Знайти межу визначення онлайн. Межі

При вирішенні завдань знайти межі слід пам'ятати деякі межі, щоб щоразу не обчислювати їх заново. Комбінуючи ці відомі межі, знаходитимемо за допомогою властивостей, зазначених у § 4, нові межі. Для зручності наведемо найчастіші межі: Межі 1 lim х - а х а 2 lim 1 = 0 3 lim х- ± з X ± 00 4 lim -L, = оо Х->о\Х\ 5 lim sin*- l X -про X 6 lim f(x) = f(a), якщо f (x) безперервна x a Якщо відомо, що функція безперервна, то замість знаходження межі обчислюємо значення функції. Приклад 1. Знайти lim (х*-6л: 8). Оскільки багато- Х->2

член-функція безперервна, то lim (х * -6x4 - 8) = 2 * -6-2 + 8 = 4. х - +2 х *_2х 4-1 Приклад 2. Знайти lim -г. . Спочатку знаходимо пре- Х-+1 х ~г'х справ знаменника: lim [хг-\-Ъх) = 12 + 5-1 =6; він не дорівнює Х-У1 нулю, отже, можна застосувати властивість 4 § 4, тоді x™i *" + &* ~~ lim (х2 Ъх) - 12 + 5-1 ""6 1 . Межа знаменника X X дорівнює нулю, тому властивість 4 § 4 не можна застосувати. - 1 х* + х Приклад 4. Знайти lim \-ll*"!"» « Межа знаменника дорівнює нулю: lim (хг-6лг+ 8) = 2*-6-2 + 8 = 0, тому X властивість 4 § 4 не застосовується. Але межа чисельника також дорівнює нулю: lim (х2 - 5д; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Отже, межі чисельника і знаменника одночасно дорівнюють нулю. Однак число 2 є коренем і чисельником і знаменником, тому дріб можна скоротити на різницю х-2 (за теоремою Безу). Справді, х*-5х + 6 (х-2) (х-3) х-3 х"-6х + 8~ (х-2) (х-4) ~~ х-4 " отже, хг- -f- 6 г х-3 -1 Приклад 5. Знайти lim хп (п ціле, позитивне). X з Маємо хп = X * X. . X, п разів Оскільки кожен множник необмежено зростає, те й твір також необмежено зростає, т. е. lim хп=оо. х оо Приклад 6. Знайти lim хп(п ціле, позитивне). X -> - СО Маємо хп = х х... х. Так як кожен множник росте по абсолютній величині, залишаючись негативним, то у разі парного ступеня твір буде необмежено зростати, залишаючись позитивним, тобто lim *п = + оо (при парному). *-* -со У разі непарного ступеня абсолютна величина твору зростає, але воно залишається негативним, тобто lim хп = - оо (при п непарному). п – 00 Приклад 7. Знайти lim. х х-*- зі * Якщо т>пу то можна написати: m = n + kt де k>0. Тому хт Ь lim - = - = lim - = - = lim x. уП Yn х -х> А х ю Прийшли до прикладу 6. Якщо ж ти уТЛ xm I lim lim lim т. X - О х-* ю Л X ->зі Тут чисельник залишається постійним, а знаменник росте по абсолютній величині, тому lim -ь = 0. Х-*оо X* Результат цього прикладу рекомендується запам'ятати в такому вигляді: Ступінна функція зростає тим швидше, чим більший показник ступеня. $хв_Зхг + 7

Приклади

Приклад 8. Знайти lim g L -г-=.У цьому прикладі х-*® «J* "Г ЬХ -ох-о і чисельник і знаменник необмежено зростають. на хв, тоді 3 7_ Приклад 9. Знайти lira . раді-*® Х X-+-CD Х вен нулю, в той час як межа чисельника дорівнює 1. Отже, весь дріб необмежено зростає, тобто t 7х hm Х-+ ю Приклад 10. знаменника, пам'ятаючи, що cos * - функція безперервна: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Тоді х-> - S lim (l-fsin *) Приклад 15.<*-e>2 та lim е"(Х"а)\ Поло- Х-+ ± з X ± СО жим (л: - a)2 = z; оскільки (л;-а)2 завжди невід'ємно і необмежено росте разом з х, то при х-±оо нове змінне z-*ос. Тому отримуємо цт £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = оо (див. зауваження §5). г -*■ з Аналогічно lim е~(Х-а)2 = lim e~z=Q, оскільки х ± оо г м - (х- а)г необмежено зменшується при х->±оо (див. зауваження до §

