเช่น เรามาแสดงวิธีการแยกรากที่สามของปี 19683 โดยใช้ตารางลูกบาศก์ เราพบหมายเลข 19 683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าตัวเลขนี้เป็นลูกบาศก์ของหมายเลข 27 ดังนั้น .

เป็นที่ชัดเจนว่าตารางองศาที่ n สะดวกมากเมื่อทำการแยกราก อย่างไรก็ตาม พวกเขามักจะไม่อยู่ในมือ และการรวบรวมต้องใช้เวลาระยะหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น จำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่มีอยู่ในตารางที่สอดคล้องกันบ่อยครั้ง ในกรณีเหล่านี้ เราต้องใช้วิธีการอื่นในการแยกราก

การสลายตัวของจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ

วิธีที่สะดวกพอสมควรในการแยกรูทออกจากจำนวนธรรมชาติ (ถ้าแน่นอนว่า แยกรูทแล้ว) คือการแยกหมายเลขรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ ของเขา สาระสำคัญมีดังนี้: หลังจากที่มันค่อนข้างง่ายที่จะแสดงเป็นระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่ต้องการ ซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท มาอธิบายประเด็นนี้กัน

ให้ดึงรากของดีกรีที่ n ออกจากจำนวนธรรมชาติ a และค่าของมันเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b n เป็นจริง หมายเลข b เป็นใดๆ ตัวเลขธรรมชาติสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะทั้งหมด p 1 , p 2 , ..., p m ในรูปแบบ p 1 p 2 ... p m และหมายเลขรูท a ในกรณีนี้จะแสดงเป็น (p 1 p 2 ... น. น. เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนเป็นปัจจัยเฉพาะนั้นไม่ซ้ำกัน การสลายตัวของจำนวนรูท a ไปเป็นปัจจัยเฉพาะจะมีลักษณะดังนี้ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากเป็น .

โปรดทราบว่าหากการแยกตัวประกอบของหมายเลขรูท a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ได้ รากของระดับที่ n จากตัวเลข a ดังกล่าวจะไม่ถูกแยกออกทั้งหมด

มาจัดการกับสิ่งนี้เมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หารากที่สองของ 144

วิธีการแก้.

หากเราเปิดตารางสี่เหลี่ยมที่ให้มาในย่อหน้าก่อนจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า 144=12 2 จากที่ชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 คือ 12

แต่ในความสว่าง ย่อหน้านี้เราสนใจวิธีการสกัดรากด้วยการย่อยสลายหมายเลขราก 144 เป็นปัจจัยเฉพาะ ลองมาดูวิธีแก้ปัญหานี้กัน

มาย่อยสลาย 144 ถึงปัจจัยเฉพาะ:

นั่นคือ 144=2 2 2 2 3 3 . ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่เกิดขึ้น การแปลงต่อไปนี้สามารถทำได้: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. เพราะเหตุนี้, .

การใช้คุณสมบัติของระดับและคุณสมบัติของราก สารละลายสามารถกำหนดสูตรแตกต่างกันเล็กน้อย:

ตอบ:

ในการรวมเนื้อหา ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่ารูท

วิธีการแก้.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 คือ 243=3 5 ทางนี้, .

ตอบ:

ตัวอย่าง.

ค่าของรูทเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

วิธีการแก้.

เพื่อตอบคำถามนี้ ให้แบ่งจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะและดูว่าสามารถแสดงเป็นลูกบาศก์ของจำนวนเต็มได้หรือไม่

เรามี 285 768=2 3 3 6 7 2 . การสลายตัวที่ได้จะไม่แสดงเป็นลูกบาศก์ของจำนวนเต็ม เนื่องจากดีกรี ปัจจัยสำคัญ 7 ไม่ใช่ผลคูณของสาม ดังนั้นรากที่สามของ 285,768 จึงไม่ถูกใช้อย่างสมบูรณ์

ตอบ:

เลขที่

การแยกรากออกจากตัวเลขเศษส่วน

ได้เวลาคิดหาวิธีสกัดรากจาก เศษส่วน. ให้เขียนเลขรากเศษส่วนเป็น p/q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง จากความเท่าเทียมกันนี้จะตามมา กฎรากเศษ: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารการหารรากของตัวเศษด้วยรากของตัวส่วน

มาดูตัวอย่างการแยกรูทออกจากเศษส่วนกัน

ตัวอย่าง.

