Khái niệm về chất hấp dẫn. chất hấp dẫn kỳ lạ

Cách tiếp cận hệ thống trong địa lý: sự xuất hiện và đẳng cấu cấu trúc.

Sự xuất hiện (anh. sự xuất hiện - sự xuất hiện, sự xuất hiện của một cái mới) trong lý thuyết hệ thống - sự hiện diện của bất kỳ hệ thống nào có các thuộc tính đặc biệt không vốn có trong các hệ thống con và khối của nó, cũng như tổng các phần tử không được kết nối bởi liên kết hình thành hệ thống đặc biệt; tính không thể quy đổi của các thuộc tính của hệ thống thành tổng các thuộc tính của các thành phần của nó; từ đồng nghĩa - "hiệu ứng hệ thống".

Trong sinh học và sinh thái học, khái niệm về sự xuất hiện có thể được diễn đạt như sau: một cây không phải là một khu rừng, một tập hợp các tế bào riêng lẻ không phải là một sinh vật. Ví dụ, các thuộc tính của một loài sinh học hoặc quần thể sinh học không đại diện cho các thuộc tính của từng cá thể riêng lẻ, các khái niệm về khả năng sinh sản, tử vong không áp dụng cho một cá thể mà áp dụng cho toàn bộ quần thể hoặc loài.

Trong chủ nghĩa tiến hóa, nó được thể hiện dưới dạng sự xuất hiện của các đơn vị chức năng mới của hệ thống, không bị giảm xuống thành các hoán vị đơn giản của các yếu tố đã tồn tại.

Trong khoa học đất: tính chất nổi bật của đất là độ phì nhiêu.

Trong việc phân loại các hệ thống, sự xuất hiện có thể là cơ sở của hệ thống của chúng như một thuộc tính tiêu chí của hệ thống.

tư tưởng đẳng cấu cấu trúc - đồng nhất cấu trúc mà không đồng nhất các yếu tố nội dung - trở nên phổ biến trong địa lý học cuối những năm 60 - đầu những năm 70. Thế kỷ 20 trên nền tảng của cuộc diễu hành chiến thắng của một cách tiếp cận có hệ thống. Ví dụ, khả năng sử dụng cùng một bộ máy khái niệm và toán học để mô tả sự uốn khúc của một dòng sông và sự thay đổi hướng tuyến của một đường cao tốc liên bang ở Hoa Kỳ (trong trường hợp cuối cùng Ngoài ra, có một bước đột phá về bờ sông đặc biệt, phát sinh do chi phí đất cao hơn nhiều gần đường cao tốc hiện tại - xem cuốn sách của V. Bunge) rất hữu ích về mặt thực tế và hấp dẫn về mặt lý thuyết.

Một trong những ý tưởng quan trọng được xuất bản vào năm 1962. Cuốn sách “Địa lý lý thuyết” (bản dịch tiếng Nga xuất bản năm 1967) của W. Bunge chính là ý tưởng về đẳng cấu cấu trúc, được hiểu là sự đồng nhất của các cách thức tổ chức không gian. hiện tượng địa lý có tính chất đa dạng nhất, được nghiên cứu cả về địa lý tự nhiên và kinh tế xã hội. Bunge mạnh dạn mượn ý tưởng từ địa mạo và áp dụng chúng vào việc mô tả các hiện tượng địa lý xã hội. Nó đã trở thành một so sánh trong sách giáo khoa về sự uốn khúc của dòng sông và sự thay đổi lộ trình của đường cao tốc liên bang, nơi cũng buộc phải vượt qua "thành lũy sông" giá cao xuống đất.

Các mô hình phổ biến nhất của loại này nên được coi là mô hình hấp dẫn và mô hình entropy. Tất cả các mô hình này đều vay mượn từ các ngành vật lý khác nhau - có thể là cơ học cổ điển hoặc nhiệt động lực học - để sử dụng bộ máy toán học, ví dụ, để lập mô hình dòng hành khách giữa các thành phố tùy thuộc vào khối lượng nhân khẩu học của họ. Rõ ràng là việc sử dụng các mô hình như vậy yêu cầu hiệu chuẩn của chúng - việc lựa chọn các giá trị không đổi dựa trên tài liệu thực nghiệm rộng rãi nhất và giá trị dự đoán của chúng do hoàn cảnh này không phải là vô điều kiện.

Khái niệm về chất hấp dẫn. những chất hấp dẫn kỳ lạ.

Attractor (tiếng Anh thu hút - thu hút, thu hút) - một tập hợp các trạng thái (chính xác hơn - các điểm của không gian pha) của một hệ thống động, mà nó có xu hướng theo thời gian. Vì vậy, các biến thể đơn giản nhất của lực hút là một điểm cố định hấp dẫn (ví dụ: trong bài toán con lắc có ma sát với không khí) và quỹ đạo tuần hoàn (ví dụ: dao động tự kích thích trong một vòng phản hồi dương), nhưng có cũng như các ví dụ phức tạp hơn nhiều.

Có nhiều cách hình thức hóa khác nhau về khái niệm khát vọng, dẫn đến định nghĩa khác nhau bộ thu hút, xác định, tương ứng, các tập hợp có khả năng khác nhau (thường được lồng vào nhau). Các định nghĩa được sử dụng phổ biến nhất là công cụ thu hút cực đại (thường nằm trong vùng lân cận nhỏ của nó, xem bên dưới), công cụ thu hút Milnor và tập không đi lang thang.

Người hấp dẫn được phân loại theo:

Hình thức hóa của khái niệm về nguyện vọng: người ta phân biệt giữa bộ thu hút cực đại, bộ không đi lang thang, bộ thu hút Milnor, tâm Birkhoff, bộ thu hút thống kê và bộ thu hút cực tiểu.

Tính quy luật của chính công cụ thu hút: các công cụ thu hút được chia thành thông thường (thu hút điểm cố định, quỹ đạo thu hút định kỳ, đa tạp) và kỳ lạ (không đều - thường là fractal và/hoặc trong một số phần được sắp xếp dưới dạng tập hợp Cantor; động lực học trên chúng thường hỗn loạn).

Tính địa phương ("tập hợp thu hút") và tính toàn cầu (ở đây - thuật ngữ "tối thiểu" theo nghĩa "không thể chia cắt").

Cuộc cách mạng tổng hợp đã dẫn đến những thay đổi sâu sắc trong thế giới quan khoa học, trước hết là sự hình thành của cách giải thích cuối cùng (cuối cùng) bình đẳng với cách giải thích nguyên nhân (nhân quả), vốn chỉ tồn tại trong khoa học trước khi tạo ra cơ học lượng tử. Tuy nhiên, sau đó sự sụp đổ của quan hệ nhân quả chỉ ảnh hưởng đến các hiện tượng của thế giới vi mô, một khu vực vô cùng xa chúng ta. Cuộc sống hàng ngày. Cuộc cách mạng hiệp đồng đã dẫn đến việc mở rộng lời giải thích cuối cùng cho việc nghiên cứu các hiện tượng nhất định của mesoworld, tức là. thế giới mà chúng ta đang sống và thế giới mà trải nghiệm hàng ngày của chúng ta có thể tiếp cận được. Đồng thời, chúng ta rất khó quen với ý tưởng rằng quá trình của một số quy trình không được xác định bởi các điều kiện ban đầu, tức là. nguyên nhân, mà là trạng thái kết thúc mà họ khao khát. Trạng thái cuối cùng này được gọi trong hiệp đồng là một chất hấp dẫn - khu vực thu hút của quá trình.

Một cuộc thảo luận tích cực về các ý tưởng cuối cùng xuất phát từ sinh học và vũ trụ học đã giúp thay đổi môi trường trí tuệ trong địa lý, làm lung lay quan điểm giải thích nguyên nhân (nhân quả) là khả thi duy nhất trong khoa học nói chung và địa lý nói riêng. Sự thay đổi trong môi trường trí tuệ này đã mở đường cho sự thâm nhập của các ý tưởng về hiệp lực, bao gồm cả ý tưởng về người thu hút - khu vực thu hút của quá trình. Trở lại những năm 60 của thế kỷ XX. ý tưởng về sự tương đồng (bình đẳng) trong sự phát triển của các thành phố khổng lồ đã trở nên phổ biến - những thành phố này cho thấy nhiều điểm tương đồng với nhau hơn so với những thành phố vừa và nhỏ mà chúng đã phát triển. Phân tích sự phát triển của mạng lưới giao thông bằng các phương pháp lý thuyết đồ thị hoặc phân tích sự phát triển của các hệ thống định cư đô thị bằng lý thuyết về vị trí trung tâm cũng là những ví dụ về các vấn đề của lớp chính xác mà những ý tưởng hiệu quả nhất về việc xác định quá trình của trạng thái cuối cùng, chứ không phải các điều kiện ban đầu, về mong muốn của nó đối với một lực hấp dẫn, vốn là một đối tượng lý tưởng của lý thuyết khoa học. Và nếu người thu hút là không thể đạt được, điều này không có nghĩa là nó không tồn tại.

Ý nghĩa đối với địa lý của các công trình lý thuyết như dạng tiềm năng xác định hướng phát triển của từng sinh vật và sự tiến hóa của các loài sinh học, hay tính đối xứng cuối cùng là rất lớn và nó không được chú ý. Sự tương đồng với danh mục các hình thức tổ chức lãnh thổ ổn định của các quốc gia, thực sự được phát triển bởi V.P. Semenov-Tyan-Shansky, và trước khi L.S. Dừng lại trên những ý tưởng ít rõ ràng hơn. Trước hết, đây là những ý tưởng về tính đồng nhất (bình đẳng) trong sự phát triển của các thành phố khổng lồ, do P. Hagget đưa ra từ những năm 60. Các thành phố thuộc loại này cho thấy sự tương đồng lớn hơn nhiều so với các thị trấn nhỏ mà từ đó chúng đã phát triển. Các xu hướng tương tự có thể được nhìn thấy trong sự phát triển của các hệ thống thành phố. Hệ thống các địa điểm trung tâm (thành phố được hiểu là một địa điểm trung tâm vì nó phục vụ không chỉ dân số của nó, mà còn phục vụ dân số của khu vực của nó, cấp độ phân cấp mà nó thuộc về càng lớn) cũng cố gắng phát triển theo một định hướng nhất định. trạng thái cân bằng, cái gọi là . trạng thái cân bằng đẳng tĩnh, hoạt động liên quan đến chúng như một lực hút - khu vực thu hút của quá trình

Một ví dụ về ứng dụng cực kỳ hiệu quả của cả bộ máy động lực học phi tuyến tính và các nguyên tắc tư tưởng của nó là sự phát triển của lý thuyết hiện tượng học về sự tăng trưởng dân số Trái đất của S.P. thực tế với sự giúp đỡ của cái sau. Kết luận quan trọng nhất về mặt thế giới quan là sự gia tăng dân số Trái đất chưa bao giờ được điều chỉnh bởi hành động yếu tố bên ngoài, nhưng luôn luôn bởi các quy tắc nội bộ không xác định. Vị trí này đã được chính thức hóa bởi người tạo ra lý thuyết như nguyên tắc mệnh lệnh nhân khẩu học.

Khó khăn cơ bản nằm ở chỗ tất cả các lý thuyết mà chúng tôi có trong kho vũ khí của mình đều được phát triển để mô tả các quá trình trong một xã hội “kinh tế”, dựa trên niềm tin không thể lay chuyển vào trạng thái cân bằng kinh tế với tư cách là nhân tố thu hút mọi quá trình diễn ra trong nền kinh tế, và chúng tôi có xu hướng coi các thảm họa xã hội là những xáo trộn bên ngoài dẫn hệ thống ra khỏi trạng thái cân bằng, trạng thái mà nó vẫn cố gắng quay trở lại khi có cơ hội đầu tiên. Trong khi đó, ngay trong bản thân kinh tế học, những nghi ngờ về cân bằng kinh tế với tư cách là trạng thái “tự nhiên” hay “bình thường” của nền kinh tế ngày càng lan rộng. Chúng được thể hiện, đặc biệt, bởi nhà kinh tế có ảnh hưởng và một nhà xã hội học như M.Castells. Luận điểm của ông là trong xã hội thông tin (hay nói cách khác là xã hội “hậu kinh tế”), các quá trình kinh tế không chỉ có bản chất khác mà còn có hướng khác. Theo ông, tổ chức lãnh thổ xã hội thông tin, bao gồm cả việc tổ chức định cư, sẽ trải qua những thay đổi đáng kể nhất so với xã hội công nghiệp.

Kết quả là, các nhà địa lý sẽ phải giải quyết những vấn đề phức tạp hơn nhiều so với những vấn đề họ đã gặp trước đây: tìm kiếm không chỉ các điểm thu hút, tức là lĩnh vực thu hút của các quá trình đang được nghiên cứu, và chất hấp dẫn kỳ lạ, đó là những giải pháp không định kỳ phức tạp. Một nhiệm vụ như vậy khó có thể được giải quyết bằng nỗ lực của chính các nhà địa lý, nếu không có sự hợp tác với các nhà vật lý và toán học, ít nhất là cho đến khi một thế hệ các nhà địa lý lớn lên, từ băng ghế của học sinh sẽ thành thạo bộ máy toán học của hiệp đồng. Nhiệm vụ của chúng ta là tạo cơ sở khái niệm cho sự hợp tác như vậy, đã phát triển các lý thuyết hoạt động có thể áp dụng cho sự phát triển của chúng, đầu tiên là khái niệm, và sau đó là bộ máy toán học của hiệp lực.

Trong giây Mục 5.1 của chương này sẽ chỉ ra rằng các hệ động lực tiêu tán phi tuyến đương nhiên dẫn đến khái niệm về một lực hút lạ. Sau đó (Phần 5.2) entropy Kolmogorov được giới thiệu như một phép đo chức năng của chuyển động hỗn loạn, sau đó (Phần 5.3) vấn đề về lượng thông tin có thể thu được từ tín hiệu ngẫu nhiên đo được được xem xét.

Trong giây 5.4 thảo luận về sự xuất hiện của một lực hút lạ trong mô hình Ruelle-Takens-Newhouse mô tả quá trình chuyển đổi sang nhiễu loạn (theo thời gian) và cung cấp một số xác nhận thực nghiệm của mô hình này. Phần tiếp theo chứa một giải thích nhóm tái chuẩn hóa mô hình chuyển đổi sang hỗn loạn này. chương kết thúc đánh giá quan trọng các kịch bản chuyển tiếp khác nhau và một tập hợp các bản vẽ về các điểm thu hút kỳ lạ và ranh giới fractal của chúng.

5.1. Giới thiệu và định nghĩa lực hút lạ

Trong phần này, chúng tôi xem xét các hệ thống tiêu tán được mô tả bởi các luồng hoặc ánh xạ. Trước tiên chúng ta hãy xem xét các dòng tiêu tán được mô tả bởi một hệ phương trình vi phân cấp một độc lập:

Ở đây thuật ngữ "tiêu tán" có nghĩa là một thể tích cơ bản V, được chọn tùy ý trong không gian pha, giới hạn bởi bề mặt S, bị nén. Bề mặt S tiến triển theo cách sao cho mỗi điểm của nó di chuyển dọc theo quỹ đạo được xác định bởi (5.1). Do đó, theo định lý phân kỳ:

và sau đó, theo định nghĩa, các hệ thống với

Một ví dụ về loại luồng này là mô hình Lorentz:

cho cái nào

tức là âm lượng cơ bản được nén theo cấp số nhân theo thời gian

Nếu chúng ta xem xét quỹ đạo được tạo bởi các phương trình của mô hình Lorentz tại (Hình 58), thì hóa ra a) nó bị hút vào một vùng giới hạn trong không gian pha; b) chuyển động của nó là lang thang, tức là, quỹ đạo thực hiện một lượt rẽ sang phải, rồi vài lượt sang trái, rồi sang phải, quỹ đạo rất nhạy cảm với những thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu, tức là nếu thay vì điều kiện ( 0; 0,01; 0) ta lấy điều kiện gần thì nghiệm mới sớm lệch so với nghiệm trước và số lượt giải sẽ khác. Trên hình. 59 hiển thị một biểu đồ về sự phụ thuộc của giá trị cực đại của một biến vào Kết quả hiển thị xấp xỉ hình tam giác, tương ứng, theo Ch. 2, trình tự hỗn loạn

Cơm. 58. Công cụ thu hút Lorenz do máy tính tính toán (Lanford, 1977).

Cơm. 59. Các cực đại liên tiếp của biến Z của nhân hút Lorenz (Lorenz, 1963).

Tóm lại: quỹ đạo nhạy cảm với những thay đổi trong điều kiện ban đầu; hỗn loạn; bị hút vào một vùng giới hạn trong không gian pha; thể tích của vùng này (theo (5.4)) có xu hướng bằng không. Điều này có nghĩa là luồng của hệ thống Lorentz ba chiều tạo ra một tập hợp các điểm có số chiều nhỏ hơn 3, tức là thể tích của nó trong không gian ba chiều bằng 0. Thoạt nhìn, người ta có thể gán cho nó số nguyên tiếp theo nhưng thấp hơn chiều - 2. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với định lý Poincaré - Bendixson, người phát biểu rằng dòng chảy hỗn loạn không thể tồn tại trong một vùng giới hạn của không gian hai chiều. Ví dụ, chúng ta hãy tham khảo một chứng minh chặt chẽ của định lý này trong chuyên khảo (Hirsch và Smale, 1965). Cơm. Hình 60 cho thấy tính liên tục của các đường thẳng và thực tế là đường thẳng chia mặt phẳng thành hai phần hạn chế quỹ đạo mạnh đến mức các chu kỳ giới hạn và các điểm cố định là các lực hút khả dĩ duy nhất trong vùng giới hạn. Giải pháp cho vấn đề này nằm ở chỗ tập hợp các điểm mà quỹ đạo trong hệ thống Lorentz bị thu hút (cái gọi là bộ thu hút Lorentz) có thứ nguyên Hausdorff không phải là một số nguyên, mà nằm trong khoảng từ 2 đến 3 (giá trị chính xác điều này đương nhiên dẫn đến khái niệm về một lực hút lạ, xuất hiện trong các hệ phi tuyến vật lý khác nhau.

chất hấp dẫn kỳ lạ có các thuộc tính sau (có thể tìm thấy định nghĩa chính thức trong các bài báo đánh giá (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

a) nó là một chất hút, tức là nó chiếm một vùng giới hạn của không gian pha mà sau một thời gian dài

Cơm. 60. Tự thu một dòng thuôn trong vùng giới hạn trên mặt phẳng. Sự phân kỳ hàm mũ của quỹ đạo mâu thuẫn với tính liên tục (lưu ý hướng ngược lại của các mũi tên).

khoảng thời gian, tất cả các quỹ đạo đủ gần từ cái gọi là miền hấp dẫn đều bị thu hút. Lưu ý rằng vùng thu hút có thể có cấu trúc rất phức tạp (xem Hình. Phần 5.7). Ngoài ra, bản thân bộ thu hút bao gồm một quỹ đạo, tức là quỹ đạo phải đi qua từng điểm của bộ thu hút theo thời gian. Tập hợp các điểm cố định bị cô lập không phải là một điểm thu hút duy nhất;

b) tính chất làm cho lực hút trở nên kỳ lạ là độ nhạy của nó đối với các điều kiện ban đầu, nghĩa là, mặc dù bị nén về thể tích, không có sự giảm chiều dài theo mọi hướng và khoảng cách giữa các điểm gần tùy ý ban đầu trên lực hút trở nên hữu hạn sau một thời gian đủ dài . Như sẽ được trình bày trong phần tiếp theo, điều này dẫn đến một entropy Kolmogorov dương;

c) để mô tả một hệ thống vật lý, bộ thu hút phải có cấu trúc ổn định và điển hình. Nói cách khác, những thay đổi nhỏ trong tham số trong F (xem (5.1)) làm thay đổi cấu trúc của bộ thu hút liên tục (dưới đây chúng tôi sẽ mô tả cấu trúc chi tiết hơn; bây giờ chúng tôi muốn nói đến, ví dụ, chiều Hausdorff của bộ thu hút) và tập hợp các tham số mà (5.1) tạo ra bộ thu hút lạ, không được là bộ số đo 0 - nếu không thì bộ thu hút không điển hình và có ý nghĩa vật lý.