При обчисленні меж слід враховувати такі основні правила:

1. Межа суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) меж доданків:

2. Межа добутку функцій дорівнює добутку меж співмножників:

3. Межа відносини двох функцій дорівнює відношенню меж цих функцій:

4. Постійний множник можна виносити за знак межі:

5. Межа постійної дорівнює найпостійнішій:

6. Для безперервних функцій символи межі та функції можна поміняти місцями:

Знаходження межі функції слід починати з підстановки значення вираз для функції. При цьому якщо виходить числове значення 0 або ¥, то межу знайдено.

приклад 2.1.Обчислити межу.

Рішення.

Вирази виду , , , , , називаються невизначеності.

Якщо виходить невизначеність виду , то знаходження межі необхідно перетворити функцію те щоб розкрити цю невизначеність.

Невизначеність виду зазвичай виходить, коли задана межа відношення двох багаточленів. У цьому випадку для обчислення межі рекомендується розкласти багаточлени на множники і скоротити на загальний множник. Цей множник дорівнює нулю при граничному значенні х .

приклад 2.2.Обчислити межу.

Рішення.

Підставляючи, отримаємо невизначеність:

Розкладемо чисельник і знаменник на множники:

;

Скоротимо на загальний множник та отримаємо

Невизначеність виду виходить, коли задана межа відношення двох багаточленів при . У цьому випадку для обчислення рекомендується розділити обидва багаточлени на х у старшому ступені.

приклад 2.3.Обчислити межу.

Рішення.При підстановці ∞ виходить невизначеність виду, тому розділимо всі члени виразу на x 3.

Тут враховується, що .

При обчисленні меж функції, що містить коріння, рекомендується помножити і розділити функцію на сполучене вираз.

Приклад 2.4.Обчислити межу

Рішення.

При обчисленні меж для розкриття невизначеності виду або (1) ∞ часто використовуються перші та другі чудові межі:

До другої чудової межі приводять багато завдань, пов'язаних з безперервним зростанням будь-якої величини.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, який дає інтерпретацію числа eу завданні про складні відсотки. У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад.

Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише через рік, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од.

Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після півріччя 100 ден. од. зростуть у 100 × 1,5 = 150, а ще через півроку – у 150 × 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100×(1+1/3)3»237 (ден. од.).

Частішатимемо терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. од.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. од.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу секунду, тому що

приклад 2.5.Обчислити межу функції

Рішення.

приклад 2.6.Обчислити межу функції .

Рішення.Підставляючи отримаємо невизначеність:

Використовуючи тригонометричну формулу, перетворюємо чисельник у твір:

В результаті отримуємо

Тут враховується друга чудова межа.

приклад 2.7.Обчислити межу функції

Рішення.

Для розкриття невизначеності виду або можна використовувати правило Лопіталю, яке ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема.Межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює межі відношення їх похідних

Зауважимо, що це правило можна застосовувати кілька разів поспіль.

приклад 2.8.Знайти

Рішення.При підстановці маємо невизначеність виду. Застосовуючи правило Лопіталя, отримаємо

Безперервність функції

Важливою властивістю функції є безперервність.

Визначення.Функція вважається безперервний, якщо мінімальна зміна значення аргументу тягне за собою мінімальна зміна значення функції.

Математично це записується так: при

Під і розуміється збільшення змінних, тобто різницю між наступним і попереднім значеннями: , (Малюнок 2.3)

Малюнок 2.3 – Збільшення змінних

З визначення функції , безперервної в точці , випливає, що . Ця рівність означає виконання трьох умов:

Рішення.Для функції точка є підозрілою на розрив, перевіримо це, знайдемо односторонні межі

Отже, значить - точка усуненого розриву

Похідна функції

Межа функції- Число aбуде межею деякої величини, що змінюється, якщо в процесі своєї зміни ця змінна величина необмежено наближається до a.