รากที่สองของ . คืออะไร เศษส่วนร่วม 25/169 .

วิธีการแก้.

จากตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมคือ 5 และรากที่สองของตัวส่วนคือ 13 แล้ว . เป็นการเสร็จสิ้นการสกัดรากจากเศษส่วนธรรมดา 25/169

ตอบ:

รากของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกหลังจากแทนที่ตัวเลขรากด้วยเศษส่วนธรรมดา

ตัวอย่าง.

หารากที่สามของทศนิยม 474.552

วิธีการแก้.

ลองนึกภาพต้นฉบับ ทศนิยมในรูปของเศษส่วนสามัญ: 474.552=474552/1000 แล้ว . ยังคงต้องแยกรากที่สามซึ่งอยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เพราะ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 และ 1 000=10 3 จากนั้น และ . เหลือเพียงการคำนวณให้เสร็จ .

ตอบ:

.

การแยกรากของจำนวนลบ

การแยกรากออกจากจำนวนลบนั้นคุ้มค่า เมื่อศึกษาการรูต เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังของรูทเป็นเลขคี่ ค่าลบสามารถอยู่ใต้เครื่องหมายของรูตได้ เราได้ให้สัญลักษณ์ดังกล่าวมีความหมายดังต่อไปนี้: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของรูต 2 n-1 เรามี . ความเท่าเทียมกันนี้ทำให้ กฎการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: ในการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องแยกรากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบหน้าผลลัพธ์

ลองพิจารณาตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่ารูท

วิธีการแก้.

เราแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้ปรากฏภายใต้เครื่องหมายของรูท จำนวนบวก: . ตอนนี้ คละจำนวนแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดา: . เราใช้กฎการแยกรากออกจากเศษส่วนธรรมดา: . มันยังคงคำนวณรากในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .

มาเอากัน บันทึกย่อโซลูชั่น: .

ตอบ:

.

Bitwise ค้นหาค่ารูท

ที่ กรณีทั่วไปภายใต้รูทคือตัวเลขที่ใช้วิธีการข้างต้นไม่สามารถแสดงเป็นกำลังที่ n ของตัวเลขใดๆ ได้ แต่ในขณะเดียวกัน ก็จำเป็นต้องรู้ค่าของรูทที่กำหนด อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายที่แน่นอน ในกรณีนี้ ในการแยกรูท คุณสามารถใช้อัลกอริทึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการอย่างสม่ำเสมอ

ในก้าวแรก อัลกอริทึมนี้คุณต้องค้นหาว่าค่ารูทที่สำคัญที่สุดคืออะไร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้ตัวเลขที่เกินจำนวนรูท จากนั้นจำนวนที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้านี้จะระบุลำดับที่สูงที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อแยกสแควร์รูทของห้า เรานำตัวเลข 0, 10, 100, ... และยกกำลังสองจนได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าหลักที่สำคัญที่สุดจะเป็นหลักหน่วย ค่าของบิตนี้ เช่นเดียวกับค่าที่ต่ำกว่า จะพบได้ในขั้นตอนต่อไปของอัลกอริธึมการแยกรูท

ขั้นตอนต่อไปนี้ทั้งหมดของอัลกอริธึมมุ่งเป้าไปที่การปรับแต่งค่ารูทอย่างต่อเนื่องเนื่องจากความจริงที่ว่าพบค่าของตัวเลขถัดไปของค่ารูทที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าสูงสุดและต่ำสุด . ตัวอย่างเช่น ค่าของรูทในขั้นตอนแรกคือ 2 ในวินาที - 2.2 ในลำดับที่สาม - 2.23 และอื่นๆ 2.236067977 ... . ให้เราอธิบายว่าจะหาค่าของบิตได้อย่างไร

การค้นหาบิตดำเนินการโดยการแจงนับค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., 9 . ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะคำนวณแบบขนาน และจะถูกนำไปเปรียบเทียบกับเลขฐานราก หากในบางขั้นตอน ค่าของดีกรีเกินจำนวนกรณฑ์ แสดงว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้า และการเปลี่ยนไปยังขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูทจะเกิดขึ้น หากไม่เกิดขึ้น แล้วค่าของตัวเลขนี้คือ 9

ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้ทั้งหมดโดยใช้ตัวอย่างเดียวกันในการแยกสแควร์รูทของห้า

