Розглянемо лінії, що визначаються рівнянням другого ступеня щодо поточних координат

Коефіцієнти рівняння є дійсними числами, але принаймні одне з чисел A,B або C відмінно від 0. такі лінії називають лініями (кривими) другого порядку. Нижче ми покажемо, що рівняння (1) визначає на площині коло Еліпс, гіперболу чи параболу.

Окружність

Найпростішою кривою другого порядку є коло. Нагадаємо, що коло радіуса R з центром у точці M 0 називається безліч точок M площини, що задовольняють умові MM 0 =R. Нехай точка M 0 у системі Oxy має координати x 0 ,y 0 ,а M(x,y) - довільна точка кола. Тоді чи

-канонічне рівняння кола . Вважаючи, x 0 = y 0 = 0 отримаємо x 2 + y 2 = R 2

покажемо, що рівняння кола можна записати як загального рівняння другого ступеня (1). Для цього зведемо в квадрат праву частину рівняння кола та отримаємо:

Для того щоб це рівняння відповідало (1) необхідно, щоб:

1) коефіцієнт B = 0,

2). Тоді отримаємо: (2)

Останнє рівняння називається загальним рівнянням кола . Поділивши обидві частини рівняння на А ≠0 і доповнивши члени, що містять x та y до повного квадрата, отримаємо:

(2)

Порівнюючи це рівняння з канонічним рівнянням кола, отримаємо, що рівняння (2) дійсно рівняння кола якщо:

1) A = C, 2) B = 0, 3) D 2 + E 2 -4AF> 0.

При виконанні цих умов центр кола розташований у точці О, а її радіус .

Еліпс

y

x

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

За визначенням 2 >2c, тобто >c.для висновку рівняння еліпса вважатимемо, що фокуси F 1 і F 2 лежать на осі Ox, а т.O збіглася з серединою відрізка F 1 F 2 тоді F 1 (-c, 0), F 2 (c,0).

Нехай M(x,y)- довільна точка еліпса, тоді, згідно з визначенням еліпса MF 1 +MF 2 =2 тобто

Це і є рівняння еліпса. Можна його перетворити до більш простого вигляду так:

Зводимо у квадрат:

зводимо у квадрат

Оскільки ,то 2 -c 2 >0 покладемо 2 -c 2 =b 2

Тоді останнє рівняння набуде вигляду:

-це рівняння еліпса у канонічному вигляді.

Форма еліпса залежить від співвідношення: при b = еліпс перетворюється на коло. Рівняння набуде вигляду. Як характеристика еліпса часто користуються ставленням. Ця величина отримала назву ексцентриситету еліпса, причому 0< <1 так как 0

Вивчення форми еліпса.

1) рівняння еліпса містить x і y, лише парною мірою, тому еліпс симетричний щодо осей Ox і Oy , і навіть щодо т.О (0,0), яку називають центром еліпса.

2) знайдемо точки перетину еліпса з осями координат. Поклавши y=0 знаходимо A 1 ( ,0) та A 2 (- ,0), в яких еліпс перетинає Ox. Поклавши x = 0, знаходимо B 1 (0, b) і B 2 (0, - b). Точки A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 -називаються вершинами еліпса. Відрізки A 1 A 2 і B 1 B 2 а також їх довжини 2 і 2b називаються відповідно великою і малою осями еліпса. Числа та b – відповідно великою та малою півосями.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Отже, всі точки еліпса лежать усередині прямокутника, утвореного прямими x = ±, y = ± b. (Мал.2.)

4)В рівнянні еліпса сума невід'ємних доданків дорівнює одиниці. Отже, при зростанні одного доданку, інше зменшуватиметься, тобто якщо |x| зростає, то |y| - Зменшується і навпаки. Зі всього сказаного випливає, що еліпс має форму зображену на рис.2. (овальна замкнута крива).

1. Лінії другого порядку на евклідовій площині.

2. Інваріанти рівнянь ліній другого порядку.

3. Визначення виду ліній другого порядку за інваріантами її рівняння.

4. Лінії другого порядку на афінній площині. Теорема єдиності.

5. Центри ліній другого порядку.

6. Асимптоти та діаметри ліній другого порядку.

7. Привид рівнянь ліній другого порядку до найпростішого.

8. Головні напрями та діаметри ліній другого порядку.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Лінії другого порядку в евклідовій площині.

Визначення:

Евклідова площина- Це простір розмірності 2,

(Двовимірний речовий простір).

Лінії другого порядку є лінії перетину кругового конуса з площинами, що не проходять через його вершину.

Ці лінії часто зустрічаються у різних питаннях природознавства. Наприклад, рух матеріальної точки під впливом центрального поля сили тяжіння відбувається однією з цих ліній.

Якщо січна площина перетинає всі прямолінійні утворюють одну порожнину конуса, то в перерізі вийде лінія, звана еліпсом(Рис. 1.1, а). Якщо січна площина перетинає утворюють обох порожнин конуса, то в перерізі вийде лінія, яка називається гіперболою(Рис. 1.1,6). І, нарешті, якщо січна площина паралельна до однієї з утворюючих конуса (на 1.1, в- це утворює АВ),то в перетині вийде лінія, яка називається параболою.Мал. 1.1 дає наочне уявлення про форму аналізованих ліній.

Малюнок 1.1

Загальне рівняння лінії другого порядку має такий вигляд:

(1)

(1*)

Еліпсом називається безліч точок площини, для яких сума відстаней до двохфіксованих точокF 1 іF 2 цієї площини, званих фокусами, є постійна величина.

