Giải bất phương trình sin sin. Một thuật toán để giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất và nhận biết các cách giải các bất phương trình lượng giác

Hầu hết các học sinh bất đẳng thức lượng giác không thích. Nhưng vô ích. Như một nhân vật đã từng nói,

"Bạn chỉ không biết làm thế nào để nấu chúng"

Vì vậy, làm thế nào để "nấu ăn" và với những gì để gửi một bất đẳng thức với một sin, chúng tôi sẽ tìm hiểu nó trong bài viết này. Chúng tôi sẽ quyết định một cách đơn giản- bằng cách sử dụng vòng tròn đơn vị.

Vì vậy, điều đầu tiên, chúng ta cần thuật toán sau.

Thuật toán giải bất phương trình với sin:

đặt số $ a $ trên trục sin và vẽ một đường thẳng song song với trục côsin cho đến khi nó cắt với đường tròn;
Các giao điểm của đường thẳng này với đường tròn sẽ được điền vào nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt và không được điền vào nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt;
Vùng nghiệm của bất phương trình sẽ nằm trên đường thẳng và lên trên hình tròn nếu bất phương trình có dấu “$> $”, và ở dưới đường thẳng và lên trên hình tròn nếu bất phương trình có dấu “$<$”;
để tìm các giao điểm, ta giải phương trình lượng giác $ \ sin (x) = a $, ta được $ x = (- 1) ^ (n) \ arcsin (a) + \ pi n $;
đặt $ n = 0 $, ta tìm được giao điểm đầu tiên (nó nằm trong góc phần tư thứ nhất hoặc thứ tư);
để tìm điểm thứ hai, chúng ta nhìn theo hướng nào chúng ta đi qua khu vực đến giao điểm thứ hai: nếu theo chiều dương thì lấy $ n = 1 $, còn nếu theo chiều âm thì lấy $ n = - 1 $;
đáp lại, khoảng từ giao điểm nhỏ hơn $ + 2 \ pi n $ đến giao điểm lớn hơn $ + 2 \ pi n $ được viết ra.

Giới hạn thuật toán

Quan trọng: d thuật toán này không hoạt động cho các bất phương trình có dạng $ \ sin (x)> 1; \ \ sin (x) \ geq 1, \ \ sin (x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Các trường hợp đặc biệt khi giải bất phương trình với sin

Điều quan trọng cần lưu ý những trường hợp sau, thuận tiện hơn nhiều để giải quyết một cách logic mà không cần sử dụng thuật toán trên.

trương hợp đặc biệt 1. Giải bất phương trình:

$ \ sin (x) \ leq 1. $

Do thực tế là phạm vi hàm lượng giác$ y = \ sin (x) $ nhiều nhất là modulo $ 1 $, thì vế trái của bất đẳng thức bất cứ gì$ x $ từ miền (và miền của sin là tất cả số thực) nhiều nhất là $ 1 $. Và, do đó, để trả lời, chúng tôi viết: $ x \ in R $.

Hậu quả:

$ \ sin (x) \ geq -1. $

Trường hợp đặc biệt 2. Giải bất phương trình:

$ \ sin (x)< 1.$

Áp dụng các lập luận tương tự như trường hợp đặc biệt 1, chúng ta nhận được rằng vế trái của bất đẳng thức nhỏ hơn $ 1 $ với mọi $ x \ trong R $, ngoại trừ các điểm là nghiệm của phương trình $ \ sin (x) = 1 $. Giải phương trình này, chúng ta sẽ có:

$ x = (-1) ^ (n) \ arcsin (1) + \ pi n = (-1) ^ (n) \ frac (\ pi) (2) + \ pi n. $

Và do đó, trong câu trả lời, chúng tôi viết: $ x \ in R \ dấu gạch chéo ngược \ left \ ((- 1) ^ (n) \ frac (\ pi) (2) + \ pi n \ right \) $.

Hậu quả: sự bất bình đẳng được giải quyết tương tự

$ \ sin (x)> -1. $

Ví dụ về giải bất phương trình bằng thuật toán.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

