الاحتمال هو درجة (القياس ، التقييم الكمي) لإمكانية حدوث حدث ما.

التعريف الكلاسيكي للاحتمال. احتمالا حدث عشوائي A هي نسبة العدد n للأحداث الأولية غير المتوافقة الاحتمالية المتساوية التي تشكل الحدث A إلى عدد جميع الأحداث الأولية المحتملة N:

التعريف الهندسي للاحتمالية. رغم التعريف الكلاسيكيبديهية ومشتقة من الممارسة ، على الأقل ، لا يمكن تطبيقها بشكل مباشر إذا كان عدد النتائج الممكنة المتساوية لانهائي. مثال ممتازعدد لا حصر له من النتائج المحتملة هو منطقة هندسية محدودة G ، على سبيل المثال ، على مستوى ، مع منطقة S. يمكن أن تكون "نقطة" عشوائية ذات احتمالية متساوية في أي نقطة في هذه المنطقة. تكمن المشكلة في تحديد احتمال وقوع نقطة في بعض المجالات الفرعية g مع المنطقة s. في هذه الحالة ، بتعميم التعريف الكلاسيكي ، يمكننا الوصول إلى التعريف الهندسي للاحتمالية ، كنسبة s إلى S:

إذا تعذر حدوث الحدثين B و C في نفس الوقت ، فإن احتمال وقوع أحد الأحداث B أو C يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

الفوسفور (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب).

إذا كان الحدث B لا يعتمد على الحدث C ، فإن احتمال وقوع الحدثين B و C يساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث:

ل (أ ب) = ف (أ) ل (ب).

عند حل مشاكل إيجاد الاحتمالات ، غالبًا ما يكون من الملائم استخدام المعلومات من التوافقيات ، على وجه الخصوص ، قواعد الجمع والمنتج.

حكم المجموع. إذا كان من الممكن اختيار كائن A من مجموعة من الكائنات بطرق m ، ويمكن اختيار كائن آخر B بطرق n ، فيمكن عندئذٍ اختيار A أو B بطرق m + n.

سيادة المنتج. إذا كان من الممكن اختيار كائن A من مجموعة من الكائنات بطرق m ، وبعد كل اختيار يمكن اختيار كائن آخر B بطرق n ، فيمكن اختيار زوج الكائنات (A ، B) بالترتيب المشار إليه في m ن طرق.

مشاكل الحلول

1. رمي النرد.

النرد العادي لديه الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 على وجهه. يتم رميها بشكل عشوائي حتى يتجاوز مجموع النقاط التي تم إسقاطها أثناء الرمي الرقم 12. ماذا المبلغ الإجماليستكون النقاط على الأرجح؟

خذ بعين الاعتبار الرمية قبل الأخيرة. بعد ذلك ، يجب أن يأخذ المجموع واحدًا من القيم التالية: 12 ، 11 ، 10 ، 9 ، 8 ، 7. إذا كانت 12 ، إذن النتيجة النهائيةمن المحتمل أيضًا أن تكون 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18. وبالمثل ، إذا كان المجموع 11 ، فمن المرجح أن تكون النتيجة النهائية 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، وهكذا. يظهر الرقم 13 كمرشح متساوٍ في كل حالة وهو كذلك صيغة المفردمن هذا النوع. وبالتالي ، فإن الرقم 13 هو الأكثر ترجيحًا.

بشكل عام ، تُظهر نفس الوسيطات أن المجموع الأكثر احتمالًا الذي يتجاوز n للمرة الأولى (n تساوي 6 أو أكثر) هو n + 1.

2. عضو تافه في لجنة التحكيم.

في هيئة المحلفين المكونة من ثلاثة أعضاء ، يتخذ عضوان بشكل مستقل القرار الصحيح مع احتمال p ، ويرمي العضو الثالث عملة معدنية لاتخاذ قرار ( قرار نهائيبأغلبية الأصوات). تتخذ هيئة المحلفين المكونة من شخص واحد قرارًا عادلاً مع احتمال ص. أي من هيئات المحلفين التالية من المرجح أن تتخذ قرارًا عادلًا؟

ص (1 - ع) + (1 - ع) ص = 2 ص (1 - ع) ،

ثم للعثور على الاحتمال القرار الصحيحيجب ضرب هذا الرقم في 1/2. في هذا الطريق، الاحتمال الكاملاتخاذ قرار عادل من قبل هيئة محلفين من ثلاثة يساوي

ص 2 + ص (1 - ع) = ص ،

وهو نفس الاحتمال المقابل لهيئة محلفين مؤلفة من رجل واحد.

الإجابة: كلا النوعين من هيئات المحلفين لهما نفس احتمالية اتخاذ القرار الصحيح.

3. مثلثات غير متقاطعة.

من القمم العادية n-gon(ن> 5) يتم اختيار ثلاثة أضعاف عشوائياً نقاط مختلفة. ما هو احتمال عدم تقاطع مثلثين رأيهما ثلاثيات مختارة؟

نقسم جميع الأزواج الممكنة من ثلاثيات الرؤوس إلى مجموعات C n 6 ، ونجمع في مجموعة واحدة فقط تلك الأزواج الثلاثية التي تشكل نفس الستة من الرؤوس. من ناحية أخرى ، تحتوي كل مجموعة على عدد من العناصر بقدر ما توجد طرق لتقسيم الرؤوس الستة الثابتة إلى ثلاثيتين ، أي C 6 3 = 20 عنصرًا. من ناحية أخرى ، هناك 6 طرق بالضبط لتقسيم ستة إلى ثلاثيتين تفي بالشرط المطلوب في المشكلة. لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب هو 6/20 = 0.3.

الجواب: 0.3.

4. كرات بيضاء وسوداء.

تحتوي كل من الجرارين على كرات بيضاء وسوداء ، ويبلغ إجمالي عدد الكرات في كلا الجرارين 25. يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من كل جرة. مع العلم أن احتمالية أن تكون كلتا الكرتين مرسومتين باللون الأبيض هو 0.54 ، فأوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين المسحوبتين باللون الأسود.

دع العدد الإجمالي للكرات في الجرار الأولى والثانية يساوي م 1 وم 2 ، على التوالي (من أجل الوضوح ، نفترض أن م 1 ليس أكبر من م 2) ، وعدد الكرات البيضاء في هذه الجرار متساوي إلى k 1 و k 2 على التوالي. ثم يكون احتمال أن تكون كلتا الكرتين مرسومة باللون الأبيض

(ك 1 / م 1) (ك 2 / م 2).

نحصل على النسب:

(ك 1 / م 1) (ك 2 / م 2) = 0.54 = 27/50 ،

27 م 1 م 2 \ u003d 50 ك 1 ك 2 ،

ثم واحد على الأقل من العددين م 1 ، م 2 قابل للقسمة على 5. لكن مجموع م 1 + م 2 قابل للقسمة أيضًا على 5 ، لذا فإن كل رقم من الأعداد م 1 ، م 2 قابل للقسمة على 5. وبالتالي ، لدينا احتمالان فقط:

أو م 1 = 5 ، م 2 = 20 ،

أو م 1 = 10 ، م 2 = 15.

في حالة m 1 = 5 ، m 2 = 20 ، نحصل على k 1 k 2 = 54 ، حيث لا تتجاوز k 1 5 ، ولا تتجاوز k 2 20. بعد الاطلاع على جميع القيم الممكنة لـ k i ، نجد ك 1 = 3 ، ك 2 = 18. ثم تحتوي الجرة الأولى على كرتين أسودتين ، وتحتوي الجرة الثانية أيضًا على كرتين أسودتين ، واحتمال سحب كرتين أسودتين هو (2/5) · (2/20) = 0.04.

وبالمثل ، في حالة م 1 = 10 ، م 2 = 15 ، نجد ك 1 = 9 ، ك 2 = 9. ثم هناك كرة سوداء واحدة في الجرة الأولى ، و 6 كرات سوداء في الجرة الثانية ، واحتمال سحب كرتين أسودتين هو (1/10) · (6/15) = 0.04 (في كلتا الحالتين تكون الإجابات متطابقة ).

الجواب: 0.04.

5. مبارزة ثلاثية.

قررت ثلاثة سهام أ ، ب ، ج خوض مبارزة في نفس الوقت. تقع في الأعلى مثلث متساوي الاضلاعواتفقوا على ما يلي: اللقطة الأولى من أ ، والثانية ب ، والثالثة ب ج ، وهكذا في دائرة ؛ إذا تم القضاء على أحد الرماة ، فستستمر المبارزة بين الاثنين المتبقيين. من المعروف أن مطلق النار A يصيب الهدف باحتمالية 0.3 ، وأن مطلق النار C مع احتمال 0.5 ، ولا يخطئ مطلق النار B مطلقًا. يصوب كل منهما على أحدهما الآخرين ، أو في الهواء ، بطريقة تزيد من احتمالية الفوز بالمبارزة. أين يجب أن يطلق مطلق النار A أول طلقة له: على مطلق النار C ، أو على مطلق النار B ، أو في الهواء؟

ضع في اعتبارك ثلاثة أحداث يمكن أن تحدث بعد اللقطة الأولى للمصوب "أ".