При цьому не виключається збіг фокусів еліпса. Очевидно, якщо фокуси збігаються, то еліпс є коло.

Для виведення канонічного рівняння еліпса виберемо початок Про декартову систему координат у середині відрізка F 1 F 2 , а осі Охі Оунаправимо так, як зазначено на рис. 1.2 (якщо фокуси F 1 і F 2 збігаються, то О збігається з F 1 і F 2 , а за вісь Охможна взяти будь-яку вісь, що проходить через В).

Нехай довжина відрізка F 1 F 2 F 1 і F 2 відповідно мають координати (-с, 0) та (с, 0). Позначимо через 2апостійну, про яку йдеться у визначенні еліпса. Вочевидь, 2а > 2с, тобто. а > с (Якщо М- точка еліпса (див. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a, а оскільки сума двох сторін MF 1 і MF 2 трикутника MF 1 F 2 більше третьої сторони F 1 F 2 = 2c, то 2а> 2с. Випадок 2а = 2с природно виключити, тому що тоді точка Мрозташовується на відрізку F 1 F 2 і еліпс вироджується у відрізок. ).

Нехай М (х, у)(Рис. 1.2). Позначимо через r 1 та r 2 відстані від точки Мдо точок F 1 і F 2 відповідно. Згідно з визначенням еліпса рівність

r 1 + r 2 = 2а(1.1)

є необхідною та достатньою умовою розташування точки М (х, у) на даному еліпсі.

Використовуючи формулу відстані між двома точками, отримаємо

(1.2)

З (1.1) та (1.2) випливає, що співвідношення

(1.3)

є необхідною і достатньою умовою розташування точки М з координатами х і у на даному еліпсі.Тому співвідношення (1.3) можна як рівняння еліпса.Шляхом стандартного прийому «знищення радикалів» це рівняння наводиться до вигляду

(1.4) (1.5)

Оскільки рівняння (1.4) є алгебраїчне слідстворівняння еліпса (1.3), то координати х і убудь-якої точки Меліпса задовольнятимуть і рівняння (1.4). Оскільки при алгебраїчних перетвореннях, пов'язаних з рятуванням від радикалів, могли з'явитися «зайві коріння», ми повинні переконатися в тому, що будь-яка точка М,координати якої задовольняють рівняння (1.4), розташовується цьому еліпсі. Для цього, очевидно, достатньо довести, що величини r 1 та r 2 кожної точки задовольняють співвідношенню (1.1). Отже, нехай координати хі украпки Мзадовольняють рівняння (1.4). Підставляючи значення у 2з (1.4) в праву частину виразу (1.2) для г 1 після нескладних перетворень знайдемо, що Зовсім аналогічно знайдемо, що (1.6)

тобто. r 1 + r 2 = 2а,і тому точка М розташовується на еліпсі. Рівняння (1.4) називається канонічним рівнянням еліпса.Величини аі bназиваються відповідно великою та малою півосями еліпса(Найменування «велика» і «мала» пояснюється тим, що а>Ь).

Зауваження. Якщо півосі еліпса аі bрівні, то еліпс є коло, радіус якого дорівнює R = a = b, а центр збігається з початком координат.

Гіперболою називається безліч точок площини, для яких абсолютна величина різниці відстаней до двох фіксованих точок,F 1 іF 2 цієї площини, званих фокусами, є величина постійна (Фокуси F 1 і F 2 гіперболи природно вважати різними, бо якщо зазначена у визначенні гіперболи постійна не дорівнює нулю, то немає жодної точки площини при збігу F 1 і F 2 , яка б задовольняла вимоги визначення гіперболи. Якщо ж ця постійна дорівнює нулю і F 1 Зівпадає з F 2 , то будь-яка точка площини відповідає вимогам визначення гіперболи. ).

Для виведення канонічного рівняння гіперболи виберемо початок координат у середині відрізка F 1 F 2 , а осі Охі Оунаправимо так, як зазначено на рис. 1.2. Нехай довжина відрізка F 1 F 2 дорівнює 2с. Тоді у вибраній системі координат точки F 1 і F 2 відповідно мають координати (-с, 0) та (с, 0) Позначимо через 2 апостійну, про яку йдеться у визначенні гіперболи. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a< с.

Нехай М- точка площини з координатами (х, у)(Рис. 1,2). Позначимо через r 1 та r 2 відстані MF 1 і MF 2 . Згідно з визначенням гіперболи рівність

(1.7)

є необхідною та достатньою умовою розташування точки М на даній гіперболі.

Використовуючи вирази (1.2) для r 1 і r 2 та співвідношення (1.7), отримаємо наступне необхідна та достатня умова розташування точки М з координатами х і у на даній гіперболі:

. (1.8)

Використовуючи стандартний прийом «знищення радикалів», наведемо рівняння (1.8) до виду

(1.9) (1.10)

Ми повинні переконатися, що рівняння (1.9), отримане шляхом алгебраїчних перетворень рівняння (1.8), не набуло нового коріння. Для цього достатньо довести, що для кожної точки М,координати хі уякої задовольняють рівняння (1.9), величини r 1 і r 2 задовольняють співвідношення (1.7). Проводячи міркування, аналогічні тим, які були зроблені при виведенні формул (1.6), знайдемо для величин r 1 і r 2, що цікавлять нас, наступні вирази:

(1.11)

Таким чином, для цієї точки Ммаємо

, і тому вона розташовується на гіперболі.

Рівняння (1.9) називається канонічним рівнянням гіперболиВеличини аі bназиваються відповідно дійсною та уявною піввісь гіперболи.

Параболою називається безліч точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точкиFцій площині дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, також розташованої в площині, що розглядається.

