Кое уравнение има безкраен брой корени. Коренът на уравнението - информация за установяване на факти

След като сте получили обща представа за качествата и сте се запознали с един от техните видове - числени равенства, можете да започнете да говорите за друга форма на равенство, която е много важна от практическа гледна точка - за уравнения. В тази статия ще анализираме какво е уравнениетои това, което се нарича корен на уравнението. Тук даваме съответните определения, както и различни примери за уравнения и техните корени.

Навигация в страницата.

Какво е уравнение?

Целенасоченото запознаване с уравненията обикновено започва в часовете по математика във 2 клас. По това време следното дефиниция на уравнение:

Определение.

Уравнениетое равенство, съдържащо неизвестно число, което трябва да се намери.

Неизвестните числа в уравненията обикновено се обозначават с малки латински букви, например p, t, u и т.н., но най-често се използват буквите x, y и z.

Така уравнението се определя от гледна точка на формата на нотацията. С други думи, равенството е уравнение, когато се подчинява на определените правила за нотация - то съдържа буква, чиято стойност трябва да се намери.

Ето няколко примера за първото и най-много прости уравнения. Нека започнем с уравнения като x=8 , y=3 и т.н. Уравнения, които съдържат знаци на аритметични операции заедно с числа и букви, изглеждат малко по-сложни, например x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

Разнообразието от уравнения нараства след запознаване с - започват да се появяват уравнения със скоби, например 2 (x−1)=18 и x+3 (x+2 (x−2))=3 . Неизвестна буква може да се появи няколко пъти в едно уравнение, например x+3+3 x−2−x=9 и буквите могат да бъдат от лявата страна на уравнението, от дясната му страна или от двете страни на уравнение, например x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 или 3 x−4=2 (x+12) .

По-нататък след изучаване естествени числаима запознаване с цели, рационални, реални числа, изучават се нови математически обекти: степени, корени, логаритми и т.н., докато се появяват все повече и повече нови видове уравнения, които съдържат тези неща. Примери можете да намерите в статията. основни видове уравненияучи в училище.

В 7 клас, заедно с буквите, които означават някои конкретни числа, започнете да обмисляте писма, които могат да приемат различни значения, те се наричат ​​променливи (вижте статията). В този случай думата „променлива“ се въвежда в дефиницията на уравнението и то става така:

Определение.

Уравнениеназовете равенство, съдържащо променлива, чиято стойност трябва да бъде намерена.

Например уравнението x+3=6 x+7 е уравнение с променлива x , а 3 z−1+z=0 е уравнение с променлива z .

В уроците по алгебра в същия 7 клас има среща с уравнения, съдържащи в записа си не една, а две различни неизвестни променливи. Те се наричат ​​уравнения с две променливи. В бъдеще е разрешено присъствието на три или повече променливи в записа на уравнението.

Определение.

Уравнения с едно, две, три и т.н. променливи- това са уравнения, съдържащи съответно една, две, три, ... неизвестни променливи в своя запис.

Например, уравнението 3.2 x+0.5=1 е уравнение с една променлива x, на свой ред уравнение от вида x−y=3 е уравнение с две променливи x и y. И още един пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Ясно е, че такова уравнение е уравнение с три неизвестни променливи x, y и z.

Какъв е коренът на уравнението?

Дефиницията на корена на уравнението е пряко свързана с дефиницията на уравнението. Ще направим някои разсъждения, които ще ни помогнат да разберем какъв е коренът на уравнението.

Да предположим, че имаме уравнение с една буква (променлива). Ако вместо буквата, включена в записа на това уравнение, се замени определено число, тогава уравнението ще се превърне в числово равенство. Освен това полученото равенство може да бъде както вярно, така и невярно. Например, ако вместо буквата a в уравнението a+1=5 заместим числото 2 , тогава получаваме неправилно числово равенство 2+1=5 . Ако заместим числото 4 вместо a в това уравнение, тогава ще получим правилното равенство 4+1=5.

На практика в преобладаващата част от случаите представляват интерес такива стойности на променливата, чието заместване в уравнението дава правилното равенство, тези стойности се наричат ​​корени или решения. дадено уравнение.

Определение.

Корен на уравнението- това е стойността на буквата (променлива), при заместването на която уравнението се превръща в правилно числово равенство.

Обърнете внимание, че коренът на уравнение с една променлива също се нарича решение на уравнението. С други думи, решението на уравнение и коренът на уравнението са едно и също нещо.

