التعبيرات والمعادلات وأنظمة المعادلات
مع الأعداد المركبة

سنقوم اليوم في الدرس بعمل إجراءات نموذجية بأرقام مركبة ، بالإضافة إلى إتقان تقنية حل التعبيرات والمعادلات وأنظمة المعادلات التي تحتوي عليها هذه الأرقام. ورشة العمل هذه هي استمرار للدرس ، وبالتالي إذا لم تكن على دراية بالموضوع ، فيرجى اتباع الرابط أعلاه. حسنًا ، أقترح أن يقوم القراء الأكثر استعدادًا بالإحماء فورًا:

مثال 1

تبسيط التعبير ، إذا . قدم النتيجة في شكل مثلثي وقم بتصويرها على المستوى المعقد.

المحلول: إذن ، أنت بحاجة إلى استبدال الكسر "الرهيب" ، وإجراء عمليات التبسيط ، وترجمة النتيجة عدد مركبفي شكل مثلث. بالإضافة إلى اللعنة.

ما هي أفضل طريقة لاتخاذ القرار؟ مع "الهوى" تعبير جبريمن الأفضل أن تأخذ الأمر خطوة بخطوة. أولاً ، يكون الانتباه أقل تشتتًا ، وثانيًا ، إذا لم يتم تسجيل المهمة ، فسيكون من الأسهل بكثير العثور على خطأ.

1) لنبسط البسط أولاً. استبدل القيمة فيه ، وافتح الأقواس وأصلح تصفيفة الشعر:

... نعم ، ظهر مثل هذا Quasimodo من الأعداد المركبة ...

أذكرك أنه في سياق التحولات ، يتم استخدام أشياء بارعة تمامًا - قاعدة مضاعفة كثيرات الحدود والمساواة المبتذلة بالفعل. الشيء الرئيسي هو توخي الحذر وعدم الخلط بين العلامات.

2) الآن المقام هو التالي. اذا ثم:

لاحظ ما يتم استخدام تفسير غير عادي صيغة مجموع مربع. بدلا من ذلك ، يمكنك التغيير هنا صيغة فرعية. النتائج سوف تتطابق بالطبع.

3) وأخيرا ، التعبير كله. اذا ثم:

للتخلص من الكسر ، نضرب البسط والمقام في التعبير المرافق للمقام. ومع ذلك ، لأغراض التقديم اختلاف صيغ المربعاتيجب أن يكون مبدئيا (وبالتأكيد!)ضع الجزء الحقيقي السلبي في المرتبة الثانية:

والآن القاعدة الأساسية:

لا نسرع ​​بأي حال من الأحوال! من الأفضل تشغيلها بأمان ووصف خطوة إضافية.
في التعبيرات والمعادلات والأنظمة ذات الأعداد المركبة الحسابات الشفهية الافتراضية مشحونة من أي وقت مضى!

كان هناك تقلص لطيف في الخطوة الأخيرة وهذه مجرد علامة رائعة.

ملحوظة : بالمعنى الدقيق للكلمة ، تمت هنا قسمة العدد المركب على العدد المركب 50 (تذكر ذلك). لقد التزمت الصمت بشأن هذا الفارق الدقيق حتى الآن وسنتحدث عنه بعد قليل.

دعنا نشير إلى إنجازنا بالحرف

دعونا نمثل النتيجة في الصورة المثلثية. بشكل عام ، يمكنك هنا الاستغناء عن الرسم ، ولكن بمجرد أن يكون ذلك مطلوبًا ، فمن المنطقي إلى حد ما إكماله الآن:

احسب معامل العدد المركب:

إذا قمت بإجراء رسم على مقياس من وحدة واحدة. \ u003d 1 سم (خليتان رباعيتان) ، فمن السهل التحقق من القيمة الناتجة باستخدام مسطرة عادية.

دعونا نجد حجة. نظرًا لأن الرقم في الثاني تنسيق الربع، ومن بعد:

يتم فحص الزاوية ببساطة بواسطة منقلة. هذه هي الميزة الإضافية التي لا شك فيها للرسم.

وهكذا: - الرقم المطلوب في الشكل المثلثي.

دعونا تحقق:
، والتي كان من المقرر التحقق منها.

من الملائم العثور على قيم غير مألوفة للجيب وجيب التمام من خلال الجدول المثلثي.