Tất cả các lực hút lạ được phát hiện cho đến nay đều có một chiều Hausdorff phân số. Vì không có định nghĩa chính thức được chấp nhận rộng rãi về một công cụ thu hút lạ (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), nên vẫn chưa rõ liệu phân số của chiều Hausdorff luôn xuất phát từ các thuộc tính "a" - "b" hay là cần thiết bổ sung cho một lực hấp dẫn kỳ lạ.

Thông thường, một lực hút lạ phát sinh khi một dòng pha nén một thể tích sơ cấp theo một số hướng và kéo giãn nó theo các hướng khác. Để ở trong khu vực kết giới, khối lượng nguyên tố đồng thời tăng lên. Quá trình kéo dài và gấp nếp này tạo ra chuyển động hỗn loạn của quỹ đạo trên đường hút lạ, giống như trong trường hợp ánh xạ tuyến tính từng phần (Chương 2).

Vì định nghĩa trên mô tả các tính chất của một tập hợp các điểm, nên khái niệm về một bộ thu hút lạ không giới hạn đối với các luồng: ánh xạ tiêu tán cũng có thể tạo ra các bộ thu hút lạ. Trưng bày

được gọi là tiêu tán nếu nó dẫn đến sự co thể tích trong không gian pha, nghĩa là nếu mô đun của Jacobian J, theo đó thể tích cơ bản được nhân lên sau khi lặp lại, nhỏ hơn 1:

Định lý Poincare-Bendixson, giới hạn chiều của các đường hút lạ sinh ra bởi các luồng tới các giá trị lớn hơn hai, không có giá trị đối với các ánh xạ. Điều này là do thực tế là các ánh xạ tạo ra các điểm rời rạc và các hạn chế liên quan đến tính liên tục được loại bỏ. Do đó, ánh xạ tiêu tán có thể dẫn đến các điểm thu hút lạ có số chiều nhỏ hơn 2.

Để minh họa, chúng ta hãy xem xét hai ví dụ, do có số chiều thấp hơn nên dễ hình dung hơn so với lực hút Lorentz.

Biến đổi thợ làm bánh. Trên hình. Hình 61 thể hiện phép biến đổi của thợ làm bánh truyền thống, một ánh xạ bảo toàn diện tích (gợi nhớ đến một người thợ làm bánh lăn bột ra) và phép biến đổi của thợ làm bánh tiêu tán, không bảo toàn diện tích. toán học

Cơm. 61. a - Phép biến đổi Baker; b - biến đổi tiêu tan của người làm bánh.

biểu thức cho cái sau

trong đó a là một phép biến đổi dẫn đến một phép dịch chuyển Bernoulli. Số mũ Lyapunov của nó (tính bằng x) dẫn đến độ nhạy với các điều kiện ban đầu; đối tượng thu được bằng cách áp dụng lặp đi lặp lại ánh xạ này cho hình vuông đơn vị là một lực hút kỳ lạ. Công cụ thu hút này là một chuỗi vô hạn các đường nằm ngang và diện tích thu hút của nó bao gồm tất cả các điểm của hình vuông đơn vị. Số mũ Lyapunov theo hướng và theo hướng này, các tỷ lệ được giảm theo cách sao cho kết quả tổng thể(kéo dài và co lại) là sự giảm âm lượng cần thiết cho ánh xạ tiêu tan.

Chiều Hausdorff DB của một điểm thu hút lạ có thể được tính như sau. Về hướng, bộ thu hút chỉ đơn giản là một chiều (như bản đồ) trong Chương. 2). Kích thước Hausdorff theo hướng y theo định nghĩa

và từ sự tự đồng dạng của bộ thu hút theo phương thẳng đứng (Hình 61, b). điều này mang lại

Cơm. 63. a - Hình hút Henon, dựng trên 104 điểm. Một số điểm liên tiếp được đánh số để minh họa chuyển động lang thang trên điểm thu hút; b, c - hình ảnh phóng to của hình vuông từ các hình trước đó; r - chiều cao của mỗi cột - xác suất tương đối của việc tìm thấy một điểm trong một trong sáu tờ của bản vẽ trước đó (Farmer, 1982a, b).

cơ cấu thu hút. Hausdorff chiều của công cụ thu hút Henon!) cho . Kết quả này thu được bằng cách chồng một lưới ô vuông với một ô lên mặt phẳng hiển thị và đếm số ô vuông bị chiếm bởi các điểm và tính toán!) Nếu trong hình. 63, ở độ phân giải cho phép nhìn thấy sáu "chiếc lá", xác suất tương đối cho mỗi chiếc lá có thể được ước tính bằng cách chỉ cần đếm số chấm trên đó. Chiều cao của mỗi cột trong Hình. 63, r là xác suất tương đối và chiều rộng là độ dày của tấm tương ứng.

Chiều cao cột khác nhau trong hình. 63d cho thấy rằng bộ thu hút Henon không đồng nhất. Tính không đồng nhất này không thể được mô tả bằng một chiều Hausdorff duy nhất, vì vậy trong phần tiếp theo chúng tôi giới thiệu bộ vô hạn kích thước đặc trưng cho cấu trúc tĩnh (nghĩa là phân phối điểm)

chất thu hút. Tuy nhiên, trước khi làm như vậy, sẽ rất hữu ích khi thảo luận về entropy Kolmogorov, mô tả hành vi động lực học trên một lực hút lạ.

Trong các hệ thống vật lý, n-chiều có thể, ví dụ, hai hoặc ba tọa độ, cho một hoặc nhiều đối tượng vật lý; trong các hệ thống kinh tế, chúng có thể là các biến riêng biệt như tỷ lệ lạm phát và tỷ lệ thất nghiệp. Nếu biến đang phát triển là hai hoặc ba chiều, thì bộ thu hút của quá trình động có thể được biểu diễn bằng hình học trong hai hoặc ba chiều, (ví dụ như trong hình).

Nếu, trong các điều kiện ban đầu khác nhau, tất cả các quỹ đạo trong không gian pha sẽ đi đến vô cùng, điều này sẽ chỉ ra rằng một hệ thống như vậy không có trạng thái ổn định.

Trong trường hợp tất cả chúng kết thúc tại một điểm, tức là hệ thống sẽ đi đến một trạng thái cụ thể và không có thay đổi nào xảy ra với nó nữa, thì điểm đó sẽ là điểm của trạng thái ổn định. Sau khi rời khỏi trạng thái này, dưới tác động của nhiễu loạn ngắn hạn, hệ thống sẽ luôn trở lại trạng thái cũ.

Trong trường hợp này, tất cả các quỹ đạo kết thúc tại một điểm, nghĩa là, theo thời gian, nó thu hút tất cả các quỹ đạo pha về phía mình. Một điểm như vậy được gọi là một điểm thu hút (tiếng Anh để thu hút - "thu hút") thuộc loại " điểm thu hút“. Khái niệm về lực hút là một tổng quát của khái niệm cân bằng cho các hệ thống phức tạp.

Một điểm thu hút có thể là một điểm, một tập hợp hữu hạn các điểm, một đường cong, tính không đồng nhất hoặc thậm chí là một cấu trúc fractal phức tạp được gọi là chất hấp dẫn kỳ lạ. Nếu biến là một đại lượng vô hướng, thì bộ thu hút là một tập con của trục số thực. Mô tả lực hút trong các hệ động lực hỗn loạn, ông là một trong những thành tựu của lý thuyết hỗn loạn. Quỹ đạo của hệ động lực trong bộ thu hút không thỏa mãn bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào đối với các ngoại lệ còn lại trên bộ thu hút, tiến và lùi theo thời gian. Quỹ đạo có thể định kỳ và hỗn loạn. Nếu tập hợp các điểm là tuần hoàn hoặc hỗn loạn, nhưng dòng chảy trong vùng lân cận nằm cách xa tập hợp, thì tập hợp đó không phải là chất hút, mà thay vào đó được gọi là chất phản xạ (hoặc chất đẩy).

Do đó, bộ thu hút là một compact tập con không gian pha hệ thống động lực, tất cả các quỹ đạo từ một số vùng lân cận có xu hướng về nó khi thời gian có xu hướng vô tận. Một bộ hút có thể là một điểm cố định hấp dẫn (quỹ đạo tuần hoàn (ví dụ như các dao động tự kích thích trong một vòng phản hồi dương) hoặc một khu vực giới hạn nào đó có quỹ đạo không ổn định bên trong (như một bộ hút lạ).

hệ thống động, như một quy luật, được mô tả bởi một hoặc nhiều phương trình vi phân hoặc sai phân. Các phương trình của một hệ động lực nhất định biểu thị hành vi của nó đối với bất kỳ khoảng thời gian ngắn nhất định nào. Để xác định hành vi của một hệ thống trong một thời gian dài hơn, các phương trình phải được tích hợp thông qua các phương tiện phân tích hoặc thông qua phép lặp, thường với sự trợ giúp của máy tính. Các hệ thống động trong thế giới vật chất, như một quy luật, phát sinh do các hệ thống tiêu tán: nếu không có động lực trong thời gian đó, chuyển động sẽ dừng lại. Hiện tượng tán xạ có thể xuất phát từ ma sát bên trong, nhiệt động lực học hoặc tổn thất vật liệu và nhiều nguyên nhân khác.

Các lực tiêu tán và lực truyền động thường được cân bằng, loại bỏ các quá độ ban đầu và ổn định hệ thống theo hành vi điển hình của nó. Tập hợp con của không gian pha của một hệ động lực tương ứng với hành vi điển hình là bộ thu hút, còn được gọi là phần thu hút hoặc bộ thu hút. Tập hợp bất biến và tập hợp giới hạn tương tự như khái niệm về bộ thu hút. Một tập hợp bất biến là một tập hợp tự phát triển dưới tác động của động lực học. Chất hấp dẫn có thể chứa bộ bất biến. Tập hợp giới hạn là tập hợp các điểm mà tại đó có một trạng thái ban đầu nào đó kết thúc tùy ý gần với tập hợp giới hạn (tức là tại mỗi điểm của tập hợp) với thời gian đến vô cùng. Bộ thu hút là tập hợp giới hạn, nhưng không phải tất cả các bộ giới hạn đều là bộ thu hút: nếu có thể có một số điểm của hệ thống hội tụ về tập hợp giới hạn, nhưng các điểm khác nhau bị nhiễu một chút so với tập hợp giới hạn thì không thể ảnh hưởng đến chúng. Ví dụ con lắc tắt dần có hai điểm bất biến là điểm x0 độ cao cực tiểu và điểm x1 chiều cao tối đa. Điểm x0 cũng là một tập hợp giới hạn, khi các quỹ đạo hội tụ về nó; điểm x1 không phải là một tập hợp giới hạn. Do tán xạ, điểm x0 cũng là một điểm thu hút. Nếu không có tán xạ, x0 sẽ không phải là một điểm thu hút.

định nghĩa toán học

Đặt t đại diện cho thời gian và để hàm f(t, ) xác định động lực học của hệ thống. Nghĩa là, nếu đây là các điểm n chiều trong không gian pha biểu diễn trạng thái ban đầu của hệ, thì f (0, a) = a và, với giá trị dương của t, f (t, a) là kết quả của diễn biến của vị trí này sau t đơn vị thời gian. Ví dụ, nếu hệ mô tả sự tiến hóa của một hạt tự do trong một chiều, thì không gian pha là mặt phẳng R2 có tọa độ (x, v), trong đó x là vị trí của hạt, v là vận tốc của nó, a = ( x, v) và sự tiến hóa được đưa ra bởi

Bộ thu hút là một tập hợp con của không gian pha và được đặc trưng bởi ba điều kiện sau:

Chuyển tiếp là bất biến theo t: nếu có một phần tử A và t (t, a), với mọi t > 0 .

Có một miền lân cận của A, được gọi là miền hấp dẫn của A và được ký hiệu là B(A) , bao gồm tất cả các điểm b sao cho "nhập A vào giới hạn t → ∞ ". Chính thức hơn, B(A) là tập hợp tất cả các điểm b trong không gian pha với tính chất sau:

Đối với bất kỳ mở gần đó khu vựcN Và, có một hằng số dương t,

Không có tập hợp con riêng nào có hai thuộc tính đầu tiên.

Vì khu vực thu hút chứa tập mở chứa A, mọi điểm đủ gần A đều bị hút về A. Định nghĩa của bộ thu hút sử dụng một metric trên không gian pha, nhưng khái niệm kết quả thường chỉ phụ thuộc vào cấu trúc liên kết của không gian pha.

Có nhiều định nghĩa khác về chất thu hút trong tài liệu. Ví dụ, một số tác giả yêu cầu bộ thu hút có độ đo dương, những tác giả khác giảm độ mạnh của yêu cầu rằng B(A) là một khu vực lân cận.

lực hút tuần hoàn-3 chu kỳ và diện tích lực hút của nó. Ba điểm tối nhất là các điểm có 3 chu kỳ dẫn đến nhau trong dãy, và phép lặp từ một điểm bất kỳ vào vùng hấp dẫn dẫn đến sự hội tụ (thường là tiệm cận) của dãy này tại ba điểm.

Các loại chất hấp dẫn

Các bộ thu hút là các bộ phận hoặc tập hợp con của không gian pha của một hệ động lực. Cho đến những năm 1960, các bộ thu hút không được coi là các tập con hình học đơn giản của không gian pha, như điểm, đường, bề mặt và thể tích. Các bộ thu hút phức tạp hơn không thể được phân loại thành các tập con hình học đơn giản, chẳng hạn như các tập hợp tô pô, đã được biết đến vào thời điểm đó, nhưng được coi là các dị thường mong manh. Steven Smale đã có thể chỉ ra rằng móng ngựa của mình (Smale's Horseshoe là ví dụ của Steve Smale về một hệ động lực có vô số điểm tuần hoàn (và động lực hỗn loạn), và đặc tính này không sụp đổ dưới những nhiễu loạn nhỏ của hệ thống) là đáng tin cậy và rằng lực hút của nó giống như một cấu trúc mà Cantor đặt ra. Hai điểm thu hút đơn giản - một điểm cố định và một chu kỳ giới hạn. Các điểm thu hút có thể có nhiều hình dạng hình học khác (tập hợp con pha). Nhưng khi các tập hợp này (hoặc các chuyển động trong chúng) không thể được mô tả dễ dàng như các tổ hợp đơn giản (ví dụ: giao và hợp) của các đối tượng hình học cơ bản (ví dụ: đường thẳng, bề mặt, quả bóng, hình xuyến, bộ thu), thì bộ thu hút được gọi là bộ thu hút kỳ lạ.

Người hấp dẫn được phân loại theo:

1. Hình thức hóa của khái niệm về nguyện vọng: người ta phân biệt giữa bộ thu hút cực đại, bộ không đi lang thang, bộ thu hút Milnor, tâm Birkhoff, bộ thu hút thống kê và bộ thu hút cực tiểu.
2. Tính quy luật của chính công cụ thu hút: các công cụ thu hút được chia thành thông thường (thu hút điểm cố định, quỹ đạo thu hút định kỳ, đa tạp) và kỳ lạ (không đều - thường là fractal và/hoặc trong một số phần được sắp xếp dưới dạng tập hợp Cantor; động lực học trên chúng thường hỗn loạn).
3. Tính địa phương ("tập hợp thu hút") và tính toàn cầu (ở đây - thuật ngữ "tối thiểu" theo nghĩa "không thể chia cắt").

chu kỳ giới hạn là quỹ đạo tuần hoàn của hệ cô lập. Các ví dụ bao gồm quả lắc đồng hồ, mạch điều chỉnh radio và nhịp tim khi nghỉ ngơi. (Chu kỳ giới hạn của con lắc lý tưởng không phải là một ví dụ về lực hút chu kỳ giới hạn, bởi vì quỹ đạo của nó không bị cô lập: trong không gian pha của con lắc lý tưởng, không xa bất kỳ điểm nào của quỹ đạo tuần hoàn, có một thời điểm khác thuộc về sang một quỹ đạo tuần hoàn khác.

chân dung pha của van der Pol: lực hút chu kỳ giới hạn

hình xuyến giới hạn

Có thể có nhiều hơn một tần số của quỹ đạo định kỳ của hệ thống thông qua trạng thái chu kỳ giới hạn. Ví dụ, trong vật lý, một tần số có thể quyết định tốc độ mà một hành tinh quay quanh một ngôi sao, trong khi tần số thứ hai mô tả sự dao động về khoảng cách giữa hai vật thể. Nếu hai trong số các tần số này tạo thành một phân số vô tỷ (nghĩa là chúng không thể so sánh được), thì quỹ đạo không còn đóng nữa và chu kỳ giới hạn trở thành một hình xuyến giới hạn. Loại bộ thu hút này được gọi là Nt -torus nếu có Nt - tần số không thể so sánh được. Ví dụ: đây là 2 hình xuyến:

Chuỗi thời gian tương ứng với bộ thu hút này là một chuỗi gần như tuần hoàn: tính rời rạc của các mẫu của tổng các hàm tuần hoàn Nt (không nhất thiết phải là sóng hình sin) với tần số không thể so sánh được. Một chuỗi thời gian như vậy không có tính tuần hoàn nghiêm ngặt, nhưng phổ công suất của nó vẫn chỉ bao gồm các đường thẳng sắc nét.

chất hấp dẫn kỳ lạ

Một điểm thu hút được gọi là lạ nếu nó có cấu trúc fractal. Điều này thường xảy ra khi các động lực học trên nó hỗn loạn, nhưng cũng có những lực hút lạ không hỗn loạn. Thuật ngữ này được đặt ra bởi David Ruelle và Floris Takens, người đã mô tả một lực hút do một loạt các điểm phân nhánh của một hệ thống mô tả một dòng chất lỏng. Các chất hút lạ thường khả vi theo nhiều hướng, nhưng một số, chẳng hạn như bụi Cantor, không thể khả vi. Các lực hút lạ cũng có thể được tìm thấy khi có nhiễu, nơi chúng có thể được đặt để hỗ trợ các phép đo xác suất ngẫu nhiên bất biến kiểu Sinai-Ruel-Bowen. Ví dụ về các chất hấp dẫn kỳ lạ bao gồm, người thu hút gà mái, công cụ thu hút Rössler , và nhân hút Lorenz.

Máy hút cuộn đôi

nhân hút Lorenz

phương trình riêng

Các PDE parabol có thể có các bộ thu hút hữu hạn chiều. Phần khuếch tán của phương trình dập tắt tần số cao, và trong một số trường hợp dẫn đến một lực hấp dẫn toàn cầu. Ginzburg-Landau, Kuramoto-Sivashinsky, và các phương trình Navier-Stokes cưỡng bức, hai chiều được biết là dẫn đến các lực hút tổng thể có số chiều hữu hạn. Đối với một phương trình Navier-Stokes ba chiều không nén được với các điều kiện biên tuần hoàn, nếu nó có một bộ hút tổng thể, thì bộ hút này sẽ có kích thước hữu hạn.

Từ quan điểm tính toán, các chất thu hút có thể được coi một cách tự nhiên như các chất thu hút tự kích thích hoặc các chất thu hút ẩn. Lực hấp dẫn tự kích thích có thể được bản địa hóa bằng số bằng cách sử dụng các quy trình tính toán tiêu chuẩn, trong đó, sau chuỗi chuyển đổi, quỹ đạo bắt đầu từ một điểm trên đường ống không ổn định trong khu vực nhỏ trạng thái cân bằng không ổn định đạt được bởi một chất hút (như các chất hút cổ điển trong Van der Pol, Belousov-Zhabotinsky, Lorentz và nhiều hệ động lực học khác). Ngược lại, vùng thu hút của một bộ thu hút ẩn không chứa vùng cân bằng, do đó, một bộ thu hút ẩn không thể được bản địa hóa bằng các thủ tục tính toán tiêu chuẩn.

Bộ hút ẩn hỗn loạn (miền xanh) trong hệ Chùa. Các quỹ đạo với dữ liệu ban đầu nằm trong vùng lân cận của hai điểm (màu xanh), thường (mũi tên đỏ) đến vô cực hoặc thường (mũi tên đen) đến điểm cân bằng ổn định bằng 0 (màu cam).

Phần mềm tạo ra các điểm thu hút lạ có thể được coi là Chaoscope, là một trình hiển thị 3D của các điểm thu hút lạ. Nó miễn phí, chạy trên nền tảng Windows.