تم إصابة C. ثم ، مع احتمال 1 ، سيتم إصابة مطلق النار A من اللقطة الأولى من B.

ضرب من قبل V. ثم:

أو مع احتمال 0.5 أن يصطدم مطلق النار C بأول تسديدته ،

أو مع احتمال (1 - 0.5) 0.3 مطلق النار A سيضرب C مع تسديدته الثانية ،

أو مع احتمال (1 - 0.5) * (1 - 0.3) * 0.5 مطلق النار C سيضرب A مع تسديدته الثانية ،

أو مع احتمال (1 - 0.5) * (1 - 0.3) * (1 - 0.5) * 0.3 مطلق النار A سيضرب C مع تسديدته الثالثة ، وهكذا.

لذلك ، فإن احتمال فوز A بالمبارزة في هذه الحالة هو

0.5 0.3 + 0.5 0.7 0.5 0.3 + 0.5 0.7 0.5 0.7 0.5 0.3 +. . . =

0.15 (1 + 0.35 + 0.35 2 +.) = 0.15 1 / (1 - 0.35) = (15/100) (100/65) = 3/13.

3) لا أحد مندهش. بعد ذلك ، سيطلق B على C (كما هو أكثر دقة لخصومه) ويضربه. ثم A مع احتمال 0.3 سيضرب B ، ويفوز في المبارزة. وهكذا ، منذ 0.3> 3/13 ، فإن الوضع الأكثر فائدة لمطلق النار A هو عندما لا يصاب أحد بعد تسديدته. لذلك يجب أن يطلق النار في الهواء أولاً.

الجواب: يجب إطلاق النار في الهواء لأول مرة.

6. الكرات الحمراء والخضراء.

تحتوي الكيس على 6 كرات حمراء و 8 كرات خضراء. يتم رسم 5 منهم بشكل عشوائي ووضعهم في المربع الأحمر ، ويتم وضع الكرات التسعة المتبقية في المربع الأخضر. ما هو احتمال ألا يكون عدد الكرات الحمراء في المربع الأخضر بالإضافة إلى عدد الكرات الخضراء في المربع الأحمر عددًا أوليًا؟

حدد بواسطة G عدد الكرات الخضراء في المربع الأحمر. نظرًا لوجود 6 كرات حمراء و 8 كرات خضراء ، يجب توزيع الألوان بين الصناديق على النحو التالي:

الصندوق الأحمر: G أخضر ، (5 - G) أحمر ؛

الصندوق الأخضر: (8 - G) أخضر ، (G + 1) أحمر.

لذا فإن عدد الكرات الحمراء في المربع الأخضر بالإضافة إلى عدد الكرات الخضراء في المربع الأحمر هو (G + 1) + G = 2G + 1 ، وهو رقم فردي. الرقم G لا يتجاوز 5 - المجموعكرات في صندوق أحمر. لذلك ، يمكن أن يأخذ المجموع 2G + 1 قيمًا من 1 (G = 0) إلى 11 (G = 5).

الرقم المركب الفردي الوحيد ضمن هذه الحدود هو 9. ومع ذلك ، يجب علينا أيضًا تضمين الرقم 1 ، وهو ليس أوليًا ولا مركبًا. لذلك يجب أن تكون 2G + 1 0 أو 9 ، وهو أمر ممكن مع G = 0 أو G = 4.

احتمال الحصول على عينة مع G = 0 (عدد الطرق للحصول على 5 درجات حمراء مقسومة على العدد الإجمالي للعينات) هو C 6 5 / C 14 5.

احتمال الحصول على عينة مع G = 4 (عدد الطرق للحصول على 4 أخضر و 1 أحمر مقسومًا على إجمالي عدد العينات) هو C 8 4 C 6 1 / C 14 5.

نجد احتمال الحدث المطلوب كمجموع الاحتمالات المشار إليها:

(C 6 5 + C 8 4 C 6 1) / C 14 5 \ u003d (6 + 420) / 2002 \ u003d 213/1001.

الجواب: 213/1001.

7. رؤوس أم ذيول؟

لاعبان "أ" و "ب" يشاهدان صبيًا يقلب عملة معدنية بلا توقف. يتم تسجيل نتائج القذف بالتسلسل باستخدام الأحرف: on مكان ك الفي التسلسل ، يتم وضع الحرف O أو الحرف P ، اعتمادًا على ما يقع أثناء القرعة k - "النسور" أو "ذيول" ، على التوالي. يدعي اللاعب A أن الثلاثة من OOO سيجتمعون على لوحة النتائج قبل ثلاثة من ORO. يراهن اللاعب "ب" على أن العكس سيحدث. من هو اللاعب الأكثر احتمالا للفوز بهذا النزاع؟

بعد الحرف الأول O (منذ بداية ملاحظة الصبي ، مع احتمال 1 ، سيظهر الحرف O مرة واحدة على الأقل) مع نفس الاحتمال الذي يساوي 1/4 ، يمكن أن يتبع أحد التركيبات التالية:

RO ، OO ، RR ، OR.

في الحالة الأولى ، يفوز اللاعب B ، وفي الحالة الثانية ، يفوز اللاعب A ، وإذا تحققت الحالة الثالثة ، فسيحصل اللاعبون بعد ذلك على نفس الفرص كما في بداية اللعبة. في الحالة الرابعة ، مع احتمال 1/2 ، سيتبع الحرف O وسيفوز اللاعب B ، ومع احتمال 1/2 ، سيتبع الحرف P ، وبعد ذلك سيكون للاعبين نفس الفرص كما في بداية اللعبة. وهكذا ، مع احتمال 1/4 ، يفوز A باحتمال

1/4 + 1/4 1/2 = 3/8

سيفوز اللاعب B ومع احتمال 3/8 سيظهر موقف عندما يكون للاعبين نفس الفرص كما في بداية اللعبة. لذلك ، من المرجح أن يفوز اللاعب B أكثر من اللاعب A.

الجواب: اللاعب ب.

8. في المسرح.

قام ثمانية فتيان وسبع فتيات بشكل مستقل بشراء تذكرة واحدة في نفس صف المسرح الذي يضم 15 مقعدًا. ما هو متوسط ​​عدد الأماكن المتجاورة التي يشغلها الأزواج في هذا الصف؟

على سبيل المثال ، إذا تم ملء الصف بالطريقة التالية YYUDDDYUDYUDYYDD (هنا Y تعني صبيًا و D لفتاة) ، فهناك 9 أزواج من YU و YU. نحن مهتمون بمتوسط ​​عدد هذه الأزواج. إذا كان أول مكانين في الصف يشغلهما أشخاص من جنسين مختلفين ، فلدينا بالفعل الزوج المطلوب. احتمالية هذا الحدث

(8/15) (7/14) + (7/15) (8/14) = 8/15.

علاوة على ذلك ، 8/15 هو أيضًا متوسط ​​عدد الأزواج في أول مكانين ، منذ ذلك الحين

(8/15) 1 + (7/15) 0 = 8/15.

ينطبق نفس المنطق على كل زوج من الأماكن المتجاورة.

لتحديد متوسط ​​عدد أزواج الشباب ، يجب ضرب هذه القيمة في عدد الأماكن المجاورة ، يساوي 14 ، مما يعطي 112/15.

أكثر بشكل عام، إذا كان هناك كائنات b من نوع و m من نوع آخر ، تم وضعها عشوائيًا في صف ، فإن متوسط ​​عدد الأزواج المكونة من كائنات مختلفة يساوي

في مثالنا ، ب = 8 ، م = 7 ، والإجابة هي 112/15.

لقد استخدمنا هنا أساسًا حقيقة أن التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي المجموع التوقعات الرياضيةمصلحات. لقد وجدنا متوسط ​​عدد أزواج DO أو DO لكل مكانين متجاورين وتم جمعهما في كل هذه الثنائيات.

الجواب: 112/15.

9. في إحدى الألعاب الشعبية في أمريكا ، يرمي اللاعب عملة معدنية من مسافة كبيرة نسبيًا على سطح الطاولة ، محددة في مربعات بوصة واحدة. إذا سقطت العملة (قطرها 3/4 بوصة) تمامًا داخل المربع ، فسيحصل اللاعب على مكافأة ، وإلا فقد عملته المعدنية. ما هي فرص الفوز إذا سقطت العملة على الطاولة؟

عندما نرمي عملة معدنية على طاولة ، فإن بعض مناطق مركز ثقل العملة تكون أكثر احتمالًا من غيرها ، ولكن إذا كان المربع صغيرًا بدرجة كافية ، فيمكن اعتبار توزيع الاحتمالات منتظمًا. هذا يعني أن احتمال وقوع المركز في أي منطقة من المربع يتناسب مع مساحة هذه المنطقة ؛ إنها تساوي مساحة المنطقة مقسومة على مساحة المربع. نظرًا لأن نصف قطر العملة هو 3/8 بوصة ، يجب ألا يكون المركز أقرب من 3/8 بوصة من جوانب المربع حتى يفوز اللاعب.

يتم استيفاء هذا القيد من خلال مربع مع جانب 1/4 بوصة ، حيث يجب أن يقع مركز العملة. نظرًا لأن الاحتمالات تتناسب مع المناطق ، فإن احتمال الفوز هو (1/4) 2 = 1/16.

