Биографии Характеристики Анализ
Разширяване
У дома ›

Примери за задачи върху геометричното място на точките.

Геометрия (Гръцка геометрия, от ge - Земя и metreo - мярка)

клон на математиката, който изучава пространствените отношения и форми, както и други отношения и форми, подобни на пространствените по своята структура.

Произходът на термина „G.“, който буквално означава „проучване на земята“, може да се обясни със следните думи, приписвани на древногръцкия учен Евдем от Родос (4 век пр.н.е.): „Геометрията е открита от египтяните и е възникнала, когато измерване на Земята. Това измерване му беше необходимо поради наводнението на река Нил, която постоянно отмиваше границите. " Още сред древните гърци Г. означаваше математическа наука, докато терминът геодезия е въведен за науката за измерване на Земята. Съдейки по оцелелите фрагменти от древноегипетски писания, гравитацията се е развила не само от измервания на земята, но и от измервания на обеми и повърхности по време на земни и строителни работи и т.н.

Първоначалните концепции за гравитацията възникват в резултат на абстракция от всички свойства и отношения на телата, с изключение на относителното положение и размер. Първите се изразяват в допира или прилепването на телата едно към друго, във факта, че едно тяло е част от друго, в разположението "между", "вътре" и т.н. Последните се изразяват в понятията "повече", "по-малко", в концепцията за равенството на телата.

Чрез същата абстракция възниква концепцията за геометрично тяло. Геометричното тяло е абстракция, в която само формата и размерите са запазени в пълна абстракция от всички други свойства. В същото време, както е типично за математиката като цяло, геометрията напълно се абстрахира от неопределеността и подвижността на реалните форми и размери и счита всички връзки и форми, които изследва, за абсолютно точни и определени. Абстрахирането от разширението на телата води до концепциите за повърхности, линии и точки. Това е ясно изразено например в дефинициите, дадени от Евклид: „линията е дължина без ширина“, „повърхнина е това, което има дължина и ширина“. Точка без никакво разширение е абстракция, която отразява възможността за неограничено намаляване на всички измерения на тялото, въображаемата граница на безкрайното му разделение. Тогава има обща концепцияза геометрична фигура, под която се разбира не само тяло, повърхност, линия или точка, но и всяка комбинация от тях.

Г. в първоначалния си смисъл е наука за фигурите, взаимното разположение и големината на техните части, както и преобразуването на фигурите. Тази дефиниция е в пълно съответствие с дефиницията на геометрията като наука за пространствените форми и отношения. Всъщност фигурата, както се счита в Г., е пространствена форма; затова в Г. казват например „топка“, а не „тяло“. сферична форма»; местоположението и размерите се определят от пространствените отношения; И накрая, трансформацията, както се разбира в Г., също е определено отношение между две фигури - дадената и тази, в която се трансформира.

В съвременния, по-общ смисъл, геометрията обхваща различни математически теории, чиято принадлежност към геометрията се определя не само от сходството (макар и понякога много далечно) на техния предмет с обикновените пространствени форми и отношения, но и от факта, че те са се развили исторически и се формират върху G. в първоначалния му смисъл и в техните конструкции изхождат от анализа, обобщаването и модификацията на неговите понятия. Географията в този общ смисъл е тясно преплетена с други клонове на математиката и нейните граници не са точни. Вижте Обобщение на геометрията и съвременна геометрия.

Развитие на геометрията. В развитието на Г. могат да бъдат посочени четири основни периода, преходите между които са отбелязани качествена промянаЖ.

Първият - периодът на зараждане на геометрията като математическа наука - продължава в древен Египет, Вавилон и Гърция до около 5 век. пр.н.е д. Първичната геометрична информация се появява в най-ранните етапи от развитието на обществото. За начало на науката трябва да се счита установяването на първата общи модели, в този случай- зависимости между геометрични величини. Този момент не може да бъде датиран. Най-ранната работа, съдържаща рудиментите на G., е достигнала до нас от древен Египет и датира от около 17 век. пр.н.е д., но със сигурност не е първият. Геометричната информация от този период не е многобройна и се свежда предимно до изчисляване на определени площи и обеми. Те бяха изложени под формата на правила, очевидно до голяма степен от емпиричен произход, докато логическите доказателства вероятно бяха все още много примитивни. Гърция, според гръцките историци, е пренесена в Гърция от Египет през 7 век. пр.н.е д. Тук, в течение на няколко поколения, тя еволюира в последователна система. Този процес се осъществява чрез натрупване на нови геометрични знания, изясняване на връзките между различни геометрични факти, разработване на методи за доказателство и, накрая, формиране на понятия за фигура, за геометрично изречение и за доказателство.

Този процес най-накрая доведе до качествен скок. Геометрията се превърна в самостоятелна математическа наука: появиха се нейните систематични изложения, в които нейните положения бяха последователно доказани. Оттогава започва вторият период на развитие на географията Известни са препратки към систематични изложения на геологията, сред които е дадено през 5 век. пр.н.е д. Хипократ от Хиос (Вж. Хипократ от Хиос). Те оцеляха и изиграха решаваща роля в бъдещето, появило се около 300 г. пр.н.е. д. „Начала“ на Евклид (Виж Началото на Евклид). Тук геометриите са представени по начина, по който те все още се разбират днес, ако се ограничим до елементарната геометрия (виж елементарна геометрия); това е науката за най-простите пространствени форми и отношения, развити в логическа последователност, основана на ясно формулирани основни положения - аксиоми и основни пространствени представи. Геометрията, разработена върху същите основи (аксиоми), дори усъвършенствана и обогатена както в предмета, така и в методите на изследване, се нарича Евклидова геометрия. Още в Гърция към него се добавят нови резултати, възникват нови методи за определяне на площи и обеми (Архимед, 3 в. пр. н. е.), учението за коничните сечения (Аполоний от Перга, 3 в. пр. н. е.), добавят се началото на тригонометрията (Хипарх , 2 в. пр.н.е д.) и G. върху сферата (Менелай, 1 век сл. н. е.). Упадъкът на древното общество доведе до сравнителна стагнация в развитието на циганството, но то продължи да се развива в Индия, през Централна Азия, в страните от арабския изток.

Възраждането на науките и изкуствата в Европа доведе до по-нататъшен разцвет на геологията. нова стъпкае създаден през първата половина на 17 век. Р. Декарт, който въвежда метода на координатите в геометрията. Методът на координатите направи възможно свързването на геометрията с тогавашната развиваща се алгебра и възникващия анализ. Прилагането на методите на тези науки в геологията дава началото на аналитичната география, а след това на диференциалната геология. G. премина на качествено ново ниво в сравнение с G. на древните: той вече разглежда много по-общи фигури и използва принципно нови методи. Оттогава започва третият период на развитие на G. Аналитичната геометрия изучава фигури и трансформации, дадени от алгебрични уравненияв правоъгълни координати, използвайки методите на алгебрата. Диференциална геометрия, възникнала през 18 век. В резултат на работата на L. Euler, H. Monge и други, той вече изучава всички достатъчно гладки криви линии и повърхности, техните семейства (т.е. техните непрекъснати колекции) и трансформации (концепцията за „диференциална геометрия“ е сега често се дава по-общо значение, което се обсъжда в раздела за съвременната геометрия). Името му се свързва главно с неговия метод, който произлиза от диференциалното смятане. Към 1-вата половина на 17 век. се отнася до произхода на проективната геометрия (виж проективна геометрия) в трудовете на Ж. Дезарг и Б. Паскал (виж Паскал). Възникна от проблемите на изобразяването на тела в равнина; първият му предмет са онези свойства на равнинните фигури, които се запазват при проектиране от една равнина в друга от всяка точка. Окончателното формулиране и систематичното изложение на тези нови направления в геологията са дадени през 18 и началото на 19 век. Ойлер за аналитични графики (1748), Монж за диференциални графики (1795), J. Poncelet за проективни графики (1822), а самата доктрина за геометрично представяне (в пряка връзка с проблемите на рисуването) е разработена още по-рано (1799) и въведени в системата от Монж под формата на дескриптивна геометрия (виж дескриптивна геометрия). Във всички тези нови дисциплини основите (аксиоми, начални концепции) на геометрията остават непроменени, докато обхватът на изучаваните фигури и техните свойства, както и използваните методи се разширяват.