Trình tạo trực tuyến các lực hút lạ: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net

Trong các chu kỳ lớn - nhỏ,

sinh ra tốc độ,

Và trong những cái nhỏ - nhỏ hơn và nhỏ hơn,

Sinh nhớt.

(Lewis F. Richardson)

Vấn đề nhiễu loạn có một lịch sử phong phú. Tất cả các nhà vật lý vĩ đại đều bối rối về nó. Một dòng chảy êm đềm được chia thành các cuộn và dòng xoáy; uốn cong ngẫu nhiên phá hủy ranh giới giữa chất lỏng và bề mặt rắn; năng lượng từ chuyển động quy mô lớn nhanh chóng chảy thành các vòng xoáy nhỏ. Tại sao? Có lẽ phần lớn ý tưởng thông minhđược đề xuất bởi các nhà toán học, trong khi hầu hết các nhà vật lý chỉ đơn giản là sợ nghiên cứu nhiễu loạn, điều dường như gần như không thể hiểu được. Bằng chứng về điều này là câu chuyện về Werner Heisenberg, một nhà khoa học nổi tiếng đã nghiên cứu vật lý lượng tử. Người thứ hai thừa nhận trên giường bệnh rằng anh ta muốn hỏi Chúa là Chúa hai câu hỏi - về nền tảng của thuyết tương đối và về nguyên nhân của nhiễu loạn. Heisenberg nhận xét: “Tôi nghĩ Chúa sẽ trả lời tôi là người đầu tiên trong số họ.

Vật lý lý thuyết và hiện tượng nhiễu loạn đã kết thúc trò chơi với tỷ số hòa - khoa học dường như đã vấp phải một đường thẳng mê hoặc và đóng băng gần nó. Gần biên giới ma thuật, nơi vật chất vẫn ổn định, có nhiều việc phải làm. May mắn thay, một chất lỏng chảy trôi chảy hoàn toàn không hành xử như thể từng phân tử trong số vô số phân tử đang chuyển động độc lập: những giọt chất lỏng ở gần điểm xuất phát thường ở gần nhau, giống như những con ngựa trong yên cương. Các kỹ sư thủy lực có các phương trình khá đáng tin cậy mô tả hành vi của dòng chảy tầng như vậy: họ sử dụng kiến ​​​​thức tích lũy được từ thế kỷ 19, khi chuyển động của chất lỏng và khí là một trong những vấn đề chính của khoa học vật lý.

Vào thời đại của chúng ta, vấn đề này đã đi vào bóng tối, và ngay cả những bộ óc sâu sắc nhất cũng tin rằng không còn bí mật nào trong động lực học của chất lỏng, ngoại trừ một điều mà ngay cả trên trời cũng chưa biết. Về mặt thực tế, mọi thứ trông rõ ràng đến mức có thể yên tâm giao nó cho các kỹ thuật viên chuyên môn. Theo các nhà vật lý, động lực học chất lỏng đã phát triển từ một vấn đề khoa học thành một vấn đề kỹ thuật. Các nhà vật lý sáng chói trẻ tuổi đã tìm ra việc phải làm, và các nhà nghiên cứu về động lực học chất lỏng chỉ bắt gặp ở các khoa kỹ thuật của các trường đại học. Tuy nhiên, trong số các học viên, sự quan tâm đến nhiễu loạn có phần phiến diện và sôi nổi tìm cách loại bỏ hiện tượng này. Đôi khi nhiễu loạn thậm chí còn được mong muốn (chẳng hạn như trong động cơ phản lực, nơi quá trình đốt cháy hiệu quả phụ thuộc vào sự hình thành hỗn hợp nhanh chóng), nhưng trong hầu hết các trường hợp, nó dẫn đến thảm họa. sóng gió luồng không khí, tác động vào cánh máy bay, gây khó khăn cho việc cất cánh. Dòng chảy hỗn loạn bên trong đường ống dẫn dầu làm chậm chuyển động của chất lỏng. Chính phủ và các tập đoàn đang đầu tư mạnh vào máy bay, động cơ tua-bin, cánh quạt, tàu ngầm và các thiết bị tương tự khác di chuyển trong môi trường lỏng hoặc khí. Các nhà nghiên cứu quan tâm đến lưu lượng máu trong mạch và van tim, họ quan tâm đến dòng xoáy và xoáy nước, ngọn lửa và sóng xung kích từ các vụ nổ. nhiều loại khác nhau. Người ta tin rằng các nhà vật lý hạt nhân đã tham gia vào dự án bom nguyên tử trong Thế chiến II, nhưng trên thực tế, tất cả các vấn đề liên quan đến vật lý hạt nhân đã được giải quyết trước khi công việc bắt đầu, và các khía cạnh khí và thủy động lực học đã được xử lý tại Los Alamos.

nhiễu loạn là gì? Hoàn toàn hỗn loạn ở mọi quy mô, những cơn lốc nhỏ bên trong những xoáy nước khổng lồ. Nhiễu loạn không ổn định và bằng cấp cao nhất tiêu tán, tức là nó có khả năng làm chậm chuyển động, làm cạn kiệt năng lượng. Đó là bản chất của chuyển động vô trật tự. Nhưng vẫn Làm sao Có phải dòng chất lỏng thay đổi từ mịn sang hỗn loạn? Hãy tưởng tượng một ống rỗng trơn tru hoàn hảo, nguồn cấp nước ổn định cao và toàn bộ cấu trúc được bảo vệ tốt khỏi rung động. Bây giờ hãy tự đặt câu hỏi: làm thế nào mà một thứ gì đó có thể xuất hiện một cách mất trật tự trong dòng chảy bên trong đường ống?

Tất cả các quy tắc dường như thất bại ở đây. Khi dòng chảy trơn tru, hoặc chảy tầng, các nhiễu loạn nhỏ biến mất, nhưng ngay sau khi xuất hiện nhiễu loạn, số lượng của chúng tăng mạnh, mang đến cho khoa học một câu đố mới. Lòng suối dưới chân vách đá biến thành một xoáy nước lớn dần, tách ra và cuộn xoáy khi nước di chuyển về phía hạ lưu, và một làn khói thuốc lá lặng lẽ cuộn trong không trung, bốc lên trên chiếc gạt tàn, đột ngột tăng tốc và, có đạt đến tốc độ tới hạn, lao vào những cơn gió lốc. Ngưỡng nhiễu loạn có thể được quan sát và đo lường trong quá trình thí nghiệm trong phòng thí nghiệm; nó được thử nghiệm cho từng cánh máy bay hoặc cánh quạt trong một cuộc thử nghiệm đường hầm gió. Tuy nhiên, rất khó để nắm bắt được bản chất của nó. Theo quy định, dữ liệu thu được thiếu tính phổ quát - nghiên cứu bằng cách thử và sai về cánh của Boeing 707 không đưa ra bất cứ điều gì cho thiết kế cánh của máy bay chiến đấu F-16. Ngay cả siêu máy tính cũng gần như bất lực trước sự vận động hỗn loạn của vật chất.

Hãy tưởng tượng rằng một cái gì đó làm rung chuyển chất lỏng, tạo ra sóng bên trong nó. Chất lỏng có độ nhớt, và vì lý do này, năng lượng được truyền cho nó khi bị lắc ra khỏi nó. Nếu bạn ngừng lắc chất lỏng, nó sẽ dừng lại. Điều gì xảy ra khi bạn lắc chất lỏng? Kết quả của quy trình này là năng lượng tần số thấp được truyền vào chất lỏng, tần số thấp được chuyển thành tần số cao hơn, tạo ra dòng điện xoáy ngày càng nhanh hơn. Quá trình này, dẫn đến sự tiêu hao năng lượng của chất lỏng, đã được A. N. Kolmogorov xem xét từ những năm 1930. Ông đã phát triển một mô tả toán học về động lực học của các xoáy, xem xét chúng ở quy mô ngày càng nhỏ hơn - cho đến khi ông đạt đến giới hạn mà tại đó các xoáy trở nên nhỏ đến mức độ nhớt của chất không còn ảnh hưởng đến chúng nữa.

Để rõ ràng hơn, Kolmogorov tưởng tượng rằng toàn bộ chất lỏng bao gồm các dòng xoáy nhỏ và do đó, nó giống nhau ở mọi nơi. Giả định về tính đồng nhất như vậy là không chính xác, như Poincaré đã đoán cách đây bốn mươi năm, khi ông quan sát dòng nước xoáy trong một dòng sông hỗn loạn, xen kẽ với các đoạn của dòng chảy bình lặng. Do đó, sự không ổn định của dòng chảy là cục bộ và năng lượng thực sự chỉ bị tiêu tán trong một phần không gian. Nếu bạn xem xét cẩn thận dòng chảy hỗn loạn ở bất kỳ quy mô nào, bạn sẽ nhận thấy rằng ngày càng có nhiều khu vực mới của dòng chảy yên tĩnh được tìm thấy. Do đó, giả thuyết về tính đồng nhất nhường chỗ cho giả định về sự gián đoạn. Mô tả có phần lý tưởng hóa này có vẻ có tính phân dạng cao, với các vùng hỗn loạn và vùng phẳng xen kẽ, dễ nhận thấy ở bất kỳ quy mô nào, từ lớn đến nhỏ. Nhưng bức tranh này, ở một mức độ nào đó, không phản ánh hoàn toàn thực tế.

Rất gần với công thức ở trên, nhưng đồng thời độc lập là câu hỏi về điều gì xảy ra với sự khởi đầu của nhiễu loạn. Làm thế nào để dòng chất lỏng vượt qua ranh giới giữa êm dịu và hỗn loạn? Những giai đoạn trung gian nào mà nhiễu loạn sẽ trải qua trước khi nó được cảm nhận đầy đủ? Những câu hỏi này đã được trả lời bằng một lý thuyết nghe có vẻ khá hợp lý. Mô hình được chấp nhận rộng rãi này có được nhờ sự xuất hiện của Lev Davidovich Landau, nhà khoa học vĩ đại người Nga, người có những phát triển trong lĩnh vực thủy động lực học vẫn được coi là một trong những đỉnh cao của khoa học vật lý. Mô hình của Landau là một đống các xoáy cạnh tranh nhau. Ông gợi ý rằng khi có nhiều năng lượng hơn đi vào hệ thống, tại mỗi thời điểm, một tần số mới sẽ phát sinh không tương thích với tần số trước đó, như thể một dây đàn violon phản ứng với sự gia tăng chuyển động của cây cung bằng cách phát ra âm điệu thứ hai, và sau đó là tiếng thứ ba, thứ tư, v.v., cho đến khi các âm thanh hợp lại thành một bản giao hưởng khó hiểu.

Bất kỳ chất lỏng hoặc chất khí là một tập hợp các hạt-phân tử đơn lẻ, số lượng của chúng nhiều đến mức dường như là vô hạn. Nếu mỗi hạt tự chuyển động, thì sẽ có vô số biến thể của chuyển động chất lỏng (nói một cách khoa học là vô số "bậc tự do") và các phương trình mô tả chuyển động sẽ bao gồm vô số biến số. Tuy nhiên, không có điều gì tương tự xảy ra: chuyển động của mỗi phân tử phần lớn phụ thuộc vào chuyển động của các phân tử lân cận và chỉ có thể có một số bậc tự do (ít nhất là trong dòng chảy bình lặng). Các chuyển động phức tạp tiềm ẩn vẫn được ghép nối, các hạt gần đó hoàn toàn không phân kỳ hoặc phân kỳ trơn tru và tuyến tính, tạo thành các đường thẳng trong ảnh chụp đường hầm gió. Các hạt trong làn khói thuốc lá cũng bốc lên trong một lúc.

Sau đó là sự phẫn nộ, một loạt các xung động hỗn loạn bí ẩn. Đôi khi những chuyển động như vậy thậm chí còn nhận được những cái tên: "dao động", "con lăn chéo", "nút thắt", "ngoằn ngoèo", "sưng tĩnh mạch" (xảy ra với chứng giãn tĩnh mạch). Theo Landau, các chuyển động không ổn định mới xuất hiện chỉ đơn giản là tích lũy, chồng lên nhau và do đó tạo ra các cuộn dây có vận tốc và kích thước trùng nhau một phần. Theo suy đoán, một mô hình nhiễu loạn thông thường như vậy dường như phù hợp với sự thật, và sự vô dụng của nó từ quan điểm toán học đã được xem qua các ngón tay. Vì vậy, Landau, đã xây dựng một bài toán nan giải với điểm toán học về mặt mô hình, ông vẫn giữ được phẩm giá của mình với tư cách là một nhà khoa học, nhưng về mặt thực tiễn thì đó là một sự phá sản hoàn toàn.

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng nước với một tiếng còi nhẹ từ từ chảy qua một cái ống hoặc chảy bên trong một hình trụ. Tinh thần tăng áp lực, do đó gây ra sự xuất hiện của các dao động nhịp nhàng qua lại. Chất lỏng từ từ chạm vào thành ống. Nhấn lại nút của thiết bị tưởng tượng, tăng áp suất. Không biết tần số thứ hai sẽ xuất hiện ở đâu, không phù hợp với tần số thứ nhất. Những nhịp điệu không hài hòa, như thể cạnh tranh, chồng chéo lên nhau, và lúc này đã xuất hiện một chuyển động khá phức tạp: sóng đập vào thành ống, trộn lẫn với nhau đến mức không thể bắt kịp nhịp điệu của chúng. Khi áp suất tăng lên, tần số thứ ba, rồi thứ tư, thứ năm, thứ sáu phát sinh và tất cả chúng đều không tương ứng với nhau, do đó dòng chảy trở nên cực kỳ phức tạp. Có lẽ đây là sóng gió. Các nhà vật lý chấp nhận lời giải thích này, nhưng không ai trong số họ có thể dự đoán chính xác khi nào thì sự gia tăng năng lượng sẽ dẫn đến sự xuất hiện của một tần số mới, hoặc nó sẽ là gì. Không ai phát hiện ra những tần số xuất hiện bí ẩn này trong quá trình thí nghiệm, bởi vì lý thuyết về ngưỡng nhiễu loạn của Landau vẫn chưa thực sự được kiểm tra.

Nhà lý thuyết thực hiện các thí nghiệm trong đầu, và người làm thí nghiệm cũng phải hành động bằng tay. Nhà lý thuyết là nhà tư tưởng, nhà thực nghiệm là thợ thủ công; người thứ nhất không cần trợ lý, người thứ hai buộc phải “tuyển dụng” sinh viên mới tốt nghiệp, thuyết phục thợ máy, trợ lý phòng thí nghiệm tòa án. Người theo thuyết ngăn nắp làm việc ở nơi không có tiếng ồn và bụi bẩn; mặt khác, người thử nghiệm được kết nối chặt chẽ với đối tượng trải nghiệm giống như nhà điêu khắc trong xưởng, người bị xiềng hàng giờ vào đất sét vô hình và cố gắng, với chuyển động nhẹ nhàng, sau đó với chuyển động mạnh, để tạo cho nó hình dạng mong muốn. . Nhà lý thuyết có thể tưởng tượng trong đầu các đồng nghiệp của mình như một Romeo ngây thơ, mơ về nàng Juliet xinh đẹp, và các cộng sự của nhà thí nghiệm, ngồi hàng giờ trong phòng thí nghiệm, phàn nàn, hút thuốc, uống cà phê, đổ mồ hôi.

Hai người này cần nhau, nhưng một phần sự bất bình đẳng đã len lỏi vào mối quan hệ của họ kể từ thời cổ đại, khi mọi nhà khoa học đều suy nghĩ và thử nghiệm cùng một lúc. Mặc dù ở một số nhà thí nghiệm giỏi nhất vẫn còn điều gì đó của nhà lý thuyết, nhưng cuộc trò chuyện của các chuyên gia rõ ràng không diễn ra tốt đẹp. Cuối cùng, uy tín của các nhà lý thuyết cao hơn. Điều này đặc biệt rõ ràng trong vật lý năng lượng cao: các nhà lý thuyết thực sự tắm trong ánh hào quang, trong khi các nhà thực nghiệm trở thành những kỹ thuật viên có trình độ cao xử lý các thiết bị đắt tiền và phức tạp. Trong những thập kỷ sau chiến tranh, khi sự xuất sắc của vật lý được xác định bằng việc nghiên cứu các hạt cơ bản, thì những thí nghiệm tốt nhất là những thí nghiệm được thực hiện trong máy gia tốc hạt. Khối lượng, điện tích, quay, đối xứng - những khái niệm trừu tượng này mê hoặc những người không thuộc môi trường học thuật, nhưng cố gắng theo kịp thời đại, nhưng chỉ đối với một số người các nhà khoa học nghiên cứu hạt nguyên tử thực sự là vật lý. Đi học ngày càng nhiều hạt nhỏ trong khoảng thời gian ngắn nhất, nó yêu cầu năng lượng cao hơn bao giờ hết, đồng nghĩa với việc nâng cấp thiết bị. Nhánh thực nghiệm của vật lý hạt cơ bản đã phát triển qua nhiều năm, nhiều nhà khoa học đã làm việc trong đó và toàn bộ các nhóm đã làm việc để thiết lập các thí nghiệm lớn. Các bài báo về vật lý hạt trên tạp chí "Physical Review" luôn được phân biệt bởi thực tế là danh sách các tác giả chiếm gần một phần tư ấn phẩm.

Tuy nhiên, một số người thử nghiệm thích làm việc một mình, tệ nhất là cùng nhau. Trong các thí nghiệm của họ, họ đã sử dụng những chất có sẵn. Trong khi một số ngành khoa học vật lý, chẳng hạn như thủy động lực học, mất đi sự liên quan, thì ngược lại, vật lý chất rắn lại nổi lên hàng đầu. Phạm vi nghiên cứu phụ thuộc vào cô đã mở rộng đến mức tên của ngành học lẽ ra phải được đổi thành một tên chính xác hơn - "vật lý của vật chất ngưng tụ", tức là vật lý của vật liệu. Trong lĩnh vực này, phải nói rằng, thiết bị đơn giản hơn nhiều, và mối liên hệ giữa các nhà lý thuyết và thực nghiệm mạnh mẽ hơn nhiều. Người trước không tỏ ra hợm hĩnh quá mức, và người sau không cố gắng tự vệ trước họ.

Đối với tất cả những điều đó, họ đã nhìn nhiều thứ khác nhau. Đặc biệt, nhà lý thuyết có thể dễ dàng ngắt lời báo cáo của người thực nghiệm và hỏi: “Có thể làm cho dữ liệu của bạn thuyết phục hơn không? Bạn không nghĩ rằng biểu đồ này là một chút không rõ ràng? Nó không nên được đo lường? giá trị nhất định rộng hơn để có thêm thông tin?”

Đáp lại, Harry Swinney, khi đứng hết chiều cao (khoảng 5 mét rưỡi), có thể nói với vẻ quyến rũ tự nhiên của một người gốc Louisiana, tuy nhiên, người ta cảm nhận được sự cáu kỉnh của người New York: “Sự thật tương ứng với sự thật. Vâng, điều này đúng, miễn là chúng ta có vô số dữ liệu thử nghiệm "thuần túy". - Và, quay mạnh về phía bảng đen, nói thêm: - Trên thực tế, chúng tôi chỉ có một lượng thông tin hạn chế theo ý của mình, và thậm chí sau đó còn có sai sót.

