Градусна мярка на ъгъл. Радианна мярка за ъгъл

Градусна мярка на ъгъл. Радианова мярка за ъгъл. Преобразувайте градуси в радиани и обратно.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

В предишния урок усвоихме броенето на ъгли на тригонометрична окръжност. Научих как да броим положителни и отрицателни ъгли. Разбрах как да начертая ъгъл, по-голям от 360 градуса. Време е да се заемем с измерването на ъгли. Особено с числото "Пи", което се стреми да ни обърка в трудни задачи, да ...

Стандартните задачи по тригонометрия с числото "Пи" се решават доста добре. Визуалната памет помага. Но всяко отклонение от шаблона - събаря на място! За да не падне - разбирамнеобходимо. Какво ще направим успешно сега. В смисъл – разбираме всичко!

Така, Какво броят ли се ъглите? AT училищен курстригонометрията използва две мерки: градус мярка за ъгъли радианова мярка за ъгъл. Нека да разгледаме тези мерки. Без това в тригонометрията - никъде.

Градусна мярка на ъгъл.

Някак сме свикнали с градусите. Геометрията, най-малкото, премина през ... Да, и в живота често се срещаме с фразата "обърнат на 180 градуса", например. Степен, накратко, просто нещо ...

да Отговори ми тогава какво е диплома? Какво не работи веднага? нещо...

Степените са изобретени в древен Вавилон. Беше много отдавна ... преди 40 века ... И те просто го измислиха. Те взеха и разбиха кръга на 360 равни части. 1 градус е 1/360 от окръжност. И това е. Може да се счупи на 100 части. Или с 1000. Но го разбиха на 360. Между другото, защо точно с 360? Защо 360 е по-добре от 100? 100 изглежда някак по-четно... Опитайте се да отговорите на този въпрос. Или слаб срещу Древен Вавилон?

Някъде по едно и също време Древен Египетизмъчван от друг проблем. Колко пъти обиколката на окръжност е по-голяма от дължината на нейния диаметър? И така те измериха, и така ... Всичко се оказа малко повече от три. Но някак си се оказа рошав, неравен ... Но те, египтяните, не са виновни. След тях те страдат още 35 века. Докато накрая доказаха, че колкото и фино да се нареже кръгът на еднакви парчета, от такива парчета да се направи гладкадължината на диаметъра е невъзможна ... По принцип е невъзможно. Е, колко пъти обиколката е по-голяма от диаметъра, разбира се. Относно. 3,1415926... пъти.

Това е числото "Пи". Това е рошав, толкова рошав. След десетичната запетая - безкраен брой цифри без никакъв ред ... Такива числа се наричат ​​ирационални. Това, между другото, означава, че от еднакви парчета кръг, диаметърът гладкане сгъвайте. Никога.

За практическо приложениеОбичайно е да се запомнят само две цифри след десетичната запетая. Помня:

Тъй като разбрахме, че обиколката на кръг е по-голяма от диаметъра с "Pi" пъти, има смисъл да запомните формулата за обиколката на кръг:

Където Ле обиколката и де неговият диаметър.

Полезно в геометрията.

За общо образованиеЩе добавя, че числото "Пи" се намира не само в геометрията ... В най-разнообразните раздели на математиката и особено в теорията на вероятностите това число се появява постоянно! От само себе си. Отвъд нашите желания. Като този.

Но обратно към градусите. Разбрахте ли защо в древен Вавилон кръгът е разделен на 360 равни части? Но не и 100 например? Не? ДОБРЕ. Ще ви дам версия. Не можете да питате древните вавилонци... За строителството или, да речем, астрономията е удобно да разделите кръг на равни части. Сега разберете на кои числа се делят напълно 100, а кои - 360? И в какъв вариант на тези разделители напълно- Повече ▼? Това разделение е много удобно за хората. Но...

Както се оказа много по-късно от Древен Вавилон, не всеки харесва степени. Висшата математика не ги обича... висша математика- сериозна е дамата, устроена според законите на природата. И тази жена заявява: "Днес разби кръга на 360 части, утре ще го разбиеш на 100 части, вдругиден на 245 ... И какво да правя? Не наистина ..." Трябваше да се подчиня. Не можеш да заблудиш природата...

Трябваше да въведа мярка за ъгъла, която не зависи от човешките представи. Среща - радиан!

Радианова мярка за ъгъл.