Четвъртият период в развитието на геометрията започва с конструкцията на Н. И. Лобачевски (виж Лобачевски) през 1826 г. нова, неевклидова геометрия, сега наречена геометрия на Лобачевски (виж геометрия на Лобачевски). Независимо от Лобачевски през 1832 г. Й. Бояй построява същата геометрия (К. Гаус развива същите идеи, но не ги публикува). Източникът, същността и значението на идеите на Лобачевски се свеждат до следното. В геометрията на Евклид има аксиома за паралелите, която гласи: „през точка, която не лежи на дадена права, може да се начертае най-много една права, успоредна на дадена.“ Много геометри са се опитвали да докажат тази аксиома от други основни предпоставки на геометрията на Евклид, но без успех. Лобачевски стига до извода, че подобно доказателство е невъзможно. Твърдението, противоположно на аксиомата на Евклид, гласи: „през точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара не една, а поне две успоредни на нея прави“. Това е аксиомата на Лобачевски. Според Лобачевски добавянето на тази разпоредба към други основни положения на Г. води до логически безупречни заключения. Системата от тези изводи образува нова, неевклидова геометрия.Заслугата на Лобачевски се състои в това, че той не само изрази тази идея, но всъщност изгради и цялостно разви нова геометрия, логически също толкова съвършена и богата на изводи, колкото и Евклидовата , въпреки несъответствието му с обичайните визуални представяния. Лобачевски разглежда своята геометрия като възможна теория на пространствените отношения; обаче той остава хипотетичен, докато не бъде изяснен (през 1868 г.) истински смисъли по този начин беше дадена пълната му обосновка (вижте раздел Тълкувания на геометрията).

Революцията в геометрията, извършена от Лобачевски, не отстъпва по значение на никоя от революциите в естествените науки и не напразно Лобачевски е наричан "Коперник на геометрията". В неговите идеи са очертани три принципа, които определят новото развитие на геометриите.Първият принцип е, че не само евклидовите геометрии са логически мислими, но и други "геометрии". Вторият принцип е принципът на самото изграждане на нови геометрични теории чрез модифициране и обобщаване на основните положения на Euclidean G. Третият принцип е, че истинността на една геометрична теория, в смисъл на съответствие с реалните свойства на пространството, може може да се провери само чрез физически изследвания и е възможно такива изследвания да установят в този смисъл неточността на евклидовото G. Съвременната физика потвърди това. Въпреки това, математическата точност на евклидовата геометрия не се губи поради това, тъй като тя се определя от логическата последователност (последователност) на това G. По същия начин, по отношение на всяка геометрична теория, трябва да се прави разлика между тяхната физическа и математическа истина; първият се състои в съответствието на реалността, проверена от опита, вторият в логическата последователност. По този начин Лобачевски дава материалистичен подход към философията на математиката. Тези общи принципи играят роля важна роляне само в геометрията, но и в математиката изобщо, в развитието на нейния аксиоматичен метод, в разбирането на нейната връзка с реалността.

Основната характеристика на новия период в историята на геометрията, започнат от Лобачевски, е развитието на нови геометрични теории - нови "геометрии" и в съответното обобщение на предмета на геометрията; концепцията за различен вид„пространства“ (терминът „пространство“ има две значения в науката: от една страна, това е обикновено реално пространство, от друга, това е абстрактно „математическо пространство“). В същото време някои теории са формирани в рамките на евклидовата геометрия под формата на нейни специални глави и едва след това са получени самостоятелно значение. Така се формират проективната, афинната, конформната геометрия и други, чийто предмет са свойствата на фигурите, които се запазват при подходящи (проективни, афинни, конформни и др.) трансформации. Възниква понятието проективни, афинни и конформни пространства; Самата Евклидова Г. започва да се разглежда в в известен смисълкато ръководител на проективната Г. Др. теории, като геометрията на Лобачевски, са изградени от самото начало на базата на промяна и обобщение на понятията на евклидовата геометрия.Така е създадена например многомерната геометрия; първите произведения, свързани с него (G. Grassman и A. Cayley, 1844), представляват формално обобщение на обичайния аналитичен G. с три координатина н. Някои резултати от развитието на всички тези нови "геометрии" бяха обобщени през 1872 г. от Ф. Клайн, посочвайки общ принциптехните конструкции.

Основна стъпка е направена от Б. Риман (лекция 1854 г., публикувана 1867 г.). Първо, той ясно формулира обобщената концепция за пространството като непрекъсната колекция от всякакви хомогенни обекти или явления (вижте раздела Обобщение на предмета на геометрията). Второ, той въвежда концепцията за пространство с всеки закон за измерване на разстояния в безкрайно малки стъпки (подобно на измерване на дължината на линия с много малък мащаб). От тук се развива обширната област на Грузия, т.нар. Риманова геометрия и нейните обобщения, намерили важни приложения в теорията на относителността, в механиката и др.

Друг пример. Състоянието на газа в цилиндъра под буталото се определя от налягането и температурата. Следователно съвкупността от всички възможни състояния на газ може да бъде представена като двумерно пространство. „Точките“ на това „пространство“ са състоянията на газа; "точки" се различават по две "координати" - налягане и температура, точно както точките в равнината се различават по стойностите на своите координати. Непрекъснатата промяна на състоянието е представена с линия в това пространство.

По-нататък може да си представим всяка материална система – механична или физико-химична. Съвкупността от всички възможни състояния на тази система се нарича "фазово пространство". „Точките“ на това пространство са самите състояния. Ако състоянието на системата е определено нколичества, тогава казваме, че системата има нстепени на свобода. Тези величини играят ролята на координати на състоянието на точката, както в примера с газа налягането и температурата играят ролята на координати. В съответствие с това се нарича такова фазово пространство на системата н-измерителен. Промяната на състоянието е представена с линия в това пространство; отделни области от състояния, отличаващи се с един или друг признак, ще бъдат области на фазовото пространство, а границите на областите ще бъдат повърхности в това пространство. Ако системата има само две степени на свобода, тогава нейните състояния могат да бъдат представени чрез точки на равнината. По този начин, състоянието на газ с налягане Ри температура Tпредставена от точка с координати Ри T,и процесите, протичащи с газа, ще бъдат представени с линии на равнината. Този метод на графично представяне е добре познат и постоянно се използва във физиката и техниката за визуализиране на процесите и техните закони. Но ако броят на степените на свобода е по-голям от 3, тогава простото число графично изображение(дори в космоса) става невъзможно. След това, за да се запазят полезни геометрични аналогии, се прибягва до концепцията за абстрактно фазово пространство. Така визуалните графични методи прерастват в това абстрактно представяне. Методът на фазовото пространство се използва широко в механиката, теоретичната физика и физическа химия. В механиката движението на механична система се представя чрез движението на точка в нейното фазово пространство. Във физическата химия е особено важно да се вземе предвид формата и взаимното прилепване на онези области от фазовото пространство на система от няколко вещества, които отговарят на качествено различни състояния. Повърхностите, разделящи тези региони, са повърхности на преходи от едно качество в друго (топене, кристализация и др.). В самата геометрия се разглеждат и абстрактни пространства, чиито „точки” са фигури; така се определят "пространствата" от кръгове, сфери, линии и т.н. В механиката и теорията на относителността също се въвежда абстрактно четириизмерно пространство, добавяйки времето към трите пространствени координати като четвърта координата. Това означава, че събитията трябва да се различават не само по позиция в пространството, но и във времето.

Така става ясно как непрекъснатите колекции от различни обекти, явления и състояния могат да бъдат подведени под обобщеното понятие за пространство. В такова пространство могат да се начертаят "линии", изобразяващи непрекъснати последователности от явления (състояния), да се начертаят "повърхности" и да се определят по подходящ начин "разстояния" между "точки", като по този начин се даде количествен израз на физическата концепция за степента на различие на съответните явления (състояния) и др. Така, по аналогия с обикновената геометрия, възниква "геометрията" на абстрактното пространство; последното може дори да има малка прилика с обикновеното пространство, като например е нехомогенно в своите геометрични свойства и ограничено, като неравномерно извита затворена повърхност.