Sweeney đã thử nghiệm với các chất. Khi còn là sinh viên tại Đại học Johns Hopkins, anh ấy đã cảm nhận được sức hấp dẫn mãnh liệt của vật lý hạt và điều này đã trở thành một bước ngoặt trong số phận của anh ấy. Sweeney đã trò chuyện với một Murray Gell-Man nhiệt tình, nhưng khi quan sát các sinh viên đang làm việc, anh ấy phát hiện ra rằng tất cả họ đều đang viết chương trình máy tính hoặc hàn các buồng tia lửa. Sau đó, Swinney làm quen với một nhà vật lý giàu kinh nghiệm, người bắt đầu nghiên cứu sự chuyển pha từ chất rắn sang chất lỏng, từ chất không có từ tính sang nam châm, từ chất dẫn điện sang chất siêu dẫn. Trong một thời gian khá dài, Sweeney chui rúc trong một căn phòng nhỏ; nó có kích thước bằng một cái tủ quần áo, nhưng nhà khoa học mới vào nghề sống ở đó một mình. Anh ấy bắt đầu đặt mua các dụng cụ từ một danh mục, và chẳng mấy chốc, một chiếc bàn thí nghiệm, một tia laser, đầu dò và một số loại thiết bị làm lạnh đã xuất hiện trong ngôi nhà khiêm tốn của anh ấy. Sweeney thiết kế thiết bị đo độ dẫn nhiệt khí cacbonic gần điểm ngưng tụ tới hạn. Nhiều nhà vật lý tin rằng những thay đổi về độ dẫn nhiệt là không đáng kể, tuy nhiên, như Swinney đã phát hiện ra, đây là một ảo tưởng: độ dẫn nhiệt thay đổi rất đáng kể. Tất cả điều này là đáng lo ngại. Một mình, trong một căn phòng nhỏ, anh ấy đã khám phá ra khi nhìn thấy ánh sáng rực rỡ ở thế giới khác của hơi vật chất, bất kỳ chất nào, gần điểm tới hạn - một ánh sáng gọi là "opal" vì màu trắng đục của các tia tán xạ.

Giống như nhiều hiện tượng có bản chất hỗn loạn, sự chuyển pha được đặc trưng bởi một loại hành vi vĩ mô đặc biệt, rất khó dự đoán bằng cách xem xét các mảnh nhỏ nhất. Khi một vật thể rắn được làm nóng, các phân tử của nó bắt đầu dao động dưới tác động của năng lượng tới, chúng lao lên bề mặt, chống lại các lực liên kết chúng, và do đó làm cho thể tích của chất đó giãn ra. Nhiệt độ càng cao, chất càng giãn nở và giống như một sợi dây bị đứt sau một thời gian dài, do đó, những thay đổi trở nên không thể đoán trước và không liên tục dưới áp suất và nhiệt độ nhất định. Cấu trúc tinh thể dần dần biến mất và các phân tử di chuyển ra xa nhau, tuân theo các định luật được thiết lập cho chất lỏng, không thể suy ra từ các định luật được xác định cho vật thể rắn. năng lượng trung bình nguyên tử chỉ thay đổi một chút, nhưng chất bây giờ đã là chất lỏng, nam châm hoặc chất siêu dẫn, tức là nó đã có được chất lượng mới.

Günther Ahlers tại Phòng thí nghiệm AT&T Bell ở New Jersey đã nghiên cứu cái gọi là quá trình chuyển đổi siêu lỏng trong helium lỏng, trong đó, khi nhiệt độ giảm xuống, chất rắn biến thành chất lỏng kỳ diệu không có độ nhớt hoặc ma sát rõ ràng. Những người khác đã tham gia vào siêu dẫn. Sweeney đã nghiên cứu điểm chuyển pha giữa chất lỏng và hơi. Cả ông và Ahlers, Pierre Berg, Jerry Gollab, Marzio Giglio và các nhà thí nghiệm khác ở Hoa Kỳ, Pháp và Ý - một thế hệ các nhà vật lý mới tham gia vào quá trình chuyển pha - đang tìm kiếm các đối tượng mới để nghiên cứu vào giữa những năm 70. Giống như người đưa thư biết chi tiết tất cả các con hẻm và ngôi nhà trong khu vực của mình, vì vậy họ thuộc lòng tất cả các dấu hiệu đặc biệt của một chất thay đổi trạng thái. Họ đã nghiên cứu về giới hạn của trạng thái cân bằng của vật chất.

Tất cả các nhà nghiên cứu về chuyển pha, cảm thấy dưới mình là một vũng lầy nghi ngờ ngấm ngầm, đã bước vào việc tiết kiệm những viên đá tương tự. Sự chuyển pha từ trạng thái không từ tính sang trạng thái từ tính hóa ra là giống quá trình chuyển đổi "lỏng - hơi". Sự chuyển đổi từ chất lỏng sang chất siêu lỏng đã được chứng minh sự giống nhau chuyển từ chất dẫn điện sang chất siêu dẫn. Các tính toán toán học mô tả một trải nghiệm đã được áp dụng cho nhiều trải nghiệm khác và trong suốt những năm 70, vấn đề gần như đã được giải quyết. Câu hỏi duy nhất là lý thuyết mới được tạo ra có thể được mở rộng bao xa. Những thay đổi nào khác trong thế giới xung quanh chúng ta, khi xem xét kỹ hơn, sẽ trở thành sự chuyển pha?

Việc sử dụng các kỹ thuật được sử dụng trong nghiên cứu chuyển pha để nghiên cứu dòng chất lỏng không phải là một ý tưởng siêu độc đáo cũng không phải là một cách tiếp cận hiển nhiên.

Ông không thể khẳng định tính nguyên bản đặc biệt, bởi vì ngay từ đầu thế kỷ 20, các nhà khoa học vĩ đại nhất - những người tiên phong về thủy động lực học Reynolds, Rayleigh và những người theo họ - đã nhận thấy rằng trong quá trình thí nghiệm được kiểm soát cẩn thận với chất lỏng, chuyển động của nó thay đổi. về chất lượng, phân nhánh hoặc phân nhánh xảy ra. Ví dụ, khi một bình chứa chất lỏng được làm nóng từ bên dưới, nó bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên. Sự cám dỗ quá lớn, và không chịu nổi, các chuyên gia gợi ý rằng Bản chất vật lý sự phân nhánh giống như những gì xảy ra trong vật chất trong quá trình chuyển pha.

Việc sử dụng các phương pháp như vậy không thể được gọi là một cách tiếp cận rõ ràng, do thực tế là sự phân nhánh trong chất lỏng được mô tả ở trên không gây ra, giống như sự chuyển pha, thay đổi chất đó, mà thay vào đó, một yếu tố mới được thêm vào - chuyển động. Chất lỏng từ trạng thái nghỉ chuyển sang trạng thái chuyển động. Và vì lý do gì mà mô tả toán học của những thay đổi như vậy phải tương ứng với các phương trình ngưng tụ hơi nước?

Năm 1973, Swinney đang giảng dạy tại City College of New York, và Jerry Gollub, một sinh viên tốt nghiệp Harvard nghiêm túc nhưng đôi khi trẻ con, đang làm việc tại Haverford, phía đông nam Pennsylvania. Tổ chức ở đó, một trường cao đẳng nghệ thuật tự do nông thôn gần Philadelphia, là nơi thích hợp nhất để từ bỏ sự nghiệp nhà vật lý. Không có ai để giao phó công việc trong phòng thí nghiệm hoặc các chức năng khác do người cố vấn giao phó cho người bảo trợ của anh ta - đơn giản là không có đủ sinh viên tốt nghiệp. Tuy nhiên, Gollub vẫn thích dạy vật lý cho sinh viên chưa tốt nghiệp, và ông bắt đầu biến khoa vật lý thành một trung tâm được biết đến rộng rãi với chất lượng cao của các thí nghiệm. Sau đó, được nghỉ học có lương, anh đến New York để làm việc với Harry Sweeney.

Ghi nhớ sự tương tự của sự chuyển pha và sự không ổn định được quan sát thấy trong chất lỏng, các đồng nghiệp đã quyết định nghiên cứu hệ thống cổ điển - một chất lỏng bị giới hạn bởi không gian giữa hai hình trụ thẳng đứng. Một trong số chúng quay bên trong cái kia, buộc chất lỏng di chuyển giữa hai bề mặt. Do đó, chuyển động có thể có của vật chất trong không gian bị hạn chế, không giống như các tia phản lực còn lại sau chuyển động của con tàu trên biển. Các hình trụ quay tái tạo cái gọi là dòng chảy Couete-Taylor. Theo quy định, để thuận tiện, hình trụ bên trong quay bên trong khung cố định. Khi quá trình quay bắt đầu, tăng tốc, các dấu hiệu đầu tiên của sự bất ổn xuất hiện: chất lỏng tạo thành một mô hình duyên dáng giống như các bó ống, và sau đó, các vùng giống như dải ruy băng mờ xuất hiện xung quanh hình trụ, cái này chồng lên cái kia. Các phần tử chất lỏng không chỉ chuyển động theo chiều quay của xi lanh mà còn chuyển động lên xuống, quay quanh các múi trên. Hành vi tương tự của chúng đã được xem xét bởi J. I. Taylor, người đã nhìn thấy và đo lường đặc điểm định lượng sự kiện này vào năm 1923.

Để nghiên cứu dòng chảy Couete, các nhà khoa học đã thiết kế một thiết bị đặt trên bàn và bao gồm hai hình trụ. Hình trụ thủy tinh bên ngoài giống như một quả bóng tennis hẹp bằng thiếc, cao một foot và đường kính hai inch. Một xi lanh thép thứ hai được đặt gọn gàng bên trong nó, để lại một khoảng trống khoảng 1/8 inch cho nước. “Đó là một câu chuyện rất cảm động,” Freeman Dyson nhớ lại, một trong những nhân chứng vô tình của các sự kiện trong những tháng tiếp theo. “Hai quý ông này, trong một căn phòng chật hẹp được trang bị như phòng thí nghiệm, hầu như không có tiền, đang thực hiện một thí nghiệm tuyệt vời đánh dấu sự khởi đầu của nghiên cứu chính thức về hiện tượng nhiễu loạn.”

Cả hai nhà nghiên cứu đều quan tâm đến vấn đề khoa học của họ, giải pháp cho vấn đề này sẽ sớm được khen thưởng bằng những tràng pháo tay truyền thống và nhanh chóng bị đưa vào quên lãng. Sweeney và Gollub dự định xác nhận ý tưởng của Landau về ngưỡng nhiễu loạn và các thí nghiệm không đưa ra lý do nhỏ nhất để nghi ngờ điều đó. Ngoài ra, người ta biết rằng các nhà vật lý nghiên cứu về thủy động lực học đã tin tưởng vào những cân nhắc của Landau. Bản thân các nhà vật lý, Sweeney và Gollub, cũng đồng cảm với lý thuyết này, bởi vì nó tương ứng với bức tranh chung về sự chuyển pha. Landau đã phát triển một kế hoạch khá hiệu quả để nghiên cứu chúng, dựa trên niềm tin rằng các hiện tượng như vậy phải tuân theo các quy luật phổ quát và chúng không liên quan đến đặc điểm của các chất cụ thể. Khi Harry Swinney nghiên cứu về điểm sương carbon dioxide, giống như Landau, ông tin rằng những phát hiện của mình có thể áp dụng cho điểm sương xenon, và ông đã đúng. Thật vậy, tại sao nhiễu loạn không phải là một tập hợp ổn định của các sóng va chạm trong một chất lỏng đang chuyển động?

Để đối phó với chuyển động dữ dội của chất lỏng, Sweeney và Gollub đã nghĩ ra một kho kỹ thuật thông minh, được mài dũa qua nhiều năm nghiên cứu sự chuyển pha trong những hoàn cảnh rất khó khăn. Họ đã có một phương pháp nghiên cứu và những dụng cụ đo lường như vậy mà một nhà vật lý bình thường thậm chí không thể mơ tới. Họ đã sử dụng tia laser để nghiên cứu các dòng xoáy. Chùm tia chiếu xuyên qua nước bị khúc xạ hoặc tán xạ, có thể đo được bằng phương pháp giao thoa Doppler laze. Thông tin thu được được lưu trữ và xử lý bằng máy tính, vào năm 1975, máy tính này rất hiếm trên bàn của những người thí nghiệm.

Landau lưu ý rằng khi lưu lượng tăng lên, các tần số mới xuất hiện, mỗi tần số trong một khoảng thời gian riêng biệt. “Chúng tôi biết về điều này,” Sweeney sau này nhớ lại, “và chúng tôi quyết định sẽ theo dõi quá trình chuyển đổi để biết chính xác nơi các tần số như vậy sẽ xuất hiện. Và chúng tôi đã theo dõi - hoàn toàn tin tưởng rằng quá trình chuyển đổi đã được xác định rõ ràng. Chúng tôi bắt đầu chuyển pha theo cả hai hướng, tăng hoặc giảm tốc độ quay của các hình trụ, và mọi thứ diễn ra như vậy.

Báo cáo về kết quả công việc đã thực hiện, Sweeney và Gollub phải đối mặt với thực tế là giữa lĩnh vực vật lý thuần túy và lĩnh vực thủy động lực học có một ranh giới nhất định, rất sống động và linh động. Đặc biệt, cô ấy đã xác định bộ phận nào trong số nhiều bộ phận của Quỹ Khoa học Quốc gia nên tài trợ cho nghiên cứu. Vào đầu những năm 1980, thí nghiệm Cuete-Taylor đã quay trở lại lĩnh vực vật lý, nhưng vào năm 1973, nó được coi là thủy động lực học thuần túy và kết quả đầu tiên mà hai nhà vật lý thu được trong một phòng thí nghiệm nhỏ dường như rõ ràng một cách đáng ngờ đối với các chuyên gia trong lĩnh vực này. Họ chỉ không tin điều đó. Rốt cuộc, những người dành cả cuộc đời cho thủy động lực học hoàn toàn không quen với các thí nghiệm lặp đi lặp lại các nghiên cứu trong vật lý về sự chuyển pha. Hơn nữa, rất khó để hiểu được nền tảng lý thuyết của các thí nghiệm từ quan điểm thủy động lực học. Một lần nữa kêu gọi Quỹ khoa học quốc gia tài trợ, Sweeney và Gollub đã bị từ chối. Một số chuyên gia chỉ đơn giản là không chấp nhận kết quả của họ, trong khi những người khác cảm thấy rằng kết quả không có gì mới lạ.

Nhưng công việc không bao giờ dừng lại. “Có một sự chuyển đổi rõ ràng về chất lượng,” Sweeney nói, “và chúng tôi coi đó là một thành công phi thường. Và sau đó chúng tôi lại tiến về phía trước, tìm kiếm cái tiếp theo.

Và đột nhiên trình tự mà Landau viết về sụp đổ. Thí nghiệm không xác nhận lý thuyết. Ở lần chuyển đổi tiếp theo, dòng chảy "nhảy" sang trạng thái hỗn loạn, không tìm thấy bất kỳ chu kỳ đáng chú ý nào: không tần số mới, không tăng dần mảnh ghép ngẫu nhiên. Không. "Tất cả những gì chúng tôi tìm thấy là nó đột nhiên trở nên hỗn loạn." Vài tháng sau, một người châu Âu gầy gò, quyến rũ xuất hiện trước ngưỡng cửa của phòng thí nghiệm.

David Ruelle thích nói rằng có hai loại nhà vật lý: loại thứ nhất lớn lên khi tháo rời các đài phát thanh (trước vật lý chất rắn, bạn có thể tưởng tượng các dòng điện tử bằng cách nhìn chằm chằm vào dây dẫn và ống chân không phát sáng với ánh sáng ấm áp), và những người thuộc loại thứ hai, thích gây rối với thuốc thử hóa học. Bản thân Ruelle, sinh ra và lớn lên ở phía bắc nước Bỉ, chỉ thuộc loại thứ hai và thích bộ dụng cụ của nhà hóa học hơn tất cả đồ chơi - thậm chí không phải bộ dụng cụ theo nghĩa hiện tại của từ này, mà chỉ đơn giản là hóa chất, dù là chất nổ hay chất độc, mà anh ấy đã sử dụng. hào phóng cung cấp bởi một dược sĩ địa phương. Chàng trai trẻ David đã pha trộn, khuấy động, nung nóng, kết tinh và thậm chí đôi khi làm bùng nổ tất cả sự phong phú này. Ông sinh ra ở Ghent năm 1935. Mẹ ông là huấn luyện viên thể dục dụng cụ và cha ông là giáo sư ngôn ngữ học tại trường đại học. Và mặc dù chàng trai trẻ đã lập nghiệp trong thế giới khoa học, rất xa so với bình thường, nhưng anh ta luôn bị thu hút bởi khía cạnh thần bí của tự nhiên, nơi ẩn chứa những bí ẩn của nó trong bào tử của nấm xốp, diêm tiêu, lưu huỳnh màu vàng lục và than củi. .

vật lý toán họcđã trở thành lĩnh vực mà Ruelle có đóng góp đáng kể trong việc khám phá ra sự hỗn loạn. Vào đầu những năm 1970, ông làm việc tại Viện Nghiên cứu Cao cấp, một cơ sở giáo dục ở ngoại ô Paris, theo mô hình của Viện Nghiên cứu Cao cấp tại Princeton. Anh đã hình thành một thói quen kéo dài cả đời: thỉnh thoảng anh rời bỏ gia đình và công việc để đi lang thang với chiếc ba lô trên lưng trong sa mạc Iceland hoặc vùng nông thôn Mexico. Đôi khi anh gặp những người dành cho anh sự thân thiện và hiếu khách của họ. Chia sẻ với họ một bữa ăn khiêm tốn gồm bánh ngô, thịt và rau, nhà khoa học nghĩ rằng ông đã nhìn thế giới như cách đây hai thiên niên kỷ. Trở về viện, anh lại lao đầu vào nghiên cứu. Các đồng nghiệp nhận thấy khuôn mặt của anh ấy gầy đi như thế nào, đường lông mày nhô ra như thế nào, cằm nhọn ra sao. Ruelle đã nghe các bài giảng của Steve Smale về "vành móng ngựa" và tiềm năng hỗn loạn của các hệ thống động lực. Anh ấy nghĩ về sự nhiễu loạn trong chất lỏng và sơ đồ cổ điển của Landau, nghi ngờ rằng tất cả chúng đều tương quan với nhau bằng cách nào đó, nhưng đồng thời lại mâu thuẫn với nhau.

Nhà khoa học chưa bao giờ làm việc với dòng chất lỏng trước đây, nhưng điều này hoàn toàn không làm nản lòng nghiên cứu, cũng như nó không làm nản lòng những người tiền nhiệm kém may mắn của ông. Ông nói: “Những điều mới thường được phát hiện bởi những người không chuyên nghiệp. - Trên thực tế, không có lý thuyết nhiễu loạn phức tạp và sâu sắc. Mọi thứ mà chúng ta có thể tìm hiểu về nó đều có tính chất tổng quát hơn và do đó những người chưa từng xử lý nó trước đây có thể tiếp cận được. Không khó để hiểu tại sao nhiễu loạn không thể phân tích được - hành vi của dòng chất lỏng được mô tả bằng các phương trình vi phân phi tuyến tính, phần lớn không thể giải được. Tuy nhiên, Ruelle đã phát triển một giải pháp thay thế rất trừu tượng cho sơ đồ của Landau, được thể hiện bằng ngôn ngữ của Smale, nơi không gian được sử dụng như một vật liệu dễ uốn có thể nén, kéo dài và uốn thành các hình dạng giống như móng ngựa. Bài báo được viết tại Viện Nghiên cứu Khoa học Cao cấp, trong thời gian tạm nghỉ để thăm nhà toán học người Hà Lan Floris Takens, và được xuất bản chung vào năm 1971. Không thể nhầm lẫn phong cách của bài báo. Đó là toán học thuần túy (nhớ bạn, một cây bút vật lý!) và chứa đựng định nghĩa, định lý và bằng chứng theo sau tất yếu là: Hãy...Đây là một ví dụ: " Chứng minh (5.2.). Hãy giả sử rằng X? là họ một tham số C k trường vectơ trong không gian Hilbert h, như vậy mà…"

Chưa hết, trong tiêu đề của ấn phẩm có tên "Về bản chất của nhiễu loạn", có một mối liên hệ với thế giới thực và có một sự đồng điệu có chủ ý với tiêu đề tác phẩm nổi tiếng của Landau "Về vấn đề nhiễu loạn". Ruelle và Takens rõ ràng muốn tiến xa hơn nhiều so với toán học, cố gắng đưa ra một giải pháp thay thế cho các quan điểm truyền thống về ngưỡng của nhiễu loạn. Họ gợi ý rằng nguồn gốc của tất cả sự phức tạp trong nhiễu loạn không phải là sự chồng chất của các tần số, dẫn đến sự xuất hiện của vô số chuyển động chất lỏng độc lập và chồng chéo, mà chỉ là ba chuyển động riêng biệt. Một cái gì đó trong logic của họ dường như rất mơ hồ, vay mượn và đơn giản là sai, hoặc cái này, cái kia và cái thứ ba cùng một lúc - mười lăm năm sau, các ý kiến ​​​​về vấn đề này vẫn khác nhau.