Какво е радиан? Определението за радиан така или иначе се основава на кръг. Ъгъл от 1 радиан е ъгълът, който изрязва дъга от окръжност, чиято дължина е ( Л) е равна на дължината на радиуса ( Р). Разглеждаме снимките.

Толкова малък ъгъл, почти го няма ... Преместваме курсора върху снимката (или докосваме снимката на таблета) и виждаме около една радиан. L=R

Почувствай разликата?

Един радиан е много по-голям от един градус. Колко пъти?

Нека да разгледаме следващата снимка. На който нарисувах полукръг. Разгънатият ъгъл, разбира се, е с размер 180 °.

А сега ще нарежа този полукръг на радиани! Задръжте курсора на мишката над картината и виждаме, че 3 радиана с опашка се вписват в 180 °.

Кой може да познае каква е тази конска опашка!?

да Тази опашка е 0.1415926.... Здравей Пи, още не сме те забравили!

Наистина, има 3,1415926 ... радиана в 180 градуса. Както можете да си представите, писането на 3.1415926 през цялото време... е неудобно. Затова вместо това безкрайно число те винаги пишат просто:

А ето и номера в интернет

неудобно е да се пише ... Затова в текста го пиша по име - "Пи". Не се бъркайте...

Сега е доста смислено да напишем приблизително равенство:

Или точно равенство:

Определете колко градуса има в един радиан. как? Лесно! Ако има 180 градуса в 3,14 радиана, тогава 1 радиан е 3,14 пъти по-малко! Тоест, разделяме първото уравнение (формулата също е уравнение!) на 3.14:

Това съотношение е полезно да запомните.В един радиан има приблизително 60°. В тригонометрията често трябва да разберете, да оцените ситуацията. Тук знанието помага много.

Но основното умение на тази тема е конвертиране на градуси в радиани и обратно.

Ако ъгълът е даден в радиани с числото "пи", всичко е много просто. Знаем, че "пи" радиани = 180°. Така че заместваме вместо "Pi" радиани - 180 °. Получаваме ъгъла в градуси. Намаляваме намаленото и отговорът е готов. Например трябва да разберем колко степенив ъгъл "Пи"/2 радиан? Тук пишем:

Или по-екзотичен израз:

Лесно, нали?

Обратният превод е малко по-сложен. Но не много. Ако ъгълът е даден в градуси, трябва да намерим колко е един градус в радиани и да умножим това число по броя на градусите. Какво е 1° в радиани?

Разглеждаме формулата и разбираме, че ако 180° = "Pi" радиани, тогава 1° е 180 пъти по-малко. Или, с други думи, разделяме уравнението (формулата също е уравнение!) на 180. Няма нужда да представяме "Пи" като 3,14, така или иначе винаги се пише с буква. Получаваме, че една степен е равна на:

Това е всичко. Умножете броя на градусите по тази стойност, за да получите ъгъла в радиани. Например:

Или по подобен начин:

Както виждате, в лежерен разговор с отклоненияОказа се, че радианите са много прости. Да, и преводът е без проблеми ... И "Пи" е напълно поносимо нещо ... Е откъде е объркването!?

Ще разкрия тайната. Факт е, че в тригонометричните функции е написана иконата за градуси. Е винаги. Например sin35°. Това е синус 35 степени . И иконата на радианите ( радвам се) не се пише! Той се подразбира. Или мързелът на математиците е хванат, или нещо друго ... Но те решиха да не пишат. Ако няма икони вътре в синуса - котангенс, тогава ъгълът - в радиани ! Например cos3 е косинус от три радиани .

Това води до недоразумения ... Човек вижда "Пи" и вярва, че е 180 °. По всяко време и навсякъде. Между другото, това работи. За момента, докато примерите са стандартни. Но Пи е число! Числото 3,14 не е степен! Това е "Pi" радиани = 180°!

Още веднъж: "Пи" е число! 3.14. Ирационално, но число. Същото като 5 или 8. Можете например да вземете около стъпки "Пи". Три стъпки и още малко. Или купете "Пи" килограми сладки. Ако един образован търговец бъде хванат...

"Пи" е число! Какво, хванах те с тази фраза? Разбрахте ли вече всичко? ДОБРЕ. Да проверим. Можете ли да ми кажете кое число е по-голямо?

Или какво е по-малко?

Това е от поредица от малко нестандартни въпроси, които могат да вкарат в ступор ...

