Умови застосування дисперсійного аналізу ANOVA Проблема множинних порівнянь

Один із шляхів усунення впливу тренування на результати оцінки Н. н. - формування стійкої навички у роботі з відповідною методикою перед проведенням тест-ретесту. Однак кількість повторень тесту при цьому неминуче зростає, що призводить до збільшення числа рішень, що запам'яталися. Такий прийом може бути рекомендований для методик типу тестів швидкості,містять велика кількістьелементів тестового матеріалу.

Для інших методик, очевидно, єдиним прийнятним шляхом зниження впливу тренування залишається збільшення інтервалу ретесту, що, проте, як говорилося вище, вступає у протиріччя з визначенням надійності як характеристики тесту.

Для більшості тестів загальних здібностей характерно покращення показників Н. н. з віком піддослідних з допомогою кращого контролю умов їх виконання. Іншим фактором збільшення розрахункових показників Н. н. є відносне уповільнення з віком темпу психічного розвиткуу сфері характеристик, які можуть стати об'єктом вимірювання або впливати на результат тесту. Завдяки цьому, згодом, що становить інтервал ретесту, випадкові коливання результатів обстеження стають менш вираженими. Це штучно завищує показники Н. н. Ця закономірність вимагає окремих вимірів Н. н. у різних вікових контингентах піддослідних, що особливо суттєво для методик, призначених для обстеження у широкому віковому діапазоні (див. Станфорд-Біне розумового розвитку шкали, Векслер інтелекту вимірювання шкали).

Зазначені особливості та недоліки методу визначення надійності шляхом ретесту роблять його придатним лише для обмеженої кількості методик, що допускають багаторазове повторне обстеження. До них відносяться сенсомоторні проби, тести швидкості та ряд інших методик, що відрізняються великою кількістюпунктів (див. Міннесотський багатоаспектний особистісний опитувальник).

НАДІЙНІСТЬ ФАКТОРНО-ДИСПЕРСІЙНА- спосіб визначення надійності,заснований на дисперсійний аналізрезультати тесту. Надійність тесту відповідає відношенню істинної дисперсії (тобто дисперсії самого досліджуваного фактора) до реально одержаної емпіричної дисперсії. Остання складається з істинної дисперсії та дисперсії похибки виміру (див. Помилка виміру).Факторно-аналітичний підхід до визначення надійності додатково розчленовує дисперсію істинного показника (Дж. Гілфорд, 1956).

Дисперсія справжнього показника, своєю чергою, може складатися з дисперсії загального чинника груп аналогічних тестів (див. Чинник G),особливих чинників, які забезпечують тести специфічної спрямованості (див. Фактори групові)та дисперсії факторів, властивих конкретної тестової методики Отже, повна дисперсія тесту дорівнює сумі дисперсій для загальних, специфічних та одиничних факторів плюс дисперсія похибки:

де σ 2 t- дисперсія тесту, - дисперсія загальних, групових та одиничних факторів, - дисперсія похибки. Розділивши рівняння на σ 2 tотримаємо:

що може бути записано у вигляді:

де – частка дисперсії, виражена загальним фактором а,і т.д.

Таким чином, коефіцієнт надійності тесту дорівнює:

Факторно-дисперсійний спосіб визначення надійності підходить для оцінки вже факторизованого тесту (див. Факторно-аналітичний принцип),але не для тестів, що вимірюють широкий набір різноманітних параметрів, так як деякі з них можуть не входити до встановлену область валідностіметодики

Надійність частин тесту -характеристика надійностіпсиходіагностичної методики, що отримується шляхом аналізу стійкості результатів окремих сукупностей тестових завданьабо одиничних пунктів (завдань) тіста.

Найбільш простим та поширеним способом визначення Н. ч. т. є метод розщеплення, суть якого полягає у виконанні випробуваних завдань двох рівноцінних частин тесту. Обгрунтуванням методу є висновок у тому, що з нормальному чи близькому до нормальному розподілі оцінок з повного тесту (див. Нормальний розподіл)виконання будь-якого випадкового наборуіз частин тесту дасть аналогічний розподіл (за умови, що частини однорідні за характером завдань стосовно тесту загалом).

Для оцінки надійності шляхом розщеплення вибирають дві еквівалентні характером і ступеня складності групи завдань (див. Внутрішня узгодженість, складність завдань тесту).Поділ обсягу завдань тесту на порівняні частини досягається:

розподілом завдань на парні та непарні (у тому випадку, якщо завдання в тесті строго ранжовані за ступенем суб'єктивної труднощі);

Розподілом пунктів за принципом близькості чи рівності значень індексів проблеми та дискримінативності (див. Дискримінативність завдань тесту).Такий принцип поділу придатний для тестів досягнень,у яких обов'язкова відповідь піддослідних попри всі пункти;

Розподілом завдань за часом вирішення кожної з частин (для тестів швидкості).

Для випробуваних у вибірці визначення надійності (роздільно кожної частини тесту) обчислюються оцінки успішності рішень, среднеквадратические відхилення першого і другого рядів оцінок і коефіцієнти кореляції порівнюваних рядів. Звісно, ці коефіцієнти характеризуватимуть надійність лише половини тесту.

Рівняння Спірмена-Брауна відбиває вплив зміни кількості завдань на коефіцієнт надійності тесту:

де r t- Коефіцієнт надійності для повного обсягу завдань, - його значення після зміни числа завдань, п- відношення нового числа завдань до початкового (якщо число завдань повного тесту - 100, яке частини, отриманої методом розщеплення на половини, - 50, то п = 0,5). Звідси для повного тесту:

Наведені формули справедливі для випадків рівних стандартних відхилень обох половин тесту (σ х1 =σ х2). Якщо σ х1 відрізняється від σ х2 ,для визначення коефіцієнта надійності застосовується формула Фланагану:

Цей показник для малих вибірок розраховується за формулою Крістофа:

При визначенні r tцілого тесту можна скористатися формулою Рюлона:

де - Дисперсія різниць між результатами кожного випробуваного за двома половинами тесту, - Дисперсія сумарних результатів. У даному випадкуКоефіцієнт надійності розраховується як частка «істинної» дисперсії результатів тесту (див. Надійність, Помилка виміру).