Або іншими словами, число Aє межею функції y = f(x)у точці x 0, якщо для будь - якої послідовності точок з області визначення функції , не рівних x 0, і яка сходиться до точки x 0 (lim x n = x0), послідовність відповідних значень функції сходиться до A.

Графік функції, межа якої при аргументі, що прагне нескінченності, дорівнює L:

Значення Ає межею (граничним значенням) функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якої послідовності точок , яка сходиться до x 0, але яка не містить x 0як один із своїх елементів (тобто в проколотій околиці x 0), послідовність значень функції сходиться до A.

Межа функції по Коші.

Значення Aбуде межею функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якого вперед взятого невід'ємного числа ε буде знайдено відповідне йому невід'ємне число δ = δ(ε) таке, що для кожного аргументу x, що задовольняє умову 0 < | x - x0 | < δ , буде виконано нерівність | f(x) A |< ε .

Буде дуже просто, якщо ви розумієте суть межі та основні правила знаходження його. Те, що межа функції f (x)при xщо прагне до aдорівнює A, записується таким чином:

Причому значення, якого прагне змінна x, може бути не лише числом, а й нескінченністю (∞), іноді +∞ або -∞, або межі може взагалі не бути.

Щоб зрозуміти, як знаходити межі функціїнайкраще подивитися приклади рішення.

Необхідно знайти межі функції f (x) = 1/xпри:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Знайдемо рішення першої межі. Для цього можна просто підставити замість xчисло, якого вона прагне, тобто. 2, отримаємо:

Знайдемо другу межу функції. Тут підставляти у чистому вигляді 0 замість xне можна, тому що. ділити на 0 не можна. Але ми можемо брати значення, наближені до нуля, наприклад, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 і так далі, причому значення функції f (x)збільшуватиметься: 100; 1000; 10000; 100000 і так далі. В.о., можна зрозуміти, що за x→ 0 значення функції, що стоїть під знаком межі, необмежено зростатиме, тобто. прагнути до нескінченності. А значить:

Стосовно третьої межі. Така ж ситуація, як і в минулому випадку, неможливо підставити ∞ В чистому вигляді. Потрібно розглянути випадок необмеженого зростання x. По черзі підставляємо 1000; 10000; 100000 і так далі маємо значення функції f (x) = 1/xбуде спадати: 0,001; 0,0001; 0,00001; і так далі, прагнучи нуля. Тому:

Необхідно обчислити межу функції

Приступаючи до вирішення другого прикладу, бачимо невизначеність. Звідси знаходимо старший ступінь чисельника та знаменника - це x 3, Виносимо в чисельнику та знаменнику його за дужки і далі скорочуємо на нього:

Відповідь

Першим кроком у знаходження цієї межі, підставимо значення 1 замість x, у результаті маємо невизначеність . Для її вирішення розкладемо чисельник на множники, зробимо це методом знаходження коріння квадратного рівняння x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Таким чином, чисельник буде таким:

Відповідь

Це визначення його конкретного значення чи певної області, куди потрапляє функція, обмежена межею.

Щоб вирішити межі, дотримуйтесь правил:

Розібравшись у суті та основних правилах вирішення межіВи отримаєте базове поняття про те, як їх вирішувати.

