Як визначається кут між прямими у просторі. Кут між двома прямими

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційні, тобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувалися рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , та якщо з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використовувати щойно розглянуту схему розв'язання. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо з співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цього найпростішого завдання суворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і дуже раціональний спосіб рішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам зі шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосіб полягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типового та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наша захоплююча подорож продовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Проблеми тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати прості дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями у загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найпильнішу увагу звернемо на знаменник – це точно скалярний добутокнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функції легко знайти сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

Перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) у цьому напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1), яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямий, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то кут між ними визначається за формулою

Слід звернути увагу на те, що в чисельнику дробу з кутового коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт першої прямої.

Якщо рівняння прямої задані у загальному вигляді

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

кут між ними визначається за формулою

4. Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна та достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

5. Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координати точки перетину двох прямих знаходять, розв'язуючи систему рівнянь (6). Прямі (6) перетинаються в тому і лише в тому випадку, коли

1. Напишіть рівняння прямих, що проходять через точку M, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна заданій прямій l.

За допомогою цього онлайн-калькулятора можна знайти кут між прямими. Надається докладне рішення з поясненнями. Для обчислення кута між прямими задайте розмірність (2-якщо розглядається пряма на площині, 3- якщо розглядається пряма в просторі), введіть елементи рівняння в комірки і натискайте на кнопку "Вирішити". Теоретичну частину дивіться нижче.

×

Попередження

Очистити всі осередки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

1. Кут між прямими на площині

Прямі задані канонічними рівняннями

1.1. Визначення кута між прямими

Нехай у двовимірному просторі прямі L 1 і L

Таким чином, з формули (1.4) можна знайти кут між прямими L 1 і L 2 . Як видно з Рис.1 прямі, що перетинаються, утворюють суміжні кути φ і φ 1 . Якщо знайдений кут більше 90°, можна знайти мінімальний кут між прямими L 1 і L 2: φ 1 =180-φ .

З формули (1.4) можна вивести умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

Приклад 1. Визначити кут між прямими

Спростимо і вирішимо:

1.2. Умови паралельності прямих

Нехай φ =0. Тоді cosφ=1. При цьому вираз (1.4) набуде наступного вигляду:

,

,

Приклад 2. Визначити, чи прямі паралельні

Задовольняється рівність (1.9), отже прямі (1.10) та (1.11) паралельні.

Відповідь. Прямі (1.10) та (1.11) паралельні.

1.3. Умови перпендикулярності прямих

Нехай φ = 90 °. Тоді cosφ=0. При цьому вираз (1.4) набуде наступного вигляду:

Приклад 3. Визначити, чи прямі перпендикулярні

Задовольняється умова (1.13), отже прямі (1.14) та (1.15) перпендикулярні.

Відповідь. Прямі (1.14) та (1.15) перпендикулярні.

Прямі задані загальними рівняннями

1.4. Визначення кута між прямими

Нехай дві прямі L 1 і L 2 задані загальними рівняннями

З визначення скалярного твору двох векторів маємо:

Приклад 4. Знайти кут між прямими

Підставляючи значення A 1 , B 1 , A 2 , B 2 в (1.23), отримаємо:

Цей кут більший за 90°. Знайдемо мінімальний кут між прямими. Для цього віднімемо цей кут з 180:

З іншого боку умова паралельності прямих L 1 і L 2 еквівалентно умові колінеарності векторів n 1 і n 2 і можна уявити так:

Задовольняється рівність (1.24), отже прямі (1.26) та (1.27) паралельні.

Відповідь. Прямі (1.26) та (1.27) паралельні.

1.6. Умови перпендикулярності прямих

Умови перпендикулярності прямих L 1 і L 2 можна витягувати з формули (1.20), підставляючи cos(φ ) = 0. Тоді скалярний твір ( n 1 ,n 2) = 0. Звідки

Задовольняється рівність (1.28), отже прямі (1.29) та (1.30) перпендикулярні.