إجابه:

مثال مشابه لـ حل مستقل:

مثال 2

تبسيط التعبير ، أين . ارسم الرقم الناتج على المستوى المركب واكتبه بالصيغة الأسية.

حاول ألا تفوت دراسات الحالة. قد تبدو بسيطة ، ولكن بدون تدريب ، فإن "الدخول في بركة مياه" ليس بالأمر السهل فحسب ، بل إنه سهل للغاية. لذلك دعونا نضع أيدينا عليها.

غالبًا ما تسمح المشكلة بأكثر من حل:

مثال 3

احسب إذا ،

المحلول: أولاً وقبل كل شيء ، دعنا ننتبه إلى الحالة الأصلية - يتم تقديم رقم واحد في شكل جبري ، والآخر في شكل مثلثي ، وحتى بالدرجات. دعنا نعيد كتابته على الفور بشكل مألوف أكثر: .

في أي شكل ينبغي إجراء الحسابات؟ من الواضح أن التعبير يتضمن الضرب الأول والرفع الإضافي للقوة العاشرة في صيغة دي Moivre، والتي تمت صياغتها للصيغة المثلثية للعدد المركب. وبالتالي ، يبدو من المنطقي أكثر أن يتم تحويل الرقم الأول. ابحث عن الوحدة والحجة الخاصة بها:

نستخدم قاعدة ضرب الأعداد المركبة في الصورة المثلثية:
اذا ثم

بتصحيح الكسر ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه من الممكن "تحريف" 4 لفات ( مسرور.):

الطريقة الثانية لحلهاهو ترجمة الرقم الثاني إلى الصورة الجبرية ، قم بإجراء الضرب في شكل جبري، ترجم النتيجة إلى شكل مثلثي واستخدم صيغة De Moivre.

كما ترى ، إجراء واحد "إضافي". أولئك الذين يرغبون يمكنهم متابعة الحل حتى النهاية والتأكد من تطابق النتائج.

الشرط لا يقول شيئًا عن شكل العدد المركب الناتج ، لذلك:

إجابه:

ولكن "للجمال" أو عند الطلب ، يمكن تمثيل النتيجة بسهولة في شكل جبري:

على المرء:

مثال 4

تبسيط التعبير

هنا من الضروري أن نتذكر الإجراءات مع السلطات، على الرغم من واحدة حكم مفيدليس في الدليل ، ها هو:.

شيء اخر ملاحظة مهمة: يمكن حل المثال بطريقتين. الخيار الأول هو العمل مع اثنينالأرقام وطرح الكسور. الخيار الثاني هو تمثيل كل رقم في النموذج حاصل قسمة رقمين: و تخلص من الأربعة طوابق. من وجهة نظر رسمية ، لا فرق في كيفية اتخاذ القرار ، لكن هناك فرقًا ذا مغزى! يرجى النظر جيدا:
هو رقم معقد
هو حاصل قسمة رقمين مركبين (و) ، ومع ذلك ، اعتمادًا على السياق ، يمكن للمرء أيضًا أن يقول هذا: رقم يمثل حاصل قسمة رقمين مركبين.

حل سريعوالجواب في نهاية الدرس.

العبارات جيدة لكن المعادلات أفضل:

المعادلات ذات المعاملات المركبة

كيف تختلف عن المعادلات "العادية"؟ المعاملات =)

في ضوء الملاحظة أعلاه ، لنبدأ بهذا المثال:

مثال 5

حل المعادلة

وديباجة فورية في المطاردة الساخنة: في الأصل الجزء الصحيحيتم وضع المعادلة على أنها حاصل قسمة رقمين مركبين (و 13) ، وبالتالي سيكون من السيئ إعادة كتابة الشرط بالرقم (على الرغم من أنه لن يسبب خطأ). بالمناسبة ، يُرى هذا الاختلاف بشكل أكثر وضوحًا في الكسور - إذا ، بشكل نسبي ، فإن هذه القيمة تُفهم في المقام الأول على أنها الجذر المركب "الكامل" للمعادلة، وليس كمقسوم على الرقم ، وأكثر من ذلك - ليس كجزء من الرقم!

