إثبات أن التفاوت صحيح. إثبات وحل عدم المساواة

MOU Grishino - مدرسة سلوبودسكايا الثانوية

برنامج الوحدة النمطية

"طرق إثبات عدم المساواة"

ضمن المقرر الاختياري

"خلف صفحات كتاب رياضيات"

للطلاب في الصفوف 10-11

جمعتها:

مدرس رياضيات

Pankova E.Yu.

ملاحظة توضيحية

"تسمى الرياضيات علم الحشو: بعبارة أخرى ، يقال أن علماء الرياضيات يقضون وقتًا في إثبات أن الأشياء متساوية مع نفسها. هذا البيان غير دقيق للغاية لسببين. أولاً ، الرياضيات ، رغم خصائصها لغة علمية، ليس علما. بدلا من ذلك ، يمكن أن يطلق عليه الفن. ثانيًاغالبًا ما يتم التعبير عن النتائج الأساسية للرياضيات من خلال التفاوتات بدلاً من المساواة ".

يتم استخدام عدم المساواة في العمل التطبيقيالرياضيات في كل وقت. يتم استخدامها للحصول على عدد من الخصائص المتطرفة المهمة والمثيرة للاهتمام للأشكال "المتماثلة": مربع ، ومكعب ، ومثلث متساوي الأضلاع ، وكذلك لإثبات تقارب العمليات التكرارية وحساب بعض الحدود. دور عدم المساواة مهم أيضًا في مختلف مسائل العلوم الطبيعية والتكنولوجيا.

تعتبر مشاكل إثبات عدم المساواة هي الأكثر صعوبة وإثارة للاهتمام من المشاكل التقليدية. يتطلب إثبات عدم المساواة براعة حقيقية وإبداعًا يجعل الرياضيات موضوعًا مثيرًا.

يلعب تعليم الأدلة دورًا كبيرًا في تنمية التفكير الاستنتاجي الرياضي وقدرات التفكير العام لدى الطلاب. كيف تُعلِّم الطلاب أن يقوموا بشكل مستقل بإثباتات عدم المساواة؟ الجواب: فقط من خلال التفكير في العديد من تقنيات وطرق الإثبات وتطبيقها بانتظام.

تتنوع الأفكار المستخدمة لإثبات عدم المساواة تقريبًا مثل عدم المساواة نفسها. في حالات محددة ، غالبًا ما تؤدي الأساليب العامة إلى حلول قبيحة. لكن المزيج غير الواضح للعديد من التفاوتات "الأساسية" ممكن فقط لعدد قليل من أطفال المدارس. وإلى جانب ذلك ، لا شيء يمنع الطالب في كل حالة محددة من البحث عن حل أفضل من ذلك الذي حصل عليه بالطريقة العامة. لهذا السبب ، غالبًا ما يُنزل إثبات عدم المساواة إلى عالم الفن. ومثل كل الفن ، هناك تقنية، المجموعة واسعة جدًا ومن الصعب جدًا إتقانها جميعًا ، ولكن يجب على كل معلم أن يسعى لتوسيع الأداة الرياضية المتوفرة في مخزونه.

يوصى بهذه الوحدة للطلاب في الصفوف 10-11. لا يتم النظر هنا في جميع الطرق الممكنة لإثبات عدم المساواة (طريقة تغيير المتغير ، وإثبات عدم المساواة باستخدام المشتق ، وطريقة البحث والتعميم ، وتقنية الترتيب لا تتأثر). يمكنك أن تعرض التفكير في طرق أخرى في المرحلة الثانية (على سبيل المثال ، في الصف 11) ، إذا كانت هذه الوحدة من الدورة تثير اهتمام الطلاب ، بالإضافة إلى التركيز على نجاح إتقان الجزء الأول من الدورة.

		المعادلات والمتباينات مع معلمة.
		طرق إثبات عدم المساواة.
		المعادلات والمتباينات التي تحتوي على المجهول تحت علامة الوحدة.
		أنظمة المتباينات بمتغيرين.

محتوى المقرر الاختياري

"خلف صفحات كتاب رياضيات"

"طرق إثبات عدم المساواة"

		مقدمة.
		إثبات عدم المساواة على أساس التعريف.
		طريقة الاستنتاج الرياضي.
		تطبيق اللامساواة الكلاسيكية.
		طريقة الرسم.
		الطريقة المعاكسة.
		تقنية للنظر في عدم المساواة فيما يتعلق بأحد المتغيرات.
		فكرة التضخيم.
		الدرس - التحكم.

الدرس 1. مقدمة.

إثبات عدم المساواة هو موضوع رائع وصعب في الرياضيات الابتدائية. غياب نهج موحدإلى مشكلة إثبات عدم المساواة ، يؤدي إلى البحث عن عدد من التقنيات المناسبة لإثبات عدم المساواة أنواع معينة. ستدرس هذه الدورة الاختيارية الطرق التاليةإثبات عدم المساواة:

تكرار:

قم بعمل البراهين على بعض الممتلكات.

عدم المساواة الكلاسيكية:

1)
(عدم المساواة كوشي)

4)

مرجع التاريخ:

تمت تسمية عدم المساواة (1) بعد عالم رياضيات فرنسيأغسطس كوشي. رقم
اتصل المتوسط ​​الحسابيالأرقام أ و ب ؛

رقم
اتصل الوسط الهندسيالأرقام أ و ب. وبالتالي ، فإن عدم المساواة تعني أن المتوسط ​​الحسابي لرقمين موجبين لا يقل عن الوسط الهندسي.

بالإضافة إلى ذلك:

فكر في العديد من المغالطات الرياضية مع عدم المساواة.

مغالطة رياضية- بيان مذهل ، يتم فيه إخفاء أخطاء غير محسوسة وأحيانًا خفية تمامًا.

المحاباة هي نتائج خاطئة تم الحصول عليها بمساعدة التفكير الذي يبدو أنه صحيح فقط ، ولكنه يحتوي بالضرورة على خطأ أو آخر.

مثال:

أربعة على اثني عشر

الدرس 2. إثبات عدم المساواة على أساس التعريف.

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: من أجل إثبات صحة المتباينات F (x، y، z)> S (x، y، z) تشكل الفرق F (x، y، z) -S ( x ، y ، z) وإثبات أنها موجبة. باستخدام هذه الطريقة ، غالبًا ما يفرد المرء مربعًا أو مكعبًا لمجموع أو فرق أو مربع غير مكتمل لمجموع أو فرق. هذا يساعد على تحديد علامة الاختلاف.

مثال. أثبت عدم المساواة (x + y) (x + y + 2cosx) +2 2sin 2x

دليل - إثبات:

ضع في اعتبارك الفرق (x + y) (x + y + 2cosx) + 2- 2sin 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx) + 2cos 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx ) + cos 2 x + cos 2 x = (x + y) 2 +2 (x + y) cosx + cos 2 x + cos 2 x = ((x + y) + cosx) 2 + cos 2 x 0.

إثبات عدم المساواة:

1.ab (a + b) + bc (b + c) + ac (a + c) 6abc

3.

4.
> 2x-20

5.

6. (أ + ب) (ب + ج) (ج + أ) 8abc

الدرس 3. طريقة الاستقراء الرياضي.

عند إثبات عدم المساواة التي تشمل الأعداد الطبيعية ، غالبًا ما يلجأ المرء إلى طريقة الاستقراء الرياضي. هذه الطريقة على النحو التالي:

1) تحقق من صحة النظرية من أجل n = 1 ؛

2) نفترض أن النظرية صحيحة لبعض n = k ، وبناءً على هذا الافتراض نثبت صحة نظرية n = k + 1 ؛

3) بناءً على الخطوتين الأوليين ومبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن النظرية صحيحة لأي n.

مثال.

إثبات عدم المساواة

دليل - إثبات:

1) بالنسبة إلى n = 2 ، تكون عدم المساواة صحيحة:

2) دع عدم المساواة يكون صحيحًا لـ n = k أي
(*)

دعنا نثبت أن عدم المساواة صحيحة لـ n = k + 1 ، أي
. دعونا نضرب كلا جزأي المتباينة (*) في
نحصل على 3) من البند 1. والبند 2 نستنتج أن المتباينة صحيحة لأي n.

الواجبات للفصول الدراسية والعمل المنزلي

إثبات عدم المساواة:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

الدرس 4 تطبيق اللامساواة الكلاسيكية.

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: باستخدام سلسلة من التحولات ، يتم اشتقاق عدم المساواة المطلوبة باستخدام بعض المتباينات الكلاسيكية.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

كمرجع لعدم المساواة ، نستخدم.

نقوم بتقليل عدم المساواة إلى النوع التالي:

، ومن بعد

لكن =
، ومن بعد

إثبات عدم المساواة:

1) (p + 2) (q + 2) (p + q) 16pq (للإثبات نستخدم المتباينة
)

2)
(للتوثيق ، يتم استخدام عدم المساواة)

3) (أ + ب) (ب + ج) (ج + أ) 8 أ ب ج (تستخدم عدم المساواة للإثبات)

4) (للإثبات تستخدم عدم المساواة).

الدرس الخامس طريقة الرسم.

إثبات عدم المساواة طريقة الرسمهو كالتالي: إذا أثبتنا عدم المساواة f (x)> g (x) (f (x)

1) بناء الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و y = g (x) ؛

2) إذا كان الرسم البياني للدالة y = f (x) يقع أعلى (أسفل) الرسم البياني للدالة y = g (x) ، فإن المتباينة التي تم إثباتها صحيحة.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

كوسكس
، × 0

دليل - إثبات:

دعونا نبني في نظام إحداثي واحد الرسوم البيانية للوظائف y = cosx و

يمكن أن نرى من الرسم البياني أنه عند x0 ، يقع الرسم البياني للدالة y = cosx أعلى الرسم البياني للدالة y =.

تكليفات للعمل في الفصل والمنزل.

إثبات عدم المساواة:

1)

4)
.

الدرس 6

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: فليكن من الضروري إثبات حقيقة عدم المساواة F (x، y، z) S (x، y، z) (1). يُفترض العكس ، أي أن المتباينة F (x ، y ، z) S (x ، y ، z) (2) صالحة لمجموعة واحدة على الأقل من المتغيرات. باستخدام خصائص عدم المساواة ، يتم إجراء تحويلات عدم المساواة (2). إذا تم الحصول على تفاوت خاطئ نتيجة لهذه التحولات ، فهذا يعني أن الافتراض حول صحة عدم المساواة (2) خاطئ ، وبالتالي فإن عدم المساواة (1) صحيح.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

افترض العكس ، أي.

دعونا نربّع كلا الجزأين من المتباينة ، نحصل من أين
وما بعدها

. لكن هذا يتناقض مع عدم المساواة كوشي. لذا فإن افتراضنا خاطئ ، أي أن مهام عدم المساواة للعمل في الفصل والمنزل صحيحة.

الدرس 9 الدرس - التحكم في معرفة الطلاب.

يمكن عمل هذا الدرس في أزواج أو إذا أعداد كبيرةفئة في مجموعات. في نهاية الدرس ، يجب تقييم كل طالب. هذا هو نص هذه الدورة. لا يوصى بالقيام بأعمال تحكم في هذا الموضوع. إثبات عدم المساواة ، كما سبق ذكره في الملاحظة التفسيرية ، ينتمي إلى مجال الفن. في البداية ، يُطلب من الطلاب تحديد طريقة إثبات عدم المساواة المقترحة بأنفسهم. إذا واجه الطلاب صعوبات ، فإن المعلم يخبرهم بالطريقة العقلانية ، محذرًا المجموعة من أن هذا ، بالطبع ، سيؤثر على تقييمهم.

العمل في ازواج.

أمثلة المهام.

________________________________________________________________

إثبات عدم المساواة:

1.
(طريقة الاستقراء الرياضي)

2.
(حسب التعريف)

وحدة . المعادلات و عدم المساواةمع المعلمات. ... الخصائص والصياغة و دليل - إثباتالنظريات ، اشتقاق الصيغ ... أبسطها عدم المساواة. 7. تعرف على كيفية استخدامها طريقةفترات ...

