Як розрахувати середню арифметичну. Середні величини, що застосовуються у статистиці

Цей термін має й інші значення, див. середнє значення.

Середнє арифметичне(В математиці та статистиці) безлічі чисел - сума всіх чисел, поділена на їх кількість. Є одним із найпоширеніших заходів центральної тенденції.

Запропонована (поряд із середнім геометричним та середнім гармонійним) ще піфагорійцями.

Приватними випадками середнього арифметичного є середнє (генеральної сукупності) та вибіркове середнє (вибірки).

Вступ

Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною межею над змінною (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ), вимовляється « xз межею»).

Для позначення середнього арифметичного усієї сукупності використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, Для якої визначено середнє значення, μ є імовірнісне середнєабо математичне очікуваннядовільної величини. Якщо безліч Xє сукупністю випадкових чиселз імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iіз цієї сукупності μ = E( x i) є математичне очікування цієї вибірки.

На практиці різниця між μ і x ¯ (\displaystyle (\bar(x))) у тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити можна швидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), тоді x (\displaystyle (bar (x))) (але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).

Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:

X = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)

Якщо X- Випадкова змінна, тоді математичне очікування Xможна розглядати як середнє арифметичне значень у вимірах величини, що повторюються X. Це є проявом закону великих чисел. Тому вибіркове середнє використовується з метою оцінки невідомого математичного очікування.

В елементарній алгебрі доведено, що середня n+ 1 чисел більше середнього nчисел тоді і тільки тоді, коли нове число більше ніж старе середнє, менше тоді і тільки тоді, коли нове число менше середнього, і не змінюється тоді і лише тоді, коли нове число дорівнює середньому. Чим більше n, тим менше різницю між новим і старим середніми значеннями.

Зауважимо, що є кілька інших «середніх» значень, у тому числі середнє статечне, середнє Колмогорова, гармонійне середнє, арифметико-геометричне середнє та різні середньо-зважені величини (наприклад, середнє арифметичне зважене, середнє геометричне зважене, середнє гармонійне зважене).

Приклади

Для трьох чиселнеобхідно скласти їх і поділити на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому що ми складали 2 числа, отже, скільки чисел складаємо, на стільки й ділимо.

Безперервна випадкова величина

Для безперервно розподіленої величини f(x) (displaystyle f(x)) середнє арифметичне на відрізку [ a ; b] (\displaystyle) визначається через певний інтеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Деякі проблеми застосування середнього

Відсутність боязкості

Основна стаття: Робастність у статистиці

Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне схильна сильному впливу"великих відхилень". Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) краще описувати центральну тенденцію.

Класичним прикладом є підрахунок середнього прибутку. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіану, через що може бути зроблено висновок, що людей з більшим доходом більше, ніж насправді. "Середній" дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (себто середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, оскільки високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід за медіаною «опирається» такому перекосу). Проте цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно поставитися до понять «середнього» і «більшість народу», можна зробити невірний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий доход у Медіні, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, на подив велике число через Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень із шести нижче цього середнього.

Складний відсоток

Основна стаття: Окупність інвестицій

Якщо числа перемножувати, а не складатипотрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється з розрахунку окупності інвестицій у фінансах.

Наприклад, якщо акції першого року впали на 10 %, а другий рік зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення ці два роки як середнє арифметичне (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильне середнє значення у разі дають сукупні щорічні темпи зростання, якими річне зростання виходить лише близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина цього в тому, що відсотки мають щоразу нову стартову точку: 30% – це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції спочатку коштували $30 і впали на 10 %, вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції зросли на 30%, вони наприкінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції зросли за 2 роки лише на $5.1, середнє зростання у 8,2% дає кінцевий результат $35.1:

[$30 (1 – 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Якщо ж використовувати так само середнє арифметичне значення 10 %, ми отримаємо фактичне значення: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Складний відсоток наприкінці 2 року: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\approx 108.2\%), тобто середньорічний приріст 8,2%.

Напрями

Основна стаття: Статистика напрямків

При розрахунку середнього арифметичних значеньдеякою змінною, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1° і 359° дорівнюватиме 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Це число неправильне з двох причин.

По перше, кутові заходивизначені тільки для діапазону від 0° до 360° (або від 0 до 2π при вимірі радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1 і -1) або як (1 і 719). Середні значення кожної з пар відрізнятимуться: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ ))))(2))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
По-друге, в даному випадкузначення 0° (еквівалентне 360°) буде геометрично кращим середнім значенням, оскільки числа відхиляються від 0° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0° найменша дисперсія). Порівняйте:
- число 1° відхиляється від 0° лише на 1°;
- число 1° відхиляється від обчисленого середнього, що дорівнює 180°, на 179°.

Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° і 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360°==0° - один градус, між 0° та 1° - теж 1°, у сумі - 2° °).

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробкиможуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;
структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

при k = 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = -2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньою.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної ( простий) має вид

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, потрібно обчислити середню заробітну платупрацівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. В цьому випадку мова йдепро використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

Так нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що угоди здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажів розподілилася так:

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної сумиугод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 +990 · 650 +1015 · 700 +900 · 550 +1150 · 850 = 3634500;

КПА = 800 +650 +700 +550 +850 = 3550.

У цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Необхідно знати властивості арифметичної середньої, що дуже важливо як щодо її використання, так і при її розрахунку. Можна виділити три основні властивості, які найбільше зумовили широке застосування арифметичної середньої статистико-економічних розрахунків.

Властивість перша (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки вона показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), спричинені випадковими причинами, будуть взаємно погашені.

Доведення:

Властивість друга (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж будь-якого іншого числа (а), тобто. є мінімальне число.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Отже, екстремум суми квадратів відхилень досягається при . Цей екстремум – мінімум, тому що функція не може мати максимуму.