بالطبع ، قد لا تصل العملة المعدنية إلى الطاولة على الإطلاق ، واحتمال الفوز في الواقع أقل. يمكن أيضًا تقليل المربعات عن طريق زيادة سماكة خطوط التقسيم. إذا كان سمك هذه الخطوط 1/16 بوصة ، فإن المنطقة الفائزة تقابل احتمال (3/16) 2 = 9/256 ، أو أقل من 1/28.

الجواب: 1/16.

10. رمي قطعة نقود.

يقذف اللاعب "أ" عملة معدنية n + 1 مرة ، ويرمي اللاعب "ب" مرات. ما هو احتمال أن ينتهي الأمر باللاعب "أ" برؤوس أكثر من اللاعب "ب"؟

اسمح للاعبين A و B بالحصول على رؤوس m و k على التوالي. ثم الاحتمال المطلوب p للحدث m> k يساوي الاحتمال q للحدث

(ن + 1) - م> ن - ك ،

أي احتمالية حصول اللاعب A على رؤوس أكثر من اللاعب B (لأنه من المرجح أن تظهر الرؤوس والأطراف عند كل رمية لعملة واحدة).

من ناحية أخرى ، يقع الحدث m> k إذا وفقط إذا

أي عندما (n + 1) –m لا يتجاوز n – k (لأن n – m و n – k أعداد صحيحة). لذلك ، p = 1 – q ، حيث لدينا p = q = 1/2.

الجواب: 1/2.

مشاكل بلا حلول

1. انتصارات متتالية.

لتشجيع الابن الذي يحرز تقدمًا في التنس ، يعده والده بجائزة إذا فاز على الأقل في مباراتين تنس متتاليتين ضد والده وبطل النادي في أحد المخططات التالية: الأب - البطل - الأب أو البطل - الأب - اختيار الابن بطل. يلعب البطل أفضل من الأب. أي مخطط يجب أن يختاره ابني؟

2. "جرب حظك"

"جرب حظك" القمار، والتي غالبًا ما تُلعب في دور القمار وخلال الاحتفالات. بعد أن يراهن اللاعب على أحد الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ثلاثة حجر النرد. إذا وقع رقم اللاعب على نرد واحد أو نردتين أو ثلاثة ، فعند كل تكرار لهذا الرقم يتم دفع الرهان الأولي للاعب ، بينما يتم إرجاع أمواله الخاصة أيضًا. خلاف ذلك ، يخسر اللاعب الرهان. ما هو متوسط ​​خسارة اللاعب في رهان واحد؟ (في الواقع ، يمكنك المراهنة على عدة أرقام في نفس الوقت ، ولكن يتم اعتبار كل رهان على حدة).

3. مجموعة أوراق اللعب.

سطح السفينة ن مختلف لعب الورق، مرتبة بترتيب عشوائي ، تحتوي على ثلاثة ارسالا ساحقا. تتم إزالة الأوراق العلوية من المجموعة واحدة تلو الأخرى حتى تتم إزالة الآص الثاني. إثبات أن متوسط ​​عدد البطاقات المسحوبة هو (n + 1) / 2.

4. باقة الزهور

باقة من الزهور تتكون من 5 الإقحوانات و 10 أزهار الذرة. من هذه الباقة ، يتم تجميع باقات صغيرة من 3 أزهار بشكل عشوائي. ما هو احتمال احتواء كل باقة صغيرة على بابونج واحد؟

5. المثلث الحاد.

ثلاث نقاط أ ، ب ، ج تم اختيارها عشوائياً على الدائرة ، ما هو احتمال أن يكون المثلث ABC حاد الزاوية؟

ليست تلك التي كتبها راسل عن الحلاق والحجة القطرية ، بل تلك التي كتبها جوزيف لويس فرانسوا. يتكون مما يلي.
المهمة: هناك دائرة ، نرسم وترًا عشوائيًا هناك. ما هو احتمال وقوع حدث
A \ u003d (تبين أن الوتر أطول من جانب مثلث متساوي الأضلاع محفور في دائرة)؟

تعتمد الإجابة على كيفية اختيارنا لهذا الوتر. على وجه التحديد ، هناك ثلاث طرق (المزيد ممكن ، لكن هذا يكفي في الوقت الحالي):

طريقة 1: وتر - ما هذا؟ قطعة مستقيمة تصل نقطتين على دائرة. بدون مزيد من اللغط ، لنأخذ نقطتين عشوائيتين على هذه الدائرة (بطريقة مستقلة) ، ونرسم وترًا بينهما. نظرًا لأن كل شيء هنا متماثل ، فإن النقطة الأولى ستسقط مباشرة عليها القطب الشماليوالحدث لكنيحدث عندما تضرب النقطة الثانية القوس الأحمر في الصورة (جميع الأوتار في هذا المنشور زرقاء):

من الواضح أن الاحتمال المطلوب هو 1/3.

الطريقة الثانية. الآن لنأخذها ونرسم الوتر هكذا. نختار أولاً نصف قطر عشوائي (على سبيل المثال ، نربط المركز بنقطة عشوائية على الدائرة) ، ثم نختار نقطة عشوائية عليها ، ونرسم عموديًا ، ونحصل على وتر. مرة أخرى ، يؤدي هذا الشعاع BOOMS إلى القطب الشمالي (ولماذا انجذبت إلى القطب الشمالي ...) ، وجانب المثلث متساوي الأضلاع (الذي يكون رأسه عند القطب الجنوبي) يقسم نصف القطر بدقة إلى النصف ، ومرة ​​أخرى من تأمل الصورة

(من الضروري أن تقع نقطة عشوائية على نصف القطر على المقطع الأحمر) من الواضح أن الاحتمال المطلوب يساوي 1/2.

الطريقة الثالثة. بشكل عام ، ما عليك سوى اختيار نقطة عشوائية واحدة داخل الدائرة. من الواضح أننا لا نستطيع الوصول إلى المركز بشكل صارم ، مما يعني أن هناك وترًا واحدًا تتطابق نقطته المركزية مع النقطة المختارة. دعونا نفكر فيه. بدلا من ذلك ، انظر إلى الصورة

ومع كل الأدلة نحصل على أن الاحتمال المطلوب يساوي 1/4 (نصف قطر الدائرة الداخلية ، حيث يجب أن تقع النقطة المحددة ، أقل مرتين من النقطة الأصلية).

هنا. مشكلة واحدة ، ثلاث إجابات مختلفة ، 1/3 ، 1/2 ، 1/4. وهنا ، في هذه المرحلة ، يُستنتج عادةً أن المشكلة تمت صياغتها بشكل غير صحيح ، ومن المطلوب الإشارة بالضبط إلى ما نعنيه بالضبط بعبارة "اختر وترًا عشوائيًا" ، وإلا فإنه مستحيل. لذا؟

ولكن ليس كذلك! بتعبير أدق ، ليس كذلك تمامًا. إليك شيء من هذا القبيل: إذا أردنا صياغة جميع المشكلات الاحتمالية بطريقة صارمة ودقيقة تمامًا ، فبدلاً من ، على سبيل المثال ، "من بين عشرة أشخاص ، نختار اثنين بشكل عشوائي" ، فسيتعين علينا كتابة شيء مثل "من مجموعة من جميع الأزواج غير المرتبة عناصر مختلفةمجموعة (1 ، ... ، 10) نختار زوجًا واحدًا بتوزيع احتمالي موحد. "حسنًا ، بحق الجحيم ، أعتقد أنه من الواضح عادةً أنه عندما يقولون" نختار عشوائيًا "دون مزيد من التوضيح ، فهذا يعني أن الاختيار قابل للتزود ، أي يتم بتوزيع موحد.

نعم. جيد. لكن هنا سأكون معارضة بمعنى ذلك

من الواضح مدى سهولة اختيار عنصر عشوائي للمجموعة من نعناصر (يتم أخذ كل منها باحتمالية 1 / ن)

من الواضح أيضًا بشكل حدسي ما هو التوزيع المنتظم في منطقة ما ، على سبيل المثال ، على مستوى (دائرة ، مربع ، ...).

لكن ماذا عن الأشياء الأكثر تعقيدًا؟

وسنرد عليها بهذه الطريقة. في الأساس ، حتى أقول صفة مميزةخاصية التوزيع الموحد. يترك ح- بعض المجموعات الفرعية من المجموعة جي، وحدد عنصرًا واحدًا من جيبطريقة لا تصدق. لذلك ، بشرط أن تكون النتيجة بتنسيق ح- لها توزيع موحد هناك ، يتم الحصول على مثل هذا الثوابت. على سبيل المثال ، إذا تم اختيار شخص واحد بشكل عشوائي من مجموعة مكونة من 5 رجال / 5 نساء ، ومن المعروف أن هذه امرأة ، فإن أي من هؤلاء الخمسة لديه فرصة متساوية (1/5) ليتم اختياره. وكل هذا ينطبق أيضًا على الانتقاء المنتظم لنقطة من منطقة ما.