Предмет на геологията в обобщен смисъл са не само пространствените форми и отношения, но и всякакви форми и отношения, които, взети абстрактно от тяхното съдържание, се оказват подобни на обикновените пространствени форми и отношения. Тези космически форми на реалност се наричат ​​"пространства" и "фигури". Пространството в този смисъл е непрекъсната колекция от еднородни обекти, явления, състояния, които играят ролята на точки в пространството и в тази колекция има отношения, подобни на обикновените пространствени отношения, като например разстоянието между точките, равенството на фигури и др. (фигурата по принцип е част от пространството). Г. разглежда тези форми на реалността в абстракция от конкретно съдържание, ученето специфични формии отношенията, във връзка с тяхното качествено уникално съдържание, е предмет на други науки, а геометрията им служи като метод. Всяко приложение на абстрактна геометрия може да служи като пример, дори ако горното приложение н-дименсионално пространство във физическата химия. G. се характеризира с такъв подход към обекта, който се състои в обобщаване и прехвърляне на нови обекти на обикновени геометрични понятияи визуални представяния. Точно това се прави в горните примери за пространството на цветовете и т.н. Този геометричен подход съвсем не е чиста условност, а отговаря на самата природа на явленията. Но често същите реални факти могат да бъдат представени аналитично или геометрично, точно както същата зависимост може да бъде дадена чрез уравнение или линия на графика.

Не бива обаче да се представя развитието на геометрията по такъв начин, че тя само регистрира и описва на геометричен език форми и отношения, които вече са се срещали в практиката, подобни на пространствените. В действителност геометрията дефинира широки класове от нови пространства и фигури в тях, изхождайки от анализ и обобщение на данни от визуална геометрия и вече установени геометрични теории. В абстрактната дефиниция тези пространства и фигури се появяват като възможни формиреалност. Следователно те не са чисто спекулативни конструкции, а в крайна сметка трябва да служат като средство за изследване и описание на реални факти. Лобачевски, създавайки своя Г., го счита възможна теорияпространствени отношения. И точно както неговата геометрия беше обоснована в смисъла на своята логическа последователност и приложимост към природните явления, така всяка абстрактна геометрична теория преминава същия двоен тест. За проверка на логическата последователност методът на конструиране е от съществено значение математически моделинови пространства. Обаче само тези абстрактни понятия, които са оправдани както чрез изграждането на изкуствен модел, така и чрез приложения, ако не директно в естествените науки и технологиите, то поне в други математически теории, чрез които тези понятия по някакъв начин са свързани с реалността, накрая вземат корен в науката. Лекотата, с която математиците и физиците сега работят с различни „пространства“, е постигната в резултат на дългото развитие на геометрията в тясна връзка с развитието на математиката като цяло и други точни науки. Именно в резултат на това развитие се оформи и придоби голямо значение втората страна на гравитацията, която е посочена в общата дефиниция, дадена в началото на статията: включването в гравитацията на изучаването на форми и отношения, подобни към формите и отношенията в обикновеното пространство.

Като пример за абстрактна геометрична теория може да се разгледа G. н-мерно евклидово пространство. Той е конструиран чрез просто обобщение на основните положения на обикновената геометрия и има няколко възможности за това: можете например да обобщите аксиомите на обикновената геометрия, но можете също да продължите от определяне на точки чрез координати. С втория подход н-дименсионалното пространство се дефинира като набор от всякакви елементни точки, дадени от (всеки) нчисла х 1, x2,…, xn, разположени в определен ред, - координатите на точките. Освен това разстоянието между точките X \u003d (x 1, x 2, ..., xn)и X"= (x’ 1, x’ 2,…, x’ n)се определя по формулата:

което е пряко обобщение на известната формула за разстояние в тримерното пространство. Движението се определя като трансформация на фигура, която не променя разстоянията между нейните точки. След това темата н-дименсионалната геометрия се определя като изследване на тези свойства на фигурите, които не се променят по време на движение. На тази основа лесно се въвеждат понятията за права линия, за равнини. различен номеризмервания от две до н-1, за топката и т.н. Че. възниква една богата на съдържание теория, в много отношения подобна на обикновената евклидова геометрия, но в много отношения и различна от нея. Често се случва резултатите, получени за триизмерно пространство, лесно да се прехвърлят, с подходящи промени, в пространство с произволен брой измерения. Например теоремата, че сред всички тела с еднакъв обем най-малка площповърхност има топка, тя се чете дословно по същия начин в пространството на произволен брой измерения [просто трябва да имате предвид н- размерен обем, ( н-1)-мерна площ и н-измерна топка, които се дефинират доста аналогично на съответните понятия за обикновената гравитация]. След това, в н-дименсионално пространство обемът на призмата е равно на произведениетоплощта на основата по височина и обемът на пирамидата - такъв продукт, разделен на н. Такива примери могат да бъдат продължени. От друга страна, в многомерните пространства се откриват и качествено нови факти.

Тълкувания на геометрията. Една и съща геометрична теория позволява различни приложения, различни интерпретации (реализации, модели или интерпретации). Всяко приложение на една теория не е нищо друго освен реализация на някои от нейните заключения в съответната област от явления.

Възможността за различни реализации е общо свойство на всяка математическа теория. По този начин аритметичните отношения се реализират върху най-разнообразни набори от обекти; едно и също уравнение често описва напълно различни явления. Математиката разглежда само формата на явлението, абстрахирайки се от съдържанието, а от гледна точка на формата много качествено различни явления често се оказват сходни. Разнообразието от приложения на математиката и в частност на геометрията се осигурява именно от нейния абстрактен характер. Смята се, че определена система от обекти (поле от явления) осигурява реализацията на една теория, ако отношенията в тази област от обекти могат да бъдат описани на езика на теорията по такъв начин, че всяко твърдение на теорията да изразява един или друг факт, който се случва в разглежданата област. По-специално, ако една теория е изградена въз основа на някаква система от аксиоми, тогава тълкуването на тази теория се състои в такова сравнение на нейните концепции с определени обекти и техните отношения, при които аксиомите са изпълнени за тези обекти.

Евклидовият Г. възниква като отражение на фактите от действителността. Обичайната й интерпретация, в която опънатите нишки се считат за прави, механично движение и т.н., предшества гравитацията като математическа теория. Въпросът за други интерпретации не беше и не можеше да бъде повдигнат, докато не се появи по-абстрактно разбиране на геометрията. Лобачевски създава неевклидовата геометрия като възможна геометрия и тогава възниква въпросът за нейната реална интерпретация. Този проблем е решен през 1868 г. от Е. Белтрами, който забелязва, че геометрията на Лобачевски съвпада с вътрешната геометрия на повърхности с постоянна отрицателна кривина, т.е. геометричните теореми на Лобачевски описват геометрични факти върху такива повърхности (в този случай ролята на прави линии се играе от геодезични линии, а ролята на движения се играе от огъването на повърхността върху себе си). Тъй като в същото време такава повърхност е обект на евклидовата геометрия, се оказа, че геометрията на Лобачевски се интерпретира от гледна точка на геометрията на Евклид. По този начин беше доказана последователността на геометрията на Лобачевски, тъй като противоречие в него, по силата на това тълкуване, би довело до противоречие в геометрията на Евклид.

Така се изяснява двойственият смисъл на тълкуването на геометричната теория – физичен и математически. Ако говорим за интерпретация на конкретни обекти, тогава получаваме експериментално доказателство за истинността на теорията (разбира се, с подходяща точност); ако самите обекти имат абстрактен характер (като геометрична повърхност в рамките на геометрията на Евклид), тогава теорията се свързва с друга математическа теория, в случая с евклидовата геометрия, а чрез нея и с обобщените в нея експериментални данни. Подобно тълкуване на една математическа теория чрез друга се е превърнало в математически метод за обосноваване на нови теории, в метод за доказване на тяхната последователност, тъй като противоречие в нова теория би породило противоречие в теорията, в която тя се тълкува. Но теорията, чрез която се прави интерпретацията, от своя страна трябва да бъде обоснована. Следователно посоченият математически метод не премахва факта, че крайният критерий за истинност за математически теорииостава практиката. Понастоящем геометричните теории най-често се интерпретират аналитично; например, точки от равнината на Лобачевски могат да бъдат свързани с двойки числа хи при, прави - да се определят с уравнения и др. Тази техника дава обосновка на теорията, защото тя математически анализоправдано в крайна сметка от обширната практика на неговото прилагане.