$ \ sin (x) \ geq \ frac (1) (2). $

Lưu ý tọa độ $ \ frac (1) (2) $ trên trục sin.
Vẽ một đường thẳng song song với trục côsin và đi qua điểm này.
Lưu ý các điểm giao nhau. Chúng sẽ bị che khuất vì sự bất bình đẳng không nghiêm ngặt.
Dấu bất đẳng thức là $ \ geq $, có nghĩa là chúng ta tô lên vùng phía trên đường thẳng, tức là hình bán nguyệt nhỏ hơn.
Tìm giao điểm đầu tiên. Để thực hiện việc này, hãy biến bất đẳng thức thành một đẳng thức và giải nó: $ \ sin (x) = \ frac (1) (2) \ \ Rightarrow \ x = (- 1) ^ (n) \ arcsin (\ frac (1) ) (2)) + \ pi n = (- 1) ^ (n) \ frac (\ pi) (6) + \ pi n $. Chúng tôi tiếp tục đặt $ n = 0 $ và tìm giao điểm đầu tiên: $ x_ (1) = \ frac (\ pi) (6) $.
Chúng tôi tìm ra điểm thứ hai. Khu vực của chúng tôi đi theo hướng dương từ điểm đầu tiên, vì vậy chúng tôi đặt $ n $ bằng $ 1 $: $ x_ (2) = (- 1) ^ (1) \ frac (\ pi) (6) + \ pi \ cdot 1 = \ pi - \ frac (\ pi) (6) = \ frac (5 \ pi) (6) $.

Do đó, giải pháp sẽ có dạng:

$ x \ in \ left [\ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n; \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n \ right], \ n \ trong Z. $

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

$ \ sin (x)< -\frac{1}{2}$

Ta đánh dấu tọa độ $ - \ frac (1) (2) $ trên trục sin và vẽ một đường thẳng song song với trục cosine và đi qua điểm này. Lưu ý các điểm giao nhau. Chúng sẽ không được tô bóng, vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt. Dấu hiệu bất đẳng thức $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$ \ sin (x) = - \ frac (1) (2) $

$ x = (- 1) ^ (n) \ arcsin (\ left (- \ frac (1) (2) \ right)) + \ pi n = (- 1) ^ (n + 1) \ frac (\ pi ) (6) + \ pi n $.

Đặt thêm $ n = 0 $, chúng tôi tìm thấy giao điểm đầu tiên: $ x_ (1) = - \ frac (\ pi) (6) $. Khu vực của chúng ta đi theo hướng âm từ điểm đầu tiên, vì vậy chúng ta đặt $ n $ bằng $ -1 $: $ x_ (2) = (- 1) ^ (- 1 + 1) \ frac (\ pi) (6 ) + \ pi \ cdot (-1) = - \ pi + \ frac (\ pi) (6) = - \ frac (5 \ pi) (6) $.

Vì vậy, nghiệm của bất phương trình này sẽ là khoảng:

$ x \ in \ left (- \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n; - \ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n \ right), \ n \ in Z. $

Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

$ 1 - 2 \ sin (\ left (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ right)) \ leq 0. $

Ví dụ này không thể được giải quyết ngay lập tức bằng cách sử dụng một thuật toán. Đầu tiên bạn cần chuyển đổi nó. Chúng tôi làm chính xác như chúng tôi sẽ làm với phương trình, nhưng đừng quên dấu hiệu. Chia hoặc nhân với một số âm sẽ đảo ngược nó!

Vì vậy, hãy chuyển mọi thứ không chứa hàm lượng giác sang phía bên phải. Chúng tôi nhận được:

$ - 2 \ sin (\ left (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ right)) \ leq -1. $

Chia hai bên trái và phải cho $ -2 $ (đừng quên dấu hiệu!). Sẽ có:

$ \ sin (\ left (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ right)) \ geq \ frac (1) (2). $

Một lần nữa, chúng tôi nhận được một bất đẳng thức mà chúng tôi không thể giải quyết bằng cách sử dụng thuật toán. Nhưng ở đây nó đủ để thực hiện một thay đổi của biến:

$ t = \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6). $

Chúng ta nhận được một bất đẳng thức lượng giác, có thể được giải bằng cách sử dụng thuật toán:

$ \ sin (t) \ geq \ frac (1) (2). $

Bất đẳng thức này đã được giải quyết trong ví dụ 1, vì vậy chúng tôi sẽ mượn câu trả lời từ đó:

$ t \ in \ left [\ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n; \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n \ right]. $

Tuy nhiên, quyết định vẫn chưa kết thúc. Chúng ta cần quay lại biến ban đầu.

$ (\ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6)) \ in \ left [\ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n; \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n \ right]. $

Hãy biểu diễn khoảng trống như một hệ thống:

$ \ left \ (\ begin (array) (c) \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ geq \ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n, \\ \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) \ leq \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n. \ end (mảng) \ phải. $

Ở phía bên trái của hệ thống có một biểu thức ($ \ frac (x) (4) + \ frac (\ pi) (6) $), thuộc về khoảng. Ranh giới bên trái của khoảng thời gian chịu trách nhiệm cho sự bất bình đẳng đầu tiên và ranh giới bên phải chịu trách nhiệm cho sự bất bình đẳng thứ hai. Hơn nữa, dấu ngoặc đóng một vai trò quan trọng: nếu dấu ngoặc vuông, thì bất đẳng thức sẽ không nghiêm ngặt, và nếu nó tròn, thì bất bình đẳng nghiêm ngặt. nhiệm vụ của chúng ta là lấy $ x $ ở bên trái trong cả hai sự bất bình đẳng.