Відповідь. Прямі (1.29) та (1.30) перпендикулярні.

2. Кут між прямими у просторі

2.1. Визначення кута між прямими

Нехай у просторі прямі L 1 і L 2 задані канонічними рівняннями

де | q 1 | та | q 2 | модулі напрямних векторів q 1 і q 2 відповідно, φ -кут між векторами q 1 і q 2 .

З виразу (2.3) отримаємо:

.

Спростимо і вирішимо:

.

Знайдемо кут φ

Даний матеріал присвячений такому поняттю, як кут між двома прямими, що перетинаються. У першому пункті ми пояснимо, що він собою представляє, і покажемо його на ілюстраціях. Потім розберемо, як можна знайти синус, косинус цього кута і сам кут (окремо розглянемо випадки з площиною і тривимірним простором), наведемо потрібні формули і покажемо на прикладах, як саме вони застосовуються на практиці.

Для того щоб зрозуміти, що таке кут, що утворюється при перетині двох прямих, нам потрібно згадати визначення кута, перпендикулярності і точки перетину.

Визначення 1

Ми називаємо дві прямі, що перетинаються, якщо у них є одна загальна точка. Ця точка називається точкою перетину двох прямих.

Кожна пряма поділяється точкою перетину на промені. Обидві прямі при цьому утворюють 4 кути, з яких два вертикальні, а два суміжні. Якщо ми знаємо міру одного з них, то можемо визначити й інші.

Припустимо, нам відомо, що один із кутів дорівнює α . У такому разі кут, який є вертикальним по відношенню до нього, теж дорівнюватиме α . Щоб знайти кути, що залишилися, нам треба обчислити різницю 180 ° - α . Якщо α дорівнюватиме 90 градусам, то всі кути будуть прямими. Лінії, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними (поняттю перпендикулярності присвячена окрема стаття).

Погляньте на малюнок:

Перейдемо до формулювання основного визначення.

Визначення 2

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, - це міра меншого з 4-х кутів, які утворюють дві ці прямі.

З визначення потрібно зробити важливий висновок: розмір кута в цьому випадку буде виражений будь-яким дійсним числом в інтервалі (0, 90]. Якщо прямі є перпендикулярними, то кут між ними в будь-якому випадку дорівнюватиме 90 градусів.

Вміння знаходити міру кута між двома прямими, що перетинаються, корисно для вирішення багатьох практичних завдань. Метод вирішення можна вибрати із кількох варіантів.

Спочатку ми можемо взяти геометричні методи. Якщо нам відомо щось про додаткові кути, то можна пов'язати їх з потрібним нам кутом, використовуючи властивості рівних або подібних фігур. Наприклад, якщо ми знаємо сторони трикутника і потрібно обчислити кут між прямими, на яких розташовані ці сторони, то для вирішення нам підійде теорема косінусів. Якщо в нас є прямокутний трикутник, то для підрахунків нам також знадобиться знання синуса, косинуса і тангенса кута.

Координатний метод також дуже зручний для вирішення завдань такого типу. Пояснимо, як правильно його використати.

У нас є прямокутна (декартова) система координат O x y, в якій задані дві прямі. Позначимо їх літерами a та b . Прямі у своїй можна описати з допомогою будь-яких рівнянь. Вихідні прямі мають точку перетину M . Як визначити кут, що шукається (позначимо його α) між цими прямими?

Почнемо з формулювання основного принципу знаходження кута у заданих умовах.

Нам відомо, що з поняттям прямої лінії тісно пов'язані такі поняття, як напрямний та нормальний вектор. Якщо ми маємо рівняння деякої прямої, з нього можна взяти координати цих векторів. Ми можемо зробити це відразу для двох прямих, що перетинаються.

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, можна знайти за допомогою:

• кута між напрямними векторами;
• кута між нормальними векторами;
• кута між нормальним вектором однієї прямої та напрямним вектором інший.