съвременна геометрия. Формалната математическа дефиниция на понятията пространство и фигура, приета в съвременната математика, изхожда от концепцията за множество (виж Теория на множествата). Пространството се определя като съвкупност от произволни елементи ("точки") с условието, че в това множество се установяват отношения, подобни на обикновените пространствени отношения. Наборът от цветове, наборът от състояния на физическата система, наборът от непрекъснати функции, дефинирани на сегмента и т.н. образуват пространства, където точките ще бъдат цветове, състояния, функции. По-точно, тези множества се разбират като пространства, ако в тях са фиксирани само съответните отношения, например разстоянието между точките и онези свойства и отношения, които са определени чрез тях. По този начин разстоянието между функциите може да се определи като максимално абсолютна стойносттехните разлики: max| f(х)-g(х)| . Една фигура се определя като произволен набор от точки в дадено пространство. (Понякога пространството е система от набори от елементи. Например в проективната геометрия е обичайно точките, линиите и равнините да се разглеждат като равни начални геометрични обекти, свързани чрез отношения на „връзка“.)

Основните типове връзки, които в различни комбинации водят до цялото разнообразие от „пространства“ на съвременната геометрия, са следните:

1) Общи отношения, налични във всяко множество, са отношения на членство и включване: точка принадлежи на множество и едно множество е част от друго. Ако се вземат предвид само тези отношения, тогава в множеството все още не е дефинирана "геометрия", то не става пространство. Ако обаче са избрани някои специални фигури (набори от точки), тогава "геометрията" на пространството може да се определи от законите за свързване на точки с тези фигури. Такава роля играят комбинираните аксиоми в елементарната, афинната и проективната геометрия; тук линиите и равнините служат като специални комплекти.

Същият принцип на избиране на някои специални множества ни позволява да дефинираме концепцията за топологично пространство - пространство, в което "околностите" на точките се разграничават като специални множества (при условие, че точката принадлежи на своята околност и всяка точка има най-малко една околност; налагането на допълнителни изисквания към околностите определя един или друг тип топологични пространства). Ако някоя околност на дадена точка има общи точки с някакво множество, тогава такава точка се нарича допирна точка на това множество. Две множества могат да бъдат наречени докосващи се, ако поне едно от тях съдържа допирни точки на другото; пространство или фигура ще бъдат непрекъснати или, както се казва, свързани, ако не могат да бъдат разделени на две несвързани части; трансформацията е непрекъсната, ако не прекъсва контакта. По този начин концепцията за топологично пространство служи като математически израз за концепцията за непрекъснатост. [Топологичното пространство може също да бъде дефинирано от други специални множества (затворени, отворени) или директно от релация на допиране, в която всяко множество от точки е свързано с неговите допирателни точки.] Топологични пространства като такива, множества в тях и техните трансформации са обект на топология. Предмет на същинската геометрия (до голяма степен) е изучаването на топологични пространства и фигури в тях, надарени с допълнителни свойства.

2) Вторият най-важен принцип за определяне на определени пространства и тяхното изследване е въвеждането на координати. Многообразието е (свързано) топологично пространство в околността на всяка точка, на което могат да се въведат координати чрез поставяне на точките от околността в едно към едно и взаимно непрекъснато съответствие със системи от н реални числа x 1, x 2,(, xn. Номер не броят на измеренията на колектора. Пространствата, изучавани в повечето геометрични теории, са многообразия; най-простите геометрични фигури (сегменти, части от повърхности, ограничени от криви и т.н.) обикновено са части от многообразия. Ако сред всички координатни системи, които могат да бъдат въведени в частите на многообразието, има координатни системи от такъв вид, че някои координати се изразяват чрез други чрез диференцируеми (един или друг брой пъти) или аналитични функции, тогава ние получавате т.нар. гладък (аналитичен) колектор. Тази концепция обобщава визуалното представяне на гладка повърхност. Гладките многообразия като такива са обект на т.нар. диференциална топология. В G. правилно те са надарени с допълнителни свойства. Съгласуванията с приетото условие за диференцируемост на техните трансформации дават основание за широко приложение аналитични методи- диференциално и интегрално смятане, както и векторен и тензорен анализ (вижте Векторно смятане, Тензорно смятане). Съвкупността от теориите на геологията, разработени чрез тези методи, образува обща диференциална география; най-простият му случай е класическа теориягладки криви и повърхности, които не са нищо друго освен едно- и двумерни диференцируеми многообразия.

3) Обобщението на концепцията за движение като трансформация на една фигура в друга води до общ принцип за дефиниране на различни пространства, когато пространството се разглежда като набор от елементи (точки), в които група от един към- дадено е едно преобразуване на това множество върху себе си. "Геометрията" на такова пространство се състои в изучаването на онези свойства на фигурите, които се запазват при трансформации от тази група. Следователно, от гледна точка на такава геометрия, фигурите могат да се считат за "равни", ако едната преминава в друга чрез трансформация от дадена група. Например, евклидовата геометрия изучава свойствата на фигурите, които се запазват при движения, афинната геометрия изучава свойствата на фигурите, които се запазват при афинни трансформации, а топологията изучава свойствата на фигурите, които се запазват при всякакви едно-към-едно и непрекъснати трансформации . Същата схема включва геометрията на Лобачевски, проективните геометрии и др.. Всъщност този принцип се комбинира с въвеждането на координати. Пространството се дефинира като гладко многообразие, в което трансформациите са дадени чрез функции, свързващи координатите на всяка дадена точка и тази, към която тя преминава (координатите на образа на точка са дадени като функции на координатите на самата точка и параметрите, от които зависи трансформацията; например афинните трансформации се дефинират като линейни: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a в x n, i = 1, …, n). Следователно, общият апарат за разработване на такива "геометрии" е теорията на непрекъснатите групи от трансформации. Възможна е друга, по същество еквивалентна, гледна точка, според която се уточняват не пространствените трансформации, а координатните трансформации в него и се изучават онези свойства на фигурите, които са еднакво изразени в различни координатни системи. Тази гледна точка е намерила приложение в теорията на относителността, която изисква еднакво изразяване на физичните закони в различни координатни системи, наречени във физиката референтни системи.

4) Друг общ принцип за дефинирането на пространствата, посочен през 1854 г. от Риман, изхожда от обобщаване на понятието разстояние. Според Риман пространството е гладко многообразие, в което законът за измерване на разстояния, по-точно дължини, е зададен на безкрайно малки стъпки, т.е. диференциалът на дължината на дъгата на кривата е зададен като функция от координатите на точката на кривата и техните диференциали. Това е обобщение на вътрешната геометрия на повърхностите, дефинирана от Гаус като изследване на свойствата на повърхностите, които могат да бъдат установени чрез измерване на дължините на кривите върху тях. Най-простият случайпредставляват т.нар. Риманови пространства, в които Питагоровата теорема е валидна в безкрайно малките (т.е. в съседство на всяка точка могат да се въведат координати, така че в тази точка квадратът на диференциала на дължината на дъгата да е е равно на суматаквадратни диференциали на координатите; в произволни координати се изразява с обща положителна квадратична форма; вижте римановите геометрии (вижте риманова геометрия)). Следователно такова пространство е евклидово в безкрайно малкото, но като цяло може да не е евклидово, точно както извитата повърхност може да бъде сведена до равнина в безкрайно малкото само с подходяща точност. Геометриите на Евклид и Лобачевски се оказват специален случай на това риманово G. Най-широкото обобщение на концепцията за разстояние доведе до концепцията за общо метрично пространство като такъв набор от елементи, в който е дадена "метрика", т.е. на всяка двойка елементи се присвоява номер - разстоянието между тях, подчинено само много Общи условия. Тази идея играе важна роля във функционалния анализ и е в основата на някои от най-новите геометрични теории, като вътрешната граница на негладките повърхности и съответните обобщения на риманова граница.