Транскрипт

1 Глава ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ.1. Елліпс, гіпербола, парабола Визначення. Еліпсом називається безліч всіх точок площини, для яких сума відстаней до двох даних точок F 1 і F є постійна величина a перевищує відстань між F 1 і. M(, x) F 1 Про F x Рис. Точки F 1 і F називаються фокусами еліпса, а відстань FF 1 між ними фокальною відстанню, що позначається c. Нехай точка M належить еліпсу. Відрізки F1 M та F M називаються фокальними радіусами точки M. Нехай F1F = c. За визначенням a > c. Розглянемо прямокутну декартову систему координат Ox, де фокуси F 1 і F розташовані на осі абсцис симетрично щодо початку координат. У системі координат еліпс описується канонічним рівнянням: x + = 1, a b 1

2 . де b = a c Параметри a і b називаються відповідно великою та малою півосями еліпса. Ексцентриситетом еліпса називається число ε, що дорівнює відношенню половини його фокального з відстані до великої півосі, тобто. ε =. Ексцентриситет еліпса a задовольняє нерівностям 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Канонічне рівняння гіперболи має вигляд x a = b 1,. де b = c a Числа a і b називаються відповідно до дійсної і уявної півосями гіперболи. Усередині області, яка визначається нерівністю точок гіперболи немає. x a b Визначення. Асимптотами гіперболи називаються прямі, b b задані рівняннями = x, = x. a a Фокальні радіуси точки M(x,) гіперболи можуть бути знайдені за формулами r 1 = x a, r = x + a. Ексцентриситет гіперболи, як і для еліпса, визначається формулою ε =. Неважко перевірити, що для ексцентриситету гіперболи вірна нерівність a >1. Визначення. Параболою називається безліч всіх точок площини, для яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходить через точку F. Точка F називається фокусом параболи, а пряма d директриса. Відстань від фокуса до директриси називається параметром параболи та позначається через p. d M (x,) F x Мал. 4 3

4 Виберемо початок O декартової системи координат на середині відрізка FD, що є перпендикуляром, опущеним з точки F на пряму d. У цій системі координат фокус F має координати F p p ;0, а директриса d визначається рівнянням x + = 0. Канонічне рівняння параболи: = px. Парабола симетрична щодо осі OF, званої віссю параболи. Точка O перетину цієї осі з параболою називається вершиною параболи. Фокальний радіус точки M(x,) тобто. її відстань до фокусу знаходиться за формулою r = x+. 10B.. Загальне рівняння лінії другого порядку Лінією другого порядку називається безліч точок площини, координати x та яких задовольняють рівнянню a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​11 1 де a11, a1, a, a10, a0, a00 деякі дійсні числа, причому a, a, a не дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння називається загальним рівнянням кривої другого порядку і може бути записано у векторній формі rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, де 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10; a0) x = (x;). Оскільки A = A, то A матриця квадратичної форми r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Еліпс, гіпербола і парабола є прикладами кривих другого порядку на площині. Крім названих кривих існують інші види кривих другого порядку, пов'язані з x прямими. Приміром, рівняння = 0, де a 0, b 0, a b 4

5 задає на площині пару прямих, що перетинаються. Системи координат, у яких рівняння кривої набуває найпростішого вигляду, називаються канонічними. За допомогою композиції перетворень: повороту осей на кут α, паралельного перенесення початку координат у точку (x0; 0) та відображення щодо осі абсцис рівняння кривої другого порядку наводиться до одного з канонічних рівнянь, основні з яких були перераховані вище. 11BПриклади 1. Скласти канонічне рівняння еліпса з центром на початку координат і фокусами, розташованими на осі абсцис, якщо відомо, що його ексцентриситет ε = і точка N(3;) лежить на 3 еліпсі. x a b Рівняння еліпса: + = 1. Маємо, що =. a b a 3 9 Звідси обчислимо, що a = b. Підставляючи координати точки N(3;) в рівняння, отримаємо + = 1 і далі b = 9 і 81 a = 16,. Отже, канонічне рівняння еліпса 5 x + = 1. 16, 9. Скласти канонічне рівняння гіперболи з центром на початку координат і фокусами, розташованими на осі абсцис, якщо дані точка M 1 (5; 3) гіперболи та ексцентриситет ε =. x Канонічне рівняння гіперболи = 1. З рівності a b a + b = маємо b = a 5 9. Звідси = 1 та a =16. Отже, канонічне рівняння еліпса = a a a x 16 5