При розщепленні тестів швидкості застосовується спеціальна процедура угруповання завдань. Визначається мінімальний час (t min)рішення цілого тесту, потім відраховуються половина та четверта частина цього часу. Всі піддослідні працюють половину мінімального часу, після чого ставлять відмітку проти завдання, яке виконується в момент подачі сигналу, і продовжують працювати ще чверть мінімального часу. Коефіцієнт надійності у разі відповідатиме ступеня кореляції між числом завдань, вирішених до першого сигналу (0,5 t min) і вирішених за час між першим та другим сигналами (0, 25t mjn).

Поділ завдань тесту на рівноцінні половини є лише окремим випадком Н. ч. т. Цілком можливе розщеплення на три, чотири і більше частин. У граничному випадку число елементів дорівнює числу пунктів. При цьому для визначення надійності застосовують аналіз внутрішньої узгодженості.

При поділі всього набору завдань тесту на будь-яку кількість груп для правильного визначення Н. ч. т., як уже зазначалося вище, має дотримуватися вимога рівноцінності таких груп. Тому при обчисленні коефіцієнта надійності методом аналізу внутрішньої узгодженості відібрані завдання тесту повинні бути в високого ступеняоднорідні за змістом та труднощі (гомогенні). При гетерогенних задачах значення r tнижче за справжні.

Найбільш поширеним методом оцінки надійності окремих завданьє обчислення коефіцієнта Кьюдера-Річардсона:

де - дисперсія первинних оцінок тесту, р- Індекс проблеми, виражений у вигляді частки - - (див. Трудність завдань 100 тесту), q = 1 - р, r pb- Коефіцієнт дискримінації (див. Дискримінативність завдань тесту).

Для спрощення обчислення може бути застосована формула Гуліксена:

де k- Число завдань у тесті.

Це рівняння може бути спрощено наступним чином:

За відсутності коефіцієнта дискримінації застосуємо варіант формули Кьюдер-Річардсон:

Приклад обчислень r tза методом Кьюдера – Річардсона наведено в табл. 17.

Таблиця 17

Визначення коефіцієнта надійності методом Кьюдера-Річардсона ( n = 50; = 8,01;k= 16)

Запропоновані формули для визначення коефіцієнта надійності придатні для випадків, коли завдання оцінюються в дихотомічній шкалі (див. Вимірювальні шкали)за принципом «виконано – не виконано». Для випадків з більш диференційованою оцінкою застосовна формула коефіцієнта альфа:

де – сума дисперсій результатів окремих завдань.

У практиці психологічної діагностикивважається, що тест надійний, якщо r t≥ 0,6.

Коефіцієнт надійності має довірчий інтервал, визначення якого особливо важливе у зв'язку з великою кількістю факторів, здатних впливати на його значення. Довірчий інтервалдля r tвизначається як

де - стандартна помилкакоефіцієнта надійності - Перетворення Фішера (визначається за статистичними таблицями). На практиці застосовується лише нижня межа r t(Z критий при γ = 0,05 становить 1,96, при α = 0,01 -2,58).

Характеристика надійності на кшталт Н. ч. т. має серйозні переваги в порівнянні з надійністю ретестовоїі надійністю паралельних форм,головним чином завдяки відсутності необхідності повторного обстеження. Таким чином, знімається вплив багатьох сторонніх факторів, зокрема тренування, запам'ятовування рішень тощо. Ця обставина визначає широке поширення методів характеристики Н. ч. т. проти іншими типами надійності. До недоліків методу відноситься неможливість перевірити стійкість результатів тесту через визначений час. Це вимагає комбінування методу Н. ч. т. з іншими типами надійності психологічної методики.

«НАМАСУЙ ІСТОРІЮ»(Draw-a-Story, DAS)- проективна методикадослідження особистості. Запропонована Р. Сілвером в 1987 р. призначена для раннього виявлення депресії, зокрема - прихованої депресії.

«Н. і.» ґрунтується на звичайних для проективних методикположеннях: а) дитяче сприйняття тих самих малюнків по-різному; б) на сприйняття впливає особистий досвід; в) малюнки можуть відбивати елементи особистості, які піддаються квантификации.

У методиці комбінуються дослідницькі процедури різних проективних технік. Спочатку обстежуваний повинен вибрати з 14 картин дві і з них придумати історію (на пропонованих картинах переважно містяться зображення покупців, безліч тварин). Потім необхідно зробити малюнок за мотивами раніше уявної історії. Нарешті пропонується записати історію. Теми малюнка та історії оцінюються за 7-бальною шкалою (від «вираження негативна» до «виражено позитивна»). Негативні теми містять вказівки на "сум", "сум", "смерть", "безпорадність", "майбутнє без надій на краще" і т. п. і розглядаються як знаки депресії.

«Н. і.» призначена для групового обстеження дітей та підлітків, починаючи з 5-річного віку. Повідомляється про високу надійностіметодики Так, надійність ретестова(інтервал ретесту – тиждень) при обстеженні дітей з емоційними розладами – 0,87.

Дані про валідностіобмежені, проте є відомості про те, що теми депресивних дітей та підлітків оцінюються в основному як «вираження негативні», чого не спостерігається в інших групах. Є нормативні дані, отримані під час обстеження 380 дітей та підлітків, проте вони не можуть бути визнані репрезентативними.

Відомостей про використання СНД немає.

«НАМАСУЙ ЛЮДИНИ» ТЕСТ(Draw-A-Person Test, DAP)- проектна методикадослідження особистості. Розроблено К. Маховер у 1948 р. на основі тесту Ф. Гудінафа, призначеного для визначення рівня інтелектуального розвитку дітей та підлітків за допомогою виконаного ними малюнка чоловіка (див. Гудінаф «Намалюй людину» тест).

«Н. ч.» т. можна використовуватиме обстеження як дорослих, і дітей, допускається групове обстеження.

Обстеженому пропонують олівцем на чистому листіпапір малювати людину. Після виконання малюнка йому дають завдання намалювати людину протилежної статі. Заключний етапобстеження – опитування. К. Маховер складено спеціальні переліки питань про намальовані фігури. Ці питання стосуються віку, освіти, сімейного стану, звичок і т.д.

При інтерпретації даних автор виходить з ідеї у тому, що малюнок є виразом «Я» обследуемого. Значна увага приділяється аналізу різноманітних деталей малюнка, насамперед особливостям зображення основних частин тіла, які найчастіше оцінюють відповідно до психоаналітичної символіки. Вивчення валідності«Н. ч.» т. західними психологами призвело до суперечливих результатів через умоглядність запропонованих автором інтерпретацій. Є дані про те, що загальні суб'єктивні оцінкибільш валідні та надійні, ніж оцінки з окремих деталей малюнка.

У СРСР «М. ч.» т. спочатку застосовувався у клініко-психологічних дослідженнях. Аналізувалися переважно формальні аспекти малюнків, напр., розмір фігури, її розташування на аркуші паперу, ступінь закінченості малюнка тощо (Ю. С. Савенко, 1970). Отримані під час обстеження пацієнта результати співвідносилися з клінічною картиноюзахворювання, збагачуючи та уточнюючи уявлення про хворого. Починаючи з 90-х років сфера використання тесту суттєво розширюється, виконано чимало досліджень у віковій та педагогічній психології.

ПОРУШЕНЬ ПСИХІЧНОЇ АДАПТАЦІЇ ОПИТУВАЧ(НПА) - опитувальник особистісний,розроблений А. І. Скорик та Л. С. Свердловим у 1993 р. Призначений для попередньої діагностики адаптаційних порушень.

Методика має скринінговий характер (див. відсіювання).Дослідження, яке проводиться за допомогою НПА, дозволяє отримати загальне уявленняпро наявність або відсутність проявів психічної дезадаптації, їх основні особливості. Вимоги до такого роду прискореної діагностики зумовили невеликий обсяг опитувальника і простоту обробки первинних даних.

Опитувальник НПА складається з 37 тверджень, що стосуються особистісних якостейі психологічних особливостейвипробуваного, стану соматичної сфери, уявлень про психічне здоров'я, сприйняття деяких звичайних життєвих проблем. Завдання опитувальника вимагають лише ствердних чи негативних відповідей («так»-«ні», «вірно»-«невірно», «згоден»-«не згоден»). Відповідь "не знаю" не допускається. Опитувальник може застосовуватись при індивідуальному та груповому обстеженні. Оцінки первинні підраховуються відповідно до «ключа», роздільно за 6 шкалами опитувальника. Особливістю первинної обробки є те, що підраховується не просто кількість збігів з ключем з оцінкою 1 бал за кожний збіг, а сумуються питома вагакожного з тих, що збіглися з ключовим значенням відповідей (див. Внутрішня узгодженість).Вагова величина кожного пункту розраховувалася з урахуванням визначення факторного навантаження (див. Факторний аналіз)даної відповіді у вимірюваній шкалою ознакою. Розрахунок зроблений таким чином, що ваги пунктів виражаються цілими числами від 1 до 9. Сирі оцінки перекладаються в стандартні Т-бали(Див. Оцінки шкальні).Результати надаються графічно на спеціальному бланку у вигляді оцінок профільних.

Шкали опитувальника розроблені на основі результатів факторного аналізу первинного статистичного матеріалу, отриманого у відповідних клінічних групах досліджуваних: 1. (В) Описує переживання загального фізичного та психічного комфорту. У нормі адаптованих піддослідних оцінка за цією шкалою має тенденцію до підвищення. 2. (Н) Шкала «іпохондрії» - відбиває ступінь фіксації на соматичному неблагополуччі. При порушення адаптації оцінка за цією шкалою підвищується. 3. (М) Шкала «гіпоманіакальності» – фіксує відчуття комфорту з відтінком ейфорії, «форсованого благополуччя», безтурботності. За порушення адаптації оцінка знижується. 4. (Р) Шкала описує депресивний стан. Результат негативно корелює із даними за шкалою М. У нормі спостерігається низька оцінка. 5. (N) Шкала «невротизації» - описує стан ефективно-вегетативного дисбалансу, що виникає при емоційному напрузі, «нервовість». При порушення адаптації оцінка підвищується. 6. (S) Шкала фіксує порушення у сфері соціальних відносин. У дезадаптованих оцінка підвищується.

При інтерпретації даних НПА основне значення має аналіз «профілю». Поруч із автори пропонують прості формальні критерії діагностики дезадаптації. Найпростішим є критерій, заснований на висоті профілю. Дезадаптація має місце у тому випадку, якщо оцінки хоча б двох шкал перевищують значення 70 Т або опускаються нижче 30 Т або одна зі шкал перевищує 80 Т або опускається нижче 20 Т. За даними авторів, ймовірність невиявлення реально існуючої дезадаптації становить лише 5%. Однак ймовірність того, що достатньо адаптовані особи будуть зараховані до дезадаптованих, становить 22,5%. Це робить цей критерій малопридатним, зокрема під час проведення масових епідеміологічних досліджень. Більш складним і точним (10% ймовірності того, що адаптовані будуть зараховані до дезадаптованих) є критерій, що враховує диференційований результат за «шкалами благополуччя» (В, М) та «шкалами неблагополуччя» (Н, D, N, S). Дезадаптація діагностується у тих випадках, коли В+М становлять 79 Т або коли сума Н, D, N та S перевищує 255 Т. Порівняльні дослідженняна матеріалі контрастних группоказали високу кореляцію комплексного критерію дезадаптації з верифікованим діагнозом (r = 0,85, Р< 0,001).

Надійність ретестоваНПА (при інтервалі ретесту 1 добу) за різними шкалами коливається в інтервалі r t = 0,74-0,90. Є відомості про валідності поточної,яка вивчалася шляхом зіставлення даних контрастних груп (групи психічно здорових адекватно адаптованих, психічно здорових із порушеннями адаптації та хворих з неврозоподібними станами). Відомості про надійність та валідність опитувальника НПА дають підстави припускати ефективність методики в індивідуальному та масовому скринінгу станів психічної дезадаптації.

НЕСУЧНА ТВАРИННА- проективна методикадослідження особистості; запропоновано М. 3. Друкаревич.

Випробуваному пропонують придумати і намалювати неіснуючу тварину, а також дати їй ім'я, що раніше не існувало. З наявної літератури видно, що процедура обстеження не стандартизована (використовуються різних розмірів аркуші паперу для малювання, в одних випадках малюнок виконується кольоровими олівцями, в інших – одним кольором тощо). Загальноприйнятої системи оцінки малюнка немає. Теоретичні посилки, покладені основою створення методики, збігаються з такими в інших проективних методик. Як і багато інших малюнкових тестів, Н. ж. спрямований на діагностику особистісних особливостей, Іноді її творчі потенції.