برنامج الأولمبياد المفتوح ومتطلبات الإعداد في الرياضيات لطلبة الصف التاسع

برنامج

مفهوم وحدةعدد حقيقي. الحساب و التعاريف الهندسية وحدة. إفشاء الوحدات. ... عدم المساواة. دليل - إثبات عدم المساواة. حل خطي ، مربع ، كسري منطقي عدم المساواةمع متغير واحد. المحلول عدم المساواة ...

برنامج اختياري في الرياضيات للصف الثامن

برنامج

يتظاهر طُرق الدليل لأكثر تعقيدًا بقليل عدم المساواةبهذه البساطة عدم المساواة؟ لذلك ، في هذا الوزاري برنامج ...

نسخة طبق الأصل

1 FGBOU VO "PETROZAVODSK STATE UNIVERSITY" كلية الرياضيات وتقنيات المعلومات قسم الهندسة والطوبولوجيا Khalzenen Elizaveta Sergeevna أطروحة التخرج لدرجة البكالوريوس طرق إثبات عدم المساواة الاتجاه: "0.03.0" "الرياضيات" الأستاذ المشرف دكتور Ph. م. العلوم ، بلاتونوف إس. (توقيع الرأس) بتروزافودسك

2 المحتويات مقدمة ... 3. عدم المساواة في جنسن عدم المساواة في التناوب عدم المساواة في كاراماتا حل مشاكل إثبات عدم المساواة ... 3 المراجع

3 الصيانة الطريقة هي مجموعة من الإجراءات المتسلسلة التي تهدف إلى حل نوع معين من المشاكل. تهدف طرق إثبات عدم المساواة في هذه الورقة إلى إيجاد حل مخصصعدم المساواة من شكل معين. باستخدام هذه الأساليب ، يتم تقليل الحل في بعض الأحيان. النتيجة هي نفسها ، لكن حجم العمل أقل. هدف، تصويب العمل النهائيكانت دراسة ثلاثة أنواع من عدم المساواة بمساعدة العديد من حالات عدم المساواة التي يمكن إثباتها بسهولة. هذه هي عدم مساواة جنسن ، عدم مساواة التقليب ، عدم مساواة كاراماتا. كل هذه التفاوتات جميلة من الناحية الحسابية ، وبمساعدة هذه التفاوتات من الممكن حل التفاوتات المدرسية. هذا الموضوعحتى الأن. في رأيي ، يمكن أن يكون مفيدًا لأطفال المدارس ، بما في ذلك رفع مستوى المعرفة في مجال الرياضيات. نظرًا لأن الأساليب ليست قياسية ، يبدو لي أنه بالنسبة للطلاب ذوي التحيز الرياضي ، ستكون مفيدة ومثيرة. المهمة هي البحث عن التفاوتات الموضوعية وحلها من الأدبيات المقترحة. يتكون العمل من أربع فقرات. في هذا القسم ، يتم وصف عدم المساواة في جنسن ، وإثباتها وتعريفاتها المساعدة. في الفقرة 2 ، عدم مساواة التقليب ، حالاتها الخاصة ، وعدم المساواة التقليب العام. في القسم 3 ، لا يوجد دليل على عدم المساواة في Karamata. الفقرة 4 هي العمل الرئيسي للعمل النهائي ، أي أدلة على عدم المساواة باستخدام عدم المساواة في جنسن ، وعدم المساواة في التقليب ، وعدم المساواة في كاراماتا

أربعة. تعريف عدم المساواة لجنسن. مجموعة فرعية من المستوى تسمى محدبة إن وجدت نقطتين مجموعة معينةيمكن توصيله بقطعة تقع بالكامل في هذه المجموعة. التعريف 2. دع تعريف f (x) على بعض الفواصل الزمنية. مجموعة جميع النقاط (x ، y) التي تسمى y f (x) بالنقش ، حيث x ينتمي إلى الفترة المحددة. مجموعة النقاط (x، y) التي تسمى y f (x) حبكة فرعية لها. التعريف 3. النظر في وظيفة في بعض الفترات. تسمى الوظيفة محدبة إذا كان كتابتها عبارة عن مجموعة محدبة على هذا الفاصل الزمني. تسمى الوظيفة مقعرة إذا كان مخططها الفرعي عبارة عن مجموعة محدبة. معيار التحدب (تقعر) الوظيفة. بالنسبة للدالة y = f (x) القابلة للاشتقاق باستمرار على الفترة (أ ، ب) لتكون محدبة (مقعرة) في (أ ، ب) ، من الضروري والكافي أن يزيد مشتقها f (ينقص) على الفترة (أ ، ب). المعيار 2 من تحدب (تقعر) الوظيفة. لكي تكون الوظيفة y = f (x) قابلة للاشتقاق مرتين على الفترة (أ ، ب) لتكون محدبة (مقعرة) في (أ ، ب) ، من الضروري والكافي أن تكون f (x) 0 (f (x) 0) في جميع النقاط x (a، b) التعريف 4. مركز كتلة النقطتين A (x، y) و B (x 2، y 2) هو النقطة C (x، y) التي تنتمي إلى المقطع AB ، مثل AC = m B ، حيث m BC m B هي الكتلة A للنقطة B و m A كتلة النقطة A. في شكل متجه ، يوجد مركز الكتلة على النحو التالي: متجه نصف القطر لمركز الكتلة: حيث r i هو متجه نصف القطر للنقطتين A و B ، i = ، 2. بالإحداثيات: r = m r + m 2 r 2 m + m 2 () x = m x + m 2 x 2 m + m 2، y = m y + m 2 y 2 m + m 2-4 -

5 لنفترض أن С AB هي مركز كتلة النقطتين A و B. إذا كانت U مجموعة فرعية محدبة من المستوى والنقطتان A و B تنتمي إلى U ، فإن С AB تنتمي إلى U ، لأن С AB تنتمي إلى الجزء AB. لنفترض أن أ ، أ 2 أ تكون نقاطًا عشوائية على المستوى مع كتل م ، م 2 ، م. يتم تحديد مركز الكتلة C A ، A 2 A لنظام النقاط A ، A 2 A عن طريق الحث على :) عند = 2 مركز الكتلة C A A 2 لنظام النقاط A ، A 2 محدد بالفعل. سنفترض أن النقطة C A A 2 لها كتلة m + m 2 2) لنفترض أنه بالنسبة لنظام النقاط A ، A 2 A ، تم تحديد مركز الكتلة A ، A 2 A بالفعل. دعونا نشير إلى مركز كتلة النقاط أ ، أ 2 أ على ب ونفترض أن كتلة النقطة ب تساوي م ب = م + م م. بحكم التعريف ، قمنا بتعيين C A ، A 2 A = C BA ، أي مركز كتلة نظام النقاط A ، A 2 A ، A يساوي مركز كتلة نقطتين B و A. نفترض أن كتلة النقطة C A ، A 2 A تساوي m B + m = م + م م. يستنتج من تعريف مركز الكتلة أنه إذا كانت جميع النقاط A و A 2 A تنتمي إلى مجموعة محدبة U ، فإن مركز كتلتها ينتمي أيضًا إلى U. Lemma. لنفترض أن A، A 2 A تكون نقاطًا على المستوي كتلتها m ، m 2 ، m ونفترض أن r i هو متجه نصف قطر النقطة A i ، i = ،. إذا كان C هو مركز كتلة نظام النقاط A ، A 2 A ، فيمكن حساب متجه نصف القطر r C للنقطة C باستخدام الصيغة Proof. r C = m r + m 2 r 2 + + m r m + m 2 + + m (2) سنثبت الصيغة (2) بالحث على. بالنسبة إلى = 2 ، تم بالفعل إثبات الصيغة (انظر الصيغة ()). لنفترض أن الصيغة (2) قد تم إثباتها بالفعل لـ (). لنفترض أن B هو مركز كتلة نظام النقاط A ، A 2 A. ثم - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m ، كتلة النقطة B هي m B = m + m m. بالتعريف ، فإن مركز الكتلة C لنظام النقاط A ، A 2 A يتطابق مع مركز كتلة زوج من النقاط B و A. يتم حساب متجه نصف القطر للنقطة C بالصيغة () r C = m Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m مما يثبت الصيغة (2) للنقاط. في الإحداثيات ، الصيغة (2) لها الشكل: x C = m x + m 2 x m k x k m + m m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k نظرية جنسن. لنفترض أن y = f (x) دالة محدبة في بعض الفواصل الزمنية ، x ، x 2 ، x - أرقام من هذه الفترة ؛ م ، م 2 ، م - أرقام موجبة، تفي بالشرط m + m m =. ثم تبقى متباينة جنسن: f (m x + m 2 x m x) m f (x) + m 2 f (x 2) + + m f (x) إذا كانت الدالة y = f (x) مقعرة في بعض الفواصل ، x ، x 2 ، x - أرقام من هذا الفاصل الزمني ؛ م ، م 2 ، م - الأعداد التي تفي أيضًا بالشرط م + م م =. ثم يكون لمتباينة جنسن الشكل: f (m x + m 2 x m x) m f (x) + m 2 f (x 2) + + m f (x) "الدليل: ضع في اعتبارك دالة f (x) محدبة في الفترة (a ، ب). ضع في اعتبارك النقاط A و A 2 و A على رسمها البياني ودع A i = (x i، y i)، y i = f (x i). لنأخذ الكتل التعسفية m ، m 2 ، m للنقاط A ، A 2 ، A ، بحيث m + m m =. من حقيقة أن f (x) دالة محدبة ، يتبع ذلك - 6 -

7 أن كتابة الوظيفة عبارة عن مجموعة محدبة. لذلك ، فإن مركز كتلة النقاط A ، A 2 ، A ينتمي إلى النقوش. أوجد إحداثيات مركز الكتلة: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f (x) + m 2 f (x 2) + + m f (x ) بما أن C تنتمي إلى النقوش ، فإننا نحصل على pt.d. y c f (x c) m f (x) + m 2 f (x 2) + + m f (x) f (m x + m 2 x m x) (a + a a) a a 2 a نأخذ لوغاريتم عدم المساواة (3) ، نحصل عليها المتباينة المكافئة (3) l (a + a 2 + + a) l (a 2 a) (4) باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، نعيد كتابة المتباينة (4) بالصيغة: l (a + a 2 + + a ) l a + l a l a (5) المتباينة الناتجة هي حالة معينة من عدم مساواة جنسن للحالة عندما تكون f (x) = l (x) ، m = m 2 = = m =. لاحظ أن الدالة y = l (x) مقعرة في الفترة (0 ، +) ، نظرًا لأن y =< 0, поэтому неравенство (5) есть حالة خاصةعدم المساواة x2-7 -