Ако и вие сте изпаднали в ступор, запомнете заклинанието: "Пи" е число! 3.14. В първия синус ясно е посочено, че ъгълът - в градуси! Следователно е невъзможно да се замени "Pi" със 180 °! "Пи" градуса е около 3,14 градуса. Следователно можем да напишем:

Във втория синус няма символи. Така че там - радиани! Тук замяната на "Pi" със 180 ° ще работи доста добре. Преобразувайки радиани в градуси, както е написано по-горе, получаваме:

Остава да сравним тези два синуса. Какво. забравих как? С помощта на тригонометричен кръг, разбира се! Начертаваме кръг, начертаваме приблизителни ъгли от 60° и 1,05°. Гледаме синусите на тези ъгли. Накратко всичко, както в края на темата за тригонометричната окръжност, е нарисувано. На кръг (дори и кривият!) ясно ще се види това sin60°значително повече от sin1.05°.

Ще направим точно същото с косинусите. На кръга рисуваме ъгли от около 4 степении 4 радиан(не забравяйте, колко е приблизително 1 радиан?). Кръгът ще каже всичко! Разбира се, cos4 е по-малко от cos4°.

Нека се упражним да боравим с ъглови мерки.

Преобразувайте тези ъгли от градуси в радиани:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Трябва да получите тези стойности в радиани (в различен ред!)

0

Между другото, специално съм маркирал отговорите в два реда. Е, нека да разберем какви са ъглите в първия ред? Независимо дали в градуси или радиани?

да Това са осите на координатната система! Ако погледнете тригонометричния кръг, тогава движещата се страна на ъгъла при тези стойности пасва точно на оста. Тези стойности трябва да бъдат известни иронично. И не напразно отбелязах ъгъла от 0 градуса (0 радиана). И тогава някои не могат да намерят този ъгъл на окръжността по никакъв начин ... И съответно се объркват в тригонометричните функции на нула ... Друго нещо е, че позицията на движещата се страна при нула градуса съвпада с позицията при 360 °, така че съвпаденията на кръга са през цялото време до него.

Във втория ред също има специални ъгли... Това са 30°, 45° и 60°. И какво им е толкова специалното? Нищо специално. Единствената разлика между тези ъгли и всички останали е, че трябва да знаете за тези ъгли. всичко. И къде се намират те и какви са тригонометричните функции на тези ъгли. Да кажем стойността sin100°не е нужно да знаеш. НО sin45°- моля, бъдете любезни! Това са задължителни знания, без които няма какво да се прави в тригонометрията ... Но повече за това в следващия урок.

Дотогава нека продължим да тренираме. Преобразувайте тези ъгли от радиани в градуси:

Трябва да получите резултати като този (в бъркотия):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Се случи? Тогава можем да приемем, че конвертиране на градуси в радиани и обратно- вече не е ваш проблем.) Но преобразуването на ъгли е първата стъпка към разбирането на тригонометрията. На същото място все още трябва да работите със синуси-косинуси. Да, и с тангенси, котангенси също ...

Втората мощна стъпка е способността да се определи позицията на всеки ъгъл на тригонометричен кръг. Както в градуси, така и в радиани. Точно за това умение ще ви намекна скучно в цялата тригонометрия, да ...) Ако знаете всичко (или мислите, че знаете всичко) за тригонометричната окръжност и броенето на ъгли в тригонометричната окръжност, можете да го проверите навън. Решете тези прости задачи:

1. В коя четвърт попадат ъглите:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Лесно? Продължаваме:

2. В коя четвърт попадат ъглите:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Също няма проблем? Е, вижте...)

3. Можете да поставите ъгли в четвъртинки:

успяхте ли Е, вие давате ..)

4. На какви оси ще падне ъгълът:

и ъгъл:

Лесно ли е също? Хм...)

5. В коя четвърт попадат ъглите:

И проработи!? Е, тогава наистина не знам...)

6. Определете в коя четвърт попадат ъглите:

1, 2, 3 и 20 радиана.

Ще дам отговор само на последния въпрос (малко е труден) от последната задача. Ъгъл от 20 радиана ще попадне в първата четвърт.

Няма да дам останалите отговори от алчност.) Само ако вие не решинещо съмнениев резултат или изразходвани за задача № 4 повече от 10 секундизле се ориентирате в кръг. Това ще бъде вашият проблем в цялата тригонометрия. По-добре е да се отървете от него (проблем, не тригонометрия!) веднага. Това може да стане в темата: Практическа работа с тригонометрична окръжност в раздел 555.

Той казва как да решавате такива задачи просто и правилно. Е, тези задачи се решават, разбира се. А четвъртата задача беше решена за 10 секунди. Да, така реших, че всеки може!