Нека обясним това определение с пример. За да направим това, се връщаме към уравнението, написано по-горе a+1=5. Според озвучената дефиниция на корена на уравнението, числото 4 е коренът на това уравнение, тъй като при заместването на това число вместо буквата а получаваме правилното равенство 4+1=5, а числото 2 не е неговия корен, тъй като съответства на неправилно равенство от вида 2+1= 5 .

В този момент възникват редица естествени въпроси: „Има ли корен някое уравнение и колко корена има дадено уравнение"? Ние ще им отговорим.

Има както уравнения с корени, така и уравнения без корени. Например уравнението x+1=5 има корен 4, а уравнението 0 x=5 няма корени, тъй като без значение какво число заместваме в това уравнение вместо променливата x, ще получим грешното равенство 0= 5.

Що се отнася до броя на корените на уравнението, те съществуват като уравнения, които имат някои крайно числокорени (един, два, три и т.н.) и уравнения, които имат безкрайно много корени. Например уравнението x−2=4 има един корен 6 , корените на уравнението x 2 =9 са две числа −3 и 3 , уравнението x (x−1) (x−2)=0 има три корени 0, 1 и 2 и решението на уравнението x=x е произволно число, т.е. има безкрайно множествокорени.

Трябва да се кажат няколко думи за приетото означение на корените на уравнението. Ако уравнението няма корени, тогава обикновено пишат „уравнението няма корени“ или използват знака на празния набор ∅. Ако уравнението има корени, тогава те се пишат разделени със запетаи или се записват като зададени елементивъв къдрави скоби. Например, ако корените на уравнението са числата −1, 2 и 4, тогава напишете −1, 2, 4 или (−1, 2, 4) . Също така е възможно да се запишат корените на уравнението под формата на прости равенства. Например, ако буквата x влиза в уравнението и корените на това уравнение са числата 3 и 5, тогава можете да напишете x=3, x=5 и често се добавят индекси x 1 =3, x 2 =5 към променливата, сякаш посочвайки числа корените на уравнението. Безкраен набор от корени на уравнение обикновено се записва във формата, също така, ако е възможно, се използва нотация на набори от естествени числа N, цели Z, реални числа R. Например, ако коренът на уравнението с променливата x е всяко цяло число, тогава те пишат и ако корените на уравнението с променливата y са произволни реално числоот 1 до 9 включително, след това запишете.

За уравнения с две, три и голямо количествопроменливите, като правило, не използват термина "корен на уравнението", в тези случаи те казват "решение на уравнението". Какво се нарича решение на уравнения с няколко променливи? Нека дадем подходящо определение.

Определение.

Решаване на уравнение с две, три и т.н. променливинаричам чифт, тройка и т.н. стойности на променливите, което превръща това уравнение в истинско числово равенство.

Ще покажем обяснителни примери. Да разгледаме уравнение с две променливи x+y=7. Заменяме числото 1 вместо x и числото 2 вместо y, като имаме равенството 1+2=7. Очевидно е неправилно, следователно двойката стойности x=1, y=2 не е решение на писменото уравнение. Ако вземем двойка стойности x=4 , y=3 , тогава след заместване в уравнението ще стигнем до правилното равенство 4+3=7 , следователно тази двойка стойности на променливи по дефиниция е решение към уравнението x+y=7 .

Уравнения с множество променливи, като уравнения с една променлива, може да нямат корени, могат да имат краен брой корени или могат да имат безкрайно много корени.

Двойки, тройки, четворки и т.н. стойностите на променливите често се пишат накратко, изброявайки техните стойности, разделени със запетаи в скоби. В този случай написаните числа в скоби съответстват на променливите по азбучен ред. Нека изясним тази точка, като се върнем към предишното уравнение x+y=7. Решението на това уравнение x=4 , y=3 може накратко да бъде записано като (4, 3) .

Най-голямо внимание в училищния курс по математика, алгебра и началото на анализа се отделя на намирането на корените на уравнения с една променлива. Ще анализираме правилата на този процес много подробно в статията. решение на уравнения.

Библиография.

• Математика. 2 клетки Proc. за общо образование институции с прил. към електрон. носител. В 2 часа, част 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова и др.] - 3 изд. - М.: Образование, 2012. - 96 с.: ил. - (Училище на Русия). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.

В алгебрата има концепция за два вида равенства - тъждества и уравнения. Идентичностите са такива равенства, които са изпълними за всякакви стойности на буквите, включени в тях. Уравненията също са равенства, но те са изпълними само за определени стойности на буквите, включени в тях.

Буквите според условието на задачата обикновено са неравни. Това означава, че някои от тях могат да приемат всякакви позволени стойности, наречени коефициенти (или параметри), докато други - те се наричат ​​неизвестни - приемат стойности, които трябва да бъдат намерени в процеса на решаване. По правило неизвестните величини се означават в уравненията с букви, последните в (x.y.z и т.н.) или със същите букви, но с индекс (x 1, x 2 и т.н.), а известните коефициенти - с първите букви от същата азбука.