8 جنسن لدالة مقعرة f (x) = l (x). بما أن المتباينة (5) صحيحة ، فإن المتباينة المكافئة (3) صحيحة أيضًا 2. تعريف متباينة التقليب. يُطلق على المراسلات الفردية لمجموعة من الأرقام (، 2،3 ،) في حد ذاتها اسم تبديل العناصر. دعنا نشير إلى التقليب بواسطة σ بحيث تكون σ () ، σ (2) ، σ (3) σ () أرقامًا ، 2،3 ، بترتيب مختلف. ضع في اعتبارك مجموعتين من الأرقام أ ، أ 2 ، أ ، ب ، ب 2 ، ب. المجموعات a و a 2 و a و b و b 2 و b تسمى بشكل متماثل إذا كانت لأي رقمين i و j من حقيقة أن a i a j تعني ضمناً b i b j. خاصه، أكبر عددمن المجموعة أ ، أ 2 ، أ يقابل أكبر رقم من المجموعة ب ، ب 2 ، ب ، لثاني أكبر رقم من المجموعة الأولى ، هناك ثاني أكبر رقم من المجموعة الثانية ، وهكذا. المجموعات a و a 2 و a و b و b 2 و b يُقال إنها مرتبة ترتيبًا عكسيًا إذا كانت حقيقة أن a i a j تعني بالنسبة لأي رقمين i و j أن b i b j. ويترتب على ذلك أن أكبر عدد من المجموعة أ ، أ 2 ، أ يتوافق مع أصغر عددمن المجموعة b ، b 2 ، b ، ثاني أكبر رقم من المجموعة a ، a 2 ، a يتوافق مع ثاني أصغر رقم من نهاية المجموعة b ، b 2 ، b وهكذا. مثال.) دعونا نعطي مجموعتين ، مثل a 2 a و b b 2 b ، ثم وفقًا للتعريفات التي قدمناها ، يتم ترتيب هاتين المجموعتين بالتساوي. 2) دعونا نعطي مجموعتين ، بحيث تكون a 2 a و b b 2 b ، في هذه الحالة تكون مجموعات الأرقام a و a 2 و a و b و b 2 و b بترتيب عكسي. في كل مكان أسفل a ، a 2 ، أ ، ب ، ب 2 ، ب - الأعداد الحقيقية الموجبة «نظرية. (متباينة التقليب) ليكن هناك مجموعتان من الأعداد a و a 2 و a و b و b 2 و b. ضع في اعتبارك مجموعة التباديل الممكنة. ثم تكون قيمة التعبير 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () ستكون الأكبر عندما تكون المجموعات a و a 2 و a و b و b 2 و b مرتبة بشكل متساوٍ وأصغرها عند a و a 2 و a و b ، ب 2 ، ب بترتيب عكسي. بالنسبة لجميع التبديلات الأخرى ، سيكون مجموع S بين القيم الأصغر والأكبر. مثال. وفقًا للنظرية أ ب + ب ج + ج أ 3 ، نظرًا لأن المجموعة أ ، ب ، ج ، أ ، ب ، ج في ترتيب عكسي وستكون القيمة أ أ + ب ب + ج ج = 3 هي الأصغر. إثبات النظرية. تأمل مجموعتين من الأرقام: الأولى أ ، أ 2 ، أ والثانية ب ، ب 2 ، ب. افترض أن هذه المجموعات لم يتم ترتيبها بنفس الطريقة ، هؤلاء. هناك مؤشرات i و k مثل a i> a k و b k> b i. دعنا نتبادل الأرقام b k و b i في المجموعة الثانية (يسمى هذا التحويل "الفرز"). ثم في المجموع S ، سيتم استبدال المصطلحين a i b i و a k b k بـ a i b k و a k b i ، وستظل جميع المصطلحات الأخرى كما هي. لاحظ أن a i b i + a k b k< a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть أعلى قيمة. يتم الحصول على أصغر قيمة بالمثل ، فقط نقوم بالفرز حتى تصبح المجموعات بترتيب عكسي. نتيجة لذلك ، سنصل إلى أدنى قيمة. "النظرية 2. النظر في مجموعتين موجبتين أ ، أ 2 ، أ 3 أ وب ، ب 2 ، ب 3 ب وجميع التباديل الممكنة. عندئذٍ ستكون قيمة المنتج (a i + b σ (i)) أكبر عندما تكون المجموعات a و a 2 و a 3 a و b و b 2 و b 3 b مرتبة بشكل متساوٍ وأصغرها عندما يتم ترتيبها معكوسًا

10 نظرية 3. اعتبر مجموعتين أ ، أ 2 ، أ 3 أ ، ب ، ب 2 ، ب 3 ب عناصر هذه المجموعة موجبة. عندئذٍ ستكون قيمة () a i + b σ (i) أكبر عندما تكون المجموعات a و a 2 و a 3 a و b و b 2 و b 3 b مرتبة بشكل متساوٍ وأصغر عندما يتم ترتيبها بشكل عكسي. " النظريات 2،3 هي حالات خاصة لأكثر من ذلك النظرية العامة، والتي تمت مناقشتها أدناه. عدم مساواة التقليب العامة "النظرية 4 (عدم مساواة التقليب العام). اجعل الدالة f متصلة ومحدبة على فاصل زمني معين في R. ثم لأي مجموعة من الأرقام a ، a 2 ، a 3 a and b ، b 2 ، b 3 b من الفترة ، قيمة التعبير f (a + سيكون b σ ()) + f (a 2 + b σ (2)) + f (a + b σ ()) أكبر عندما تكون المجموعات بنفس الترتيب والأصغر عندما تكون المجموعات بترتيب عكسي. النظرية 5. اجعل الدالة f متصلة ومقعرة في فترة ما في R ثم: قيمة التعبير f (a + b σ ()) + f (a 2 + b σ (2)) + f (a + b ستكون σ ()) أكبر عندما تكون الأرقام بترتيب عكسي وأصغر عندما تكون المجموعات a و a 2 و a 3 a و b و b 2 و b 3 b مرتبة بشكل متساوٍ. برهان. ") ضع في اعتبارك الحالة = 2. دع الدالة f محدبة وهناك مجموعتان أ> أ 2 و ب> ب 2. نحتاج إلى إثبات أن f (a + b) + f (a 2 + b 2) و (أ + ب 2) + و (أ 2 + ب) (2) س = أ + ب 2 ، ك = أ أ 2 ، م = ب ب 2. ثم - 0 -

11 أ + ب 2 = س + ك ، أ 2 + ب = س + م ، أ + ب = س + ك + م ، لذا فإن عدم المساواة (2) تأخذ الشكل و (س + ك + م) + و (س + ك) و (س + ك) + و (س + م) (3) لإثبات عدم المساواة ، نستخدم الشكل يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لدالة محدبة y = f (x) النقاط A (x ، f ( س)) ، ج (س + ك ، و (س + ك)) ، د (س + م ، و (س + م)) ، ب (س + ك + م ، و (س + ك + م)). وعلى تحدب الوظيفة f يعني أن الوتر CD يقع أسفل الوتر AB. لنفترض أن K هي نقطة المنتصف للقرص المضغوط ، وتكون M3 نقطة منتصف AB. لاحظ أن حدود النقطتين K و M هي نفسها ، حيث أن x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k) + m)) = (2x + k + m) 2 لذلك ، فإن النقطتين K و M تقعان على نفس الخط الرأسي ، مما يعني أن y m y k. - -

12 بما أن y m = (f (x) + f (x + k + m)) 2 y k = (f (x + k) + f (x + m)) 2 هذا يعني عدم المساواة (3) و (2). Q.E.D. 2) لنفترض> 2. افترض أن المجموعات أ ، أ 2 ، أ 3 أ ، ب ، ب 2 ، ب 3 ب لم يتم ترتيبها بنفس الطريقة ، أي هناك مؤشرات i و k مثل a i> a k و b i< b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 إذا كانت x ، x 2 ، x أرقام موجبة ، i = x i = ، ثم (،) (x، x 2، x) (، 0،0،0، 0) "Theorem (Karamata's Inequality) دعونا f: (a ، ب) R ، f دالة محدبة x ، x 2 ، x ، y ، y 2 ، y (a ، b) و (x ، x 2 ، x) (y ، y 2 ، y) ، ثم f (x ) + f (x 2) + f (x) f (y) + f (y 2) + f (y). إذا كانت f دالة مقعرة ، فإن f (x) + f (x 2) + f (x) f (y) + f (y 2) + f (y). " انظر الدليل في. 4. حل مشاكل إثبات عدم المساواة. في هذا القسم ، نأخذ في الاعتبار العديد من مشكلات إثبات عدم المساواة التي يمكن حلها باستخدام عدم المساواة في جنسن ، أو عدم المساواة في التقليب ، أو عدم المساواة في كاراماتا. ممارسه الرياضه. أثبت عدم المساواة حيث x، x 2، x> 0 دع x + x 2 + x + x x 2 x، f (x) = + x، m i = f (x) = (+ x) f (x) = (+ x) 2 f (x) = 2 (+ x) 3> 0، x ثم تشير متباينة جنسن إلى أن - 3 -

14 لنثبت أن i = + x i + x x 2 x + x + x 2 + + x يكون هذا صحيحًا فقط إذا وفقط إذا كان + x x 2 x + x + x x + x x x 2 x + x x x x 2 x وتتزامن آخر عدم المساواة مع عدم المساواة Cauchy. المهمة 2. أثبت أن المتباينة صحيحة لأي أ ، ب> 0: 2 أ + ب أب المهمة 3. إثبات أن المتباينة لأي a ، a 2 ، a> 0 صحيحة: a a 2 a a 2 a يمكن إعادة كتابة المتباينة على النحو التالي: - 4 -

15 () (أ أ أ 2 أ 2 أ) هذه هي عدم مساواة كوشي. المهمة 4. إثبات أن المتباينة صحيحة لأي a ، 2 ، a> 0: ضع في اعتبارك عدم المساواة لـ = 3. أ + أ أ + أ 2 أ 3 أ أ أ أ 2 + أ 2 أ 3 + أ 3 أ 3-صحيح دلالة س = أ 2 ، س 2 = أ 2 أ 3 ، س = أ ، ثم س س 2 س =. ثم تأخذ المتباينة الشكل: x + x x تتبع هذه المتباينة من متباينة Cauchy: q.t.d. المهمة 5. إثبات أن (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x ، حيث 0 x i π - 5 -

16 تأتي المتباينة من متباينة جنسن للدالة y = si x. الدالة y = si x مقعرة في الفترة (0، π) ، بما أن y = si x< 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a >0 عدم المساواة صحيحة: (أ + أ 2+ + أ) (أ + أ) 2 يمكن إعادة كتابة عدم المساواة على النحو التالي: هذا يعادل (أ + أ أ) أ + أ 2 أ + أ 2 + أ أ + أ 2+ + a نحن نعتبر وظيفة جنسن f (x) = x ونحصل على هذه المساواة. وباستخدام المتباينة المهمة 7. برهن أن المتباينة x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 لأي x، y، z> 0 صحيحة ، فلنطبق متباينة التقليب. دع المجموعة الأولى تبدو مثل Second x 3، y 3، z 3، x 2، y 2، z 2 تتكون قيمة التعبير الموجود على الجانب الأيسر من x 5 + y 5 + z 5 من مجموعات أرقام متطابقة مرتبة. ويترتب على ذلك أن القيمة التي تم الحصول عليها - 6 -

17 لكل التباديل الأخرى المزيد من القيمةتم الحصول عليها بترتيب "أصح" للمتغيرات. المهمة 8. أثبت أن المتباينة صحيحة لأي x ، y ، z> 0: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 يمكننا أن نفترض أن x y z. لنفترض أن أ = س ، أ 2 = ص ، أ 3 = ع ، ب = + س 2 ، ب 2 = + ص 2 ، ب 3 = + ع 2 مجموعات أ ، أ 2 ، أ 3 و ب ، ب 2 ، ب 3 يتم ترتيبها بشكل معاكس ، وبالتالي ، من خلال متباينة التقليب ، فإن المجموع أ ب + أ 2 ب 2 + أ 3 ب 3 هو الأصغر بين المجاميع على وجه الخصوص ، وهو ما يعادل أ ب + أ 2 ب σ2 + أ 3 ب σ3. أ ب + أ 2 ب 2 + أ 3 ب 3 أ ب 2 + أ 2 ب 3 + أ 3 ب ، س + س 2 + ص + ص 2 + ع + ع 2 س + ص 2 + ص + ع 2 + ع + س 2. المهمة 9. أثبت أن المتباينة صحيحة لأي a ، a 2 ، a> 0: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a a 2 a 3 a) (+ a 2 ) (+ a) اضرب ب a 2 a ، نحصل على (a 2 + a 2) (a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2) (a 2 + a 2 2) (a + أ 2) - 7 -