Tuy nhiên, cái nhìn sâu sắc, nhận xét, ghi chú bên lề và bao gồm từ vật lý đã khiến công trình trở thành đối tượng được chú ý trong nhiều năm. Hình ảnh có vẻ quyến rũ nhất được các tác giả đặt tên chất hấp dẫn kỳ lạ. Cái tên này mang tính gợi ý, như các nhà phân tâm học nói, tức là chính âm thanh của nó đã làm nảy sinh những liên tưởng trong tiềm thức, điều mà Ruelle sau này đã cảm nhận được. Thuật ngữ "người thu hút kỳ lạ" trở nên phổ biến trong giới nghiên cứu hỗn loạn đến nỗi Takens và Ruelle sau đó đã tranh chấp quyền tác giả của nhau. Cả hai đều không thể nhớ rõ ai là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ này. Takens - một người Norman cao lớn, hồng hào và hung bạo - có lúc đã buông xuôi: "Bạn đã bao giờ hỏi Chúa rằng Ngài đã tạo ra Vũ trụ chết tiệt này như thế nào chưa? .. Tôi không nhớ gì cả... Tôi tạo ra mà không nhớ chi tiết của quá trình này." Ruell, đồng tác giả chính, nhẹ nhàng nhận xét: “ Người khác và làm việc khác nhau. Một số người nên viết bài một mình, sau đó một mình gặt hái vòng nguyệt quế.

Một lực hấp dẫn kỳ lạ sống trong không gian pha - một trong những phát minh tuyệt vời nhất Khoa học hiện đại. Không gian pha giúp biến số thành hình ảnh, trích xuất thậm chí một chút thông tin cần thiết từ các hệ thống chuyển động, cơ khí hoặc chất lỏng, và thể hiện rõ ràng tất cả các khả năng của chúng. Các nhà vật lý đã xử lý hai loại lực hấp dẫn ít nhiều đơn giản hơn - điểm cố định và đường cong khép kín, mô tả hành vi của những hệ như vậy đã đạt đến trạng thái ổn định hoặc tự lặp lại liên tục.

Trong không gian pha, tất cả các dữ liệu đã biết về một hệ động lực tại mỗi thời điểm đều tập trung tại một điểm, đó là hệ đã cho trong khoảng thời gian ngắn nhất. Trong khoảnh khắc tiếp theo, hệ thống sẽ trải qua những thay đổi, ngay cả khi chúng không đáng kể và điểm sẽ thay đổi vị trí của nó. Toàn bộ thời gian tồn tại của hệ thống có thể được mô tả trên đồ thị bằng cách theo dõi chuyển động của một điểm theo thời gian và quan sát quỹ đạo của nó trong không gian pha.

Nhưng làm thế nào tất cả dữ liệu trên hệ thống phức tạp nhất có thể được trình bày chỉ trong một điểm? Nếu hệ thống được đặc trưng bởi hai biến, không khó để tìm ra câu trả lời, nó trực tiếp đến từ hình học Euclide được dạy ở trường trung học: một trong các biến nằm trên trục hoành x, và cái kia trên trục tung y. Nếu hệ thống là một con lắc dao động không có ma sát, thì một trong các biến là vị trí của nó trong không gian và biến còn lại là tốc độ của nó. Chúng thay đổi liên tục, tạo thành một đường chấm uốn thành một vòng lặp đi lặp lại nhiều lần. Cùng một hệ nhưng có năng lượng cao hơn, dao động nhanh hơn và xa hơn, tạo thành một vòng trong không gian pha, tương tự như vòng thứ nhất nhưng kích thước lớn hơn.

Tuy nhiên, đối mặt với một trong những biểu hiện của thực tế - ma sát, hệ thống bắt đầu trải qua những thay đổi. Để mô tả hành vi của một con lắc chịu ma sát, không cần thiết phải có các phương trình chuyển động: mỗi dao động của nó thực sự kết thúc tại cùng một vị trí, ở tâm nơi chuyển động bắt đầu và tốc độ của nó tại những thời điểm này bằng không. Vùng cố định trung tâm này, có thể nói là "thu hút" các rung động. Thay vì mãi mãi vẽ các vòng trên đồ thị, quỹ đạo của con lắc xoắn ốc vào trong. Ma sát làm tiêu hao năng lượng của hệ, năng lượng này trong không gian pha trông giống như một lực đẩy về phía trung tâm. Có sự di chuyển từ vùng bên ngoài có năng lượng cao vào vùng bên trong có năng lượng thấp. Lực hút - đơn giản nhất có thể - giống như một cục nam châm có kích thước bằng đầu đinh cắm trong một tấm cao su.

Một trong những ưu điểm của việc xem các trạng thái của một hệ thống như một tập hợp các điểm trong không gian là việc quan sát những thay đổi xảy ra sẽ dễ dàng hơn. Một hệ thống trong đó các biến số liên tục tăng và giảm trở thành một điểm chuyển động, giống như một con ruồi bay quanh phòng. Nếu một số kết hợp nhất định của các biến không bao giờ xảy ra, nhà khoa học có thể đơn giản cho rằng căn phòng bị hạn chế và côn trùng sẽ không bao giờ xâm nhập. Với hành vi định kỳ của hệ thống đang được nghiên cứu, khi nó trở lại trạng thái cũ nhiều lần, đường bay của ruồi tạo thành một vòng lặp và côn trùng đi qua cùng một điểm trong không gian nhiều lần. Các chân dung đặc biệt của các hệ vật lý trong không gian pha cho thấy các kiểu chuyển động mà không thể quan sát được bằng cách khác. Vì vậy, một bức ảnh phong cảnh thiên nhiên trong tia hồng ngoại tiết lộ những điều nhỏ nhặt và chi tiết tồn tại ngoài tầm nhận thức của chúng ta. Nhà khoa học, khi nhìn vào bức tranh về pha, có thể kêu gọi trí tưởng tượng giúp đỡ, hiểu được bản chất của chính hệ thống: một vòng lặp ở đây tương ứng với tính tuần hoàn ở đó, một khúc cua cụ thể thể hiện một sự thay đổi nhất định và sự trống rỗng nói lên khả năng không thể xảy ra của vật lý.

Ngay cả khi có mặt hai biến số, ảnh trong không gian pha vẫn có thể làm chúng ta ngạc nhiên theo nhiều cách. Ngay cả trên màn hình máy tính để bàn, bạn có thể xây dựng một số trong số chúng, biến các phương trình thành quỹ đạo đầy màu sắc. Một số nhà vật lý đã bắt đầu tạo ra hàng loạt hình ảnh chuyển động và làm băng video để cho các đồng nghiệp của họ xem. Các nhà toán học từ California đã xuất bản những cuốn sách được minh họa bằng nhiều hình vẽ theo kiểu hoạt hình đỏ-xanh-xanh - "truyện tranh hỗn loạn", như các đồng nghiệp của họ gọi chúng, không phải không có độc. Nhưng một vài phép đo không bao gồm toàn bộ hệ thống phong phú mà các nhà vật lý muốn nghiên cứu và các nhà khoa học đã tìm cách đưa ra nhiều hơn hai biến, điều này đương nhiên đòi hỏi phải tăng số lượng phép đo. Mỗi mảnh của một hệ thống động có khả năng chuyển động độc lập đã là một biến mới, thể hiện một “mức độ tự do” khác nhau và đối với mỗi mức độ như vậy, cần có một chiều mới trong không gian pha. Mặt khác, không có gì chắc chắn rằng một điểm duy nhất chứa đủ thông tin để mô tả trạng thái của hệ thống tại bất kỳ thời điểm nào. Các phương trình đơn giản do Robert May nghiên cứu là một chiều. Họ đã làm cho nó có thể đạt được bằng một con số - giá trị của nhiệt độ hoặc quy mô dân số, xác định vị trí của một điểm trên một đường thẳng nằm trong một chiều. Hệ thống mở rộng của Lorentz, mô tả sự đối lưu trong chất lỏng, có ba chiều, không phải vì chất lỏng chuyển động trong ba chiều không gian, mà vì cần có ba số xác định để mô tả trạng thái của chất lỏng tại bất kỳ thời điểm nào.

Ngay cả một nhà tô pô học từ rất tưởng tượng phát triển không dễ hình dung không gian có bốn, năm chiều hoặc nhiều hơn. Tuy nhiên, các hệ thống phức tạp có nhiều biến số độc lập, vì vậy các nhà toán học phải chấp nhận thực tế là nhiều bậc tự do đòi hỏi một không gian pha có nhiều chiều vô hạn. Vì vậy, thiên nhiên không bị giới hạn làm cho nó cảm thấy trong những tia nước hỗn loạn của thác nước hoặc trong sự không thể đoán trước của bộ não con người. Nhưng ai sẽ có thể đối phó với con quái vật hỗn loạn hung bạo, không thể cưỡng lại, được đặc trưng bởi nhiều hình thức khác nhau, vô số "bậc tự do", vô số kích thước?

Các nhà vật lý đã có khá lý do chính đáng không thích một người mẫu có hành vi quá tối nghĩa. sử dụng phương trình phi tuyến, mô tả chuyển động của chất lỏng, những siêu máy tính mạnh nhất trên thế giới cũng không thể theo dõi chính xác dòng chảy hỗn loạn của dù chỉ một xăng-ti-mét khối lỏng trong vòng vài giây. Tất nhiên, thiên nhiên phải chịu trách nhiệm cho điều này nhiều hơn Landau, tuy nhiên, kế hoạch do nhà khoa học Liên Xô đề xuất đã tạo ra hiệu ứng "vuốt ve lông cừu". Ngay cả khi không có bất kỳ kiến ​​thức vững chắc nào, nhà vật lý cũng có thể nghi ngờ rằng hiện tượng này không thể giải thích được. Một cảm giác tương tự đã được thể hiện trong lời của nhà lý thuyết vĩ đại về vật lý lượng tử Richard Phillips Feynman: phép toán logicđể tìm hiểu những gì xảy ra trong không gian và thời gian, bất kể không gian này nhỏ và thời gian ngắn như thế nào. Làm thế nào một cái gì đó như thế này có thể xảy ra trong một không gian nhỏ như vậy? Tại sao phải mất rất nhiều nỗ lực để cuối cùng tìm ra số phận tiếp theo của một đoạn thời gian hoặc một giọt không gian là gì?

Cơm. 5.1. Một cách mới để nghiên cứu con lắc.

Một điểm trong không gian pha (bên phải) truyền tất cả thông tin về trạng thái của hệ thống động tại một thời điểm cụ thể (bên trái). Đối với một con lắc đơn, hai con số là đủ để biểu thị tốc độ và vị trí của nó.

Các điểm tạo thành một quỹ đạo cho phép bạn hình dung hành vi liên tục của một hệ thống động trong một khoảng thời gian dài. Một "vòng lặp" lặp đi lặp lại đại diện cho một hệ thống luôn tái tạo cùng một trạng thái của chính nó. Nếu hành vi lặp đi lặp lại là ổn định, giống như một chiếc đồng hồ có quả lắc, thì hệ thống, ít bị cản trở, sẽ quay trở lại quỹ đạo chuyển động trước đó. Trong không gian pha, các quỹ đạo gần quỹ đạo có thể nói là tham gia vào nó và bản thân quỹ đạo là một lực hút.

Cơm. 5.2. Một điểm thu hút có thể là một điểm duy nhất. Trong trường hợp con lắc liên tục mất năng lượng do ma sát, tất cả các quỹ đạo đều ở dạng xoắn ốc, xoắn vào trong hướng tới điểm mà hệ thống ổn định, trong trường hợp đó không có chuyển động nào cả.

Giống như nhiều người nghiên cứu về sự hỗn loạn, David Ruelle nghi ngờ rằng các vật thể được nhìn thấy trong một dòng chảy hỗn loạn - những tia nước bị vướng víu, xoáy nước xoắn ốc, những lọn tóc ma thuật xuất hiện rồi lại biến mất - phải phản ánh những gì đã được giải thích bởi các định luật vật lý, nhưng vẫn thuộc về quả cầu bí ẩn và chưa được khám phá. Theo hiểu biết của ông, sự tiêu tán năng lượng trong dòng chảy hỗn loạn lẽ ra phải dẫn đến một kiểu co lại của không gian pha, lực hút đối với chất hấp dẫn. Không còn nghi ngờ gì nữa, cái sau không còn là một điểm cố định, vì dòng chảy không bao giờ ở trạng thái nghỉ - năng lượng đi vào hệ thống và rời khỏi nó. Điều gì khác có thể là một điểm thu hút? Ngoài những gì được mô tả, theo giáo điều, chỉ có một loại khả thi - một lực hút định kỳ, hoặc một đường cong khép kín, một quỹ đạo thu hút tất cả các quỹ đạo lân cận. Nếu con lắc nhận năng lượng từ hệ thống treo và mất năng lượng do ma sát, thì quỹ đạo ổn định có thể là một vòng khép kín trong không gian pha, chẳng hạn như phản ánh chuyển động dao động đều của quả lắc đồng hồ quả lắc. Bất kể con lắc bắt đầu di chuyển chính xác ở đâu, cuối cùng nó sẽ đi đến quỹ đạo cụ thể này. Nhưng nó sẽ đến chứ? Do một số điều kiện ban đầu (và chúng được đặc trưng bởi mức năng lượng tối thiểu), con lắc sẽ dừng lại. Do đó, hóa ra hệ thống thực sự có hai điểm thu hút, một trong số đó là một vòng khép kín và điểm còn lại là một điểm cố định. Mỗi bộ thu hút có "ngách" riêng trong không gian pha. Nhìn chung, nó giống như hai thung lũng sông được phân định bởi một đường phân thủy.

Trong một khoảng thời gian ngắn, mỗi điểm của không gian pha có thể có nghĩa là hành vi có thể có của một hệ thống động lực. Khi nghiên cứu viễn cảnh dài hạn, chính những người thu hút trở thành mô hình hành vi duy nhất. Tất cả các loại chuyển động khác là nhất thời. Theo định nghĩa, chất thu hút có phẩm chất quan trọng nhất - sự ổn định. Trong một hệ thống thực, nơi các phần tử chuyển động va chạm và lắc lư do tiếng ồn môi trường, chuyển động thường quay trở lại điểm thu hút. Cú đẩy có thể làm sai lệch quỹ đạo trong một thời gian ngắn, nhưng các chuyển động ngẫu nhiên xảy ra nhanh chóng biến mất - ngay cả khi con mèo đột ngột chạm vào đồng hồ quả lắc, phút sẽ không tăng lên sáu mươi hai giây. Tuy nhiên, nhiễu loạn trong chất lỏng là một hiện tượng có trật tự khác, không bao giờ tạo ra một nhịp điệu duy nhất. Một tính chất nổi tiếng của một hiện tượng như vậy là tại một thời điểm nhất định, toàn bộ phổ của các dao động có thể được quan sát thấy. Sự nhiễu loạn có thể được so sánh với "tiếng ồn trắng" hoặc tĩnh. Liệu một hệ phương trình xác định đơn giản có thể mô tả một hiện tượng như vậy không?

Ruelle và Takens tự hỏi liệu có loại chất hấp dẫn nào khác có tập hợp các đặc điểm phù hợp: ổn định, số chiều nhỏ, không tuần hoàn. Tính bền vững có nghĩa là đạt đến trạng thái cuối cùng của hệ thống chống lại mọi khó khăn trong một thế giới ồn ào. Số lượng nhỏ các phép đo gợi ý rằng quỹ đạo trong không gian pha phải là hình chữ nhật hoặc hình hộp chỉ có một vài bậc tự do. Không định kỳ có nghĩa là không lặp lại, không giống như tiếng tích tắc đơn điệu của những chiếc đồng hồ cũ. Từ quan điểm hình học, câu hỏi có vẻ giống như một câu đố thuần túy. Một quỹ đạo được vẽ trong một không gian giới hạn phải có dạng gì để nó không bao giờ lặp lại và không tự cắt nhau? Rốt cuộc, một hệ thống đã trở lại trạng thái trước đó, theo mô hình được chấp nhận, nên đi theo con đường thông thường của nó. Chơi mỗi nhịp thì quỹ đạo phải là một đường dài vô hạn trong một vùng giới hạn. Nói cách khác, nó phải trở thành fractal.

Dựa trên các lý do toán học, Ruelle và Takens tuyên bố rằng hiện tượng được mô tả phải tồn tại. Mặc dù họ chưa bao giờ nhìn thấy hoặc vẽ chân dung anh ta, nhưng một câu nói là đủ. Sau đó, phát biểu tại cuộc họp toàn thể của Đại hội các nhà toán học quốc tế ở Warsaw, Ruell cho biết: “Cộng đồng khoa học đã phản ứng rất lạnh lùng với đề xuất của chúng tôi. Việc đề cập rằng một quang phổ liên tục sẽ được liên kết với một số lượng nhỏ "bậc tự do" được nhiều nhà vật lý coi là dị giáo. Nhưng có những người khác - một số ít, không còn nữa. Cảm thấy ý nghĩa đầy đủ của tác phẩm xuất bản năm 1971, họ bắt đầu mô tả những gì được ngụ ý trong đó.

Trên thực tế, vào năm 1971, đã có một bản phác thảo nhỏ trong tài liệu khoa học về con quái vật không thể tưởng tượng được mà Ruelle và Takens đang cố gắng hồi sinh.

Cơm. 5.3. Lực hấp dẫn kỳ lạ đầu tiên. Năm 1963, Edward Lorenz chỉ có thể tính được một vài phần tử đầu tiên của đường hấp dẫn cho hệ phương trình đơn giản của ông. Tuy nhiên, ông nhận ra rằng "lớp" gồm hai dạng giống như cánh xoắn ốc phải có cấu trúc khác thường, không thể phân biệt ở quy mô nhỏ.

Edward Lorenz đã biến nó thành phụ lục cho bài báo của ông về sự hỗn loạn tất định, xuất bản năm 1963. Hình ảnh này là một cấu trúc phức tạp của hai đường cong, một đường cong bên trong đường cong kia, ở bên phải và năm đường cong ở bên trái. Chỉ đối với một biểu diễn sơ đồ của bảy "vòng lặp" này, phải mất năm trăm Các hoạt động toán học thực hiện thành công bằng máy tính. Điểm, di chuyển dọc theo quỹ đạo xác định trong không gian pha, thể hiện sự quay hỗn loạn chậm của dòng chất lỏng, được mô tả bằng ba phương trình Lorentz cho hiện tượng đối lưu. Do hệ thống được đặc trưng bởi ba biến độc lập nên bộ thu hút này nằm trong không gian pha ba chiều. Và mặc dù chỉ một phần của nó được mô tả, Lorenz đã có thể nhìn thấy nhiều hơn thế: một thứ gì đó giống như một đường xoắn kép, những cánh bướm được dệt bằng kỹ năng đáng kinh ngạc. Khi lượng nhiệt trong hệ thống Lorentz tăng lên khiến chất lỏng di chuyển theo một hướng, điểm đó nằm ở "cánh" bên phải, khi dòng chảy dừng lại và nó quay lại, điểm đó sẽ di chuyển sang phía bên kia.

Bộ thu hút ổn định, không tuần hoàn, có số chiều nhỏ và không bao giờ tự cắt nhau. Nếu điều này xảy ra và anh ta quay trở lại điểm mà anh ta đã đi qua, chuyển động sẽ được lặp lại trong tương lai, tạo thành một vòng tuần hoàn, nhưng điều này đã không xảy ra. Đây là sức hấp dẫn kỳ lạ của lực hút: các vòng và xoắn ốc xuất hiện trước mắt dường như sâu vô tận, không bao giờ hoàn toàn kết nối hoặc giao nhau. Tuy nhiên, họ vẫn ở trong không gian có giới hạn riêng và bị giới hạn bởi khuôn khổ của chiếc hộp. Tại sao điều này trở nên khả thi? Làm thế nào mà vô số quỹ đạo có thể nằm trong một không gian hạn chế?