المحلول، من حيث المبدأ ، يمكن أيضًا وضعها خطوة بخطوة ، ولكن في هذه القضيةاللعبة لا تستحق كل هذا العناء. المهمة الأولية هي تبسيط كل شيء لا يحتوي على "Z" غير معروف ، ونتيجة لذلك سيتم تقليل المعادلة إلى النموذج:

قم بتبسيط متوسط ​​الكسر بكل ثقة:

ننقل النتيجة إلى الجانب الأيمن ونجد الفرق:

ملحوظة : ومرة ​​أخرى ألفت انتباهك إلى النقطة ذات المعنى - هنا لم نطرح الرقم من الرقم ، لكننا لخصنا الكسور إلى القاسم المشترك! تجدر الإشارة إلى أنه في سياق الحل بالفعل ، لا يُمنع العمل مع الأرقام: ، ومع ذلك ، في المثال قيد النظر ، مثل هذا النمط أكثر ضررًا من الفائدة =)

وفقًا لقاعدة التناسب ، نعبر عن "ض":

يمكنك الآن القسمة والضرب مرة أخرى في التعبير المساعد ، لكن الأرقام المتشابهة بشكل مثير للريبة للبسط والمقام تشير إلى الحركة التالية:

إجابه:

لأغراض التحقق ، نقوم باستبدال القيمة الناتجة في الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية وإجراء التبسيط:

- تم الحصول على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية ، لذلك تم العثور على الجذر بشكل صحيح.

... الآن - الآن ... سأختار شيئًا أكثر تشويقًا لك ... انتظر:

مثال 6

حل المعادلة

هذه المعادلةيقلل إلى الشكل ، وبالتالي فهو خطي. أعتقد أن التلميح واضح - افعلها!

بالطبع ... كيف يمكنك العيش بدونها:

معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات معقدة

في الدرس الأعداد المركبة للدمىتعلمنا ذلك معادلة من الدرجة الثانيةمع المعاملات الحقيقية يمكن أن يكون لها جذور معقدة مترافقة ، وبعد ذلك يظهر سؤال منطقي: لماذا ، في الواقع ، لا يمكن أن تكون المعاملات نفسها معقدة؟ سأصيغ الحالة العامة:

معادلة من الدرجة الثانية مع معاملات معقدة عشوائية (1 أو 2 منها أو الثلاثة جميعها قد تكون صالحة على وجه الخصوص)لديها اثنان واثنان فقطجذور معقدة (ربما أحدهما أو كلاهما صالح). بينما الجذور (كلاهما حقيقي وجزء وهمي غير صفري)قد تتزامن (تكون متعددة).

يتم حل المعادلة التربيعية ذات المعاملات المعقدة بنفس طريقة حل المعادلة التربيعية معادلة "المدرسة"، مع بعض الاختلافات في التقنية الحسابية:

مثال 7

أوجد جذور المعادلة التربيعية

المحلول: الوحدة التخيلية في المقام الأول ، ومن حيث المبدأ يمكنك التخلص منها (ضرب كلا الجانبين في)، ومع ذلك ، ليست هناك حاجة خاصة لهذا.

للراحة ، نكتب المعاملات:

نحن لا نفقد "ناقص" العضو الحر! ... قد لا يكون الأمر واضحًا للجميع - سأعيد كتابة المعادلة في النموذج القياسي :

دعنا نحسب المميز:

ها هي العقبة الرئيسية:

طلب الصيغة العامةاستخراج الجذر (انظر الفقرة الأخيرة من المقال الأعداد المركبة للدمى) معقدة بسبب الصعوبات الخطيرة المرتبطة بحجة العدد المركب الجذري (انظر بنفسك). لكن هناك طريقة أخرى "جبرية"! سنبحث عن الجذر بالشكل:

دعونا نربّع كلا الجانبين:

يتساوى عددان مركبان إذا تساوى جزأهما الحقيقي والتخيلي. وهكذا نحصل النظام القادم:

النظام أسهل في الحل عن طريق الاختيار (الطريقة الأكثر شمولاً هي التعبير من المعادلة الثانية - استبدل المعادلة الأولى واحصل عليها وحلها المعادلة البيكودية) . بافتراض أن مؤلف المشكلة ليس وحشًا ، فإننا نفترض أنه عدد صحيح. من المعادلة الأولى يتبع ذلك "x" مودولوأكثر من "ذ". بالإضافة إلى ذلك ، يخبرنا المنتج الموجب أن المجهول لهما نفس العلامة. بناءً على ما سبق ، وبالتركيز على المعادلة الثانية ، نكتب جميع الأزواج التي تطابقها:

من الواضح أن الزوجين الأخيرين يرضيان المعادلة الأولى للنظام ، وبالتالي:

لن يضر الفحص الوسيط:

التي كان من المقرر فحصها.