ขั้นแรก หาค่าของหลักหน่วย เราจะวนซ้ำค่า 0, 1, 2, …, 9 , คำนวณตามลำดับ 0 2 , 1 2 , …, 9 2 จนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าจำนวนราก 5 . การคำนวณทั้งหมดเหล่านี้นำเสนออย่างสะดวกในรูปแบบของตาราง:

ดังนั้นค่าของหลักหน่วยคือ 2 (เพราะ 2 2<5 , а 2 3 >5 ). มาดูการหาค่าของตำแหน่งที่สิบกัน ในกรณีนี้ เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 โดยเปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับรากที่ 5:

ตั้งแต่ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 2 คุณสามารถค้นหาค่าของหลักร้อยได้:

พบแล้ว ค่าต่อไปรากของห้า เท่ากับ 2.23 เพื่อให้คุณสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ในการรวมวัสดุ เราจะวิเคราะห์การสกัดรากด้วยความแม่นยำหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริทึมที่พิจารณา

อันดับแรก เรากำหนดตัวเลขอาวุโส เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะลูกบาศก์ตัวเลข 0, 10, 100 เป็นต้น จนกว่าเราจะได้ตัวเลขที่มากกว่า 2,151.186 . เรามี 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 ดังนั้นหลักที่สำคัญที่สุดคือหลักสิบ

มากำหนดมูลค่าของมันกันเถอะ

ตั้งแต่ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186 แล้วค่าของหลักสิบคือ 1 มาต่อกันที่หน่วย

ดังนั้น ค่าของหลักหน่วยคือ 2 มาต่อกันที่สิบกันเลย

เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็ยังน้อยกว่าเลขฐานราก 2 151.186 ค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 มันยังคงดำเนินการตามขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมซึ่งจะทำให้เราได้รับค่ารูทด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ในขั้นตอนนี้ ค่าของรูทจะพบได้มากถึงหนึ่งในร้อย: .

โดยสรุปของบทความนี้ ผมอยากจะบอกว่ายังมีวิธีอื่นๆ อีกหลายวิธีในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

บรรณานุกรม.

• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 8 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ จากวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ นักเรียนและนักเรียนมักจะต้องเผชิญกับความจำเป็นในการแยกรากของระดับที่สอง สาม หรือ nth แน่นอนว่าในยุคของเทคโนโลยีสารสนเทศ การแก้ปัญหาด้วยเครื่องคิดเลขไม่ใช่เรื่องยาก อย่างไรก็ตาม มีบางสถานการณ์ที่ไม่สามารถใช้ผู้ช่วยอิเล็กทรอนิกส์ได้

เช่น ห้ามนำอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์เข้าสอบหลายครั้ง นอกจากนี้ เครื่องคิดเลขอาจไม่อยู่ในมือ ในกรณีเช่นนี้ อย่างน้อยควรทราบวิธีการคำนวณอนุมูลด้วยตนเองอย่างน้อยบางวิธี

วิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการคำนวณรูทคือto โดยใช้โต๊ะพิเศษ. มันคืออะไรและใช้อย่างไรให้ถูกต้อง?

เมื่อใช้ตาราง คุณสามารถหากำลังสองของตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 99 ได้ ในขณะเดียวกัน แถวของตารางจะประกอบด้วยค่าสิบค่า และคอลัมน์มีค่าหน่วย เซลล์ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ประกอบด้วยกำลังสองของตัวเลขสองหลัก ในการคำนวณกำลังสองของ 63 คุณต้องหาแถวที่มีค่า 6 และคอลัมน์ที่มีค่าเป็น 3 ที่ทางแยก เราจะพบเซลล์ที่มีตัวเลข 3969

เนื่องจากการดึงรากเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลังสอง หากต้องการดำเนินการนี้ คุณต้องทำตรงกันข้าม: ขั้นแรกให้ค้นหาเซลล์ที่มีตัวเลขที่คุณต้องการคำนวณรากศัพท์ จากนั้นจึงกำหนดคำตอบจากค่าคอลัมน์และแถว ตัวอย่างเช่น พิจารณาการคำนวณรากที่สองของ 169

เราพบเซลล์ที่มีตัวเลขนี้ในตาราง ในแนวนอนเรากำหนดหลักสิบ - 1 ในแนวตั้ง เราจะพบเซลล์ - 3 คำตอบ: √169 = 13

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณรากของดีกรีลูกบาศก์และ n-th โดยใช้ตารางที่เหมาะสม