Trước khi hình ảnh của Mandelbrot fractal tràn ngập theo đúng nghĩa đen thế giới khoa học, dường như rất khó để tưởng tượng các đặc điểm của việc xây dựng các hình thức như vậy. Bản thân Lorentz thừa nhận rằng có một "mâu thuẫn rõ ràng" trong mô tả thí nghiệm của chính ông. Nhà khoa học phàn nàn: “Rất khó hợp nhất hai bề mặt nếu mỗi bề mặt chứa một hình xoắn ốc và các quỹ đạo không nối với nhau. Tuy nhiên, trong khối lượng tính toán của máy tính, anh vẫn nhận ra một giải pháp có thể nhìn thấy được một cách mờ nhạt. Lorentz nhận ra rằng khi các đường xoắn ốc bắt đầu kết nối rõ ràng, các bề mặt phải tách ra, tạo thành các lớp riêng biệt, giống như trong một chồng giấy viết. “Chúng tôi thấy rằng mỗi bề mặt thực sự được tạo thành từ hai bề mặt, vì vậy khi chúng hội tụ, đã có bốn bề mặt. Tiếp tục quy trình này, chúng tôi lưu ý rằng có tám bề mặt, v.v.. Kết quả là, chúng ta có thể kết luận rằng có vô số bề mặt, mỗi bề mặt cực kỳ gần với một trong hai bề mặt kết nối. Không có gì đáng ngạc nhiên khi vào năm 1963, các nhà khí tượng học đã bỏ qua những cân nhắc như vậy. Một thập kỷ sau, Ruelle, khi biết về công việc của Lorenz, đã thực sự choáng váng. Sau đó, anh ấy đến thăm Lorenz, nhưng đã rời khỏi cuộc họp này cảm giác nhẹ thất vọng. Các nhà nghiên cứu đã không thảo luận quá lâu về các mối quan tâm khoa học chung; với sự rụt rè đặc trưng của mình, Lorenz tránh tranh cãi và cố gắng tạo cho chuyến thăm một tính chất thế tục: các nhà khoa học và vợ của họ đã đến thăm một bảo tàng nghệ thuật.

Cố gắng tìm manh mối để giải câu đố, Ruelle và Takens đã đi theo hai hướng. Đặc biệt, họ đã cố gắng đưa ra sự biện minh về mặt lý thuyết cho các lực hút lạ. Là người thu hút Lorentz điển hình? Có những hình thức khác có thể? Con đường thứ hai mà các nhà khoa học đã đi là hoạt động thử nghiệm. Cô ấy theo đuổi mục tiêu xác nhận hoặc bác bỏ niềm tin, vốn rất xa vời với toán học, rằng các lực hút lạ có thể áp dụng cho sự hỗn loạn trong tự nhiên.

Tại Nhật Bản, việc nghiên cứu các mạch điện tử mô phỏng dao động của dây cơ học, nhưng với tốc độ nhanh, đã khiến Yoshisuke Ueda phát hiện ra một chuỗi các lực hút kỳ lạ vô cùng đẹp mắt. Ở Đức, Otto Rössler, một M.D. không hành nghề, người đã đến để khám phá sự hỗn loạn thông qua hóa học và sinh học lý thuyết, đã cố gắng xem xét các lực hút kỳ lạ qua lăng kính triết học, bỏ qua toán học ở phía sau. Tên của ông được gắn liền với một trong những chất thu hút đơn giản nhất - một dải ruy băng hẹp được gấp lại, được nghiên cứu khá rộng rãi do dễ chế tạo. Tuy nhiên, nhà khoa học đã đưa vào dạng hữu hình và các chất hấp dẫn với số lượng lớn các kích thước. Anh ấy nói: “Hãy tưởng tượng một chiếc xúc xích, bên trong được bao bọc, cái này bên trong cái kia, nhiều xúc xích hơn. “Lấy nó ra, cuộn lại, ép chặt và đặt lại.” Thật vậy, sự uốn cong và co lại của không gian hóa ra lại là chìa khóa để cấu tạo nên các lực hút kỳ lạ và có lẽ là cả động lực học đã tạo ra chúng. hệ thống thực. Rössler cảm thấy rằng những hình thức này nhân cách hóa nguyên tắc tự tổ chức của thế giới xung quanh. Một cái gì đó giống như một chiếc áo gió trên sân bay được vẽ ra trong trí tưởng tượng của anh ấy. Nhà nghiên cứu giải thích: “Một ống tay áo được đóng lại ở một đầu với một lỗ ở đầu kia, nơi gió thổi qua. - Đột nhiên gió bị mắc bẫy. Năng lượng của anh ấy làm được điều gì đó hữu ích, giống như ác quỷ trong lịch sử thời trung cổ. Nguyên tắc là tự nhiên làm điều gì đó trái với ý muốn của nó và tự vướng vào chính nó, sinh ra cái đẹp.

Tạo hình ảnh của những người thu hút kỳ lạ khó có thể được gọi là phổ biến. Các đường phức tạp của các quỹ đạo uốn lượn qua ba chiều trở lên, tạo thành một mớ đen tối trong không gian trông giống như những nét vẽ nguệch ngoạc của trẻ em và được ban cho một cấu trúc bên trong không thể nhìn thấy từ bên ngoài. Để thể hiện một "mạng lưới" ba chiều như vậy dưới dạng hình ảnh phẳng, trước tiên các nhà khoa học đã áp dụng kỹ thuật chiếu. Bản vẽ là một cái bóng được tạo ra bởi chất hấp dẫn trên bề mặt. Tuy nhiên, nếu các điểm thu hút kỳ lạ khá phức tạp, thì hình chiếu sẽ làm mờ tất cả các chi tiết và mắt nhìn thấy một sự nhầm lẫn gần như không thể giải mã được. Một kỹ thuật hiệu quả hơn là xây dựng cái gọi là đảo ngược mạch, hoặc là sơ đồ (phần) của Poincaré. Bản chất của nó tóm lại là tách một "lát" của lõi rối của chất hấp dẫn và chuyển nó sang không gian hai chiều, giống như một nhà nghiên cứu bệnh học đặt một phần mô lên phiến kính hiển vi.

Lược đồ Poincare tước đi một chiều của bộ thu hút và biến một đường liên tục thành một tập hợp các điểm. Chuyển đổi bộ thu hút thành sơ đồ Poincare, nhà khoa học không nghi ngờ gì trong một phút rằng anh ta sẽ giữ lại bản chất của chuyển động. Ví dụ, anh ta có thể tưởng tượng rằng một vật hút kỳ lạ đang bay lơ lửng như một con ong trước mắt anh ta và quỹ đạo của nó di chuyển lên xuống, sang trái và phải, qua lại trên màn hình máy tính và mỗi khi nó đi vào quỹ đạo của nó. đi qua mặt phẳng của màn hình, nó để lại một chấm sáng ở giao lộ. Những chấm như vậy tạo thành một điểm có hình dạng tùy ý tương tự như một đốm hoặc bắt đầu vẽ một đường viền nhất định trên màn hình.

Quá trình được mô tả ở trên tương ứng với việc lấy mẫu trạng thái của hệ thống, quá trình này không được thực hiện liên tục mà chỉ theo thời gian. Khi nào lấy mẫu, tức là cắt lát từ vùng nào của chất hấp dẫn lạ, là tùy thuộc vào nhà nghiên cứu. Khoảng thời gian chứa số lớn nhất thông tin phải tương ứng với một số tài sản vật chất hệ thống động. Ví dụ, trong sơ đồ Poincaré, người ta có thể phản ánh tốc độ của con lắc thẳng đứng mỗi khi nó đi qua nhiều nhất điểm thấp. Hoặc người thí nghiệm có thể tự do chọn một khoảng thời gian đều đặn nhất định, "đóng băng" các trạng thái liên tiếp trong các tia sáng tưởng tượng phát ra từ một nguồn hoạt nghiệm. Trong mọi trường hợp, các hình ảnh thu được cuối cùng sẽ hiển thị cấu trúc fractal tao nhã mà Edward Lorenz đã đoán.

Cơm. 5.4. Cơ cấu thu hút. Lực hút kỳ lạ, như thể hiện trong các hình trên cùng, đầu tiên có một quỹ đạo, sau đó là mười, rồi một trăm. Nó mô tả hành vi hỗn loạn của rôto con lắc, dao động quanh vòng tròn và chuyển động đều đặn bởi một dòng năng lượng. Sau một thời gian, khi một nghìn quỹ đạo xuất hiện trong hình (phía dưới), lực hút sẽ biến thành một quả bóng rối. Để có thể khám phá nó cơ cấu nội bộ, máy tính tạo một mặt cắt ngang của đường thu hút - cái gọi là mặt cắt Poincare (ảnh trong khung). Kỹ thuật này làm giảm số lần đo từ ba xuống còn hai. Mỗi khi quỹ đạo đi qua mặt phẳng, nó để lại một điểm trên đó. Dần dần, một hình ảnh rất chi tiết xuất hiện. Mẫu được hiển thị ở đây bao gồm hơn tám nghìn điểm, mỗi điểm nằm trong một quỹ đạo xung quanh điểm thu hút. Trên thực tế, hệ thống được đo theo các khoảng thời gian đều đặn. Một số dữ liệu bị mất, nhưng những dữ liệu khác được tiết lộ với tất cả sự đa dạng của chúng.

Công cụ thu hút kỳ lạ dễ hiểu nhất và đơn giản nhất được chế tạo bởi một người ở rất xa những bí ẩn về nhiễu loạn và thủy động lực học - nhà thiên văn học Michel Henon từ Đài thiên văn Nice ở bờ biển phía nam nước Pháp. Không còn nghi ngờ gì nữa, ở một số khía cạnh, thiên văn học đã thúc đẩy việc nghiên cứu các hệ động lực. Các hành tinh chuyển động với độ chính xác của một chiếc đồng hồ đã đảm bảo cho chiến thắng của Newton và truyền cảm hứng cho Laplace. Tuy nhiên, cơ học thiên thể khác biệt đáng kể so với cơ học trên mặt đất: các hệ thống trên mặt đất mất năng lượng do ma sát sẽ tiêu tán, điều này không thể nói về các hệ thống thiên văn được coi là bảo thủ hoặc Hamilton. Trên thực tế, ở quy mô gần như vô cùng nhỏ, ngay cả trong các hệ thiên văn, người ta quan sát thấy hiện tượng giống như phanh. Nó xảy ra khi các ngôi sao tỏa năng lượng và ma sát thủy triều làm cạn kiệt động năng của các thiên thể quay quanh. Tuy nhiên, để thuận tiện trong thực tế, các nhà thiên văn bỏ qua hiện tượng tán xạ trong tính toán của họ, và nếu không có nó, không gian pha sẽ không gấp và co lại để tạo thành vô số lớp fractal. Một lực hấp dẫn kỳ lạ không thể phát sinh. Thế còn sự hỗn loạn?

Nhiều nhà thiên văn học đã tạo dựng sự nghiệp bằng cách bỏ qua các hệ động lực, nhưng Oenon thì không như vậy. Ông sinh ra ở Paris năm 1931, chỉ sau Lorenz vài năm. Oenon cũng là kiểu nhà khoa học bị toán học thu hút một cách khó cưỡng. Anh ấy thích giải quyết những vấn đề cụ thể nhỏ có thể gắn liền với một số vấn đề nhất định. vấn đề vật lý, - nói theo cách riêng của ông, "không phải những gì các nhà toán học hiện đại làm." Khi máy tính trở nên phổ biến ngay cả với những người nghiệp dư, Oenon cũng có một chiếc ô tô. Sau khi thu thập nó bằng tay của chính mình, nhà khoa học rất thích máy tính. Nhân tiện, rất lâu trước khi các sự kiện được mô tả, anh ấy đã nghiên cứu một vấn đề đặc biệt khó khăn từ lĩnh vực thủy động lực học. Nó liên quan đến các cụm hình cầu - cụm sao hình cầu, trong đó số lượng sao lên tới một triệu. Đây là những vật thể lâu đời nhất và thú vị nhất trên bầu trời đêm. Mật độ của chúng thật đáng kinh ngạc. Làm thế nào một số lượng lớn các ngôi sao như vậy cùng tồn tại trong một khoảng không gian hạn chế và phát triển theo thời gian, các nhà thiên văn học đã cố gắng tìm ra trong suốt thế kỷ 20.

Từ quan điểm của động lực học, một cụm hình cầu, bao gồm nhiều vật thể, là một chủ đề nghiên cứu khá quan trọng. Khi nào chúng tôi đang nói chuyện về một cặp đối tượng, không có khó khăn đặc biệt nào - Newton đã giải quyết hoàn toàn vấn đề này: mỗi cặp đối tượng, ví dụ, Trái đất và Mặt trăng, mô tả một hình elip lý tưởng xung quanh trọng tâm chung của hệ thống. Nhưng thêm ít nhất một đối tượng hấp dẫn nữa, và mọi thứ sẽ thay đổi. Vấn đề, trong đó ba cơ thể xuất hiện, đã khó hơn nhiều. Như Poincaré đã chỉ ra, trong hầu hết các trường hợp, nó không thể giải được. Có thể tính toán các quỹ đạo trong một khoảng thời gian nhất định và với sự trợ giúp của các máy tính mạnh, có thể theo dõi chúng trong một khoảng thời gian dài hơn cho đến khi xảy ra nhiễu, nhưng các phương trình không thể được giải bằng phương pháp phân tích, tức là dự báo dài hạn về hành vi của một hệ thống ba cơ thể không thể được thực hiện. Hệ mặt trời có ổn định không? Tất nhiên, một tài sản như vậy vốn có trong nó, nhưng ngay cả ngày nay, không ai chắc chắn rằng quỹ đạo của một số hành tinh sẽ không thay đổi ngoài sự công nhận, buộc các thiên thể phải rời xa Mặt trời mãi mãi.

Một hệ thống như cụm hình cầu quá phức tạp để có thể tiếp cận một cách đơn giản như câu hỏi về ba vật thể. Tuy nhiên, động lực của cụm có thể được nghiên cứu bằng một số thủ thuật. Đặc biệt, hoàn toàn có thể chấp nhận được khi coi các ngôi sao đơn lẻ di chuyển trong không gian trong một trường hấp dẫn trung bình nào đó với một trọng tâm nhất định. Đôi khi, hai ngôi sao đến đủ gần nhau và trong trường hợp này, mỗi vật thể tương tác nên được xem xét riêng biệt. Các nhà thiên văn học nhận ra rằng các cụm hình cầu hoàn toàn không ổn định: bên trong chúng thường hình thành cái gọi là hệ thống sao nhị phân, trong đó các ngôi sao di chuyển theo cặp trên quỹ đạo nhỏ gọn. Khi một ngôi sao thứ ba va chạm với một hệ thống như vậy, một trong ba ngôi sao thường sẽ bị giật mạnh. Theo thời gian, năng lượng mà nó thu được thông qua tương tác này sẽ đạt đến mức đủ để ngôi sao tăng tốc, cho phép nó thoát ra khỏi cụm sao. Do đó, một trong các vật thể rời khỏi hệ thống và không gian cụm sau đó được nén lại một chút. Khi Enon chọn cụm sao làm chủ đề cho luận án tiến sĩ của mình, anh ấy đã tùy tiện cho rằng một cụm sao hình cầu, sau khi thay đổi tỷ lệ của nó, sẽ vẫn tương tự bên trong. Sau khi thực hiện các tính toán, nhà khoa học đã nhận được một kết quả đáng kinh ngạc: lõi của cụm sẽ "làm phẳng", thu được động năng và có xu hướng trở thành trạng thái dày đặc vô hạn. Thật khó để tưởng tượng một điều như vậy. Hơn nữa, dữ liệu nghiên cứu cụm thu được vào thời điểm đó không xác nhận kết luận này. Tuy nhiên, lý thuyết của Oenon, sau này được gọi là suy sụp nhiệt hấp dẫn, dần dần chiếm lĩnh tâm trí của các nhà khoa học.

Được khích lệ bởi kết quả, và sẵn sàng đón nhận những bất ngờ rất có thể xảy ra trong công trình khoa học, nhà thiên văn học chuyển sang những câu hỏi dễ hơn về động lực học của các vì sao. Anh thử áp dụng phương pháp toán họcđến những vấn đề quen thuộc. Đến thăm Đại học Princeton vào năm 1962, Enon lần đầu tiên có quyền truy cập vào máy tính và giống như Lorentz tại Viện Công nghệ Massachusetts, bắt đầu lập mô hình quỹ đạo của các ngôi sao xung quanh trọng tâm của chúng. Trong một sự đơn giản hóa hợp lý, quỹ đạo thiên hà có thể được coi là quỹ đạo của các hành tinh, nhưng với một ngoại lệ: trọng tâm ở đây không phải là một điểm, mà là một đĩa ba chiều.

Enon thỏa hiệp. “Để tự do nghiên cứu hơn,” ông nói, “hãy tạm quên rằng vấn đề được lấy từ thiên văn học.” Mặc dù nhà khoa học không đề cập đến nó, nhưng "tự do nghiên cứu" phần nào có nghĩa là khả năng sử dụng máy tính. Dung lượng bộ nhớ máy tính của ông, vốn rất chậm chạp, nhỏ hơn hàng nghìn lần so với dung lượng bộ nhớ của máy tính cá nhân xuất hiện 25 năm sau. Tuy nhiên, giống như các chuyên gia khác sau này nghiên cứu về các vấn đề hỗn loạn, Enon tin rằng một cách tiếp cận đơn giản hóa sẽ hoàn toàn hợp lý. Chỉ tập trung vào bản chất của hệ thống của mình, ông đã thực hiện những khám phá có thể áp dụng cho các hệ thống khác phức tạp hơn. Vài năm sau, việc tính toán quỹ đạo thiên hà vẫn được coi là "trò vui của các nhà lý thuyết", tuy nhiên, động lực học của các hệ sao đã trở thành một đối tượng nghiên cứu nghiêm ngặt và tốn kém. Nó được giải quyết chủ yếu bởi những người quan tâm đến quỹ đạo hạt trong máy gia tốc và ổn định plasma trong từ trường.

Trong khoảng thời gian khoảng 200 triệu năm, quỹ đạo của các ngôi sao trong các thiên hà thu được ba chiều, không còn hình thành các hình elip hoàn hảo nữa. Các quỹ đạo ba chiều ngoài đời thực cũng khó hình dung như các cấu trúc tưởng tượng trong không gian pha. Điều này khiến Henon phải dùng đến một kỹ thuật có thể so sánh với việc vẽ sơ đồ của Poincaré: nhà khoa học tưởng tượng rằng ở một đầu của thiên hà, một tấm phẳng được đặt thẳng đứng sao cho mỗi quỹ đạo, giống như một con ngựa đi qua vạch đích trong cuộc đua, đi qua nó. Oenon đánh dấu điểm mà tại đó quỹ đạo cắt mặt phẳng, và lần theo chuyển động của điểm từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác.

Oenon đánh dấu các dấu chấm bằng tay, nhưng nhiều người sử dụng kỹ thuật này đã làm việc với máy tính, xem các dấu chấm nhấp nháy trên màn hình giống như những chiếc đèn lồng lần lượt được thắp sáng vào lúc hoàng hôn. Một quỹ đạo thông thường sẽ bắt đầu từ một dấu chấm ở góc dưới bên trái của hình ảnh, sau đó trong lần xoay tiếp theo, dấu chấm sẽ di chuyển sang phải vài inch, lần quay mới sẽ hơi nghiêng nó sang phải và lên trên, v.v. Ban đầu, bất kỳ hình dạng nào trong sa khoáng này đều khó khăn, tuy nhiên khi số lượng điểm vượt quá 10–12, một đường cong bắt đầu xuất hiện, giống như đường viền của một quả trứng với các đường viền của nó. Các điểm xuất hiện liên tiếp thực sự tạo thành một vòng tròn xung quanh đường cong, nhưng vì chúng không xuất hiện ở cùng một vị trí nên theo thời gian, khi số lượng của chúng tăng lên hàng trăm hoặc một nghìn, đường cong được vạch ra rõ ràng.