18 لنأخذ لوغاريتم المتباينة ونحصل على متباينة مكافئة. l (a 2 + a 2) + l (a a 3) + + l (a 2 + a) l (a 2 + a) + l (a a 2) + + l (a 2 + a) (9.) نحن استخدم متباينة التقليب العامة للدالة المقعرة y = l x. لنفترض أن a i = a i ، b i = a i 2. ثم المجموعات b ، b 2 ، b و a ، a 2 ، a مرتبة بشكل متماثل ، لذلك l (b + a) + l (b 2 + a 2) + + l ( ب + أ) ل (ب + أ 2) + ل (ب 2 + أ 3) + + ل (ب + أ) ، مما يثبت عدم المساواة (9.). المهمة 0. اثبت أنه لأي موجب أ ، ب ، ج أ 2 + ب 2 + ج 2 أب + ب ج + ج (0) دع أ ب ج .. منذ المجموعات (أ ، ب ، ج) و (أ ، ب ، ج) مرتبة بشكل مماثل ، لكن المجموعات (أ ، ب ، ج) و (ب ، ج ، أ) ليست مرتبة بشكل متماثل ، ثم المتباينة (0) تأتي من متباينة التقليب. ممارسه الرياضه. برهن على أنه إذا كانت xy + yz + zx = ، فإن عدم المساواة (.) يتبع المشكلة 0. المهمة 2. أثبت أنه إذا كان a ، b ، c> 0 ، ثم x 2 + y 2 + z 2 (.). (أ + ج) (ب + د) أب + cd بما أن الجذر التربيعي أكبر من أو يساوي الصفر ، يمكننا تربيع الجانبين الأيمن والأيسر. نحصل على: (a + c) (b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -True Assignment 3، 4. إثبات ذلك لأي a ، a 2 ، a> 0 تثبت عدم المساواة التالية: 3) أ 2 + أ 2 (أ + أ 2 + أ) 2 4) أ 2 + أ أ 2 (3.) (4.) حيث أ + أ 2 + أ = عدم المساواة (4.) يتبع من (3.) لـ a + a 2 + a =. سنثبت عدم المساواة (3.). يمكن تحويلها إلى أو a 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a 2 (a + a a) لنستخدم متباينة جنسن للدالة المحدبة f (x): f (q x + q 2 x 2 + q x) q f ​​(x) + q 2 f (x 2) + q f (x) حيث 0 q i، q + q 2 + q =. إذا أخذنا f (x) = x 2 ، q i = ، i = ، 2 ، فإننا نحصل على المتباينة (3.) ، إلخ. المهمة 5. أثبت أنه لأي عدد طبيعي ولأي p ، q ، المتباينة () 2 pq + () (p + q) + () pq + (5.) - 9 -

20 لنحول المتباينة (5.) إلى الصيغة المكافئة: () 2 pq + () (p + q) + () pq + () 2 pq + () (p + q) + () pq 0) [ () pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 دائمًا منذ - طبيعي دعنا نثبت ذلك لاحظ أن 0 (5.2) p + q pq = p (q) (q) = (p) (q) بما أن p، q، إذن p 0، q 0، بالتالي المتباينة (5.2) صالحة. المهمة 6. لأية أرقام موجبة x ، y ، z ، تكون المتباينة صحيحة: دع x y z xyz (y + z x) (z + x y) (x + y z) (6.)) إذا y + z x< 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части >0. ثم المتباينة (6.) تكافئ l x + l y + l z l (y + z x) + l (z + x y) + l (x + y z) لنفترض أن f (x) = l x. منذ f (x) `= x 2< 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (لأن y z 0) ؛ (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z بما أن الدالة f (x) = l x مقعرة ، ثم يتبع من متباينة كاراماتا أن l (x + y z) + l (x + z y) + l (y + z x) = l x + l y + l z ، مما يثبت عدم المساواة (6.). المهمة 7. إثبات أن المتباينة لأي a و b و c> 0 صحيحة: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab وهذا يعادل Let أ ب ج. أ 2 + ب 2 + ص 2 + أب + أس + بك + أب + أس + بك أس + ب ، أب + أك + ب) (7.) (أ 2 + 2 بي سي ، ب 2 + 2 أك ، ج 2 + 2 أب) (7.2) علينا إثبات أن (7.) تخصص (7.2). لنستخدم تعريف التخصص :) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-right 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c (c b) a (c b) 0 (c b) (c a) 0-2 -

22 (ج ب) 0 و (ج أ) 0 ، ثم (ج ب) (ج أ) 0 3) 3) أ 2 + ب 2 + ص 2 + أب + أك + ب ج + أب + أك + ب ج = أ 2 + 2 ب ج + ب 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab صحيح. وهكذا ، فإن مجموعة الأرقام (7.) تخصص مجموعة الأرقام (7.2). بتطبيق متباينة كاراماتا للدالة المحدبة f (x) = x ، نحصل على المتباينة الأصلية الصحيحة. المهمة 8. بالنسبة لـ a ، b ، c ، d> 0 يثبت أن المتباينة a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 لنفترض أن a b c d y + z + w + e x + y + z + w e 2x + 2y + e 2x + 2z + e 2x + 2w + e 2y + 2z + e 2y + 2w + e 2z + 2w ضع في اعتبارك مجموعتين من الأرقام: (4x ، 4y ، 4z ، 4w ، x + y + z + w ، x + y + z + w) و (2x + 2y ، 2x + 2z ، 2x + 2w ، 2y + 2z ، 2y + 2w ، 2z + 2w) المجموعات: (4x ، 4y ، 4z ، x + y + z + w ، x + y + z + w ، 4w) و (8.) الثانية تبقى دون تغيير: ( 2x + 2y، 2x + 2z، 2x + 2w، 2y + 2z، 2y + 2w، 2z + 2w) (8.2) دعونا نثبت أن (8.) يتخصص (8.2)

23) 4x 2x + 2y ، x y صحيح 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z، y z صحيح 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w أن 2x + 2w 2y + 2z x + w y + z ، ثم الحالة 3) ممكن فقط لـ x + w = ​​y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z x + y + z w 0 y + z x + w على غرار الحالة السابقة ، هذه التفاوتات صالحة لـ x + w = ​​y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 2z + 2y + 2w z w صحيح 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w ، المجموعة (8.) تخصص مجموعة الأرقام (8.2). باستخدام متباينة كاراماتا للدالة f (x) = e x ، نحصل على المتباينة الصحيحة. المهمة 9. بالنسبة لـ a ، b ، c> 0 ، أثبت أن المتباينة a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) صحيحة

24 لنفترض أن a b c اضرب طرفي المتباينة في 3 ، نحصل على 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2 (a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9. ) نقوم بالتغيير: ونكتب المتباينة (9.) بالصيغة: x = l a، y = l b، z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + e 3z + e x + y + z + e x + y + z + e x + y + z e 2x + y + e 2x + y + e 2y + z + e 2y + z + e 2z + x + e 2z + x + e x + 2y + e x + 2y + e y + 2z + e y + 2z + e z + 2x + e z + 2x + y + z، x + y + z، x + y + z) و ( 9.2) (2x + y ، 2x + y ، 2y + z ، 2y + z ، 2z + x ، 2z + x ، x + 2y ، x + 2y ، y + 2z ، y + 2z ، z + 2x ، z + 2x) (9.3) z، x + y + z، 3z، 3z، 3z،) و (9.2) اطلب المجموعة الثانية: 2x + y z + 2x y z true y + 2z 2z + x y x true وهكذا نحصل على المجموعة: (2x + y ، 2x + y ، z + 2x ، z + 2x ، 2y + z ، x + 2y ، x + 2y ، 2y + z ، 2y + z ، 2z + x ، 2z + x ، y + 2z، y + 2z) (9.3) تثبت أن مجموعة الأرقام (9.2) تخصص مجموعة الأرقام (9.3)) 3 س 2 س + ص ، س ص 2) 6 س 4 س + 2 ص ، س ص 3) 9 س 6 س + 2 ص + ع ، 3 س 2 ص + ض

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x، x + y 2z، بالنسبة إلى x = y نحصل على y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x، y z 6) 9x + 9y 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x، x + 3y 2z 0 بالنسبة إلى x = y نحصل على y z 7) 9x + 9y + x + y + z ، نحصل على y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z، x + y + 3z 0 + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x، x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x، y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + y، 5y z 2) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + 2z تخصص مجموعة الأرقام (9.3) ومن خلال عدم المساواة Karamata للدالة f (x) = e x نحصل على عدم المساواة الصحيحة

26 المراجع) Yu.P. Soloviev. عدم المساواة. م: دار النشر لمركز موسكو للتعليم الرياضي المستمر .2005. 6. 2) I.Kh. سيفاشينسكي. عدم المساواة في المهام M: Nauka ، p. 3) أ. إ. خرابروف. حول عدم المساواة المنغولية ، مات. التنوير سر. 3، 7، MTsNMO، M.، 2003، p. 4) L.V Radzivilovskii ، تعميم عدم مساواة التقليب وعدم المساواة المنغولية ، Mat. التنوير سر. 3 ، 0 ، دار النشر MCNMO ، M. ، 2006 ، ص. 5) V.A.ch Krechmar. كتاب الجبر. الطبعة الخامسة م ، علم ، ص. 6) عدم مساواة د. نوميروفسكي كاراماتا / د. نوميروفسكي // (الكم) -S

مجموعات محدبة ووظائف R n مجموعة من مجموعات n أرقام حقيقية. علاوة على ذلك ، ستسمى هذه المجموعة مساحة ، وستسمى عناصرها بالنقاط ، وسيتم الإشارة إلى النقطة ذات الإحداثيات (x 1 ، ... ، x n)

شروط المهمة 1 المرحلة البلديةالصف الثامن 1. رقمان مكتوبان على السبورة. تمت زيادة إحداها 6 مرات ، وتم تخفيض الأخرى بحلول عام 2015 ، بينما لم يتغير مجموع الأرقام. ابحث عن زوج واحد على الأقل

الفصل التاسع. المساحات الإقليدية والوحدة 35. منتج عدديفي الفضاء متجه الأورال جامعة اتحاديةومعهد الرياضيات و علوم الكمبيوترقسم الجبر والمنفصل

جامعة الأورال الفيدرالية ، معهد الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ، قسم الجبر والرياضيات المتقطعة

حل مشاكل الجولة التاسعة من أولمبياد أويلر بدوام كامل 1. يتم النظر في جميع حلول النظام x yz 1 و x y z x و x y z. أوجد كل القيم التي يمكن أن يأخذها x. الجواب: 1 ؛ واحد؛ 1. الحل 1. منذ x y

المحاضرة 4 1. موجهات متجهية المقطع. نواقل متساوية: لديك نفس الأطوالواتجاهات متطابقة (متوازية ومؤشرات في نفس الاتجاه) المتجهات المقابلة: لها نفس الطول

الموضوع 1-8: الأعداد المركبة A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science قسم الجبر والرياضيات المنفصلة الجبر والهندسة للميكانيكا (فصل دراسي واحد)

بينزا جامعة الدولةكلية الفيزياء والرياضيات "مدرسة الفيزياء والرياضيات بدوام جزئي" الرياضيات تحولات الهوية. حل المعادلات. المثلثات المهمة 1 من أجل

معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا المعادلات اللوغاريتميةوعدم المساواة ، طريقة التقوية واللوغاريتم في حل المشكلات. أدواتاستعدادًا للأولمبياد.

98 الرياضيات: الجبر وبدايات التحليل GeOMETRY حلول المعادلات بناءً على خصائص الوظيفة المحدبة Lipatov SV Kaluga MBOU "Lyceum 9 التي تحمل اسم KE Tsiolkovsky" مشرف فئة "0" A:

الشكل الجبري للعدد المركب. عرض تعليمي A. V. Likhatsky رئيس: E. A. Maksimenko Southern Federal University 14 أبريل 2008 A. V. مجموعة النموذج أعداد

جامعة موسكو جامعة فنيةسميت باسم N.E. كلية بومان " العلوم الأساسية" كرسي " النمذجة الرياضية» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

72 الفصل 2 كثيرات الحدود أمثلة وتعليقات الخوارزميات A-01 اكتب كثير الحدود في النموذج القياسي A-02 العمليات على كثيرات الحدود A-03 التحويلات الشفوية A-04 معادلات الضرب المختصرة A-05 نيوتن ذات الحدين

حلول مشاكل جولة المراسلات في الكتلة الرياضية الأولى من أولمبياد أويلر السادس اكتشف ما هي قيم المعلمة التي توجد بها أرقام حقيقية x و y التي تحقق المعادلة xy + x + y + 7 الإجابة: 89 الحل

المحاضرة 8 الفصل ناقلات الجبرالمتجهات الكميات التي يتم تحديدها فقط من خلال قيمة عددية، تسمى الأمثلة العددية عددي: الطول ، والمساحة ، والحجم ، ودرجة الحرارة ، والشغل ، والكتلة

الأولمبياد الأقاليميأطفال المدارس " أعلى مستوى"، الرياضيات 2017 ، المرحلة 2 ص. 1/10 حلول ومعايير لتقييم مهام الأولمبياد 10-1 في شركة مكونة من 6 أشخاص ، ذهبت بعض الشركات إلى ثلاثة

7. إكستريما دوال متعددة المتغيرات 7 .. القيم القصوى المحليةدع الدالة f (x، ...، x n) تحدد في مجموعة مفتوحة D R n. النقطة M D تسمى النقطة الحد الأقصى المحلي(محلي

أولمبياد أويلر الثامن لمعلمي الرياضيات حل مشاكل جولة المراسلات حل المعادلة أ ب ج ب أ ج ج أ ب أ ب ج ، حيث أ ، ب ، ج أعداد موجبة الحل من الواضح أن أ ب ج حلول معادلة معينة

أنا بالطبع ، مهمة. إثبات أن دالة Riemann ، إذا كانت 0 ، m m R () ، إذا ، m ، m 0 ، والكسر غير قابل للاختزال ، 0 ، إذا كانت غير منطقية ، فهي متقطعة في كل نقطة عقلانيةومستمر في كل غير منطقي. المحلول.

أولمبياد المدينة في الرياضيات ، خاباروفسك ، 1997 المشكلة 1. إيجاد حلول للمعادلة 9 CLASS (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) الحل. بعد تغيير المتغير x = y 1 ، يمكن كتابة المعادلة (1) كـ

جامعة الأورال الفيدرالية ، معهد الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ، قسم الجبر والرياضيات المتقطعة

موضوع 2-14: الفضاءات الإقليدية والوحدة أ. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for

أولمبياد أويلر التاسع لمدرسي الرياضيات حلول مشاكل جولة المراسلات 1. حل المعادلة x (x ab) a b for x. المحلول. من الواضح أن x a b هو جذر هذه المعادلة. قسمة كثير الحدود x abx

1. المعادلات الخطية بمتغيرين في المهمة الأولى ، درسنا المعادلات الخطية بمتغير واحد. على سبيل المثال ، المعادلات 2 س + 5 = 0 ، 3 س + (8 س 1) + 9 = 0 هي المعادلات الخطيةمع متغير

الفصل 6 Vector الجبر 6.1. النواقل على متن الطائرة وفي الفضاء ناقلات هندسية، أو ببساطة متجه ، يسمى مقطعًا موجهًا ، أي مقطع يتم فيه تسمية إحدى النقاط الحدودية

مهام الأولمبياد المفتوح لأطفال المدارس في الرياضيات (54 من قائمة الأولمبياد لأطفال المدارس ، 2015/2016 العام الدراسي) جدول المحتويات I. المهام المرحلة الأخيرةأولمبياد للصف 11 ... 2 II. مهام الجولة الأولى من التصفيات

3. طرق الحل عدم المساواة العقلانية 3..1. المتباينات العددية أولاً ، دعنا نحدد ما نعنيه بالعبارة أ> ب. التعريف 3..1. رقم أ رقم أكثرب إذا كان الفرق بينهما موجبًا.

المحاضرة 13. الدوال المحدبة وصيغة تايلور 1 محدب ومقعر C. -ميزات سلسة. التعريف 1 تسمى الوظيفة محدبة (مقعرة) إذا كانت نقشها (الرسم البياني الفرعي) منطقة محدبة. مثال 1x

ورشة عمل: "التفاضل والتفاضل لوظيفة ما" إذا كانت الوظيفة y f () لها مشتق محدود عند نقطة ما ، فيمكن تمثيل الزيادة في الوظيفة عند هذه النقطة على النحو التالي: y (،) f () () () ، اين

المحاضرة 2 متجهات محددات الرتبتين الثانية والثالثة 1 متجه متجه المقطع الموجّه متجهات متساوية: لها نفس الطول ونفس الاتجاه (متوازي وموجه في نفس الاتجاه)

حل مسائل التطابق الجولة 0 I مشكلة الكتلة الرياضية أوجد عدد الجذور الطبيعية للمعادلة.

ملخص المحاضرة 11 المساحات الإقليدية 0. مخطط المحاضرة 1. المنتج النقطي. 1.1 تعريف المنتج العددي. 1.2 تدوين مكافئ من حيث الإسقاطات. 1.3 دليل على الخطية في

أولمبياد "باحثو المستقبل مستقبل العلم" الرياضيات. جولة الاختيار 4.0.0 المشكلة والحلول 8 9 الصف 8-9 .. أي رقم أكبر: 0 0 0 0 أم 0 0 0 0؟ إجابه. الرقم الأول أكبر من الثاني. المحلول. دل

الدرجة 0 الجولة الأولى (0 دقيقة ، كل مشكلة 6 نقاط) ... من المعروف أن tg + tg = p، ctg + ctg = q. أوجد tg (+). pq الإجابة: tg. q p من الشرط p tg q tg tg tg tg p والمساواة ctg ctg q ، نحصل عليها

التحليل الرياضي 2.5 محاضرة: Extrema لدالة متعددة المتغيرات فلاديمير فيليكسوفيتش زالميج ، أستاذ مشارك في قسم VMMF دعونا ننظر في الوظيفة w = f (x) المحددة في المنطقة D R n. النقطة x 0 D تسمى

الموضوع 1-4: العمليات الجبرية A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science قسم الجبر والرياضيات المنفصلة الجبر والهندسة للميكانيكا (1

المحتويات I.V. Yakovlev مواد في الرياضيات MathUs.ru Systems المعادلات الجبريةالاستبدال المزدوج ... الأنظمة المتماثلة ...... .. .........................

وكالة فيدراليةعن طريق التعليم الدولة الاتحادية مؤسسة تعليميةأعلى التعليم المهنيالجامعة الفيدرالية الجنوبية R. M. Gavrilova، G. S. Kostetskaya

المحاضرة 10 1 الفضاء الإقليدي 11 التعريف لنفترض أن V (R) هي LP على مجال الأعداد الحقيقية. وظيفة تعسفية V V R التي تربط زوجًا مرتبًا من المتجهات

1 وظائف معقدة 1.1 الأعداد المركبة تذكر ذلك ارقام مركبةيمكن تعريفها على أنها مجموعة الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية C = ((x، y): x، y R)، z = x + iy، حيث i هي الوحدة التخيلية (i

الفصل 4 النظريات الأساسية حساب التفاضلالكشف عن عدم اليقين النظريات الأساسية لحساب التفاضل التفاضلي نظرية فيرمات (بيير فيرمات (6-665) عالم رياضيات فرنسي) إذا كانت الدالة y f

ملخص المحاضرة 10 فضاءات عاطفية 0. مخطط محاضرة المساحات المحببة. 1. أساس أفيني. 2. إحداثيات Affineنقاط. 3. معادلة المتجه لخط مستقيم. 4. معادلة المتجه للمستوى. 5.

8 CLASS 1. برهن أنه لأي عدد طبيعي n يمكن للمرء أن يختار رقمًا طبيعيًا بحيث يكون الرقم a (n + 1) (+ n + 1) قابلاً للقسمة بالتساوي عليه. 2. اثنان

جامعة أورال الفيدرالية ، معهد الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ، قسم الجبر والرياضيات المتقطعة ملاحظات تمهيدية في هذه المحاضرة ، ندرس منحنى آخر من الدرجة الثانية ، القطع الزائد.

الواجب المنزليفي الجبر للصف 0 إلى الكتاب المدرسي "الجبر وبداية التحليل بالصف 0" Alimov Sh.A. وآخرون ، -M: "التنوير" ، 00 ز. www.balls.ru المحتويات الفصل الأول. الأرقام الحقيقية ، الفصل الثاني. قوة

ناقلات الجبر مفهوم الفضاء المتجه. التبعية الخطيةثلاثة أبعاد. الخصائص. مفهوم الأساس. إحداثيات المتجهات. التحولات الخطيةمساحات ناقلات. القيم الذاتيةوامتلاكها

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة تومسك الحكومية لأنظمة التحكم وإدارة الإلكترونيات الراديوية رياضيات أعلى(VM) Prikhodovsky M.A. المشغلين الخطيين والأشكال التربيعية عملية

جامعة الأورال الفيدرالية ، معهد الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ، قسم الجبر والرياضيات المتقطعة

معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا عدم المساواة Cauchy-Bunyakovsky. دليل منهجي للتحضير للأولمبياد. بقلم: باركفيتش إيجور فاديموفيتش موسكو 014 المادة النظرية. في هذه الوظيفة

مجموعة عمل المختبر 1. يعرض. ضبط الأنظمة 1. المفاهيم الأساسية والنظرية دع X مجموعة واجعل (x) بعض الخصائص

ندوة 2. المخروطيات على المستوى الإسقاطي 1. تعريف المخروط في P 2. الخصائص الأولى للمخروطيات. كما في السابق ، نعمل في k = R أو C. تعريف المخروط في P 2. ضع في اعتبارك خريطة إسقاطية f: l

5 عناصر التحليل الوظيفي 5.1 الفراغات الخطية والمعيارية وبناخ 5.1.1 تعريف الفراغات المجموعة غير الفارغة X من العناصر x ، y ، z ، ... تسمى الفراغ الخطي (المتجه) ،

LD Lappo ، واجب الجبر AV Morozov للصف 0 إلى الكتاب المدرسي "الجبر وبداية التحليل: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام 0-cl / SHA Alimov وإصدارات أخرى. M: التعليم ، 00" الفصل الأول صالح

الفصل 8 الخطوط والطائرات 8.1. معادلات الخطوط والأسطح 8.1.1. خطوط على المستوى افترض أن المستوى معطى نظام أفينيإحداثيات. لنفترض أن l منحنى في المستوى و f (x ، y) تكون بعضًا منها

وزارة التربية والعلوم الاتحاد الروسيالوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة ولاية بينزا Rudenko AK ، Rudenko MN ، Semerich YUS جمع المهام مع حلول للتحضير

المعادلات في الجبر ، يتم النظر في نوعين من المساواة - الهويات والمعادلات. الهوية هي المساواة التي تنطبق على جميع قيم الحروف المضمنة فيها. بالنسبة للهويات ، يتم استخدام العلامات

مهام جولة المراسلة في الرياضيات للصف التاسع 2014/2015 م. السنة ، المستوى الأول من الصعوبة المهمة 1 حل المعادلة: (x + 3) 63 + (x + 3) 62 (x-1) + (x + 3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 إجابة: -1 مجموع المهمة 2

معسكر المدرسة 57 يوليو 06 عدم المساواة (خلاصة وافية) دميتريفا أ ، إيونوف ك الدرس الأول التفاوتات البسيطةمشكلة المتباينات المتوسطة إثبات عدم المساواة x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx الحل: x + 4y + 9z

وزارة التعليم في منطقة موسكو ، مؤسسة تعليمية لميزانية الدولة للتعليم المهني العالي في منطقة موسكو " الجامعة الدوليةالطبيعة والمجتمع و

الأولمبياد الأقاليمي لأطفال المدارس "Vysshaya Proba" ، 2017 الرياضيات ، المرحلة 2 ص. 1/11 الحلول والمعايير لتقييم مهام الأولمبياد 8-1

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا (جامعة الولاية) مدرسة المراسلة للفيزياء والتكنولوجيا الرياضيات تحولات الهوية. المحلول

المحاضرة 7 الفصل. الأنظمة المتباينات الخطية.. المفاهيم الأساسية نظم المتباينات الخطية تستخدم لحل مختلف مسائل حسابية. نظام من المتباينات الخطية من مع المجهول

MOU Grishino - مدرسة سلوبودسكايا الثانوية

برنامج الوحدة النمطية

"طرق إثبات عدم المساواة"

ضمن المقرر الاختياري

"خلف صفحات كتاب رياضيات"

للطلاب في الصفوف 10-11

جمعتها:

مدرس رياضيات

Pankova E.Yu.

ملاحظة توضيحية

"تسمى الرياضيات علم الحشو: بعبارة أخرى ، يقال أن علماء الرياضيات يقضون وقتًا في إثبات أن الأشياء متساوية مع نفسها. هذا البيان غير دقيق للغاية لسببين. أولاً ، الرياضيات ، على الرغم من لغتها العلمية ، ليست علمًا. بدلا من ذلك ، يمكن أن يطلق عليه الفن. ثانيًا ، غالبًا ما يتم التعبير عن النتائج الرئيسية للرياضيات من خلال التفاوتات وليس المساواة ".

تستخدم المتباينات في العمل العملي لعالم الرياضيات باستمرار. يتم استخدامها للحصول على عدد من الخصائص الهامة والمثيرة للاهتمام للأشكال "المتماثلة": مربع ، مكعب ، مثلث متساوي الاضلاعوكذلك لإثبات تقارب العمليات التكرارية وحساب بعض الحدود. دور عدم المساواة مهم أيضًا في مختلف مسائل العلوم الطبيعية والتكنولوجيا.

تعتبر مشاكل إثبات عدم المساواة هي الأكثر صعوبة وإثارة للاهتمام من المشاكل التقليدية. يتطلب إثبات عدم المساواة براعة حقيقية وإبداعًا يجعل الرياضيات موضوعًا مثيرًا.

يلعب تعليم الأدلة دورًا كبيرًا في تنمية التفكير الاستنتاجي الرياضي وقدرات التفكير العام لدى الطلاب. كيف تُعلِّم الطلاب أن يقوموا بشكل مستقل بإثباتات عدم المساواة؟ الجواب: فقط من خلال التفكير في العديد من تقنيات وطرق الإثبات وتطبيقها بانتظام.

تتنوع الأفكار المستخدمة لإثبات عدم المساواة تقريبًا مثل عدم المساواة نفسها. في حالات محددة ، غالبًا ما تؤدي الأساليب العامة إلى حلول قبيحة. لكن المزيج غير الواضح للعديد من التفاوتات "الأساسية" ممكن فقط لعدد قليل من أطفال المدارس. وإلى جانب ذلك ، لا شيء يمنع الطالب في كل حالة محددة من البحث عن حل أفضل من ذلك الذي حصل عليه بالطريقة العامة. لهذا السبب ، غالبًا ما يُنزل إثبات عدم المساواة إلى عالم الفن. وكما هو الحال في أي فن ، فإن له تقنياته الفنية الخاصة ، ومجموعته واسعة جدًا ومن الصعب جدًا إتقانها جميعًا ، ولكن يجب على كل معلم أن يسعى جاهداً لتوسيع الأداة الرياضية المتوفرة في مخزونه.

يوصى بهذه الوحدة للطلاب في الصفوف 10-11. لا يتم النظر هنا في جميع الطرق الممكنة لإثبات عدم المساواة (طريقة تغيير المتغير ، وإثبات عدم المساواة باستخدام المشتق ، وطريقة البحث والتعميم ، وتقنية الترتيب لا تتأثر). يمكنك أن تعرض التفكير في طرق أخرى في المرحلة الثانية (على سبيل المثال ، في الصف 11) ، إذا كانت هذه الوحدة من الدورة تثير اهتمام الطلاب ، بالإضافة إلى التركيز على نجاح إتقان الجزء الأول من الدورة.

		المعادلات والمتباينات مع معلمة.
		طرق إثبات عدم المساواة.
		المعادلات والمتباينات التي تحتوي على المجهول تحت علامة الوحدة.
		أنظمة المتباينات بمتغيرين.

"خلف صفحات كتاب رياضيات"

"طرق إثبات عدم المساواة"

		مقدمة.
		إثبات عدم المساواة على أساس التعريف.
		طريقة الاستقراء الرياضي.
		تطبيق اللامساواة الكلاسيكية.
		طريقة الرسم.
		الطريقة المعاكسة.
		تقنية للنظر في عدم المساواة فيما يتعلق بأحد المتغيرات.
		فكرة التضخيم.
		الدرس - التحكم.

الدرس 1. مقدمة.

إثبات عدم المساواة هو موضوع رائع وصعب في الرياضيات الابتدائية. يؤدي عدم وجود نهج موحد لمشكلة إثبات عدم المساواة إلى البحث عن عدد من التقنيات المناسبة لإثبات أنواع معينة من عدم المساواة. في هذه الدورة الاختيارية ، سيتم النظر في الأساليب التالية لإثبات عدم المساواة:

تكرار:

قم بعمل البراهين على بعض الممتلكات.

عدم المساواة الكلاسيكية:

1)
(عدم المساواة كوشي)

2)

3)

4)

مرجع التاريخ:

سُمي التفاوت (1) على اسم عالم الرياضيات الفرنسي أوغست كوشي. رقم
اتصل المتوسط ​​الحسابيالأرقام أ و ب ؛

رقم
اتصل الوسط الهندسيالأرقام أ و ب. وبالتالي ، فإن عدم المساواة تعني أن المتوسط ​​الحسابي لرقمين موجبين لا يقل عن الوسط الهندسي.

بالإضافة إلى ذلك:

فكر في العديد من المغالطات الرياضية مع عدم المساواة.

مغالطة رياضية- بيان مذهل ، يتم فيه إخفاء أخطاء غير محسوسة وأحيانًا خفية تمامًا.

المحاباة هي نتائج خاطئة تم الحصول عليها بمساعدة التفكير الذي يبدو أنه صحيح فقط ، ولكنه يحتوي بالضرورة على خطأ أو آخر.

مثال:

أربعة على اثني عشر

الدرس 2. إثبات عدم المساواة على أساس التعريف.

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: من أجل إثبات صحة المتباينات F (x، y، z)> S (x، y، z) تشكل الفرق F (x، y، z) -S ( x ، y ، z) وإثبات أنها موجبة. باستخدام هذه الطريقة ، غالبًا ما يفرد المرء المربع أو مكعب المجموع أو الفرق ، لا مربع كاملمبالغ أو اختلافات. هذا يساعد على تحديد علامة الاختلاف.

مثال. أثبت عدم المساواة (x + y) (x + y + 2cosx) +2 2sin 2x

دليل - إثبات:

ضع في اعتبارك الفرق (x + y) (x + y + 2cosx) + 2- 2sin 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx) + 2cos 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx ) + cos 2 x + cos 2 x = (x + y) 2 +2 (x + y) cosx + cos 2 x + cos 2 x = ((x + y) + cosx) 2 + cos 2 x 0.

إثبات عدم المساواة:

1.ab (a + b) + bc (b + c) + ac (a + c) 6abc

3.

4.
> 2x-20

5.

6. (أ + ب) (ب + ج) (ج + أ) 8abc

7.

الدرس 3. طريقة الاستقراء الرياضي.

عند إثبات عدم المساواة التي تشمل الأعداد الطبيعية ، غالبًا ما يلجأ المرء إلى طريقة الاستقراء الرياضي. هذه الطريقة على النحو التالي:

1) تحقق من صحة النظرية من أجل n = 1 ؛

2) نفترض أن النظرية صحيحة لبعض n = k ، وبناءً على هذا الافتراض نثبت صحة نظرية n = k + 1 ؛

3) بناءً على الخطوتين الأوليين ومبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن النظرية صحيحة لأي n.

مثال.

إثبات عدم المساواة

دليل - إثبات:

1) بالنسبة إلى n = 2 ، تكون عدم المساواة صحيحة:

2) دع عدم المساواة يكون صحيحًا لـ n = k أي
(*)

دعنا نثبت أن عدم المساواة صحيحة لـ n = k + 1 ، أي
. دعونا نضرب كلا جزأي المتباينة (*) في
نحصل على 3) من البند 1. والبند 2 نستنتج أن المتباينة صحيحة لأي n.

الواجبات للفصول الدراسية والعمل المنزلي

إثبات عدم المساواة:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

الدرس 4 تطبيق اللامساواة الكلاسيكية.

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: باستخدام سلسلة من التحولات ، يتم اشتقاق عدم المساواة المطلوبة باستخدام بعض المتباينات الكلاسيكية.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

كمرجع لعدم المساواة ، نستخدم
.

نأتي بهذه اللامساواة إلى النموذج التالي:

، ومن بعد

لكن =
، ومن بعد

إثبات عدم المساواة:

1) (p + 2) (q + 2) (p + q) 16pq (للإثبات نستخدم المتباينة
)

2)
(للتوثيق ، يتم استخدام عدم المساواة)

3) (أ + ب) (ب + ج) (ج + أ) 8 أ ب ج (تستخدم عدم المساواة للإثبات)

4)
(بالنسبة إلى doc-va ، يتم استخدام عدم المساواة).

الدرس الخامس طريقة الرسم.

يكون إثبات عدم المساواة بالطريقة الرسومية كما يلي: إذا أثبتنا عدم المساواة f (x)> g (x) (f (x)

1) بناء الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و y = g (x) ؛

2) إذا كان الرسم البياني للدالة y = f (x) يقع أعلى (أسفل) الرسم البياني للدالة y = g (x) ، فإن المتباينة التي تم إثباتها صحيحة.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

كوسكس
، × 0

دليل - إثبات:

دعونا نبني في نظام إحداثي واحد الرسوم البيانية للوظائف y = cosx و

يمكن أن نرى من الرسم البياني أنه عند x0 ، يقع الرسم البياني للدالة y = cosx أعلى الرسم البياني للدالة y =.

تكليفات للعمل في الفصل والمنزل.

إثبات عدم المساواة:

1)

3) ln (1 + x) 0

4)
.

5)

الدرس 6

جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: فليكن من الضروري إثبات حقيقة عدم المساواة F (x، y، z) S (x، y، z) (1). يُفترض العكس ، أي أن المتباينة F (x ، y ، z) S (x ، y ، z) (2) صالحة لمجموعة واحدة على الأقل من المتغيرات. باستخدام خصائص عدم المساواة ، يتم إجراء تحويلات عدم المساواة (2). إذا تم الحصول على تفاوت خاطئ نتيجة لهذه التحولات ، فهذا يعني أن الافتراض حول صحة عدم المساواة (2) خاطئ ، وبالتالي فإن عدم المساواة (1) صحيح.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

افترض العكس ، أي.

دعونا نربّع كلا الجزأين من المتباينة ، نحصل من أين
وما بعدها

. لكن هذا يتناقض مع عدم المساواة كوشي. لذا فإن افتراضنا خاطئ ، أي أن عدم المساواة صحيحة

تكليفات للعمل في الفصل والمنزل.

إثبات عدم المساواة:

الدرس السابع تقنية للنظر في عدم المساواة فيما يتعلق بأحد المتغيرات.

جوهر الطريقة هو النظر في عدم المساواة وحلها بالنسبة لمتغير واحد.

مثال.

إثبات عدم المساواة:

مثال.

إثبات عدم المساواة:

دليل - إثبات:

تكليفات للعمل في الفصل والمنزل.

إثبات عدم المساواة:

1)

2)

3)

الدرس 9 الدرس - التحكم في معرفة الطلاب.