Тепер розглянемо кожний спосіб окремо.

1. Припустимо, що у нас є пряма a з напрямним вектором a → = (a x , a y) і пряма b з напрямним вектором b → (b x , b y) . Тепер відкладемо два вектори a → та b → від точки перетину. Після цього ми побачимо, що вони розташовуватимуться кожен на своїй прямій. Тоді у нас є чотири варіанти їхнього взаємного розташування. ілюстрацію:

Якщо кут між двома векторами не є тупим, то він і буде потрібним нам кутом між прямими a і b , що перетинаються. Якщо ж він тупий, то шуканий кут дорівнюватиме куту, суміжному з кутом a → , b → ^ . Таким чином, α = a → , b → ^ у разі, якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° , і α = 180 ° - a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

Виходячи з того, що косинуси рівних кутів рівні, ми можемо переписати рівністі, що вийшли так: cos α = cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

У другому випадку було використано формули приведення. Таким чином,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Запишемо останню формулу словами:

Визначення 3

Косинус кута, утвореного двома прямими, що перетинаються, дорівнюватиме модулю косинуса кута між його напрямними векторами.

Загальний вигляд формули косинуса кута між двома векторами a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) виглядає так:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

З неї ми можемо вивести формулу косинуса кута між двома заданими прямими:

cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тоді сам кут можна знайти за такою формулою:

α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тут a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) – це напрямні вектори заданих прямих.

Наведемо приклад розв'язання задачі.

Приклад 1

У прямокутній системі координат на площині задані дві прямі, що перетинаються, a і b . Їх можна описати параметричними рівняннями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R і x 5 = y - 6 - 3 . Обчисліть кут між цими прямими.

Рішення

У нас є параметричне рівняння, отже, для цієї прямої ми відразу можемо записати координати її напрямного вектора. І тому потрібно взяти значення коефіцієнтів при параметрі, тобто. пряма x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R матиме напрямний вектор a → = (4 , 1) .

Друга пряма описана за допомогою канонічного рівняння x5 = y-6-3. Тут координати ми можемо взяти із знаменників. Таким чином, ця пряма має напрямний вектор b → = (5 , - 3) .

Далі переходимо безпосередньо до знаходження кута. Для цього просто підставляємо наявні координати двох векторів у наведену вище формулу α = a r cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Отримуємо таке:

α = a r c cos 4 · 5 + 1 · (-3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 · 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Відповідь: дані прямі утворюють кут 45 градусів.

Ми можемо вирішити подібну задачу за допомогою знаходження кута між нормальними векторами. Якщо у нас є пряма a з нормальним вектором n a → = (n a x , n a y) і пряма b з нормальним вектором n b → = (n b x , n b y) , то кут між ними дорівнюватиме куту між n a → і n b → або куту, який буде суміжним з n a →, n b → ^. Цей спосіб показаний на зображенні:

Формули для обчислення косинуса кута між прямими, що перетинаються, і самого цього кута за допомогою координат нормальних векторів виглядають так:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2

Тут n a → і n b → позначають нормальні вектори двох прямих заданих.

Приклад 2

У прямокутній системі координат задані дві прямі за допомогою рівнянь 3 x + 5 y – 30 = 0 та x + 4 y – 17 = 0 . Знайдіть синус, косинус кута між ними та величину самого цього кута.

Рішення

Вихідні прямі задані з допомогою нормальних рівнянь прямої виду A x + B y + C = 0 . Нормальний вектор позначимо n → = (A, B). Знайдемо координати першого нормального вектора для однієї прямої та запишемо їх: n a → = (3 , 5) . Для другої прямої x + 4 y - 17 = 0 нормальний вектор матиме координати n b → = (1, 4). Тепер додамо отримані значення формулу і підрахуємо результат:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34

Якщо нам відомий косинус кута, ми можемо обчислити його синус, використовуючи основне тригонометричне тотожність. Оскільки кут α, утворений прямими, не тупий, то sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 .