Властивість третя: середня арифметична постійної величинидорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостейсередньої арифметичної існують так звані розрахункові властивості, які поступово втрачають свою значущість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити чи розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться у стільки ж разів;
середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки поділити на постійне число;
якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на ту саму величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести з базової формули, Підставивши k = -1:

Наприклад, нам потрібно обчислити середню швидкістьдвох автомашин, що пройшли той самий шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км/год, друга - 90 км/год. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці найчастіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Ця формула використовується у випадках, коли ваги (чи обсяги явищ) за кожним ознакою не рівні. У вихідному співвідношенні до розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.

Наприклад, при розрахунку середньої ціни ми маємо користуватися ставленням суми реалізації до кількості реалізованих одиниць. Нам не відомо кількість реалізованих одиниць (йдеться про різні товари), але відомі суми реалізацій цих різних товарів. Допустимо, необхідно дізнатися середню цінуреалізованих товарів:

Отримуємо

Середня геометрична. Найчастіше середня геометрична знаходить своє застосування щодо середніх темпів зростання (середніх коефіцієнтів зростання), коли індивідуальні значення ознаки представлені як відносних величин. Вона використовується також, якщо необхідно знайти середню між мінімальним та максимальним значеннямиознаки (наприклад, між 100 та 1000000). Існують формули для простої та виваженої середньої геометричної.

Для простої середньої геометричної

Для виваженої середньої геометричної

Середня квадратична величина . Основною сферою її застосування є вимірювання варіації ознаки в сукупності (розрахунок середньої квадратичного відхилення).

Формула простої середньої квадратичної

Формула виваженої середньої квадратичної

(5.11)

У результаті можна сказати, що від правильного виборувиду середньої величини у кожному конкретному випадку залежить успішне рішеннязадач статистичного дослідження. Вибір середньої передбачає таку послідовність:

а) встановлення узагальнюючого показника сукупності;

б) визначення даного узагальнюючого показника математичного співвідношення величин;

в) заміна індивідуальних значень середніми величинами;

г) розрахунок середньої за допомогою відповідного рівняння.

Середні величини та варіація

Середня величина- це узагальнюючий показник, який характеризує якісно однорідну сукупність за певним кількісною ознакою. Наприклад, середній вікосіб, засуджених за крадіжку.

У судовій статистиці середні величини використовують для характеристики:

Середніх термінів розгляду справ цієї категорії;

Середній розмір позову;

Середньої кількості відповідачів, що припадають одну справу;

Середній розмір шкоди;

Середнє навантаження суддів, та ін.

Середня величина завжди іменована і має ту ж розмірність, що і ознака в окремої одиниці сукупності. Кожна середня величинахарактеризує досліджувану сукупність за якою-небудь однією ознакою, що варіює, тому за будь-якою середньою ховається ряд розподілу одиниць цієї сукупності за досліджуваною ознакою. Вибір виду середньої визначається змістом показника та вихідних даних для розрахунку середньої величини.

Усі види середніх величин, що використовуються в статистичних дослідженнях, Поділяються на дві категорії:

1) статечні середні;

2) структурні середні.

Перша категорія середніх величин включає: середню арифметичну, середню гармонійну, середню геометричну і середню квадратичну . Друга категорія – це модаі медіана. При цьому кожен із перерахованих видівстатечних середніх величин може мати дві форми: просту і зважену . Проста формасередньої величини використовується щоб одержати середнього значення досліджуваного ознаки, коли розрахунок здійснюється за несгрупованим статистичним даним, чи кожна варіанта разом зустрічається лише один раз. Зваженими середніми називають величини, які враховують, що варіанти значень ознаки можуть мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити на відповідну частоту. Іншими словами, кожен варіант зважують за своєю частотою. Частоту називають статистичною вагою.

Середня арифметична проста- Найпоширеніший вид середньої. Вона дорівнює сумі окремих значеньознаки, поділеної на загальне числоцих значень:

де x 1, x 2, …, x N- Індивідуальні значення варіює ознаки (варіанти), а N - число одиниць сукупності.

Середня арифметична зваженазастосовується у тих випадках, коли дані представлені у вигляді рядів розподілу чи угруповань. Вона обчислюється як сума творів варіантів відповідні їм частоти, поділена у сумі частот всіх варіантів:

де x i– значення i-і варіанти ознаки; f i- Частота i-і варіанти.

Таким чином, кожне значення варіанти зважується за частотою, тому частоти іноді називають статистичними вагами.

Зауваження.Коли йдеться про середню арифметичній величинібез зазначення її виду, мається на увазі середня арифметична проста.

Таблиця 12

Рішення.Для розрахунку використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, у середньому на одну кримінальну справу припадає двоє обвинувачених.

Якщо обчислення середньої величини проводять за даними, згрупованими у вигляді інтервальних рядів розподілу, то спочатку треба визначити серединні значення кожного інтервалу х" i , після чого розрахувати середню величину за формулою середньої арифметичної зваженої, яку замість x i підставляють х" i .

приклад.Дані про вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, наведено в таблиці:

Таблиця 13

Визначити середній вік злочинців, засуджених за вчинення крадіжки.

Рішення.Для того, щоб визначити середній вік злочинців на основі інтервального варіаційного рядунеобхідно спочатку визначити серединні значення інтервалів. Оскільки дано інтервальний ряд з відкритими першимі останнім інтервалами, величини цих інтервалів приймаються рівними величинам суміжних закритих інтервалів. У разі величина першого і останнього інтервалів дорівнюють 10.

Тепер знаходимо середній вік злочинців за формулою середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, середній вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, приблизно дорівнює 27 років.