6 3. Знайдіть на параболі = 10x точки, фокальний радіус яких дорівнює 1,5. Зауважимо, що парабола розташована у правій напівплощині. Якщо M (x; лежить на параболі, то x 0. Параметр p = 5. Нехай (;)) M x точка, F фокус, () директриса параболи. Тоді F,5; 0 d: x=,5. Оскільки FM = ρ(M, d), то x +,5 = 1,5, 10 Відповідь: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Отже, одержали дві точки. M 10; 10 M, () 4. На правій гілки гіперболи, заданої рівнянням x = 1, знайдіть точку, відстань якої від правого фокусу в 16 9 двічі менша від її відстані від лівого фокусу. Для правої гілки гіперболи фокальні радіуси визначаються формулами r 1 = x a і r = x + a. Отже, отримаємо рівняння x + a = (ε x a). Для цієї гіперболи a = 4, 5 c = = 5 та ε =. Тому x = 9,6. Звідси маємо =± x 16 =± d Відповідь: дві точки M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Знайдіть рівняння лінії, для будь-якої точки якої відношення відстані до точки F (3; 0) до відстані до прямої 1 x 8 = 0 дорівнює ε =. Вказати назву лінії та її параметри. M x; шуканої лінії правильна рівність: Для довільної точки () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Звідси маємо [(x 3) + ] = (x 8). Розкривши дужки і здійснивши перегрупування доданків, отримаємо (x+) + = 50, тобто. (x+) + = Відповідь: шукана лінія є еліпс з центром у точці та півосями a = 5 і b = Знайдіть рівняння гіперболи Старі координати координат O() x ; 0; ;, ;. C(;0) = 8 у новій системі (x ;) і нові (zt ;) пов'язані матричною рівністю 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Значить, рівняння x = 8 z + t z t = 8, zt = 4. Відповідь: zt = 4. Розглянемо квадратичну форму () q x, = 4x 4x+. Ма- 4 риця форми q має власні значення 5 і 0 і відповідні їм ортонормовані вектори і Перейдемо до нової системи координат: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Виразимо старі координати (x;) через нові (zt); : 1 1 z = t x 1 z = 1 t =, 1 z t означає, x = z + t, = z + t Підставляючи зазначені вирази в рівняння кривої γ, одержуємо 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Значить, у нових координатах крива γ задається рівнянням 1 3 γ: z z =. Вважаючи = z, x = t, отримаємо γ: =, 1 звідки знаходимо канонічне рівняння кривої γ: = 0 у канонічних координатах = 5 x 1 1 x Зауважимо, що крива γ є парою паралельних прямих. 1BДодатки до економічних та фінансових завдань 8. Нехай Аня, Борис та Дмитро мають по 150 рублів на закупівлю фруктів. Відомо, що 1 кг груш коштує 15 грошових одиниць, а 1 кг яблук коштує 10 грошових одиниць. При цьому кожен із трьох 8

9 має свою функцію корисності, на яку він хоче забезпечити максимум при покупці. Нехай купується x1 кг груш та x кг яблук. Ці функції корисності такі: u = x + x для Ані, 1 A 1 x u B = + x для Бориса та ud = x1 x для Дмитра. Потрібно знайти для Ані, Бориса та Дмитра план (x1, x) покупки, при якому вони забезпечують максимум своєї функції корисності. x Мал. 5 Розглянута задача може бути вирішена геометрично. Для вирішення цього завдання слід запровадити поняття лінії рівня. x x 1 Мал. 6 Лінією рівня функції z = f(x,) називається безліч усіх точок на площині, на якому функція зберігає постійне значення, що дорівнює h. x 9

10 При цьому для вирішення будуть також використані початкові уявлення про геометричні області на площині, що задаються лінійними нерівностями (див. підрозділ 1.4). x x 1 Мал. 7 Лінії рівня функцій ua, u B та u D являють собою прямі, еліпси та гіперболи для Ані, Бориса та Дмитра, відповідно. За змістом завдання вважаємо, що x1 0, x 0. З іншого боку, бюджетне обмеження записується у вигляді нерівності 15x1+ 10x 150. Розділивши на 10 останню нерівність, отримаємо 3x1+ x 30, або +1. разом із умовами неотрицательности є трикутник, обмежений прямими x1 = 0, x = 0 і 3x1+ x =

11 X * X * Мал. 8 Мал. 9 З геометричних малюнків, легко тепер встановити, що uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 і udmax = ud(Q). Координати точки Q дотику гіперболи рівня сторони бюджетного трикутника потрібно вже аналітично обчислити. Для цього зауважимо, що точка Q задовольняє трьома рівняннями: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Рис

12 Виключаючи з рівнянь h, отримаємо координати точки Q = (x, x) = (5; 7,5). 1 Відповідь: Q = (x1, x) = (5; 7,5). 9. Нелінійна модель витрат та прибутку фірми. Нехай фірма виробляє багатоцільове обладнання двох видів A та B у кількості x та одиниць продукції відповідно. У цьому доходи фірми протягом року виражаються функцією доходів Rx (,) = 4x+, а видатки виробництво виражаються функцією витрат 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 якому фірма отримує максимум прибутку.. Визначити план виробництва (x, ) при 3

13 Функція прибутку складається як різницю між функцією доходів і функцією витрат: 1 1 Π(x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Зробивши перетворення, останній вираз приведемо до виду 1 1 Π(x,) = 9 (x 8) (1). 4 Лінії рівня функції прибутку мають вид (x 8) (1) = h. 4 Кожна лінія рівня 0 h 9 є еліпс з центром на початку координат. З отриманого виразу легко бачити, що максимум функції прибутку дорівнює 9 і досягається при x = 8, = 1. Відповідь: x = 8, = 1. Вправи та тестові питання. Напишіть нормальне рівняння кола. Знайдіть координати центру та радіус кола: а) x + + 8x 6=0; б) x x = 0... Складіть рівняння кола, що проходить через точки M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0)..3. Дайте визначення еліпса та напишіть його канонічне рівняння. Напишіть канонічне рівняння еліпса, якщо 1 його ексцентриситет дорівнює ε =, а велика піввісь дорівнює Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі ординат симетрично щодо початку координат, знаючи, крім того, що відстань між його фокусами з = 4 і ексцентриситет ε визначення ексцентриситету еліпса. Знайдіть ексцентриситет еліпса, якщо його велика піввісь у чотири рази більша за малу. 33

