بناء خط الانحدار. أساسيات الانحدار الخطي

بالنسبة لمناطق المنطقة ، يتم توفير البيانات لـ 200X.

رقم المنطقة	متوسط ​​الحد الأدنى من الكفاف للفرد في اليوم لشخص واحد قادر على العمل ، فرك ، س	متوسط ​​الراتب اليومي ، فرك ، في
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

ممارسه الرياضه:

1. قم ببناء حقل ارتباط وصياغة فرضية حول شكل الاتصال.

2. احسب معاملات المعادلة الانحدارالخطي

4. باستخدام معامل المرونة المتوسط ​​(العام) ، أعطِ تقييمًا مقارنًا لقوة العلاقة بين العامل والنتيجة.

7. احسب القيمة المتوقعة للنتيجة إذا زادت القيمة المتوقعة للعامل بنسبة 10٪ عن مستواها المتوسط. حدد فاصل الثقة للتنبؤ بمستوى الأهمية.

المحلول:

سنقرر هذه المهمةباستخدام Excel.

1. بمقارنة البيانات المتاحة x و y ، على سبيل المثال ، ترتيبها بترتيب تصاعدي للعامل x ، يمكن للمرء أن يلاحظ وجود علاقة مباشرة بين العلامات عندما تؤدي الزيادة في الحد الأدنى للكفاف للفرد إلى زيادة متوسط ​​الأجر اليومي. بناءً على ذلك ، يمكن افتراض أن العلاقة بين العلامات مباشرة ويمكن وصفها بمعادلة الخط المستقيم. تم تأكيد نفس الاستنتاج على أساس التحليل البياني.

لإنشاء حقل ارتباط ، يمكنك استخدام Excel PPP. أدخل البيانات الأولية في التسلسل: أولاً x ، ثم y.

حدد منطقة الخلايا التي تحتوي على البيانات.

ثم اختر: إدراج / مبعثر / مبعثر بعلاماتكما هو موضح في الشكل 1.

الشكل 1 بناء مجال الارتباط

يوضح تحليل حقل الارتباط وجود قريب من مباشر الاعتماد الخطي، لأن النقاط تقع في خط مستقيم تقريبًا.

2. لحساب معاملات معادلة الانحدار الخطي
استخدم الوظيفة الإحصائية المضمنة LINEST.

لهذا:

1) فتح ملف موجود يحتوي على البيانات المراد تحليلها ؛
2) حدد منطقة خلية فارغة 5 × 2 (5 صفوف ، عمودين) لعرض النتائج إحصائيات الانحدار.
3) تفعيل معالج الوظائف: في القائمة الرئيسية ، حدد الصيغ / وظيفة الإدراج.
4) في النافذة فئةخذ الإحصاء، في نافذة الوظيفة - LINEST. انقر فوق الزر نعمكما هو مبين في الشكل 2 ؛

الشكل 2 مربع حوار معالج الوظيفة

5) املأ وسيطات الوظيفة:

القيم المعروفة

قيم x المعروفة

مستمر- قيمة منطقية تشير إلى وجود أو عدم وجود مصطلح مجاني في المعادلة ؛ إذا كان ثابت = 1 ، فسيتم حساب التقاطع بالطريقة المعتادة، إذا كان الثابت = 0 ، فإن التقاطع هو 0 ؛

إحصائيات- قيمة منطقية تشير إلى ما إذا كان سيتم عرض معلومات إضافية حول تحليل الانحدار أم لا. إذا كانت الإحصائيات = 1 ، إذن معلومات إضافيةإذا كانت الإحصائيات = 0 ، فسيتم عرض تقديرات معلمات المعادلة فقط.

انقر فوق الزر نعم;

الشكل 3 مربع حوار وسيطات LINEST

6) سيظهر العنصر الأول من الجدول النهائي في الخلية اليسرى العلوية من المنطقة المحددة. لتوسيع الجدول بأكمله ، اضغط على الزر ثم على اختصار لوحة المفاتيح ++ .

سيتم إخراج إحصائيات الانحدار الإضافية بالترتيب الموضح في المخطط التالي:

قيمة المعامل ب	قيمة المعامل أ
ب الخطأ المعياري	خطأ معياري أ
خطأ قياسي ذ
إحصاء F
مجموع انحدار المربعات

الشكل 4 نتيجة حساب دالة LINEST

حصلنا على معادلة الانحدار:

نستنتج: مع زيادة الحد الأدنى للكفاف للفرد بمقدار 1 فرك. متوسط ​​الأجر اليومي يرتفع بمتوسط ​​0.92 روبل.

يعني تباين 52٪ أجور(y) يفسر بتغير عامل x - متوسط ​​الحد الأدنى للكفاف للفرد ، و 48٪ - بفعل العوامل الأخرى غير المدرجة في النموذج.

وفقًا لمعامل التحديد المحسوب ، من الممكن حساب معامل الارتباط: .

تم تصنيف العلاقة على أنها قريبة.

4. باستخدام معامل المرونة المتوسط ​​(العام) ، نحدد قوة تأثير العامل على النتيجة.

بالنسبة لمعادلة الخط المستقيم ، يتم تحديد متوسط ​​معامل المرونة (العام) بالصيغة التالية:

نجد متوسط ​​القيم عن طريق تحديد منطقة الخلايا بقيم x ، وتحديد الصيغ / الجمع التلقائي / المتوسط، وافعل الشيء نفسه مع قيم y.

الشكل 5 حساب القيم المتوسطة للدالة والوسيطة

وبالتالي ، إذا تغير متوسط ​​الحد الأدنى للكفاف بنسبة 1٪ عن متوسط ​​قيمته ، فإن متوسط ​​الأجر اليومي سيتغير بمعدل 0.51٪.

استخدام أداة تحليل البيانات تراجعمتوفرة:
- نتائج إحصائيات الانحدار ،
- النتائج تحليل التباين,
- نتائج فترات الثقة ،
- الرسوم البيانية المتبقية وخط الانحدار ،
- القيم المتبقية والاحتمال الطبيعي.

الإجراء كالتالي:

1) تحقق من الوصول إلى حزمة التحليل. في القائمة الرئيسية ، حدد بالتسلسل: ملف / إعدادات / الوظائف الإضافية.

2) قطرة مراقبةحدد البند وظائف Excel الإضافيةواضغط على الزر يذهب.

3) في النافذة الإضافاتتفقد الصندوق حزمة التحليل، ثم انقر فوق الزر نعم.

اذا كان حزمة التحليلمفقود من قائمة الحقول الوظائف الإضافية المتاحة، اضغط الزر إعادة النظرللبحث.

إذا تلقيت رسالة تفيد بأن حزمة التحليل غير مثبتة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، فانقر فوق "نعم" نعملتثبيته.

4) في القائمة الرئيسية ، حدد بالتسلسل: البيانات / تحليل البيانات / أدوات التحليل / الانحدار، ثم انقر فوق الزر نعم.

5) املأ مربع حوار خيارات إدخال البيانات والمخرجات:

الفاصل الزمني للإدخال Y- النطاق الذي يحتوي على بيانات السمة الفعالة ؛

الفاصل الزمني للإدخال X- النطاق الذي يحتوي على بيانات سمة العامل ؛

العلامات- علم يشير إلى ما إذا كان السطر الأول يحتوي على أسماء الأعمدة أم لا ؛

ثابت - صفر- علم يشير إلى وجود أو عدم وجود مصطلح مجاني في المعادلة ؛

الفاصل الزمني للإخراج- يكفي الإشارة إلى الخلية اليسرى العلوية للنطاق المستقبلي ؛

6) ورقة عمل جديدة - يمكنك تعيين اسم تعسفي للورقة الجديدة.