Середня гармонійна проста являє собою величину, обернену до середньої арифметичної зі зворотних значень ознаки:

де 1/ x i – зворотні значенняваріантів, а N – число одиниць сукупності.

приклад.Для визначення середнього річного навантаження на суддів районного суду під час розгляду справ провели обстеження навантаження 5 суддів цього суду. Середні витрати часу на одну кримінальну справу для кожного з обстежених суддів виявились рівними (у днях): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Знайти середні витрати на одну кримінальну справу та середнє річне навантаження на суддів цього районного суду під час розгляду кримінальних справ.

Рішення.Для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористаємося формулою середньої гармонійної простий:

Для спрощення розрахунків у прикладі візьмемо число днів у році рівним 365, включаючи вихідні (це не впливає на методику розрахунку, а при обчисленні аналогічного показника на практиці необхідно замість 365 днів підставити кількість робочих днів у конкретному році). Тоді середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ становитиме: 365(днів): 5,56 ≈ 65,6 (справ).

Якби ми для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористалися б формулою середньої арифметичної простої, то отримали б:

365 (днів): 5,64 ≈ 64,7 (справи), тобто. середнє навантаження на суддів виявилося меншим.

Перевіримо обґрунтованість такого підходу. Для цього скористаємося даними про витрати часу на одну кримінальну справу для кожного судді та розрахуємо кількість кримінальних, розглянутих кожним із них за рік.

Отримаємо відповідно:

365(днів) : 6 ≈ 61 (справа), 365(днів) : 5,6 ≈ 65,2 (справ), 365(днів) : 6,3 ≈ 58 (справ),

365(днів) : 4,9 ≈ 74,5 (справи), 365(днів) : 5,4 ≈ 68 (справ).

Наразі обчислимо середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ:

Тобто. середнє річне навантаження таке ж, як і при використанні середньої гармонійної.

Отже, використання середньої арифметичної у разі неправомірно.

У тих випадках, коли відомі варіанти ознаки, їх об'ємні значення (твір варіанти на частоту), але невідомі самі частоти, застосовується формула середньої зваженої гармонійної:

де x i– значення варіантів ознаки, а w i – об'ємні значення варіантів ( w i = x i · f i).

приклад.Дані про ціну одиниці однотипного товару, виробленого різними установами кримінально-виконавчої системи, та обсяги його реалізації наведено у таблиці 14.

Таблиця 14

Знайти середню ціну реалізації товару.

Рішення.При розрахунку середньої ціни ми маємо користуватися ставленням суми реалізації до кількості реалізованих одиниць. Нам невідомо кількість реалізованих одиниць, але відомі суми реалізації товарів. Тому для знаходження середньої ціни реалізованих товарів скористаємося формулою середньої гармонійної виваженої. Отримуємо

Якщо тут використовувати формулу середньої арифметичної, можна отримати середню ціну, яка буде нереальна:

Середня геометричнаобчислюється вилученням кореня ступеня N з добутку всіх значень варіантів ознаки:

де x 1, x 2, …, x N- індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти), а

N- Число одиниць сукупності.

Цей вид середньої використовується обчислення середніх показників зростання рядів динаміки.

Середня квадратичназастосовується для розрахунку середньоквадратичного відхилення, що є показником варіації, та буде розглянуто нижче.

Для визначення структури сукупності використовують спеціальні середні показники, до яких належать медіана і мода , або звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується з урахуванням використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана і мода характеризують величину того варіанта, який займає певне середнє становище ранжированном (упорядкованому) ряду. Упорядкування одиниць статистичної сукупності може бути проведено за зростанням або зменшенням варіантів досліджуваної ознаки.

Медіана (Ме)- Це величина, яка відповідає варіанту, що знаходиться в середині ранжованого ряду. Таким чином, медіана – це той варіант ранжованого ряду, по обидва боки якого в даному ряду має знаходитися рівне числоодиниць сукупності.

Для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номеру ранжированому ряду за формулою:

де N – обсяг низки (кількість одиниць сукупності).

Якщо ряд складається з непарного числа членів, то медіана дорівнює варіанті номером N Me . Якщо ряд складається з парного числа членів, то медіана визначається як середнє арифметичне двох суміжних варіант, розташованих у середині.

приклад.Даний ранжований ряд 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Обсяг ряду N = 9, отже N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Отже, Ме = 6, тобто . п'ятий варіант. Якщо дано ряд 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, тобто. ряд з парною кількістю членів (N = 8), то N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Отже медіана дорівнює напівсумі четвертої і п'ятої варіант, тобто. Ме = (9 + 11)/2 = 10.

У дискретному варіаційному ряду медіану визначають за накопиченими частотами. Частоти варіант, починаючи з першої, підсумовуються до тих пір, поки не буде перевищено номер медіани. Значення останньої підсумованої варіанти буде медіаною.

приклад.Знайти медіану числа обвинувачених, які припадають однією кримінальну справу, використовуючи дані таблиці 12.

Рішення.У разі обсяг варіаційного ряду N = 154, отже, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Підсумувавши частоти першої та другої варіанти, отримаємо: 75 + 43 = 118, тобто. ми перевершили номер медіани. Значить Ме = 2.

В інтервальному варіаційному ряду розподілу спочатку вказують інтервал, у якому буде медіана. Його називають медіанним . Це перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину обсягу інтервального варіаційного ряду. Потім чисельне значення медіани визначається за такою формулою:

де x Ме– нижня межа медіанного інтервалу; i – величина медіанного інтервалу; S Ме-1– накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f Ме- Частота медіанного інтервалу.

приклад.Знайти медіану віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, з урахуванням статистичних даних, поданих у таблиці 13.