14.6. Дайте визначення гіперболи та напишіть її канонічне рівняння. Через точку M (0; 0,5) і праву вершину гіперболи, за- даної рівнянням = 1, проведена пряма. Знайдіть координати другої точки перетину прямої та гіперболи Дайте визначення ексцентриситету гіперболи. Напишіть її канонічне рівняння, якщо a = 1, b = 5. Чому дорівнює ексцентриситет цієї гіперболи? Напишіть рівняння асимптот гіперболи, заданої своїм канонічним рівнянням. Складіть рівняння гіперболи, якщо її асимптоти задані рівняннями =± x і гіпербола 5 проходить через точку M (10; 3 3)..9. Дайте визначення параболи та напишіть її канонічне рівняння. Складіть канонічне рівняння параболи, якщо вісь абсцис є її віссю симетрії, її вершина лежить на початку координат і довжина хорди параболи, перпендикулярної осі Ox, дорівнює 8, а відстань цієї хорди від вершини дорівнює На параболі = 1x знайдіть точку, фокальний радіус якої дорівнює і попит деякий товар задаються функціями p = 4q 1, p = +. Знайти точку ринкової рівноваги. 1 q Побудувати графіки..1. Андрій, Катя та Микола збираються купити апельсини та банани. Купується x1 кг апельсинів та x кг бананів. Кожен із трьох має свою функцію корисності, яка показує, наскільки корисною він вважає свою покупку. Ці функції корисності такі: u = x + x для Андрія, 1 4 A 4 1 u K = x + x для Каті та un = x1 x для Миколи. а) Побудуйте лінії рівня функції корисності для значень рівня h=1,3. ). 34

Аналітична геометрія. Аналітична геометрія на площині та у просторі Лекція 7 Анотація Лінії другого порядку на площині: еліпс, гіпербола, парабола. Визначення, загальні показники.

Лекція N15. Криві другого порядку. 1.Окружність... 1.Еліпс... 1 3.Гіпербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружність Кривий другого порядку називається лінія, яка визначається рівнянням другого ступеня щодо

8 Криві другого порядку 81 Окружність Безліч точок площини, рівновіддалених від однієї точки, званої центром, на відстань, звану радіусом, називається колом Нехай центр кола знаходиться

Лекція 13 Тема: Криві другого ладу Криві другого ладу на площині: еліпс, гіпербола, парабола. Виведення рівнянь кривих другого порядку з їх геометричних властивостей. Дослідження форми еліпса,

ЛЕКЦІЯ Лінії другого порядку гіперболу Як приклад знайдемо рівняння, що задають коло, параболу, еліпс і Окружність Окружністю називається безліч точок площини, рівновіддалених від заданої

Криві другого порядку Окружність Еліпс Гіпербола Парабола Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат. Кривий другого порядку називається безліч точок, координати яких задовольняють

Пряма лінія та площина у просторі Лінійна алгебра (лекція 11) 24.11.2012 2 / 37 Пряма лінія та площина у просторі Відстань між двома точками M 1 (x 1, y 1, z 1) та M 2 (x 2, y 2, z 2)

Міністерство освіти та науки Російської Федерації Ярославський державний університет ім. П. Г. Демидова Кафедра алгебри та математичної логіки Криві другого порядку Частина I Методичні вказівки

3. Гіпербола та її властивості Визначення 3.. Гіперболою називається крива, що визначається в деякій прямокутній декартовій системі координат рівнянням 0. (3.) а Рівність (3.) називається канонічним рівнянням

Практичне заняття 1 Тема: Гіпербола План 1 Визначення та канонічне рівняння гіперболи Геометричні властивості гіперболи Взаємне розташування гіперболи та прямої, що проходить через її центр Асимптоти

Конспект лекції 13 ЕЛЛІПС, ГІПЕРБОЛА І ПАРАБОЛА 0. План лекції Лекція Елліпс, Гіперболу та Парабола. 1. Еліпс. 1.1. Визначення еліпса; 1.2. Визначення канонічної системи координат; 1.3. Висновок рівняння

МОДУЛЬ ЕЛЛІПС ГІПЕРБОЛУ ПАРАБОЛА Практичне заняття Тема: Еліпс План Визначення та канонічне рівняння еліпса Геометричні властивості еліпса Ексцентриситет Залежність форми еліпса від ексцентриситету

ДРУГЕ ЗАВДАННЯ 1. Пряма на площині. 1. Дві прямі задані векторними рівняннями (, rn) = D та r = r + a, причому (an,) 0. Знайти радіус-вектор точки перетину прямих. 0 t. Дано точку М 0 з радіус-вектором.

Криві другого порядку. Визначення: Лінією кривої другого порядку називається безліч (М) точок площини, декартові координати X, Y) яких задовольняють рівняння алгебри другого ступеня:,

АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ НА ПЛОЩИНІ.. ЛІНІЇ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ (ПРЯМІ НА ПЛОЩИНИ...

Еліпс і його властивості Визначення.

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекція 9 ЕЛЛІПС, ГІПЕРБОЛА І ПАРАБОЛА 1. Канонічне рівняння еліпса Визначення 1. Еліпсом називається геометричне місце точок M на площині, сума відстаней від кожної

ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ЗАНЯТТЯ ПЛОСКІСТЬ В ТРЬОХІРНОМУ ПРОСТОРІ Написати векторне рівняння площини і пояснити зміст величин, що входять до цього рівняння Написати загальне рівняння площини

Заняття 12 Еліпс, гіпербола та парабола. Канонічні рівняння. Еліпсом називається геометричне місце точок M на площині, для яких сума відстаней від двох фіксованих точок F 1 і F 2, званих

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА Лекція Рівняння кривих другого порядку Окружність Визначення Окружність це геометричне місце точок, рівновіддалених від однієї точки, яка називається центром кола, на відстані r

Уральський федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математики Вступні зауваження У цій лекції вивчається третя крива другого порядку параболу.