Рішення

2. Обчислити межу числової послідовності:

3. Обчислити межу числової послідовності:

4. Обчислити межу числової послідовності:

5. Обчислити межу числової послідовності:

6. Обчислити межу числової послідовності:

7. Обчислити межу числової послідовності:

8. Обчислити межу числової послідовності:

9. Обчислити межу числової послідовності:

10. Обчислити межу числової послідовності:

11. Обчислити межу числової послідовності:

1) З чисельника та знаменника виділяємо множник, який робить найбільший внесок і скорочуємо на нього

2) У такого типу прикладах потрібно винести в знаменнику з-під кореня множник найбільшою мірою

3) Потрібно розкладати до найбільшого загального факторіалу

4) У цьому прикладі росте значно швидше тому його виділяємо як самий множник

5) Величини і прагнуть нуля при . На основі цього обчислюємо межу

Рішення більшості подібних прикладів полягає у знаходженні домінуючого множника. Якщо він у чисельнику, то кордон прямує до нескінченності, у знаменнику – до нуля. І тільки коли і там, і там можна скоротити на цей множник дріб і отримати межу у вигляді константи.

Завдання:

1. Розібрати рішення розглянутих прикладів

2. Обчислити такі межі:

Розділ 2. Початки математичного аналізу

(Самостійна робота 48 год.)

2.1. Похідна неявної функції (4 години).

Приклад 1. Знайти похідну неявної функції

Рішення.Оскільки у є функцією від х, то будемо розглядати y 2як складну функцію від х. Отже, . Продиференціювавши по хобидві частини цього рівняння, отримаємо, тобто.

Приклад 2. Знайти похідну неявної функції

Рішення.Диференціюючи по х

Приклад 3. Знайти похідну неявної функції

Рішення.Диференціюючи по хобидві частини даного рівняння, отримуємо

1. Знайти похідну f '(x).

2. Знайти стаціонарні точки цієї функції, тобто. точки, в яких

3. Знайти другу похідну f(x).

4. Дослідити знак другої похідної у кожній із стаціонарних точок. Якщо при цьому друга похідна виявиться негативною, то функція в такій точці має максимум, а якщо позитивна, то – мінімум. Якщо ж друга похідна дорівнює нулю, екстремум функції треба шукати за допомогою першої похідної.

5. Обчислити значення функції у точках екстремуму.

приклад. Дослідити на екстремум за допомогою другої похідної функції: f(x) = x 2 – 2x - 3.
Рішення: Знаходимо похідну: f '(x) = 2x - 2.
Вирішуючи рівняння f '(x) = 0, отримаємо стаціонарну точку х =1. Знайдемо тепер другу похідну: f (x) = 2.
Оскільки друга похідна в) = x 2 – 2x - 3. стаціонарної точки позитивна, f’’(1) = 2 > 0, то за x = 1 функція має мінімум: f min = f(1) = -4.
Відповідь: Точка мінімуму має координати (1; -4).

Завдання.

1. Розглянути та розібрати розглянуті рішення прикладів на дані теми.

2. Дослідити на екстремум за допомогою другої похідної функції:

а) f(x) = 1 - х 4;

б) f(x) = х 3 - 1;

2.3. Додаток похідної для вирішення фізичних завдань (11 годин).

2.4. Складання кроснамберів на тему «Певний інтеграл»

2.5 Обчислення об'єму тіла та довжини дуги кривої (12 годин)

З вищевказаної статті Ви зможете дізнатися, що ж таке межа, і з чим її їдять – це дуже важливо. Чому? Можна не розуміти, що таке визначники та успішно їх вирішувати, можна зовсім не розуміти, що таке похідна та знаходити їх на «п'ятірку». Але якщо Ви не розумієте, що таке межа, то з вирішенням практичних завдань доведеться туго. Також не зайвим буде ознайомитись із зразками оформлення рішень та моїми рекомендаціями щодо оформлення. Вся інформація викладена у простій та доступній формі.

А для цілей цього уроку нам знадобляться такі методичні матеріали: Чудові межіі Тригонометричні формули. Їх можна знайти на сторінці. Найкраще методички роздрукувати - це значно зручніше, до того ж до них часто доведеться звертатися в офлайні.

Чим чудові межі? Чудовість цих меж полягає в тому, що вони доведені найбільшими розумами знаменитих математиків, і вдячним нащадкам не доводиться страждати страшними межами з нагромадженням тригонометричних функцій, логарифмів, ступенів. Тобто при знаходженні меж ми користуватимемося готовими результатами, які доведені теоретично.