ثم اضغط على الزر نعم.

مربع حوار الشكل 6 لإدخال معلمات أداة الانحدار

تظهر نتائج تحليل الانحدار لبيانات المشكلة في الشكل 7.

الشكل 7 نتيجة تطبيق أداة الانحدار

5. تقدير باستخدام متوسط ​​الخطأجودة تقريب المعادلات. دعنا نستخدم نتائج تحليل الانحدار الواردة في الشكل 8.

الشكل 8 نتيجة تطبيق أداة الانحدار "الاستدلال المتبقي"

لنقم بعمل جدول جديد كما هو موضح في الشكل 9. في العمود C ، احسب خطأ نسبيالتقريبات بالصيغة:

الشكل 9 حساب متوسط ​​الخطأ التقريبي

يتم حساب متوسط ​​خطأ التقريب بالصيغة:

يتم تقييم جودة النموذج المركب على أنها جيدة ، حيث لا تتجاوز 8-10٪.

6. من الجدول الذي يحتوي على إحصائيات الانحدار (الشكل 4) ، نكتب القيمة الفعلية لاختبار فيشر F:

بسبب ال عند مستوى دلالة 5٪ ، يمكننا أن نستنتج أن معادلة الانحدار مهمة (تم إثبات العلاقة).

8. تقدير دلالة إحصائيةسيتم تنفيذ معاملات الانحدار باستخدام إحصائيات الطالب t وحساب فاصل الثقة لكل من المؤشرات.

طرحنا فرضية H 0 حول اختلاف غير ذي دلالة إحصائية بين المؤشرات من الصفر:

.

لعدد درجات الحرية

يحتوي الشكل 7 على القيم الفعلية لإحصاء t:

يمكن حساب اختبار t لمعامل الارتباط بطريقتين:

ط الطريق:

أين - خطأ عشوائيمعامل الارتباط.

نأخذ البيانات للحساب من الجدول في الشكل 7.

الطريقة الثانية:

تتفوق قيم إحصاء t الفعلية على قيم الجدول:

لذلك ، تم رفض الفرضية H 0 ، أي أن معاملات الانحدار ومعامل الارتباط لا تختلف بشكل عشوائي عن الصفر ، ولكنها ذات دلالة إحصائية.

يتم تعريف فاصل الثقة للمعامل a على أنه

بالنسبة للمعلمة a ، كانت حدود 95٪ ، كما هو موضح في الشكل 7 ، هي:

يتم تعريف فاصل الثقة لمعامل الانحدار على أنه

بالنسبة لمعامل الانحدار b ، كانت حدود 95٪ كما هو موضح في الشكل 7 هي:

يؤدي تحليل الحدين العلوي والسفلي لفترات الثقة إلى استنتاج أنه مع وجود احتمال لا تقبل المعلمات a و b ، كونها ضمن الحدود المحددة القيم الصفرية، بمعنى آخر. ليست ذات دلالة إحصائية وتختلف بشكل كبير عن الصفر.

7. التقديرات التي تم الحصول عليها لمعادلة الانحدار تسمح لنا باستخدامها للتنبؤ. إذا كانت القيمة المتوقعة للحد الأدنى للمعيشة هي:

ثم ستكون القيمة المتوقعة للحد الأدنى من الكفاف:

نحسب خطأ التنبؤ باستخدام الصيغة:

أين

نحسب أيضًا التباين باستخدام Excel PPP. لهذا:

1) تفعيل معالج الوظائف: في القائمة الرئيسية ، حدد الصيغ / وظيفة الإدراج.

3) املأ النطاق الذي يحتوي على البيانات العددية لخاصية العامل. انقر نعم.

الشكل 10 حساب التباين

احصل على قيمة التباين

للعد التشتت المتبقيبدرجة واحدة من الحرية ، نستخدم نتائج تحليل التباين كما هو موضح في الشكل 7.

يتم تحديد فترات الثقة للتنبؤ بالقيم الفردية لـ y مع احتمال 0.95 من خلال التعبير:

الفاصل الزمني واسع جدًا ، ويرجع ذلك أساسًا إلى الحجم الصغير للملاحظات. بشكل عام ، تبين أن التوقعات التي تم الوفاء بها لمتوسط ​​الراتب الشهري موثوقة.

حالة المشكلة مأخوذة من: ورشة عمل حول الاقتصاد القياسي: Proc. البدل / I.I. إليسيفا ، S.V. كوريشيفا ، ن. جوردينكو وآخرين ؛ إد. أنا. إليسيفا. - م: المالية والإحصاء ، 2003. - 192 ص: م.

باستخدام الطريقة الرسومية.
تستخدم هذه الطريقة لتصور شكل الاتصال بين المؤشرات الاقتصادية المدروسة. لهذا في نظام مستطيلإحداثيات بناء رسم بياني ، رسم على طول المحور ص القيم الفرديةالسمة الناتجة Y ، وعلى طول الإحداثي - القيم الفردية لسمة العامل X.
يتم استدعاء مجموعة النقاط الخاصة بعلامات الفاعلية والعامل مجال الارتباط.
بناءً على مجال الارتباط ، يمكن طرح فرضية (لـ تعداد السكان) أن العلاقة بين جميع القيم الممكنة لـ X و Y خطية.

معادلة الانحدار الخطيلها الصيغة y = bx + a + ε
هنا ε خطأ عشوائي (انحراف ، اضطراب).
أسباب وجود خطأ عشوائي:
1. عدم تضمين المتغيرات التوضيحية الهامة في نموذج الانحدار.
2. تجميع المتغيرات. على سبيل المثال ، دالة الاستهلاك الكلي هي محاولة للتعبير العام عن مجموع قرارات الإنفاق الفردي للأفراد. هذا مجرد تقريب النسب الفردية، والتي لها معايير مختلفة.
3. وصف غير صحيح لهيكل النموذج.
4. مواصفات وظيفية خاطئة.
5. أخطاء القياس.
نظرًا لأن الانحرافات ε i لكل ملاحظة معينة تكون عشوائية وقيمها في العينة غير معروفة ، إذن:
1) وفقًا للملاحظتين x i و y i ، يمكن فقط الحصول على تقديرات للمعلمات α و
2) تقديرات المعلمات α و نموذج الانحدارهي ، على التوالي ، الكميات أ و ب ، وهما شخصية عشوائية، لان تتوافق مع عينة عشوائية ؛
ثم ستبدو معادلة الانحدار المقدرة (المبنية من بيانات العينة) مثل y = bx + a + ε ، حيث e i هي القيم المرصودة (التقديرات) للأخطاء ε i و b على التوالي ، تقديرات يجب إيجاد المعلمتين α و لنموذج الانحدار.
لتقدير المعلمات α و - استخدم LSM (طريقة المربعات الصغرى).
نظام المعادلات العادية.

بالنسبة لبياناتنا ، فإن نظام المعادلات له الشكل:

10 أ + 356 ب = 49
356 أ + 2135 ب = 9485

اكتب a من المعادلة الأولى واستبدلها في المعادلة الثانية
نحصل على ب = 68.16 ، أ = 11.17

معادلة الانحدار:
ص = 68.16 × - 11.17

1. معلمات معادلة الانحدار.
عينة يعني.



تباينات العينة.


متوسط الانحراف المعياري

1.1 معامل الارتباط
نحسب مؤشر قرب الاتصال. هذا المؤشر هو عينة معامل خطيالارتباط الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

يأخذ معامل الارتباط الخطي القيم من -1 إلى +1.
يمكن أن تكون العلاقات بين الميزات ضعيفة أو قوية (قريبة). تم تسجيل معاييرهم على مقياس تشادوك:
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
في مثالنا ، العلاقة بين الميزة Y العامل X عالية جدًا ومباشرة.

