Урок на тему тригонометричні функції кутового аргументу. Тригонометричні функції кутового аргументу

Яке дійсне число t не взяти, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin t. Щоправда, правило відповідності досить складне, воно, як ми бачили вище, полягає у наступному.

Щоб за кількістю t знайти значення sin t, потрібно:

1) розташувати числове коло в координатній площині так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А кола потрапила в точку (1; 0);

2) на колі знайти точку, що відповідає числу t;

3) знайти ординату цієї точки.

Ця ордината є sin t.

Фактично йдеться про функцію u = sin t, де t - будь-яке дійсне число.

Всі ці функції називають тригонометричними функціями числового аргументу t.

Є цілий ряд співвідношень, що пов'язують значення різних тригонометричних функцій, деякі з цих співвідношень ми вже отримали:

sin 2 t+cos 2 t = 1

З двох останніх формул легко отримати співвідношення, що зв'язує tg t і ctg t:

Всі зазначені формули використовуються в тих випадках, коли знаючи значення будь-якої тригонометричної функції, потрібно обчислити значення інших тригонометричних функцій.

Терміни «синус», «косинус», «тангенс» та «котангенс» насправді були знайомі, щоправда, використовували їх досі в дещо іншій інтерпретації: у геометрії та у фізиці розглядали синус, косинус, тангенс та котангенс у г л а(а не

числа, як це було у попередніх параграфах).

З геометрії відомо, що синус (косинус) гострого кута – це відношення катета прямокутного трикутника до його гіпотенузи, а тангенс (котангенс) кута – це відношення катетів прямокутного трикутника. Інший підхід до понять синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу розвивали у попередніх параграфах. Насправді, ці підходи взаємопов'язані.

Візьмемо кут із градусною мірою б o і розташуємо його в моделі «числове коло в прямокутній системі координат» так, як показано на рис. 14

вершину кута сумісний із центром

кола (з початком системи координат),

а один бік кута сумісний з

позитивним променем осі абсцис. Крапку

перетину другої сторони кута з

коло позначимо буквою М. Ордіна-

рис 14 б o , а абсцис цієї точки - косинусом кута б o .

Для відшукання синуса або косинуса кута б o зовсім не обов'язково щоразу робити зазначені дуже складні побудови.

Досить помітити, що дуга AM становить таку ж частину довжини числового кола, яку кут o становить від утла 360°. Якщо довжину дуги AM позначити літерою t, то отримаємо:

Таким чином,

Наприклад,

Вважають, що 30° - це градусний захід кута, а - радіальний захід того ж кута: 30° = радий. Взагалі:

Зокрема, радий, звідки, своєю чергою, отримуємо.

Так що ж таке один радіан? Існують різні заходи довжин відрізків: сантиметри, метри, ярди і т.д. Існують і різні заходи для позначення величин кутів. Ми розглядаємо центральні кути одиничного кола. Кут в 1° - це центральний кут, що спирається на дугу, що становить частину кола. Кут 1 радіан - це центральний кут, що спирається на дугу довжиною 1, тобто. на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. З формули отримуємо, що 1 рад = 57,3°.

Розглядаючи функцію u = sin t (або будь-яку іншу тригонометричну функцію), ми можемо вважати незалежну змінну t числовим аргументом, як це було в попередніх параграфах, але можемо вважати цю змінну та мірою кута, тобто. кутовим аргументом. Тому, говорячи про тригонометричну функцію, у певному сенсі байдуже вважати її функцією числового або кутового аргументу.

Урок та презентація на тему: "Тригонометрична функція кутового аргументу, градусний захід кута та радіан"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі

Що вивчатимемо:
1. Згадаймо геометрію.
2. Визначення кутового аргументу.
3. Градусна міра кута.
4. Радіанний захід кута.
5. Що таке радіан?
6. Приклади та завдання для самостійного вирішення.

Повторення геометрії

Хлопці, у наших функціях:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Змінна t може набувати як числові значення, тобто бути числовим аргументом, але його можна як і міру кута – кутовий аргумент.

Згадаймо геометрію!
Як визначали синус, косинус, тангенс, котангенс там?

Синус кута - ставлення протилежного катета до гіпотенузи

Косинус кута – відношення прилеглого катета до гіпотенузи

Тангенс кута - відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенс кута - відношення прилеглого катета до протилежного.