У такому разі α = r c cos 23 2 34 = r c sin 7 2 34 .

Відповідь: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Розберемо останній випадок – знаходження кута між прямими, якщо нам відомі координати напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора інший.

Припустимо, що пряма a має напрямний вектор a → = (a x , a y) , а пряма b – нормальний вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам треба відкласти ці вектори від точки перетину та розглянути всі варіанти їхнього взаємного розташування. на картинці:

Якщо величина кута між заданими векторами не більше 90 градусів, виходить, що він доповнюватиме кут між a і b до прямого кута.

a → , n b → ^ = 90 ° - α у тому випадку, якщо a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Якщо він менший за 90 градусів, то ми отримаємо наступне:

a → , n b → ^ > 90 ° , тоді a → , n b → ^ = 90 ° + α

Використовуючи правило рівності косінусів рівних кутів, запишемо:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α при a → , n b → ^ ≤ 90 °.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .

Таким чином,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° -- cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Сформулюємо висновок.

Визначення 4

Щоб знайти синус кута між двома прямими, що перетинаються на площині, потрібно обчислити модуль косинуса кута між напрямним вектором першої прямої та нормальним вектором другої.

Запишемо потрібні формули. Знаходження синуса кута:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Знаходження самого кута:

α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут a → є напрямним вектором першої прямої, а n b → нормальним вектором другої.

Приклад 3

Дві прямі, що перетинаються, задані рівняннями x - 5 = y - 6 3 і x + 4 y - 17 = 0 . Знайдіть кут перетину.

Рішення

Беремо координати напрямного та нормального вектора із заданих рівнянь. Виходить a → = (- 5, 3) і n → b = (1, 4). Беремо формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 і вважаємо:

α = a r c sin = - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Зверніть увагу, що ми взяли рівняння з попереднього завдання і отримали такий самий результат, але іншим способом.

Відповідь:α = a r c sin 7 2 34

Наведемо ще один спосіб знаходження потрібного кута за допомогою кутових коефіцієнтів заданих прямих.

У нас є пряма a , яка задана в прямокутній системі координат за допомогою рівняння y = k 1 · x + b 1 і пряма b , задана як y = k 2 · x + b 2 . Це рівняння прямих із кутовим коефіцієнтом. Щоб знайти кут перетину, використовуємо формулу:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 де k 1 і k 2 є кутовими коефіцієнтами заданих прямих. Для отримання цього запису було використано формули визначення кута через координати нормальних векторів.

Приклад 4

Є дві прямі, що перетинаються на площині, задані рівняннями y = - 3 5 x + 6 і y = - 1 4 x + 17 4 . Обчисліть величину кута перетину.

Рішення

Кутові коефіцієнти наших прямих дорівнюють k 1 = - 3 5 і k 2 = - 1 4 . Додамо їх у формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 та підрахуємо:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Відповідь:α = a r c cos 23 2 34

У висновках цього пункту слід зазначити, що наведені тут формули знаходження кута не обов'язково вивчати напам'ять. Для цього достатньо знати координати напрямних та/або нормальних векторів заданих прямих та вміти визначати їх за різними типами рівнянь. А ось формули для обчислення косинуса кута краще запам'ятати чи записати.

Як обчислити кут між прямими, що перетинаються, в просторі

Обчислення такого кута можна звести до обчислення координат напрямних векторів та визначення величини кута, утвореного цими векторами. Для таких прикладів використовуються такі самі міркування, які ми наводили до цього.

Припустимо, що ми маємо прямокутну систему координат, розташовану в тривимірному просторі. У ній задані дві прямі a та b з точкою перетину M . Щоб обчислити координати напрямних векторів, потрібно знати рівняння цих прямих. Позначимо напрямні вектори a → = (a x, a y, a z) і b → = (b x, b y, b z). Для обчислення косинуса кута між ними скористаємося формулою:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Для знаходження самого кута нам знадобиться ця формула:

α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Приклад 5

Ми маємо пряму, задану в тривимірному просторі за допомогою рівняння x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Відомо, що вона перетинається з віссю Oz. Обчисліть кут перетину та косинус цього кута.