Ако сте абсолютно сигурни в отговорите си и не се интересувате от прости и безпроблемни начини за работа с радиани, можете да не посетите 555. Не настоявам.)

добро разбиране- достатъчно добра причинада продължим!)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Математиците по целия свят ядат парче торта всяка година на 14 март - все пак това е денят на Пи, най-известното ирационално число. Тази дата е пряко свързана с числото, чиито първи цифри са 3.14. Pi е съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър. Тъй като е ирационален, е невъзможно да го напишем като дроб. Това е безкрайно дълго число. Открит е преди хиляди години и оттогава непрекъснато се изучава, но дали Пи има останали тайни? от древен произходдо неопределено бъдеще, ето някои от най-интересните факти за пи.

Запаметяване на Пи

Рекордът за запомняне на числа след десетичната запетая принадлежи на Rajveer Meena от Индия, който успя да запомни 70 000 цифри - той постави рекорда на 21 март 2015 г. Преди това рекордьорът беше Чао Лу от Китай, който успя да запомни 67 890 цифри - този рекорд беше поставен през 2005 г. Неофициален рекордьор е Акира Харагучи, който през 2005 г. записа на видео повторението си от 100 000 цифри и наскоро публикува видео, в което успява да запомни 117 000 цифри. Официален рекорд би станал само ако това видео е записано в присъствието на представител на Книгата на рекордите на Гинес, а без потвърждение остава само впечатляващ факт, но не се счита за постижение. Любителите на математиката обичат да запомнят числото Пи. Много хора използват различни мнемонични техники, като например поезия, където броят на буквите във всяка дума е същият като pi. Всеки език има свои собствени варианти на такива фрази, които помагат да се запомнят както първите няколко цифри, така и цели сто.

Има език Пи

Увлечени от литературата, математиците изобретиха диалект, в който броят на буквите във всички думи съответства на цифрите на Пи в точен ред. Писателят Майк Кийт дори написа книга Not a Wake, която е изцяло написана на езика Pi. Ентусиастите на такова творчество пишат произведенията си в пълно съответствие с броя на буквите и значението на числата. Това няма практическо приложение, но е доста често срещано и добре познато явление в средите на ентусиазираните учени.

Експоненциален растеж

Пи е безкрайно число, така че хората по дефиниция никога няма да могат да разберат точните числа на това число. Въпреки това, броят на цифрите след десетичната запетая се е увеличил значително след първото използване на Pi. Дори вавилонците са го използвали, но част от три и една осма им е достатъчна. Китайци и творци Старият завети беше напълно ограничен до три. До 1665 г. сър Исак Нютон е изчислил 16 цифри на пи. Към 1719г френски математик Tom Fante de Lagny изчисли 127 цифри. Появата на компютрите радикално подобри познанията на хората за Пи. От 1949 до 1967 г. бр познати на човекачислата скочиха от 2037 г. до 500 000. Не толкова отдавна Петер Труеб, учен от Швейцария, успя да изчисли 2,24 трилиона цифри на Пи! Това отне 105 дни. Разбира се, това не е границата. Вероятно с развитието на технологиите ще бъде възможно да се инсталират още повече точно число- тъй като Pi е безкрайно, просто няма ограничение за точността и само техническите характеристики на компютърната технология могат да го ограничат.

Изчисляване на Pi на ръка

Ако искате сами да намерите числото, можете да използвате старата техника - ще ви трябва линийка, буркан и връв, можете също да използвате транспортир и молив. Недостатъкът на използването на буркан е, че той трябва да е кръгъл и точността ще се определя от това колко добре човекът може да увие въжето около него. Възможно е да начертаете кръг с транспортир, но това също изисква умения и прецизност, тъй като неравен кръг може сериозно да изкриви вашите измервания. | Повече ▼ точен методвключва използването на геометрия. Разделете кръга на много сегменти, като парчета пица, и след това изчислете дължината на права линия, която ще превърне всеки сегмент в равнобедрен триъгълник. Сумата от страните ще даде приблизителен брой пи. Колкото повече сегменти използвате, толкова по-точно ще бъде числото. Разбира се, във вашите изчисления няма да можете да се доближите до резултатите от компютър, въпреки тези прости експериментиви позволяват да разберете по-подробно какво е числото пи като цяло и как се използва в математиката.

Откриването на Пи

Древните вавилонци са знаели за съществуването на числото Пи още преди четири хиляди години. Вавилонските плочки изчисляват Пи като 3,125, а египетският математически папирус съдържа числото 3,1605. В Библията числото Пи е дадено в остаряла дължина - в лакти, а гръцкият математик Архимед е използвал Питагоровата теорема, за да опише Пи, геометричното съотношение на дължината на страните на триъгълник и площта на фигурите вътре и извън кръговете. По този начин е безопасно да се каже, че Пи е едно от най-древните математически понятия, обаче точното име дадено числои се появи сравнително наскоро.

Нов поглед върху Пи

Още преди пи да се свърже с кръговете, математиците вече са имали много начини дори да назоват това число. Например в старите учебници по математика може да се намери фраза на латински, която може да се преведе грубо като „количеството, което показва дължината, когато диаметърът се умножи по нея“. Ирационалното число стана известно, когато швейцарският учен Леонхард Ойлер го използва в работата си по тригонометрия през 1737 г. Гръцкият символ за пи обаче все още не се използва - това се случи само в книга на по-малко известния математик Уилям Джоунс. Той го използва още през 1706 г., но дълго време беше пренебрегван. С течение на времето учените възприеха това име и сега това е най-известната версия на името, въпреки че преди това се наричаше и числото на Лудолф.

Пи нормално ли е?

Числото пи определено е странно, но как се подчинява на нормалните математически закони? Учените вече са решили много въпроси, свързани с това ирационално числоно някои мистерии остават. Например, не е известно колко често се използват всички цифри - числата от 0 до 9 трябва да се използват в равно съотношение. Все пак може да се проследи статистика за първите трилиони цифри, но поради факта, че числото е безкрайно, е невъзможно да се докаже нещо със сигурност. Има и други проблеми, които все още убягват на учените. Напълно възможно е това по-нататъчно развитиенауката ще помогне да се хвърли светлина върху тях, но на този моментостава извън човешкия интелект.

Пи звучи божествено

Учените не могат да отговорят на някои въпроси относно числото Пи, но всяка година разбират същността му все по-добре. Още през осемнадесети век е доказана ирационалността на това число. Освен това е доказано, че числото е трансцендентално. Това означава не определена формула, което би позволило pi да бъде изчислено с помощта на рационални числа.

Недоволство от Пи

Много математици просто са влюбени в Пи, но има и такива, които смятат, че тези числа нямат особено значение. Освен това те твърдят, че числото Тау, което е два пъти по-голямо от Пи, е по-удобно да се използва като ирационално. Tau показва връзката между обиколката и радиуса, което според някои представлява по-логичен метод на изчисление. Въпреки това, за да се определи еднозначно нещо в този проблемневъзможно, и едното, и другото число винаги ще има поддръжници, и двата метода имат право на живот, така че е просто интересен факт, а не причина да мислите, че не трябва да използвате числото Пи.

Таблица със стойности тригонометрични функции компилиран за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 степении съответните им ъгли в радиани. от тригонометрични функциипоказва таблицата синус, косинус, тангенс, котангенс, секанси косеканс. За удобство на решението училищни примеристойности тригонометрични функциив таблицата са записани като дроб със запазване на знаците за извличане на квадратен корен от числа, което много често помага за намаляване на сложни математически изрази. За допирателнаи котангенснякои ъгли не могат да бъдат определени. За ценности допирателнаи котангенстакива ъгли в таблицата със стойности на тригонометрични функции е тире. Общоприето е, че допирателнаи котангенстакива ъгли са равни на безкрайност. На отделна страница има формули за редуциране на тригонометрични функции.

Таблицата със стойности за синус на тригонометричната функция показва стойностите за следните ъгли: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в степенна мярка, което съответства на sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi в радианова мярка за ъгли. училищна масасинусите.

За тригонометричната косинусова функция таблицата показва стойностите за следните ъгли: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусна мярка, което съответства на cos 0 pi, cos pi до 6, cos pi с 4, cos pi с 3, cos pi с 2, cos pi, cos 3 pi с 2, cos 2 pi в радианова мярка за ъгли. Ученическа маса от косинуси.

Тригонометричната таблица за тангенса на тригонометричната функция дава стойности за следните ъгли: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в степенна мярка, което съответства на tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi в радианова мярка за ъгли. Следните стойноститригонометричните функции на тангенса не са определени tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 и се считат за равни на безкрайност.

За котангенса на тригонометричната функция в тригонометричната таблица са дадени стойностите на следните ъгли: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусна мярка, което съответства на ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 в радианова мярка за ъгли. Следните стойности на тригонометричните котангенси не са дефинирани ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi и се считат за равни на безкрайност.