Hãy di chuyển $ \ frac (\ pi) (6) $ từ phía bên trái sang phía bên phải, chúng ta nhận được:

$ \ left \ (\ begin (array) (c) \ frac (x) (4) \ geq \ frac (\ pi) (6) + 2 \ pi n - \ frac (\ pi) (6), \\ \ frac (x) (4) \ leq \ frac (5 \ pi) (6) + 2 \ pi n - \ frac (\ pi) (6). \ end (mảng) \ phải. $

Đơn giản hóa, chúng ta sẽ có:

$ \ left \ (\ begin (array) (c) \ frac (x) (4) \ geq 2 \ pi n, \\ \ frac (x) (4) \ leq \ frac (2 \ pi) (3) + 2 \ pi n. \ End (mảng) \ phải. $

Nhân các cạnh bên trái và bên phải với $ 4 $, chúng ta nhận được:

$ \ left \ (\ begin (array) (c) x \ geq 8 \ pi n, \\ x \ leq \ frac (8 \ pi) (3) + 8 \ pi n. \ end (array) \ right. $

Gộp hệ thống thành một khoảng, ta nhận được câu trả lời:

$ x \ in \ left [8 \ pi n; \ frac (8 \ pi) (3) + 8 \ pi n \ right], \ n \ trong Z. $

Các bất đẳng thức có chứa hàm lượng giác, khi được giải ra, được rút gọn thành các bất đẳng thức đơn giản nhất có dạng cos (t)> a, sint (t) = a và tương tự. Và các bất đẳng thức đơn giản nhất đã được giải quyết. Xem xét trên các ví dụ khác nhau các cách giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất.

ví dụ 1. Giải bất phương trình sin (t)> = -1/2.

Vẽ một vòng tròn duy nhất. Vì sin (t) theo định nghĩa là tọa độ y, chúng tôi đánh dấu điểm y \ u003d -1/2 trên trục Oy. Chúng ta vẽ một đường thẳng qua nó song song với trục x. Đánh dấu các điểm Pt1 và Pt2 tại các giao điểm của đường thẳng với đồ thị đường tròn đơn vị. Ta nối gốc tọa độ với các điểm Pt1 và Pt2 bằng hai đoạn thẳng.

Giải pháp cho bất đẳng thức này sẽ là tất cả các điểm của đường tròn đơn vị nằm trên các điểm này. Nói cách khác, nghiệm sẽ là cung l .. Bây giờ cần chỉ ra các điều kiện mà điểm tùy ý sẽ thuộc cung l.

Pt1 nằm trong hình bán nguyệt bên phải, hoành độ của nó là -1/2 thì t1 = arcsin (-1/2) = - pi / 6. Công thức sau có thể được viết để mô tả điểm Pt1:
t2 = pi - arcsin (-1/2) = 7 * pi / 6. Kết quả là, chúng ta thu được bất đẳng thức sau cho t:

Chúng tôi giữ các dấu hiệu bất bình đẳng. Và vì hàm sin là một hàm tuần hoàn, nên các nghiệm sẽ được lặp lại sau mỗi 2 * pi. Chúng ta thêm điều kiện này vào bất đẳng thức kết quả cho t và viết ra câu trả lời.

Trả lời: -pi / 6 + 2 * pi * n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Ví dụ 2 Giải bất phương trình cos (t)<1/2.

Hãy vẽ một vòng tròn đơn vị. Vì theo định nghĩa của cos (t), đây là tọa độ x nên ta đánh dấu điểm x = 1/2 trên đồ thị trên trục x.
Ta vẽ một đường thẳng qua điểm này song song với trục y. Đánh dấu các điểm Pt1 và Pt2 tại các giao điểm của đường thẳng với đồ thị đường tròn đơn vị. Ta nối gốc tọa độ với các điểm Pt1 và Pt2 bằng hai đoạn thẳng.

Các nghiệm là tất cả các điểm của đường tròn đơn vị thuộc cung l .. Hãy tìm các điểm t1 và t2.

t1 = arccos (1/2) = pi / 3.

t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi / 3 = 5 * pi / 6.

Chúng tôi nhận được bất đẳng thức cho t: pi / 3

Vì cosine là một hàm tuần hoàn, các nghiệm sẽ được lặp lại sau mỗi 2 * pi. Chúng ta thêm điều kiện này vào bất đẳng thức kết quả cho t và viết ra câu trả lời.

Trả lời: pi / 3 + 2 * pi * n

Ví dụ 3 Giải bất phương trình tg (t)< = 1.

Chu kỳ của tiếp tuyến là pi. Hãy tìm nghiệm của khoảng (-pi / 2; pi / 2) hình bán nguyệt bên phải. Tiếp theo, sử dụng tính tuần hoàn của tiếp tuyến, chúng ta viết ra tất cả các nghiệm của bất phương trình này. Hãy vẽ một đường tròn đơn vị và đánh dấu đường tiếp tuyến trên đó.

Nếu t là một nghiệm của bất phương trình thì hoành độ của điểm T = tg (t) phải nhỏ hơn hoặc bằng 1. Tập hợp các điểm đó sẽ tạo thành tia AT. Tập hợp các điểm Pt sẽ tương ứng với các điểm của tia này là cung l. Hơn nữa, điểm P (-pi / 2) không thuộc cung này.

Trong bài thực hành, chúng ta sẽ nhắc lại các dạng công việc chính của chủ đề "Lượng giác", chúng ta sẽ bổ sung phân tích các bài toán có độ phức tạp tăng dần và xem xét các ví dụ về giải các bất phương trình lượng giác và hệ thức của chúng.

Bài học này sẽ giúp bạn chuẩn bị cho một trong các loại nhiệm vụ B5, B7, C1 và C3.

Hãy bắt đầu bằng cách lặp lại các dạng nhiệm vụ chính mà chúng ta đã xem xét trong chủ đề Lượng giác và giải quyết một số nhiệm vụ không chuẩn.

Nhiệm vụ 1. Chuyển đổi góc sang radian và độ: a); b).

a) Sử dụng công thức chuyển đổi độ sang radian

Thay thế giá trị đã cho vào nó.

b) Áp dụng công thức chuyển đổi radian sang độ

Hãy thực hiện thay thế .

Câu trả lời. một) ; b).

Nhiệm vụ 2. Tính: a); b).

a) Vì góc vượt xa bảng nên ta giảm nó bằng cách trừ chu kỳ của sin. Tại vì góc được cho bằng radian, thì chu kỳ sẽ được coi là.

b) Trong trường hợp này, tình huống cũng tương tự. Vì góc được xác định bằng độ, do đó chúng ta sẽ coi chu kỳ của tiếp tuyến là.

Góc kết quả, mặc dù nhỏ hơn dấu chấm, lớn hơn, có nghĩa là nó không còn tham chiếu đến phần chính nữa, mà là phần mở rộng của bảng. Để không phải rèn luyện trí nhớ của chúng ta một lần nữa bằng cách ghi nhớ một bảng mở rộng các giá trị hàm lượng giác, chúng ta lại trừ chu kỳ tiếp tuyến:

Chúng tôi đã tận dụng tính kỳ lạ của hàm tiếp tuyến.

Câu trả lời. a) 1; b).

Nhiệm vụ số 3. Tính toán , nếu .

Chúng ta đưa toàn bộ biểu thức về tiếp tuyến bằng cách chia tử số và mẫu số của phân số cho. Đồng thời, chúng ta không thể sợ rằng, bởi vì trong trường hợp này, giá trị của tiếp tuyến sẽ không tồn tại.

Nhiệm vụ số 4. Đơn giản hóa biểu thức.

Các biểu thức được chỉ định được chuyển đổi bằng cách sử dụng công thức ép kiểu. Chỉ là chúng được viết một cách bất thường bằng cách sử dụng độ. Biểu thức đầu tiên thường là một số. Đơn giản hóa tất cả các hàm ba lần lần lượt:

Tại vì , sau đó chức năng thay đổi thành một chức năng, tức là đối với cotang, và góc rơi vào phần tư thứ hai, trong đó dấu của tiếp tuyến ban đầu là âm.

Vì những lý do tương tự như trong biểu thức trước, hàm thay đổi thành một hàm, tức là đối với phương và góc rơi vào phần tư thứ nhất, trong đó tiếp tuyến ban đầu có dấu dương.

Thay thế mọi thứ thành một biểu thức đơn giản hóa:

Nhiệm vụ số 5. Đơn giản hóa biểu thức.

Hãy viết tiếp tuyến của góc kép theo công thức tương ứng và đơn giản hóa biểu thức:

Danh tính cuối cùng là một trong những công thức thay thế phổ quát cho cosine.

Nhiệm vụ số 6. Tính toán .

Điều chính là không mắc lỗi tiêu chuẩn và không đưa ra câu trả lời mà biểu thức bằng. Không thể sử dụng tính chất chính của tiếp tuyến cung trong khi có một hệ số ở dạng hai gần nó. Để loại bỏ nó, chúng ta viết biểu thức theo công thức tiếp tuyến của một góc kép, trong khi chúng ta coi nó như một đối số thông thường.

Bây giờ đã có thể áp dụng tính chất chính của tiếp tuyến cung tròn, hãy nhớ rằng không có giới hạn nào đối với kết quả số của nó.

Nhiệm vụ số 7. Giải phương trình.

Khi giải một phương trình phân số bằng 0, người ta luôn chỉ ra rằng tử số là 0 và mẫu số thì không, bởi vì bạn không thể chia cho số không.

Phương trình thứ nhất là một trường hợp đặc biệt của phương trình đơn giản nhất, được giải bằng cách sử dụng một đường tròn lượng giác. Hãy tự mình suy nghĩ về giải pháp này. Bất phương trình thứ hai được giải như một phương trình đơn giản nhất sử dụng công thức tổng quát cho nghiệm nguyên của tiếp tuyến, nhưng chỉ với dấu không bằng nhau.

Như chúng ta có thể thấy, một họ gốc loại trừ một họ khác chính xác cùng một họ gốc không thỏa mãn phương trình. Những thứ kia. không có rễ.

Câu trả lời. Không có rễ.

Nhiệm vụ số 8. Giải phương trình.

Lưu ý ngay rằng bạn có thể lấy ra nhân tố chung và thực hiện:

Phương trình đã được rút gọn về một trong những dạng chuẩn, khi tích của một số thừa số bằng không. Chúng ta đã biết rằng trong trường hợp này, một trong hai bằng 0, hoặc còn lại, hoặc bằng thứ ba. Chúng tôi viết điều này dưới dạng một tập phương trình:

Hai phương trình đầu là trường hợp đặc biệt của những phương trình đơn giản nhất, chúng ta đã gặp những phương trình tương tự nhiều lần nên sẽ chỉ ra ngay nghiệm của chúng. Chúng ta rút gọn phương trình thứ ba thành một hàm bằng cách sử dụng công thức sin góc kép.

Hãy giải phương trình cuối cùng một cách riêng biệt:

Phương trình này không có nghiệm nguyên, bởi vì giá trị của sin không thể vượt ra ngoài .

Vì vậy, chỉ có hai họ đầu tiên là nghiệm, chúng có thể được kết hợp thành một, điều này dễ dàng hiển thị trên một đường tròn lượng giác:

Đây là một gia đình gồm tất cả các nửa, tức là

Hãy chuyển sang giải bất phương trình lượng giác. Đầu tiên, chúng ta hãy phân tích cách tiếp cận để giải một ví dụ mà không sử dụng các công thức giải tổng quát mà với sự trợ giúp của một đường tròn lượng giác.

Nhiệm vụ số 9. Giải bất phương trình.

Vẽ một đường thẳng phụ trên đường tròn lượng giác tương ứng với giá trị của sin bằng và chỉ ra khoảng các góc thỏa mãn bất đẳng thức.

Điều rất quan trọng là phải hiểu chính xác cách chỉ định khoảng góc kết quả, tức là khởi đầu của nó là gì và kết thúc của nó là gì. Điểm bắt đầu của khoảng trống sẽ là góc tương ứng với điểm mà chúng ta sẽ đi vào tại điểm bắt đầu của khoảng trống nếu chúng ta di chuyển ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường hợp của chúng tôi, đây là điểm ở bên trái, bởi vì chuyển động ngược chiều kim đồng hồ và đi qua điểm bên phải, ngược lại, ta thoát ra khỏi khoảng góc cần thiết. Do đó, điểm bên phải sẽ tương ứng với điểm cuối của khoảng cách.

Bây giờ chúng ta cần phải hiểu các giá trị của góc đầu và góc cuối của khoảng cách của chúng ta của các nghiệm cho bất phương trình. Một sai lầm điển hình là chỉ ra ngay điểm bên phải tương ứng với góc, bên trái và đưa ra câu trả lời. Đây không phải là sự thật! Xin lưu ý rằng chúng tôi vừa chỉ ra khoảng tương ứng với phần trên của hình tròn, mặc dù chúng tôi quan tâm đến phần dưới, nói cách khác, chúng tôi đã trộn lẫn đầu và cuối của khoảng nghiệm mà chúng tôi cần.

Để khoảng thời gian bắt đầu ở góc của điểm bên phải và kết thúc ở góc của điểm bên trái, góc xác định đầu tiên phải nhỏ hơn góc thứ hai. Để làm điều này, chúng ta sẽ phải đo góc của điểm bên phải theo hướng tham chiếu âm, tức là theo chiều kim đồng hồ và nó sẽ bằng. Sau đó, bắt đầu từ nó theo chiều kim đồng hồ dương, chúng ta sẽ đến điểm bên phải sau điểm bên trái và nhận được giá trị góc cho nó. Bây giờ đầu khoảng góc nhỏ hơn khoảng cuối và chúng ta có thể viết khoảng nghiệm mà không tính đến khoảng thời gian:

Xét rằng các khoảng thời gian như vậy sẽ lặp lại vô số lần sau bất kỳ số nguyên nào của phép quay, chúng ta nhận được nghiệm tổng quát, có tính đến chu kỳ sin:

Chúng ta đặt dấu ngoặc tròn vì bất đẳng thức nghiêm ngặt, và chúng ta chọc thủng các điểm trên đường tròn tương ứng với các điểm cuối của khoảng.

So sánh câu trả lời của bạn với công thức cho lời giải chung mà chúng tôi đã đưa ra trong bài giảng.

Câu trả lời. .

Phương pháp này rất hữu ích để hiểu được nguồn gốc của công thức cho các nghiệm tổng quát của bất phương trình tam giác đơn giản nhất. Ngoài ra, nó rất hữu ích cho những người quá lười biếng để học tất cả các công thức rườm rà này. Tuy nhiên, bản thân phương pháp cũng không hề dễ dàng, hãy chọn cách tiếp cận giải pháp nào là thuận tiện nhất cho bạn.

Để giải các bất đẳng thức lượng giác, bạn cũng có thể sử dụng đồ thị hàm số mà trên đó đường phụ được xây dựng, tương tự như phương pháp được hiển thị bằng cách sử dụng đường tròn đơn vị. Nếu bạn quan tâm, hãy tự mình tìm hiểu cách tiếp cận này để đưa ra giải pháp. Phần sau, chúng ta sẽ sử dụng các công thức tổng quát để giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Nhiệm vụ số 10. Giải bất phương trình.

Chúng tôi sử dụng công thức giải chung, lưu ý rằng bất đẳng thức không nghiêm ngặt:

Chúng tôi nhận được trong trường hợp của chúng tôi:

Câu trả lời.

Nhiệm vụ số 11. Giải bất phương trình.

Chúng tôi sử dụng công thức nghiệm tổng quát cho bất phương trình nghiêm ngặt tương ứng:

Câu trả lời. .

Nhiệm vụ số 12. Giải các bất phương trình: a); b).

Trong các bất đẳng thức này, không nên vội vàng sử dụng các công thức để giải tổng quát hoặc một đường tròn lượng giác, chỉ cần nhớ dãy giá trị của sin và cosin là đủ.

a) Vì , thì bất đẳng thức là vô nghĩa. Do đó, không có giải pháp nào.

b) Vì tương tự, sin của bất kỳ đối số nào luôn thỏa mãn bất đẳng thức được chỉ định trong điều kiện. Do đó, bất đẳng thức được thỏa mãn bởi tất cả các giá trị thực của đối số.

Câu trả lời. a) không có giải pháp nào; b).

Nhiệm vụ 13. Giải quyết bất bình đẳng .

Một thuật toán để giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất và nhận biết các cách giải các bất phương trình lượng giác.

Giáo viên có trình độ chuyên môn cao nhất:

Shirko F.M. Làng tiến bộ, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, Trường trung học PEI "Con đường mới"

Không có phương pháp phổ biến nào để dạy các môn toán tự nhiên. Mỗi giáo viên tìm ra những cách giảng dạy riêng chỉ có thể chấp nhận được đối với anh ta.

Kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của chúng tôi cho thấy rằng sinh viên học dễ dàng hơn các tài liệu đòi hỏi sự tập trung chú ý và lưu trữ một lượng lớn thông tin trong bộ nhớ nếu họ được dạy sử dụng thuật toán trong các hoạt động của mình ở giai đoạn đầu học một chủ đề phức tạp. Một chủ đề như vậy, theo chúng tôi, là chủ đề giải các bất phương trình lượng giác.

Vì vậy, trước khi cùng học sinh xác định kỹ thuật và phương pháp giải bất phương trình lượng giác, chúng ta cùng tìm hiểu và sửa thuật toán giải bất phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Thuật toán giải các bất phương trình lượng giác đơn giản nhất

Chúng tôi đánh dấu các điểm trên trục tương ứng ( vì tội x- trục y, chocos x- Trục OX)

Chúng tôi khôi phục lại sự vuông góc với trục, sẽ cắt đường tròn tại hai điểm.

Đầu tiên trên đường tròn ta kí hiệu điểm thuộc khoảng các giá trị của cung hàm theo định nghĩa.

Bắt đầu từ điểm có dấu, chúng ta tô bóng cung tròn tương ứng với phần tô bóng của trục.

Chúng tôi đặc biệt chú ý đến hướng của đường tránh. Nếu đường đi theo chiều kim đồng hồ (tức là có sự chuyển tiếp qua 0), thì điểm thứ hai trên đường tròn sẽ âm, nếu ngược chiều kim đồng hồ - dương.