Чудових меж існує кілька, але на практиці у студентів-заочників у 95% випадків фігурують дві чудові межі: Перша чудова межа, Друга чудова межа. Слід зазначити, що це назви, що історично склалися, і, коли, наприклад, говорять про «першу чудову межу», то мають на увазі під цим цілком певну річ, а не якусь випадкову, взяту зі стелі межу.

Перша чудова межа

Розглянемо наступну межу: (замість рідної літери «хе» я використовуватиму грецьку літеру «альфа», це зручніше з погляду подачі матеріалу).

Згідно з нашим правилом знаходження меж (див. статтю Межі. Приклади рішень) Пробуємо підставити нуль у функцію: в чисельнику у нас виходить нуль (синус нуля дорівнює нулю), у знаменнику, очевидно, теж нуль. Таким чином, ми стикаємося з невизначеністю виду, яку, на щастя, не треба розкривати. У курсі математичного аналізу доводиться, що:

Цей математичний факт зветься Першої чудової межі. Аналітичний доказ межі наводити не буду, а ось його геометричний зміст розглянемо на уроці про нескінченно малих функціях.

Нерідко в практичних завданнях функції можуть бути по-іншому, це нічого не змінює:

– та сама перша чудова межа.

Але самостійно переставляти чисельник та знаменник не можна! Якщо дана межа у вигляді , то і вирішувати його потрібно в такому вигляді, нічого не переставляючи.

Насправді як параметра може бути як змінна , а й елементарна функція, складна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нуля.

Приклади:
, , ,

Тут , , , , і все гуд - перша чудова межа застосовується.

А ось наступний запис – єресь:

Чому? Тому що багаточлен не прагне нуля, він прагне п'ятірки.

До речі, питання на засипку, а чому дорівнює межа ? Відповідь можна знайти наприкінці уроку.

На практиці не все так гладко, майже ніколи студенту не запропонують вирішити халявну межу та отримати легкий залік. Хммм… Пишу ці рядки, і спала на думку дуже важлива думка – все-таки «халявні» математичні визначення та формули начебто краще пам'ятати напам'ять, це може надати неоціненну допомогу на заліку, коли питання вирішуватиметься між «двійкою» та «трійкою», і викладач вирішить поставити студенту якесь просте питання або запропонувати вирішити найпростіший приклад («а може він(а) все-таки знає чого?!»).

Переходимо до розгляду практичних прикладів:

Приклад 1

Знайти межу

Якщо ми помічаємо в межі синус, то це нас відразу має наштовхувати на думку про можливість застосування першої чудової межі.

Спочатку пробуємо підставити 0 у вираз під знак межі (робимо це подумки або на чернетці):

Отже, у нас є невизначеність виду, її обов'язково вказуємов оформленні рішення. Вираз під знаком межі у нас схоже на першу чудову межу, але це не зовсім він, під синусом знаходиться , а в знаменнику.

У подібних випадках перша чудова межа нам потрібно організувати самостійно, використовуючи штучний прийом. Хід міркувань може бути таким: "під синусом у нас, значить, у знаменнику нам теж потрібно отримати".
А робиться це дуже просто:

Тобто знаменник штучно множиться в даному випадку на 7 і ділиться на ту ж сімку. Тепер запис у нас набув знайомих обрисів.
Коли завдання оформляється від руки, то перша чудова межа бажано помітити простим олівцем:

Що сталося? По суті, обведений вираз у нас перетворився на одиницю і зник у творі:

Тепер тільки залишилося позбутися триповерховості дробу:

Хто забув спрощення багатоповерхових дробів, будь ласка, освіжіть матеріал у довіднику Гарячі формули шкільного курсу математики .

Готово. Остаточна відповідь:

Якщо не хочеться використовувати позначки олівцем, то рішення можна оформити так:

“

Використовуємо першу чудову межу

“

Приклад 2

Знайти межу

Знову ми бачимо межі дріб і синус. Пробуємо підставити в чисельник і знаменник нуль:

Справді, у нас невизначеність і, отже, треба спробувати організувати першу чудову межу. На уроці Межі. Приклади рішеньми розглядали правило, що коли у нас є невизначеність, то потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники. Тут – те саме, ступеня ми представимо як твори (множників):

Аналогічно попередньому прикладу, обводимо олівцем чудові межі (тут їх дві), і вказуємо, що вони прагнуть одиниці:

Власне, відповідь готова:

У наступних прикладах, я не займатимуся мистецтвами в Пейнті, думаю, як правильно оформляти рішення у зошиті – Вам вже зрозуміло.

Приклад 3

Знайти межу

Підставляємо нуль у вираз під знаком межі:

Отримано невизначеність, яку потрібно розкривати. Якщо в межі є тангенс, то майже завжди його перетворюють на синус і косинус за відомою тригонометричною формулою (до речі, з котангенсом роблять приблизно те саме, див. методичний матеріал Гарячі тригонометричні формулина сторінці Математичні формули, таблиці та довідкові матеріали).

В даному випадку:

Косинус нуля дорівнює одиниці, і його легко позбутися (не забуваємо помітити, що він прагне одиниці):

Отже, якщо межі косинус є МНОЖИТЕЛЕМ, його, грубо кажучи, треба перетворити на одиницю, що зникає у творі.

Тут все вийшло простіше, без жодних помножень і поділів. Перша чудова межа теж перетворюється на одиницю і зникає у творі:

У результаті отримано нескінченність, буває таке.

Приклад 4

Знайти межу

Пробуємо підставити нуль у чисельник та знаменник:

Отримана невизначеність (косинус нуля, як ми пам'ятаємо, дорівнює одиниці)

Використовуємо тригонометричну формулу. Візьміть на замітку! Межі із застосуванням цієї формули чомусь зустрічаються дуже часто.

Постійні множники винесемо за значок межі:

Організуємо першу чудову межу:

Тут у нас тільки одна чудова межа, яка перетворюється на одиницю і зникає у творі:

Позбавимося триповерховості:

Межа фактично вирішена, вказуємо, що синус, що залишився, прагне до нуля:

Приклад 5

Знайти межу

Цей приклад складніший, спробуйте розібратися самостійно:

Деякі межі можна звести до 1-ї чудової межі шляхом заміни змінної, про це можна прочитати трохи пізніше в статті Методи розв'язання меж.

Друга чудова межа

Теоретично математичного аналізу доведено, що:

Цей факт має назву другої чудової межі.

Довідка: - Це ірраціональне число.

Як параметр може бути як змінна , а й складна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нескінченності.

Приклад 6

Знайти межу

Коли вираз під знаком межі перебуває у ступені – це перша ознака того, що потрібно спробувати застосувати другу чудову межу.

Але спочатку, як завжди, пробуємо підставити нескінченно велике число у вираз, за яким принципом це робиться, розібрано на уроці. Межі. Приклади рішень.

Неважко помітити, що за основа ступеня , а показник – , тобто є, невизначеність виду:

Ця невизначеність якраз і розкривається за допомогою другої чудової межі. Але, як часто буває, друга чудова межа не лежить на блюдечку з блакитною облямівкою, і його потрібно штучно організувати. Розмірковувати можна так: у цьому прикладі параметр , отже, у показнику нам теж треба організувати . Для цього зводимо основу в ступінь , і щоб вираз не змінилося - зводимо в ступінь :

Коли завдання оформляється від руки, позначаємо олівцем:

Практично все готово, страшний ступінь перетворився на симпатичну букву:

При цьому сам значок межі переміщуємо до показника:

Приклад 7

Знайти межу

Увага! Межа подібного типу зустрічається дуже часто, будь ласка, дуже уважно вивчіть цей приклад.

Пробуємо підставити нескінченно велике число у вираз, що стоїть під знаком межі:

В результаті отримано невизначеність. Але друга чудова межа застосовується до невизначеності виду. Що робити? Потрібно перетворити основу ступеня. Розмірковуємо так: у знаменнику у нас, значить, у чисельнику теж треба організувати.