Стойностите на тригонометричните функции секанс и косеканс са дадени за същите ъгли в градуси и радиани като синус, косинус, тангенс, котангенс.

Таблицата със стойности на тригонометрични функции на нестандартни ъгли показва стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли в градуси 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градуса и в радиани pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 радиана. Стойностите на тригонометричните функции се изразяват чрез дроби и квадратни корени, за да се опрости редуцирането на дроби в училищните примери.

Още три чудовища на тригонометрията. Първият е тангенса от 1,5 градуса и половина, или пи, делено на 120. Второто е косинус от пи, делено на 240, пи/240. Най-дългият е косинус от пи, делено на 17, пи/17.

Тригонометричният кръг на стойностите на функциите синус и косинус визуално представя знаците на синуса и косинуса в зависимост от големината на ъгъла. Специално за блондинките косинусовите стойности са подчертани със зелено тире, за да бъдат по-малко обърквани. Преобразуването на градуси в радиани също е много ясно представено, когато радианите се изразяват чрез pi.

Тази тригонометрична таблица представя стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгли от 0 нула до 90 деветдесет градуса в интервали от един градус. За първите четиридесет и пет градуса имената на тригонометричните функции трябва да се гледат в горната част на таблицата. Първата колона съдържа градуси, стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите са записани в следващите четири колони.

За ъгли от четиридесет и пет градуса до деветдесет градуса имената на тригонометричните функции са написани в долната част на таблицата. Последната колона съдържа градуси, стойностите на косинусите, синусите, котангенсите и тангенсите са записани в предходните четири колони. Трябва да внимавате, защото на дъното тригонометрична таблицаимената на тригонометричните функции са различни от имената в горната част на таблицата. Синусите и косинусите се разменят, точно както тангенсът и котангенсът. Това се дължи на симетрията на стойностите на тригонометричните функции.

Знаците на тригонометричните функции са показани на фигурата по-горе. синусите имат положителни стойности 0 до 180 градуса или 0 до pi. Отрицателни стойностисинусът има 180 до 360 градуса, или пи до 2 пи. Косинусовите стойности са положителни от 0 до 90 и 270 до 360 градуса или от 0 до 1/2 pi и 3/2 до 2 pi. Тангенсът и котангенсът имат положителни стойности от 0 до 90 градуса и от 180 до 270 градуса, съответстващи на стойности от 0 до 1/2 pi и от pi до 3/2 pi. Отрицателният тангенс и котангенс са 90 до 180 градуса и 270 до 360 градуса, или 1/2 pi към pi и 3/2 pi към 2 pi. При определяне на знаците на тригонометричните функции за ъгли, по-големи от 360 градуса или 2 pi, трябва да се използват свойствата на периодичност на тези функции.

Тригонометричните функции синус, тангенс и котангенс са нечетни функции. Стойностите на тези функции за отрицателни ъгли ще бъдат отрицателни. Косинусът е четна тригонометрична функция - косинусовата стойност за отрицателен ъгълще бъде положителен. Когато умножавате и разделяте тригонометрични функции, трябва да следвате правилата на знаците.

Коренът от 2/2 е колко пи?- Това се случва по различни начини (вижте снимката). Трябва да знаете коя тригонометрична функция е равна на корен от две делено на две.

Ако публикацията ви е харесала и искате да научите повече, в процес съм на работа по други материали.

cos pi делено на 2

Начало > Справочник > Математически формули.

Математически формули.

Преобразувайте радиани в градуси.
A d = A r * 180 / pi

Преобразувайте градуси в радиани.
A r = A d * pi / 180
Където A d е ъгълът в градуси, A r е ъгълът в радиани.

Обиколка.
L = 2 * pi * R

Дължината на дъгата на окръжност.
L=A*R

Площ на триъгълник.

p=(a+b+c)/2 - полупериметър.

Площ на кръг.
S = pi * R 2

Секторна площ.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2

Повърхностната площ на сферата.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Където S е площта на страничната повърхност на цилиндъра, R е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Обемът на топката.
V = 4/3 * pi * R 3

Обем на цилиндъра.
V = pi * R 2 * H

Конусен обем.

Публикувано: 15.01.13
Актуализирано: 15.11.14 г
Преглеждания общо: 10754
днес: 1

Начало > Справочник > Математически формули.

Егор

Добър вечер! Много попитахте интерес Питайнадявам се да можем да ви помогнем.