Рішення.Статистичні дані представлені інтервальним варіаційним рядом, Отже спочатку визначимо медіанний інтервал. Обсяг сукупності N = 162, отже, медіанним інтервалом є 18-28, т.к. це перший інтервал, накопичена частота якого (15 + 90 = 105) перевищує половину обсягу (162: 2 = 81) інтервального варіаційного ряду. Тепер чисельне значення медіани визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, половина засуджених за скоєння крадіжки молодше 25 років.

Модою (Мо)називають значення ознаки, що найчастіше зустрічається в одиниць сукупності. До моди вдаються виявлення величини ознаки, має найбільшого поширення. Для дискретного ряду модою буде варіант із найбільшою частотою. Наприклад, для дискретного ряду, поданого в таблиці 3 Мо= 1, оскільки цього значення варіанти відповідає найбільша частота - 75. Для визначення моди інтервального ряду спочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім у межах цього інтервалу знаходять значення ознаки, яке може бути модою.

Його значення знаходять за такою формулою:

де x Mo- нижня межа модального інтервалу; i – величина модального інтервалу; f Мо- Частота модального інтервалу; f Мо-1– частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1- Частота інтервалу, наступного за модальним.

приклад.Знайти моду віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, дані про які представлені в таблиці 13.

Рішення.Найбільша частота відповідає інтервалу 18-28, отже, мода повинна бути в цьому іртервалі. Її величину визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, найбільша кількістьзлочинців, засуджених за скоєння крадіжки, має вік 24 роки.

Середня величина дає узагальнюючу характеристику всієї сукупності явища, що вивчається. Однак дві сукупності, що мають однакові середні значення, можуть значно відрізнятися один від одного за рівнем коливання (варіації) величини ознаки, що вивчається. Наприклад, в одному суді було призначено такі строки позбавлення волі: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 років, а в іншому – 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7 8, 8, 8 років. В обох випадках середня арифметична дорівнює 67 років. Однак ці сукупності суттєво різняться між собою розкидом індивідуальних значень призначеного терміну позбавлення волі щодо середнього значення.

І першого суду, де цей розкид досить великий, середня величина терміну позбавлення волі погано відбиває всю сукупність. Таким чином, якщо індивідуальні значення ознаки мало відрізняються один від одного, то середня арифметична буде досить показовою характеристикою властивостей цієї сукупності. В іншому випадку середня арифметична буде ненадійною характеристикою цієї сукупності та застосування її на практиці малоефективне. Тому необхідно враховувати варіацію значень ознаки, що вивчається.

Варіація- Це відмінності в значеннях будь-якої ознаки у різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу. Термін «варіація» має латинське походження– variatio, що означає відмінність, зміна, коливання. Вона виникає внаслідок того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються в кожному. окремому випадку. Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники.

До основних показників варіації належать такі:

1) розмах варіації;

2) середнє лінійне відхилення;

3) дисперсія;

4) середнє квадратичне відхилення;

5) коефіцієнт варіації.

Стисло зупинимося на кожному з них.

Розмах варіації R найдоступніший за простотою розрахунку абсолютний показник, який визначається як різницю між найбільшим і найменшим значеннями ознаки у одиниць даної сукупності:

Розмах варіації (розмах коливань) – важливий показникколивають ознаки, але він дає можливість побачити лише крайні відхилення, що обмежує сферу його застосування. Для більш точної характеристики варіації ознаки з урахуванням урахування його коливання використовуються інші показники.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середнє арифметичне абсолютних значеньвідхилень індивідуальних значень ознаки від середньої та визначається за формулами:

1) для несгрупованих даних

2) для варіаційного ряду

Однак найбільш широко застосовуваним показником варіації є дисперсія . Вона характеризує міру розкиду значень досліджуваного ознаки щодо його середнього значення. Дисперсія визначається як середня із відхилень, зведених у квадрат.

Проста дисперсіядля не згрупованих даних:

Зважена дисперсіядля варіаційного ряду:

Зауваження.Насправді для обчислення дисперсії краще використовувати такі формулы:

Для простої дисперсії

Для зваженої дисперсії

Середнє квадратичне відхилення- це корінь квадратний із дисперсії:

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим, однорідніше сукупність і краще середня арифметична відбиває собою всю сукупність.

Розглянуті вище заходи розсіювання (розмах варіації, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) є абсолютними показниками, Судити за якими про ступінь коливання ознаки не завжди можливо. У деяких завданнях необхідно використовувати відносні показники розсіювання, одним із яких є коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації- Виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

Коефіцієнт варіації використовують як для порівняльної оцінки варіації різних ознакабо однієї й тієї ж ознаки у різних сукупностях, а й у характеристики однорідності сукупності. Статистична сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % (для розподілів, близьких до нормального розподілу).

приклад.Є такі дані про терміни позбавлення волі 50 засуджених, доставлених для відбування призначеного судом покарання до виправної установи кримінально-виконавчої системи: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 1 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Побудувати низку розподілу за строками позбавлення волі.

2. Знайти середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

3. Обчислити коефіцієнт варіації та зробити висновок про однорідність чи неоднорідність досліджуваної сукупності.

Рішення.Для побудови дискретного ряду розподілу необхідно визначити варіанти та частоти. Варіанта у цьому – це термін позбавлення волі, а частоти – чисельність окремих варіант. Розрахувавши частоти, отримаємо наступний дискретний рядрозподілу:

Знайдемо середнє значення та дисперсію. Оскільки статистичні дані представлені дискретним варіаційним рядом, то їх обчислення будемо використовувати формули середнього арифметичного зваженого і дисперсії. Отримаємо:

= = 4,1;

= 5,21.

Тепер обчислюємо середнє квадратичне відхилення:

Знаходимо коефіцієнт варіації:

Отже, статистична сукупність кількісно неоднорідна.