1.2 معادلة الانحدار(تقييم معادلة الانحدار).

معادلة الانحدار الخطي هي y = 68.16 x -11.17
يمكن إعطاء معاملات معادلة الانحدار الخطي من الناحية الاقتصادية. معامل معادلة الانحداريظهر عدد الوحدات ستتغير النتيجة عندما يتغير العامل بمقدار وحدة واحدة.
يُظهر المعامل b = 68.16 متوسط ​​التغيير في المؤشر الفعال (بوحدات y) مع زيادة أو نقصان في قيمة العامل x لكل وحدة قياسها. في هذا المثالمع زيادة وحدة واحدة ، يزداد y بمتوسط ​​68.16.
يُظهر المعامل a = -11.17 رسميًا المستوى المتوقع لـ y ، ولكن فقط إذا كانت x = 0 قريبة من قيم العينة.
ولكن إذا كانت x = 0 بعيدة عن قيم عينة x ، فيمكن أن يؤدي التفسير الحرفي إلى نتائج غير صحيحة ، وحتى إذا كان خط الانحدار يصف بدقة قيم العينة التي تمت ملاحظتها ، فلا يوجد ضمان بأن هذا سيكون أيضًا الحالة عند الاستقراء إلى اليسار أو اليمين.
من خلال استبدال القيم المقابلة لـ x في معادلة الانحدار ، من الممكن تحديد القيم المتوافقة (المتوقعة) للمؤشر الفعال y (x) لكل ملاحظة.
تحدد العلاقة بين y و x علامة معامل الانحدار b (إذا> 0 - علاقة مباشرة ، وإلا - معكوس). في مثالنا ، الاتصال مباشر.

1.3 معامل المرونة.
من غير المرغوب فيه استخدام معاملات الانحدار (في المثال ب) للتقييم المباشر لتأثير العوامل على السمة الفعالة في حالة وجود اختلاف في وحدات القياس للمؤشر الفعال y وسمة العامل x.
لهذه الأغراض ، تُحسب معاملات المرونة ومعاملات بيتا. تم العثور على معامل المرونة من خلال الصيغة:


يُظهر عدد النسبة المئوية التي تتغير فيها السمة الفعالة y في المتوسط ​​عندما تتغير سمة العامل x بنسبة 1٪. لا تأخذ في الاعتبار درجة تقلب العوامل.
في مثالنا ، معامل المرونة أكبر من 1. لذلك ، إذا تغيرت X بنسبة 1٪ ، فإن Y ستتغير بأكثر من 1٪. بمعنى آخر ، تؤثر X بشكل كبير على Y.
معامل بيتايوضح من خلال أي جزء من قيمة الانحراف المعياري ستتغير قيمة السمة الفعالة في المتوسط ​​عندما تتغير سمة العامل بقيمة انحرافها المعياري مع قيمة المتغيرات المستقلة المتبقية الثابتة عند مستوى ثابت:

أولئك. ستؤدي الزيادة في x بقيمة الانحراف المعياري لهذا المؤشر إلى زيادة متوسط ​​Y بمقدار 0.9796 الانحراف المعياريهذا المؤشر.

1.4 خطأ في التقريب.
دعونا نقيم جودة معادلة الانحدار باستخدام خطأ التقريب المطلق.


بما أن الخطأ أكبر من 15٪ ، إذن معادلة معينةغير مرغوب فيه لاستخدامه كتراجع.

1.6 معامل التحديد.
يسمى مربع معامل الارتباط (المتعدد) بمعامل التحديد ، والذي يوضح نسبة التباين في السمة الناتجة التي يتم شرحها من خلال تباين سمة العامل.
في أغلب الأحيان ، عند إعطاء تفسير لمعامل التحديد ، يتم التعبير عنه كنسبة مئوية.
R2 = 0.982 = 0.9596
أولئك. في 95.96٪ من الحالات ، تؤدي التغييرات في x إلى تغيير في y. بمعنى آخر ، دقة اختيار معادلة الانحدار عالية. يرجع التغيير المتبقي 4.04٪ في Y إلى عوامل لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج.

x	ذ	x2	y2	س ص	ص (س)	(y i -y cp) 2	(ص ص (س)) 2	(x i -x cp) 2	| ص - ص س |: ص
0.371	15.6	0.1376	243.36	5.79	14.11	780.89	2.21	0.1864	0.0953
0.399	19.9	0.1592	396.01	7.94	16.02	559.06	15.04	0.163	0.1949
0.502	22.7	0.252	515.29	11.4	23.04	434.49	0.1176	0.0905	0.0151
0.572	34.2	0.3272	1169.64	19.56	27.81	87.32	40.78	0.0533	0.1867
0.607	44.5	.3684	1980.25	27.01	30.2	0.9131	204.49	0.0383	0.3214
0.655	26.8	0.429	718.24	17.55	33.47	280.38	44.51	0.0218	0.2489
0.763	35.7	0.5822	1274.49	27.24	40.83	61.54	26.35	0.0016	0.1438
0.873	30.6	0.7621	936.36	26.71	48.33	167.56	314.39	0.0049	0.5794
2.48	161.9	6.17	26211.61	402	158.07	14008.04	14.66	2.82	0.0236
7.23	391.9	9.18	33445.25	545.2	391.9	16380.18	662.54	3.38	1.81

2. تقدير معاملات معادلة الانحدار.
2.1. معامل الارتباط دلالة.

وفقًا لجدول الطالب بمستوى الأهمية α = 0.05 ودرجات الحرية k = 7 ، نجد t crit:
ر كريت = (7 ؛ 0.05) = 1.895
حيث م = 1 هو عدد المتغيرات التفسيرية.
إذا كانت هناك حرجة ، فسيتم التعرف على القيمة التي تم الحصول عليها لمعامل الارتباط على أنها كبيرة ( فرضية العدمتفيد بأن معامل الارتباط هو صفر مرفوض).
نظرًا لأن t obl> t crit ، فإننا نرفض الفرضية القائلة بأن معامل الارتباط يساوي 0. وبعبارة أخرى ، فإن معامل الارتباط ذو دلالة إحصائية
في الانحدار الخطي المزدوج ، t 2 r = t 2 b ثم اختبار الفرضيات حول أهمية معاملات الانحدار والارتباط يكافئ اختبار الفرضية حول الأهمية معادلة خط مستقيمتراجع.

2.3 تحليل دقة تحديد تقديرات معاملات الانحدار.
التقدير غير المتحيز لتباين الاضطرابات هو القيمة:


S 2 y = 94.6484 - تباين غير مفسر (مقياس تشتت المتغير التابع حول خط الانحدار).
S ص = 9.7287 - خطأ تقليديتقديرات (خطأ معياري الانحدار).
سا- الانحراف المعياري متغير عشوائيأ.


S b - الانحراف المعياري للمتغير العشوائي ب.