Визначення тригонометричної функції кутового аргументу

Давайте визначимо тригонометричні функції, як функції кутового аргументу на числовому колі:
За допомогою числового кола та системи координат ми завжди з легкістю можемо знайти синус, косинус, тангенс та котангенс кута:

Помістимо вершину нашого кута в центр кола, тобто. в центр осі координат, і розташуємо одну зі сторін так, щоб вона збігалася з позитивним напрямком осі абсцис (ОА)
Тоді друга сторона перетинає числове коло у точці М.

Ординататочки М: синус кута α
Абсциссаточки М: косинус кута α

Зауважимо, що довжина дуги АМ становить таку ж частину одиничного кола як і наш кут α від 360 градусів: де t Довжина дуги АМ.

Градусний захід кута

1) Хлопці ми отримали формулу для визначення градусний міри кута через довжину дуги числового кола, давайте подивимося уважніше на неї:

Тоді запишемо тригонометричні функції у вигляді:

Наприклад:

Радіанний захід кутів

При обчисленні градусної або радіанної міри кута слід запам'ятати! :
Наприклад:

До речі! Позначення радий. можна опускати!

Що таке радіан?

Дорогі друзі ми з вами штовхнулися з новим поняттям - Радіан. То що це таке?

Існують різні заходи довжини, часу, ваги, наприклад: метр, кілометр, секунда, година, грам, кілограм та інші. Так ось Радіан – це один із заходів кута. Варто розглядати центральні кути, тобто розташовані в центрі числового кола.
Кут в 1 градус - це центральний кут, що спирається на дугу рівну 1/360 частини довжини кола.

Кут в 1 радіан - це центральний кут, що спирається на дугу рівну 1 в одиничному колі, а в довільному колі на дугу рівну радіусу кола.

Приклади:

Приклади переведення з градусної міри кута в радіану, і навпаки

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайдіть радіальну міру кутів:
а) 55 ° б) 450 ° в) 15 ° г) 302 °

2. Знайти:
а) sin(150°) б) cos(45°) в) tg(120°)

3. Знайдіть градусну міру кутів:

Відеоурок "Тригонометричні функції кутового аргументу" представляє наочний матеріал для проведення уроку математики з відповідної теми. Відео складено так, щоб матеріал, що вивчається, був поданий максимально зручно для розуміння учнів, легко запам'ятовувався, добре розкривав зв'язок наявних відомостей про тригонометричні функції з розділу вивчення трикутників та їх визначення за допомогою одиничного кола. Воно може стати самостійною частиною уроку, тому що повністю охоплює цю тему, доповнене важливими коментарями під час озвучування.

Щоб наочно продемонструвати зв'язок різних визначення тригонометричних функцій, використовуються анімаційні ефекти. Виділення тексту кольоровим шрифтом, чіткі зрозумілі побудови, доповнення коментарями допомагає швидше освоїти, запам'ятати матеріал, досягти цілей уроку. Зв'язок між визначеннями тригонометричних функцій наочно продемонстрований за допомогою анімаційних ефектів та виділення кольором, сприяючи розумінню та запам'ятовування матеріалу. Посібник спрямовано підвищення ефективності навчання.

Урок починається з представлення теми. Потім нагадуються визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута прямокутного трикутника. Визначення, виділене у рамці, нагадує, що синус та косинус формуються як відношення катета до гіпотенузи, тангенс та котангенс утворюються відношенням катетів. Також учням нагадується нещодавно вивчений матеріал про те, що при розгляді точки, що належить одиничному колу, абсцис точки є косинусом, а ордината - синусом числа, що відповідає цій точці. Зв'язок даних понять демонструється з допомогою побудови. На екрані зображається одиничне коло, розміщене так, щоб її центр збігався з початком координат. З початку координат будується промінь, що становить із позитивною піввіссю абсцис кут α. Цей промінь перетинає одиничне коло у точці О. Від точки опускаються перпендикуляри на вісь абсцис та вісь ординат, демонструючи, що координати цієї точки визначають косинус та синус кута α. Зазначається, що довжина дуги АТ від точки перетину одиничного кола з позитивним напрямом осі абсцис до точки становить таку ж частину від всієї дуги, як кут від 360°. Це дозволяє скласти пропорцію α/360=t/2π, яка відображається відразу і виділена червоним кольором для запам'ятовування. З цієї пропорції виводиться значення t=πα/180°. З огляду на це визначається зв'язок визначень синуса і косинуса sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Наприклад наведено знаходження sin60°. Підставивши градусну міру кута у формулу, отримуємо sin π·60°/180°. Скоротивши дріб на 60, отримуємо sin π/3, який дорівнює √3/2. Зазначається, що якщо 60° є градусним мірою кута, то π/3 називається радіанним мірою кута. Надається два можливі записи відношення градусної міри кута до радіанної: 60°=π/3 і 60°=π/3 рад.