Рішення

Позначимо кут, який треба обчислити, літерою α. Запишемо координати напрямного вектора для першої прямої - a → = (1, -3, -2). Для осі аплікат ми можемо взяти координатний вектор k → = (0, 0, 1) як напрямний. Ми отримали необхідні дані і можемо додати їх у потрібну формулу:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

У результаті ми отримали, що потрібний нам кут дорівнюватиме a r c cos 1 2 = 45 ° .

Відповідь: cos α = 12, α = 45°.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

а. Нехай дані дві прямі Ці прямі як було зазначено в розділі 1, утворюють різні позитивні та негативні кути, які при цьому можуть бути як гострими, так і тупими. Знаючи один із цих кутів ми легко знайдемо якийсь інший.

Між іншим, у всіх цих кутів чисельна величина тангенсу одна й та сама, відмінність може бути лише у знаку

Рівняння прямих. Числа суть проекції напрямних векторів першої та другої прямої Кут між цими векторами дорівнює одному з кутів, що утворюються прямими лініями. Тому завдання зводиться до визначення кута між векторами.

Для простоти можна умовитися під кутом між двома прямими розуміти гострий позитивний кут (як, наприклад, рис. 53).

Тоді тангенс цього кута завжди буде позитивним. Отже, якщо у правій частині формули (1) вийде знак мінус, ми його повинні відкинути, т. е. зберегти лише абсолютну величину.

приклад. Визначити кут між прямими

За формулою (1) маємо

с. Якщо буде зазначено, яка зі сторін кута є його початком і яка кінцем, то, відраховуючи завжди напрям кута проти годинникової стрілки, ми можемо формули (1) витягти щось більше. Як неважко переконатися із рис. 53 знак, що виходить у правій частині формули (1), буде вказувати, який саме - гострий або тупий - кут утворює друга пряма з першою.

(Дійсно, з рис, 53 ми вбачаємо, що кут між першим і другим напрямними векторами або дорівнює шуканому куту між прямими, або відрізняється від нього на ±180 °.)

d. Якщо прямі паралельні, то паралельні та їх напрямні вектори Застосовуючи умову паралельності двох векторів отримаємо!

Це умова необхідна і достатня для паралельності двох прямих.

приклад. Прямі

паралельні, оскільки

e. Якщо прямі перпендикулярні, то їх напрямні вектори теж перпендикулярні. Застосовуючи умову перпендикулярності двох векторів ми отримаємо умову перпендикулярності двох прямих, а саме

приклад. Прямі

перпендикулярні через те, що

У зв'язку з умовами паралельності та перпендикулярності вирішимо такі два завдання.

f. Через точку провести пряму паралельно даній прямій

Рішення проводиться так. Так як шукана пряма паралельна даній, то за її напрямний вектор можна взяти той же самий, що і в даній прямій, тобто вектор з проекціями А і В. А тоді рівняння прямої прямої напишеться у формі (§ 1)

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (1; 3) паралельно прямий

буде наступне!

g. Через точку провести пряму перпендикулярно даній прямій

Тут за напрямний вектор не годиться брати вектор з проекціями А і , а треба віяти вектор, йому перпендикулярний. Проекції цього вектора мають бути обрані таким чином, згідно з умовою перпендикулярності обох векторів, тобто згідно з умовою

Виконати ж цю умову можна незліченною безліччю способів, тому що тут одне рівняння з двома невідомими. Але найпростіше взяти йди ж. Тоді рівняння шуканої прямої напишеться у формі

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (-7; 2) перпендикулярної прямої

буде наступне (за другою формулою)!

h. У тому випадку, коли прямі задані рівняннями виду

переписуючи ці рівняння інакше, маємо