Лекція 9,30 Розділ Аналітична геометрія на площині Системи координат на площині Прямокутна та полярна системи координат Системою координат на площині називається спосіб, що дозволяє визначати

Міністерство освіти та науки Російської Федерації Ярославський державний університет ім. П. Г. Демидова Кафедра алгебри та математичної логіки С. І. Яблокова Криві другого порядку Частина Практикум

Тема ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПЛОЩИНІ І В ПРОСТОРІ Лекція. Прямі на площині План. Метод координат на площині. Пряма в декартових координатах. Умова паралельності та перпендикулярності

Лінійна алгебра та аналітична геометрія Тема: Криві другого порядку Лектор Рожкова С.В. 01 р. 15. Криві другого порядку Криві другого порядку діляться на 1) вироджені та) невироджені Вироджені

Лекція 11 1. КОНІЧНІ ПЕРЕЧЕННЯ 1.1. Визначення. Розглянемо перетин прямого кругового конуса площиною, перпендикулярною до цього конуса, що утворює. При різних значеннях кута α при вершині в осьовому

Лекція 9 1. КОНІЧНІ ПЕРЕЧЕННЯ 1.1. Визначення. Розглянемо перетин прямого кругового конуса площиною, перпендикулярною до цього конуса, що утворює. При різних значеннях кута α при вершині в осьовому

Уральський федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математики Вступні зауваження У цій лекції вивчається ще одна крива другого порядку гіперболу.

Практичне заняття 14 Тема: Парабола План 1. Визначення та канонічне рівняння параболи. Геометричні властивості параболи. Взаємне розташування параболи та прямий, що проходить через її центр. Основні

А Н А Л І Т І Ч І С К А Я Г Е О М Е Т Р І Я криві другого порядку ШИМАНЧУК Дмитро Вікторович [email protected]Санкт-Петербурзький державний університет Факультет прикладної математики процесів

Матриці 1 Дано матриці і Знайти: а) А + В; б) 2В; в) T ; г) AВ T; д) В T A Рішення а) За визначенням суми матриць б) За визначенням добутку матриці на число в) За визначенням транспонованої матриці

ВАРІАНТ 1 1 Знайти кутовий коефіцієнт k прямої, що проходить через точки M 1 (18) і M (1); записати рівняння прямої у параметричному вигляді Скласти рівняння сторін та медіан трикутника з вершинами A()

Контрольна робота. Дані матриці A, B і D. Знайти AB 9D, якщо: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножимо матриці A 3 і B 3. буде C розміру 3 3, що складається з елементів

Розділ 9 Криві на площині. Криві другого порядку 9. Основні поняття Кажуть, що крива Г у прямокутній системі координат Оху має рівняння F(,)=0, якщо точка М(х, у) належить кривій у тому

Лінійна алгебра та аналітична геометрія Тема: Криві другого порядку Лектор Пахомова Є.Г. 01 р. 15. Криві другого порядку Криві другого порядку діляться на 1) вироджені та) невироджені Вироджені

Уральський федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математики Вступні зауваження У трьох попередніх лекціях вивчалися прямі та площини, тобто.

Глава 1 Криві та поверхні другого порядку У всіх розділах, крім 1.9, система координат прямокутна. 1.1. Упорядкування рівнянь кривих другого порядку та інших кривих 1. р) Довести, що безліч

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

РОЗДІЛ 5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 5.. Рівняння лінії на площині Рівняння виду F(x, y) 0 називається рівнянням лінії, якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на даній плоскій

Балаківський інженерно-технологічний інститут – філія федеральної державної автономної освітньої установи вищої освіти «Національний дослідницький ядерний університет «МІФІ»

Лінії другого порядку Ю. Л. Калиновський Кафедра вищої математики Університет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Лінії другого порядку: геометричне місце точок, декартові координати якого задовольняють рівняння

44. Гіперболу Визначення. Гіперболою називається безліч усіх точок на площині, координати яких у відповідній системі координат задовольняють рівняння 2 2 y2 = 1, (1) b2 де b > 0. Це рівняння

Лінійна алгебра та аналітична геометрія Тема: Криві другого порядку (продовження) Лектор Пахомова Є.Г. 01 р. 4. Загальне визначення еліпса, гіперболи та параболи ВИЗНАЧЕННЯ. Прямі a m називаються дирек-

1 лекція 1.4. Криві та поверхні другого порядку Анотація: З визначень виводяться канонічні рівняння кривих: еліпса, гіперболи та параболи. Даються параметричні рівняння еліпса та гіперболи.

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Сибірський державний індустріальний університет»

Практична робота Складання рівнянь прямих та кривих другого порядку Мета роботи: закріпити вміння складати рівняння прямих та кривих другого порядку Зміст роботи. Основні поняття. B C 0 вектор

Завдання для відпрацювання пропущених занять Зміст Тема: Матриці, дії над ними. Обчислення визначників. 2 Тема: Зворотна матриця. Вирішення систем рівнянь за допомогою зворотної матриці. Формули

Аналітична геометрія 5.. Пряма на площині Різні способи завдання прямої на площині. Загальне рівняння прямої на площині. Розташування прямої щодо системи координат. Геометричний зміст

ВАРІАНТ 11 1 Точка M() є основою перпендикуляра опущеного з точки N(1-1) на пряму l Написати рівняння прямої l; знайти відстань від точки N до прямої l Скласти рівняння прямих, що проходять