كجذر "عامل" ، يمكنك الاختيار أيالمعنى. من الواضح أنه من الأفضل استخدام الإصدار بدون "سلبيات":

بالمناسبة ، نجد الجذور ، ولا ننسى أن:

إجابه:

دعنا نتحقق مما إذا كانت الجذور التي تم العثور عليها تحقق المعادلة :

1) البديل:

المساواة الصحيحة.

2) البديل:

المساواة الصحيحة.

وبالتالي ، تم العثور على الحل بشكل صحيح.

مستوحاة من المشكلة التي ناقشناها للتو:

المثال 8

أوجد جذور المعادلة

تجدر الإشارة إلى أن الجذر التربيعيمن معقدة بحتةيتم استخراج الأرقام بشكل مثالي وباستخدام الصيغة العامة ، أين ، لذلك يتم عرض كلتا الطريقتين في العينة. الملاحظة الثانية المفيدة تتعلق بحقيقة أن الاستخراج الأولي للجذر من الثابت لا يبسط الحل على الإطلاق.

والآن يمكنك الاسترخاء - في هذا المثال ، ستنزل بخوف طفيف :)

المثال 9

حل المعادلة وتحقق

الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

تم تخصيص الفقرة الأخيرة من المقال ل

نظام المعادلات ذات الأعداد المركبة

استرخينا و ... نحن لا نجهد =) ضع في اعتبارك أبسط حالة- نظام من اثنين المعادلات الخطيةمع مجهولين:

المثال 10

حل نظام المعادلات. قدم الإجابة في شكل جبري وأسي ، ورسم الجذور في الرسم.

المحلول: الشرط نفسه يشير إلى أن النظام لديه حل فريد ، أي أننا بحاجة إلى إيجاد رقمين مرضيين لكلمعادلة النظام.

يمكن حقًا حل النظام بطريقة "طفولية" (التعبير عن متغير واحد من حيث متغير آخر) ، لكنها أكثر ملاءمة للاستخدام صيغ كرامر. إحصاء - عد المحدد الرئيسيالأنظمة:

، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.

أكرر أنه من الأفضل عدم التسرع ووصف الخطوات بالتفصيل قدر الإمكان:

نضرب البسط والمقام في وحدة تخيلية ونحصل على الجذر الأول:

بصورة مماثلة:

الجوانب اليمنى المقابلة ، p.t.p.

لننفذ الرسم:

نحن نمثل الجذور في شكل أسي. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على الوحدات والحجج الخاصة بهم:

1) - ظل قوس "اثنين" يحسب "ضعيف" ، لذلك نتركه على النحو التالي:

لحل مسائل الأعداد المركبة ، تحتاج إلى فهم التعريفات الأساسية. المهمة الرئيسيةمن مقالة المراجعة هذه - لشرح ماهية الأعداد المركبة ، ولتقديم طرق لحل المشكلات الأساسية ذات الأعداد المركبة. وبالتالي ، فإن الرقم المركب هو رقم من النموذج ض = أ + ثنائية، أين أ ، ب- الأعداد الحقيقية ، والتي تسمى الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب ، على التوالي ، والدلالة أ = إعادة (ض) ، ب = إم (ض).
أناتسمى الوحدة التخيلية. أنا 2 \ u003d -1. على وجه الخصوص ، يمكن اعتبار أي رقم حقيقي معقدًا: أ = أ + 0 ط، حيث يكون a حقيقيًا. إذا أ = 0و ب ≠ 0، ثم يسمى الرقم التخيلي البحت.

نقدم الآن عمليات على الأعداد المركبة.
ضع في اعتبارك عددين مركبين ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 ط.

انصح ض = أ + ثنائية.

تمد مجموعة الأعداد المركبة مجموعة الأعداد الحقيقية ، والتي بدورها توسع المجموعة أرقام نسبيةإلخ. يمكن رؤية هذه السلسلة من الاستثمارات في الشكل: N - أعداد صحيحة، Z هي أعداد صحيحة ، Q منطقية ، R حقيقية ، C معقدة.

تمثيل الأعداد المركبة

تدوين جبري.