2.4 فترات الثقة للمتغير التابع.
يفترض التنبؤ الاقتصادي المستند إلى النموذج المُنشأ أنه يتم الاحتفاظ بعلاقات المتغيرات الموجودة مسبقًا لفترة الرصاص أيضًا.
للتنبؤ بالمتغير التابع للخاصية الناتجة ، من الضروري معرفة القيم التنبؤية لجميع العوامل المدرجة في النموذج.
يتم استبدال القيم التنبؤية للعوامل في النموذج ويتم الحصول على التقديرات التنبؤية النقطية للمؤشر قيد الدراسة. (أ + ب س ص ± ε)
أين

دعنا نحسب حدود الفترة الزمنية التي سيتم فيها تركيز 95٪ من القيم المحتملة لـ Y بعدد غير محدود من الملاحظات و X p = 1 (-11.17 + 68.16 * 1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)

الفرد فترات الثقةإلى عن علىصبقيمة معينةX.
(أ + بكس أنا ± ε)
أين

س ط	ص = -11.17 + 68.16 س ط	ε ط	يمين	ymax
0.371	14.11	19.91	-5.8	34.02
0.399	16.02	19.85	-3.83	35.87
0.502	23.04	19.67	3.38	42.71
0.572	27.81	19.57	8.24	47.38
0.607	30.2	19.53	10.67	49.73
0.655	33.47	19.49	13.98	52.96
0.763	40.83	19.44	21.4	60.27
0.873	48.33	19.45	28.88	67.78
2.48	158.07	25.72	132.36	183.79

مع احتمال 95٪ ، يمكن ضمان أن قيمة Y مع عدد غير محدود من الملاحظات لن تتجاوز حدود الفترات التي تم العثور عليها.

2.5 اختبار الفرضيات المتعلقة بمعاملات معادلة الانحدار الخطي.
1) ت-إحصاءات. معيار الطالب.
دعونا نختبر الفرضية H 0 حول مساواة معاملات الانحدار الفردية إلى الصفر (مع أن البديل H 1 ليس متساويًا) عند مستوى الأهمية α = 0.05.
ر كريت = (7 ؛ 0.05) = 1.895


منذ 12.8866> 1.895 ، تم تأكيد الدلالة الإحصائية لمعامل الانحدار ب (نرفض الفرضية القائلة بأن هذا المعامل يساوي صفرًا).


منذ 2.0914> 1.895 ، تم تأكيد الدلالة الإحصائية لمعامل الانحدار أ (نرفض الفرضية القائلة بأن هذا المعامل يساوي صفرًا).

فاصل الثقة لمعاملات معادلة الانحدار.
دعونا نحدد فترات الثقة لمعاملات الانحدار ، والتي ، مع موثوقية 95 ٪ ، ستكون على النحو التالي:
(b - t crit S b ؛ b + t crit S b)
(68.1618 - 1.895 5.2894; 68.1618 + 1.895 5.2894)
(58.1385;78.1852)
مع احتمال 95٪ ، يمكن القول بأن قيمة هذه المعلمة سوف تكمن في الفترة التي تم العثور عليها.
(أ - ر أ)
(-11.1744 - 1.895 5.3429; -11.1744 + 1.895 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
مع احتمال 95٪ ، يمكن القول بأن قيمة هذه المعلمة سوف تكمن في الفترة التي تم العثور عليها.

2) F- إحصاءات. معيار فيشر.
يتم التحقق من أهمية نموذج الانحدار باستخدام اختبار فيشر F ، والذي تم العثور على قيمته المحسوبة كنسبة تباين سلسلة الملاحظات الأولية للمؤشر المدروس والتقدير غير المتحيز لتباين التسلسل المتبقي لـ هذا النموذج.
إذا كانت القيمة المحسوبة باستخدام lang = EN-US> n-m-1) درجات الحرية أكبر من القيمة المجدولة عند مستوى أهمية معين ، فإن النموذج يعتبر مهمًا.

أين م هو عدد العوامل في النموذج.
يتم تقييم الأهمية الإحصائية للانحدار الخطي المقترن وفقًا للخوارزمية التالية:
1. تم طرح فرضية صفرية مفادها أن المعادلة ككل غير ذات دلالة إحصائية: H 0: R 2 = 0 عند مستوى الأهمية α.
2. بعد ذلك ، حدد القيمة الفعلية لمعيار F:


حيث م = 1 للانحدار الزوجي.
3. قيمة الجدوليتم تحديده من جداول توزيع Fisher لمستوى أهمية معين ، مع الأخذ في الاعتبار أن عدد درجات الحرية لـ المبلغ الإجماليالمربعات (تباين أعلى) هي 1 وعدد درجات الحرية اضطرابات الصدمةالمربعات (التباين الأصغر) في الانحدار الخطي هي n-2.
4. إذا كانت القيمة الفعلية لمعيار F أقل من قيمة الجدول ، فيقولون أنه لا يوجد سبب لرفض فرضية العدم.
خلاف ذلك ، يتم رفض فرضية العدم ويتم قبول الفرضية البديلة حول الأهمية الإحصائية للمعادلة ككل مع الاحتمال (1-α).
قيمة جدول المعيار بدرجات الحرية k1 = 1 و k2 = 7 ، Fkp = 5.59
نظرًا لأن القيمة الفعلية لـ F> Fkp ، فإن معامل التحديد ذو دلالة إحصائية (التقدير الموجود لمعادلة الانحدار موثوق به إحصائيًا).

تحقق من وجود ارتباط تلقائي للمخلفات.
من المتطلبات الأساسية لإنشاء نموذج انحدار عالي الجودة للمربعات الصغرى استقلال القيم انحرافات عشوائيةمن قيم الانحراف في جميع الملاحظات الأخرى. هذا يضمن عدم وجود علاقة بين أي انحرافات ، وعلى وجه الخصوص ، بين الانحرافات المتجاورة.
الارتباط التلقائي (ارتباط تسلسلي)يُعرَّف بأنه الارتباط بين المقاييس المرصودة المطلوبة في الوقت (السلاسل الزمنية) أو المكان (السلاسل المتقاطعة). يتم مصادفة الارتباط التلقائي للمخلفات (القيم المتطرفة) بشكل شائع في تحليل الانحدار عند استخدام بيانات السلاسل الزمنية ونادرًا جدًا عند استخدام بيانات المقطع العرضي.
في المهام الاقتصادية ، هو أكثر شيوعًا الارتباط الذاتي الإيجابي من ارتباط تلقائي سلبي. في معظم الحالات ، يحدث الارتباط الذاتي الإيجابي بسبب تأثير اتجاهي ثابت لبعض العوامل التي لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج.
الارتباط السلبييعني في الواقع أن الانحراف الموجب يتبعه الانحراف السالب والعكس صحيح. يمكن أن يحدث مثل هذا الموقف إذا تم النظر في نفس العلاقة بين الطلب على المشروبات الغازية والدخل وفقًا للبيانات الموسمية (الشتاء - الصيف).
ضمن الأسباب الرئيسية التي تسبب الارتباط الذاتييمكن تمييز ما يلي:
1. أخطاء المواصفات. عادةً ما يؤدي عدم مراعاة أي متغير توضيحي مهم في النموذج أو الاختيار الخاطئ لشكل الاعتماد إلى انحرافات نظامية لنقاط المراقبة عن خط الانحدار ، مما قد يؤدي إلى الارتباط التلقائي.
2. القصور الذاتي. عديدة المؤشرات الاقتصادية(التضخم ، والبطالة ، والناتج القومي الإجمالي ، وما إلى ذلك) لها دورية معينة مرتبطة بالموجات النشاط التجاري. لذلك ، لا يحدث التغيير في المؤشرات على الفور ، ولكن لديه بعض القصور الذاتي.
3. تأثير الويب. في العديد من المجالات الصناعية وغيرها ، تستجيب المؤشرات الاقتصادية للتغيرات ظروف اقتصاديةمع تأخير (الفاصل الزمني).
4. تجانس البيانات. في كثير من الأحيان ، يتم الحصول على البيانات لفترة زمنية طويلة معينة عن طريق حساب متوسط ​​البيانات على فترات المكونة لها. يمكن أن يؤدي هذا إلى تسوية معينة للتقلبات التي كانت موجودة خلال الفترة قيد الدراسة ، والتي بدورها يمكن أن تسبب الارتباط التلقائي.
تتشابه عواقب الارتباط الذاتي مع عواقب عدم التجانس: قد تكون الاستنتاجات المتعلقة بإحصاءات t و F التي تحدد أهمية معامل الانحدار ومعامل التحديد غير صحيحة.

كشف الارتباط التلقائي

1. طريقة الرسم
هناك عدد من الخيارات تعريف الرسمالارتباط التلقائي. يتعلق أحدهم بالانحرافات e i بلحظات استلامها i. في الوقت نفسه ، يُظهر الإحداثي السيني إما وقت الحصول على البيانات الإحصائية ، أو رقم سريالملاحظات ، وعلى طول المحور ص - الانحرافات e i (أو تقديرات الانحرافات).
من الطبيعي أن نفترض أنه إذا كانت هناك علاقة معينة بين الانحرافات ، فإن الارتباط التلقائي يحدث. من المرجح أن يشير غياب الاعتماد إلى عدم وجود ارتباط ذاتي.
يصبح الارتباط التلقائي أكثر وضوحًا إذا قمت برسم e i مقابل e i-1.

اختبار Durbin-Watson.
هذا المعيار هو الأكثر شهرة للكشف عن الارتباط التلقائي.
في تحليل احصائيتشغيل معادلات الانحدار المرحلة الأوليةغالبًا ما يتحققون من جدوى فرضية واحدة: شروط الاستقلال الإحصائي للانحرافات عن بعضها البعض. في هذه الحالة ، يتم التحقق من عدم ارتباط القيم المجاورة e i.

ذ	ص (س)	ه ط = ص ص (س)	هـ 2	(e i - e i-1) 2
15.6	14.11	1.49	2.21	0
19.9	16.02	3.88	15.04	5.72
22.7	23.04	-0.3429	0.1176	17.81
34.2	27.81	6.39	40.78	45.28
44.5	30.2	14.3	204.49	62.64
26.8	33.47	-6.67	44.51	439.82
35.7	40.83	-5.13	26.35	2.37
30.6	48.33	-17.73	314.39	158.7
161.9	158.07	3.83	14.66	464.81
			662.54	1197.14

لتحليل ارتباط الانحرافات ، يتم استخدام إحصائيات Durbin-Watson:

يتم تحديد القيم الحرجة d 1 و d 2 على أساس جداول خاصة لمستوى الأهمية المطلوب α ، وعدد الملاحظات n = 9 وعدد المتغيرات التوضيحية m = 1.
لا يوجد ارتباط تلقائي إذا تحقق الشرط التالي:
د 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
بدون الرجوع إلى الجداول ، يمكننا استخدام القاعدة التقريبية ونفترض أنه لا يوجد ارتباط تلقائي للمخلفات إذا كان 1.5< DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

يعد تحليل الانحدار من أكثر الطرق شيوعًا دراسة إحصائية. يمكن استخدامه لتحديد درجة التأثير المتغيرات المستقلةإلى المتغير التابع. في الوظيفة مايكروسوفت اكسلهناك أدوات متاحة لهذا النوع من التحليل. دعونا نلقي نظرة على ماهيتها وكيفية استخدامها.

ولكن ، من أجل استخدام الوظيفة التي تسمح لك بإجراء تحليل الانحدار ، عليك أولاً تنشيط حزمة التحليل. عندها فقط ستظهر الأدوات اللازمة لهذا الإجراء على شريط Excel.

الآن عندما نذهب إلى علامة التبويب "بيانات"، على الشريط في صندوق الأدوات "التحليلات"سنرى زر جديد - "تحليل البيانات".

أنواع تحليل الانحدار

هناك عدة أنواع من الانحدار:

• قطع مكافئ.
• قوة؛
• لوغاريتمي.
• متسارع؛
• برهنة؛
• القطعي؛
• الانحدارالخطي.

حول الوفاء النوع الأخيرتحليل الانحدار في Excel ، سنتحدث بمزيد من التفصيل لاحقًا.

الانحدار الخطي في Excel

يوجد أدناه ، كمثال ، جدول يوضح متوسط ​​درجة حرارة الهواء اليومية في الشارع ، وعدد عملاء المتجر ليوم العمل المقابل. دعنا نكتشف بمساعدة تحليل الانحدار بالضبط كيف طقسيمكن أن تؤثر درجة حرارة الهواء على حضور مؤسسة تجارية.

تبدو معادلة الانحدار الخطي العامة كما يلي: Y = a0 + a1x1 + ... + axk. في هذه الصيغة صيعني المتغير الذي نحاول دراسة تأثيره. في حالتنا ، هذا هو عدد المشترين. المعنى x- هذا هو عوامل مختلفةالتي تؤثر على المتغير. خيارات أهي معاملات الانحدار. أي أنها تحدد أهمية عامل معين. فِهرِس كتمثل المجموعهذه نفس العوامل.

تحليل نتائج التحليل

يتم عرض نتائج تحليل الانحدار في شكل جدول في المكان المحدد في الإعدادات.

أحد المؤشرات الرئيسية هو R- سكوير. يشير إلى جودة النموذج. في حالتنا هذه معامل معينهو 0.705 أو حوالي 70.5٪. هذا مستوى مقبول من الجودة. العلاقة الأقل من 0.5 سيئة.

اخر مؤشر مهمالموجود في الخلية عند تقاطع الصف "تقاطع ص"والعمود "معاملات". يُشار هنا إلى القيمة التي ستحصل عليها Y ، وفي حالتنا ، هذا هو عدد المشترين ، مع جميع العوامل الأخرى التي تساوي الصفر. في هذا الجدول قيمة معينةيساوي 58.04.

القيمة عند تقاطع الرسم البياني "متغير X1"و "معاملات"يوضح مستوى اعتماد Y على X. في حالتنا ، هذا هو مستوى اعتماد عدد عملاء المتجر على درجة الحرارة. يعتبر المعامل 1.31 مؤشرا عاليا إلى حد ما للتأثير.

كما نرى ، مع برامج مايكروسوفتمن السهل جدًا إنشاء جدول تحليل الانحدار في Excel. ولكن ، يمكن فقط لشخص مدرب العمل مع البيانات التي تم الحصول عليها في المخرجات ، وفهم جوهرها.

مفهوم الانحدار. العلاقة بين المتغيرات xو ذيمكن وصفها بطرق مختلفة. على وجه الخصوص ، يمكن التعبير عن أي شكل من أشكال الاتصال بمعادلة عامة ، حيث ذتعامل كمتغير تابع ، أو المهاممن آخر - متغير مستقل x يسمى جدال. يمكن إعطاء التطابق بين وسيطة ودالة من خلال جدول ، وصيغة ، ورسم بياني ، وما إلى ذلك. يسمى تغيير دالة بناءً على تغيير في وسيطة واحدة أو أكثر تراجع. المحتوى هو كل الوسائل المستخدمة لوصف الارتباطات تحليل الانحدار.

معادلات الارتباط ، أو معادلات الانحدار ، وسلسلة الانحدار التجريبية والمحسوبة نظريًا ، والرسوم البيانية الخاصة بها ، والتي تسمى خطوط الانحدار ، وكذلك معاملات الانحدار الخطي وغير الخطي ، تعمل على التعبير عن الانحدار.

تعبر مؤشرات الانحدار عن الارتباط ثنائي الاتجاه ، مع مراعاة التغيير في متوسط ​​قيم السمة صعند تغيير القيم x أناإشارة X، والعكس بالعكس ، إظهار التغيير في متوسط ​​القيم للميزة Xبالقيم المتغيرة ذ أناإشارة ص. الاستثناء هو السلاسل الزمنية ، أو سلسلة الديناميكيات ، التي تظهر التغيير في العلامات بمرور الوقت. انحدار هذه السلسلة من جانب واحد.

هناك العديد من الأشكال والأنواع المختلفة للارتباطات. يتم تقليل المهمة إلى تحديد شكل الاتصال في كل حالة محددة والتعبير عنها من خلال معادلة الارتباط المقابلة ، والتي تسمح لنا بالتنبؤ بالتغييرات المحتملة في علامة واحدة صبناءً على التغييرات المعروفة X، المرتبطة بالارتباط الأول.

12.1 الانحدار الخطي

معادلة الانحدار.نتائج الملاحظات التي أجريت على كائن بيولوجي معين وفقًا لخصائص مرتبطة xو ذ، يمكن تمثيلها بنقاط على مستوى من خلال بناء نظام الإحداثيات المستطيلة. نتيجة لذلك ، يتم الحصول على مخطط مبعثر معين ، مما يجعل من الممكن الحكم على شكل وضيق العلاقة بين الميزات المختلفة. غالبًا ما تبدو هذه العلاقة كخط مستقيم أو يمكن تقريبها بخط مستقيم.

العلاقة الخطية بين المتغيرات xو ذيوصف بمعادلة عامة ، حيث ا ب ت ث،... هي معلمات المعادلة التي تحدد العلاقة بين الوسيطات x 1 ، س 2 ، س 3 ، ... ، x موالوظائف.

في الممارسة العملية ، لا يتم أخذ جميع الحجج الممكنة في الاعتبار ، ولكن فقط بعض الحجج ، في أبسط الحالات ، واحدة فقط:

في معادلة الانحدار الخطي (1) أهو مصطلح مجاني ، والمعلمة بيحدد ميل خط الانحدار فيما يتعلق بمحاور الإحداثيات المستطيلة. في الهندسة التحليلية ، تسمى هذه المعلمة عامل الانحدار، وفي القياسات الحيوية - معامل الانحدار. تمثيل مرئي لهذه المعلمة وموضع خطوط الانحدار صعلى Xو Xعلى صفي نظام الإحداثيات المستطيلة يعطي الشكل 1.

أرز. 1 Y بواسطة X و X بواسطة خطوط الانحدار Y في النظام

الإحداثيات المستطيلة

تتقاطع خطوط الانحدار ، كما هو موضح في الشكل 1 ، عند النقطة O (،) ، المقابلة لقيم المتوسط ​​الحسابي للعلامات المرتبطة ببعضها البعض صو X. عند رسم الرسوم البيانية للانحدار ، يتم رسم قيم المتغير المستقل X على طول الإحداثي ، ويتم رسم قيم المتغير التابع ، أو الوظيفة Y ، على طول الإحداثي. ويمر الخط AB عبر النقطة O (، ) يتوافق مع العلاقة (الوظيفية) الكاملة بين المتغيرات صو Xعندما يكون معامل الارتباط. أقوى العلاقة بين صو X، كلما اقتربت خطوط الانحدار من AB والعكس بالعكس اتصال أضعفبين هذه القيم ، كلما كانت خطوط الانحدار من AB أبعد. في حالة عدم وجود اتصال بين الميزات ، تكون خطوط الانحدار في زوايا قائمة مع بعضها البعض و.

نظرًا لأن مؤشرات الانحدار تعبر عن الارتباط ثنائي الاتجاه ، فيجب كتابة معادلة الانحدار (1) على النحو التالي:

وفقًا للصيغة الأولى ، يتم تحديد متوسط ​​القيم عندما تتغير العلامة Xلكل وحدة قياس ، في الثانية - القيم المتوسطة عند تغيير الميزة لكل وحدة قياس ص.

معامل الانحدار.يوضح معامل الانحدار كيف ، في المتوسط ​​، قيمة معلم واحد ذيتغير عندما ترتبط وحدة قياس أخرى بـ صإشارة X. يتم تحديد هذا المؤشر من خلال الصيغة

هنا القيم ساضرب في حجم فترات الفصل الدراسي λ إذا تم العثور عليها من خلال سلسلة التباينات أو جداول الارتباط.

يمكن حساب معامل الانحدار بتجاوز حساب المتوسطات انحرافات معيارية س ذو س xحسب الصيغة

إذا كان معامل الارتباط غير معروف ، يتم تحديد معامل الانحدار على النحو التالي:

العلاقة بين معاملات الانحدار والارتباط.بمقارنة الصيغ (11.1) (الموضوع 11) و (12.5) ، نرى أن البسط يحتوي على نفس القيمة ، مما يشير إلى وجود علاقة بين هذه المؤشرات. يتم التعبير عن هذه العلاقة من خلال المساواة

وبالتالي ، فإن معامل الارتباط يساوي المتوسط ​​الهندسي للمعاملات ب yxو ب س ص. تسمح الصيغة (6) ، أولاً ، من القيم المعروفة لمعاملات الانحدار ب yxو ب س صتحديد معامل الانحدار ص س صوثانياً للتحقق من صحة حساب مؤشر الارتباط هذا ص س صبين سمات متفاوتة Xو ص.

مثل معامل الارتباط ، فإن معامل الانحدار يميز فقط العلاقة الخطية ويرافقه علامة زائد للعلاقة الإيجابية وعلامة ناقص للعلاقة السلبية.

تحديد معاملات الانحدار الخطي.من المعروف أن مجموع الانحرافات التربيعية للمتغير x أنامن المتوسط ​​توجد أصغر قيمة ، أي أن هذه النظرية تشكل أساس طريقة المربعات الصغرى. فيما يتعلق بالانحدار الخطي [انظر الصيغة (1)] ، يتم استيفاء متطلبات هذه النظرية من خلال نظام معين من المعادلات يسمى عادي:

حل مشترك لهذه المعادلات فيما يتعلق بالمعلمات أو بيؤدي إلى النتائج التالية:

;

;

ومن أين أنا.

بالنظر إلى الطبيعة ذات الاتجاهين للعلاقة بين المتغيرات صو X، صيغة تحديد المعلمة أيجب التعبير عنها على النحو التالي:

و . (7)

معامل ب، أو معامل الانحدار ، بواسطة الصيغ التالية:

بناء سلسلة الانحدار التجريبي.في حضور عدد كبيريبدأ تحليل انحدار الملاحظات ببناء سلسلة الانحدار التجريبي. سلسلة الانحدار التجريبييتم تشكيلها عن طريق حساب قيم سمة متغيرة واحدة Xمتوسط ​​قيم الآخر ، المرتبطة Xإشارة ص. بعبارة أخرى ، فإن بناء سلسلة الانحدار التجريبي يأتي لإيجاد المجموعة تعني u من القيم المقابلة للعلامات Y و X.

سلسلة الانحدار التجريبي هي سلسلة مزدوجة من الأرقام التي يمكن تمثيلها بنقاط على مستوى ، وبعد ذلك ، من خلال ربط هذه النقاط بمقاطع مستقيمة ، يمكن الحصول على خط انحدار تجريبي. تسمى سلسلة الانحدار التجريبي ، وخاصة مؤامراتهم خطوط الانحدار، يعطى التمثيل المرئيحول شكل وضيق ارتباط الارتباط بين الميزات المختلفة.

معادلة سلسلة الانحدار التجريبي.تظهر الرسوم البيانية لسلسلة الانحدار التجريبي ، كقاعدة عامة ، أنها لا تعمل بسلاسة ، ولكن خطوط متقطعة. ويفسر ذلك حقيقة أنه ، إلى جانب الأسباب الرئيسية التي تحدد النمط العام في تنوع السمات المرتبطة ، تتأثر قيمتها بتأثير العديد من الأسباب الثانوية التي تسبب تقلبات عشوائية في النقاط العقدية للانحدار. لتحديد الاتجاه الرئيسي (الاتجاه) للتباين المقترن للسمات المترابطة ، تحتاج إلى استبدال الخطوط المكسورة بخطوط انحدار سلسة تعمل بسلاسة. تسمى عملية استبدال الخطوط المكسورة بخطوط ناعمة محاذاة السلاسل التجريبيةو خطوط الانحدار.

طريقة المحاذاة الرسومية.هذه هي أبسط طريقة لا تتطلب عملاً حسابيًا. جوهرها على النحو التالي. يتم رسم سلسلة الانحدار التجريبي كرسم بياني في نظام إحداثيات مستطيل. بعد ذلك ، يتم تحديد نقاط منتصف الانحدار بصريًا ، حيث يتم رسم خط متصل باستخدام مسطرة أو نمط. عيب هذه الطريقة واضح: فهي لا تستبعد تأثير الخصائص الفردية للباحث على نتائج محاذاة خطوط الانحدار التجريبية. لذلك ، في الحالات التي يكون فيها أكثر دقة عاليةعند استبدال خطوط الانحدار المكسورة بخطوط تعمل بسلاسة ، يتم استخدام طرق أخرى لمحاذاة السلسلة التجريبية.

طريقة المتوسط ​​المتحرك.يتم تقليل جوهر هذه الطريقة إلى الحساب المتسلسل للمتوسط ​​الحسابي لعضوين أو ثلاثة أعضاء متجاورين في السلسلة التجريبية. هذه الطريقة مناسبة بشكل خاص في الحالات التي يتم فيها تمثيل السلسلة التجريبية بعدد كبير من المصطلحات ، بحيث لا يؤثر فقدان اثنين منها - المتطرفين ، وهو أمر لا مفر منه مع طريقة المعادلة هذه ، بشكل ملحوظ على هيكلها.

طريقة المربعات الصغرى.تم اقتراح هذه الطريقة في بداية القرن التاسع عشر بواسطة A.M. ليجيندر ، وبصرف النظر عنه ، ك.جاوس. يسمح لك بمحاذاة السلسلة التجريبية بدقة أكبر. تعتمد هذه الطريقة ، كما هو موضح أعلاه ، على افتراض أن مجموع الانحرافات التربيعية للمتغير x أنا من متوسطها ، يوجد حد أدنى للقيمة ، أي من هنا اسم الطريقة ، والتي لا تستخدم فقط في البيئة ، ولكن أيضًا في التكنولوجيا. طريقة المربعات الصغرى موضوعية وعالمية ، يتم استخدامها في مجموعة متنوعة من الحالات عند إيجاد المعادلات التجريبية لسلسلة الانحدار وتحديد معاملاتها.

شرط طريقة المربعات الصغرى هو أن نقاط نظريةيجب الحصول على خطوط الانحدار بطريقة تجعل مجموع الانحرافات التربيعية عن هذه النقاط من أجل الملاحظات التجريبية ذ أناكان ضئيلاً ، أي

بحساب الحد الأدنى من هذا التعبير وفقًا لمبادئ التحليل الرياضي وتحويله بطريقة معينة ، يمكن للمرء الحصول على نظام يسمى المعادلات العادية، حيث تكون القيم غير المعروفة هي المعلمات المرغوبة لمعادلة الانحدار ، ويتم تحديد المعاملات المعروفة من خلال القيم التجريبية للسمات ، وعادةً ما تكون مجموع قيمها ونواتجها المتقاطعة.

الانحدار الخطي المتعدد.عادة ما يتم التعبير عن العلاقة بين العديد من المتغيرات بواسطة معادلة انحدار متعددة ، والتي يمكن أن تكون كذلك خطيو غير خطي. في أبسط صوره ، يتم التعبير عن الانحدار المتعدد بمعادلة ذات متغيرين مستقلين ( x, ض):

أين أهو المصطلح المجاني للمعادلة ؛ بو جهي معلمات المعادلة. لإيجاد معاملات المعادلة (10) (بطريقة المربعات الصغرى) ، يتم استخدام نظام المعادلات العادية التالي:

صفوف من الديناميكيات. محاذاة الصف.يشكل التغيير في العلامات بمرور الوقت ما يسمى ب السلاسل الزمنيةأو صفوف من الديناميات. السمة المميزة لهذه السلسلة هي أن عامل الوقت يعمل دائمًا هنا كمتغير مستقل X ، وعلامة التغيير هي المتغير التابع Y. اعتمادًا على سلسلة الانحدار ، تكون العلاقة بين المتغيرين X و Y من جانب واحد ، نظرًا لأن عامل الوقت لا يعتمد على تنوع الميزات. على الرغم من هذه الميزات ، يمكن تشبيه السلاسل الزمنية بسلسلة الانحدار ومعالجتها بنفس الطرق.

مثل سلسلة الانحدار ، تتأثر السلاسل الزمنية التجريبية ليس فقط بالعوامل الرئيسية ، ولكن أيضًا بالعديد من العوامل الثانوية (العشوائية) التي تحجب الاتجاه الرئيسي في تنوع السمات ، والتي تسمى في لغة الإحصاء اتجاه.

يبدأ تحليل السلاسل الزمنية بتحديد شكل الاتجاه. للقيام بذلك ، يتم تمثيل السلسلة الزمنية كـ خط الرسم البيانيفي نظام الإحداثيات المستطيلة. في الوقت نفسه ، يتم رسم النقاط الزمنية (السنوات والشهور والوحدات الزمنية الأخرى) على طول محور الإحداثي ، ويتم رسم قيم المتغير التابع Y على طول المحور الإحداثي.هي معادلة الانحدار في شكل انحرافات شروط سلسلة المتغير التابع Y عن المتوسط ​​الحسابي لسلسلة المتغير المستقل X:

هنا ، هو معامل الانحدار الخطي.

الخصائص العددية لسلسلة الديناميات.تشمل الخصائص العددية الرئيسية المعممة لسلسلة الديناميكيات الوسط الهندسيووسط حسابي قريب منه. يميزون متوسط ​​المعدل الذي تتغير فيه قيمة المتغير التابع خلال فترات زمنية معينة:

تقدير تباين شروط سلسلة الديناميكيات هو الانحراف المعياري. عند اختيار معادلات الانحدار لوصف السلاسل الزمنية ، يتم أخذ شكل الاتجاه في الاعتبار ، والذي يمكن أن يكون خطيًا (أو مختزلًا إلى خطي) وغير خطي. عادة ما يتم الحكم على صحة اختيار معادلة الانحدار من خلال تشابه القيم الملاحظة والمحسوبة تجريبياً للمتغير التابع. الأكثر دقة في حل هذه المشكلة هي طريقة تحليل التباين بانحدار (الموضوع 12 ص 4).

ارتباط سلسلة الديناميات.غالبًا ما يكون من الضروري مقارنة ديناميكيات السلاسل الزمنية المتوازية التي ترتبط ببعضها البعض ببعض الشروط العامة ، على سبيل المثال ، لمعرفة العلاقة بين الإنتاج الزراعي ونمو الثروة الحيوانية خلال فترة زمنية معينة. في مثل هذه الحالات ، تتميز العلاقة بين المتغيرين X و Y بـ معامل الارتباط R xy (في وجود اتجاه خطي).

من المعروف أن اتجاه سلسلة الديناميكيات ، كقاعدة عامة ، تحجبه التقلبات في شروط سلسلة المتغير التابع Y. ومن ثم ، تنشأ مشكلة ذات شقين: قياس التبعية بين السلاسل المقارنة ، دون استبعاد الاتجاه ، وقياس الاعتماد بين الأعضاء المتجاورين من نفس السلسلة ، باستثناء الاتجاه. في الحالة الأولى ، يكون مؤشر تقارب العلاقة بين سلسلة الديناميكيات المقارنة معامل الارتباط(إذا كانت العلاقة خطية) ، في الثانية - معامل الارتباط الذاتي. هذه المؤشرات لها قيم مختلفة ، على الرغم من حسابها باستخدام نفس الصيغ (انظر الموضوع 11).

من السهل ملاحظة أن قيمة معامل الارتباط التلقائي تتأثر بتغير أعضاء سلسلة المتغير التابع: فكلما قل انحراف أعضاء السلسلة عن الاتجاه ، زاد معامل الارتباط التلقائي ، والعكس صحيح.

العمل المخبري №5. تحليل الانحدار.

تم عمل المختبر في Excel 2007.

الغرض من العمل هو بناء حقل ارتباط ، والعثور على معاملات الانحدار الخطي وبناء خط انحدار الجذر التربيعي باستخدام Excel.

يتم تعيين جدول للقيم المتغيرة المضبوطة X ومتغير عشوائي ص . بناء مجال الارتباط. أوجد معاملات الانحدار الخطي جذر متوسط ​​التربيع. بناء خط انحدار خطي.

1. قم بعمل جدول للقيم المتغيرة المضبوطة X ومتغير عشوائي ص ، كما يظهر في الشكل. 1 وفي التقرير المرفق.

أرز. 1. جدول البيانات الأولية ومعلمات معادلة الانحدار.

الدليل المنهجي مرفق بتقرير عن العمل المخبريفي التفوق /

2. باستخدام البيانات الأصلية ، قم ببناء حقل ارتباط (وهذا ما يسمى).

أرز. 2. رسم بياني لمجال الارتباط.

3. معادلة الانحدار الخطي لها الشكل:

- معادلة الانحدار الخطي ؛

معادلة الانحدار الخطي ، مختزلة إلى شكل معادلة بميل ؛

معامل الانحدار العينة

- ثابت انحدار العينة ؛

X ;

الانحراف المعياري ص .

معامل الارتباط؛

لحظة الارتباط

;

X ;

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ص .

4. قم بعمل جدول بمعلمات معادلة الانحدار ،،، (كما هو موضح في الشكل 1):

لحساب التوقع الرياضي واستخدام الوظيفة معدلمن الفئة الإحصاء(ولا تسأل كيف تفعل ذلك) ؛

لحساب الانحراف المعياري واستخدام الدالة STDEVمن الفئة الإحصاء(كيف تفعل هذا ، يمكنك أن تسأل المعلم إذا كنت لا تخاف) ؛

لحساب معامل الارتباط ، استخدم الدالة CORREL من الفئة الإحصاء.

4. في الخلية C2 ، أدخل الصيغة ، باستخدام نتائج حساب المعلمات ، ، و ، كما هو موضح في سطر إدخال الصيغة في الشكل. واحد.

قم بتكرار هذه الصيغة في عمود من الخلايا المسمى C2: C6.

5. في مخطط حقل الارتباط ، أضف خط انحدار.

لدى Excel طريقة أخرى للعثور على علاقة خطية ناعمة وبناء خط انحدار.

6. انسخ البيانات الأصلية في خلية أ20 . ابحث عن معلمات معادلة الانحدار الخطي على النحو التالي:

تم إيجاد معامل انحدار العينة باستخدام الدالة يميلمن الفئة الإحصاء;

تم العثور على ثابت انحدار العينة باستخدام الدالة القطعة المستقيمةمن الفئة الإحصاء;

تظهر نتائج الحساب في الشكل التالي:

أرز. 3. جدول حساب المعلمات والبيانات ذ* لبناء خط الانحدار

7. ارسم مخططًا مشتركًا لحقل الارتباط وخط الانحدار.

وظيفة Excel أخرى لإيجاد انحدار خطي ورسم خط اتجاه.

8. حدد في القائمة الرئيسيةالإشارات المتتالية البيانات ← تحليل البيانات ← الانحدار.

املأ الحقول الحرة في مربع الحوار تراجعالبيانات المقابلة كما هو موضح في الشكل 4:

الفاصل الزمني للإدخال ذ: بيانات أولية ذ;

الفاصل الزمني للإدخال x: بيانات أولية x;

الفاصل الزمني للإخراج: أ47

ضع علامة اختيار في مربع مخطط التحديد. نعم!!!

أرز. 4. مربع الحوار تراجع

إجراء تراجعيعرض رسمًا بيانيًا للبيانات الأصلية وخط انحدار متجانس (يجب تنسيق الرسم البياني).

في الثالثالطاولة النتائجنجد معاملات الانحدار التي تهمنا وهي المعاملات ص- التقاطع والمتغير X. بالإضافة إلى ذلك ، الإجراء تراجعيعرض عددًا كبيرًا من النتائج الأخرى في شكل جداول سنحتاجها في المستقبل عند حل مشاكل الاقتصاد القياسي.

هناك طريقتان أخريان لرسم خط اتجاه في Excel.

انسخ بيانات X و Y الأصلية في الكتلة ، بدءًا من الخلية A28 ، وقم برسم حقل الارتباط مرة أخرى ( إدراج → الرسم البياني → نقطة)

عن طريق النقر بزر الماوس الأيمن على علامة إحدى نقاط الرسم البياني لحقل الارتباط ، وبالتالي تنشيط مربع حوار تنسيق بيانات السلسلة. إختر خيار إضافة خط اتجاه ... (كما يظهر في الشكل. 5)

في النافذة المفتوحة تنسيق خط الاتجاهتثبيت خيارات خط الاتجاه:

- خطي

- اعرض المعادلة على الرسم التخطيطي

- ضع على الرسم البياني قيمة الثقة التقريبية.

عند تحديد المربع - ضع على الرسم البياني قيمة موثوقية التقريب، يتم عرض قيمة معامل التحديد في الرسم التخطيطي.

كلما تم اختيار دالة الانحدار بشكل أفضل وكان الفرق بين القيم المرصودة والمحسوبة أصغر ، كلما اقتربنا من الوحدة.

أرز. 5. مربع الحوار تراجع

أرز. 6. مربع الحوار تراجع

بعد إجراء العملية إضافة خط اتجاه ...سيأخذ الرسم البياني لحقل الارتباط الشكل:

أرز. 7. الرسوم البيانية لمجال الارتباط وخطوط الاتجاه مع معادلة الانحدار ومعامل التحديد.

قم بتنسيق الرسم البياني واستخلاص النتائج من العمل المخبري.

عرض نتائج العمل على المعلم لتصحيحها.

خيارات المهام.

تم الحصول على جدول لقيم المتغير X المتحكم فيه والمتغير العشوائي Y. أوجد معادلة الانحدار الخطي. ارسم البيانات الأولية للمتغير العشوائي Y على الرسم البياني وارسم خط الانحدار.

الخيار 1.

الخيار 2.

الخيار 3.

الخيار 4.

الخيار 5.

الخيار 6.

الخيار 7.

الخيار 8.

الخيار 9.

الخيار 10.

الخيار 11.

الخيار 12.

الخيار 13.

الخيار 14.

الخيار 15.

الخيار 16.

الخيار 17.

الخيار 18.

الخيار 19.