Показано задовільну валідність конвергентнаметодики шляхом встановлення зв'язку між результатами, отриманими з її допомогою, та даними інших особистісних методик на матеріалі обстеження пацієнтів психіатричної клініки та осіб, які проходять профвідбір до штату МВС (П. В. Яньшин, 1988, 1990). Валідністьтакож підтверджена при диференціації хворих на неврози і здорові (Т. І. Краско, 1995). Н. ж. - одна з найбільш популярних малюнкових методик і широко використовується психологами СНД при обстеженні дітей і дорослих, хворих і здорових найчастіше як орієнтовну методику, тобто таку, дані якої дозволяють висунути деякі гіпотези про особливості особистості.

НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ- Вид розподілу змінних. Н. н. спостерігається при зміні ознаки (змінної) під впливом множини щодо незалежних факторів. Графік рівняння Н. н. є симетричною унімодальною дзвоноподібною кривою, віссю симетрії якої є вертикаль (ордината), проведена через точку. 0 (Рис. 46).

Мал. 46. Відсотковий розподіл випадків під нормальною кривою

Крива Н. н. була побудована для простого апроксимативного вирішення задачі ймовірності частот подій. Нормальна крива описується формулою де Муавра

U- Висота кривої над кожним заданим значенням x i , -середнє арифметичне x i, - Середньоквадратичне відхилення від .

Теоретично існує безлічнормальних кривих з кон-летним значеннями М і σ. При стандартизаціїтестових оцінок та в деяких інших випадках використовується Н. р. з такими характеристиками: М = 0; σ= 1; площа під нормальною кривою дорівнює одиниці. Такий розподіл носить назву стандартного (одиничного) Н. н. Для будь-якого Н. н. у межах значень х 1 . М + ? лежить близько 68%, в межах М ± 2? - 95%, М ? 3? - 99,7% площі під кривою. Частоти випадків, що укладаються в інтервали, обмежені значеннями від М ± σ до М ± σ, становлять 68,26%; 95,44%; 99,72%; 99,98% відповідно (рис. 46). Висота кривої (U)над значенням М приблизно дорівнює 0,3989. Асиметрія стандартної, як і будь-якої іншої нормальної, кривої дорівнює нулю, ексцес (Q) – трьом (див. Оцінка типу розподілу).Розподіл показників, одержуваних в емпіричних психологічних та психодіагностичних дослідженнях при великій кількості спостережень, як правило, наближається до Н. н.

На практиці важливу рольмає обчислення площі зліва від будь-якої точки на осі абсцис, обмеженою ділянкою нормальної кривої та ординатою цієї точки. Так як площа стандартного Н. н. дорівнює одиниці, то частка цієї площі відображає частоту випадків з х i ,меншими, ніж це значення на осі X.Рішення рівняння де Муавра для будь-якого значення хнезручно, тому визначення площі зліва від цього значення різних Н. р. (по осі z) Є спеціальні таблиці (див. табл. 1 Додатка III).

Найважливішою якістюН. н. є те, що для сімейства нормальних кривих характерні однакові частки площ, що лежать під ділянками, обмеженими рівними значеннямиσ. При цьому будь-яку нормальну криву можна звести до одиничної і таким чином відповісти на питання про площу між вибраними точками на кривій або висоті кривої над будь-якою з точок осі. X.Форма нормальної кривої не змінюється при відніманні середнього значення та розподілі на σ. Так, якщо потрібно з'ясувати, яка частина площі лежить ліворуч від значення х = x l

Площа зліва від zдля цього значення становитиме 0,1020 (10,2%). Отже, кількість осіб, які мають оцінку нижче за 8,3, становить 89,8%, а кількість осіб з оцінкою в інтервалі 8,3-10,4 становить 97,5-89,8 = 7,7%.

Число випадків у межах стандартного відхилення можна легко визначити без розрахунків. Так, в інтервалі оцінок, що відповідають -2 та -, знаходиться 13,6% обстежених (див. рис. 46).

Дисперсійний аналіз – статистичний метод, призначений з метою оцінки впливу різних чинників результат експерименту, і навіть для наступного планування аналогічних експериментів.

Спочатку (1918 р.) дисперсійний аналіз розробили англійським математиком – статистиком Р.А. Фішером для обробки результатів агрономічних дослідів щодо виявлення умов отримання максимального врожаю різних сортів сільськогосподарських культур.

При постановці досвіду необхідне дотримання умов:

Кожен варіант досвіду необхідно проводити на кількох одиницях спостереження (груп тварин, ділянок поля тощо)

Розподіл одиниць спостереження між варіантами досвіду має бути випадковим, а чи не навмисним.

У дисперсійному аналізі використовується F-Критерій(Критерій Р.А. Фішера), що представляє відношення двох дисперсій:

де d факт, d ост – факторна (міжгрупова) та залишкова (внутрішньогрупова) дисперсії на один ступінь свободи відповідно.

Факторна та залишкова дисперсії є оцінками дисперсії сукупності, що розраховуються за вибірковими даними з урахуванням числа ступенів свободи варіації.

Факторна (міжгрупова) дисперсія пояснює варіацію результативної ознаки під впливом фактора, що вивчається.

Залишкова (внутрішньогрупова) дисперсія пояснює варіацію результативної ознаки, обумовлену впливом інших факторів (за винятком впливу фактора, що вивчається).

У сумі факторна та залишкова дисперсії дають загальну дисперсію, що виражає вплив усіх факторних ознак на результативну.

Порядок проведення дисперсійного аналізу:

1. Досвідчені дані заносяться в розрахункову таблицю і визначаються суми та середні значення в кожній групі сукупності, що вивчається, а також загальна сума і середнє значення по всій сукупності (табл.1).