يمكن تنظيم العمل في هذا الدرس في أزواج أو إذا كان هناك عدد كبير من الفصل في مجموعات. في نهاية الدرس ، يجب تقييم كل طالب. هذا هو نص هذه الدورة. لا يوصى بالقيام بأعمال تحكم في هذا الموضوع. إثبات عدم المساواة ، كما سبق ذكره في الملاحظة التفسيرية ، ينتمي إلى مجال الفن. في البداية ، يُطلب من الطلاب تحديد طريقة إثبات عدم المساواة المقترحة بأنفسهم. إذا واجه الطلاب صعوبات ، فإن المعلم يخبرهم بالطريقة العقلانية ، محذرًا المجموعة من أن هذا ، بالطبع ، سيؤثر على تقييمهم.

طُرق دليل - إثباتعدم المساواة. هو - هي طريقةالدليل لعدم المساواةمن خلال إدخال الوظائف المساعدة ...

مقرر اختياري في رياضيات طرق إثبات عدم المساواة

دورة اختيارية

غير مألوف ، مختلف طُرقالدليل لعدم المساواةوكذلك التطبيق عدم المساواة عدم المساواةباستخدام طريقة طريقةإلى عن على الدليل لعدم المساواة، لحل المشاكل...

مقرر اختياري في الرياضيات طرق إثبات عدم المساواة ملاحظة توضيحية

دورة اختيارية

غير مألوف ، مختلف طُرقالدليل لعدم المساواةوكذلك التطبيق عدم المساواةعند حل المشكلات المتنوعة .. تكون قادرة على: التقييم عدم المساواةباستخدام طريقةشتورم ، تطبيق يعتبر طريقةإلى عن على الدليل لعدم المساواة، لحل المشاكل...

مقرر اختياري في الرياضيات طرق إثبات عدم المساواة ملاحظة توضيحية (1)

دورة اختيارية

غير مألوف ، مختلف طُرقالدليل لعدم المساواةوكذلك التطبيق عدم المساواةعند حل المشكلات المتنوعة .. تكون قادرة على: التقييم عدم المساواةباستخدام طريقةشتورم ، تطبيق يعتبر طريقةإلى عن على الدليل لعدم المساواة، لحل المشاكل...

أولمبياد نادر يعمل بدون مشاكل حيث يكون مطلوبًا لإثبات بعض عدم المساواة. تم إثبات عدم المساواة الجبرية باستخدام طرق مختلفة ، والتي تستند إلى تحويلات وخصائص مكافئة للتباينات العددية:

1) إذا كانت a - b> 0 ، ثم a> b ؛ إذا أ - ب

2) إذا كانت أ> ب ، ثم ب أ ؛

3) إذا أ

4) إذا أ

5) إذا كان 0 ، ثم ac

6) إذا كان a bc ؛ أ / ج> ب / ج ؛

7) إذا كان 1

8) إذا كانت 0

دعونا نتذكر بعض التفاوتات الأساسية التي غالبًا ما تُستخدم لإثبات عدم المساواة الأخرى:

1) أ 2> 0 ؛

2) أх 2 + ب س + ج> 0 ، مع أ> 0 ، ب 2 - 4 أ

3) × + 1 / س > 2 ، لـ x> 0 ، و x + 1 / x –2 ، لـ x

4) | أ + ب | | أ | + | ب | ، | أ - ب | > | أ | - | ب | ؛

5) إذا كانت أ> ب> 0 ، ثم 1 / أ

6) إذا كانت a> b> 0 و x> 0 ، فإن a x> b x ، على وجه الخصوص ، لـ n الطبيعي> 2

أ 2> ب 2 و ن √ أ> ن √ ب;

7) إذا كانت a> b> 0 و x

8) إذا كانت x> 0 ، إذن الخطيئة x

يتم حل العديد من مشاكل مستوى الأولمبياد ، وهذه ليست مجرد حالات عدم مساواة ، بشكل فعال بمساعدة بعض التفاوتات الخاصة التي لا يعرفها طلاب المدارس في كثير من الأحيان. بادئ ذي بدء ، يجب أن تشمل:

• عدم المساواة بين المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي للأرقام الموجبة (عدم مساواة كوشي):

• عدم المساواة في برنولي:

(1 + α) n ≥ 1 + nα ، حيث α> -1 ، n عدد طبيعي ؛

• عدم المساواة Cauchy-Bunyakovsky:

(أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 +.. + أ ن ب ن) 2 ≤ (أ 1 2 + أ 2 2 +.. + أ ن 2) (ب 1 2 + ب 2 2 +.. + ب ن 2 ) ؛

تشمل الأساليب "الأكثر شيوعًا" لإثبات عدم المساواة ما يلي:

• إثبات عدم المساواة على أساس التعريف ؛
• طريقة اختيار المربع
• طريقة التقييمات المتتالية.
• طريقة الاستقراء الرياضي.
• استخدام التفاوتات الخاصة والكلاسيكية ؛
• استخدام عناصر التحليل الرياضي.
• استخدام الاعتبارات الهندسية.
• فكرة التضخيم ، إلخ.

مشاكل الحلول

1. إثبات عدم المساواة:

أ) أ 2 + ب 2 + ص 2 + 3> 2 (أ + ب + ج) ؛

ب) أ 2 + ب 2 + 1 > أب + أ + ب ؛

ج) س 5 + ص 5 - س 4 ص - س 4 ص> 0 س> 0 ، ص> 0.

أ) لدينا

أ 2 + ب 2 + ص 2 + 1 + 1 + 1 - 2 أ - 2 ب - 2 ج = (أ - 1) 2 + (ب - 1) 2 + (ج - 1) 2> 0 ،

وهو أمر واضح.

ب) المتباينة التي سيتم إثباتها ، بعد ضرب كلا الجزأين في 2 ، تأخذ الصورة

2 أ 2 + 2 ب 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b ،

أو

(أ 2 - 2 أ ب + ب 2) + (أ 2 - 2 أ + 1) + (ب 2 - 2 ب + 1)> 0 ،

أو

(أ - ب) 2 + (أ - 1) 2 + (ب - 1) 2> 0 ،

وهو أمر واضح. تحدث المساواة فقط عندما تكون أ = ب = 1.

ج) لدينا

س 5 + ص 5 - س 4 ص - س 4 ص = س 5 - س 4 ص - (س 4 ص - ص 5) = س 4 (س - ص) - ص 4 (س - ص) =

\ u003d (س - ص) (س 4 - ص 4) \ u003d (س - ص) (س - ص) (س + ص) (س 2 + ص 2) \ u003d (س - ص) 2 (س + ص ) (س 2 + ص 2)> 0.

2. إثبات عدم المساواة:

أ)	أ	+	ب		>	2 ل> 0 ، ب> 0 ؛
	ب		أ

ب)	ر	+	ر	+	ر		> 9 ، حيث أ ، ب ، ج هي الأضلاع و P هي محيط المثلث ؛
	أ		ب		ج

ج) أب (أ + ب - 2 ج) + ب ج (ب + ج - 2 أ) + أس (أ + ج - 2 ب)> 0 ، حيث أ> 0 ، ب> 0 ، ج> 0.

أ) لدينا:

أ	+	ب	– 2 =	أ 2 + ب 2 - 2 أب	=	(أ - ب) 2		> 0.
ب		أ		أب		أب

ب ) يأتي إثبات عدم المساواة بشكل أساسي من التقدير التالي:

ب + ج	+	أ + ج	+	أ + ب	=
أ		ب		ج

=

ب

+

ج

+

أ

+

ج

+

أ

+

ب

=

أ

أ

ب

ب

ج

ج

= (

ب

+

أ

) + (

ج

+

أ

) + (

ج

+

ب

) > 6,

أ

ب

أ

ج

ب

ج

تتحقق المساواة لمثلث متساوي الأضلاع.

ج) لدينا:

أب (أ + ب - 2 ج) + ب ج (ب + ج - 2 أ) + ج (أ + ج - 2 ب) =

= أبج (

أ

+

ب

– 2 +

ب

+

ج

– 2 +

أ

+

ج

– 2 ) =

ج

ج

أ

أ

ب

ب

= أبج ((

أ

+

ب

– 2) + (

أ

+

ج

– 2) + (

ب

+

ج

– 2) ) > 0,

ب

أ

ج

أ

ج

ب

لأن مجموع عددين موجبين مقلوبين أكبر من أو يساوي 2.

3. أثبت أنه إذا كانت أ + ب = 1 ، فإن المتباينة أ 8 + ب 8> 1/128 تبقى ثابتة.

من الشرط أن أ + ب = 1 ، يتبع ذلك

أ 2 + 2 أب + ب 2 = 1.

دعونا نضيف هذه المساواة مع اللامساواة الواضحة

أ 2 - 2 أب + ب 2 > 0.

نحن نحصل:

2 أ 2 + 2 ب 2 > 1 أو 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2> 1.

4 أ 4 - 8 أ 2 ب 2 + 4 ب 2> 0 ،

نحن نحصل:

8 أ 4 + 8 ب 4 > 1 ، حيث 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4> 1.

إضافة هذا التفاوت إلى عدم المساواة الواضحة

64 أ 8 - 128 أ 4 ب 4 + 64 ب 4> 0 ،

نحن نحصل:

128a8 + 128 ب 8 > 1 أو 8 + ب 8> 1/128.

4. ما هو أكثر ه ه π πأو ه 2 بي?

ضع في اعتبارك الوظيفة و (خ) = س - π سجل س . بسبب ال و '(س) = 1 - π / س , وعلى يسار النقطة X = π f '(x) 0 , وعلى اليمين - f '(x)> 0 ، ومن بعد و (خ)لديها أصغر قيمةفي هذه النقطة X = π . في هذا الطريق و (هـ)> و (π)، هذا هو

ه - π ln e = e - π> π - π ln π

أو

ه + π تسجيل π > 2π .

ومن ثم حصلنا على ذلك

ه البريد + π تسجيل π > ه 2 بي,

لها· ه π تسجيل π > ه 2 π ,

ه ه π π > ه 2 بي.

5. إثبات ذلك

تسجيل (ن + 1)>	lg 1 + lg 2 +. . . + سجل	.
	ن

باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، من السهل تقليل عدم المساواة إلى عدم مساواة مكافئة:

(ن + 1) ن> ن !،

أين ن! = 1 2 3. . . · ن (عاملي n). بالإضافة إلى ذلك ، هناك نظام من التفاوتات الواضحة:

ن + 1> 1 ،

ن + 1> 2 ،

ن + 1> 3 ،

. . . . .

ن + 1> ن

بعد عملية الضرب مصطلحًا تلو الآخر ، نحصل على الفور على (n + 1) n> n !.

6. إثبات أن 2013 2015 2015 2013

نملك:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014-1) 2013 (2014 + 1) 2013

من الواضح أنه يمكن للمرء أيضًا الحصول على بيان عام: لأي n طبيعي ، المتباينة

(ن - 1) ن +1 (ن + 1) ن –1

7. إثبات أن المتباينة التالية تنطبق على أي عدد طبيعي n:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2 ن - 1	.
1!		2!		3!		ن!		ن

دعونا نقدر الجانب الأيسر من عدم المساواة:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		ن!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 2 3. . . ن

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(ن - 1) ن

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		ن - 1		ن		ن

Q.E.D.