ข้อดีของวิธีนี้คือความเรียบง่ายและไม่มีการคำนวณเพิ่มเติม ข้อเสียนั้นชัดเจน: วิธีนี้สามารถใช้ได้กับช่วงตัวเลขที่จำกัดเท่านั้น (จำนวนที่พบรากต้องอยู่ระหว่าง 100 ถึง 9801) นอกจากนี้ มันจะไม่ทำงานหากหมายเลขที่ระบุไม่อยู่ในตาราง

ตัวประกอบที่สำคัญ

หากตารางสี่เหลี่ยมไม่อยู่ในมือหรือด้วยความช่วยเหลือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะหารูทคุณสามารถลอง แบ่งจำนวนที่อยู่ใต้รากเป็นปัจจัยเฉพาะ. ปัจจัยเฉพาะคือปัจจัยที่สามารถหารด้วยตัวของมันเองหรือหารหนึ่งได้ทั้งหมด (โดยไม่เหลือเศษ) ตัวอย่างจะเป็น 2, 3, 5, 7, 11, 13 เป็นต้น

พิจารณาการคำนวณรูทโดยใช้ตัวอย่าง√576 ลองแยกออกเป็นปัจจัยง่ายๆ ได้ผลลัพธ์ดังนี้ √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². ใช้คุณสมบัติหลักของราก√a² = a เรากำจัดรากและสี่เหลี่ยมหลังจากนั้นเราคำนวณคำตอบ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24

จะทำอย่างไรถ้าปัจจัยใดไม่มีคู่ของตัวเอง? ตัวอย่างเช่น พิจารณาการคำนวณของ √54 หลังจากแฟคตอริ่ง เราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: ส่วนที่ไม่สามารถถอดออกได้สามารถทิ้งไว้ใต้รูทได้ สำหรับปัญหาส่วนใหญ่ในเรขาคณิตและพีชคณิต คำตอบดังกล่าวจะถูกนับเป็นคำตอบสุดท้าย แต่ถ้ามีความจำเป็นต้องคำนวณค่าโดยประมาณ คุณสามารถใช้วิธีการที่จะกล่าวถึงในภายหลัง

วิธีการของนกกระสา

จะทำอย่างไรเมื่อคุณต้องการทราบอย่างน้อยประมาณว่ารูทที่แยกออกมาคืออะไร (ถ้าเป็นไปไม่ได้ที่จะได้ค่าจำนวนเต็ม) ได้ผลลัพธ์ที่รวดเร็วและแม่นยำโดยใช้วิธี Heron. สาระสำคัญอยู่ที่การใช้สูตรโดยประมาณ:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

โดยที่ R คือตัวเลขที่จะคำนวณรูท a คือจำนวนที่ใกล้ที่สุดซึ่งทราบค่ารูท

เรามาดูวิธีการทำงานจริงและประเมินว่าแม่นยำแค่ไหน ลองคำนวณว่า √111 เท่ากับอะไร. จำนวนที่ใกล้ที่สุดถึง 111 ซึ่งทราบรากคือ 121 ดังนั้น R = 111, a = 121 แทนค่าในสูตร:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

ทีนี้มาดูความแม่นยำของวิธีการกัน:

10.55² = 111.3025.

ข้อผิดพลาดของวิธีการคือประมาณ 0.3 หากจำเป็นต้องปรับปรุงความแม่นยำของวิธีการ คุณสามารถทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณ:

10.536² = 111.0073

หลังจากใช้สูตรซ้ำแล้วซ้ำอีก ข้อผิดพลาดก็ไม่มีนัยสำคัญมากนัก

การคำนวณรูตโดยแบ่งเป็นคอลัมน์

วิธีการหาค่ารากที่สองนี้ซับซ้อนกว่าวิธีก่อนหน้านี้เล็กน้อย อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณแบบอื่นๆ นั้นแม่นยำที่สุดโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข.