5) Комбинацията от идеята на Риман за дефиницията на "геометрия" в безкрайно малки области на многообразие с дефиницията на "геометрия" чрез група от трансформации доведе (E. Cartan, 1922-25) до концепцията за пространство, в което трансформациите са дадени само в безкрайно малки области; с други думи, тук трансформациите установяват връзка само между безкрайно близки части от многообразието: една част се трансформира в друга, безкрайно близка. Следователно се говори за пространства с "връзка" от един или друг тип. По-специално, пространствата с "евклидова връзка" са римановски. По-нататъшните обобщения се връщат към концепцията за пространството като гладко многообразие, върху което "полето" на някакъв "обект" е дадено като цяло, което може да бъде квадратна форма, както в Риманова геометрия, набор от величини, които определят връзка, един или друг тензор и т. н. Тук спадат и наскоро въведените т.нар. слоести пространства. Тези понятия включват, по-специално, обобщение на риманова геометрия, свързана с теорията на относителността, когато се разглеждат пространства, където метриката вече не е дадена от положителна, а от квадратна форма с променлив знак (такива пространства се наричат ​​също риманов, или псевдо-риманови, ако искат да ги разграничат от римански в оригиналния смисъл). Тези пространства са пространства с връзка, определена от съответната група, различна от групата на евклидовите движения.

На базата на теорията на относителността възниква теория на пространствата, в която е дефинирана концепцията за последователност на точките, така че всяка точка хнабор от отговори V(X)точки след него. (Това е естествено математическо обобщение на последователността от събития, дефинирано от факта, че събитието Yследва събитието х,ако хзасяга Y,и тогава Yследва хвъв времето във всяка референтна система.) Тъй като самото присвояване на множества Vопределя следните точки х,като принадлежащи към комплекта V(X), то дефинирането на този тип пространства се оказва прилагането на първия от изброените по-горе принципи, когато "геометрията" на пространството се определя от избора на специални набори. Разбира се, докато мн Vтрябва да са предмет на съответните условия; в най-простия случай това са изпъкнали конуси. Тази теория включва теорията на съответните псевдо-риманови пространства.

6) Аксиоматичният метод в своята чиста формасега служи или за формулиране на готови теории, или за определяне общи типовепространства с разграничени специални набори. Ако един или друг тип по-специфични пространства се определя чрез формулиране на свойствата им като аксиоми, тогава се използват или координати, или метрика и т.н. Последователността и по този начин смислеността на аксиоматичната теория се проверява чрез посочване на модела, върху който е реализирана , както е направено за пръв път за геометрията на Лобачевски. Самият модел е изграден от абстракт математически обекти, следователно „окончателната обосновка“ на всяка геометрична теория отива в сферата на основите на математиката като цяло, които не могат да бъдат окончателни в пълния смисъл, а изискват задълбочаване (вижте Математика, Аксиоматичен метод).

Тези принципи в различни комбинации и вариации пораждат голямо разнообразие от геометрични теории. Значението на всеки от тях и степента на внимание към проблемите му се определят от съдържанието на тези проблеми и получените резултати, връзките му с други теории на геометрията, с други области на математиката, с точното естествознание и с проблемите на на технологиите. Всяка дадена геометрична теория се определя сред другите геометрични теории, първо, от това какво пространство или какъв тип пространство разглежда. Второ, дефиницията на теория включва индикация за изследваните цифри. Така се разграничават теориите за полиедри, криви, повърхнини, изпъкнали тела и др. Всяка от тези теории може да се развие в определено пространство. Например, може да се разгледа теорията на полиедрите в обичайното евклидово пространство, в н-мерно евклидово пространство, в пространството на Лобачевски и т.н. Възможно е да се развие обичайната теория на повърхностите, проективна, в пространството на Лобачевски и т.н. На трето място, има значение естеството на разглежданите свойства на фигурите. По този начин могат да се изучават свойствата на повърхности, които се запазват при определени трансформации; може да се прави разлика между доктрината за кривината на повърхностите, доктрината за огъванията (т.е. за деформациите, които не променят дължините на кривите на повърхността) и вътрешната G. И накрая, в дефиницията на една теория може да се включи нейната основния метод и естеството на формулирането на проблемите. Г. се разграничава по този начин: елементарен, аналитичен, диференциален; например може да се говори за елементарни или аналитични геометрии на пространството на Лобачевски. G. се отличава „в малкото“, което разглежда само свойствата на произволно малки парчета от геометричен образ (крива, повърхност, колектор), от G. „като цяло“, което, както става ясно от името му, геометрично изображения като цяло по цялата им дължина. Прави се много общо разграничение между аналитични методи и методи на синтетичната геометрия (или строго геометрични методи); първите използват средствата на съответното смятане: диференциално, тензорно и т.н., вторите оперират директно с геометрични изображения.

От цялото разнообразие от геометрични теории всъщност най-развитите н-измерна евклидова геометрия и риманова (включително псевдо-риманова) геометрия.В първата се развива по-специално теорията на кривите и повърхностите (и хиперповърхнините с различен брой измерения), гладки, изучавани в класическата диференциална геометрия; това също включва полиедри (многостенни повърхности). След това е необходимо да се назове теорията на изпъкналите тела, която обаче до голяма степен може да се припише на теорията на повърхностите като цяло, тъй като. едно тяло се определя от неговата повърхност. Следващата е теорията за правилните системи от фигури, т.е. тези, които позволяват движения, които прехвърлят цялата система в себе си и всяка от нейните фигури във всяка друга (вижте групите на Федоров (вижте групата на Федоров)). Може да се отбележи, че значителен брой ключови резултатив тези области принадлежат на сови. геометрия: много пълно развитие на теорията на изпъкналите повърхности и значително развитие на теорията на общите неизпъкнали повърхности, различни теореми за повърхностите като цяло (съществуването и уникалността на изпъкналите повърхности с дадена присъща метрика или с дадено на товаили някаква друга "функция на кривина", теорема за невъзможността за съществуване на пълна повърхност с кривина навсякъде по-малка от някои отрицателно числои др.), изучаването на правилното разделяне на пространството и др.

В теорията на римановите пространства се изучават въпроси относно връзката на техните метрични свойства с топологичната структура, поведението на геодезичните (най-късите на малки участъци) линии като цяло, като въпроса за съществуването на затворени геодезични, въпроси на " потапяне", т.е. осъзнаване на дадено н-мерно риманово пространство във формата н-мерна повърхност в евклидовото пространство с произволен брой измерения, въпроси на псевдо-Риманова геометрия, свързани с общата теория на относителността и др.

Освен това трябва да се спомене алгебричната геометрия (виж Алгебрична геометрия), която се развива от аналитичната геометрия и изучава предимно геометрични изображения, дефинирани от алгебрични уравнения; тя заема особено място, т.к включва не само геометрични, но и алгебрични и аритметични задачи. Съществува също обширна и важна област на изследване на безкрайномерните пространства, която обаче не е включена в категорията на хетерогенността, но е включена във функционалния анализ, тъй като Безкрайномерните пространства се дефинират конкретно като пространства, чиито точки са определени функции. Въпреки това има много резултати и проблеми в тази област, които наистина са геометричен характери което следователно трябва да се припише на Г.

Геометрична стойност.Използването на евклидова геометрия е най-често срещаното явление, където се определят площи, обеми и т.н. Цялата техника, доколкото формата и размерът на телата играят роля в нея, използва евклидовата география.Картографията, геодезията, астрономията, всички графични методи и механиката са немислими без география. Ярък примере откритието от И. Кеплер на факта на въртене на планетите в елипси; той можеше да се възползва от факта, че елипсата е изучавана от древните геометри. Геометричната кристалография е дълбоко приложение на геометричната кристалография, която е послужила като източник и поле за приложение на теорията на правилните системи от фигури (вж. кристалография).

По-абстрактните геометрични теории се използват широко в механиката и физиката, когато наборът от състояния на една система се разглежда като определено пространство (вижте раздела Обобщение на предмета на геометрията). И така, всички възможни конфигурации (взаимно подреждане на елементи) на механична система образуват "конфигурационно пространство"; движението на системата е представено чрез движението на точка в това пространство. Съвкупността от всички състояния на една физическа система (в най-простия случай, позициите и скоростите на материалните точки, образуващи системата, например газови молекули) се разглежда като "фазово пространство" на системата. Тази гледна точка намира приложение по-специално в статистическата физика (вж. Статистическа физика) и др.

За първи път концепцията за многомерно пространство се ражда във връзка с механиката още при Ж. Лагранж, когато три пространства. координати x, y, zвремето е официално добавено като четвърто T. Така се появява едно четириизмерно „пространство-време“, където една точка се определя от четири координати x, y, z, t. Всяко събитие се характеризира с тези четири координати и абстрактно наборът от всички събития в света се оказва четириизмерно пространство. Този възглед е развит в геометричната интерпретация на теорията на относителността, дадена от Х. Минковски (виж Минковски), а след това в конструкцията на А. Айнщайн на общата теория на относителността. В него той използва четириизмерната риманова (псевдо-риманова) геометрия.Така геометричните теории, развити от обобщаването на данни от пространствения опит, се оказват математически метод за изграждане на по-дълбока теория за пространството и времето. От своя страна теорията на относителността даде мощен тласък на развитието на общите геометрични теории. Възникнала от елементарната практика, географията се връща към естествените науки и практиката на по-високо ниво като метод чрез поредица от абстракции и обобщения.

От геометрична гледна точка пространствено-времевият колектор обикновено се третира в общата теория на относителността като нехомогенен риманов тип, но с метрика, определена от редуваща се форма, намалена до безкрайно малка площкъм ума

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(с -скоростта на светлината във вакуум). Самото пространство, тъй като може да бъде отделено от времето, също се оказва нехомогенно риманово. От съвременна геометрична гледна точка е по-добре да разгледаме теорията на относителността по следния начин. Специалната теория на относителността твърди, че многообразието пространство - време е псевдоевклидово пространство, т.е. такова, в което ролята на "движения" се играе от трансформации, които запазват квадратичната форма

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

по-точно, това е пространство с група трансформации, запазващи зададената квадратична форма. От всяка формула, изразяваща физически закон, се изисква то да не се променя при групови трансформации на това пространство, които са така наречените трансформации на Лоренц. Съгласно общата теория на относителността пространство-времето многообразие е нехомогенно и само във всяка „безкрайно малка“ област се редуцира до псевдоевклидово, т.е. това е пространство от картанов тип (виж раздел Съвременна геометрия). Подобно разбиране обаче стана възможно едва по-късно, т.к. самата концепция за пространства от този тип се появява след теорията на относителността и се развива под нейно пряко влияние.

В самата математика мястото и ролята на геометрията се определят преди всичко от факта, че чрез нея е въведена приемственост в математиката. Математиката, като наука за формите на реалността, се сблъсква преди всичко с две общи форми: дискретност и непрекъснатост. Отчитането на отделни (дискретни) обекти дава аритметика, интервали. G. изучава непрекъснатостта Едно от основните противоречия, движещи развитието на математиката, е сблъсъкът между дискретното и непрекъснатото. Дори разделянето на непрекъснатите величини на части и измерването представляват сравнение на дискретното и непрекъснатото: например скалата се нанася по дължината на измерения сегмент на отделни стъпки. Противоречието излезе наяве. с особена яснота, когато Древна Гърция(вероятно през 5 век пр.н.е.) е открита несъизмеримостта на страната и диагонала на квадрата: дължината на диагонала на квадрат със страна 1 не е изразена с никакво число, т.к. концепцията за ирационално число не съществува. Необходимо е обобщение на понятието за число - създаването на понятието за ирационално число (което е направено много по-късно в Индия). Общата теория ирационални числае създаден едва през 70-те години. 19 век Правата линия (и с нея всяка фигура) започва да се разглежда като набор от точки. Сега тази гледна точка е доминираща. Трудностите на теорията на множествата обаче показаха нейните ограничения. Противоречието между дискретно и непрекъснато не може да бъде премахнато напълно.

Общата роля на геометрията в математиката се състои и във факта, че тя е свързана с прецизно синтетично мислене, което изхожда от пространствени представи и често позволява да се схване като цяло това, което се постига чрез анализ и изчисления само чрез дълга верига от стъпки. По този начин геометрията се характеризира не само със своя предмет, но и с метода си, който изхожда от визуални представи и се оказва плодотворен при решаването на много проблеми в други области на математиката. На свой ред Г. използва широко техните методи. По този начин един и същ математически проблем често може да се третира или аналитично, или геометрично, или в комбинация от двата метода.

В известен смисъл почти цялата математика може да се разглежда като развиваща се от взаимодействието на алгебра (първоначално аритметика) и геометрия, а в смисъл на метод - от комбинация от изчисления и геометрични представяния. Това може да се види още в концепцията за съвкупността от всичко реални числакато числова права, свързваща аритметични свойствачисла с непрекъснатост. Ето някои акценти от влиянието на G. в математиката.

1) Наред с механиката, геометрията има решаващо значение за възникването и развитието на анализа. Интегрирането идва от намирането на площи и обеми, започнато от древните учени, освен това площта и обемът като количества се считат за сигурни; нито един аналитична дефиницияинтегралът не е даден до първата половина на 19 век. Изчертаването на допирателни беше един от проблемите, които доведоха до диференциацията. Графичното представяне на функции изигра важна роля в развитието на концепциите за анализ и запазва своето значение. В самата терминология на анализа е видим геометричният източник на неговите понятия, като например в термините: „преломна точка“, „обхват на промяна на променлива“ и др. Първият курс на анализ, написан през 1696 г. от Г. Лопитал (виж Лопитал), се нарича: „Безкрайно малък анализ за разбирането на кривите линии“. Теория диференциални уравненияв по-голямата си част се интерпретира геометрично (интегрални криви и др.). Вариационно смятане Тя възниква и се развива до голяма степен върху проблемите на геометрията, като нейните концепции играят важна роля в нея.

2) Комплексни числаокончателно се утвърдиха в математиката в началото на 18-19 век. само в резултат на сравняването им с точки от равнината, т.е. чрез конструиране на "комплексна равнина". В теорията на функциите на комплексна променлива геометричните методи играят съществена роля. Самата концепция аналитична функция w = f(z) на комплексна променлива може да се дефинира чисто геометрично: такава функция е конформно картографиране на равнината z(или области на самолета z) в самолета w. Концепциите и методите на риманова геометрия намират приложение в теорията на функциите на няколко комплексни променливи.

3) Основната идея на функционалния анализ е, че функциите от даден клас (например всички непрекъснати функции, дефинирани на интервала ) се разглеждат като точки на „функционалното пространство“, а отношенията между функциите се интерпретират като геометрични отношения между съответните точки (например сближаването на функциите се интерпретира като сближаване на точките, максимумът на абсолютната стойност на разликата на функциите - като разстояние и т.н.). Тогава много въпроси на анализа получават геометрична обработка, която в много случаи се оказва много плодотворна. Изобщо представянето на определени математически обекти (функции, фигури и др.) като точки от някакво пространство със съответната геометрична интерпретация на връзките на тези обекти е една от най-общите и плодотворни идеи на съвременната математика, проникнала почти всички негови раздели.

4) Г. влияе върху алгебрата и дори аритметиката - теория на числата. В алгебрата например понятието векторно пространство. В теорията на числата е създадено геометрично направление, което позволява решаването на много проблеми, които едва се поддават изчислителен метод. На свой ред трябва да се отбележат и графичните методи за изчисление (виж Номография) и геометричните методи съвременна теориякомпютри и компютри.

5) Логическото усъвършенстване и анализ на аксиоматиката на Г. изиграха решаваща роля в развитието абстрактна формааксиоматичен метод с пълното му абстрахиране от природата на обектите и отношенията, които се появяват в аксиоматизираната теория. На базата на същия материал са разработени понятията за последователност, пълнота и независимост на аксиомите.

Като цяло взаимното проникване на геометрията и други области на математиката е толкова тясно, че често границите се оказват условни и свързани само с традицията. Само такива раздели като абстрактна алгебра, математическа логика и някои други остават почти или изобщо не са свързани с геометрията.

Лит.: Основни класически произведения.Евклид, Начала, прев. от гръцки, кн. 1-15, М. - Л., 1948-50; Декарт Р., Геометрия, прев. от лат., М. - Л., 1938; Monge G., Приложения на анализа към геометрията, прев. от френски, М. - Л., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - R., 1822; Гаус К. Ф., Общи изследванияза кривите повърхности, прев. от немски, в сборника: За основите на геометрията, М., 1956; Лобачевски N.I., Poln. кол. съч., т. 1-3, М. - Л., 1946-51; Болай Я., Приложение. Заявление,..., пер. от лат., М. - Л., 1950; Риман Б., За хипотезите, лежащи в основата на геометрията, прев. от немски, в сборника: За основите на геометрията, М., 1956; Клайн, Ф., Сравнителен преглед на най-новите геометрични изследвания ("Програма Ерланген"), пак там; Е. Картан, Холономични групи на обобщени пространства, прев. от френски, в книгата: VIII Междунарконкурс за наградата "Николай Иванович Лобачевски" (1937), Казан, 1940; Хилберт Д., Основи на геометрията, прев. от нем., М. - Л., 1948.