8. لنفترض أ 1 2 ، أ 2 2 ، أ 3 2 ،. . . ، و n 2 هي مربعات n مختلفة الأعداد الطبيعية. اثبت ذلك

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	أ 1 2			أ 2 2			أ 3 2			أ ن 2		2

دع أكبر هذه الأرقام يساوي م. ثم

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	أ 1 2			أ 2 2			أ 3 2			أ ن 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			م 2

حيث يتم إضافة العوامل الأقل من 1 إلى الجانب الأيمن.نحسب الجانب الأيمن من خلال تحليل كل قوس:

=	2 3 2 4 2. . . (م - 1) 2 (م + 1)	=	م + 1	=	1	+	1	>	1	.
	2 2 3 2 4 2. . . م 2 عند فتح القوسين على الجانب الأيسر ، نحصل على المجموع 1 + (a 1 +... + a n) + (a 1 a 2 +... + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 +... + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2. . . أ مجموع الأرقام في القوس الثاني لا يتجاوز (أ 1 +... + أ ن) 2 ، لا يتجاوز المجموع في القوس الثالث (أ 1 +... + أ ن) 3 ، وهكذا. ومن ثم ، فإن المنتج بأكمله لا يتجاوز 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +. . . + 1 / 2n = 2-1 / 2n الطريقة الثانية. دعنا نثبت بطريقة الاستقراء الرياضي أنه بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، فإن عدم المساواة التالية صحيحة: (1 + a1). . . (1 + أ) بالنسبة إلى n = 1 لدينا: 1 + a 1 1 . لنفترض أن n = k لدينا:(1 + أ 1). . . (1 + أ ك) 1 +. . . + أ ك). ضع في اعتبارك الحالة n = k +1:(1 + أ 1). . . (1 + أ ك) (1 + أ ك +1) (1 + 2 (أ 1 +.. + أ ك) ) (1 + أك + 1 ) ≤ 1 + 2 (أ 1 +. . . + أ ك) + أ ك +1 (1 + 2 1/2) = 1 + 2 (أ 1 +.. + أ ك + أ ك +1). بحكم مبدأ الاستقراء الرياضي ، تم إثبات عدم المساواة. 10. إثبات عدم المساواة في برنولي: (1 + α) ن ≥ 1 + ن α ، حيث α> -1 ، n عدد طبيعي. دعنا نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي. بالنسبة إلى n = 1 نحصل على عدم المساواة الحقيقية: 1 + α 1 + α. لنفترض أن عدم المساواة التالية صحيحة: (1 + α) ن ≥ 1 + ن α. دعونا نظهر ذلك ثم لدينا (1 + α) ن + 1 ≥ 1 + (ن + 1) α. في الواقع ، بما أن α> –1 تعني α + 1> 0 ، ثم نضرب طرفي المتباينة (1 + α) ن ≥ 1 + ن α على (أ + 1) ، نحصل على (1 + α) ن (1 + α) ≥ (1 + nα) (1 + α) أو (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1) α + nα 2 بما أن nα 2 ≥ 0 ، (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1) α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1) α. وبالتالي ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن عدم مساواة برنولي صحيحة. مشاكل بلا حلول 1. إثبات عدم المساواة ل القيم الإيجابيةالمتغيرات أ 2 ب 2 + ب 2 ص 2 + أ 2 ص 2 ≥ أ ب ج (أ + ب + ج). 2. إثبات أن لأي متباينة 3 (1 + أ 2 + أ 4) ≥ (1 + أ + أ 2) 2. 3. إثبات أن كثير الحدود x 12 – x 9 + x 4 – x+ 1 موجب لجميع قيم x. 4. ل 0 e إثبات عدم المساواة (ه+ x) ه- x> ( ه- x) ه+ س. 5. لنفترض أن أ ، ب ، ج تكون أرقامًا موجبة. اثبت ذلك أ + ب + ب + ج + أ + ج ≤ 1 + 1 +

هدفك:معرفة طرق إثبات عدم المساواة والقدرة على تطبيقها.

الجزء العملي

مفهوم إثبات عدم المساواة . بعض التفاوتات تتحول إلى حقيقة عدم المساواة العدديةللجميع القيم المسموح بهاالمتغيرات أو على مجموعة معينة من القيم المتغيرة. على سبيل المثال ، عدم المساواة أ 2 ³0 ، ( أ–ب) 2 ³ 0 ، أ 2 + ب 2 + ج 2 " ³ 0 صحيحة لأي قيم حقيقية للمتغيرات ، والمتباينة ³ 0 – لأي قيم حقيقية غير سلبية أ.في بعض الأحيان تنشأ مشكلة إثبات عدم المساواة.

إن إثبات عدم المساواة يعني إظهار أن متباينة معينة تتحول إلى متباينة عددية حقيقية لجميع القيم المقبولة للمتغيرات أو لمجموعة معينة من القيم لهذه المتغيرات.

طرق إثبات عدم المساواة.لاحظ أن الطريقة العامةلا يوجد دليل على عدم المساواة. ومع ذلك ، يمكن تحديد بعضها.

1. طريقة لتقدير علامة الاختلاف بين الجزأين الأيمن والأيسر من المتباينة.الفرق بين اليسار و الأجزاء الصحيحةعدم المساواة وقد ثبت ما إذا كان هذا الاختلاف موجبًا أم سلبيًا للقيم المدروسة للمتغيرات (بالنسبة لعدم المساواة غير الصارمة ، من الضروري تحديد ما إذا كان هذا الاختلاف غير سلبي أو غير إيجابي).

مثال 1. لأي أرقام حقيقية أو بهناك عدم مساواة

أ 2 + ب 2³2 أب. (1)

دليل - إثبات. اكتب الفرق بين الجزأين الأيمن والأيسر من عدم المساواة:

أ 2 + ب 2 – 2أب = أ 2 – 2أب + ب 2 = (أ-ب) 2 .

بما أن مربع أي رقم حقيقي هو رقم غير سالب ، إذن ( أ-ب) 2 ³ 0 أي أن أ 2 + ب 2³2 أبلأية أرقام حقيقية أو ب.تظل المساواة في (1) صحيحة إذا وفقط إذا أ = ب.

مثال 2. برهن على ذلك إذا أ³ 0 و ب³ 0 ثم ³ أي الوسط الحسابي للأرقام الحقيقية غير السالبة أو بأقل من الوسط الهندسي.

دليل - إثبات. اذا كان أ³ 0 و ب³ 0 ، إذن

³ 0. ومن ثم ، ³.

2. طريقة استنتاجيةدليل على عدم المساواة.جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: باستخدام سلسلة من التحولات ، يتم اشتقاق عدم المساواة المطلوبة من بعض التفاوتات (المرجعية) المعروفة. على سبيل المثال ، يمكن استخدام التفاوتات التالية كمرجع: أ 2 ³ 0 لأي أÎ ر ; (أ-ب) 2 ³ 0 لأي أو بÎ ر ; (أ 2 + ب 2) ³ 2 أبلأي أ ، بÎ ر ; ³ في أ ³ 0, ب ³ 0.

مثال 3. إثبات ذلك لأي أرقام حقيقية أو بهناك عدم مساواة

أ 2 + ب 2 + مع 2³ أب + bc + ac.

دليل - إثبات. من عدم المساواة الصحيحة ( أ-ب) 2 ³ 0 ، ( ب – ج) 2 ³ 0 و ( ج – أ) 2 ³ 0 يتبع ذلك أ 2 + ب 2³2 أب, ب 2 + ج 2³2 قبل الميلاد, ج 2 + أ 2³2 أ.بجمع جميع المتباينات الثلاثة على حدها وقسمة كلا الجزأين من المتباينات الجديدة على 2 ، نحصل على المتباينة المطلوبة.

يمكن أيضًا إثبات عدم المساواة الأصلية بالطريقة الأولى. في الواقع، أ 2 + ب 2 + مع 2 –أب- bc-ac = 0,5(2أ 2 + 2ب 2 + 2مع 2 – 2أب- 2قبل الميلاد- 2أ) = = 0,5((أ-ب) 2 + (أ-ج) 2 + (قبل الميلاد) 2) ³ 0.

الفرق بين أ 2 + ب 2 + مع 2 و أب + bc + acأكبر من أو يساوي الصفر ، مما يعني أن أ 2 + ب 2 + مع 2³ أب + bc + ac(المساواة صحيحة إذا وفقط إذا أ = ب = ج).

3. طريقة التقديرات في إثبات عدم المساواة.

مثال 4. برهن على عدم المساواة

+ + + … + >

دليل - إثبات. من السهل أن نرى أن الجانب الأيسر من المتباينة يحتوي على 100 حد ، كل منها لا يقل عن. في هذه الحالة ، نقول إنه يمكن تقدير الطرف الأيسر من المتباينة من الأسفل على النحو التالي:

+ + + … + > = 100 = .

4. طريقة الحث الكامل.جوهر الطريقة هو النظر في جميع الحالات الخاصة التي تغطي حالة المشكلة ككل.

مثال 5. برهن على ذلك إذا x> ï فيï , ومن بعد س> ص.

دليل - إثبات. حالتان ممكنتان:

أ) في³ 0 ; ثم انا فيï = ص ،وبحسب الشرط x>ï فيï . وسائل، س> ص ؛

ب) في< 0 ؛ ثم انا فيï > ذوبحسب الشرط x>ï فيأقصد س> ص.

الجزء العملي

المهمة 0. يأخذ ورقة فارغةورقة واكتب عليها إجابات جميع التمارين الشفوية أدناه. ثم تحقق من إجاباتك مقابل الإجابات أو التعليمات الموجزة في نهاية هذا عنصر التعلمتحت عنوان "مساعدك".

تمارين شفوية

1. قارن مجموع مربعي عددين غير متساويين وحاصل ضربهما المزدوج.

2. إثبات عدم المساواة:

أ) ;

ب) ;

في) ;

3. ومن المعروف أن. اثبت ذلك .

4. ومن المعروف أن. اثبت ذلك .

التمرين 1.أن أكثر:

أ) 2 + 11 أو 9 ؛ د) + أو ؛

ب) أو + ؛ ه) - أو ؛

ج) + أو 2 ؛ هـ) + 2 أو +؟

المهمة 2.إثبات ذلك لأي حقيقي xهناك عدم مساواة:

أ) 3 ( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 4 x;

ب) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5) ؛ هـ) ³ 2 العاشر ؛

في) ( x– 2) 2 > x(x- أربعة) ؛ و) ل + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

المهمة 3.اثبت ذلك:

أ) x 3 + 1³ x 2 + س ،إذا x³ –1 ؛

ب) x 3 + 1 جنيه إسترليني x 2 + س ،إذا x-1 جنيه إسترليني .

المهمة 4.إثبات ذلك إذا أ ³ 0, ب³ 0, مع³ 0, د³ 0 ، إذن

(أ 2 + ب 2)(ج 2 + د 2) ³ ( أ + دينار بحريني) 2 .

المهمة 5.إثبات عدم المساواة عن طريق اختيار مربع كامل:

أ) x 2 – 2س ص + 9ذ 2 ³ 0 ؛

ب) x 2 + ص 2 + 2³2 ( س + ص);

في تمام الساعة 10 x 2 + 10س ص + 5ذ 2 + 1 > 0;

ز) x 2 – س ص + ذ 2³0 ;

ه) x 2 + ص 2 + ض 2 + 3³ 2 ( س + ص + ض);

ه) ( x +ل) ( س- 2ذ +ل) + ذ 2³0 .

المهمة 6.اثبت ذلك:

أ) x 2 + 2ذ 2 + 2xy + 6ذ+ l0> 0 ;

ب) x 2 + ص 2 – 2xy + 2x – 2في + 1 > 0;

على الساعة 3 x 2 + ص 2 + 8x + 4ص- 2xy + 22 ³ 0 ؛

ز) x 2 + 2س ص+ 3ذ 2 + 2x + 6ذ + 3 > 0.

المهمة 7.إثبات ذلك إذا ن³ ك³ 1 إذن ك(ن - ك+ 1) ن.

المهمة 8.إثبات ذلك إذا 4 أ + 2ب= 1 إذن أ 2 + ب 2³ .

حدد القيم أو ب،والتي بموجبها تتم المساواة.

المهمة 9.إثبات عدم المساواة:

أ) X 3 + في 3³ X 2 في + هو 2 في x³ 0 و ذ ³ 0;

ب) X 4 + في 4³ X 3 في + هو 3 لأي xو في;

في) X 5 + في 5³ X 4 في + هو 4 في x³ 0 و ذ ³ 0;

ز) x ن + في ن ³ x ن-1 ص + س ص-1 في x³ 0 و ذ ³ 0.