Как да решим C1. Урок 2

Вие и аз трябва да решим следната задача: намерете cos pi делено на 2.
Най-често за решаване на такива проблеми е необходимо да се определят индикаторите за косинус или синус. За ъгли от 0 до 360 градуса почти всяка стойност на cos или sin може лесно да бъде намерена в съответните табели, които съществуват и са често срещани, като тези:

Но ние нямаме синус (sin), а косинус. Нека първо разберем какво е косинус. Cos (косинус) е една от тригонометричните функции. За да се изчисли косинус на акут правоъгълен триъгълникЩе трябва да знаете съотношението на катета на включения ъгъл към хипотенузата. Косинусът на pi, делено на 2, може лесно да се изчисли от тригонометрична формула, което се отнася до стандартни формулитригонометрия. Но ако говорим за стойността на косинус pi, разделен на 2, тогава за това ще използваме таблицата, която вече споменахме повече от веднъж:

Успех в бъдещите начинания като това!
Отговор:

Начало > Справочник > Математически формули.

Математически формули.

Преобразувайте радиани в градуси.
A d = A r * 180 / pi

Преобразувайте градуси в радиани.
A r = A d * pi / 180
Където A d е ъгълът в градуси, A r е ъгълът в радиани.

Обиколка.
L = 2 * pi * R
Където L е обиколката, R е радиусът на окръжността.

Дължината на дъгата на окръжност.
L=A*R
Където L е дължината на дъгата на окръжност, R е радиусът на окръжността, A е централен ъгъл, изразено в радиани
За окръжност A = 2*pi (360 градуса), получаваме L = 2*pi*R.

Площ на триъгълник.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Където S е площта на триъгълника, a, b, c са дължините на страните,
p=(a+b+c)/2 - полупериметър.

Площ на кръг.
S = pi * R 2
Където S е площта на кръга, R е радиусът на кръга.

Секторна площ.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2
Където S е площта на сектора, R е радиусът на окръжността, L d е дължината на дъгата.

Повърхностната площ на сферата.
S = 4 * pi * R 2
Където S е повърхността на топката, R е радиусът на топката.

Площта на страничната повърхност на цилиндъра.
S = 2 * Pi * R * H
Където S е площта на страничната повърхност на цилиндъра, R е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра.

Квадрат пълна повърхностцилиндър.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Където S е площта на страничната повърхност на цилиндъра, R е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра.

Площта на страничната повърхност на конуса.
S = pi * R * L
Където S е площта на страничната повърхност на конуса, R е радиусът на основата на конуса, L е дължината на генератора на конуса.

Общата повърхност на конуса.
S = pi * R * L + pi * R 2
Където S е площта на пълната повърхност на конуса, R е радиусът на основата на конуса, L е дължината на генератора на конуса.

Обемът на топката.
V = 4/3 * pi * R 3
Където V е обемът на топката, R е радиусът на топката.

Обем на цилиндъра.
V = pi * R 2 * H
Където V е обемът на цилиндъра, R е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра.

Конусен обем.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Където V е обемът на конуса, R е радиусът на основата на конуса, L е дължината на образуващата на конуса, A е ъгълът при върха на конуса.

Публикувано: 15.01.13
Актуализирано: 15.11.14 г
Преглеждания общо: 10742
днес: 1

Начало > Справочник > Математически формули.

Егор
Можете да фиксирате проводника на клемите на батерията Krona с тръба, отрязана от капачката на медицинска игла.

Днес е рожденият ден на числото Пи, който по инициатива на американски математици се чества на 14 март в 1 час и 59 минути следобед. Това се дължи на по-точната стойност на Pi: всички сме свикнали да броим тази константа като 3.14, но числото може да бъде продължено така: 3, 14159... Превеждайки това в календарна дата, получаваме 03.14, 1: 59.

Снимка: AIF / Надежда Уварова

Владимир Заляпин, професор в катедрата по математически и функционален анализ на Южноуралския държавен университет, казва, че 22 юли все още трябва да се счита за „ден пи“, тъй като в европейския формат за дата този ден се записва като 22/7, а стойността на тази част е приблизително равна на стойността на Pi.