История.Колман Е., История на математиката в древността, М., 1961; Юшкевич А. П., История на математиката през Средновековието, М., 1961; Vileitner G., Историята на математиката от Декарт до средата на 19 век, прев. от немски, 2-ро изд., М., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

б) Елементарна геометрия.Адамард Дж., Елементарна геометрия, прев. от френски, част 1, 3 изд., М., 1948, част 2, М., 1938; Погорелов А. В., Елементарна геометрия, Москва, 1969 г.

в) Аналитична геометрия.Александров П.С., Лекции по аналитична геометрия..., М., 1968; Погорелов А. В., Аналитична геометрия, 3 изд., М., 1968.

д) Дескриптивна и проективна геометрия.Глаголев Н. А., Дескриптивна геометрия, 3 изд., М. - Л., 1953; Ефимов Н.В., Висша геометрия, 4 изд., М., 1961.

д) Риманова геометрия и нейните обобщения.Рашевски П. К., Риманова геометрия и тензорен анализ, 2 изд., М. - Л., 1964; Норден А. П., Пространства на афинна връзка, М. - Л., 1950; Картан Е., Геометрия на римановите пространства, прев. от френски, М. - Л., 1936; Eisenhart L.P., Риманова геометрия, прев. от английски, М., 1948.

Някои монографии по геометрия. Федоров ES, Симетрия и структура на кристалите. Основни произведения, М., 1949; Александров А. Д., Изпъкнали полиедри, М. - Л., 1950; негов, Вътрешна геометрия на изпъкнали повърхнини, М. - Л., 1948; Погорелов А. В., Външна геометрия на изпъкнали повърхности, Москва, 1969; Бусеман Г., Геометрия на геодезичните, прев. от англ., М., 1962; му, Изпъкнали повърхнини, прев. от англ., М., 1964; Е. Картан, Метод на подвижна рамка, Теория на непрекъснатите групи и обобщени пространства, прев. от френски, М. - Л., 1936; Фиников С. П., Метод външни формиКартан в диференциалната геометрия, М. - Л., 1948; негов собствен, Проективно-диференциална геометрия, М. - Л., 1937; собствен, Теория на конгруенциите, М. - Л., 1950; Shouten I. A., Stroik D. J., Въведение в новите методи на диференциалната геометрия, прев. от английски, т. 1-2, М. - Л., 1939-48; Nomizu K., Лие групи и диференциална геометрия, прев. от англ., М., 1960; Milnor J., Морзова теория, прев. от английски, М., 1965.

Речник на чуждите думи на руския език


    • 4. Примери за задачи върху геометрично място на точките

    1. Две колела с радиуси r 1 и r 2 се търкалят по права линия l. Намерете множеството от пресечните точки M на техните общи вътрешни допирателни.

    Решение: Нека O 1 и O 2 са центровете на колела с радиуси r 1 и r 2, съответно. Ако M е пресечната точка на вътрешните допирателни, тогава O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . От това условие е лесно да се получи, че разстоянието от точка M до правата l е равно на 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Следователно всички точки на пресичане на общите вътрешни допирателни лежат на права линия, успоредна на правата l и отдалечена от нея на разстояние 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

    2. Намерете геометричното място на центрове на окръжности, минаващи през две дадени точки.

    Решение: Нека окръжност с център O минава през дадени точки A и B. Тъй като OA = OB (като радиуси на една окръжност), точка O лежи на перпендикулярна ъглополовящакъм сегмента AB. Обратно, всяка точка O, лежаща на ъглополовящата на AB, е на еднакво разстояние от точки A и B. Следователно точка O е центърът на окръжността, минаваща през точки A и B.

    3. Страните AB и CD на четириъгълника ABCD с площ S не са успоредни. Намерете HMT X, разположен вътре в четириъгълника, за който S ABX + S CDX = S/2.

    Решение: Нека O е пресечната точка на правите AB и CD. Нека начертаем отсечки OK и OL върху лъчите OA и OD, равни съответно на AB и CD. Тогава S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL. Следователно площта на триъгълника KXL е постоянна, т.е. точката X лежи на права, успоредна на KL.

    4. На равнината са дадени точки A и B. Намерете GMT ​​M, за която разликата на квадратите на дължините на отсечките AM и BM е постоянна.

    Решение: Въвеждаме координатна система, като избираме точка A за начало и насочваме оста Ox по лъча AB. Нека точка M има координати (x, y). Тогава AM 2 = x 2 + y 2 и BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , където a = AB. Следователно AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Тази стойност е равна на k за точки M с координати ((a 2 + k)/2a, y); всички такива точки лежат на права, перпендикулярна на AB.

    5. Даден е правоъгълник ABCD. Намерете GMT ​​X, за който AX + BX = CX + DX.

    Решение: Нека l е права, минаваща през средните точки на страните BC и AD. Да предположим, че точката X не лежи на правата l, например, че точките A и X лежат от една и съща страна на правата l. След това AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

    6. Дадени са две прави, пресичащи се в точка O. Намерете GMT ​​X, за който сумата от дължините на проекциите на отсечките OX върху тези прави е постоянна.

    Решение: Нека a и b са единични вектори, успоредни на дадени прави; x е равно на вектора x. Сумата от дължините на проекциите на вектора x върху дадените прави е равна на |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, а смяната на знака става на перпендикулярите, изправени от точка O към дадените прави. Следователно търсеният GMT е правоъгълник, чиито страни са успоредни на ъглополовящите на ъглите между дадените прави, а върховете му лежат на посочените перпендикуляри.

    7. Дадени са окръжност S и точка M извън нея. През точката M са начертани всички възможни окръжности S 1, пресичащи окръжността S; X - точката на пресичане на допирателната в точка M към окръжността S 1 с продължението на общата хорда на окръжностите S и S 1 . Намерете GMT ​​X.

    Решение: Нека A и B са пресечните точки на окръжности S и S 1 . Тогава XM 2 = XA. XB \u003d XO 2 - R 2, където O и R са центърът и радиусът на окръжността S. Следователно XO 2 - XM 2 \u003d R 2, което означава, че точките X лежат на перпендикуляра на линията OM.

    8. Дадени са две окръжности, които не се пресичат. Намерете геометричното място на точките на центровете на окръжностите, които разполовяват дадените окръжности (т.е. пресичат ги в диаметрално противоположни точки).

    Решение: Нека O 1 и O 2 са центровете на тези окръжности, R 1 и R 2 са техните радиуси. Окръжност с радиус r с център X пресича първата окръжност в диаметрално противоположни точки, ако и само ако r 2 \u003d XO 1 2 + R 1 2, следователно желаният GMT се състои от точки X, така че XO 1 2 + R 1 2 \ u003d XO 2 2 + R 2 2 , всички такива точки от X лежат на права, перпендикулярна на O 1 O 2 .

    9. Вътре в окръжността е взета точка А. Намерете геометричното място на пресечните точки на допирателните към окръжността, прекарани през краищата на всички възможни хорди, съдържащи точка А.

    Решение: Нека O е центърът на окръжността, R нейният радиус, M е пресечната точка на допирателните, прекарани през краищата на хордата, съдържаща точка A, P е средата на тази хорда. Тогава OP * OM = R 2 и OP = OA cos f, където f = AOP. Следователно AM 2 \u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f \u003d OM 2 + OA 2 - 2R 2, което означава, че стойността на OM 2 - AM 2 \u003d 2R 2 - OA 2 е постоянна. Следователно всички точки от M лежат на права, перпендикулярна на OA.

    10. Намерете геометричното място на точки M, които лежат вътре в ромба ABCD и имат свойството, че AMD + BMC = 180 o .

    Решение: Нека N е такава точка, че векторите MN = DA. Тогава NAM = DMA и NBM = BMC, така че AMBN е вписан четириъгълник. Диагоналите на вписания четириъгълник AMBN са равни, следователно AM| BN или BM| АН. В първия случай AMD = MAN = AMB, а във втория случай BMC = MBN = BMA. Ако AMB = AMD, то AMB + BMC = 180 o и точка M лежи на диагонал AC, а ако BMA = BMC, то точка M лежи на диагонал BD. Също така е ясно, че ако точката M лежи на един от диагоналите, тогава AMD + BMC = 180 o .