Các quỹ đạo được mô tả không thể được gọi là hoàn toàn đều đặn, vì chúng không bao giờ lặp lại với độ chính xác. Tuy nhiên, sẽ không sai khi coi chúng là có thể dự đoán được và không hề hỗn loạn, bởi vì các điểm không bao giờ xuất hiện bên trong hoặc bên ngoài đường cong. Quay trở lại hình ảnh ba chiều được mở rộng, có thể lưu ý rằng các đường cong vẽ đường viền của hình xuyến hoặc bánh rán và sơ đồ của Henon là của anh ấy mặt cắt ngang. Hiện tại, nhà khoa học chỉ mô tả một cách trực quan điều mà những người tiền nhiệm của ông coi là đã được chứng minh - tính tuần hoàn của các quỹ đạo. Tại Đài thiên văn Copenhagen trong gần hai mươi năm, từ 1910 đến 1930, các nhà thiên văn học đã quan sát và tính toán cẩn thận hàng trăm quỹ đạo, nhưng họ chỉ quan tâm đến những quỹ đạo định kỳ. Henon nhớ lại: “Tôi, giống như những người khác vào thời điểm đó, đã bị thuyết phục rằng tất cả các quỹ đạo phải được đặc trưng bởi tính đều đặn. Tuy nhiên, cùng với sinh viên tốt nghiệp Karl Hejls, ông tiếp tục tính toán nhiều quỹ đạo, tăng dần mức năng lượng của hệ thống trừu tượng của mình. Và chẳng mấy chốc, một cái gì đó hoàn toàn mới đã mở ra với anh ta.

Lúc đầu, đường cong hình quả trứng bắt đầu uốn cong, mang những hình dạng phức tạp hơn và tạo thành hình số tám. Sau đó, nó vỡ thành nhiều dạng riêng biệt, giống như một vòng lặp (mỗi quỹ đạo bị uốn cong bởi một vòng lặp). Sau đó, ở các mức năng lượng cao hơn, một sự biến đổi đột ngột khác diễn ra. Các nhà nghiên cứu viết: “Đã đến lúc phải ngạc nhiên. Một số quỹ đạo cho thấy sự không ổn định đến mức các chấm "nảy" ngẫu nhiên trên khắp tờ giấy. Ở một số nơi, các đường cong vẫn có thể nhìn thấy và ở một số nơi, các điểm không còn tạo thành đường nữa. Hình ảnh thật ấn tượng: một mớ hỗn độn rõ ràng đã hoàn thành, trong đó có thể nhìn thấy rõ tàn dư của sự ổn định. Tất cả cùng nhau vẽ nên những đường viền khiến các nhà thiên văn học nghĩ về một số loại “hòn đảo” hoặc “dãy đảo”. Họ đã thử làm việc trên hai máy tính khác nhau, thử các phương pháp tích hợp khác nhưng kết quả vẫn ngoan cố không thay đổi, và các nhà khoa học chỉ biết nghiên cứu và suy nghĩ.

Cơm. 5.5. Quỹ đạo xung quanh trung tâm của thiên hà. Cố gắng hiểu các quỹ đạo được mô tả bởi các ngôi sao trong không gian của thiên hà, M. Enon đã xem xét giao điểm của các quỹ đạo với một mặt phẳng. Các hình ảnh thu được phụ thuộc vào tổng lượng năng lượng trong hệ thống. Các điểm của một quỹ đạo ổn định dần dần hình thành một đường cong liên tục, và ở các mức năng lượng khác, một cấu trúc phức tạp lộ ra - một hỗn hợp của sự hỗn loạn và trật tự, được biểu thị bằng các vùng phân tán điểm.

Dựa trên dữ liệu số của riêng họ, Enon và Heils đề xuất sự hiện diện của một cấu trúc sâu trong các hình ảnh thu được. Họ đưa ra giả thuyết rằng với sự gia tăng mạnh mẽ, ngày càng nhiều hòn đảo nhỏ sẽ xuất hiện và có lẽ, điều này sẽ tiếp tục vô tận. Có một nhu cầu cấp thiết cho một bằng chứng toán học. "Tuy nhiên, xem xét vấn đề từ quan điểm của toán học dường như không dễ dàng như vậy."

Oenon chuyển sang những câu hỏi khác, nhưng mười bốn năm sau, sau khi biết về những điểm thu hút kỳ lạ của David Ruelle và Edward Lorentz, nhà thiên văn học bắt đầu quan tâm đến chúng. Năm 1976, anh ấy đã làm việc tại Đài thiên văn Nice, nằm trên cao biển Địa Trung Hải, trên Big Cornice, và ở đó tôi đã nghe câu chuyện của một nhà vật lý đến thăm về lực hút Lorentz. Theo anh ta, vị khách đã cố gắng sử dụng nhiều thủ thuật khác nhau để làm rõ "cấu trúc vi mô" tao nhã của người thu hút, tuy nhiên, không đạt được thành công rõ rệt. Oenon quyết định rằng ông sẽ làm điều này, mặc dù các hệ tiêu tán không nằm trong phạm vi quan tâm của ông ("đôi khi các nhà thiên văn cảnh giác với chúng - chúng quá lộn xộn").

Đối với anh ta, dường như hợp lý khi chỉ tập trung vào bản chất hình học của đối tượng nghiên cứu, trừu tượng hóa nguồn gốc vật lý của nó. Trong khi Lorentz và những người khác sử dụng các phương trình vi phân mô tả những thay đổi liên tục trong không gian và thời gian, Henon sử dụng các phương trình sai phân có thể được xem xét riêng biệt theo thời gian. Theo niềm tin sâu sắc của ông, chìa khóa để làm sáng tỏ là các hoạt động lặp đi lặp lại của việc kéo dài và gấp không gian pha - chính là những thao tác bắt chước hành động của một người thợ làm bánh kẹo là cán bột làm bánh, gấp lại, rồi lại cuộn lại, gấp lại. một lần nữa, do đó tạo thành một cấu trúc đa lớp mong manh. Enon, sau khi vẽ một hình bầu dục trên một tờ giấy và quyết định kéo dài nó ra, đã chọn một thuật toán cho thao tác này, theo đó mỗi điểm của hình bầu dục được chuyển đến một vị trí mới trên hình, vị trí này nhô lên trên tâm giống như một vòm . Quy trình được thực hiện tương tự như xây dựng bản đồ - từng điểm một, hình bầu dục biến thành một "vòm". Sau đó, Oenon bắt đầu ca phẫu thuật thứ hai - lần này là một cơn co thắt đẩy các cạnh của vòm vào trong, khiến nó hẹp hơn. Và phép biến đổi thứ ba đã trả lại hình thu hẹp về kích thước trước đó và nó hoàn toàn trùng khớp với hình bầu dục ban đầu. Đối với mục đích tính toán, cả ba cấu trúc có thể được kết hợp trong một chức năng duy nhất.

Với tinh thần chuyển mình của Oenon, họ lặp lại ý tưởng về “vành móng ngựa” của Smale. Các tính toán theo yêu cầu của toàn bộ quy trình dễ dàng đến mức chúng có thể được thực hiện dễ dàng trên máy tính. Mỗi điểm có hai tọa độ: x biểu thị vị trí của nó trên trục hoành và y, xác định vị trí trên trục tung. Để tính một giá trị mới cho một biến x, bạn phải lấy giá trị trước đó y, thêm 1 vào nó và trừ đi giá trị trước đó x bình phương, nhân với 1,4. Để tính giá trị y nhân giá trị trước đó x bằng 0,3. Do đó, chúng tôi nhận được: x mới = y + 1–1,4x?; y mới = 0,3 x. Oenon chọn một vị trí bắt đầu gần như ngẫu nhiên và lấy một chiếc máy tính, bắt đầu cộng từng điểm một cho đến khi con số của chúng lên tới vài nghìn. Sau đó, sử dụng máy tính IBM-7040, anh nhanh chóng tính toán tọa độ của năm triệu điểm. Hoạt động như vậy có sẵn cho bất kỳ ai, vì nó chỉ yêu cầu một máy tính cá nhân có màn hình đồ họa.

Lúc đầu, các dấu chấm dường như ngẫu nhiên “nhảy” xung quanh màn hình, tạo ra hiệu ứng tương tự như phần Poincare, mô tả một bộ thu hút ba chiều “lang thang” qua lại trên bề mặt màn hình, nhưng đủ nhanh để hiển thị một đường viền rõ rệt, cong như quả chuối. Chương trình chạy càng lâu, càng nhiều chi tiết xuất hiện. Có vẻ như các phần của bản vẽ thậm chí có độ dày. Tuy nhiên, trong tương lai, cái sau chia thành hai dòng riêng biệt, sau đó, phân kỳ thành bốn: hai cái đi cạnh nhau và hai cái còn lại bị loại bỏ khỏi nhau. Phóng to hình ảnh, chúng tôi lưu ý rằng mỗi dòng trong số bốn dòng được đề cập bao gồm hai dòng, v.v. Giống như lực hút Lorentz, lực hút Oenon thể hiện chuyển động vô tận theo hướng ngược lại, giống như một chuỗi búp bê matryoshka vô tận lồng vào nhau.

Cơm. 5.6. lực hút Oenon. Một sự kết hợp đơn giản của việc gấp và kéo dài đã tạo ra một lực hấp dẫn dễ tính toán, nhưng các nhà toán học vẫn chưa hiểu rõ. Với sự xuất hiện của hàng nghìn, hàng triệu chấm, càng nhiều chi tiết càng nổi lên. Những gì có vẻ là một đường đơn hóa ra lại là một cặp khi được phóng đại. Sau đó, nó chỉ ra rằng đã có bốn dòng. Tuy nhiên, không thể dự đoán liệu hai điểm xuất hiện liên tiếp sẽ ở cạnh nhau hay sẽ nằm cách xa nhau.

Chi tiết ẩn - một số đường bên trong các đường khác - ở dạng hoàn chỉnh có thể được tìm thấy trong một loạt ảnh được chụp ở độ phóng đại ngày càng cao. Tuy nhiên, ảnh hưởng siêu nhiên của một lực hút kỳ lạ có thể được trải nghiệm theo một cách khác, bằng cách quan sát sự ra đời của một dạng chấm, xuất hiện như một bóng ma từ sương mù. Các dấu chấm xuất hiện ngẫu nhiên "phân tán" trên bề mặt màn hình đến nỗi việc có bất kỳ cấu trúc nào trong tập hợp của chúng, chưa kể đến cấu trúc rối rắm và dễ vỡ như vậy, có vẻ khó tin. Bất kỳ điểm nào được phát hiện liên tiếp đều cách xa nhau một cách tùy ý, giống như hai điểm bất kỳ ở đầu dòng chảy rối đều liền kề nhau. Đã đặt bất kỳ số điểm nào, không thể dự đoán điểm tiếp theo sẽ xuất hiện ở đâu. Người ta chỉ có thể giả định rằng nó sẽ ở đâu đó trong đường thu hút.

Các điểm có mức độ ngẫu nhiên như vậy “phân tán” trước mắt bạn và mô hình có vẻ phù du đến mức bạn vô tình quên mất hình dạng được quan sát thuộc về các điểm thu hút. Những phác thảo này hoàn toàn không phải là bất kỳ quỹ đạo nào được mô tả bởi một hệ thống động lực học; đối với quỹ đạo này, tất cả những cái khác hội tụ tại một điểm. Đó là lý do tại sao việc lựa chọn các điều kiện ban đầu hoàn toàn không quan trọng. Chừng nào điểm xuất phát còn nằm gần điểm thu hút, thì một số điểm tiếp theo sẽ hội tụ về điểm thu hút với tốc độ bất thường.

Vào năm 1974, khi David Ruelle đến thăm Gollab và Sweeney trong phòng thí nghiệm khiêm tốn của họ, hóa ra lý thuyết và thí nghiệm của cô ấy có mối liên hệ rất lỏng lẻo. Tài sản là thế này: một số phép toán, khá táo bạo nhưng không rõ ràng về mặt kỹ thuật; một hình trụ với chất lỏng hỗn loạn có hành vi không đặc biệt đáng chú ý, nhưng rõ ràng mâu thuẫn với lý thuyết được chấp nhận rộng rãi. Các nhà khoa học dành cả nửa ngày đầu tiên để thảo luận về nghiên cứu, sau đó Sweeney và Gollub, cùng với vợ của họ, đi nghỉ ở Adirondacks, nơi các Gollub có một cabin. Họ không tận mắt nhìn thấy điểm thu hút kỳ lạ và không hiểu nhiều về những gì xảy ra trước ngưỡng cửa của nhiễu loạn, nhưng họ tin chắc rằng Landau đã nhầm và Ruelle đã tiến gần hơn đến sự thật.

Một lực hút kỳ lạ, mảnh vũ trụ này, được nhìn thấy nhờ máy tính, bắt đầu như một xác suất đơn giản. Ông chỉ đánh dấu lĩnh vực mà trí tưởng tượng phong phú của nhiều nhà khoa học thế kỷ 20 không thể thâm nhập. Khi máy tính thực hiện công việc của mình, các chuyên gia nhận ra rằng hình ảnh thu được, giống như khuôn mặt của một người quen thuộc từ lâu, nhấp nháy khắp nơi: trong giai điệu dòng chảy hỗn loạn, đằng sau bức màn mây bao phủ bầu trời. Thiên nhiên đã được thuần hóa. Có vẻ như sự rối loạn đã được đưa vào dòng chính, được phân tách thành các mô hình trong đó một mô típ chung được ngầm đoán.

Nhiều năm trôi qua, và việc công nhận hiện tượng hấp dẫn lạ đã mở đường cho một cuộc cách mạng trong nghiên cứu về sự hỗn loạn, mang lại cho những người tham gia tính toán một chương trình nghiên cứu rõ ràng. Người ta bắt đầu tìm kiếm những lực hút kỳ lạ ở bất cứ nơi nào cảm thấy hỗn loạn trong các hiện tượng tự nhiên. Nhiều người đã lập luận rằng cơ sở của thời tiết trên hành tinh Trái đất không gì khác hơn là một lực hút kỳ lạ. Những người khác, sau khi tập hợp hàng triệu con số từ các báo cáo của các sàn giao dịch chứng khoán và xử lý chúng trên máy tính, đã xem xét các kết quả với hy vọng tìm thấy một lực hấp dẫn ở đó.

Vào giữa những năm 1970, những khám phá như vậy vẫn thuộc về tương lai. Sau đó, không ai nhìn thấy điểm thu hút trong kết quả của thí nghiệm và những con đường dẫn đến nó bị sương mù bao phủ. Lực hút kỳ lạ chứa đầy nội dung toán học cho đến nay vẫn chưa biết các đặc điểm cơ bản của hỗn loạn, đặc biệt là "sự phụ thuộc mạnh mẽ vào các điều kiện ban đầu". "Hỗn hợp" là một thuộc tính khác có ý nghĩa đối với một nhà thiết kế động cơ phản lực quan tâm đến sự kết hợp tối ưu giữa nhiên liệu và oxy, nhưng không ai biết cách đo các đặc tính đó bằng cách gán số cho chúng. Các lực hút lạ dường như là fractal, tức là chiều thực của chúng là phân số. Không ai biết cách đo lường nó hoặc cách sử dụng kết quả của các phép đo đó để giải quyết các vấn đề kỹ thuật thực sự.

Quan trọng nhất, không ai có thể nói liệu các lực hút lạ có vén bức màn bí mật lên các hệ phi tuyến hay không. Dường như, không giống như các hệ thống tuyến tính, dễ dàng giải quyết và phân loại, các hệ thống phi tuyến tính không thể được phân loại - không tìm thấy hai hệ thống giống nhau. Các nhà khoa học đã nghi ngờ rằng họ tài sản chung, nhưng khi nói đến các phép đo và tính toán, mỗi hệ thống phi tuyến tính hóa ra lại là một thứ tự thân. Sự hiểu biết về một trong số chúng hoàn toàn không có gì để thâm nhập vào cái kia. Công cụ thu hút Lorenz tiết lộ tính ổn định và cấu trúc ẩn của một hệ thống, nếu không, dường như hoàn toàn không có cấu trúc. Nhưng làm thế nào chuỗi xoắn kép này có thể giúp các chuyên gia nghiên cứu những vật thể không liên quan gì đến nó? Chẳng ai hay.

Tuy nhiên, các nhà khoa học vui mừng. Những người phát hiện ra các hình thức mới đã làm tổn hại đến tính nghiêm ngặt của phong cách khoa học. Ruelle viết: “Tôi chưa đề cập đến tác động thẩm mỹ của các lực hút lạ. Những đường cong và đám chấm này đôi khi gợi lên những màn pháo hoa lộng lẫy hoặc những thiên hà bí ẩn, đôi khi chúng giống như một cuộc bạo loạn kỳ quái của thực vật. Trước mắt chúng ta là một cõi rộng lớn của những hình thức chưa được khám phá và sự hoàn hảo chưa biết.

SỰ HẤP DẪN KỲ LẠ

Tập hợp các quỹ đạo không ổn định thu hút trong không gian pha của một chất tiêu tán hệ thống động. Một SA, không giống như một điểm thu hút, không phải là một đa tạp (nghĩa là nó không phải là một đường cong hay một bề mặt); hình học của nó. thiết bị này rất phức tạp và cấu trúc của nó là fractal (xem hình. fractal). Do đó, anh ta đã nhận được tên. "dị" [D. Ruelle (D. Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. Thực tế là tất cả các quỹ đạo nằm trong vùng lân cận của S. a. đều bị hút vào nó tại , về cơ bản có liên quan đến bản chất của sự không ổn định của các quỹ đạo cấu thành nó (phân nhánh, chu kỳ giới hạn). Quỹ đạoS. một. mô tả ngẫu nhiên cố định. tự dao động, duy trì trong một hệ thống tiêu tan do năng lượng của bên ngoài. nguồn. S. a. chỉ tiêu biểu cho tự dao động. các hệ thống có kích thước không gian pha lớn hơn hai (Hình 1). Hệ thống được nghiên cứu đầu tiên với S. và. - Hệ thống Lorenz- ba chiều.

Cơm. 1. Lực hút lạ trong hệ được mô tả bằng phương trình loại (1).

Hệ thống định kỳ tự dao động, toán. hình ảnh của nó là chu kỳ giới hạn, có thể điều tra khá đầy đủ bằng cách sử dụng các phương pháp của lý thuyết định tính của lý thuyết vi phân. ur-tion. Việc xây dựng lý thuyết biến động ngẫu nhiên,đặc biệt bao gồm trong định nghĩa (dự đoán) về các đặc điểm của các thuộc tính của S. a. theo các tham số đã cho của hệ thống là cực kỳ khó khăn ngay cả đối với các hệ thống ba chiều. Việc xây dựng như vậy có thể được thực hiện, tuy nhiên, Ví dụ. Giống như trình tạo Van der Pol là trình tạo chuẩn đơn giản nhất. một ví dụ về hệ thống chứng minh tuần hoàn. tự dao động, sơ đồ 2a và việc xác định bộ tạo Van der Pol hơi phức tạp, có thể đóng vai trò là một trong những ví dụ đơn giản nhất về bộ tạo ngẫu nhiên. b. Miễn là hiện tại Tôi trong mạch và hiệu điện thế trên lưới . nhỏ, đi-ốt đường hầm không hiển thị sinh vật. ảnh hưởng đến các dao động trong mạch và chúng, giống như trong một máy phát ống thông thường, tăng lên. Trong trường hợp này, dòng điện chạy qua diode đường hầm Tôi, và điện áp trên nó được xác định bởi nhánh đặc tính Tôi (V). Khi nào là hiện tại Tôiđạt đến giá trị Nó, có một chuyển mạch gần như tức thời của diode đường hầm (tốc độ chuyển đổi được liên kết với một điện dung nhỏ C 1) -điện áp được đặt đột ngột V m . Sau đó, dòng điện qua diode đường hầm giảm và nó chuyển từ phần này sang . Kết quả của hai lần chuyển đổi, diode đường hầm hấp thụ gần như hoàn toàn năng lượng đi vào mạch và các dao động bắt đầu tăng trở lại. (Khi xem xét hoạt động của mạch, đặc tính của đèn có thể được coi là tuyến tính; điều này được chứng minh bởi thực tế là ở chế độ mà chúng ta quan tâm, các dao động được giới hạn ở đặc tính phi tuyến tính của điốt đường hầm.) Do đó, tín hiệu được tạo ra U(t)) là một chuỗi các chuỗi dao động tăng dần; cuối mỗi chuỗi được đặc trưng bởi một bước nhảy điện áp V(t).

Cơm. Hình 2. Sơ đồ (a) của bộ tạo tiếng ồn Van der Pol đơn giản với một đi-ốt đường hầm được thêm vào mạch lưới của nó. Đặc tính vôn-ampe (b) của phần tử phi tuyến tính - đi-ốt đường hầm.