Според броя на неизвестните се различават уравнения с едно, две и няколко неизвестни. По този начин всички стойности на неизвестните, за които решаваното уравнение се превръща в идентичност, се наричат ​​решения на уравненията. Едно уравнение може да се счита за разрешено, ако са намерени всички негови решения или се докаже, че то няма никакви. Задачата „решете уравнението“ е често срещана в практиката и означава, че трябва да намерите корена на уравнението.

Определение: корените на уравнението са тези стойности на неизвестните от областта на допустимото, при които решаваното уравнение се превръща в идентичност.

Алгоритъмът за решаване на абсолютно всички уравнения е един и същ, а смисълът му е да се използва математически трансформациитози израз води до повече обикновен поглед.
Уравнения, които имат еднакви корени, се наричат ​​еквивалентни уравнения в алгебрата.

Най-простият пример: 7x-49=0, коренът на уравнението е x=7;
x-7=0, по подобен начин коренът x=7, следователно уравненията са еквивалентни. (В специални случаи еквивалентни уравненияможе изобщо да няма корени).

Ако коренът на уравнението е и корен на друго, по-просто уравнение, получено от първоначалното чрез трансформации, то последното се нарича следствие от предишното уравнение.

Ако едно от двете уравнения е следствие от другото, тогава те се считат за еквивалентни. Те се наричат ​​още еквивалентни. Примерът по-горе илюстрира това.

Решаването дори на най-простите уравнения на практика често създава трудности. В резултат на решението можете да получите един корен на уравнението, два или повече, дори безкраен брой - зависи от вида на уравненията. Има и такива, които нямат корени, те се наричат ​​нерешими.

Примери:
1) 15x -20=10; х=2. Това е единственият корен на уравнението.
2) 7x - y=0. Уравнението има безкраен брой корени, тъй като всяка променлива може да има безброенстойности.
3) x 2 \u003d - 16. Число, повдигнато на втора степен, винаги дава положителен резултат, така че е невъзможно да се намери коренът на уравнението. Това е едно от неразрешимите уравнения, споменати по-горе.

Правилността на решението се проверява чрез заместване на намерените корени вместо букви и решаване на получения пример. Ако идентичността е валидна, тогава решението е правилно.

След като изучихме понятието равенства, а именно един от техните видове - числови равенства, можем да преминем към друг важен изглед- уравнения. Като част от този материалще обясним какво е уравнение и неговия корен, ще формулираме основните определения и ще дадем различни примериуравнения и намиране на техните корени.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Концепцията за уравнение

Обикновено понятието уравнение се изучава в самото начало. училищен курсалгебра. Тогава се определя така:

Определение 1

Уравнениенаречено равенство с непознат номерда бъде намерен.

Прието е неизвестните да се означават с малки с латински букви, например t , r , m и т.н., но най-често се използват x , y , z. С други думи, уравнението определя формата на неговия запис, тоест равенството ще бъде уравнение само когато се сведе до определен вид- трябва да съдържа буква, стойността, която трябва да се намери.

Нека дадем няколко примера за най-простите уравнения. Това могат да бъдат равенства от вида x = 5 , y = 6 и т.н., както и такива, които включват аритметични операции, например x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 t = 4 , 6: x = 3 .

След изучаването на понятието скоби се появява понятието уравнения със скоби. Те включват 7 (x − 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 и т.н. Буквата, която трябва да се намери, може да се появи повече от веднъж, но няколко, като например в уравнение x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 . Освен това неизвестните могат да бъдат разположени не само отляво, но и отдясно или в двете части едновременно, например x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 или 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Освен това, след като учениците се запознаят с концепцията за цели числа, реални, рационални, естествени числа, както и логаритми, корени и степени, се появяват нови уравнения, които включват всички тези обекти. Посветихме отделна статия на примери за такива изрази.

В програмата за 7. клас за първи път се появява понятието променливи. Това са писма, които могат да приемат различни значения(за повече подробности вижте статията за числови, буквални изразии изрази с променливи). Въз основа на тази концепция можем да предефинираме уравнението:

Определение 2

Уравнениетое равенство, включващо променлива, чиято стойност трябва да се изчисли.

Тоест, например, изразът x + 3 \u003d 6 x + 7 е уравнение с променлива x, а 3 y − 1 + y \u003d 0 е уравнение с променлива y.