حسنًا ، ماذا نريد من وتر عشوائي إذن؟ في ضوء ما سبق ، يبدو من المعقول بالنسبة لي أننا نريد ما يلي:

شريطة أن الوتر العشوائي ABيتقاطع مع دائرة صغيرة (يولد هناك وترًا أ "ب") ، هذا الوتر أ "ب"له نفس توزيع الاحتمالات مثل مجرد "وتر عشوائي" (مهما كان معنى ذلك ، في الوقت الحالي) في دائرة صغيرة.

لذلك ، اتضح أنه من بين الطرق الثلاثة المذكورة أعلاه لبناء وتر عشوائي ، فإن الطريقة الثانية فقط لها هذه الخاصية! ولا احد الا هو. كل الآخرين غير مناسبين. كل هذا معروف منذ فترة طويلة ، راجع المقال ، أوصي به بشدة.

ومع ذلك ، فإن ما ناقشناه بالفعل هنا يشير إلى مثل هذه الأفكار. حسنًا ، نعلم الآن أن هناك وترًا عشوائيًا للدائرة. كيف
علماء الرياضيات الحقيقيون ، نريد تعميمها ، من الدوائر إلى الأشكال الناقصة ، والمربعات ، والمكعبات المفرطة ، وما إلى ذلك. حسنًا ، لنحاول.

هذا يعني ، بتكرار الماضي ، أن الوتر عبارة عن جزء يربط بين نقطتين على حدود منطقتنا. بدلاً من اختيار هاتين النقطتين في وقت واحد ، دعنا نحاول القيام بذلك بشكل مختلف: نختار أولاً نقطة واحدة على الحدود (بطريقة ما) ، ثم نختار الاتجاه (بطريقة أخرى) ، اين سيذهبوتر من هذه النقطة. وستذهب إلى التقاطع مع الحدود ، حيث ستأتي - ستكون هناك النقطة الثانية.

فقط مثل تمرين بسيطبناءً على المعرفة بقياس التخطيط المدرسي ، أثبت أن الطريقة 1 تعادل الإجراء التالي: أولاً ، نأخذ نقطة واحدة بالتساوي على الدائرة ، ثم يتم أيضًا اختيار اتجاه الوتر بتوزيع موحد ، كما لو كانت جميع الاتجاهات متساوية في الاحتمال .

وبطريقتنا الثمينة 2 ، يكون الوضع كما يلي: يتم اختيار اتجاه الوتر وفقًا لقانون جيب التمام ، أي كثافة توزيع هذا الاتجاه تتناسب مع جيب التمام للزاوية بينه وبين نصف القطر (اثبت ذلك!). ماذا سيحدث إذا تم تنفيذ إجراء مماثل مع منطقة عشوائية إلى حد ما (لن نكتب تعليقات مملة حول السلاسة الكافية لحدودها هنا) ، أي

(أ) اختر أولاً نقطة بشكل موحد على الحدود

(ب) نختار الاتجاه من هناك وفقًا لقانون جيب التمام (تكون الزاوية مع الخط العمودي للحد عند هذه النقطة) ، وذهب الوتر.

اتضح أن كل شيء يعمل حقًا ، وحتى في أي بُعد ، علاوة على ذلك! يمكن إثبات ذلك


(تقريبًا نسخ ولصق ، ضع في اعتبارك) بشرط، وهو وتر عشوائي ABيتقاطع مع المنطقة الداخلية (يولد هناك وترًا أ "ب") ، هذا الوتر أ "ب"له نفس توزيع الاحتمالات مثل مجرد وتر عشوائي في الداخل ( المنطقة الخارجيةهنا يكون الأمر تعسفيًا إلى حد ما ، لكن الجزء الداخلي محدب ، بحيث يتم تحديد الوتر "المستحث" دائمًا بشكل فريد). سأنتهز هذه الفرصة وأعلن عن مقال هنا ، على الرغم من أننا اخترعنا العجلة هنا وهناك. كان يجب أن أقرأ الكتاب أولاً على الأقل (وأنا أوصي به بشدة ، نعم).

________________________________________ _____________________________________

جاينز ، إي. (1973). "المشكلة المطروحة بشكل جيد". وجد. فيز. 3 (4): 477-492.

F. Comets ، S. Popov ، G.M. شوتز ، م. فاتشكوفسكايا (2009)
البلياردو في المجال العام مع انعكاسات عشوائية.
أرشيف للميكانيكا العقلانية والتحليل، 193 (3) ، ص. 737-738 ،
http://link.springer.com/article/10.1007٪2Fs00205-008-0120-x؟LI=true
راجع أيضًا Erratum هنا: http://link.springer.com/article/10.1007٪2Fs00205-009-0236-7؟LI=true ، لأنهم أخطأوا.
ومن الأفضل أن تقرأ هنا: http://arxiv.org/abs/math/ 0612799 ، تم إصلاح كل شيء هناك بالفعل ، والوصول مجاني.

موران كيندال. (1972)
الاحتمالات الهندسية.
أعتقد أن الجميع سيجد مكان التنزيل :)

تم تطوير خطة المخطط التفصيلي

تروفيموفا لودميلا ألكسيفنا

الاحتمال الهندسي

الغايات والأهداف: 1) تعريف الطلاب بأحد الطرق الممكنةمهام

الاحتمالات.

2) تكرار الماضي وترسيخ مهارات إضفاء الطابع الرسمي

مشاكل احتمالية في النص بمساعدة الأشكال الهندسية.

نتائج التعلم:

1) تعرف على التعريف الاحتمال الهندسياختيار نقطة

داخل شكل على مستوى وخط مستقيم ؛

2) القدرة على حل أبسط المسائل المتعلقة بالاحتمالات الهندسية.

معرفة مناطق الأشكال أو القدرة على حسابها.

أنا. اختيار نقطة من شكل على مستوى.

مثال 1انصح تجربة فكرية: نقطة تُلقى عشوائيًا على مربع يساوي ضلعه 1. السؤال هو ، ما هو احتمال أن تكون المسافة من هذه النقطة إلى أقرب جانب من المربع أكبر من؟

في هذه المهمة نحن نتكلمحول ما يسمى ب الاحتمال الهندسي.

يتم إلقاء نقطة بشكل عشوائي في قطعة Fعلى السطح. ما هو احتمال أن تكون النقطة في شكل ما زالواردة في الشكل F.

تعتمد الإجابة على المعنى الذي نضعه في عبارة "طرح نقطة بشكل عشوائي".

عادة ما يتم تفسير هذا التعبير على النحو التالي:

1. يمكن أن تصل نقطة القذف إلى أي جزء من الشكل F.

2. احتمال أن تكون النقطة في شكل ما جيداخل الشكل F،يتناسب طرديا مع مساحة الشكل ج.

للتلخيص: وليكن مناطق الأشكال Fو جي. احتمالية الحدث لكن"النقطة X تنتمي إلى الشكل زالواردة في الشكل F"، مساوي ل

لاحظ أن مساحة الشكل جيلا يزيد عن مساحة الشكل F،لهذا

دعنا نعود إلى مهمتنا. شكل Fفي هذا المثال مربع بضلع 1. لذلك = 1.

تتم إزالة النقطة من حدود المربع بما لا يزيد عن كونها تقع في الشكل المظلل في الشكل ج.للعثور على المنطقة ، تحتاج من منطقة الشكل Fاطرح مساحة المربع الداخلي مع الضلع.

ثم احتمال أن تصل النقطة إلى الرقم زمساوي ل

مثال 2تم اختيار النقطة X عشوائيًا من المثلث ABC ، ​​أوجد احتمال انتمائها إلى مثلث تكون رؤوسه نقاط منتصف أضلاع المثلث.

المحلول:تقسمه الخطوط الوسطى للمثلث إلى 4 مثلثات متساوية. وسائل،

احتمال أن تكون النقطة X تنتمي إلى مثلث KMN هو:

استنتاج. إن احتمال إصابة نقطة برقم معين يتناسب طرديًا مع مساحة هذا الرقم.

مهمة. مبارزون نفد صبرهم.

نادراً ما تنتهي المبارزات في مدينة الحذر بنتيجة محزنة. الحقيقة هي أن كل مبارز يصل إلى مكان الاجتماع في وقت عشوائي بين الساعة 5 و 6 صباحًا ، وبعد انتظار الخصم لمدة 5 دقائق ، يغادر. إذا وصل الأخير خلال هذه الدقائق الخمس ، فستقام المبارزة. كم عدد المبارزات التي تنتهي بالفعل في القتال؟

المحلول:يترك Xو فيتشير إلى وقت وصول الأول من المبارزين الثاني ، على التوالي ، مقاسة في كسور الساعة بدءًا من الساعة الخامسة.

يجتمع المبارزون إذا ، أي x - < ذ< x + .

دعنا نظهر ذلك على الرسم.

يتوافق الجزء المظلل من المربع مع الحالة التي يلتقي فيها المبارزون.

مساحة المربع 1 بالكامل ، مساحة الجزء المظلل:

.

ومن ثم ، فإن فرص المبارزة متساوية.

ثانيًا. اختيار نقطة من قطعة مستقيمة وقوس دائرة.

لنفكر في تجربة عقلية ، والتي تتكون من اختيار عشوائي لنقطة واحدة X من جزء من MN.