Таблиця 1

Значення результативної ознаки для i-ї одиниці

у j-й групі, x ij

Число спостережень, f j

Середні (групові та загальна), х j

x 11 , x 12 , …, х 1 n

х 21 , х 22 , …, х 2 n

х m 1 , х m 2 , …, х mn

Загальна кількість спостережень nрозраховується як сума числа спостережень f jу кожній групі:

Якщо у всіх групах кількість елементів однакова, то загальна середня знаходиться з групових середніх як проста середня арифметична:

Якщо ж кількість елементів у групах різна, то загальна середня розраховується за формулою середньої арифметичної зваженої:

2. Визначається загальна дисперсія D загяк сума квадратів відхилень індивідуальних значень результативної ознаки від загальної середньої :

3. Розраховується факторна (міжгрупова) дисперсія D фактяк сума квадратів відхилень групових середніх від загальної середньої , помножених на кількість спостережень:

4. Визначається величина залишкової (внутрішньогрупової) дисперсії D остяк різниця між загальною D загта факторної D фактдисперсіями:

5. Розраховуються кількість ступенів свободи факторної
дисперсії як різниця між числом груп mта одиницею:

6. Визначається кількість ступенів свободи для залишкової дисперсії
як різниця між кількістю індивідуальних значень ознаки nта числом груп m:

7. Розраховується величина факторної дисперсії на один ступінь свободи d фактяк відношення факторної дисперсії D фактдо ступенів свободи факторної дисперсії
:

8. Визначається величина залишкової дисперсії однією ступінь свободи d остяк відношення залишкової дисперсії D остдо ступенів свободи залишкової дисперсії
:

9. Визначається розрахункове значення F-критерію F-розрах.як відношення факторної дисперсії на один ступінь свободи d фактдо залишкової дисперсії на один ступінь свободи d ост :

10. За таблицею F-критерію Фішера з урахуванням прийнятого у дослідженні рівня значущості, а також з урахуванням ступенів свободи для факторної та залишкової дисперсій знаходять теоретичне значення F табл .

5%-му рівню значущості відповідає 95%-ний рівень ймовірності, 1%-ному - 99%-ний рівень ймовірності. Найчастіше використовують 5%-ный рівень значимості.

Теоретичне значення F таблпри заданому рівні значущості визначають за таблицями на перетині рядка та стовпця, що відповідають двом ступеням свободи дисперсій:

за рядком – залишковим;

по стовпцю - факторної.

11. Результати розрахунків оформлюються до таблиці (табл.2).

Розглянуті вище прийоми перевірки статистичних гіпотезпро суттєвість відмінностей між двома середніми на практиці мають обмежене застосування. Це пов'язано з тим, що для виявлення дії всіх можливих умов та факторів на результативну ознаку польові та лабораторні досліди, Як правило, проводять з використанням не двох, а більшого числа вибірок (1220 і більше).

Часто дослідники порівнюють середні кількох вибірок, об'єднаних у єдиний комплекс. Наприклад, вивчаючи вплив різних видівта доз добрив на врожайність сільськогосподарських культур досліди повторюють у різних варіантах. У цих випадках попарні порівняння стають громіздкими, а статистичний аналізвсього комплексу потребує особливого методу. Такий метод, розроблений у математичної статистики, отримав назву дисперсійного аналізу. Вперше його застосував англійський статистик Р. Фішер для опрацювання результатів агрономічних дослідів (1938 р.).

Дисперсійний аналіз- це метод статистичної оцінкинадійності прояву залежності результативної ознаки від одного чи кількох факторів. За допомогою методу дисперсійного аналізу проводиться перевірка статистичних гіпотез щодо середніх у кількох генеральних сукупностях, що мають нормальний розподіл.

Дисперсійний аналіз є одним із основних методів статистичної оцінки результатів експерименту. Дедалі ширше застосування отримує і у аналізі економічної інформації. Дисперсійний аналіз дає можливість встановити, наскільки вибіркові показники зв'язку результативної та факторних ознак достатні для поширення отриманих за вибіркою даних на генеральну сукупність. Перевагою цього є те, що він дає досить надійні висновки щодо вибірок невеликої чисельності.

Досліджуючи варіацію результативної ознаки під впливом одного або декількох факторів за допомогою дисперсійного аналізу можна отримати крім загальних оцінок суттєвості залежностей, також оцінку відмінностей у величині середніх, які формуються при різних рівнях факторів, і суттєвості взаємодії факторів. Дисперсійний аналіз застосовується для вивчення залежностей як кількісних, так і якісних ознак, а також при їх поєднанні.

Суть цього методу полягає в статистичному вивченніймовірності впливу одного чи кількох факторів, а також їх взаємодії на результативну ознаку. Відповідно до цього за допомогою дисперсійного аналізу вирішуються три основні завдання: 1) Загальна оцінкасуттєвість відмінностей між груповими середніми; 2) оцінка ймовірності взаємодії факторів; 3) оцінка суттєвості відмінностей між парами середніх. Найчастіше такі завдання доводиться вирішувати дослідникам при проведенні польових та зоотехнічних дослідів, коли вивчається вплив кількох факторів на результативну ознаку.

Принципова схема дисперсійного аналізу включає встановлення основних джерел варіювання результативної ознаки та визначення обсягів варіації (сум квадратів відхилень) за джерелами її утворення; визначення числа ступенів свободи, що відповідають компонентам загальної варіації; обчислення дисперсій як відношення відповідних обсягів варіації до їх ступеня свободи; аналіз співвідношення між дисперсіями; оцінка достовірності різниці між середніми та формулювання висновків.

Зазначена схема зберігається як при простих моделях дисперсійного аналізу, коли дані групуються за однією ознакою, так і при складних моделях, коли дані групуються за двома більшим числомознак. Однак із збільшенням числа групових ознак ускладнюється процес розкладання загальної варіації за джерелами її утворення.

Згідно принципової схемидисперсійний аналіз можна подати у вигляді п'яти послідовно виконуваних етапів:

1) визначення та розкладання варіації;

2) визначення числа ступенів свободи варіації;

3) обчислення дисперсій та їх співвідношень;

4) аналіз дисперсій та їх співвідношень;

5) оцінка достовірності різниці між середніми та формулювання висновків з перевірки нульової гіпотези.

Найбільш трудомісткою частиною дисперсійного аналізу є перший етап - визначення та розкладання варіації за джерелами її утворення. Порядок розкладання загального обсягу варіації докладно розглядався розділ 5.

В основі вирішення завдань дисперсійного аналізу лежить закон розкладання (додавання) варіації, згідно з яким загальна варіація (коливання) результативної ознаки ділиться на дві: варіацію, обумовлену дією досліджуваного фактора (факторів), та варіацію, спричинену дією випадкових причин, тобто

Припустимо, що досліджувана сукупність поділена за факторною ознакою на кілька груп, кожна з яких характеризується своєю середній величинірезультативної ознаки. При цьому варіацію цих величин можна пояснити двома видами причин: такими, що діють на результативну ознаку систематично і піддаються регулюванню в ході експерименту і регулюванню не піддаються. Вочевидь, що міжгрупова (факторна чи систематична) варіація залежить переважно від дії досліджуваного чинника, а внутригрупповая (залишкова чи випадкова) - від дії випадкових чинників.