49. Циліндричні та конічні поверхні 1. Циліндричні поверхні Визначення. Нехай у просторі задані лінія l та ненульовий вектор a. Поверхня, утворена прямими, що проходять через всілякі

Аналітична геометрія. Аналітична геометрія на площині. Аналітична геометрія розв'язання геометричних завдань за допомогою алгебри, для чого використовується метод координат. Під системою координат на площині

Варіант 1. Завдання 1. Дати геометричне визначення еліпса. Завдання 2. Довести за допомогою куль Данделена, що еліпс виникає як конічний перетин. Завдання 3. Довести, що безліч точок P, з яких

Сєкаєва Л.Р., Тюленєва О.М. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ Казань 008 0 Казанський державний університет Кафедра загальної математики Сєкаєва Л.Р., Тюленєва О.М. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Казанський державний архітектурно-будівельний університет Кафедра вищої математики Елементи векторної та лінійної алгебри. Аналітична геометрія.

Аналітична геометрія на площині рівняння лінії є найважливішим поняттям аналітичної геометрії. y М(x, y) 0 x Визначення. Рівнянням лінії (кривої) на площині Оху називається рівняння, якому

Зразки базових завдань по ЛА Метод Гаусса Визначені системи лінійних рівнянь Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса 6

ВАРІАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) і M (6) проведена пряма Знайти точки перетину цієї прямої з осями координат Скласти рівняння сторін трикутника для якого точки A (1) B (3 1) C (0 4) є

Контрольна робота 3 ВАРІАНТ 1 Скласти рівняння прямої, перпендикулярної і проходить через точку перетину прямих і.. Записати рівняння прямої, що проходить через точки і знайти відстань від точки

ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПЛОЩИНІ. Пряма лінія 1. Обчисліть периметр трикутника, вершинами якого є точки A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Знайдіть точку, рівновіддалену від точок A(7;

Аналітична геометрія Модуль 1 Матрична алгебра Векторна алгебра Текст 5 (самостійне вивчення) Анотація Декартова прямокутна система координат на площині та у просторі Формули для відстані

Міністерство освіти Російської Федерації Ростовський Державний Університет Механіко-маттематичний факультет Кафедра геометрії Казак В.В. Практикум з аналітичної геометрії для студентів першого

АНАЛІТИЧНА ГЕОЕТРІЯ ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ. ОПР Площиною будемо називати поверхню, що володіє тією властивістю, що якщо дві точки прямої належать площині, то і всі точки прямої належать даній.

ЛЕКЦІЯ 5 ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ. 1 1. Рівняння поверхні та рівняння лінії у просторі. Геометричний зміст рівнянь В аналітичній геометрії будь-яку поверхню розглядають як сукупність

Глава 1 ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ n R. 1.1. У математиці кінцевий упорядкований набір координат може інтерпретуватися не тільки.

Залікове завдання з аналітичної геометрії. Семестр 2. Варіант 1 1. Знайдіть рівняння дотичних до кола (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, паралельних до прямої 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишіть рівняння дотичної

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна автономна освітня установа вищої професійної освіти "Казанський (Приволзький) федеральний університет"

Диференціали високих порядків. Екзаменаційний білет. Матриці, основні поняття та визначення. Написати рівняння кола, якщо точки А(;) і В(-;6) є кінцями одного з діаметрів. Дані вершини

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Поверхні другого порядку. Поверхня в тривимірному просторі описується рівнянням виду F(x; y; z) = 0 або z = f (x; y). Перетин двох поверхонь задає лінію у просторі, тобто. лінія у просторі

Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформація про всю експозицію на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).

Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.

Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.

За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.

Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де – довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.

Якщо , то рівняння спрощується до , і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів зміст нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.

Наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «гравець» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:

доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять , то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.

Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко привести до загального вигляду, і гіпербола з еквівалентним рівнянням. Однак не все так гладко.

Істотний недолік загального рівняння у тому, майже завжди незрозуміло, яку лінію воно ставить. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли за лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна або Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :


Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Еліпс - це окремий випадок овалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:

Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , фокусамиеліпса, є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
У цьому відстані між фокусами менше значення: .

Тепер стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя точка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією самою:

Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся у вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив "готові" точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх з надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати , де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше пареної ріпи:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте цей момент під час подальшого вивчення теми.

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.

У нашому випадку:

З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність – це окремий випадок еліпса

Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду, який рефлекторно перетворюється на добре відомому зі школи рівнянню кола з центром на початку координат радіуса «а».

Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:

– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.

Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завдання для самостійного вирішення

Приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення та креслення наприкінці уроку

Додамо екшену:

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? Адже тут, проте, це начебто як і еліпс!

Подібне рівняння нечасте, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику:

Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, – це неканонічний записеліпса . Запис!- Рівняння не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.

(МІФ-2, №3, 2005)

Лінії другого порядку на площині

П. 1. Визначення лінії другого порядку

Розглянемо площину, де задана прямокутна декартова система координат (XOY). Тоді будь-яка точка M однозначно визначається своїми координатами (x, y). Крім того, будь-яка пара чисел (x, y) визначає деяку точку площини. Координати точок можуть задовольняти деяким умовам, наприклад, якогось рівняння f(x, y)=0 щодо невідомих (x, y). У цьому випадку кажуть, що рівняння f(x, y)=0 задає певну фігуру на площині. Розглянемо приклади.

приклад 1.Розглянемо функцію y= f( x). Координати точок графіка цієї функції задовольняють рівняння y– f( x) = 0.

приклад 2.Рівняння (*), де a, b, c- Деякі числа, задають на площині деяку пряму. (Рівняння виду (*) називають лінійними).