ضع في اعتبارك عددًا مركبًا ض = أ + ثنائية، هذا الشكل من كتابة عدد مركب يسمى جبري. لقد ناقشنا بالفعل هذا الشكل من الكتابة بالتفصيل في القسم السابق. غالبًا ما تستخدم الرسم التوضيحي التالي

شكل مثلث.

يمكن أن نرى من الرقم أن الرقم ض = أ + ثنائيةيمكن كتابتها بشكل مختلف. من الواضح أن أ = rcos (φ), ب = رسين (φ), ص = | ض |، بالتالي ض = rcos (φ) + rsin (φ) أنا, φ ∈ (-π; π) تسمى سعة العدد المركب. هذا التمثيل للعدد المركب يسمى شكل مثلث. أحيانًا يكون الشكل المثلثي للتدوين مناسبًا جدًا. على سبيل المثال ، من الملائم استخدامه لرفع رقم مركب إلى قوة عدد صحيح ، أي إذا ض = rcos (φ) + rsin (φ) أنا، ومن بعد z n = r n cos (nφ) + r n sin (nφ) i، هذه الصيغة تسمى صيغة دي Moivre.

شكل توضيحي.

انصح ض = rcos (φ) + rsin (φ) أناهو رقم مركب في الصورة المثلثية ، نكتبه بصيغة مختلفة z = r (cos (φ) + sin (φ) i) = re iφ، تأتي المساواة الأخيرة من صيغة أويلر ، لذلك نحصل عليها صيغة جديدةإدخالات الأرقام المعقدة: ض = إعادة أنا، من اتصل إيضاحي. هذا الشكل من التدوين مناسب أيضًا لرفع رقم مركب إلى قوة: z n = r n e inφ، هنا نليس بالضرورة عددًا صحيحًا ، ولكن يمكن أن يكون تعسفيًا عدد حقيقي. غالبًا ما يستخدم هذا النوع من الكتابة لحل المشكلات.

النظرية الأساسية للجبر العالي

تخيل أن لدينا معادلة تربيعية x 2 + x + 1 = 0. من الواضح أن المميز في هذه المعادلة سالب وليس له جذور حقيقية ، لكن اتضح أن هذه المعادلة لها جذرين مركبين مختلفين. لذا ، فإن النظرية الرئيسية للجبر الأعلى تنص على أن أي كثير حدود من الدرجة n لها جذر مركب واحد على الأقل. ويترتب على ذلك أن أي كثير حدود من الدرجة n لها جذور معقدة n بالضبط ، مع مراعاة تعددها. هذه النظرية جدا نتيجة مهمةفي الرياضيات ويستخدم على نطاق واسع. النتيجة البسيطة لهذه النظرية هي النتيجة التالية: هناك n بالضبط جذور مختلفةالقوى ن الخروج من الوحدة.

الأنواع الرئيسية للمهام

سيغطي هذا القسم الأنواع الرئيسية مهام بسيطةإلى الأعداد المركبة. تقليديا ، يمكن تقسيم المشاكل على الأعداد المركبة إلى الفئات التالية.

• إجراء عمليات حسابية بسيطة على الأعداد المركبة.
• إيجاد جذور كثيرات الحدود في الأعداد المركبة.
• رفع الأعداد المركبة إلى قوة.
• استخراج الجذور من الأعداد المركبة.
• تطبيق الأعداد المركبة لحل مسائل أخرى.

فكر الآن الطرق العامةحلول لهذه المشاكل.

يتم إجراء أبسط العمليات الحسابية بأرقام معقدة وفقًا للقواعد الموضحة في القسم الأول ، ولكن إذا تم تقديم الأرقام المركبة في أشكال مثلثية أو أسية ، فيمكن في هذه الحالة تحويلها إلى صيغة جبرية وتنفيذ العمليات وفقًا للقواعد المعروفة.

عادةً ما يأتي إيجاد جذور كثيرات الحدود لإيجاد جذور معادلة تربيعية. لنفترض أن لدينا معادلة من الدرجة الثانية ، إذا كان المميز الخاص بها غير سالب ، فستكون جذورها حقيقية ويتم العثور عليها وفقًا لصيغة معروفة. إذا كان المميز سالبًا د = -1 ∙ أ 2، أين أهو رقم معين ، ثم يمكننا تمثيل المميز في الصورة د = (ia) 2، بالتالي √D = أنا | أ |، وبعد ذلك يمكنك استخدام ملفات الصيغة الشهيرةلجذور المعادلة التربيعية.