สมมุติว่าคุณต้องหารากที่สองที่มีความแม่นยำเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง มาวิเคราะห์อัลกอริธึมการคำนวณโดยใช้ตัวอย่างหมายเลข 1308.1912 ตามใจชอบ

1. แบ่งกระดาษออกเป็น 2 ส่วนโดยใช้เส้นแนวตั้ง แล้วลากอีกเส้นหนึ่งจากกระดาษไปทางขวา โดยอยู่ใต้ขอบด้านบนเล็กน้อย เราเขียนตัวเลขทางด้านซ้ายหารเป็นกลุ่ม 2 หลักเลื่อนไปทางขวาและซ้ายของจุดทศนิยม หลักแรกสุดทางซ้ายต้องไม่มีคู่ หากเครื่องหมายหายไปทางด้านขวาของตัวเลขก็ควรเพิ่ม 0 ในกรณีของเราเราจะได้ 13 08.19 12
2. ให้เลือกจำนวนที่มากที่สุดซึ่งกำลังสองจะน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขกลุ่มแรก ในกรณีของเรา นี่คือ 3 ลองเขียนมันที่มุมขวาบนกัน 3 คือตัวเลขตัวแรกของผลลัพธ์ ที่ด้านล่างขวา เราระบุ 3 × 3 = 9; สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการคำนวณในภายหลัง ลบ 9 จาก 13 ในคอลัมน์ เราได้เศษ 4
3. มาบวกเลขคู่ถัดไปกับเศษ 4 กัน เราได้ 408
4. คูณตัวเลขทางขวาบนด้วย 2 แล้วเขียนไว้ทางขวาล่าง แล้วบวก _ x _ = ลงไป เราได้ 6_ x _ =
5. แทนที่จะใช้ขีดกลาง คุณต้องแทนที่ตัวเลขเดิม น้อยกว่าหรือเท่ากับ 408 เราได้ 66 × 6 \u003d 396 ลองเขียน 6 ที่มุมขวาบนกัน เพราะนี่คือตัวเลขที่สองของผลลัพธ์ ลบ 396 จาก 408 เราได้ 12
6. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3-6 เนื่องจากตัวเลขที่ลากลงมานั้นอยู่ในเศษส่วนของตัวเลข จึงจำเป็นต้องใส่จุดทศนิยมที่ด้านบนขวาหลัง 6 ลองเขียนผลคูณสองด้วยขีดกลาง: 72_ x _ = จำนวนที่เหมาะสมคือ 1: 721 × 1 = 721 ลองเขียนเป็นคำตอบกัน ลองลบ 1219 - 721 = 498
7. ลองทำลำดับของการกระทำที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้อีกสามครั้งเพื่อให้ได้จำนวนตำแหน่งทศนิยมที่ต้องการ หากมีสัญญาณไม่เพียงพอสำหรับการคำนวณเพิ่มเติม จะต้องเพิ่มศูนย์สองตัวให้กับตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

ผลลัพธ์ที่ได้คือ √1308.1912 ≈ 36.1689 หากคุณตรวจสอบการกระทำด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะมั่นใจได้ว่าอักขระทั้งหมดถูกกำหนดอย่างถูกต้อง

การคำนวณระดับบิตของค่ารากที่สอง

วิธีการนี้มีความแม่นยำสูง. นอกจากนี้ยังสามารถเข้าใจได้และไม่ต้องการการจดจำสูตรหรืออัลกอริธึมของการกระทำที่ซับซ้อนเนื่องจากสาระสำคัญของวิธีการคือการเลือกผลลัพธ์ที่ถูกต้อง

แยกรากออกจากหมายเลข 781 พิจารณารายละเอียดลำดับของการกระทำ

1. ค้นหาว่าตัวเลขของค่ารากที่สองใดจะสูงสุด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ลองยกกำลังสอง 0, 10, 100, 1,000 และอื่น ๆ และค้นหาว่าหมายเลขรูทอยู่ที่ไหน เราได้10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. ลองหาค่าของหลักสิบกัน ในการทำเช่นนี้ เราจะผลัดกันยกกำลัง 10, 20, ..., 90 จนกว่าเราจะได้ตัวเลขที่มากกว่า 781 สำหรับกรณีของเรา เราจะได้ 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 ค่าของผลลัพธ์ n จะอยู่ภายใน 20< n <30.
3. เช่นเดียวกับขั้นตอนก่อนหน้า ค่าของหลักหน่วยจะถูกเลือก เราสลับกันยกกำลังสอง 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784 เราได้ 27< n < 28.
4. ตัวเลขที่ตามมาแต่ละหลัก (หลักสิบ หลักร้อย ฯลฯ) คำนวณในลักษณะเดียวกับที่แสดงด้านบน การคำนวณจะดำเนินการจนกว่าจะได้ความแม่นยำตามที่ต้องการ