приклад 3.Графік гіперболи складається з точок, координати яких задовольняють рівнянню.

Визначення 1. Рівняння виду (**), де хоча б один із коефіцієнтів DIV_ADBLOCK75">

Ми розглянемо геометричні та фізичні властивості названих вище лінії. Почнемо з еліпса.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Рівняння (1) називається канонічнимрівнянням еліпса.

Про вид еліпса можна судити з малюнку 1.

Покладемо. Крапки називаються фокусамиеліпса. З фокусами пов'язана низка цікавих властивостей, про які ми говоритимемо нижче.

Визначення 4. Гіперболою називається фігура на площині, координати всіх точок якої задовольняють рівняння

(2).

Рівняння (2) називається канонічнимрівнянням гіперболи. Про вид гіпербол можна судити з рисунку 2.

Покладемо. Крапки називаються фокусамигіперболи. Параметр aназивається дійсною, а параметр b- уявною піввіссюгіперболи, відповідно ox– дійсна, а oy- Уявивши осі гіперболи.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41">, називаються асимптотами. При великих значеннях параметра xточки асимптот нескінченно близько наближаються до гілок гіперболи. На малюнку 2 асимптоти зображені пунктирними лініями.

Визначення 5. Параболою називається фігура на площині, координати всіх точок якої задовольняють рівняння

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

П. 3. Властивості фокусів ЛВП

Для кожної ЛВП у П.2. вказувалися спеціальні точки - фокуси. Ці точки відіграють велику роль для пояснення важливих властивостей еліпса, гіперболи та параболи. Ми сформулюємо ці властивості як теорем.

Теорема. 1. Еліпс є безліч точокM, таких, що сума відстаней від цих точок до фокусів дорівнює 2a:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Для того щоб сформулювати аналогічну властивість для параболи, визначимо директору. Це пряма d, Задана рівнянням https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

П. 4. Фокуси та дотичні

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> належить відповідній ЛВП. Нижче наведено рівняння дотичних, що проходять через цю точку:

– для еліпса, (7)

– для гіперболи, (8)

– для параболи. (9)

Якщо в точку торкання з еліпсом або гіперболою провести відрізки з обох фокусів (їх називають фокальними радіусамиточки), то виявиться чудове властивість(Диви рис.5 і 6): фокальні радіуси утворюють рівні кути з дотичною, проведеною в цій точці.

Ця властивість має цікаву фізичну інтерпретацію. Наприклад, якщо вважати контур еліпса дзеркальним, то, промені світла від точкового джерела, поміщеного в одному його фокусі, після відбиття від стінок контуру обов'язково пройдуть через другий фокус.

Велике практичне застосування набуло аналогічну властивість для параболи. Справа в тому що фокальний радіус будь-якої точки параболи складає з дотичної, проведеної в цю точку кут, рівний куту між дотичною та віссю параболи.

Фізично це інтерпретується так: промені точкового , поміщеного у фокусі параболи, після відбиття від її стінок поширюються паралельно осі симетрії параболи. Саме тому дзеркала ліхтарів та прожекторів мають параболічну форму. До речі, якщо паралельний осі параболи потік світла (радіохвиль) входить до неї, то, після відбиття від стінок, усі його промені пройдуть через фокус. На цьому принципі працюють станції космічного зв'язку, а також радари.

П. 5. Ще трохи фізики

ЛВП знайшли широке застосування у фізиці та астрономії. Так, було встановлено, що одне відносно легке тіло (наприклад, супутник) рухається в полі сили тяжіння масивнішого тіла (планети або зірки) по траєкторії, що є однією з ЛВП. При цьому масивніше тіло знаходиться у фокусі цієї траєкторії.

Вперше ці властивості докладно вивчив Йоганн Кеплер і вони були названі Законами Кеплера.

Контрольне завдання № 1 для учнів 10 класів

Запитання для самоперевірки (5 балів за завдання)

М.10.1.1.Дайте визначення ЛВП. Наведіть кілька прикладів рівнянь, які задають ЛВП.

М.10.1.2.Обчисліть координати фокусів а) еліпса; б) гіперболи, якщо a=13, b=5.

М.10.1.3.Складіть канонічне рівняння а) еліпса; б) гіперболи, якщо відомо, що ця лінія проходить через точки з координатами (5, 6) та (-8, 7).

М.10.1.4.Перевірте, що пряма, задана рівнянням (9), дійсно перетинається з параболою, заданою рівнянням (3) тільки в точці з координатами . ( Вказівка: спочатку підставте рівняння дотичної до рівняння параболи, а потім переконайтеся, що дискримінант квадратного рівняння, що вийшов, дорівнює нулю.)

М.10.1.5.Складіть рівняння щодо гіперболи з дійсною піввіссю 8 і уявною – 4 у точці з координатою x=11, якщо друга координата точки є негативною.

Практична робота (10 балів)

М.10.1.6.Побудуйте кілька еліпсів за таким методом: закріпіть аркуш паперу на фанері і вставте в папір (але не до кінця) пару кнопок. Візьміть шматок нитки та зв'яжіть кінці. Накиньте петлю, що вийшла, на обидві кнопки (фокуси майбутнього еліпса), гострим кінцем олівця натягніть нитку і акуратно проведіть лінію, стежачи за тим, щоб нитка була натягнута. Змінюючи розміри петлі, ви зможете збудувати кілька софокусних еліпсів. Спробуйте пояснити за допомогою Теореми 1, що отримані лінії справді еліпси та поясніть, як, знаючи відстань між кнопками та довжину нитки, можна розрахувати півосі еліпса.