Щоб оцінити достовірність відмінностей між груповими середніми, необхідно визначити міжгрупову та внутрішньогрупову варіації. Якщо міжгрупова (факторна) варіація значно перевищує внутрішньогрупову (залишкову) варіацію, то фактор впливав на результативну ознаку, суттєво змінюючи значення групових середніх величин. Але постає питання, яке співвідношення між міжгруповою та внутрішньогруповою варіаціями можна розглядати як достатнє для висновку про достовірність (суттєвість) відмінностей між груповими середніми.

Для оцінки суттєвості відмінностей між середніми та формулювання висновків з перевірки нульової гіпотези (Н0:х1 = х2 =... = хп) у дисперсійному аналізі використовується своєрідний норматив – Г-критерій, закон розподілу якого встановив Р.фішер. Цей критерій є відношенням двох дисперсій: факторного, що породжується дією фактора, що вивчається, і залишкової, обумовленої дією випадкових причин:

Дисперсійне відношення Г= £>і : £*2 американським статистиком Снедекором запропоновано позначати літерою Г на честь винахідника дисперсійного аналізу Р.Фішера.

Дисперсії °2 іо2 є оцінками дисперсії генеральної сукупності. Якщо вибірки з дисперсіями °2 °2 зроблено з однієї і тієї ж генеральної сукупності, де варіація величин мала випадковий характер, то розбіжність у величинах 2 2 також випадкова.

Якщо в експерименті перевіряють вплив кількох факторів (А, В, С і т.д.) на результативну ознаку одночасно, то дисперсія, обумовлена дією кожного з них, має бути порівнянна з °е.гР, тобто

Якщо значення факторної дисперсії значно більше залишкової, то фактор суттєво впливав на результативну ознаку і навпаки.

У багатофакторних експериментах, крім варіації, обумовленої дією кожного фактора, практично завжди є варіація, обумовлена взаємодією факторів ($ав: ^лс ^вс $лііс). Суть взаємодії полягає в тому, що ефект одного фактора суттєво змінюється на різних рівняхдругого (наприклад, ефективність якості ґрунту при різних дозах добрив).

Взаємодія факторів також має бути оцінена шляхом порівняння відповідних дисперсій 3 ^в.гр:

При обчисленні фактичного значення Б-критерію в чисельнику береться велика дисперсій, тому Б > 1. Вочевидь, що більше критерій Б, тим більше значніші відмінностіміж дисперсіями. Якщо Б = 1, то питання оцінки суттєвості відмінностей дисперсій знімається.

Для визначення меж випадкових коливань ставлення дисперсій Р. Фішер розробив спеціальні таблиці Б-розподілу (додатки 4 та 5). Критерій Б функціонально пов'язаний з ймовірністю і залежить від числа ступенів свободи варіації к1і к2 двох дисперсій, що порівнюються. Зазвичай використовуються дві таблиці, що дозволяють робити висновки високе значеннякритерію рівнів значимості 0,05 і 0,01. Рівень значущості 0,05 (або 5%) означає, що тільки в 5 випадках зі 100 критерій Б може приймати значення, що дорівнює вказаному в таблиці або вище його. Зниження рівня значимості з 0,05 до 0,01 призводить до збільшення значення критерію Б між двома дисперсіями через дію лише випадкових причин.

Значення критерію також залежить безпосередньо від числа ступенів свободи двох дисперсій, що порівнюються. Якщо число ступенів свободи прагне нескінченності (к-ме), то відношення Б для двох дисперсій прагне одиниці.

Табличне значення критерію Б показує можливу випадкову величинувідносини двох дисперсій при заданому рівні значущості та відповідному числі ступенів свободи для кожної з дисперсій, що порівнюються. У зазначених таблицях наводиться величина Б для вибірок, зроблених із однієї й тієї генеральної сукупності, де причини зміни величин лише випадкові.

Значення Р знаходять за таблицями (додатки 4 і 5) на перетині відповідного стовпця (кількість ступенів свободи для більшої дисперсії - к1) і рядки (кількість ступенів свободи для меншої дисперсії - к2). Так, якщо більшої дисперсії (числитель Г) к1 = 4, а меншої (знаменник Г) к2 = 9, то при рівні значимості а = 0,05 становитиме 3,63 (дод. 4). Отже, в результаті дії випадкових причин, оскільки нечисленні вибірки, дисперсія однієї вибірки може при 5% рівні значимості перевищувати дисперсію для другої вибірки в 3,63 рази. При зниженні рівня значущості з 0,05 до 0,01 табличне значення критерію Г, як зазначалося вище, збільшуватиметься. Так, за тих же ступені свободи к1 = 4 і к2 = 9 і а = 0,01 табличне значення критерію Г складе 6,99 (додаток 5).

Розглянемо порядок визначення числа ступенів свободи у дисперсійному аналізі. Число ступенів свободи, що відповідає загальній сумі квадратів відхилень, розкладається на відповідні компоненти аналогічно до розкладання сум квадратів відхилень (^заг = №^гр + ]¥вхр) , тобто загальне числоступенів свободи (к") розкладається на число ступенів свободи для міжгрупової (к1) та внутрішньогрупової (к2) варіацій.

Так, якщо вибіркова сукупність, складається з Nспостережень, поділена на т груп (число варіантів досвіду) та п підгруп (кількість повторностей), то число ступенів свободи відповідно складе:

а для загальної сумиквадратів відхилень (й7заг)

б) для міжгрупової суми квадратів відхилень ^м.гР)

в) для внутрішньогрупової суми квадратів відхилень вв.гР)

Відповідно до правила складання варіації:

Наприклад, якщо у досвіді було сформовано чотири варіанти досвіду (т = 4) у п'яти повторностях кожен (п = 5), та Загальна кількістьспостережень N = = т o п = 4 * 5 = 20, то число ступенів свободи відповідно дорівнює:

Знаючи суми квадратів відхилень число ступенів свободи, можна визначити незміщені (скориговані) оцінки для трьох дисперсій:

Нульову гіпотезу Н0 за критерієм Б перевіряють так само, як і за і-критерієм Стьюдента. Щоб прийняти рішення щодо перевірки Н0, необхідно розрахувати фактичне значення критерію та порівняти його з табличним значеннямБа для прийнятого рівня значимості а та числа ступенів свободи к1та к2 для двох дисперсій.