مثال. لنعد إلى المعادلة التربيعية المذكورة أعلاه x 2 + x + 1 = 0.
مميز - د \ u003d 1-4 ∙ 1 \ u003d -3 \ u003d -1 (√3) 2 \ u003d (i√3) 2.
الآن يمكننا بسهولة العثور على الجذور:

يمكن رفع الأعداد المركبة إلى قوة بعدة طرق. إذا كنت ترغب في رفع رقم مركب في الصورة الجبرية إلى قوة صغيرة (2 أو 3) ، فيمكنك القيام بذلك عن طريق الضرب المباشر ، ولكن إذا كانت الدرجة أكبر (غالبًا ما تكون أكبر بكثير في المشكلات) ، فأنت بحاجة إلى ذلك اكتب هذا الرقم في شكل مثلثي أو أسي واستخدم طرقًا معروفة بالفعل.

مثال. اعتبر أن z = 1 + i وارفعه إلى الأس العاشرة.
نكتب z بالصيغة الأسية: z = √2 e iπ / 4.
ثم z 10 = (√2 e iπ / 4) 10 = 32 e 10iπ / 4.
لنعد إلى الصورة الجبرية: z 10 = -32i.

استخراج الجذور من الأعداد المركبة هو العملية العكسية للأس ، لذلك يتم بطريقة مماثلة. لاستخراج الجذور ، غالبًا ما يتم استخدام الشكل الأسي لكتابة رقم.

مثال. أوجد كل جذور الدرجة 3 للعدد واحد. للقيام بذلك ، نجد كل جذور المعادلة z 3 = 1 ، وسوف نبحث عن الجذور في الصورة الأسية.
عوّض في المعادلة: r 3 e 3iφ = 1 أو r 3 e 3iφ = e 0.
ومن ثم: r = 1 ، 3φ = 0 + 2πk ، وبالتالي φ = 2πk / 3.
يتم الحصول على جذور مختلفة عند φ = 0 ، 2π / 3 ، 4π / 3.
ومن ثم فإن 1 ، e i2π / 3 ، e i4π / 3 هي جذور.
أو بشكل جبري:

يتضمن نوع المهمة الأخير حشد كبيرالمشاكل ولا توجد طرق عامة لحلها. فيما يلي مثال بسيط لمثل هذه المهمة:

أوجد المبلغ الخطيئة (x) + الخطيئة (2x) + الخطيئة (2x) + ... + الخطيئة (nx).

على الرغم من أن صياغة هذه المشكلة لا في السؤالحول الأعداد المركبة ، ولكن بمساعدتهم يمكن حلها بسهولة. لحلها ، يتم استخدام التمثيلات التالية:


إذا عوضنا الآن بهذا التمثيل في المجموع ، فسيتم تقليل المشكلة إلى مجموع التقدم الهندسي المعتاد.

استنتاج

تُستخدم الأرقام المركبة على نطاق واسع في الرياضيات ، في مقالة المراجعة هذه ، تم النظر في العمليات الأساسية على الأعداد المركبة ، وتم وصف عدة أنواع من المشكلات القياسية ووصفها بإيجاز الطرق الشائعةحلولهم ، من أجل دراسة أكثر تفصيلاً لإمكانيات الأعداد المركبة ، يوصى باستخدام الأدبيات المتخصصة.