Để mô tả định lượng hoạt động của mạch, các phương trình ban đầu

chuyển đổi sang dạng không thứ nguyên:

ở đâu x = tôi/tôi m, z=V/Vm ,

- đặc tính chuẩn hóa của diode. Đây là một tham số nhỏ, do đó mọi chuyển động trong không gian pha (Hình 3)

Cơm. 3. Hành vi của quỹ đạo trong không gian pha của hệ (1) đối với

có thể được chia thành các điốt chuyển mạch nhanh (trực tiếp x = hăng sô, y= const) và chậm, tại đó điện áp trên diode “đi theo” dòng chảy; các quỹ đạo tương ứng nằm trên các bề mặt VÀ và B[x = f(z), f"(z) >0], tương ứng với tiết diện và đặc tính của diode.

Hệ thống có một trạng thái cân bằng [tại ] không ổn định x = y = z= 0 loại yên ngựa. Quỹ đạo nằm trên bề mặt VÀ, quay quanh một tiêu điểm không ổn định và cuối cùng đến rìa của bề mặt VÀ. Tại đây, một điểm dừng xảy ra, phản ánh trạng thái của hệ thống (cái gọi là điểm đại diện) trên quỹ đạo pha dọc theo đường chuyển động nhanh trên bề mặt TẠI.Đi qua TẠI,đại diện cho điểm phá vỡ trở lại bề mặt VÀ và rơi vào vùng lân cận của trạng thái cân bằng - một chuỗi dao động tăng dần mới bắt đầu. Bản đồ Poincaré tương ứng với các phương trình (1) có thể được mô tả từng phần bằng một hàm liên tục, đồ thị của hàm này được hiển thị trong Hình.5. Mặt cắt tuyến tính I với hệ số. góc nghiêng, lớn hơn một, mô tả quỹ đạo không xoắn trên bề mặt chuyển động chậm VÀ, dao động trong mạch tăng dần. Phần II mô tả giai đoạn quay trở lại quỹ đạo, A lên bề mặt TẠI, Quay lại VÀ(Xem Hình 3). Tất cả các quỹ đạo nằm bên ngoài đáy của hình vuông được biểu thị bằng đường chấm chấm đi vào nó với các giá trị thời gian lớn tiệm cận, tức là diện tích Đ.- hấp thụ và chứa một chất hấp dẫn. Tất cả các quỹ đạo bên trong khu vực này đều không ổn định, tức là, lực hút là lạ. các tính chất ngẫu nhiên của chuyển động (như được chỉ ra bởi các nghiên cứu số) được bảo toàn.

Cơm. 4. Phổ công suất của tín hiệu do mạch tạo ra như trong hình. 2a và biểu đồ dao động của tín hiệu này.

Cơm. 5. Đồ thị của hàm f(x), mô tả động lực học của mạch trong Hình. 2 tại .

Kích thước fractal. Tất cả các loại số liệu thống kê. thuộc tính của tín hiệu ngẫu nhiên được tạo động. một hệ thống với S. a., có thể được mô tả nếu biết phân bố xác suất của các trạng thái của hệ thống. Tuy nhiên, cực kỳ khó để có được (và sử dụng) phân phối này cho các hệ thống cụ thể với S.A. (nếu chỉ vì mật độ phân phối của thước đo xác suất bất biến luôn là số ít). Đó là một trong những lý do, trên một vết cắt cho mô tả của S. và.

trong đó, một số tham số cố định, là số N-chiều quả cầu có đường kính bao S. a. năng động hệ thống với N-chiều không gian pha.

Kích thước được xác định theo phương trình (2) Với rõ ràng không thể là n, nhưng có thể ít hơn P(N-các quả bóng có thể gần như trống rỗng). Đối với các tập hợp "thông thường", phương trình (2) cho kết quả rõ ràng. Vì vậy, đối với một bộ kđiểm,; cho một phần chiều dài l lily thẳng,;cho một mảnh hình vuông S bề mặt hai chiều, v.v. Bất đẳng thức về số chiều của một số nguyên tương ứng với một hình học phức tạp. 2.6).

với thể chất quan điểm, đặc biệt. "phẩm giá" của chiều fractal của S. a. và số bậc tự do ra có dạng:

phân nhánh những chất hấp dẫn kỳ lạ. Các cách ra đời của ngẫu nhiên. Tập lệnh Feigenbaum - chuỗi chỗ rẽ nhánh tăng gấp đôi thời gian của một chu kỳ giới hạn ổn định. Nếu, khi thay đổi tham số điều khiển, định kỳ Trong không gian pha n chiều, hành vi của các quỹ đạo của bản đồ Poincaré trong vùng lân cận của chu kỳ giới hạn trải qua một phân nhánh nhân đôi được xác định bởi hàm, ví dụ, f(x),đồ thị tương tự như một parabola. Chức năng này mô tả kết nối giữa các tọa độ theo hướng của tài sản. các không gian con của toán tử tuyến tính hóa của ánh xạ Poincaré tương ứng với cấp số nhân (-1) ( j+ 1)-goi của giao điểm thứ j của quỹ đạo của hệ cát tuyến Poincaré: xj+1= f(xj). Chu kỳ giới hạn ổn định mới xuất hiện của một chu kỳ kép tương ứng với chu kỳ hai chu kỳ. đường dẫn hiển thị f.Với sự thay đổi hơn nữa trong tham số phân nhánh, các nhân đôi chu kỳ được lặp lại vô hạn và các phân nhánh. các giá trị, ví dụ, tích lũy đến hạn điểm ứng với sự xuất hiện của S. a. Theo kịch bản Feigenbaum, có một phổ quát (không phụ thuộc vào hệ thống cụ thể) pháp luật

trong đó \u003d 4,6692 ... là hằng số Feigenbaum phổ quát (xem. tính phổ quát của Feigenbaum).

Sinh ra S. a. tại các câu trả lời cố định một số. khoảng trên trục X; các phần giữa các khoảng này chứa các quỹ đạo bị thu hút bởi bộ thu hút và cũng 2m-định kỳ (so với màn hình f), chu kỳ giới hạn không ổn định, bắt đầu từ một số m0 và ít hơn. Với sự gia tăng tham số, tốc độ của các quỹ đạo trên S. a. tăng lên, và nó “phình lên”, lần lượt hấp thụ các chu kỳ giới hạn không ổn định của các giai đoạn 2 t+1 .2 t, ... Trong trường hợp này, số đoạn tương ứng với bộ thu hút,

Cơm. 6. "Sự phân nhánh ngược" của chu kỳ nhân đôi, minh họa cho sự phình ra của nhân hút phát sinh theo kịch bản Feigenbaum.

gián đoạn. trong nhiều các hệ thống trong quá trình truyền tham số điều khiển (giả sử) thông qua một nhánh. chuyển đổi giá trị sang ngẫu nhiên. tự dao động ra bên ngoài được thực hiện như một vi phạm hiếm gặp của dao động thường xuyên "ngẫu nhiên. bắn tung tóe." Trong trường hợp này, thời gian của pha tầng (đều) càng dài thì độ siêu tới hạn càng thấp.Khi độ siêu tới hạn tăng, thời lượng của pha đều giảm. Bức tranh này được giải thích bởi sự phát triển sau đây của chính. các vật thể trong không gian pha, chúng "nhận thấy" rằng bộ hút cũ đã biến mất và, vẫn ở gần đường phân cách (cũng đã biến mất) của chu trình giới hạn yên ngựa, chúng đi đến một phần khác của không gian pha. Nếu ở mức dưới tới hạn Nếu hệ thống ổn định toàn cục (nghĩa là chỉ có một đối tượng thu hút), thì những quỹ đạo này sau một thời gian lại rơi vào vùng lân cận của chu kỳ giới hạn đã biến mất. Nếu cùng một lúc trong subcritical. phạm vi giá trị của các tham số của dải phân cách của chu kỳ yên ngựa được nhúng trong không gian pha bởi một geom khá phức tạp. cách (hình thành vô số nếp gấp - "gợn sóng", chứa các quỹ đạo dị hình của các chu kỳ yên ngựa khác, v.v.), nghĩa là, quá trình nhất thời thể hiện hành vi bất thường, khi đó thời gian cần thiết để đi vào vùng lân cận của chu kỳ đã biến mất sẽ đã là một biến ngẫu nhiên. Hơn nữa, giai đoạn phân lớp được lặp lại Ngoài những cách xuất hiện chính của S., a. Khá thường xuyên cũng có những chuyển đổi sang hỗn loạn. tự dao động thông qua sự phá hủy bán chu kỳ (trong không gian pha, khi các tham số điều khiển thay đổi, nó sẽ mất độ trơn và hình xuyến hai chiều thu hút bị phá hủy) và các kịch bản kết hợp.

đa chiều chất hấp dẫn kỳ lạ thường thấy trong hệ có số bậc tự do lớn. Trong số các cơ chế có thể, Turbulence).

sáng.: 1) Rabinovich M. I., Trubetskov D. I., Giới thiệu về lý thuyết dao động và sóng, M., 1984; 2) A. Lichtenberg, M. Lieberman, Động lực học ngẫu nhiên thông thường, xuyên. từ tiếng Anh, M., 1984; 3) Afraimovich V. S., Reiman A. M., Thứ nguyên và entropy trong các hệ thống đa chiều, trong cuốn sách: Sóng phi tuyến. Động lực học và Tiến hóa, ed. A. V. Gaponov-Grekhov, M. I. Rabinovich, V. S. Afraimovich, M.

• lang thang, ở nước ngoài...

  Tóm tắt Từ điển Slavonic của Nhà thờ

• - xem Synergetics...

  To lớn bách khoa toàn thư tâm lý

• - kỳ lạ cao cấp-vinh quang. kỳ lạ ξένος. Từ trước...

  Từ điển từ nguyên của Vasmer

• - Mượn từ Old Slavonic, nơi nó được hình thành từ đất nước, mà theo tiếng Nga cổ có nghĩa là "nước ngoài, người nước ngoài" ...

  Từ điển từ nguyên của ngôn ngữ Nga của Krylov

• - A/C pr xem _Appendix II lạ lạ lạ lạ lạ hơn 259 xem _Appendix II - Sao bạn lại nói xấu anh ấy như vậy? Vì thực tế là chúng ta đang bận rộn không ngừng, phán xét mọi thứ ... & GT ...

  Từ điển giọng Nga

• - k.f.f. nước /nen, lạ/, nước /nào, nước /nn...

  Từ điển chính tả của ngôn ngữ Nga

• - LẠI, th, th; -anen, -anna, -anno. Bất thường, khó hiểu, khó hiểu. C. nhân vật. C. xem. Tôi thấy hành vi của anh ta kỳ lạ. Tôi ngạc nhiên là anh ấy không gọi...

  Từ điển giải thích của Ozhegov

• - LẠ, lạ, lạ; lạ, lạ, lạ. 1. Bất thường, khó lý giải, khó hiểu. Cách nói lạ. Vẻ ngoài kỳ lạ. “Những cuộc họp im lặng thật kỳ lạ...

  Từ điển giải thích của Ushakov

• Từ điển giải thích của Efremova

• - lạ tôi adj. Bất thường, khó hiểu. II adj. lỗi thời Trên đường; lang thang, xa lạ...

  Từ điển giải thích của Efremova

• - lạ adj., sử dụng. rất thường Hình thái: lạ, lạ, lạ, lạ; người lạ; nar. lạ 1...

  Từ điển Dmitriev

• - str"dữ liệu; dạng rút gọn -"anen, -ann"a, -"...

  Từ điển chính tả tiếng Nga

• - Cho vay. từ st.-sl. lang thang. Suf. bắt nguồn từ country với nghĩa là "nước ngoài, con người", trong tiếng Nga khác. lang thang. giá trị này vẫn được biết đến. Ban đầu - "người ngoài hành tinh", "người ngoài hành tinh", sau đó - "không bình thường, không thể hiểu được", ...

  Từ điển từ nguyên của tiếng Nga

• - @font-face (họ phông chữ: "ChurchArial"; src: url;) span (cỡ chữ:17px; trọng lượng phông chữ: bình thường !quan trọng; họ phông chữ: "ChurchArial",Arial,Serif;)   adj. - kẻ lang thang, kẻ lang thang; người ngoài, người lạ; kinh ngạc...

  Từ điển Slavonic nhà thờ

• - ...

  Các mẫu từ

• - dấu chấm...

  từ điển đồng nghĩa

"KẺ HẤP DẪN LẠ" trong sách

Mùi vị lạ

tác giả

Mùi vị lạ

Từ cuốn sách Công nhân núi nhỏ [Kiến] tác giả Marikovsky Pavel Iustinovich

Hương vị kỳ lạ nhưng bạn có nên thử nuôi nhốt một con Lasius Nest màu vàng không? Vào cuối mùa thu, tôi treo những miếng bông gòn gần một số tổ trên bụi cây. Và khi mùa đông đến, chúng tôi đi trượt tuyết cho cư dân của những ngôi nhà dưới lòng đất... Chúng tôi nhanh chóng xúc tuyết sang một bên, đào

dự trữ kỳ lạ

Từ cuốn sách Chuyến đi của tôi. 10 năm tới tác giả Konyukhov Fedor Filippovich

Dự trữ kỳ lạ ngày 24 tháng 4 năm 2002. Atsan-Khuduk (Kalmykia, vùng Yashkul) - Tee (Kalmykia, vùng Yashkul) - 31 km Caravan trên lãnh thổ của khu bảo tồn Black Lands. Nó bao gồm ba vùng của Nga - Cộng hòa Kalmykia, vùng Astrakhan và Cộng hòa

NGÔI NHÀ LẠ

Từ cuốn sách Quỷ đỏ tác giả Demin Mikhail

NGÔI NHÀ KỲ LẠ Còn lại một mình, tôi trải đống giấy tờ lên bàn. Ngồi xuống, hút thuốc. Và tôi nghĩ, tôi lục lại các sự kiện trong ngày trong trí nhớ của mình, cố gắng tìm ra chúng. Và đột nhiên, không rõ tại sao, một hình ảnh của thời thơ ấu hiện ra trước mắt tôi. Em không gọi đây là kí ức, nó tự đến... Kí ức của chúng ta như

Một giấc mơ kỳ lạ

Từ cuốn sách Tướng Dima. Nghề nghiệp. Nhà giam. Yêu và quý tác giả Yakubovskaya Irina Pavlovna

Một giấc mơ kỳ lạ... Tôi sẽ không bao giờ quên giấc mơ này. Tôi đã mơ về anh ấy vào ngày 13 tháng 3, từ thứ Năm đến thứ Sáu. Như thể Dima đang ở trong nước và tôi ở nhà một mình. Tôi đột nhiên muốn làm anh ấy ngạc nhiên - để làm hài lòng anh ấy với sự xuất hiện bất ngờ của tôi. Đến gần dacha, tôi thấy ánh sáng rực rỡ

THẾ GIỚI KỲ LẠ

Từ cuốn sách Đó là tuổi của tôi tác giả Shakhovskaya Zinaida Alekseevna

THẾ GIỚI KỲ LẠ Thưa quý vị, chương trình đã kết thúc. Đức hạnh xin lỗi, tội lỗi bị trừng phạt, nhưng đức hạnh ... Nhưng ở đâu

ĐỐI TƯỢNG NHƯ MỘT NGƯỜI HẤP DẪN KỲ LẠ

Từ cuốn sách Sự minh bạch của cái ác tác giả Baudrillard Jean

VẬT THỂ NHƯ MỘT LỰC HẤP DẪN KỲ LẠ Cuối cùng, hình ảnh của mọi thứ xa lạ với chúng ta được thể hiện trong một hình ảnh duy nhất - hình ảnh của Vật thể. Tính không thay đổi và tính không xác định của đối tượng là điều duy nhất còn lại.

"Người thu hút vĩ đại" là gì?

Từ cuốn sách 100 bí ẩn lớn của thiên văn học tác giả Volkov Alexander Viktorovich

"Người thu hút vĩ đại" là gì? Cho đến đầu thế kỷ 20, Thiên hà của chúng ta được coi là một vật thể độc nhất. Ngày nay chúng ta biết rằng có lẽ có ít nhất 125 tỷ thiên hà trong phần vũ trụ mà chúng ta có thể quan sát được. Mỗi cái chứa hàng tỷ hoặc hàng nghìn tỷ.

Great Attractor, hay siêu hấp dẫn

Từ cuốn sách 100 bí mật vĩ đại của vũ trụ tác giả Bernatsky Anatoly

Great Attractor, hay siêu hấp dẫn Lúc đầu thập kỷ vừa qua Trong thế kỷ trước, các nhà thiên văn học đã xác định rằng các thiên hà bay tách ra ngoài vũ trụ không phải từng cái một mà thành cụm lớn, giống như đàn chim trong các chuyến bay. Vì vậy, Dải Ngân hà cùng với

Quà "Lạ"

Từ cuốn sách Đọc ngây thơ tác giả Kostyrko Serge Pavlovich

Món quà "lạ" của Sergei Dovlatov. "Một bài phát biểu vô cớ ... hoặc một chuyên mục của biên tập viên". M.: Makhaon, 2006. Với tất cả bằng chứng món quà văn học Món quà của Sergei Dovlatov thật kỳ lạ. Nhà phê bình Eliseev, để phân tích một trong những câu chuyện của ông, buộc phải dựa vào bối cảnh, không hơn, không kém.

CHÓ LẠI

Từ cuốn sách Bồn chồn Nosir tác giả Ortykov Bolt

CHÓ KỲ LẠ Ngôi làng Chinor của chúng tôi nằm dưới chân những ngọn núi cao. “Chinor” trong tiếng Tajik có nghĩa là “cây tiêu huyền”. Ngôi làng được đặt tên như vậy, có lẽ bởi vì ở ngay trung tâm của nó, bên cạnh hội đồng quản trị của trang trại tập thể, một cây tiêu huyền cao rậm rạp mọc lên. Cô ấy có thể được nhìn thấy rất xa, rất xa! Dưới bóng cây tiêu huyền - một quán trà và

thu hút nôn nao

Từ cuốn sách Phê phán lý do không trong sáng tác giả Silaev Alexander Yurievich

Công cụ thu hút nôn nao Quá trình trở lại chính mình sau cơn say rất thú vị: chức năng suy nghĩ-ra quyết định được phục hồi trước, sau đó mới viết và chỉ sau đó mới đọc (viết thì bình thường rồi, nhưng đọc thì phế phẩm). Nhưng điều này là dành cho cá nhân tôi. Điều này có nghĩa là một cái gì đó, hay là nó? Và tầm thường: nếu

1. Thế giới kỳ lạ

Từ cuốn sách Faulkner - Tiểu luận về sự sáng tạo tác giả Anastasiev Nikolai Arkadievich

1. thế giới kỳ lạ Mở hầu hết mọi cuốn tiểu thuyết của Faulkner, bạn ngay lập tức cảm thấy rằng mình đang ở một đất nước rộng lớn, quan trọng, giàu có, một đất nước sống một cuộc sống cực kỳ căng thẳng, một đất nước có những vấn đề đặc biệt quan trọng.

"Tôi lạ lắm, lạ lắm"

Từ cuốn sách Truyền thống sống của thế kỷ XX. Về các vị thánh và những người khổ hạnh của thời đại chúng ta tác giả Nikiforova Alexandra Yurievna

“Tôi lạ, tôi lạ” Zurab Varazi: Vài ngày trước khi cha Gabriel qua đời, tôi quyết định lấy máu của ông để phân tích. Khi tôi hỏi anh ấy về điều đó, vị linh mục trả lời: “Tại sao bạn cần máu?” Tôi giải thích rằng cần phải kiểm tra huyết sắc tố, chức năng gan, v.v.

Lạ lùng

Từ cuốn sách Con gái của tướng quân tác giả Petrov Alexander Petrovich

Bà già kỳ lạ Harina bắt Natasha. Vì vậy, cô ấy đã tự mình tuyên bố. Natasha giúp người giữ trẻ làm việc nhà và lắng nghe bà lão, người không thể nói đủ "cuối cùng". Sergey đóng đinh một cái gì đó ở đâu đó, kéo thẳng nó ra và đi thẳng đến ngôi đền, vừa đóng cánh cổng lại sau lưng,