Chúng tôi viết câu trả lời dưới dạng một khoảng, có tính đến tính tuần hoàn của hàm.

Hãy xem xét hoạt động của thuật toán với các ví dụ.

1) tội ≥ 1/2;

Dung dịch:

Vẽ một vòng tròn đơn vị;

Chúng tôi đánh dấu một điểm ½ trên trục y.

Khôi phục sự vuông góc với trục,

mà cắt đường tròn tại hai điểm.

Theo định nghĩa của arcsine, chúng tôi đánh dấu đầu tiên

điểm π / 6.

Chúng tôi tô bóng phần của trục tương ứng với

bất đẳng thức đã cho, trên điểm ½.

Chúng tôi tô bóng cho cung tròn tương ứng với phần tô bóng của trục.

Đường vòng được thực hiện ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta có điểm 5π / 6.

Chúng tôi viết câu trả lời dưới dạng một khoảng, có tính đến tính tuần hoàn của hàm số;

Câu trả lời:x; [π / 6 + 2π N, 5π / 6 + 2π N], N Z.

Bất đẳng thức đơn giản nhất được giải bằng cách sử dụng cùng một thuật toán nếu không có giá trị dạng bảng nào trong bản ghi câu trả lời.

Trong những bài học đầu tiên, học sinh giải các bất đẳng thức trên bảng đen, phát âm to từng bước của thuật toán.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R Dung dịch:tại

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Vẽ một vòng tròn đơn vị.

Ta đánh dấu trên trục OX một điểm có tọa độ 1/5.

Chúng tôi khôi phục lại sự vuông góc với trục,

cắt đường tròn tại hai điểm.

Đầu tiên trên đường tròn ta ký hiệu điểm thuộc khoảng giá trị của arccosine theo định nghĩa (0; π).

Chúng tôi tô bóng phần của trục tương ứng với bất bình đẳng này.

Bắt đầu từ điểm đã ký arccos 1/5, tô bóng cho cung tròn tương ứng với phần tô bóng của trục.

Đường vòng được thực hiện theo chiều kim đồng hồ (tức là có sự chuyển tiếp qua 0), có nghĩa là điểm thứ hai trên vòng tròn sẽ là số âm - arccos 1/5.

Chúng tôi viết câu trả lời dưới dạng một khoảng, có tính đến tính tuần hoàn của hàm, từ giá trị nhỏ hơn đến giá trị lớn hơn.

Câu trả lời: x  [-arccos 1/5 + 2π N, arccos 1/5 + 2π N], N Z.

Nâng cao khả năng giải các bất phương trình lượng giác được tạo điều kiện bởi các câu hỏi: “Chúng ta sẽ giải một nhóm bất phương trình như thế nào?”; “Làm thế nào để bất bình đẳng này khác với bất bình đẳng khác?”; “Làm thế nào một bất bình đẳng này giống với một bất bình đẳng khác?”; Câu trả lời sẽ thay đổi như thế nào nếu một bất đẳng thức nghiêm ngặt được đưa ra? Câu trả lời sẽ thay đổi như thế nào nếu có một dấu hiệu thay vì dấu ""

Nhiệm vụ phân tích danh sách các bất đẳng thức từ quan điểm của các cách giải chúng cho phép bạn tìm ra cách nhận dạng của chúng.

Học sinh được đưa ra các bất đẳng thức để giải tại lớp.

Câu hỏi: Làm nổi bật các bất đẳng thức cần sử dụng phép biến đổi tương đương khi rút gọn bất đẳng thức lượng giác về đơn giản nhất?

Câu trả lời 1, 3, 5.

Câu hỏi: Những bất đẳng thức trong đó yêu cầu coi một đối số phức tạp là một đối số đơn giản là gì?

Câu trả lời: 1, 2, 3, 5, 6.

Câu hỏi: Những bất đẳng thức mà các công thức lượng giác có thể được áp dụng là gì?

Câu trả lời: 2, 3, 6.

Câu hỏi: Những bất đẳng thức mà bạn có thể áp dụng phương pháp đưa vào một biến mới là gì?

Câu trả lời: 6.

Nhiệm vụ phân tích danh sách các bất đẳng thức từ quan điểm của các cách giải chúng cho phép bạn tìm ra cách nhận dạng của chúng. Khi phát triển các kỹ năng, điều quan trọng là phải chỉ ra các giai đoạn thực hiện và xây dựng chúng ở dạng tổng quát, được trình bày trong thuật toán giải các bất đẳng thức lượng giác đơn giản nhất.

Bất đẳng thức là quan hệ có dạng a ›b, trong đó a và b là biểu thức chứa ít nhất một biến. Các bất đẳng thức có thể nghiêm ngặt - ‹,› và không nghiêm ngặt - ≥, ≤.