المؤلفات

ستساعدك خدمة حل المعادلات عبر الإنترنت في حل أي معادلة. باستخدام موقعنا ، لن تحصل على إجابة المعادلة فحسب ، بل سترى أيضًا حل مفصل، أي عرض خطوة بخطوة لعملية الحصول على النتيجة. ستكون خدمتنا مفيدة لطلاب المدارس الثانوية مدارس التعليم العاموآبائهم. سيتمكن الطلاب من الاستعداد للاختبارات والامتحانات واختبار معرفتهم وسيتمكن الآباء من التحكم في القرار معادلات رياضيةمع اطفالهم. القدرة على حل المعادلات هي مطلب إلزامي للطلاب. ستساعدك الخدمة على التعلم الذاتي وتحسين معرفتك في مجال المعادلات الرياضية. بواسطتها ، يمكنك حل أي معادلة: تربيعية ، تكعيبية ، غير منطقية ، مثلثية ، إلخ. خدمة الإنترنتلكن لا تقدر بثمن ، لأنه بالإضافة إلى الإجابة الصحيحة ، تحصل على حل مفصل لكل معادلة. فوائد حل المعادلات عبر الإنترنت. يمكنك حل أي معادلة عبر الإنترنت على موقعنا مجانًا تمامًا. الخدمة تلقائية بالكامل ، ليس عليك تثبيت أي شيء على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، ما عليك سوى إدخال البيانات وسيقوم البرنامج بإصدار حل. يتم استبعاد أي أخطاء حسابية أو أخطاء مطبعية. من السهل جدًا حل أي معادلة عبر الإنترنت معنا ، لذا تأكد من استخدام موقعنا لحل أي نوع من المعادلات. ما عليك سوى إدخال البيانات وسيكتمل الحساب في ثوانٍ. يعمل البرنامج بشكل مستقل دون تدخل بشري وتحصل على إجابة دقيقة ومفصلة. حل المعادلة في نظرة عامة. في مثل هذه المعادلة ، تكون المعاملات المتغيرة والجذور المرغوبة مترابطة. تحدد أعلى قوة للمتغير ترتيب هذه المعادلة. بناءً على ذلك ، لاستخدام المعادلات أساليب مختلفةونظريات إيجاد الحلول. حل المعادلات من هذا النوعيعني إيجاد الجذور المرغوبة بشكل عام. تتيح لك خدمتنا حل أكثر المعادلات الجبرية تعقيدًا عبر الإنترنت. يمكنك الحصول على كل من الحل العام للمعادلة والحل الخاص للحل الذي حددته. القيم العدديةمعاملات. لحل معادلة جبرية على الموقع ، يكفي ملء حقلين فقط بشكل صحيح: الجزأين الأيمن والأيسر معادلة معينة. في المعادلات الجبريةمع معاملات متغيرة ، عدد لا حصر له من الحلول ، ومن خلال تحديد شروط معينة ، يتم اختيار الحلول الخاصة من مجموعة الحلول. معادلة من الدرجة الثانية. المعادلة التربيعية لها الشكل ax ^ 2 + bx + c = 0 لـ a> 0. حل المعادلات عرض مربعيعني العثور على القيم x التي يتم استيفاء محور المساواة ^ 2 + bx + c = 0 لها. للقيام بذلك ، يتم العثور على قيمة المميز بواسطة الصيغة D = b ^ 2-4ac. إذا كان المميز أقل من صفر ، فلن يكون للمعادلة جذور حقيقية (الجذور من مجال الأعداد المركبة) ، وإذا كانت صفرًا ، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد ، وإذا كان المميز فوق الصفر، إذن للمعادلة جذرين حقيقيين ، تم العثور عليهما بواسطة الصيغة: D \ u003d -b + -sqrt / 2a. لحل معادلة تربيعية عبر الإنترنت ، ما عليك سوى إدخال معاملات هذه المعادلة (أعداد صحيحة أو كسور أو قيم عشرية). إذا كانت هناك علامات طرح في المعادلة ، فيجب عليك وضع علامة ناقص أمام المصطلحات المقابلة لها في المعادلة. يمكنك أيضًا حل معادلة من الدرجة الثانية عبر الإنترنت اعتمادًا على المعلمة ، أي المتغيرات في معاملات المعادلة. خدمتنا عبر الإنترنت للبحث حلول مشتركة. المعادلات الخطية. لحل المعادلات الخطية (أو أنظمة المعادلات) ، يتم استخدام أربع طرق رئيسية في الممارسة العملية. دعنا نصف كل طريقة بالتفصيل. طريقة الاستبدال. يتطلب حل المعادلات باستخدام طريقة التعويض التعبير عن متغير واحد من حيث المتغيرات الأخرى. بعد ذلك ، يتم استبدال التعبير في معادلات أخرى للنظام. ومن هنا جاء اسم طريقة الحل ، أي بدلاً من المتغير ، يتم استبدال تعبيرها من خلال بقية المتغيرات. من الناحية العملية ، تتطلب الطريقة حسابات معقدة ، على الرغم من سهولة فهمها ، لذا فإن حل مثل هذه المعادلة عبر الإنترنت سيوفر الوقت ويجعل العمليات الحسابية أسهل. تحتاج فقط إلى تحديد عدد المجهول في المعادلة وملء البيانات من المعادلات الخطية ، ثم تقوم الخدمة بإجراء الحساب. طريقة جاوس. تعتمد الطريقة على أبسط تحولات النظام من أجل الوصول نظام مكافئ الثلاثي. يتم تحديد المجهول واحدًا تلو الآخر منه. في الممارسة العملية ، مطلوب حل مثل هذه المعادلة عبر الإنترنت باستخدام وصف مفصل، بفضل ذلك سوف تتقن طريقة Gauss لحل أنظمة المعادلات الخطية. اكتب نظام المعادلات الخطية بالصيغة الصحيحة وخذ في الاعتبار عدد المجهول من أجل حل النظام بشكل صحيح. طريقة كرامر. تحل هذه الطريقة أنظمة المعادلات في الحالات التي يكون فيها للنظام حل فريد. العملية الحسابية الرئيسية هنا هي الحساب محددات المصفوفة. يتم تنفيذ حل المعادلات بطريقة Cramer عبر الإنترنت ، وتحصل على النتيجة فورًا مع وصف كامل ومفصل. يكفي فقط ملء النظام بالمعاملات واختيار عدد المتغيرات غير المعروفة. طريقة المصفوفة. تتكون هذه الطريقة من جمع معاملات المجهول في المصفوفة A ، والمجهول في العمود X ، والمصطلحات المجانية في العمود B. وهكذا ، يتم تقليل نظام المعادلات الخطية إلى معادلة المصفوفةمن النموذج AxX = B. هذه المعادلة لها حل فريد فقط إذا كان محدد المصفوفة A غير صفري ، وإلا فلن يكون للنظام حلول ، أو عدد لا نهائي من الحلول. حل المعادلات طريقة المصفوفةهو البحث مصفوفة معكوسةلكن.

استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. من أجل الوضوح ، دعنا نحل المشكلة التالية:

احسب \ [(z_1 \ cdot z_2) ^ (10) ، \] إذا \

بادئ ذي بدء ، دعنا ننتبه إلى حقيقة أن أحد الأرقام يتم تمثيله في الصورة الجبرية ، والآخر - في الصورة المثلثية. يحتاج إلى تبسيط و النوع التالي

\ [z_2 = \ frac (1) (4) (\ cos \ frac (\ pi) (6) + i \ sin \ frac (\ pi) (6)). \]

يشير التعبير \ ، أولاً وقبل كل شيء ، إلى أننا نقوم بالضرب والرفع إلى الأس 10 وفقًا لصيغة Moivre. تمت صياغة هذه الصيغة للصيغة المثلثية للعدد المركب. نحن نحصل:

\ [\ start (vmatrix) z_1 \ end (vmatrix) = \ sqrt ((-1) ^ 2 + (\ sqrt 3) ^ 2) = \ sqrt 4 = 2 \]

\ [\ varphi_1 = \ pi + \ arctan \ frac (\ sqrt 3) (- 1) = \ pi \ arctan \ sqrt 3 = \ pi- \ frac (\ pi) (3) = \ frac (2 \ pi) ( 3) \]

بالتمسك بقواعد ضرب الأعداد المركبة في الشكل المثلثي ، سنفعل ما يلي:

في حالتنا هذه:

\ [(z_1 + z_2) ^ (10) = (\ frac (1) (2)) ^ (10) \ cdot (\ cos (10 \ cdot \ frac (5 \ pi) (6)) + i \ sin \ cdot \ frac (5 \ pi) (6))) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot \ cos \ frac (25 \ pi) (3) + i \ sin \ frac (25 \ بي) (3). \]

بجعل الكسر \ [\ frac (25) (3) = 8 \ frac (1) (3) \] صحيحًا ، نستنتج أنه من الممكن "تحريف" 4 لفات \ [(8 \ pi rad.): \ ]

\ [(z_1 + z_2) ^ (10) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot (\ cos \ frac (\ pi) (3) + i \ sin \ frac (\ pi) (3 )) \]

الإجابة: \ [(z_1 + z_2) ^ (10) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot (\ cos \ frac (\ pi) (3) + i \ sin \ frac (\ pi) (3)) \]

يمكن حل هذه المعادلة بطريقة أخرى ، والتي تتلخص في إحضار الرقم الثاني إلى الصورة الجبرية ، ثم إجراء الضرب في الصورة الجبرية ، وترجمة النتيجة إلى الشكل المثلثي وتطبيق صيغة Moivre:

أين يمكنني حل نظام المعادلات ذات الأعداد المركبة عبر الإنترنت؟

يمكنكم حل نظام المعادلات على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.