Визначається поняття кута в один градус як центрального кута, що спирається на дугу, довжина якої 1/360 є частиною довжини кола. Наступне визначення розкриває поняття кута в один радіан - центрального кута, що спирається на дугу довжиною в одиницю, або дорівнює радіусу кола. Визначення відзначені як важливі та виділені для запам'ятовування.

Для переведення одного градусного заходу кута в радіану і навпаки використовується формула α°=πα/180 рад. Ця формула виділена у рамці на екрані. З цієї формули випливає, що 1°=π/180 рад. При цьому одному радіану відповідає кут 180°/π≈57,3°. Зазначається, що при знаходженні значень тригонометричних функцій від незалежної змінної t її можна вважати як числовим аргументом, так і кутовим.

Далі демонструються приклади використання отриманих знань під час вирішення математичних завдань. У прикладі 1 потрібно перевести значення градусної міри в радіану 135° і 905°. У правій частині екрана нагадується формула, що відображає зв'язок градуса та радіана. Після підстановки значення формулу виходить (π/180)·135. Після скорочення даного дробу на 45 отримуємо значення 135°=3π/4. Для перекладу кута 905° у радіану міру, використовується та сама формула. Після підстановки у ній значення, виходить (π/180)·905=181π/36 рад.

У другому прикладі вирішується обернена задача - знаходиться градусна міра кутів, виражених у радіанах π/12, -21π/20, 2,4π. У правій частині екрана нагадується вивчена формула зв'язку між градусною та радіанною мірою кута 1 рад =180°/π. Кожен приклад вирішується підстановкою радіанної міри формулу. Підставивши π/12, отримуємо (180 ° / π) · (π / 12) = 15 °. Аналогічно є значення інших кутів -21π/20=-189° і 2,4π=432°.

Відеоурок «Тригонометричні функції кутового аргументу» рекомендується використовувати на традиційних уроках математики підвищення ефективності навчання. Матеріал допоможе забезпечити наочність навчання під час дистанційних занять з цієї теми. Докладне зрозуміле пояснення теми, розв'язання по ній завдань може допомогти учню самостійно освоїти матеріал.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

«Тригонометричні функції кутового аргументу».

Нам уже відомо з геометрії, що синус (косинус) гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета до гіпотенузи, а тангенс (котангенс) – це відношення катетів. А в алгебрі ми називаємо абсцису точки одиничного кола косинусом, а ординату цієї точки – синусом. Переконаємося, що це тісно взаємопов'язане.

Розташуємо кут із градусною мірою α°(альфа градусів), як показано на малюнку 1: вершину кута сумісний із центром одиничного кола(з початком системи координат), а одну сторону кута сумісний із позитивним променем осі абсцис. Друга сторона кута перетинає коло в точці О. Ордината точки О – це синус кута альфа, а абсцис цієї точки – косинус альфа.

Зауважимо, що дуга АТ становить таку ж частину довжини одиничного кола, яке кут альфа становить від кута трьохсот шістдесяти градусів. Позначимо довжину дуги АТ через t(те), тоді складемо пропорцію =

(Альфа відноситься до трест шістдесяти як тек до двох пі). Звідси знайдемо тэ: t = = (Те рівно пі альфа ділене на сто вісімдесят).

Таким чином, для знаходження синуса або косинуса кута альфа градусів можна скористатися формулою:

sin α° = sint = sin (синус альфа градусів дорівнює синусу тэ і дорівнює синусу приватного пі альфа до ста вісімдесяти),

cosα° = cost = cos (косинус альфа градусів дорівнює косинусу тэ і дорівнює косинусу приватного пі альфа до ста вісімдесяти).