Bất đẳng thức lượng giác là biểu thức có dạng: F (x) ›a, F (x)‹ a, F (x) ≤ a, F (x) ≥ a, trong đó F (x) được biểu diễn bởi một hoặc nhiều hàm lượng giác .

Một ví dụ về bất đẳng thức lượng giác đơn giản nhất là: sin x ‹1/2. Thông thường giải quyết các vấn đề như vậy bằng đồ thị; hai phương pháp đã được phát triển cho việc này.

Phương pháp 1 - Giải các bất đẳng thức bằng cách vẽ một hàm

Để tìm một khoảng thỏa mãn các điều kiện của bất phương trình sin x ‹1/2, bạn phải làm như sau:

Trên trục tọa độ, dựng hình sin y = sin x.
Trên cùng một trục, vẽ đồ thị đối số của bất đẳng thức, tức là, một đường thẳng đi qua điểm ½ của hoành độ OY.
Đánh dấu giao điểm của hai đồ thị.
Làm bóng phân đoạn là giải pháp của ví dụ.

Khi có các dấu hiệu mạnh trong một biểu thức, các điểm giao nhau không phải là giải pháp. Vì chu kỳ dương nhỏ nhất của hình sin là 2π nên ta viết đáp số như sau:

Nếu dấu của biểu thức không chặt chẽ thì khoảng nghiệm phải được đặt trong dấu ngoặc vuông -. Câu trả lời cho vấn đề này cũng có thể được viết dưới dạng bất đẳng thức khác:

Phương pháp 2 - Giải bất phương trình lượng giác bằng đường tròn đơn vị

Các vấn đề tương tự được giải quyết dễ dàng với sự trợ giúp của đường tròn lượng giác. Thuật toán tìm kiếm rất đơn giản:

Đầu tiên, vẽ một vòng tròn đơn vị.
Sau đó, bạn cần lưu ý giá trị của hàm cung của đối số của vế phải của bất đẳng thức trên cung của đường tròn.
Cần vẽ đường thẳng đi qua giá trị của cung hàm số song song với trục x (OX).
Sau đó, ta chỉ chọn cung tròn là tập nghiệm của bất phương trình lượng giác.
Viết câu trả lời theo mẫu yêu cầu.

Chúng ta hãy phân tích các bước giải bằng cách sử dụng bất phương trình sin x ›1/2 làm ví dụ. Các điểm α và β được đánh dấu trên vòng tròn - các giá trị

Các điểm thuộc cung nằm trên α và β là khoảng giải bất phương trình đã cho.

Nếu bạn cần giải một ví dụ cho cos, thì cung các câu trả lời sẽ nằm đối xứng với trục OX chứ không phải trục OY. Bạn có thể xem xét sự khác biệt giữa các khoảng nghiệm cho sin và cos trong sơ đồ bên dưới trong văn bản.

Các giải pháp đồ thị cho bất phương trình tiếp tuyến và cotang sẽ khác với cả sin và côsin. Điều này là do thuộc tính của các chức năng.

Arctang và arccotang là các tiếp tuyến của đường tròn lượng giác, và chu kỳ dương nhỏ nhất của cả hai hàm là π. Để sử dụng nhanh chóng và chính xác phương pháp thứ hai, bạn cần nhớ các giá trị \ u200b \ u200bof sin, cos, tg và ctg được vẽ trên trục nào.

Kẻ tiếp tuyến chạy song song với trục OY. Nếu chúng ta vẽ biểu đồ giá trị của arctg a trên đường tròn đơn vị, thì điểm bắt buộc thứ hai sẽ nằm trong một phần tư đường chéo. các góc

Chúng là các điểm ngắt của hàm, vì đồ thị có xu hướng đến chúng nhưng không bao giờ đạt đến chúng.

Trong trường hợp của cotang, tiếp tuyến chạy song song với trục OX và hàm số bị gián đoạn tại các điểm π và 2π.

Bất đẳng thức lượng giác phức tạp

Nếu đối số của hàm bất đẳng thức không chỉ được biểu diễn bằng một biến mà bằng toàn bộ biểu thức có chứa ẩn số, thì chúng ta đang nói về một bất đẳng thức phức tạp. Quá trình và thứ tự của giải pháp của nó hơi khác so với các phương pháp được mô tả ở trên. Giả sử chúng ta cần tìm một lời giải cho bất phương trình sau:

Giải pháp đồ họa cung cấp việc xây dựng một hình sin thông thường y = sin x cho các giá trị được chọn tùy ý của x. Hãy tính toán một bảng với tọa độ cho các điểm tham chiếu của biểu đồ:

Kết quả sẽ là một đường cong đẹp.

Để dễ tìm lời giải, chúng ta thay thế đối số hàm phức