Якщо Бфакг > Ба, то відповідно до прийнятого рівня значущості можна зробити висновок, що відмінності вибіркових дисперсійвизначаються як випадковими чинниками; вони суттєві. Нульову гіпотезу у разі відхиляють і є підстави стверджувати, що чинник істотно впливає результативний ознака. Якщо ж< Ба, то нулевую гипотезу принимают и есть основание утверждать, что различия между сравниваемыми дисперсиями находятся в границах возможных случайных колебаний: действие фактора на результативный признак не является существенным.

Застосування тієї чи іншої моделі дисперсійного аналізу залежить як від кількості факторів, що вивчаються, так і від способу формування вибірок.

в залежності від кількості факторів, що визначають варіацію результативної ознаки, вибірки можуть бути сформовані за одним, двома та великим числом факторів. Відповідно до цього дисперсійний аналіз ділиться на однофакторний та багатофакторний. Інакше його ще називають однофакторним та багатофакторним дисперсійним комплексом.

Схема розкладання загальної варіації залежить від формування груп. Воно може бути випадковим (спостереження однієї групи не пов'язані зі спостереженнями другої групи) та невипадковим (спостереження двох вибірок пов'язані між собою спільністю умов експерименту). Відповідно отримують незалежні та залежні вибірки. Незалежні вибірки можуть бути сформовані як із рівною, так і з нерівною чисельністю. Формування залежних вибірок передбачає їхню рівну чисельність.

Якщо групи сформовані у невипадковому порядку, то загальний обсяг варіації результативної ознаки включає поряд з факторною (міжгруповою) і залишковою варіацією варіацію повторностей, тобто

Насправді в більшості випадків доводиться розглядати залежні вибірки, коли умови для груп і підгруп вирівнюються. Так, у польовому досвідівсю ділянку розбивають на блоки, з максимально вирівняннями умовами. При цьому кожен варіант досвіду отримує рівні можливості бути представленим у всіх блоках, чим досягається вирівнювання умов для всіх варіантів, що перевіряються, досвіду. Такий метод побудови досвіду отримав назву методу рендомізованих блоків. Аналогічно проводяться і досліди з тваринами.

При обробці методом дисперсійного аналізу соціально-економічних даних необхідно мати на увазі, що в силу багаточисельності факторів та їх взаємозв'язку важко навіть за найретельнішого вирівнювання умов встановити ступінь об'єктивного впливу кожного окремого фактора на результативну ознаку. Тому рівень залишкової варіації визначається як випадковими причинами, а й істотними чинниками, які були враховані при побудові моделі дисперсійного аналізу. Внаслідок цього залишкова, дисперсія як основа порівняння іноді стає неадекватним своєму призначенню, вона явно завищується за величиною і може виступати як критерій суттєвості впливу чинників. У зв'язку з цим при побудові моделей дисперсійного аналізу стає актуальною проблемоювідбору найважливіших факторівта вирівнювання умов для прояву дії кожного з них. Крім того. застосування дисперсійного аналізу передбачає нормальний чи близький до нормальному розподілудосліджуваних статистичних сукупностей. Якщо ця умова не витримується, то оцінки, отримані у дисперсійному аналізі, виявляться перебільшеними.

Дисперсійний аналіз – аналіз мінливості результативної ознаки під впливом будь-яких контрольованих змінних факторів. (У зарубіжній літературі називається ANOVA - "Analisis of Variance").

Результативну ознаку називають також залежною ознакою, а фактори, що впливають, – незалежними ознаками.

Обмеження методу: незалежні ознаки можуть вимірюватися за номінальною, порядковою або метричною шкалою, залежні лише за метричною. Для дисперсійного аналізу виділяють кілька градацій факторних ознак, проте елементи вибірки групують відповідно до цими градаціями.

Формулювання гіпотез у дисперсійному аналізі.

Нульова гіпотеза: «Середні величини результативної ознаки в усіх умовах впливу фактора (або градаціях фактора) однакові».

Альтернативна гіпотеза: «Середні величини результативної ознаки в різних умовахдії чинника різні».

Дисперсійний аналіз можна поділити на кілька категорій залежно від:

від кількості незалежних факторів, що розглядаються;

від кількості результативних змінних, схильних до дії факторів;

від характеру, природи отримання та наявності взаємозв'язку порівнюваних вибірок значень.

За наявності одного фактора, вплив якого досліджується, дисперсійний аналіз називається однофакторним, і розпадається на два різновиди:

- Аналіз непов'язаних (тобто – різних) вибірок . Наприклад, одна група респондентів вирішує завдання за умов тиші, друга – у галасливій кімнаті. (У цьому випадку, до речі, нульова гіпотезазвучала б так: «середній час вирішення завдань такого типу буде однаково в тиші і в шумному приміщенні», тобто не залежить від фактора шуму.

- Аналіз пов'язаних вибірок тобто двох вимірів, проведених на одній і тій же групі респондентів у різних умовах. Той самий приклад: вперше завдання вирішувалося у тиші, другий – подібне завдання – за умов шумових перешкод. (На практиці до подібних дослідів слід підходити з обережністю, оскільки в дію може набути неврахований фактор «навченість», вплив якого дослідник ризикує приписати зміні умов, а саме шуму.)

Якщо досліджується одночасний вплив двох або більше факторів, ми маємо справу з багатофакторним дисперсійним аналізом, який також можна поділити за типом вибірки.

Якщо ж вплив факторів схильна до кількох змінних, - мова йдепро багатовимірному аналізі . Проведення багатовимірного дисперсійного аналізу краще одномірного тільки в тому випадку, коли залежні змінні не є незалежними один від одного і корелюють між собою.

Узагальнено завдання дисперсійного аналізу полягає в тому, щоб із загальної варіативності ознаки виділити три окремі варіативності:

варіативність, обумовлену дією кожної із досліджуваних незалежних змінних (чинників).

варіативність, обумовлену взаємодією досліджуваних незалежних змінних.

варіативність випадкову, обумовлену всіма неврахованими обставинами.

Для оцінки варіативності, обумовленої дією досліджуваних змінних та їх взаємодією обчислюється відношення відповідного показника варіативності та випадкової варіативності. Показником цього співвідношення є F – критерій Фішера.

Чим в більшою міроюваріативність ознаки обумовлена дією факторів, що впливають, або їх взаємодією, тим вище емпіричні значення критерію .

У формулу розрахунку критерію входять оцінки дисперсій і, отже, цей метод відноситься до розряду параметричних.

Непараметричним аналогом однофакторного дисперсійного аналізу для незалежних вибірок є критерій Краскела-Уоллеса. Він подібний до критерію Манна-Уітні для двох незалежних вибірок, за винятком, що він підсумовує ранги для кожної з груп.

Крім цього, у дисперсійному аналізі може бути застосований медіанний критерій. При його використанні для кожної групи визначаються кількість спостережень, які перевищують медіану, обчислену по всіх групах, і кількість спостережень, які менші за медіану, після чого будується двовимірна таблиця сполученості.

Критерій Фрідмана є непараметричним узагальненням парного t-критерію для випадку вибірок з повторними вимірами, коли кількість змінних змінних більше двох.

На відміну від кореляційного аналізу, в дисперсійному аналізі дослідник виходить із припущення, що одні змінні виступають як впливають (звані факторами або незалежними змінними), а інші (результативні ознаки або залежні змінні) - схильні до впливу цих факторів. Хоча таке припущення лежить в основі математичних процедур розрахунку, воно, однак, вимагає обережності при висновках про причину та слідство.

Наприклад, якщо ми висуваємо гіпотезу про залежність успішності роботи посадової особи від фактора Н (соціальної сміливості за Кеттелом), то не виключено протилежне: соціальна сміливість респондента таки може виникнути (посилитися) внаслідок успішності його роботи – це з одного боку. З іншого: слід усвідомити, як саме вимірювалася «успішність»? Якщо за її основу взято були не об'єктивні характеристики (модні нині «обсяги продажів» та ін.), а експертні оцінкитоваришів по службі, то є ймовірність того, що «успішність» може бути підмінена поведінковими або особистісними характеристиками (вольовими, комунікативними, зовнішніми проявами агресивності etc.).

Дисперсійний аналіз– метод статистичного дослідження, з допомогою якого вивчається вплив окремих чинників результативний показник. Він дозволяє серед безлічі факторів виділити один і оцінити його вплив на варіацію результативної ознаки та вплив усіх інших факторів у сукупності на варіацію результативної ознаки.

Метою дисперсійного аналізу є перевірка значущості різницю між середніми з допомогою порівняння дисперсій. Дисперсію вимірюваної ознаки розкладають на незалежні доданки, кожне з яких характеризує вплив того чи іншого чинника чи їхньої взаємодії. Подальше порівняння таких доданків дозволяє оцінити значущість кожного фактора, що вивчається, а також їх комбінації.

Етапи проведення дисперсійного аналізу:

1. Визначається безліч факторів, які потенційно впливають на Y.

2. Зі всіх факторів виділяється один основний.

3. Проводиться угруповання всієї сукупності даних за обраною ознакою (число, інтервал).

4. Розраховується загальна дисперсія Y(по всій сукупності): .

5. Розраховується міжгрупова дисперсія - характеризує варіацію Y під впливом фактора, покладеного в основу угруповання:
,

де: n j- Обсяг групи; - Середнє значення ознаки всередині групи.

6. Варіація Y під впливом інших факторів оцінюється за допомогою середньої із внутрішньогрупових дисперсій:
.

7. Перевірка: сума міжгрупової дисперсії та середньої із внутрішньогрупових дисперсій повинна дорівнювати загальної дисперсії(Теорема складання дисперсії):
.

8. Правильність вибору чинника оцінюється з допомогою відносних показників варіації:

- Коефіцієнт детермінації:
- характеризує частку варіації Y, обумовлену впливом фактора (наприклад, 70% - тобто 70% варіації Y пояснюється впливом фактора);

- Емпіричне кореляційне відношення:
– характеризує тісноту зв'язку (за шкалою Чеддока).

Як правило, дисперсійний аналіз проводиться ітеративним способом, коли відбувається послідовний аналіз впливу факторів на Y, допоки не будуть визначені найважливіші фактори.

30. Використання індексного методу в аналізі економічної інформації

Індекс– відносний показник, що характеризує зміну величини будь-якого явища в часі, у просторі або в порівнянні з будь-яким етапом.

Індексний метод– метод статистичного дослідження, з допомогою якого характеризується розвиток явища у часі, у просторі, проти еталоном, і навіть вивчається роль чинників у зміні складних явищ.

Статистичний індекс- Це відносна величина порівняння складних сукупностей та окремих їх одиниць шляхом зіставлення абсолютних величин.

Основою індексного методу щодо змін у виробництві та обігу товарів є перехід від натурально-речовинної форми вираження товарних мас до вартісним (грошовим) вимірникам. Саме за допомогою грошового вираження вартості окремих товарів усувається їхня незрівнянність як споживчих цін та досягається єдність.

При обчисленні індексів виділяють:

- Порівнюваний рівень (рівень поточного періоду, даного підприємства);

- Основа порівняння (рівень базисного періоду, плановий рівень, рівень по к.-л. об'єкту).

Види індексів:

1. За рівнем охоплення: індивідуальні, загальні.

2. За основою порівняння: динамічні (зміна у часі), територіальні.

3. Динамічні: базисні ( i 1 = q 1 / q 0 ;i 2 = q 2 / q 0 ) та ланцюгові ( i 1 = q 1 / q 0 ;i 2 = q 2 / q 1 ).

4. За характером обсягу дослідження: кількісні, якісні.

5. За охопленням явища: постійного, змінного складу.

6. За періодом обчислення: річні, квартальні.

Індивідуальні– характеризують зміну окремих одиниць статистичної сукупності чи властивості одиниці сукупності. Чисельник – те, що вивчається. Знаменник – основа, із чим порівнюється.

,
,
,

Загальні- характеризують зведені результати зміни всіх одиниць у сукупності:

Для характеристики зміни: I Q = Q 1 / Q 0 .

Агрегатні– у чисельнику та знаменнику містяться з'єднані набори елементів досліджуваних сукупностей. Сумісність різнорідних одиниць досягається введенням в індекс спеціальних співмножників - співвимірників. При цьому значення співвимірника і в чисельнику, і знаменнику фіксується на одному рівні (базовому або поточному):

(Пааше),
(Ласпейрес), I pq = I р  I q. Тоді:
,
.