„Историята на числото, което дава съотношението на обиколката на кръга към диаметъра на кръга, датира от древни времена“, казва Заляпин. — Още шумерите и вавилонците са знаели, че това отношение не зависи от диаметъра на кръга и е постоянно. Едно от първите споменавания на числото Пи може да се намери в текстовете Египетски писар Ахмес(около 1650 г. пр.н.е.). Древните гърци, които са заимствали много от египтяните, са допринесли за развитието на това мистериозно количество. Според легендата, Архимедбеше толкова увлечен от изчисленията, че не забеляза как римските войници го взеха роден градСиракуза. Когато римски войник се приближил до него, Архимед извикал на гръцки: „Не пипай моите кръгове!“ В отговор войникът го намушкал с меч.

Платонполучава доста точна за времето си стойност на пи - 3,146. Лудолф ван Цайленизразходвани повечетоот живота му върху изчисленията на първите 36 цифри след десетичната запетая на пи и те са гравирани върху надгробния му камък след смъртта.

Ирационално и ненормално

Според професора, през цялото време стремежът към изчисляване на нови десетични знаци се определя от желанието да се получи точната стойност на това число. Предполага се, че числото Pi е рационално и следователно може да бъде изразено като проста дроб. И това е фундаментално погрешно!

Пи също е популярно, защото е мистично. От древни времена съществува религия на поклонници на константата. Освен от традиционно значение Pi - математическа константа (3.1415 ...), изразяваща съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър, има много други стойности на числото. Такива факти са любопитни. В процеса на измерване на размери Голяма пирамидав Гиза се оказа, че има същото съотношение на височина към периметъра на основата си като радиуса на окръжност към нейната дължина, тоест ½ пи.

Ако изчислим дължината на екватора на Земята, използвайки Pi до деветия знак след десетичната запетая, грешката в изчислението е само около 6 mm. Тридесет и девет знака след десетичната запетая в числото Пи са достатъчни, за да се изчисли обиколката на окръжност, опасваща известната космически обективъв Вселената, с грешка не по-голяма от радиуса на водороден атом!

Изследването на Пи се занимава, наред с други неща, в математически анализ. Снимка: AIF / Надежда Уварова

Хаос в числата

Според професор по математика през 1767г Ламбъртустанови ирационалността на числото Пи, тоест невъзможността да се представи като съотношение на две цели числа. Това означава, че последователността от десетични цифри на пи е хаос, въплътен в числа. С други думи, "опашката" от десетични знаци съдържа всяко число, всяка последователност от числа, всякакви текстове, които са били, са и ще бъдат, но не е възможно да се извлече тази информация!

„Невъзможно е да се знае точната стойност на Пи“, продължава Владимир Илич. Но тези опити не са изоставени. През 1991г Чудновскипостига нови 2260000000 десетични цифри от константата, а през 1994 г. - 4044000000. След това броят на верните цифри на числото Пи нараства лавинообразно.

Китаец държи световен рекорд за запомняне на пи Лиу Чао, който успя да запомни без грешка 67890 знака след десетичната запетая и да ги възпроизведе в рамките на 24 часа и 4 минути.

За "златното сечение"

Между другото, връзката между "пи" и друга невероятна величина - златното сечение - всъщност не е доказана. Хората отдавна са забелязали, че "златната" пропорция - тя също е числото Фи - и числото Пи, разделено на две, се различават едно от друго с по-малко от 3% (1,61803398... и 1,57079632...). За математиката обаче тези три процента са твърде значителна разлика, за да се считат тези стойности за идентични. По същия начин можем да кажем, че числото Pi и числото Phi са роднини на друга добре известна константа - числото на Ойлер, тъй като коренът му е близо до половината от числото Pi. Една секунда от Пи е 1,5708, Фи е 1,6180, коренът от Е е 1,6487.

Това е само част от значението на Пи. Снимка: Екранна снимка

Рожден ден на Пи

В Южен Урал държавен университетРожден ден на Констант празнуват всички учители и студенти по математика. Винаги е било така - не може да се каже, че интересът се е проявявал само към последните години. Числото 3.14 дори е посрещнато със специален празничен концерт!

Тази статия е събрала таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Първо, даваме таблица с основни стойности на тригонометрични функции, тоест таблица на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). След това ще дадем таблица на синусите и косинусите, както и таблица на тангенсите и котангенсите от В. М. Брадис и ще покажем как да използваме тези таблици при намиране на стойностите на тригонометричните функции.

Навигация в страницата.

Таблица със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса

Библиография.

• Алгебра: Proc. за 9 клетки. ср. училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: Ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков M.I.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. ср. училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
• Брадис В. М.Четирицифрени математически таблици: За общообразователна подготовка. учебник заведения. - 2-ро изд. - М.: Дропла, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2