يمكن فهم ذلك كما لو أن النقطة X "ألقيت" بشكل عشوائي على المقطع. حدث ابتدائيفي هذه التجربة ، يمكن أن يصبح اختيار أي نقطة في المقطع.

دع القرص المضغوط المقطع مدرج في الجزء MN. نحن مهتمون بالحدث لكن ، ويتألف من حقيقة أن النقطة المحددة X تنتمي إلى قطعة CD.

طريقة حساب هذا الاحتمال هي نفسها للأرقام الموجودة على المستوى: يتناسب الاحتمال مع طول المقطع CD.

لذلك ، احتمال وقوع حدث لكن "النقطة X تنتمي إلى الجزء المضغوط الموجود في المقطع MN" هي ،.

مثال 1تم تحديد النقطة X بشكل عشوائي داخل المقطع MN. أوجد احتمال أن تكون النقطة X أقرب إلى النقطة N منها إلى M.

المحلول:اجعل النقطة O هي نقطة منتصف المقطع MN. سيأتي حدثنا عندما تقع النقطة X داخل المقطع ON.

ثم .

لا شيء يتغير إذا تم اختيار النقطة X ليس من مقطع ، ولكن من قوس من بعض الخطوط المنحنية.

مثال 2يتم إعطاء النقطتين A و B على دائرة ، وهذه النقاط ليست متعارضة تمامًا. تم اختيار النقطة C على نفس الدائرة. أوجد احتمال أن يتقاطع الجزء BC مع قطر الدائرة المارة بالنقطة A.

المحلول:دع المحيط يساوي L. الحدث الذي يهمنا إلى "الجزء BC يتقاطع مع القطر DA" يحدث فقط إذا كانت النقطة C تقع على نصف دائرة DA لا يحتوي على النقطة B. طول هذا القوس هو L.

.

مثال 3تؤخذ النقطة A على الدائرة ، والنقطة B "تُلقى" على الدائرة ، ما هو احتمال أن يكون طول الوتر AB أقل من نصف قطر الدائرة.

المحلول:لنفترض أن r هو نصف قطر الدائرة.

لكي يكون الوتر AB أقصر من نصف قطر الدائرة ، يجب أن تقع النقطة B على القوس B1AB2 ، طوله يساوي محيط الدائرة.

احتمال أن يكون طول الوتر AB أقل من نصف قطر الدائرة يساوي:

ثالثا. اختيار نقطة من خط الأعداد

يمكن تطبيق الاحتمال الهندسي على فترات عددية. افترض أنه تم تحديد رقم X عشوائيًا بحيث يفي بالشرط. يمكن استبدال هذه التجربة بتجربة يتم فيها تحديد نقطة ذات تنسيق X من مقطع على خط أرقام.

لنفكر في حدث يتكون من حقيقة أنه تم تحديد نقطة ذات إحداثيات X من المقطع الموجود في المقطع. دعنا نشير إلى هذا الحدث. احتمالها يساوي نسبة أطوال المقاطع و.

.

مثال 1أوجد احتمال أن تنتمي نقطة محددة عشوائيًا من المقطع إلى المقطع.

المحلول:وفقًا لمعادلة الاحتمال الهندسي ، نجد:

.

مثال 2وفقا للقوانين حركة المرور، يمكن للمشاة عبور الشارع في مكان غير محدد إذا لم تكن هناك معابر للمشاة على مرمى البصر. في مدينة ميرغورود المسافة بين معابر المشاةفي شارع Solnechnaya يساوي 1 كم. أحد المشاة يعبر شارع Solnechnaya في مكان ما بين معبرين. يمكنه رؤية علامة العبور على مسافة لا تزيد عن 100 متر منه. أوجد احتمال ألا ينتهك المشاة القواعد.

المحلول:لنستخدم الطريقة الهندسية. لنرتب خط الأعداد بحيث يكون قسم الشارع بين التقاطعات جزءًا. دع المشاة يقترب من الشارع في مرحلة ما بالإحداثيات X. لا ينتهك المشاة القواعد إذا كان على بعد أكثر من 0.1 كم من كل معبر ، أي 0.1

.

مثال 3القطار يجتاز الرصيف في نصف دقيقة. في مرحلة ما ، عن طريق الصدفة ، رأى إيفان إيفانوفيتش ، وهو ينظر من نافذة مقصورته ، أن القطار يمر عبر المنصة. نظر إيفان إيفانوفيتش من النافذة لمدة 10 ثوانٍ بالضبط ، ثم ابتعد. ابحث عن احتمال أنه رأى إيفان نيكيفوروفيتش يقف بالضبط في منتصف المنصة.

المحلول:لنستخدم الطريقة الهندسية. لنعد في ثوان. لمدة 0 ثانية ، سنستغل اللحظة التي أدرك فيها إيفان إيفانوفيتش بداية المنصة. ثم وصل إلى نهاية المنصة في لحظة 30 ثانية. لمدة X ثانية. دعونا نحدد اللحظة التي نظر فيها إيفان إيفانوفيتش من النافذة. لذلك ، يتم اختيار الرقم X عشوائيًا من المقطع. لقد قابلت إيفان في لحظة 15 ثانية. لم ير إيفان نيكيفوروفيتش إلا إذا نظر من النافذة في موعد لا يتجاوز هذه اللحظة ، ولكن ليس قبل 10 ثوانٍ. وبالتالي ، علينا إيجاد الاحتمال الهندسي للحدث. بالصيغة التي نجدها

.

"الخلفية الاحتمالية"

في بداية قصيدة "النفوس الميتة" يتجادل رجلان حول المسافة التي ستقطعها العجلة في عربة تشيتشيكوف:

"... قدم فلاحان روسيان ، واقفا عند باب الحانة المقابلة للفندق ، بعض الملاحظات التي تتعلق بالعربة أكثر مما تتعلق بالشخص الجالس فيها. قال أحدهما للآخر: "انظر إليكم ، يا لها من عجلة! ما رأيك هل ستصل تلك العجلة إذا حدثت إلى موسكو أم لن تصل إلى موسكو؟ - "سيصل" ، أجاب الآخر. "لكن لا أعتقد أنه سيصل إلى كازان؟" أجاب آخر: "لن يصل إلى قازان".

مهام لحلها.

1. أوجد احتمال أن النقطة التي أُلقيت عشوائيًا في المربع ABCD مع الضلع 4 ستقع في المربع A1B1C1D1 مع الضلع 3 ، الذي يقع داخل المربع ABCD.

إجابه. 9/16.

2. وافق شخصان "أ" و "ب" على الاجتماع في مكان معين في الفترة الزمنية من 900 إلى 1000. يأتي كل منهما بشكل عشوائي (في الفترة الزمنية المحددة) ، بشكل مستقل عن الآخر ، وينتظر 10 دقائق. ما هو احتمال أن يلتقوا؟

إجابه. 11/36.

3. تظهر النقطة C بشكل عشوائي في مقطع AB بطول 3. حدد احتمال أن تكون المسافة من النقطة C إلى B أكبر من 1.

إجابه. 2/3.

4. مثلث أكبر مساحة مرسوم داخل دائرة نصف قطرها 5. أوجد احتمالية وقوع نقطة ما بشكل عشوائي في الدائرة في المثلث.

5. زرع بينوكيو بقعة مستديرة نصف قطرها 1 سم على صفيحة مستطيلة بقياس 20 سم في 25 سم ، وبعد ذلك مباشرة زرع بينوكيو بقعة أخرى مماثلة ، والتي انتهت بالكامل على الورقة. أوجد احتمال عدم تلامس هاتين النقطتين.

6. مربع ABCD مرسوم في دائرة. تم اختيار النقطة M عشوائياً على هذه الدائرة ، أوجد احتمال أن تقع هذه النقطة عليها: أ) القوس الأصغر AB ؛ ب) القوس الأكبر AB.

إجابه. أ) 1/4 ؛ ب) 3/4.

7. يتم إلقاء نقطة X بشكل عشوائي على القطعة ، مع أي احتمال يتم استيفاء المتباينة: أ) ؛ ب) ؛ في) ؟

إجابه. أ) 1/3 ؛ ب) 1/3 ؛ ج) 1/3.

8. الشيء الوحيد المعروف عن قرية إيفانوفو هو أنها تقع في مكان ما على الطريق السريع بين ميرغورود وستارغورود. طول الطريق السريع 200 كم. أوجد احتمال أن:

أ) من ميرغورود إلى إيفانوفو على طول الطريق السريع أقل من 20 كم ؛

ب) من Stargorod إلى Ivanovo على طول الطريق السريع الذي يزيد عن 130 كم ؛

ج) تقع إيفانوفو على بعد أقل من 5 كيلومترات من منتصف الطريق بين المدن.

إجابه. أ) 0.1 ؛ ب) 0.35 ؛ ج) 0.05.

مواد اضافية

لا يعتمد النهج الهندسي لاحتمالية حدث ما على نوع أبعاد الفضاء الهندسي: من المهم فقط أن تكون مجموعة الأحداث الأولية F والمجموعة G ، التي تمثل الحدث A ، من نفس النوع و نفس الأبعاد.

2. يتم توزيع النقطة العشوائية X بشكل موحد في مربع . أوجد احتمال احتواء مربع بمركز X وجوانب طولها b موازية لمحاور الإحداثيات بالكامل في المربع A.

المؤلفات:

1. نظرية الاحتمالات والإحصاء / ،. - الطبعة الثانية ، المنقحة. - م: MTSNMO: كتب مدرسية ، 2008. - 256 ص: مريض.

2. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في أمثلة ومشكلات باستخدام Excel / ،. - إد. الرابعة. - روستوف غير متوفر: فينيكس ، 2006. - 475 ص: مريض. - (تعليم عالى).

3. خمسون مشكلة احتمالية مسلية مع حلول. لكل. من الإنجليزية / إد. . الطبعة الثالثة. - م: نوكا ، الطبعة الرئيسية للأدب الفيزيائي والرياضي ، 1985. - 88 ص.

4. جمع المشاكل في نظرية الاحتمالات: Proc. دليل للجامعات. / ، - الطبعة الثانية ، القس. والمزيد. - م: العلوم. الفصل إد. فيز.رياضيات. أشعل. - 1989. - 320 ثانية.

5. مقرر اختياري في الرياضيات: نظرية الاحتمالات: Proc. بدل 9-11 خلية. متوسط المدرسة / - الطبعة الثالثة. مراجعة - م: التنوير 1990. - 160 ص.

التعريف الهندسي للاحتمالية. مشاكل الحلول

خارج النافذة هي أيام الخريف المبكرة ، وتثير أوراق الشجر الصفراء على الأشجار مزاجًا غنائيًا وحزينًا بعض الشيء .... ولكن لا يزال هناك عام دراسي كامل ينتظرنا ، وفي مثل هذه اللحظات ، من الضروري الانخراط في العمل المثمر! أسارع إلى إرضاء جميع القراء المندفعين بوصفة الملكية الخاصة بي ، والتي تتيح لك زيادة نغمة جسمك بسرعة. للقيام بذلك ، يكفي أن نتذكر قليلاً الهندسة... ... لا ، أوافق على أنه في بعض الأحيان يهدئك للنوم ، لكنه في الجرعات الصغيرة ينشط بشكل استثنائي! والأهم من ذلك ، أنها فعالة للغاية - بمجرد أن تبدأ في أخذ أجزاء تنشيطية من المعرفة ، فلن يكون هناك اكتئاب موسمي في الحال!

التقينا حتى في الدرس الأول حول الموضوع التعريف الكلاسيكي للاحتمالحدوث حدث ما في الاختبار وأبسط معادلة ، أين العدد الإجمالي كله ممكن ممكن بالتساوي , ابتدائي نتائج هذا الاختبار ، و- عدد النتائج الأولية التي تفضل الحدث.

هل تواجه مشكلة في المصطلحات و / أو الفهم؟ من فضلك ابدأ بـ أساسيات نظرية الاحتمالات.

نذهب إلى أبعد من ذلك: لقد تبين أن التعريف الكلاسيكي للاحتمال فعال في حل مجموعة كاملة من المشكلات ، ولكن من ناحية أخرى ، فإن له أيضًا عددًا من العيوب. بل إنه من الأصح أن نقول ، ليس القصور ، بل القيود. أحد هذه القيود هو حقيقة أنه لا ينطبق على التجارب ذات عدد لا حصر له من النتائج. أبسط مثال:

يتم إلقاء نقطة جائعة بشكل عشوائي على القطعة. ما هو احتمال وقوعه في الفترة؟

نظرًا لوجود عدد لا نهائي من النقاط على المقطع ، لا يمكن تطبيق الصيغة هنا (بسبب القيمة الكبيرة اللانهائية لـ "en")وهكذا يأتي نهج آخر للإنقاذ ، يسمى التعريف الهندسي للاحتمالية.

كل شيء متشابه للغاية: احتمال حدوث حدث ما في الاختبار يساوي النسبة ، حيث - قياس هندسيمعربا عن العدد الإجمالي كله ممكنو ممكن بالتساوينتائج هذا الاختبار ، و- يقيسمعربا عن عدد النتائج الإيجابية للحدث. في الممارسة العملية ، غالبًا ما يكون هذا المقياس الهندسي هو الطول أو المساحة ، وغالبًا ما يكون الحجم.

لنفكر في الحدث: - نقطة ألقيت على قطعة ، سقطت في الفاصل الزمني. من الواضح أن العدد الإجمالي للنتائج يتم التعبير عنه بطول المقطع الأكبر: ، والنتائج المواتية للحدث - بطول المقطع المتداخل: من خلال التعريف الهندسي للاحتمال:

سهل جدا؟ كما هو الحال مع التعريف الكلاسيكي، هذا انطباع مضلل. نحن نفهم تمامًا وضميرًا الأمثلة العملية:

مهمة 1

يتم قطع شريط متر بشكل عشوائي بالمقص. أوجد احتمال أن يكون طول القطع 80 سم على الأقل.

المحلول: "ما الصعب في ذلك؟ الاحتمال هو 1/5 ". هذا خطأ تلقائي ناتج عن الإهمال. نعم ، هذا صحيح - سيكون طول القص على الأقل 80 سم ، إذا لم يتم قطع أكثر من 20 سم من الشريط. ولكن هنا غالبًا ما يُنسى أنه يمكن إجراء القطع المطلوب ابتداء من واحدنهاية الشريط لذلك من الآخر:

ضع في اعتبارك الحدث: - سيكون طول القطع 0.8 متر على الأقل.

نظرًا لأنه يمكن قطع الشريط في أي مكان ، فإن العدد الإجمالي للنتائج يتوافق مع طوله: تم تمييز أقسام القطع الملائمة للحدث باللون الأحمر في الشكل ويساوي طولها الإجمالي:

إجابه: 0,4

ماذا يمكن أن يكون الاستنتاج؟ حتى لو كانت المهمة تبدو بسيطة جدًا بالنسبة لك ، فلا تستعجل. الاندفاع بشكل عام شيء سيء - هذه أخطاء ، مشتريات غير ضرورية ، تماسك الجلد الفاسد ، إلخ ... لكن دعونا لا نتحدث عن الأشياء المحزنة!

عند كتابة المهام ، من الضروري الإشارة إلى البعد (الوحدات ، الأمتار ، الوحدات المربعة ، الأمتار المربعة ، إلخ.). بالمناسبة ، يرجى ملاحظة أنه في المرحلة الأخيرة من الحسابات ، يتم تقليل القياس الهندسي. لذلك في المثال المدروس ، تم تقليل العدادات: مما أدى إلى الاحتمال المعتاد بلا أبعاد.

المهمة 2

بعد العاصفة ، حدث انقطاع في الأسلاك في المقطع بين 40 و 70 كيلومترًا من خط الهاتف. ما هو احتمال وقوعها بين 50 و 55 كيلومترا من الخط؟

موجز وحل وجواب في نهاية الدرس.

أكثر شيوعًا هي الأمثلة التي تظهر فيها المناطق:

المهمة 3

دائرة منقوشة في مثلث أضلاعه. يتم وضع النقطة بشكل تعسفي في مثلث. أوجد احتمال أن تكون النقطة في الدائرة.

أذكرك أن الدائرة المنقوشة تقع داخل المثلث وتلامس أضلاعه عند 3 نقاط

المحلول: بما أن النقطة موضوعة في مثلث ، والدائرة تقع بداخله ، فإن مساحة المثلث تقابل العدد الإجمالي للنتائج ، ومساحة الدائرة المنقوشة تتوافق مع مجموعة النتائج المفضلة. ماذا استطيع قوله؟ أبحث عن الفضاء:

إذا تم إعطاء أطوال أضلاع المثلث ، فسيتم العثور على مساحته بسهولة صيغة هيرون:
، أين أطوال أضلاع المثلث ، و هو مقياس نصف القطر.

أولاً ، نحسب نصف محيط المثلث: ثم مساحتها:

لقد غطيت طريقة أخذ العوامل من تحت الجذر في العصور القديمة في درس تمهيدي الهندسة التحليلية.

تم العثور على مساحة الدائرة المنقوشة بواسطة الصيغة ، حيث يوجد نصف قطرها.

من أين تحصل على الصيغ الهندسية؟ يمكن العثور على الصيغ الضرورية في كتاب مدرسي أو مصدر آخر للمعلومات. في الوقت نفسه ، ليست هناك حاجة لتعلمهم على وجه التحديد ، لقد تذكرت شخصيًا فقط ، وفي غضون دقائق وجدت كل شيء آخر على ويكيبيديا. وفي غضون دقائق قليلة سوف أنسى كل هذا بأمان =)

إذن ، مساحة الدائرة المنقوشة هي:

بالتعريف الهندسي:
هو احتمال أن تقع النقطة داخل الدائرة المنقوشة.

إجابه:

مثال أبسط لحل افعل ذلك بنفسك:

المهمة 4

في دائرة نصف قطرها 10 سم يساوي مثلث قائمبأرجل 12 و 7 سم ، وتوضع نقطة عشوائياً في دائرة. أوجد احتمال ألا يقع في المثلث المحدد.

وتجدر الإشارة إلى أنه في هذه المشكلة لا يتعين على المثلث أن يلمس الدائرة بطريقة ما ، فهو يقع ببساطة داخل الدائرة وهذا كل شيء. كن حذرا!

فكر الآن في مشكلة الاجتماع المعروفة:

المهمة 5

يمكن أن تأتي شاحنتان للتحميل في الفترة الزمنية من 19.00 إلى 20.30. يستغرق تحميل السيارة الأولى 10 دقائق ، والثانية - 15 دقيقة. ما هو احتمال أن تضطر إحدى السيارات إلى انتظار الأخرى حتى تنتهي من التحميل؟

دعونا نفكر في الحالة قليلاً. أولاً ، يمكن أن تأتي السيارات للتحميل بأي ترتيب ، وثانيًا ، في أي وقت خلال ساعة ونصف. للوهلة الأولى ، يبدو القرار صعبًا إلى حد ما. وبالنسبة لشخص غير مستعد ، سيتبين أنه "صعب للغاية". يمكن العثور على تحليل مفصل لطريقة حل هذه المشكلة ، على سبيل المثال ، في كتاب Gmurman المدرسي ، لكنني سأقصر نفسي إلى حد ما على خوارزمية رسمية:

المحلول: أولاً ، اكتشف المدة الزمنية التي يمكن أن يعقد فيها الاجتماع. في هذه الحالة ، كما هو مذكور أعلاه ، فهي ساعة ونصف أو 90 دقيقة. في الوقت نفسه ، لا يهم الإطار الزمني الفعلي هنا - يمكن أن يتم تحميل السيارات ، على سبيل المثال ، في الصباح من الساعة 8.30 إلى 10.00 ، وسيكون القرار هو نفسه تمامًا.

يمكن إجراء الحسابات في كسور الساعة والدقائق. في رأيي ، في معظم الحالات ، من الأنسب العمل مع دقائق - أقل تشويشًا.

دعونا نحسن الحد الأدنى للتكامل بشكل تحليلي (أوجد نقطة تقاطع القطع الزائد ومباشر):

يقع الخط المستقيم على القطعة ليس أقلمقارنة مبالغ فيها،
وفقًا للصيغة المقابلة:

بالتعريف الهندسي:
- احتمال أن يكون حاصل ضرب عددين في النطاق من 0 إلى 5 أكبر من اثنين.

إجابه:

مثال مشابه لحل مستقل.

أحتاج إلى إنشاء نقطة عشوائية منتظمة في دائرة نصف قطرها R.

أفهم ذلك ببساطة باختيار زاوية عشوائية منتظمة في الفاصل الزمني ، مع إعطاء مسافات من المركز. مثلثنا عبارة عن شريط رفيع ، لذا فإن AB و BC متوازيان بشكل أساسي. إذن ، النقطة Z هي المسافة س + ص من نقطة الأصل. إذا كانت x + y> R نرجع للخلف.

إليك الخوارزمية الكاملة لـ R = 1. آمل أن توافق على أنها بسيطة جدًا. يستخدم مشغلًا ، ولكن يمكنك ضمان المدة التي يستغرقها والوقت الذي يحتاجه عشوائيًا () ، بدلاً من استبعاد أخذ العينات.

T = 2 * pi * random () u = random () + random () r = إذا كانت u> 1 ثم 2-u else u

ها هو في ماثيماتيكا.

F: = حظر [(u ، t ، r) ، u = عشوائي + عشوائي ؛ ر = عشوائي 2 بي ؛ ص = إذا ؛ (r Cos [t]، r Sin [t])] ListPlot، AspectRatio -> Automatic]

هنا حل سريع وسهل.

اختر اثنان أرقام عشوائيةفي النطاق (0 ، 1) ، أي أ و ب. إذا ب< a , замените их. Ваша точка (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .

يمكنك التفكير في هذا الحل على النحو التالي. إذا كنت ستأخذ دائرة ، وتقطعها ، ثم تصويبها ، فسينتهي بك الأمر بمثلث قائم الزاوية. صغّر حجم المثلث لأسفل وسيكون لديك مثلث من (0 ، 0) إلى (1 ، 0) إلى (1 ، 1) والعودة إلى (0 ، 0). كل هذه التحولات تغير الكثافة بشكل موحد. ما فعلته هو اختيار نقطة عشوائية في مثلث بشكل موحد وعكس العملية للحصول على نقطة في دائرة.

لاحظ أن كثافة النقطة تتناسب مع المربع العكسي لنصف القطر ، لذا بدلاً من اختيار r من ، اختر من ، ثم احسب إحداثياتك على النحو التالي:

X = sqrt (r) * cos (زاوية) y = sqrt (r) * sin (زاوية)

سيعطيك هذا توزيعًا متساويًا للنقاط على القرص.

أعتقد أنه من هذا الطريق. إذا كان لديك مستطيل يمثل فيه أحد المحاور نصف القطر والآخر يمثل الزاوية ، وأخذت نقاطًا داخل ذلك المستطيل قريبة من نصف القطر 0. ستكون جميعها قريبة جدًا من الأصل (وهي قريبة من الدائرة). ومع ذلك ، فإن النقاط القريبة من نصف القطر R ستقع بالقرب من حافة الدائرة (أي متباعدة).

قد يعطيك هذا فكرة عن سبب حصولك على هذا السلوك.

الفرضية الأساسية هي أنه يمكنك إنشاء متغير بالتوزيع المطلوب من توزيع منتظم عن طريق مطابقة دالة معكوسة موحدة مع دالة التوزيع التراكمي لدالة كثافة الاحتمال المطلوبة. لاجل ماذا؟ فقط خذها كأمر مسلم به ، لكنها حقيقة.

هذا هو توضيحي الحدسي بعض الشيء للرياضيات. يجب أن تكون دالة الكثافة f (r) على r متناسبة مع r نفسها. فهم هذه الحقيقة جزء من أي كتب أساسية في التفاضل والتكامل. انظر أقسام العناصر القطبية. ذكرت بعض الملصقات الأخرى هذا.

فلنسميها f (r) = C * r ؛

هذا ، كما اتضح ، معظمالشغل. الآن ، نظرًا لأن f (r) يجب أن تكون كثافة احتمالية ، فليس من الصعب رؤية ذلك من خلال دمج f (r) عبر الفاصل الزمني (0 ، R) تحصل على C = 2 / R ^ 2 (هذا تمرين لـ قارئ.)

إذن f (r) = 2 * r / R ^ 2

ثم يأتي الجزء الأخير من المتغير العشوائي المنتظم u في (0،1) ، والذي يتعين عليك تعيين معكوس دالة التوزيع التراكمي من هذه الكثافة المطلوبة f (r). لفهم سبب حدوث ذلك ، تحتاج إلى العثور على نص احتمالي ممتد مثل Papoulis (أو احصل عليه بنفسك).

بدمج f (r) تحصل على F (r) = r ^ 2 / R ^ 2

لايجاد وظيفة عكسيةمن هذا ، تعطي u = r ^ 2 / R ^ 2 ثم تحل لـ r ، مما يعطيك r = R * sqrt (u)

هذا أيضًا منطقي ، يجب تعيين u = 0 إلى r = 0. أيضًا ، u = 1 shoudl map لـ r = R. أيضًا ، هذه وظيفة الجذر التربيعي، وهو أمر منطقي ويتطابق مع الارتباط.

السبب وراء عدم نجاح الحل الساذج هو أنه يعطي المزيد كثافة عاليةنقاط الاحتمال أقرب إلى مركز الدائرة. بمعنى آخر ، دائرة نصف قطرها r / 2 لديها احتمالية r / 2 للحصول على نقطة مختارة فيها ، لكن لها مساحة (عدد النقاط) pi * r ^ 2/4.

لذلك نريد أن يكون لكثافة احتمالية نصف القطر الخاصية التالية:

يجب أن يتناسب احتمال اختيار نصف قطر أقل من أو يساوي r مع مساحة دائرة نصف قطرها r. (لأننا نريد أن يكون لدينا توزيع موحد على النقاط ، و مناطق واسعة- المزيد من النقاط)

بعبارة أخرى ، نريد أن يكون احتمال اختيار نصف قطر بين مساويًا لكسرها من المساحة الكلية للدائرة. إجمالي مساحة الدائرة هي pi * R ^ 2 ومساحة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها r هي pi * r ^ 2. لذلك نود أن يكون احتمال اختيار نصف قطر يقع بين (pi * r ^ 2) / (باي * R ^ 2) = ص ^ 2 / ص ^ 2.