В едно уравнение може да има не една променлива, а две или повече. Те се наричат ​​съответно уравнения с две, три променливи и т.н. Нека напишем определението:

Определение 3

Уравнения с две (три, четири или повече) променливи се наричат ​​уравнения, които включват подходящ брой неизвестни.

Например равенство от формата 3, 7 x + 0, 6 = 1 е уравнение с една променлива x, а x − z = 5 е уравнение с две променливи x и z. Пример за уравнение с три променливи би бил x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 .

Корен на уравнението

Когато говорим за уравнение, веднага става необходимо да се определи понятието за неговия корен. Нека се опитаме да обясним какво означава.

Пример 1

Дадено ни е уравнение, което включва една променлива. Ако вместо това заместим неизвестна буквачисло, тогава уравнението ще се превърне в числово равенство - вярно или невярно. Така че, ако в уравнението a + 1 \u003d 5 заменим буквата с числото 2, тогава равенството ще стане неправилно, а ако 4, тогава ще получим правилното равенство 4 + 1 \u003d 5.

Ние се интересуваме повече от тези стойности, с които променливата ще се превърне в истинско равенство. Те се наричат ​​корени или разтвори. Нека напишем определението.

Определение 4

Коренът на уравнениетоназовете стойността на променливата, която превръща даденото уравнение в истинско равенство.

Коренът може да се нарече и решение или обратното - и двете понятия означават едно и също нещо.

Пример 2

Нека вземем пример, за да изясним това определение. По-горе дадохме уравнението a + 1 = 5 . По дефиниция се корени в този случайще бъде 4 , защото при заместване с буква дава правилно числово равенство, а две няма да е решение, тъй като отговаря на грешно равенство 2 + 1 = 5 .

Колко корена може да има едно уравнение? Всяко уравнение има ли корен? Нека отговорим на тези въпроси.

Съществуват и уравнения, които нямат един корен. Пример би бил 0 x = 5. Можем да заменим безкрайно много различни числа, но никой от тях няма да го превърне във валидно равенство, тъй като умножаването по 0 винаги дава 0 .

Има и уравнения, които имат множество корени. Те могат да имат както крайни, така и безкрайни голям бройкорени.

Пример 3

И така, в уравнението x - 2 \u003d 4 има само един корен - шест, в x 2 \u003d 9 два корена - три и минус три, в x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 три корена - нула, едно и две, в уравнението x=x има безкрайно много корени.

Сега ще обясним как да напишем правилно корените на уравнението. Ако няма такива, тогава пишем така: "уравнението няма корени." В този случай също е възможно да се посочи знакът на празното множество ∅. Ако има корени, тогава ги пишем разделени със запетаи или ги посочваме като елементи на множеството, ограждайки ги във фигурни скоби. И така, ако някое уравнение има три корена - 2, 1 и 5, тогава пишем - 2, 1, 5 или (- 2, 1, 5) .

Допуска се записването на корените под формата на най-прости равенства. Така че, ако неизвестното в уравнението е означено с буквата y, а корените са 2 и 7, тогава пишем y \u003d 2 и y \u003d 7. Понякога към буквите се добавят индекси, например x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Така посочваме номерата на корените. Ако уравнението има безкрайно много решения, тогава записваме отговора като числова празнинаили използваме общоприета нотация: наборът от естествени числа се обозначава с N, цели числа - Z, реални - R. Да кажем, че ако трябва да напишем, че което и да е цяло число ще бъде решението на уравнението, тогава записваме, че x ∈ Z, и ако някое реално число е от едно до девет, тогава y ∈ 1, 9.

Когато уравнението има два, три или повече корена, тогава по правило не се говори за корени, а за решения на уравнението. Ние формулираме дефиницията на решение на уравнение с няколко променливи.

Определение 5

Решението на уравнение с две, три или повече променливи е две, три или повече стойности на променливите, които превръщат това уравнение в истинско числово равенство.

Нека обясним определението с примери.

Пример 4

Да кажем, че имаме израз x + y = 7, който е уравнение с две променливи. Заменете едно за първото и две за второто. Получаваме неправилно равенство, което означава, че тази двойка стойности няма да бъде решение на това уравнение. Ако вземем чифт 3 и 4, тогава равенството става вярно, което означава, че сме намерили решение.

Такива уравнения също могат да нямат корени или да имат безкраен брой от тях. Ако трябва да запишем две, три, четири или повече стойности, тогава ги пишем разделени със запетаи в скоби. Тоест в примера по-горе отговорът ще изглежда като (3 , 4) .

На практика най-често трябва да се работи с уравнения, съдържащи една променлива. Ще разгледаме подробно алгоритъма за решаването им в статия, посветена на решаването на уравнения.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter