Phân số

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Phân số không gây nhiều phiền toái ở trường trung học. Hiện tại. Cho đến khi bạn gặp phải bằng cấp với chỉ số hợp lý vâng, logarit. Với chỗ ấy... Bạn nhấn và nhấn máy tính, nó sẽ hiển thị đầy đủ một số con số. Bạn phải suy nghĩ bằng đầu như hồi lớp ba.

Cuối cùng chúng ta hãy tìm ra phân số! Chà, bạn có thể nhầm lẫn chúng đến mức nào!? Hơn nữa, tất cả đều đơn giản và hợp lý. Vì thế, các loại phân số là gì?

Các loại phân số. Sự biến đổi.

Có những phân số ba loại.

1. Phân số chung , Ví dụ:

Đôi khi, thay vì một đường ngang, họ đặt một dấu gạch chéo: 1/2, 3/4, 19/5, v.v. Ở đây chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng cách viết này. Số trên cùng được gọi là tử số, thấp hơn - mẫu số. Nếu bạn liên tục nhầm lẫn những cái tên này (điều đó xảy ra...), hãy tự nói với mình cụm từ: " zzzzzz nhớ! zzzzzz mẫu số - nhìn zzzzzz uh!" Nhìn này, mọi thứ sẽ được ghi nhớ zzzz.)

Dấu gạch ngang hoặc nghiêng có nghĩa là phân công số trên cùng (tử số) đến số dưới cùng (mẫu số). Đó là tất cả! Thay vì dấu gạch ngang, hoàn toàn có thể đặt dấu chia - hai dấu chấm.

Khi có thể phân chia hoàn toàn thì việc này phải được thực hiện. Vì vậy, thay vì phân số “32/8”, việc viết số “4” sẽ dễ chịu hơn nhiều. Những thứ kia. 32 đơn giản là chia cho 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Tôi thậm chí không nói về phân số "4/1". Đó cũng chỉ là "4". Và nếu nó không chia hết hoàn toàn, chúng ta để nó dưới dạng phân số. Đôi khi bạn phải thực hiện thao tác ngược lại. Chuyển đổi một số nguyên thành một phân số. Nhưng nhiều hơn về điều này sau.

2. Số thập phân , Ví dụ:

Ở dạng này, bạn sẽ cần viết ra câu trả lời cho nhiệm vụ “B”.

3. Hỗn số , Ví dụ:

Hỗn số thực tế không được sử dụng ở trường trung học. Để làm việc với chúng, chúng phải được chuyển đổi thành phân số thông thường. Nhưng bạn chắc chắn cần phải có khả năng làm được điều này! Nếu không, bạn sẽ gặp một con số như vậy trong một bài toán và đóng băng... Đột nhiên. Nhưng chúng tôi sẽ nhớ thủ tục này! Một chut sang.

Linh hoạt nhất phân số chung. Hãy bắt đầu với họ. Nhân tiện, nếu một phân số chứa tất cả các loại logarit, sin và các chữ cái khác, thì điều này không thay đổi gì cả. Theo nghĩa là mọi thứ các hành động có biểu thức phân số không khác gì các hành động có phân số thông thường Và!

Tính chất cơ bản của phân số.

Vì vậy, chúng ta hãy đi! Để bắt đầu, tôi sẽ làm bạn ngạc nhiên. Toàn bộ các phép biến đổi phân số được cung cấp bởi một thuộc tính duy nhất! Đó là những gì nó được gọi tính chất cơ bản của phân số. Nhớ: Nếu nhân (chia) cả tử số và mẫu số cho cùng một số thì phân số đó không thay đổi. Những thứ kia:

Rõ ràng là bạn có thể tiếp tục viết cho đến khi xanh mặt. Đừng để sin và logarit làm bạn bối rối, chúng ta sẽ giải quyết chúng sâu hơn. Điều quan trọng là phải hiểu rằng tất cả những cách diễn đạt khác nhau này đều cùng một phân số . 2/3.

Chúng ta có cần nó không, tất cả những sự biến đổi này? Và làm thế nào! Bây giờ bạn sẽ thấy cho chính mình. Để bắt đầu, chúng ta hãy sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số cho giảm phân số. Nó có vẻ giống như một điều cơ bản. Chia tử số và mẫu số cho cùng một số và thế là xong! Không thể nào phạm sai lầm được! Nhưng... con người là một sinh vật sáng tạo. Bạn có thể phạm sai lầm ở bất cứ đâu! Đặc biệt nếu bạn phải giảm không phải một phân số như 5/10 mà là một biểu thức phân số với đủ loại chữ cái.

Bạn có thể đọc cách rút gọn phân số một cách chính xác và nhanh chóng mà không cần thực hiện thêm công việc nào trong Phần 555 đặc biệt.

Một học sinh bình thường không cần chia tử số và mẫu số cho cùng một số (hoặc biểu thức)! Anh ấy chỉ đơn giản gạch bỏ mọi thứ giống nhau ở trên và dưới! Đây là nơi nó ẩn náu sai lầm điển hình, một lỗi hỏng, nếu bạn muốn.

Ví dụ: bạn cần đơn giản hóa biểu thức:

Chẳng có gì phải suy nghĩ ở đây cả, hãy gạch bỏ chữ “a” ở trên và chữ “2” ở dưới! Chúng tôi nhận được:

Mọi thứ đều chính xác. Nhưng thực sự bạn đã chia rẽ tất cả tử số và tất cả mẫu số là "a". Nếu bạn đã quen với việc gạch bỏ, thì bạn có thể nhanh chóng gạch bỏ chữ “a” trong biểu thức

và lấy lại nó

Điều đó chắc chắn là không đúng sự thật. Bởi vì ở đây tất cả tử số của "a" đã có rồi không được chia sẻ! Phân số này không thể giảm được. Nhân tiện, việc giảm bớt như vậy là, ừm... một thách thức nghiêm trọng đối với giáo viên. Điều này không được tha thứ! Bạn có nhớ? Khi giảm cần chia tất cả tử số và tất cả mẫu số!

Giảm phân số làm cho cuộc sống dễ dàng hơn rất nhiều. Bạn sẽ nhận được một phân số ở đâu đó, chẳng hạn như 375/1000. Làm sao tôi có thể tiếp tục làm việc với cô ấy bây giờ? Không có máy tính? Nhân, nói, cộng, bình phương!? Và nếu bạn không quá lười biếng, hãy cẩn thận cắt giảm nó xuống năm, rồi thêm năm nữa, và thậm chí... trong khi nó đang được rút ngắn lại, nói tóm lại. Hãy đạt được 3/8! Đẹp hơn nhiều, phải không?

Thuộc tính chính của phân số cho phép bạn chuyển phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại không có máy tính! Điều này rất quan trọng cho Kỳ thi Thống nhất, phải không?

Cách chuyển đổi phân số từ loại này sang loại khác.

Với phân số thập phân, mọi thứ đều đơn giản. Nghe thế nào thì viết thế ấy! Giả sử là 0,25. Đây là điểm 0 hai mươi lăm phần trăm. Vì vậy chúng tôi viết: 25/100. Chúng ta giảm (chia tử số và mẫu số cho 25), chúng ta nhận được phân số thông thường: 1/4. Tất cả. Nó xảy ra và không có gì giảm bớt. Giống như 0,3. Đây là ba phần mười, tức là 3/10.

Nếu số nguyên không bằng 0 thì sao? Được rồi. Chúng tôi viết ra toàn bộ phân số không có dấu phẩyở tử số và ở mẫu số - những gì được nghe. Ví dụ: 3.17. Đây là ba điểm mười bảy phần trăm. Chúng ta viết 317 ở tử số và 100 ở mẫu số. Chúng ta nhận được 317/100. Không có gì giảm bớt, tức là có tất cả. Đây là câu trả lời. Watson sơ cấp! Từ tất cả những gì đã nói, một kết luận hữu ích: bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể được chuyển đổi thành phân số chung .

Và đây chuyển đổi nghịch đảo, từ thông thường đến thập phân, một số người không thể làm được điều đó nếu không có máy tính. Và nó là cần thiết! Bạn sẽ viết câu trả lời trong Kỳ thi Thống nhất như thế nào!? Hãy đọc kỹ và nắm vững quy trình này.

Đặc điểm của phân số thập phân là gì? Mẫu số của cô ấy là Luôn luôn có giá 10, hoặc 100, hoặc 1000, hoặc 10000, v.v. Nếu phân số chung của bạn có mẫu số như thế này thì không có vấn đề gì. Ví dụ: 4/10 = 0,4. Hoặc 7/100 = 0,07. Hoặc 10/12 = 1,2. Điều gì sẽ xảy ra nếu đáp án ở phần “B” là 1/2? Chúng ta sẽ viết gì để đáp lại? Cần có số thập phân...

Xin hãy nhớ tính chất cơ bản của phân số ! Toán học thuận lợi cho phép bạn nhân tử số và mẫu số với cùng một số. Nhân tiện, bất cứ điều gì! Tất nhiên là ngoại trừ số không. Vì vậy, hãy sử dụng thuộc tính này để làm lợi thế cho chúng ta! Mẫu số có thể được nhân với bao nhiêu, tức là 2 để nó trở thành 10, hay 100, hay 1000 (tất nhiên nhỏ hơn là tốt hơn...)? Rõ ràng là vào lúc 5 giờ. Hãy nhân mẫu số (đây là chúng ta cần thiết) với 5. Nhưng tử số cũng phải nhân với 5. Đây là toán học yêu cầu! Chúng ta nhận được 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Đó là tất cả.

Tuy nhiên, tất cả các loại mẫu số đều đi qua. Ví dụ, bạn có thể gặp phân số 3/16. Hãy thử tìm cách nhân 16 với 100 hoặc 1000... Không đúng sao? Sau đó, bạn có thể chia 3 cho 16 một cách đơn giản. Trong trường hợp không có máy tính, bạn sẽ phải chia bằng một góc, trên một tờ giấy, như trong lớp học cơ sở dạy. Chúng tôi nhận được 0,1875.

Và cũng có những mẫu số rất xấu. Ví dụ, không có cách nào biến phân số 1/3 thành số thập phân chính xác. Cả trên máy tính và trên một tờ giấy, chúng ta nhận được 0,3333333... Điều này có nghĩa là 1/3 là một phân số thập phân chính xác không dịch. Tương tự như 1/7, 5/6, v.v. Có rất nhiều trong số đó, không thể dịch được. Điều này đưa chúng ta đến một kết luận hữu ích khác. Không phải mọi phân số đều có thể chuyển thành số thập phân !

Nhân tiện, cái này thông tin hữu íchđể tự kiểm tra. Ở phần "B", bạn phải viết một phân số thập phân vào câu trả lời của mình. Và bạn có, ví dụ, 4/3. Phân số này không chuyển đổi thành số thập phân. Điều này có nghĩa là bạn đã mắc sai lầm ở đâu đó trên đường đi! Quay lại và kiểm tra giải pháp.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra phân số thông thường và thập phân. Tất cả những gì còn lại là giải quyết các số hỗn hợp. Để làm việc với chúng, chúng phải được chuyển đổi thành phân số thông thường. Làm thế nào để làm nó? Bạn có thể bắt gặp một học sinh lớp sáu và hỏi nó. Nhưng không phải lúc nào cũng có học sinh lớp sáu... Bạn sẽ phải tự mình làm việc đó. Nó không khó. Bạn cần nhân mẫu số của phần phân số với phần nguyên và cộng tử số của phần phân số. Đây sẽ là tử số phân số chung. Còn mẫu số thì sao? Mẫu số sẽ giữ nguyên. Nghe có vẻ phức tạp nhưng thực tế mọi thứ đều đơn giản. Hãy xem một ví dụ.

Giả sử bạn nhìn thấy con số trong bài toán kinh dị:

Chúng tôi nghĩ một cách bình tĩnh, không hoảng sợ. Toàn bộ phần là 1. Đơn vị. Phần phân số là 3/7. Do đó, mẫu số của phần phân số là 7. Mẫu số này sẽ là mẫu số của phân số thường. Chúng tôi đếm tử số. 7 nhân với 1 ( Toàn bộ phần) và cộng 3 (tử số của phần phân số). Chúng ta nhận được 10. Đây sẽ là tử số của phân số chung. Đó là tất cả. Nó trông thậm chí còn đơn giản hơn trong ký hiệu toán học:

Nó có rõ ràng không? Sau đó đảm bảo thành công của bạn! Chuyển đổi sang phân số thông thường. Bạn sẽ nhận được 10/7, 7/2, 23/10 và 21/4.

Phép toán ngược lại - chuyển một phân số không chính xác thành hỗn số - hiếm khi được yêu cầu ở trường trung học. Chà, nếu vậy... Và nếu bạn không học trung học, bạn có thể xem xét Mục 555 đặc biệt. Nhân tiện, bạn cũng sẽ tìm hiểu về phân số không đúng ở đó.

Vâng, đó thực tế là tất cả. Bạn đã nhớ và hiểu được các loại phân số Làm sao chuyển chúng từ loại này sang loại khác. Câu hỏi vẫn còn: Để làm gì làm đi? Áp dụng kiến ​​thức sâu sắc này ở đâu và khi nào?

Tôi trả lời. Bản thân bất kỳ ví dụ nào cũng gợi ý những hành động cần thiết. Nếu trong ví dụ này, các phân số thông thường, số thập phân và thậm chí cả số hỗn hợp được trộn lẫn với nhau, chúng ta sẽ chuyển đổi mọi thứ thành phân số thông thường. Nó luôn có thể được thực hiện. Chà, nếu nó nói gì đó như 0,8 + 0,3, thì chúng ta đếm nó theo cách đó mà không cần dịch. Tại sao chúng ta cần làm thêm? Chúng tôi chọn giải pháp thuận tiện chúng ta !

Nếu nhiệm vụ toàn là phân số thập phân, nhưng ừm... một loại ác quỷ nào đó, hãy chuyển sang phân số thông thường, hãy thử xem! Hãy nhìn xem, mọi thứ sẽ ổn thôi. Ví dụ: bạn sẽ phải bình phương số 0,125. Sẽ không dễ dàng như vậy nếu bạn chưa quen sử dụng máy tính! Bạn không chỉ phải nhân các số trong một cột mà còn phải suy nghĩ xem nên chèn dấu phẩy vào đâu! Nó chắc chắn sẽ không hoạt động trong đầu bạn! Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chuyển sang phân số thông thường?

0,125 = 125/1000. Chúng tôi giảm nó đi 5 (cái này dành cho người mới bắt đầu). Chúng tôi nhận được 25/200. Một lần nữa bằng 5. Chúng ta có 5/40. Ồ, nó vẫn đang co lại! Trở lại 5! Chúng tôi nhận được 1/8. Chúng ta dễ dàng bình phương nó (trong tâm trí!) và nhận được 1/64. Tất cả!

Hãy tóm tắt bài học này.

1. Có ba loại phân số. Số phổ biến, số thập phân và hỗn số.

2. Số thập phân và hỗn số Luôn luôn có thể chuyển thành phân số thông thường. Chuyển ngược lại không phải lúc nào cũng vậy có sẵn.

3. Việc lựa chọn loại phân số để giải quyết một nhiệm vụ phụ thuộc vào chính nhiệm vụ đó. Nếu có nhiều loại phân số khác nhau trong một nhiệm vụ, điều đáng tin cậy nhất là chuyển sang phân số thông thường.

Bây giờ bạn có thể thực hành. Đầu tiên, chuyển đổi các phân số thập phân này thành phân số thông thường:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bạn sẽ nhận được câu trả lời như thế này (một cách lộn xộn!):

Hãy kết thúc chuyện này. Trong bài học này, chúng ta ôn lại trí nhớ những điểm chính về phân số. Tuy nhiên, điều đó xảy ra là không có gì đặc biệt để làm mới...) Nếu ai đó đã quên hoàn toàn hoặc chưa thành thạo... Khi đó bạn có thể chuyển đến Mục 555 đặc biệt. Tất cả những điều cơ bản được đề cập chi tiết ở đó. Nhiều người đột nhiên hiểu mọi thứđang bắt đầu. Và họ giải quyết các phân số một cách nhanh chóng).

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Các hành động với phân số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ, mọi thứ một cách chi tiết kèm theo lời giải thích. Chúng ta sẽ xem xét các phân số thông thường. Chúng ta sẽ xem xét số thập phân sau. Tôi khuyên bạn nên xem toàn bộ và nghiên cứu nó một cách tuần tự.

1. Tổng các phân số, hiệu của các phân số.

Quy tắc: Khi cộng các phân số có cùng mẫu số thì kết quả là một phân số có mẫu số giữ nguyên, tử số là bằng tổng tử số của phân số.

Quy tắc: khi tính hiệu của các phân số với cùng mẫu số chúng ta nhận được một phân số - mẫu số giữ nguyên và tử số của phân số thứ hai được trừ khỏi tử số của phân số thứ nhất.

Ký hiệu chính thức cho tổng và hiệu của các phân số có mẫu số bằng nhau:

Ví dụ (1):

Rõ ràng là khi đưa ra các phân số thông thường thì mọi thứ đều đơn giản, nhưng nếu chúng trộn lẫn với nhau thì sao? Không có gì phức tạp...

lựa chọn 1– bạn có thể chuyển đổi chúng thành những cái thông thường và sau đó tính toán chúng.

Lựa chọn 2– bạn có thể “làm việc” riêng với phần nguyên và phần phân số.

Ví dụ (2):

Hơn:

Điều gì sẽ xảy ra nếu hiệu của hai phân số hỗn hợp và tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai? Bạn cũng có thể hành động theo hai cách.

Ví dụ (3):

*Chuyển sang phân số thông thường, tính chênh lệch, chuyển đổi kết quả phân số không chính xác vào hỗn hợp.

*Chúng tôi chia nó thành các phần nguyên và phần phân số, nhận được 3, sau đó trình bày 3 dưới dạng tổng của 2 và 1, với một được biểu thị là 11/11, sau đó tìm sự khác biệt giữa 11/11 và 7/11 và tính kết quả . Ý nghĩa của các phép biến đổi trên là lấy (chọn) một đơn vị và biểu diễn nó dưới dạng một phân số với mẫu số mà chúng ta cần, sau đó chúng ta có thể trừ một phân số khác từ phân số này.

Một vi dụ khac:

Kết luận: có một cách tiếp cận phổ quát - để tính tổng (chênh lệch) của các phân số hỗn hợp có mẫu số bằng nhau, chúng luôn có thể được chuyển đổi thành các phân số không chính xác, sau đó thực hiện hành động cần thiết. Sau đó, nếu kết quả là một phân số không chính xác, chúng ta chuyển nó thành một phân số hỗn hợp.

Ở trên chúng ta đã xem xét các ví dụ về phân số có mẫu số bằng nhau. Nếu mẫu số khác nhau thì sao? Trong trường hợp này, các phân số được giảm về cùng mẫu số và hành động đã chỉ định được thực hiện. Để thay đổi (biến đổi) một phân số, tính chất cơ bản của phân số được sử dụng.

Hãy xem xét các ví dụ đơn giản:

Trong những ví dụ này, chúng ta thấy ngay cách biến đổi một trong các phân số để có mẫu số bằng nhau.

Nếu chúng ta chỉ định các cách giảm phân số về cùng mẫu số thì chúng ta sẽ gọi đây là cách PHƯƠNG PHÁP MỘT.

Nghĩa là, ngay khi “đánh giá” một phân số, bạn cần tìm hiểu xem cách tiếp cận này có hiệu quả hay không - chúng tôi kiểm tra xem mẫu số lớn hơn có chia hết cho mẫu số nhỏ hơn hay không. Và nếu nó chia hết thì chúng ta thực hiện một phép biến đổi - chúng ta nhân tử số và mẫu số sao cho mẫu số của cả hai phân số đều bằng nhau.

Bây giờ hãy xem những ví dụ sau:

Cách tiếp cận này không thể áp dụng cho họ. Có nhiều cách khác để giảm phân số thành mẫu số chung, chúng ta hãy xem xét chúng.

Phương pháp HAI.

Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất:

*Trên thực tế, chúng ta rút gọn phân số về dạng khi mẫu số bằng nhau. Tiếp theo, chúng ta áp dụng quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số.

Ví dụ:

*Phương pháp này có thể được gọi là phổ quát và nó luôn hoạt động. Nhược điểm duy nhất là sau khi tính toán, bạn có thể thu được một phân số cần phải giảm thêm.

Hãy xem một ví dụ:

Có thể thấy tử số và mẫu số đều chia hết cho 5:

Phương pháp BA.

Bạn cần tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số. Đây sẽ là mẫu số chung. Đây là loại số gì? Đây là số tự nhiên nhỏ nhất có thể chia hết cho mỗi số.

Nhìn xem, đây là hai số: 3 và 4, có nhiều số chia hết cho chúng - đó là 12, 24, 36, ... Số nhỏ nhất trong số đó là 12. Hoặc 6 và 15, chúng chia hết cho 30, 60, 90.... Nhỏ nhất là 30. Câu hỏi đặt ra là - làm thế nào để xác định bội số chung nhỏ nhất này?

Có một thuật toán rõ ràng, nhưng thường việc này có thể được thực hiện ngay lập tức mà không cần tính toán. Ví dụ: theo các ví dụ trên (3 và 4, 6 và 15) không cần thuật toán, chúng tôi lấy số lớn (4 và 15), nhân đôi chúng và thấy rằng chúng chia hết cho số thứ hai, nhưng các cặp số có thể là những người khác, ví dụ 51 và 119.

Thuật toán. Để xác định bội số chung nhỏ nhất của một số số, bạn phải:

- Phân tích mỗi số thành yếu tố ĐƠN GIẢN

— viết ra sự phân hủy LỚN HƠN của chúng

- nhân nó với các hệ số MISSING của các số khác

Hãy xem xét các ví dụ:

50 và 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

đang trong quá trình phân hủy hơn thiếu một năm

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 và 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

trong việc mở rộng số lớn hơn hai và ba bị thiếu

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố tương đương với sản phẩm của họ

Câu hỏi! Tại sao việc tìm bội số chung nhỏ nhất lại hữu ích vì bạn có thể sử dụng phương pháp thứ hai và chỉ cần rút gọn phân số thu được? Có, có thể, nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện. Nhìn vào mẫu số của các số 48 và 72 nếu bạn chỉ nhân chúng với 48∙72 = 3456. Bạn sẽ đồng ý rằng sẽ dễ chịu hơn khi làm việc với các số nhỏ hơn.

Hãy xem xét các ví dụ:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

sự mở rộng của một số lớn hơn thiếu một bộ ba

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Bây giờ hãy sử dụng phương pháp đầu tiên:

* Hãy xem sự khác biệt trong các phép tính, trong trường hợp đầu tiên có ít nhất chúng, nhưng trong trường hợp thứ hai, bạn cần phải làm việc riêng trên một tờ giấy và thậm chí cả phần bạn nhận được cũng cần phải giảm đi. Việc tìm kiếm LOC giúp đơn giản hóa công việc một cách đáng kể.

Thêm ví dụ:

*Trong ví dụ thứ hai, rõ ràng là số nhỏ nhất chia hết cho 40 và 60 bằng 120.

KẾT QUẢ! Thuật toán tính toán tổng quát!

— chúng ta giảm phân số thành phân số thông thường nếu có phần nguyên.

- chúng ta đưa các phân số về một mẫu số chung (đầu tiên chúng ta xem liệu một mẫu số có chia hết cho một mẫu số khác hay không; nếu nó chia hết thì chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số kia; nếu nó không chia hết, chúng ta hành động bằng các phương pháp khác đã nêu ở trên).

- Nhận được các phân số có mẫu số bằng nhau, ta thực hiện các phép tính (cộng, trừ).

- nếu cần thiết, chúng tôi giảm kết quả.

- nếu cần thì chọn toàn bộ phần.

2. Tích của phân số.

Quy tắc rất đơn giản. Khi nhân các phân số, tử số và mẫu số của chúng được nhân với nhau:

Ví dụ:

Nhiệm vụ. 13 tấn rau đã được đưa về căn cứ. Khoai tây chiếm ¾ tổng số rau nhập khẩu. Có bao nhiêu kg khoai tây đã được mang về căn cứ?

Hãy kết thúc với phần này.

*Trước đây tôi đã hứa sẽ giải thích chính thức cho bạn về tính chất chính của phân số thông qua tích, vui lòng:

3. Chia phân số.

Chia phân số có nghĩa là nhân chúng. Điều quan trọng cần nhớ ở đây là phân số là số chia (phân số được chia cho) được lật lại và hành động chuyển thành phép nhân:

Hành động này có thể được viết dưới dạng cái gọi là phân số bốn tầng, bởi vì bản thân phép chia “:” cũng có thể được viết dưới dạng phân số:

Ví dụ:

Đó là tất cả! Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

Các hành động với phân số.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Vậy phân số là gì, các loại phân số, các phép biến đổi - chúng ta đã nhớ. Hãy đi vào vấn đề chính.

Bạn có thể làm gì với phân số? Vâng, mọi thứ đều giống như với những con số thông thường. Cộng, trừ, nhân, chia.

Tất cả những hành động này với số thập phân làm việc với phân số không khác gì làm việc với số nguyên. Trên thực tế, đó là điều tốt về chúng, số thập phân. Điều duy nhất là bạn cần đặt dấu phẩy cho chính xác.

Hỗn số, như tôi đã nói, ít được sử dụng cho hầu hết các hành động. Chúng vẫn cần được chuyển đổi thành phân số thông thường.

Nhưng những hành động với phân số thông thường họ sẽ tinh ranh hơn. Và quan trọng hơn nhiều! Hãy để tôi nhắc nhở bạn: tất cả các hành động có biểu thức phân số với các chữ cái, sin, ẩn số, v.v., v.v. đều không khác với các hành động có phân số thông thường! Các phép tính với phân số thông thường là cơ sở cho mọi đại số. Vì lý do này mà chúng tôi sẽ phân tích tất cả số học này một cách chi tiết ở đây.

Cộng và trừ các phân số.

Mọi người đều có thể cộng (trừ) các phân số có cùng mẫu số (tôi thực sự hy vọng vậy!). Thôi để tôi nhắc lại cho những ai hay quên: khi cộng (trừ) mẫu số không thay đổi. Các tử số được cộng (trừ) để ra tử số của kết quả. Kiểu:

Tóm lại, ở nhìn chung:

Nếu mẫu số khác nhau thì sao? Sau đó, bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của một phân số (ở đây nó lại có ích!), chúng ta làm cho các mẫu số giống nhau! Ví dụ:

Ở đây chúng ta phải tạo phân số 4/10 từ phân số 2/5. Với mục đích duy nhất là làm cho mẫu số giống nhau. Để tôi lưu ý, để đề phòng, 2/5 và 4/10 là cùng một phân số! Chỉ có 2/5 là bất tiện cho chúng ta, còn 4/10 thì thực sự ổn.

Nhân tiện, đây là bản chất của việc giải bất kỳ bài toán nào. Khi chúng tôi từ khó chịu chúng tôi thực hiện các biểu thức điều tương tự, nhưng thuận tiện hơn cho việc giải quyết.

Một vi dụ khac:

Tình hình cũng tương tự. Ở đây chúng tôi tạo ra 48 trên 16. Bằng phép nhân đơn giảnở mức 3. Tất cả đều rõ ràng. Nhưng chúng tôi đã gặp một cái gì đó như:

Làm sao để?! Thật khó để đạt được chín trên bảy! Nhưng chúng tôi thông minh, chúng tôi biết luật lệ! Hãy biến đổi mọi phân số sao cho mẫu số bằng nhau. Điều này được gọi là "giảm về mẫu số chung":

Ồ! Làm sao tôi biết về 63? Rất đơn giản! 63 là số chia hết cho 7 và 9. Một số như vậy luôn có thể thu được bằng cách nhân các mẫu số. Ví dụ: nếu chúng ta nhân một số với 7 thì kết quả chắc chắn sẽ chia hết cho 7!

Nếu bạn cần cộng (trừ) một số phân số thì không cần thực hiện theo cặp, từng bước một. Bạn chỉ cần tìm mẫu số chung cho tất cả các phân số và rút gọn từng phân số về cùng mẫu số đó. Ví dụ:

Và mẫu số chung sẽ là gì? Tất nhiên, bạn có thể nhân 2, 4, 8 và 16. Chúng ta có 1024. Ác mộng. Việc ước tính rằng số 16 chia hết cho 2, 4 và 8 sẽ dễ dàng hơn. Do đó, từ những số này dễ dàng nhận được 16. Số này sẽ là mẫu số chung. Hãy biến 1/2 thành 16/8, 3/4 thành 12/16, v.v.

Nhân tiện, nếu bạn lấy 1024 làm mẫu số chung thì mọi chuyện sẽ ổn thỏa, cuối cùng mọi chuyện sẽ giảm bớt. Nhưng không phải ai cũng đạt được mục đích này, vì những tính toán...

Hãy tự mình hoàn thành ví dụ. Không phải một loại logarit nào đó... Nó phải là 29/16.

Vì vậy, tôi hy vọng việc cộng (trừ) các phân số đã rõ ràng? Tất nhiên, việc làm việc ở dạng rút gọn sẽ dễ dàng hơn với các hệ số nhân bổ sung. Nhưng niềm vui này chỉ dành cho những người đã làm việc trung thực ở các lớp dưới... Và không quên bất cứ điều gì.

Và bây giờ chúng ta sẽ thực hiện các hành động tương tự, nhưng không phải với phân số mà bằng biểu thức phân số. Cào mới sẽ được tiết lộ ở đây, vâng...

Vì vậy chúng ta cần thêm hai biểu thức phân số:

Chúng ta cần làm cho các mẫu số giống nhau. Và chỉ với sự giúp đỡ phép nhân! Đây là những gì thuộc tính chính của một phân số quy định. Vì vậy, tôi không thể thêm một vào X ở phân số đầu tiên ở mẫu số. (thật là tốt!). Nhưng nếu bạn nhân các mẫu số lên, bạn sẽ thấy, mọi thứ đều phát triển cùng nhau! Vì vậy chúng ta viết dòng của phân số, để trống ở trên rồi cộng và viết tích các mẫu số bên dưới để không quên:

Và tất nhiên, chúng ta không nhân bất cứ thứ gì ở vế phải, chúng ta không mở dấu ngoặc đơn! Và bây giờ, nhìn vào mẫu số chung ở vế phải, chúng ta nhận thấy: để lấy mẫu số x(x+1) của phân số thứ nhất, bạn cần nhân tử số và mẫu số của phân số này với (x+1) . Và trong phân số thứ hai - đến x. Đây là những gì bạn nhận được:

Ghi chú! Đây là dấu ngoặc đơn! Đây là chiếc cào được nhiều người dẫm lên. Tất nhiên không phải dấu ngoặc đơn mà là sự vắng mặt của chúng. Dấu ngoặc đơn xuất hiện vì chúng ta đang nhân tất cả tử số và tất cả mẫu số! Và không phải từng mảnh riêng lẻ của họ ...

Trong tử số bên phải ta viết tổng của các tử số, mọi thứ như trong phân số, sau đó mở dấu ngoặc ở tử số ở vế phải, tức là Chúng tôi nhân lên mọi thứ và đưa ra những cái tương tự. Không cần phải mở dấu ngoặc đơn ở mẫu số hoặc nhân bất cứ thứ gì! Nói chung, về mẫu số (bất kỳ) luôn mảnh đẹp hơn! Chúng tôi nhận được:

Vậy là chúng ta đã có câu trả lời. Quá trình này có vẻ dài và khó khăn, nhưng nó phụ thuộc vào thực hành. Khi bạn giải được các ví dụ, làm quen dần thì mọi việc sẽ trở nên đơn giản. Những người đã thành thạo phân số đúng hạn sẽ thực hiện tất cả các thao tác này bằng một tay trái một cách tự động!

Và một lưu ý nữa. Nhiều người xử lý phân số một cách thông minh nhưng lại mắc kẹt trong các ví dụ có trọn những con số. Giống như: 2 + 1/2 + 3/4= ? Buộc chặt hai mảnh ở đâu? Bạn không cần phải buộc chặt nó ở bất cứ đâu, bạn cần phải chia một phần hai. Nó không dễ dàng, nhưng rất đơn giản! 2=2/1. Như thế này. Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được viết dưới dạng phân số. Tử số là chính số đó, mẫu số là một. 7 là 7/1, 3 là 3/1, v.v. Điều đó cũng tương tự với các chữ cái. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, v.v. Và sau đó chúng tôi làm việc với các phân số này theo tất cả các quy tắc.

Vâng, kiến ​​thức về cộng và trừ phân số đã được làm mới. Việc chuyển đổi phân số từ loại này sang loại khác được lặp lại. Bạn cũng có thể được kiểm tra. Chúng ta giải quyết một chút nhé?)

Tính toán:

Câu trả lời (hỗn loạn):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Nhân/chia phân số - trong bài học tiếp theo. Ngoài ra còn có nhiệm vụ cho tất cả các phép tính với phân số.

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Hướng dẫn

Rút gọn về mẫu số chung.

Cho các phân số a/b và c/d.

Tử số và mẫu số của phân số thứ nhất được nhân với LCM/b

Tử số và mẫu số của phân số thứ hai được nhân với LCM/d

Một ví dụ được hiển thị trong hình.

Để so sánh các phân số, bạn cần cộng chúng cùng mẫu số, sau đó so sánh các tử số. Ví dụ: 3/4< 4/5, см. .

Cộng và trừ các phân số.

Để tìm tổng của hai phân số thông thường, chúng cần đưa chúng về mẫu số chung, sau đó cộng các tử số, giữ nguyên mẫu số. Một ví dụ về phép cộng các phân số 1/2 và 1/3 được thể hiện trong hình.

Hiệu của các phân số được tìm theo cách tương tự; sau khi tìm được mẫu số chung, tử số của các phân số được trừ đi, xem hình.

Khi nhân các phân số thông thường, tử số và mẫu số được nhân với nhau.

Để chia hai phân số, cần có một phân số của phân số thứ hai, tức là thay đổi tử số và mẫu số của nó, rồi nhân các phân số thu được.

Video về chủ đề

Nguồn:

• phân số lớp 5 qua ví dụ
• Các bài toán cơ bản về phân số

mô-đun biểu thị giá trị tuyệt đối của biểu thức. Dấu ngoặc thẳng được sử dụng để biểu thị một mô-đun. Các giá trị chứa trong chúng được coi là modulo. Việc giải mô-đun bao gồm việc mở dấu ngoặc đơn theo các quy tắc nhất định và tìm tập hợp các giá trị biểu thức. Trong hầu hết các trường hợp, mô-đun được mở rộng theo cách mà biểu thức mô-đun con nhận được một loạt các giá trị tích cực và giá trị âm bao gồm giá trị null. Dựa trên các tính chất này của mô-đun, các phương trình và bất đẳng thức tiếp theo của biểu thức ban đầu được biên soạn và giải.

Hướng dẫn

Viết phương trình ban đầu với . Để thực hiện việc này, hãy mở mô-đun. Hãy xem xét từng biểu thức mô đun con. Xác định giá trị nào của các đại lượng chưa biết có trong nó thì biểu thức trong ngoặc mô-đun trở thành 0.

Để làm điều này, hãy đánh đồng biểu thức mô đun con bằng 0 và tìm phương trình thu được. Viết ra các giá trị bạn tìm thấy. Tương tự, xác định giá trị của biến chưa biết cho từng module trong phương trình đã cho.

Vẽ một trục số và vẽ các giá trị kết quả trên đó. Các giá trị của biến trong mô đun số 0 sẽ đóng vai trò là các ràng buộc khi giải phương trình mô đun.

Trong phương trình ban đầu, bạn cần mở rộng các mô đun, thay đổi dấu sao cho các giá trị của biến tương ứng với giá trị hiển thị trên trục số. Giải phương trình kết quả. Kiểm tra giá trị tìm thấy của biến theo ràng buộc do mô-đun chỉ định. Nếu lời giải thỏa mãn điều kiện thì đúng. Những rễ không đáp ứng được các hạn chế phải bị loại bỏ.

Tương tự, mở rộng mô-đun của biểu thức ban đầu có tính đến dấu và tính nghiệm của phương trình thu được. Viết ra tất cả các nghiệm thu được thỏa mãn các bất đẳng thức ràng buộc.

Phân số có thể được biểu diễn dưới dạng dưới các hình thức khác nhau giá trị chính xác của số lượng. Bạn có thể thực hiện các phép toán tương tự với phân số cũng như với số nguyên: trừ, cộng, nhân và chia. Để học cách quyết định phân số, chúng ta phải nhớ một số tính năng của chúng. Chúng phụ thuộc vào loại phân số, sự có mặt của phần nguyên, mẫu số chung. Một số phép tính số học yêu cầu giảm phần phân số của kết quả sau khi thực hiện.

Bạn sẽ cần

• - máy tính

Hướng dẫn

Hãy nhìn kỹ vào những con số. Nếu trong số các phân số có số thập phân và số không đều, đôi khi sẽ thuận tiện hơn nếu trước tiên thực hiện các phép tính với số thập phân, sau đó chuyển chúng sang dạng bất quy tắc. Bạn có thể dịch không phân sốở dạng này ban đầu, viết giá trị sau dấu thập phân vào tử số và đặt 10 vào mẫu số. Nếu cần, hãy giảm phân số bằng cách chia các số trên và dưới cho một ước số. Các phân số trong đó một phần nguyên bị cô lập phải được chuyển sang dạng sai bằng cách nhân nó với mẫu số và cộng tử số vào kết quả. Giá trị đã cho sẽ trở thành tử số mới phân số. Để chọn toàn bộ phần từ phần ban đầu không chính xác phân số, bạn cần chia tử số cho mẫu số. Viết toàn bộ kết quả từ phân số. Và phần dư của phép chia sẽ trở thành tử số, mẫu số mới phân số nó không thay đổi. Đối với các phân số có Toàn bộ phần có thể thực hiện các hành động riêng biệt trước tiên cho số nguyên và sau đó cho các phần phân số. Ví dụ: có thể tính tổng của 1 2/3 và 2 ¾:
- Chuyển phân số về dạng sai:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Tổng các phần nguyên và phần phân số riêng biệt của các số hạng:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Đối với các giá trị ở dưới dòng hãy tìm mẫu số chung. Ví dụ: đối với 5/9 và 7/12, mẫu số chung sẽ là 36. Đối với điều này, tử số và mẫu số của số đầu tiên phân số bạn cần nhân với 4 (bạn nhận được 28/36) và số thứ hai - với 3 (bạn nhận được 15/36). Bây giờ bạn có thể thực hiện các phép tính.

Nếu bạn định tính tổng hoặc hiệu của các phân số, trước tiên hãy viết mẫu số chung tìm được dưới dòng. Thực hiện các thao tác cần thiết giữa các tử số và viết kết quả lên trên dòng mới phân số. Như vậy, tử số mới sẽ là hiệu hoặc tổng các tử số của các phân số ban đầu.

Để tính tích của các phân số, nhân tử số của các phân số và viết kết quả vào vị trí tử số của phân số cuối cùng phân số. Làm tương tự cho mẫu số. Khi chia một phân số viết một phân số lên phân số kia, rồi nhân tử số của nó với mẫu số của phân số thứ hai. Trong trường hợp này, mẫu số của số đầu tiên phân số nhân tương ứng với tử số thứ hai. Trong trường hợp này, một loại cuộc cách mạng xảy ra phân số(số chia). Phân số cuối cùng sẽ là kết quả của việc nhân tử số và mẫu số của cả hai phân số. Học không khó phân số, được viết trong điều kiện dưới dạng “bốn tầng” phân số. Nếu nó ngăn cách hai phân số, viết lại chúng bằng dấu phân cách “:” và tiếp tục thực hiện phép chia bình thường.

Để thu được kết quả cuối cùng, hãy giảm phân số thu được bằng cách chia tử số và mẫu số cho một số nguyên, số lớn nhất có thể trong trong trường hợp này. Trong trường hợp này, phải có số nguyên ở trên và dưới dòng.

ghi chú

Không thực hiện phép tính với các phân số có mẫu số khác nhau. Chọn một số sao cho khi nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với nó thì được kết quả là mẫu số của cả hai phân số đều bằng nhau.

Lời khuyên hữu ích

Khi ghi âm số phân số Cổ tức được viết phía trên dòng. Đại lượng này được chỉ định là tử số của phân số. Ước số hoặc mẫu số của phân số được viết bên dưới dòng. Ví dụ, một kg rưỡi gạo dưới dạng phân số sẽ được viết như sau: 1 ½ kg gạo. Nếu mẫu số của một phân số là 10 thì phân số đó được gọi là số thập phân. Trong trường hợp này, tử số (cổ tức) được viết ở bên phải của toàn bộ phần, cách nhau bằng dấu phẩy: 1,5 kg gạo. Để dễ tính toán, một phân số như vậy luôn có thể được viết dưới dạng ở dạng sai: 1 2/10 kg khoai tây. Để đơn giản hóa, bạn có thể giảm giá trị tử số và mẫu số bằng cách chia chúng cho một số nguyên. TRONG trong ví dụ này có thể chia cho 2. Kết quả sẽ là 1 1/5 kg khoai tây. Đảm bảo rằng các số bạn sắp thực hiện phép tính được trình bày dưới cùng một dạng.

Hướng dẫn

Nhấp một lần vào mục menu “Chèn”, sau đó chọn “Biểu tượng”. Đây là một trong những những cách đơn giản chèn phân số vào văn bản. Nó bao gồm những điều sau đây. Bộ ký hiệu làm sẵn bao gồm phân số. Số lượng của chúng, theo quy luật, là nhỏ, nhưng nếu bạn cần viết ½ trong văn bản chứ không phải 1/2 thì dành cho bạn tùy chọn tương tự sẽ tối ưu nhất. Ngoài ra, số lượng ký tự phân số có thể phụ thuộc vào phông chữ. Ví dụ: đối với phông chữ Times New Roman, có ít phân số hơn một chút so với cùng một phông chữ Arial. Thay đổi phông chữ để tìm phông chữ phù hợp với bạn nhất lựa chọn tốt nhất khi nó đến biểu thức đơn giản.

Nhấp vào mục menu “Chèn” và chọn mục phụ “Đối tượng”. Một cửa sổ sẽ xuất hiện trước mặt bạn với danh sách các đối tượng có thể chèn. Hãy chọn trong số đó Microsoft Equation 3.0. Ứng dụng này sẽ giúp bạn gõ phân số. Và không chỉ phân số, nhưng cũng phức tạp biểu thức toán học, chứa nhiều loại hàm lượng giác và các yếu tố khác. Nhấp đúp vào đối tượng này bằng nút chuột trái. Một cửa sổ sẽ xuất hiện trước mặt bạn chứa nhiều biểu tượng.

Để in một phân số, hãy chọn ký hiệu biểu thị một phân số có tử số và mẫu số trống. Bấm vào nó một lần bằng nút chuột trái. Một menu bổ sung sẽ xuất hiện, làm rõ sơ đồ. phân số. Có thể có một số lựa chọn. Chọn cái phù hợp với bạn nhất và nhấp vào nó một lần bằng nút chuột trái.

TRONG phần này các phép toán với phân số thông thường được xem xét. Trong trường hợp cần phải thực hiện phép toán với hỗn số thì dịch là đủ phần hỗn hợp thành một số bất thường, thực hiện các phép toán cần thiết và nếu cần, trình bày lại kết quả cuối cùng dưới dạng hỗn số. Hoạt động này sẽ được mô tả dưới đây.

Giảm một phần

Hoạt động toán học. Giảm một phần

Để rút gọn phân số \frac(m)(n) bạn cần tìm số lớn nhất ước số chung tử số và mẫu số của nó: GCD(m,n), sau đó chia tử số và mẫu số của phân số cho số này. Nếu GCD(m,n)=1 thì phân số này không thể giảm được. Ví dụ: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Thông thường ta dễ dàng tìm được ngay ước chung lớn nhất nhiệm vụ đầy thử thách và trong thực tế, một phân số được rút gọn theo nhiều giai đoạn, từng bước tách biệt các thừa số chung hiển nhiên khỏi tử số và mẫu số. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Quy đổi phân số về mẫu số chung

Hoạt động toán học. Quy đổi phân số về mẫu số chung

Để đưa hai phân số \frac(a)(b) và \frac(c)(d) về mẫu số chung, bạn cần:

• tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số: M=LMK(b,d);
• nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với M/b (sau đó mẫu số của phân số này trở thành bằng số M);
• nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với M/d (sau đó mẫu số của phân số này bằng số M).

Do đó, chúng ta chuyển các phân số ban đầu thành các phân số có cùng mẫu số (sẽ bằng số M).

Ví dụ: các phân số \frac(5)(6) và \frac(4)(9) có LCM(6,9) = 18. Khi đó: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Do đó, các phân số thu được có mẫu số chung.

Trong thực tế, việc tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của mẫu số không phải lúc nào cũng là một công việc đơn giản. Vậy số được chọn làm mẫu số chung là tương đương với sản phẩm mẫu số của các phân số ban đầu. Ví dụ: các phân số \frac(5)(6) và \frac(4)(9) được rút gọn về mẫu số chung N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

So sánh các phân số

Hoạt động toán học. So sánh các phân số

Để so sánh hai phân số thông thường bạn cần:

• so sánh tử số của các phân số thu được; phân số có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn.

Ví dụ: \frac(9)(14)

Khi so sánh các phân số, có một số trường hợp đặc biệt:

1. Từ hai phân số có cùng mẫu số Phân số có tử số lớn hơn thì lớn hơn. Ví dụ: \frac(3)(15)
2. Từ hai phân số có cùng tử số Phân số nào có mẫu số nhỏ hơn là phân số lớn hơn. Ví dụ: \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Phân số đó đồng thời tử số lớn hơn và mẫu số nhỏ hơn, hơn. Ví dụ: \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Chú ý! Quy tắc 1 áp dụng cho mọi phân số nếu mẫu số chung của chúng là số dương. Quy tắc 2 và 3 áp dụng cho phân số dương(trong đó cả tử số và mẫu số đều lớn hơn 0).

Cộng và trừ các phân số

Hoạt động toán học. Cộng và trừ các phân số

Để cộng hai phân số cần:

• đưa họ về mẫu số chung;
• cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Để trừ một phân số khác từ một phân số, bạn cần:

• quy đổi phân số về mẫu số chung;
• Trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Nếu các phân số ban đầu có mẫu số chung thì bước 1 (rút gọn về mẫu số chung) sẽ bị bỏ qua.

Chuyển hỗn số thành phân số không chính xác và ngược lại

Hoạt động toán học. Chuyển hỗn số thành phân số không chính xác và ngược lại

Để chuyển một phân số hỗn hợp thành một phân số không chính xác, chỉ cần tính tổng toàn bộ phần của phân số hỗn hợp với phần phân số. Kết quả của tổng như vậy sẽ là một phân số không chính xác, tử số của nó bằng tổng của tích của toàn bộ phần với mẫu số của phân số với tử số của phân số hỗn hợp và mẫu số sẽ giữ nguyên. Ví dụ: 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Để chuyển một phân số không chính xác thành hỗn số:

• chia tử số của một phân số cho mẫu số của nó;
• viết phần dư của phép chia vào tử số và giữ nguyên mẫu số;
• viết kết quả phép chia dưới dạng phần nguyên.

Ví dụ: phân số \frac(23)(4) . Khi chia 23:4=5,75 tức là phần nguyên là 5, số dư của phép chia là 23-5*4=3. Khi đó hỗn số sẽ được viết: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Chuyển đổi một số thập phân thành một phân số

Hoạt động toán học. Chuyển đổi một số thập phân thành một phân số

Để chuyển một phân số thập phân thành phân số chung ta cần:

1. lấy lũy thừa n của mười làm mẫu số (ở đây n là số chữ số thập phân);
2. làm tử số, lấy số sau dấu thập phân (nếu phần nguyên của số ban đầu không bằng 0 thì lấy cả số 0 đứng đầu);
3. phần nguyên khác 0 được viết vào tử số ngay từ đầu; phần số nguyên 0 bị bỏ qua.

Ví dụ 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (có 4 chữ số thập phân nên mẫu số có 10 4 =10000, vì phần nguyên là 0 nên tử số chứa số sau dấu thập phân không có số 0 đứng đầu)

Ví dụ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (ở tử số ta viết số sau dấu thập phân toàn số 0: “0109”, trước đó ta thêm toàn bộ phần của số ban đầu “31”)

Nếu toàn bộ phần thập phân khác 0 thì nó có thể được chuyển thành phân số hỗn hợp. Để làm điều này, chúng ta chuyển số thành phân số thông thường như thể toàn bộ phần bằng 0 (điểm 1 và 2) và chỉ cần viết lại toàn bộ phần trước phân số - đây sẽ là phần nguyên của hỗn số . Ví dụ:

3.014=3\frac(14)(100)

Để chuyển một phân số thành số thập phân, chỉ cần chia tử số cho mẫu số. Đôi khi nó sẽ là vô tận số thập phân. Trong trường hợp này, cần làm tròn đến vị trí thập phân mong muốn. Ví dụ:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Nhân và chia phân số

Hoạt động toán học. Nhân và chia phân số

Để nhân hai phân số thông thường, bạn cần nhân tử số và mẫu số của phân số đó.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Để chia một phân số chung cho một phân số chung, bạn cần nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai ( phân số nghịch đảo- một phân số có tử số và mẫu số hoán đổi cho nhau.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Nếu một trong các phân số là số tự nhiên, thì các quy tắc nhân và chia ở trên vẫn có hiệu lực. Bạn chỉ cần lưu ý rằng một số nguyên chính là một phân số có mẫu số là bằng một. Ví dụ: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7