Наприклад, sin 60° = sin = sin = (синус шістдесяти градусів дорівнює синусу пі на три, згідно з таблицею основних значень синусів, дорівнює корінь із трьох на два).

Вважають, що 60° - це градусний захід кута, а (пі на три) - радіальний захід того ж кута, тобто 60°= радий(шістдесят градусів дорівнює пі на три радіани). Для стислості умовилися позначення радийопускати, тобто припустимий наступний запис: 60°= (показати скорочення радіальний захід = рад.)

Кут в один градус - це центральний кут, який спирається на дугу, що становить (одну триста шістдесяту) частину дуги. Кут в один радіан - це центральний кут, який спирається на дугу довжиною одиниця, тобто на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (ми розглядаємо центральні кути одиничного кола показати на колі кут в пі радіан).

Запам'ятаємо важливу формулу переведення градусного заходу в радіану:

α° = радий. (альфа дорівнює пі альфа, ділене на сто вісімдесят, радіан) Зокрема, 1° = радий(один градус дорівнює пі, ділене на сто вісімдесят, радіан).

Звідси можна знайти, що один радіан дорівнює сто вісімдесяти градусів до пі і приблизно дорівнює п'ятдесят сім цілих три десятих градуси: 1 радий= ≈ 57,3°.

З вище сказаного: коли ми говоримо про будь-яку тригонометричну функцію, наприклад про функцію s= sint (ес і синус тэ), незалежну змінну t(те) можемо вважати як числовим аргументом, так і кутовим аргументом.

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД1. Перевести із градусного заходу в радіану: а) 135°; б) 905 °.

Рішення. Скористаємося формулою переведення градусного заходу в радіану:

а) 135 ° = 1 ° ∙ 135 = радий ∙ 135 = радий

(сто тридцять п'ять градусів дорівнює пі на сто вісімдесят радіан помножити на сто тридцять п'ять, і після скорочення одно три на чотири радіан)

б) Аналогічно, скориставшись формулою переведення градусного заходу в радіану, отримаємо

905° = радий ∙ 905 = радий.

(дев'ятсот п'ять градусів дорівнює сто вісімдесят один пі на тридцять шість радіан).

ПРИКЛАД 2. Виразити у градусах: а) ; б) -; в) 2,4π

(пі на дванадцять; мінус двадцять один пі на двадцять; дві цілі чотири десятих пі).

Рішення. а) Виразимо в градусах пі на дванадцять, скористаємося формулою перекладу радіальну міру кута в градусну 1 радий=, отримаємо

радий = 1 радий∙ = ∙ = 15° (пі на дванадцять радіан дорівнює добутку одного радіана та пі на дванадцять. Підставивши замість одного радіана сто вісімдесят на пі та скоротивши, отримаємо п'ятнадцять градусів)

Аналогічно б) - = 1 радий∙ (-) = ∙ (-)= - 189°(мінус двадцять один пі на двадцять дорівнює мінус сто вісімдесят дев'ять градусів),

в) 2,4π = 1 радий∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432°(дві цілі чотири десятих пі дорівнює чотириста тридцять два градуси).

Тригонометричні функції числового аргументуми розбирали. Брали точку А на колі та шукали синуси та косинуси від отриманого кута β.

Ми позначили точку за А, але у алгебрі її часто позначають за t і наводять усі формули/функції із нею. Ми теж не відходитимемо від канонів. Тобто. t - це буде якесь число, тому і функція числова(наприклад, sin t)

Логічно, що коло у нас з радіусом одиниця, то й

Тригонометричні функції кутового аргументуми теж успішно розібрали - за канонами ми писатимемо для таких функцій: sin α°, здогадуючись під α° будь-який кут з необхідною кількістю градусів.

Промінь цього кута дасть нам другу точку на колі (OA - точка А) та відповідні точки С і В для функції числового аргументу, якщо вона нам знадобиться: sin t = sin α°

Лінії синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів

Ніколи не забувайте, що вісь Y - це лінія синусів, вісь X - це лінія косінусів! Крапки, отримані з кола, відзначаються цих осях.

А лінії тангенсів і котангенсів паралельні їм і проходять через точки (1; 0) та (0; 1)відповідно.