Середня арифметична проста

Середні величини

Велике поширення у статистиці мають середні величини.

Середня величина- це узагальнюючий показник, у якому знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей розвитку досліджуваного явища

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого спостереження (суцільного та вибіркового). Проте статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності ( масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в акціонерних товариствах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення окремого продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо. Середнє вироблення відбиває загальну характеристикувсієї сукупності.

Середня величина вимірюється у тих самих одиницях, як і сама ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні видисередніх:

середня арифметична;

середня гармонійна;

середня геометрична;

середня квадратична;

середня кубічна.

Середні перелічених вище видів, своєю чергою, діляться на прості (невиважені) і зважені.

Розглянемо види середніх, які у статистиці.

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х i (
); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

або

приклад 1.Таблиця 1

Дані про виробництво робітниками продукції А за зміну

У даному прикладіваріюючий ознака - випуск виробів за зміну.

Чисельні значення ознаки (16, 17 і т. д.) називають варіантами. Визначимо середнє вироблення продукції робітниками цієї групи:

шт.

Проста середня арифметична застосовується у разі, коли є окремі значення ознаки, тобто. дані не згруповані. Якщо дані представлені у вигляді рядів розподілу чи угруповань, то середня обчислюється інакше.

Середня арифметична зважена

Середня арифметична зважена дорівнює сумі творів кожного окремого значення ознаки (варіанту) на відповідну частоту, поділену на суму всіх частот.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою і позначається через f i.

Відповідно, середня арифметична зважена виглядає так:

або

З формули видно, що середня залежить лише від значень ознаки, а й їх частот, тобто. від складу сукупності, з її структури.

приклад 2.Таблиця 2

Дані про заробітну плату робітників

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х 1 зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х 2 - 6 разів і т.д.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника:

Фонд заробітної плати за кожною групою робітників дорівнює творуваріанти на частоту (
), а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників (
).

Якби розрахунок був виконаний за формулою простої середньої арифметичної, середній заробіток дорівнював 3 000 руб. (). Порівнюючи отриманий результат з вихідними даними, очевидно, що середня заробітна плата має бути істотно вищою (більше половини робітників отримують заробітну плату вище 3000 руб.). Тому розрахунок за простою середньою арифметичною в таких випадках буде помилковим.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Розглянемо розрахунок середньої арифметичної для таких рядів.

Середнє значення це:

Середнє значення

Середнє значення - числова характеристикамножини чисел або функцій; - деяке число, укладене між найменшим та найбільшим із їх значень.

1 Основні відомості
2 Ієрархія середніх значень у математиці
3 У теорії ймовірностей та статистики
4 Див.
5 Примітки

Основні відомості

Вихідним пунктом становлення теорії середніх величин стало дослідження пропорцій школою Піфагора. При цьому не проводилося суворої різниці між поняттями середньої величини та пропорції. Значний поштовх розвитку теорії пропорцій з арифметичної точки зору було надано грецькими математиками - Нікомахом Гераським (кінець I - початок II ст. н. е.) і Паппом Олександрійським (III ст. н. е.). Першим етапом розвитку поняття середньої є етап, коли середня стала вважатися центральним членом безперервної пропорції. Але поняття середньої як центрального значення прогресії не дає можливості вивести поняття середньої по відношенню до послідовності n членів, незалежно від того, в якому порядку вони йдуть один за одним. Для цієї мети необхідно вдатися до формального узагальнення середніх. Наступний етап – перехід від безперервних пропорцій до прогресій – арифметичної, геометричної та гармонійної.

У історії статистики вперше широке вживання середніх величин пов'язані з ім'ям англійського вченого У. Петті. У. Петті один із перших намагався надати середній величині статистичний зміст, зв'язавши її з економічними категоріями. Але опис поняття середньої величини, його виділення Петті не зробив. Родоначальником теорії середніх величин заведено вважати А. Кетле. Він одним із перших почав послідовно розробляти теорію середніх величин, намагаючись підвести під неї математичну базу. А. Кетле виділяв два види середніх величин - власне середні та середні арифметичні. Власне, середні представляють річ, число, що дійсно існують. Власне, середні або середні статистичні повинні виводитися з явищ одноякісних, однакових за своїм внутрішнім значенням. Середні арифметичні - числа, що дають можливо близьке уявлення про багато чисел, різних, хоча і однорідних.

Кожен із видів середньої може виступати або у формі простої, або у формі виваженої середньої. Правильність вибору форми середньої випливає із матеріальної природи об'єкта дослідження. Формули простих середніх застосовуються у разі, якщо індивідуальні значення ознаки, що усереднюється, не повторюються. Коли в практичних дослідженняхокремі значення досліджуваної ознаки зустрічаються кілька разів у одиниць досліджуваної сукупності, тоді частота повторень індивідуальних значень ознаки присутня в розрахункових формулах статечних середніх. І тут вони називаються формулами зважених середніх.

Wikimedia Foundation. 2010 року.

Тема 5. Середні величини як статистичні показники

Концепція середньої величини. Область застосування середніх величин у статистичному дослідженні

Середні величини використовуються на етапі обробки та узагальнення отриманих первинних статистичних даних. Потреба визначення середніх величин пов'язані з тим, що з різних одиниць досліджуваних сукупностей індивідуальні значення однієї й тієї ж ознаки, зазвичай, неоднакові.

Середньою величиноюназивають показник, який характеризує узагальнене значення ознаки чи групи ознак у досліджуваній сукупності.

Якщо досліджується сукупність з якісно однорідними ознаками, то середня величина виступає тут як типова середня. Наприклад, груп працівників певної галузі з фіксованим рівнем доходу визначається типова середня витрат на предмети першої необхідності, тобто. Типова середня узагальнює якісно однорідні значення ознаки у цій сукупності, яким є частка витрат у працівників цієї групи на товари першої необхідності.

При дослідженні сукупності з якісно різнорідними ознаками першому плані може бути нетиповість середніх показників. Такими, наприклад, є середні показники виробленого національного доходу душу населення (різні вікові групи), середні показники врожайності зернових культур по всій території Росії (райони різних кліматичних зон та різних зернових культур), середні показники народжуваності населення по всіх регіонах країни, середні температури за певний періоді т.д. Тут середні величини узагальнюють якісно різнорідні значення ознак чи системних просторових сукупностей (міжнародне співтовариство, континент, держава, регіон, район тощо.) чи динамічних сукупностей, протяжних у часі (століття, десятиліття, рік, сезон тощо.) . Такі середні величини називають системними середніми.

Отже, значення середніх величин полягає у їх узагальнюючої функції. Середня величина замінює велику кількість індивідуальних значень ознаки, виявляючи загальні властивості, властиві всім одиницям сукупності. Це, у свою чергу, дозволяє уникнути випадкових причин та виявити загальні закономірностіобумовлені загальними причинами.

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;

структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньої.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної (простий) має вигляд

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. У цьому випадку йдеться про використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної суми угод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 +990 · 650 +1015 · 700 +900 · 550 +1150 · 850 = 3634500;

КПА = 800 +650 +700 +550 +850 = 3550.

У цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Властивість перше (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки вона показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), спричинені випадковими причинами, будуть взаємно погашені.

Доведення:

Властивість друге (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від іншого числа (а), тобто. є мінімальне число.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Властивість третє: середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостей середньої арифметичної є так звані розрахункові властивості, які поступово втрачають свою значущість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити або розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться у стільки разів;

середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки поділити на постійне число;

якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на ту саму величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести із базової формули, підставивши k = -1:

Наприклад, нам необхідно обчислити середню швидкість двох машин, що пройшли той самий шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км/год, друга - 90 км/год. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці найчастіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Як порахувати середнє значення чисел в Excel

Знайти середнє арифметичне чисел Excel можна за допомогою функції .

Синтаксис СРЗНАЧ

=СРЗНАЧ(число1;[число2];…) - російська версія

Аргументи СРЗНАЧ

число1– перше число чи діапазон чисел, до розрахунку середнього арифметичного;
число2(Опціонально) – друге число чи діапазон чисел розрахунку середнього арифметичного. Максимальна кількістьаргументів функції – 255.

Для розрахунку виконайте такі кроки:

Виділіть будь-яку комірку;
Напишіть у ній формулу =СРЗНАЧ(
Виділіть діапазон осередків, для якого потрібно зробити розрахунок;
Натисніть клавішу “Enter” на клавіатурі

Функція розрахує середнє значення у вказаному діапазоні серед тих осередків, у яких є числа.

Як знайти середнє значення з урахуванням тексту

Якщо в діапазоні даних є порожні рядки або текст, функція сприймає їх як “нуль”. Якщо серед даних є логічні висловлюванняБрехня або ІСТИНА, то Брехня функція сприймає як "нуль", а ІСТИНА як "1".

Як знайти середнє арифметичне за умовою

Для розрахунку середнього за умовою чи критерієм використовується функція. Наприклад, уявимо, що у нас є дані з продажу товарів:

Наше завдання – обчислити середнє значення продажів ручок. Для цього зробимо такі кроки:

У осередку A13напишемо назву товару "Ручки";
У осередку B13введемо формулу:

=ЗНАЧАЛЬНІ(A2:A10;A13;B2:B10)

Діапазон осередків “ А2: A10” вказує на список товарів, у якому ми шукатимемо слово “Ручки”. Аргумент A13це посилання на комірку з текстом, який ми шукатимемо серед усього списку товарів. Діапазон осередків “ B2: B10” це діапазон з даними продажу товарів, серед яких функція знайде “Ручки” та обчислить середнє значення.

У процесі вивчення математики школярі знайомляться із поняттям середнього арифметичного. Надалі у статистиці та деяких інших науках студенти стикаються і з обчисленням інших Якими вони можуть бути і чим відрізняються один від одного?

зміст та відмінності

Не завжди точні показники дають розуміння ситуації. Щоб оцінити ту чи іншу обстановку, потрібно часом аналізувати величезна кількістьцифр. І тоді на допомогу приходять середні значення. Саме вони дозволяють оцінити ситуацію загалом та загалом.

Зі шкільних часів багато дорослих пам'ятають про існування середнього арифметичного. Його дуже просто обчислити – сума послідовності з n членів ділиться на n. Тобто якщо потрібно обчислити середнє арифметичне в послідовності значень 27, 22, 34 і 37, необхідно вирішити вираз (27+22+34+37)/4, оскільки в розрахунках використовується 4 значення. В даному випадку шукана величина дорівнюватиме 30.

Часто в рамках шкільного курсувивчають і середнє геометричне. Розрахунок даного значеннябазується на добуванні кореня n-го ступеня з твору n-членів. Якщо брати ті ж числа: 27, 22, 34 і 37, то результат обчислень дорівнюватиме 29,4.

Середнє гармонійне в загальноосвітній школізазвичай є предметом вивчення. Проте воно використовується досить часто. Ця величина обернена до середнього арифметичного і розраховується як приватна від n - кількості значень і суми 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Якщо знову брати той самий для розрахунку, то гармонійне становитиме 29,6.

Середньозважене значення: особливості

Проте всі перераховані вище величини можуть бути використані не скрізь. Наприклад, у статистиці при розрахунку деяких важливу рольмає "вагу" кожного числа, що використовується у обчисленнях. Результати є більш показовими та коректними, оскільки враховують більше інформації. Ця група величин носить загальна назва "середньозважене значенняЇх у школі не проходять, тому на них варто зупинитися докладніше.

Насамперед, варто розповісти, що мається на увазі під "вагою" того чи іншого значення. Найпростіше пояснити це на конкретному прикладі. Двічі на день у лікарні відбувається замір температури тіла у кожного пацієнта. Зі 100 хворих у різних відділеннях госпіталю у 44 буде нормальна температура – 36,6 градусів. У ще 30 буде підвищене значення – 37,2, у 14 – 38, у 7 – 38,5, у 3 – 39, і у двох решти – 40. І якщо брати середнє арифметичне, то ця величина загалом по лікарні становитиме більше ніж 38 градусів! Адже майже у половини пацієнтів зовсім І тут коректніше використовуватиме середньозважене значення, а "вагою" кожної величини буде кількість людей. У цьому випадку результатом розрахунку буде 37,25 градусів. Різниця очевидна.

У разі середньозважених розрахунків за "вагу" може бути прийнята кількість відвантажень, кількість людей, які працюють у той чи інший день, загалом усе що завгодно, що може бути виміряне і вплинути на кінцевий результат.

Різновиди

Середньозважене значення співвідноситься із середнім арифметичним, розглянутим на початку статті. Проте перша величина, як було зазначено, враховує також вага кожного числа, використаного у розрахунках. Крім цього існують також середньозважене геометричне та гармонійне значення.

Є ще один цікавий різновид, що використовується в рядах чисел. Йдеться про зважене ковзне середнє значення. Саме на його основі розраховуються тренди. Крім самих значень та їх ваги, там також використовується періодичність. І при обчисленні середнього значення в якийсь час також враховуються величини за попередні тимчасові відрізки.

Розрахунок всіх цих значень не такий вже й складний, проте на практиці зазвичай використовується лише звичайне середньозважене значення.

Способи розрахунку

У століття повальної комп'ютеризації немає необхідності обчислювати середньозважене значення вручну. Однак не зайвим буде знати формулу розрахунку, щоб можна було перевірити та за необхідності відкоригувати отримані результати.

Найпростіше розглянути обчислення на конкретному прикладі.

Необхідно дізнатися, яка ж середня оплата праці цьому підприємстві з урахуванням кількості робочих, отримують той чи інший заробіток.

Отже, розрахунок середньозваженого значення здійснюється за допомогою такої формули:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Для прикладу обчислення буде таким:

x = (32 * 20 +33 * 35 +34 * 14 +40 * 6) / (20 +35 +14 +6) = (640 +1155 +476 +240) / 75 = 33,48

Очевидно, що немає особливих складнощів для того, щоб вручну розрахувати середньозважене значення. Формула для обчислення цієї величини в одному з найпопулярніших додатків з формулами - Excel - виглядає як функція СУММПРОИЗВ (ряд чисел; ряд ваг)/СУМ (ряд ваг).

Середня величина- це узагальнюючий показник, який характеризує якісно однорідну сукупність за певною кількісною ознакою. Наприклад, середній вік осіб, засуджених за крадіжку.

У судовій статистиці середні величини використовують для характеристики:

Середніх термінів розгляду справ цієї категорії;

Середній розмір позову;

Середньої кількості відповідачів, що припадають одну справу;

Середній розмір шкоди;

Середнє навантаження суддів, та ін.

Середня величина завжди іменована і має ту ж розмірність, що і ознака в окремої одиниці сукупності. Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якою-небудь однією ознакою, що варіює, тому за всякою середньою ховається ряд розподілу одиниць цієї сукупності за досліджуваною ознакою. Вибір виду середньої визначається змістом показника та вихідних даних для розрахунку середньої величини.

Усі види середніх величин, які у статистичних дослідженнях, поділяються на дві категорії:

1) статечні середні;

2) структурні середні.

Перша категорія середніх величин включає: середню арифметичну, середню гармонійну, середню геометричну і середню квадратичну . Друга категорія – це модаі медіана. При цьому кожен із перерахованих видів статечних середніх величин може мати дві форми: просту і зважену . Проста форма середньої величини використовується для отримання середнього значення ознаки, що вивчається, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, або коли кожна варіанта в сукупності зустрічається тільки один раз. Зваженими середніми називають величини, які враховують, що варіанти значень ознаки можуть мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити на відповідну частоту. Іншими словами, кожен варіант зважують за своєю частотою. Частоту називають статистичною вагою.

Середня арифметична проста- Найпоширеніший вид середньої. Вона дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на загальну кількість цих значень:

де x 1, x 2, …, x N- Індивідуальні значення варіює ознаки (варіанти), а N - число одиниць сукупності.

де x i- значення i-і варіанти ознаки; f i- Частота i-й варіанти.

Зауваження.Коли йдеться про середню арифметичну величину без зазначення її виду, мається на увазі середня арифметична проста.

Таблиця 12

Рішення.Для розрахунку використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, у середньому на одну кримінальну справу припадає двоє обвинувачених.

приклад.Дані про вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, наведено в таблиці:

Таблиця 13

Визначити середній вік злочинців, засуджених за вчинення крадіжки.

Рішення.Щоб визначити середній вік злочинців з урахуванням інтервального варіаційного ряду необхідно спочатку знайти серединні значення інтервалів. Так як дано інтервальний ряд з відкритими першим та останнім інтервалами, то величини цих інтервалів приймаються рівними величинам суміжних закритих інтервалів. У разі величина першого і останнього інтервалів дорівнюють 10.

Тепер знаходимо середній вік злочинців за формулою середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, середній вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, приблизно дорівнює 27 років.

де 1/ x i- Зворотні значення варіантів, а N - число одиниць сукупності.

365 (днів): 5,64 ≈ 64,7 (справи), тобто. середнє навантаження на суддів виявилося меншим.

Отримаємо відповідно:

365(днів) : 6 ≈ 61 (справа), 365(днів) : 5,6 ≈ 65,2 (справ), 365(днів) : 6,3 ≈ 58 (справ),

365(днів) : 4,9 ≈ 74,5 (справи), 365(днів) : 5,4 ≈ 68 (справ).

Тобто. середнє річне навантаження таке ж, як і при використанні середньої гармонійної.

Отже, використання середньої арифметичної у разі неправомірно.

де x i- значення варіантів ознаки, а w i - об'ємні значення варіантів ( w i = x i · f i).

Таблиця 14

Знайти середню ціну реалізації товару.

Якщо тут використовувати формулу середньої арифметичної, можна отримати середню ціну, яка буде нереальна:

Середня геометричнаобчислюється вилученням кореня ступеня N з добутку всіх значень варіантів ознаки:

де x 1, x 2, …, x N- індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти), а

N- Число одиниць сукупності.

Цей вид середньої використовується обчислення середніх показників зростання рядів динаміки.

Медіана (Ме)- це величина, яка відповідає варіанту, що знаходиться в середині ранжованого ряду. Таким чином, медіана - це той варіант ранжованого ряду, по обидва боки від якого в цьому ряду має бути однакова кількість одиниць сукупності.

Для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номер у ранжованому ряду за формулою:

де N - обсяг ряду (кількість одиниць сукупності).

де x Ме- нижня межа медіанного інтервалу; i – величина медіанного інтервалу; S Ме-1- накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f Ме- Частота медіанного інтервалу.

Рішення.Статистичні дані представлені інтервальним варіаційним рядом, отже спочатку визначимо медіанний інтервал. Обсяг сукупності N = 162, отже, медіанним інтервалом є 18-28, т.к. це перший інтервал, накопичена частота якого (15 + 90 = 105) перевищує половину обсягу (162: 2 = 81) інтервального варіаційного ряду. Тепер чисельне значення медіани визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, половина засуджених за скоєння крадіжки молодше 25 років.

Модою (Мо)називають значення ознаки, що найчастіше зустрічається в одиниць сукупності. До моди вдаються виявлення величини ознаки, що має найбільшого поширення. Для дискретного ряду модою буде варіант із найбільшою частотою. Наприклад, для дискретного ряду, поданого в таблиці 3 Мо= 1, оскільки цього значення варіанти відповідає найбільша частота - 75. Для визначення моди інтервального ряду спочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім у межах цього інтервалу знаходять значення ознаки, яке може бути модою.

Його значення знаходять за такою формулою:

де x Mo- нижня межа модального інтервалу; i – величина модального інтервалу; f Мо- Частота модального інтервалу; f Мо-1- частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1- Частота інтервалу, наступного за модальним.

приклад.Знайти моду віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, дані про які представлені в таблиці 13.

Таким чином, найбільше злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, має вік 24 роки.

Середня величина дає узагальнюючу характеристику всієї сукупності явища, що вивчається. Однак дві сукупності, що мають однакові середні значення, можуть значно відрізнятися один від одного за рівнем коливання (варіації) величини ознаки, що вивчається. Наприклад, в одному суді були призначені такі строки позбавлення волі: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 років, а в іншому – 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7 8, 8, 8 років. В обох випадках середня арифметична дорівнює 67 років. Однак ці сукупності суттєво різняться між собою розкидом індивідуальних значень призначеного терміну позбавлення волі щодо середнього значення.

Варіація- це відмінності в значеннях будь-якої ознаки у різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу. Термін «варіація» має латинське походження – variatio, що означає відмінність, зміну, коливання. Вона виникає внаслідок того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються у кожному окремому випадку. Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники.

До основних показників варіації належать такі:

1) розмах варіації;

2) середнє лінійне відхилення;

3) дисперсія;

4) середнє квадратичне відхилення;

5) коефіцієнт варіації.

Стисло зупинимося на кожному з них.

Розмах варіації (розмах коливань) - важливий показник коливання ознаки, але він дає можливість побачити лише крайні відхилення, що обмежує сферу його застосування. Для більш точної характеристики варіації ознаки з урахуванням урахування його коливання використовуються інші показники.

Середнє лінійне відхиленняє середнім арифметичним з абсолютних значень відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої і визначається за формулами:

1) для несгрупованих даних

2) для варіаційного ряду

Проста дисперсіядля не згрупованих даних:

Зважена дисперсіядля варіаційного ряду:

Зауваження.Насправді для обчислення дисперсії краще використовувати такі формулы:

Для простої дисперсії

Для зваженої дисперсії

Середнє квадратичне відхилення- це корінь квадратний із дисперсії:

Розглянуті вище заходи розсіювання (розмах варіації, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) є абсолютними показниками, судити з яких ступінь коливання ознаки який завжди можливо. У деяких завданнях необхідно використовувати відносні показники розсіювання, одним із яких є коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації використовують як порівняльної оцінки варіації різних ознак чи однієї й тієї ж ознаки у різних сукупностях, але й характеристики однорідності сукупності. Статистична сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % (для розподілів, близьких до нормального розподілу).

1. Побудувати низку розподілу за строками позбавлення волі.

2. Знайти середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Рішення.Для побудови дискретного ряду розподілу необхідно визначити варіанти та частоти. Варіанта у цій задачі - це термін позбавлення волі, а частоти - чисельність окремих варіантів. Розрахувавши частоти, отримаємо наступний дискретний ряд розподілу:

= = 4,1;

= 5,21.

Тепер обчислюємо середнє квадратичне відхилення:

Знаходимо коефіцієнт варіації:

Отже, статистична сукупність кількісно неоднорідна.