الآن تأتي الرياضيات:

احتمال اختيار نصف قطر بين هو تكامل p (r) dr من 0 إلى r (هذا فقط لأننا نضيف جميع احتمالات أنصاف أقطار أصغر). لذلك نريد التكامل (p (r) dr) = r ^ 2 / R ^ 2. يمكننا أن نرى بوضوح أن R ^ 2 ثابت ، لذلك نحتاج فقط إلى معرفة أي من p (r) ، عندما تكون الإرادة متكاملة أعطنا شيئًا مثل r ^ 2. الجواب هو بوضوح r * ثابت. تكامل (r * const dr) = r ^ 2/2 * ثابت. يجب أن يكون مساويًا لـ r ^ 2 / R ^ 2 ، لذلك ثابت = 2 / R ^ 2. لذلك لديك توزيع احتمالي p (r) = r * 2 / R ^ 2

ملحوظة.طريقة بديهية أخرى للتفكير في المشكلة هي أن تتخيل أنك تحاول منح كل دائرة نصف قطر احتمالية يساوي نسبة عدد النقاط التي لديها على محيطها. لذا فإن الدائرة التي يبلغ نصف قطرها r سيكون لها 2 * pi * r "نقطتان" حول محيطها. الرقم الإجماليالنقاط pi * R ^ 2. لذا عليك إعطاء الدائرة r احتمالًا يساوي (2 * pi * r) / (pi * R ^ 2) = 2 * r / R ^ 2. هذا أسهل كثيرًا للفهم وأكثر سهولة لكن هذا ليس رائعًا رياضيًا.

يعتمد الأمر حقًا على ما تقصده بعبارة "عشوائي بشكل منتظم". هذه نقطة دقيقة ويمكنك قراءة المزيد عنها على صفحة الويكي هنا: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_٪28probability٪29 حيث تعطي نفس المشكلة تفسيرات مختلفة لـ "عشوائي بشكل موحد" تعطي إجابات مختلفة !

اعتمادًا على كيفية اختيار النقاط ، قد يتغير التوزيع ، على الرغم من أنها موحدة إلى حد ما.

يبدو أن إدخال المدونة يحاول جعلها عشوائية بشكل موحد بالمعنى التالي: إذا أخذت دائرة فرعية من دائرة لها نفس المركز ، فإن احتمال وقوع نقطة في تلك المنطقة يتناسب مع مساحة المنطقة . أعتقد أن هذه محاولات لاتباع التفسير القياسي الحالي لـ "عشوائي بشكل موحد" للمناطق ثنائية الأبعاد مع تحديد المناطق عليها: احتمال سقوط نقطة في أي منطقة (مع منطقة محددة جيدًا) يتناسب مع منطقة تلك المنطقة.

إليك كود Python الخاص بي لتوليد عدد من النقاط العشوائية من دائرة نصف قطرها نصف قطر:

استيراد matplotlib.pyplot كـ plt import numpy مثل np rad = 10 num = 1000 t = np.random.uniform (0.0، 2.0 * np.pi، num) r = rad * np.sqrt (np.random.uniform (0.0، 1.0، num)) x = r * np.cos (t) y = r * np.sin (t) plt.plot (x، y، "ro"، ms = 1) plt.axis ([- 15، 15 ، -15، 15]) plt.show ()

لنفترض أن ρ (نصف القطر) و φ (السمت) يكونان اثنان المتغيرات العشوائيةالمقابلة الإحداثيات القطبية نقطة تعسفيةداخل الدائرة. إذا كانت النقطتان موزعتان بشكل موحد ، فما دالة توزيع الدالتين ρ و؟

لأي ص: 0

ف [ρ

حيث S1 و S0 هما منطقتي دائرة نصف قطرها r و R على التوالي. لذلك يمكن تحديد CDF على النحو التالي:

0 إذا ص<=0 CDF = (r/R)**2 if 0 < r <= R 1 if r >ص

PDF = d / dr (CDF) = 2 * (r / R ** 2) (0< r <= R).

لاحظ أنه بالنسبة لـ R = 1 ، المتغير العشوائي sqrt (X) ، حيث يكون X منتظمًا = P = y * * 2 عند 0

من الواضح أن توزيع φ منتظم من 0 إلى 2 * π. يمكنك الآن إنشاء إحداثيات قطبية عشوائية وتحويلها إلى ديكارت باستخدام المعادلات المثلثية:

X = ρ * cos (φ) y = ρ * sin (φ)

لا يمكن مقاومة نشر كود بيثون لـ R = 1.

من matplotlib import pyplot مثل plt import numpy مثل np rho = np.sqrt (np.random.uniform (0، 1، 5000)) phi = np.random.uniform (0، 2 * np.pi، 5000) x = rho * np.cos (phi) y = rho * np.sin (phi) مبعثر plt (x ، y ، s = 4)

سوف تحصل على

الحل في Java ومثال التوزيع (2000 نقطة)

getRandomPointInCircle () العامة الباطلة (t مزدوج = 2 * Math.PI * Math.random () ؛ مزدوج r = Math.sqrt (Math.random ()) ؛ مزدوج x = r * Math.cos (t) ؛ مزدوج y = r * Math.sin (t) ؛ System.out.println (x) ؛ System.out.println (y) ؛)

سنقوم أولاً بتوليد cdf [x] وهو

احتمال أن تكون النقطة أقل من المسافة x من مركز الدائرة. افترض أن نصف قطر الدائرة هو R.

من الواضح ، إذا كانت x تساوي صفرًا ، فإن cdf = 0

من الواضح إذا كانت x تساوي R فإن cdf [R] = 1

من الواضح ، إذا كانت x = r ، إذن cdf [r] = (Pi r ^ 2) / (Pi R ^ 2)

هذا لأن كل "منطقة صغيرة" على الدائرة لها نفس احتمالية أن يتم اختيارها ، وبالتالي فإن الاحتمال يتناسب مع تلك المنطقة. والمساحة المعطاة على مسافة x من مركز الدائرة هي Pi r ^ 2

لذا cdf [x] = x ^ 2 / R ^ 2 لأن Pi تلغي بعضها البعض

لدينا cdf [x] = x ^ 2 / R ^ 2 حيث ينتقل x من 0 إلى R.

إذن نوجد قيمة x

R ^ 2 cdf [x] = x ^ 2 x = R Sqrt [cdf [x]]

الآن يمكننا استبدال cdf برقم عشوائي من 0 إلى 1

X = R Sqrt [RandomReal [(0،1)]]

R = R Sqrt [RandomReal [(0،1)]] ؛ ثيتا = 360 درجة * RandomReal [(0،1)] ؛ (ص ، ثيتا)

نحصل على الإحداثيات القطبية (0.601168 R ، 311.915 درجة)

لقد استخدمت هذه الطريقة: قد يكون هذا غير محسن تمامًا (أي يستخدم مجموعة من النقاط ، لذلك فهو غير مناسب للدوائر الكبيرة) ، ولكنه يعطي توزيعًا عشوائيًا. يمكنك تخطي إنشاء المصفوفة والرسم مباشرة إذا أردت. الطريقة هي ترتيب جميع النقاط في المستطيل الذي يقع داخل الدائرة بشكل عشوائي.

Bool [،] getMatrix (System.Drawing.Rectangle r) (bool [،] matrix = new bool؛ return matrix؛) void fillMatrix (ref bool [،] matrix، vector center) (double radius = center.X؛ Random r = new Random () ؛ لـ (int y = 0 ؛ y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { double distance = (center - new Vector(x, y)).Length; if (distance < radius) { matrix = r.NextDouble() >0.5 ؛ )))) drawMatrix باطل خاص (Vector centerPoint، double radius، bool [،] matrix) (var g = this.CreateGraphics ()؛ Bitmap pixel = new Bitmap (1،1)؛ pixel.SetPixel (0، 0، Color .black) ؛ لـ (int y = 0 ؛ y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { if (matrix) { g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y))); } } } g.Dispose(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200); double radius = r.Width / 2; Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius); Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius); bool[,] matrix = getMatrix(r); fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter); drawMatrix(center, radius, matrix); }

عنصر المنطقة في الدائرة هو dA = rdr * dphi. هذا العامل الإضافي أفسد فكرتك لاختيار r و phi بشكل عشوائي. بينما يتم توزيع phi بشكل مسطح ، فإن r ليست كذلك ، ولكنها مسطحة عند 1 / r (مما يعني أنه من المرجح أن تصطدم بالحدود أكثر من عين الثور).

لذلك ، لإنشاء نقاط موزعة بالتساوي حول الدائرة ، اختر phi من التوزيع المسطح و r من التوزيع 1 / r.

بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام طريقة مونت كارلو التي اقترحها مهرداد.

يتغيرون

لاختيار r عشوائيًا عند 1 / r ، يمكنك اختيار x عشوائيًا من الفاصل الزمني وحساب r = 1 / x. ثم يتم توزيع r بكثافة في 1 / r.

لحساب phi عشوائي ، اختر x عشوائيًا من الفاصل الزمني واحسب phi = 2 * pi * x.

يمكنك أيضًا استخدام حدسك.

مساحة الدائرة هي pi * r ^ 2

هذا يعطينا المساحة pi. افترض أن لدينا دالة f توزع N = 10 نقاط داخل الدائرة بالتساوي. النسبة هنا 10 / pi

الآن نقوم بمضاعفة المساحة وعدد النقاط

مع r = 2 و N = 20

هذا يعطي مساحة 4pi والنسبة الآن 20 / 4pi أو 10 / 2pi. ستصبح النسبة أصغر وأصغر كلما زاد نصف القطر ، نظرًا لأن نموها تربيعي ، بينما N خطي.

لإصلاح هذا يمكننا القول فقط

X = r ^ 2 sqrt (x) = r

إذا قمت بإنشاء متجه في الإحداثيات القطبية مثل هذا