    11. а) Даден е успоредник ABCD. Докажете, че количеството AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 не зависи от избора на точка X.

    б) Четириъгълникът ABCD не е успоредник. Докажете, че всички точки от X, отговарящи на отношението AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 лежат на една и съща права линия, перпендикулярна на отсечката, свързваща средите на диагоналите.

    Решение: Нека P и Q са среди на диагоналите AC и BD. Тогава AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 и BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, следователно, в задача b), желаният HMT се състои от точки X, така че PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4, а в задача a) P = Q, така че разглежданото количество е равно на (BD 2 - AC 2)/2.


    Литература

    1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник за 7-9 клас образователни институции. - М.: Просвещение, 2000, стр. 61.

    2. Савин А.П. Методът на геометричните места / Избираема дисциплина по математика: Учебник за 7-9 клас на гимназията. Comp. I Л. Николская. - М .: Образование, 1991, стр. 74.

    3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: учебник за 7-9 клас на учебните заведения. – М.: Мнемозина, 2005, стр. 84.

    4. Шаригин И.Ф. Геометрия. 7-9 клас: Учебна тетрадка за общообразователна подготовка образователни институции. – М.: Дропла, 1997, с. 76.

    5. Интернет ресурс: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm





    Информационна причинност на взаимодействията (неутрализиране на ентропията), свързани с процесите на отразяване на степени на ред (възбуждания), притежание универсална системапространствено-времеви отношения, отделят „абсолютния квант“ във феноменален феномен от физическа природа. Това може да бъде неочаквано материално въплъщение на онази първоначална активна субстанция, която обективният идеализъм, ...


    Q(y) на такава секция е равно на, където y се приема за постоянно по време на интегрирането. Интегрирайки след това Q(y) в рамките на диапазона на y, т.е., от c до d, достигаме до втория израз за двойния интеграл (B) Тук интегрирането се извършва първо върху x, а след това върху y. .Формулите (A) и (B) показват, че изчисляването на двойния интеграл се свежда до последователното изчисляване на две обикновени ...

    Геометрияе наука, която изучава пространствените отношения и формите на обектите.

    Евклидова геометрияе геометрична теория, базирана на система от аксиоми, изложени за първи път в Елементи на Евклид.

    Геометрия на Лобачевски (хиперболична геометрия)- една от неевклидовите геометрии, геометрична теория, основана на същите основни предпоставки като обикновената евклидова геометрия, с изключение на аксиомата за успоредни прави, която е заменена от аксиомата на Лобачевски за успоредни прави.

    Права линия, ограничена в единия край и неограничена в другия, се нарича лъч.

    Частта от права линия, ограничена от двете страни, се нарича отсечка.

    Ъгъл- Това е геометрична фигура, образувана от два лъча (страни на ъгъл), излизащи от една точка (върха на ъгъла). Използват се две единици за измерване на ъгъл: радиани и градуси. Ъгъл от 90° се нарича прав ъгъл; ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър ъгъл; Ъгъл, по-голям от 90°, се нарича тъп ъгъл.

    Съседни ъглиса ъгли, които имат общ връх и обща страна; другите две страни са разширения една на друга. Сборът на съседните ъгли е 180°. Вертикалните ъгли са два ъгъла с общ връх, в които страните на единия са продължения на страните на другия.

    Симетрала на ъгълнаречен лъч, който разполовява ъгъл.

    Две прави се наричат ​​успоредни, ако лежат в една и съща равнина и не се пресичат, независимо колко дълго са продължени. Всички прави, успоредни на една права, са успоредни една на друга. Всички перпендикуляри на една и съща права са успоредни една на друга и обратно, права, перпендикулярна на една от успоредните прави, е перпендикулярна на останалите. Дължината на перпендикулярния сегмент, ограден между две успоредни прави, е разстоянието между тях. Когато две успоредни прави се пресичат с трета права, се образуват осем ъгъла, които се наричат ​​по двойки: съответни ъгли (тези ъгли са равни по двойки); вътрешни напречни ъгли (те са равни по двойки); външни напречни ъгли (те са равни по двойки); вътрешни едностранни ъгли (сумата им е 180°); външни едностранни ъгли (сумата им е 180°).

    Теорема на Талес. Когато страните на ъгъла се пресичат от успоредни прави, страните на ъгъла се разделят на пропорционални сегменти.

    Аксиоми на геометрията. Аксиома за принадлежност: през всякакви две точки на равнина може да се начертае права линия и освен това само една. Аксиома за реда: сред всеки три точки, лежащи на права, има най-много една точка, лежаща между две други.

    Аксиома за конгруентност (равенство)сегменти и ъгли: ако два сегмента (ъгъла) са еднакви с третия, тогава те са еднакви помежду си. Аксиома за успоредни прави: през всяка точка, лежаща извън права, е възможно да се начертае друга права, успоредна на дадената, и освен това само една.

    Аксиома за непрекъснатост (Аксиома на Архимед): за всеки два сегмента AB и CD съществува краен набор от точки A1, A2, …, An, лежащи на правата AB, така че сегментите AA1, A1A2, …, An-1An са равни на отсечката CD, а точката B лежи между A и An.

    Плоска фигура, образувана от затворена верига от сегменти, се нарича многоъгълник.
    В зависимост от броя на ъглите многоъгълникът може да бъде триъгълник, четириъгълник, петоъгълник, шестоъгълник и др. Сборът от дължините се нарича периметър и се означава с p.
    Ако всички диагонали лежат вътре в многоъгълника, той се нарича изпъкнал. Сума вътрешни ъгли изпъкнал многоъгълнике равно на 180°*(n-2), където n е броят на ъглите (или страните) на многоъгълника.

    Триъгълнике многоъгълник с три страни (или три ъгъла). Ако и трите ъгъла са остри, тогава това е остроъгълен триъгълник. Ако един от ъглите е прав, тогава той е правоъгълен триъгълник; страните, образуващи прав ъгъл, се наричат ​​крака; противоположната страна прав ъгълсе нарича хипотенуза. Ако един от ъглите е тъп, то той е тъп триъгълник. Триъгълникът е равнобедрен, ако две от страните му са равни. Триъгълникът е равностранен, ако всичките му страни са равни.

    AT правоъгълен триъгълникважат следните отношения:

    Площ на правоъгълен триъгълник:

    Радиус на вписана окръжност:

    В произволен триъгълник:

    По всяко правилен многоъгълникможете да впишете кръг и около него можете да опишете кръг:

    където a е страната, n е броят на страните на многоъгълника, R е радиусът на описаната окръжност, r е радиусът на вписаната окръжност (апотемата на правилен многоъгълник).

    Площ на правилен многоъгълник:

    Дължините на страните и диагоналите са свързани по формулата:

    Основни свойства на триъгълниците:

    • срещу по-голямата страна лежи по-голям ъгъл и обратно;
    • лежат срещу равни страни равни ъглии обратно;
    • сборът от ъглите на триъгълник е 180°;
    • продължавайки една от страните на триъгълника, получаваме външния ъгъл. Външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора от вътрешните ъгли, които не са съседни на него;
    • Всяка страна на триъгълник е по-малка от сумата на другите две страни и по-голяма от тяхната разлика.

    Признаци за равенство на триъгълници: триъгълниците са еднакви, ако са равни:

    • две страни и ъгълът между тях;
    • два ъгъла и страната, прилежаща към тях;
    • три страни.

    Тестове за равенство на правоъгълен триъгълник: Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако едно от следните условия е вярно:

    • краката им са равни;
    • катетът и хипотенузата на единия триъгълник са равни на катета и хипотенузата на другия;
    • хипотенузата и острия ъгъл на един триъгълник са равни на хипотенузата и остър ъгълдруг;
    • катетът и прилежащият му остър ъгъл на единия триъгълник са равни на катета и прилежащия му остър ъгъл на другия;
    • катетът и срещуположният остър ъгъл на единия триъгълник са равни на катета и срещуположния остър ъгъл на другия.

    Височината на триъгълник е перпендикулярът, пуснат от всеки връх към противоположната страна (или нейното продължение). Тази страна се нарича основа на триъгълника. Трите височини на триъгълник винаги се пресичат в една точка, наречена ортоцентър на триъгълника. Ортоцентърът на остър триъгълник се намира вътре в триъгълника, а ортоцентърът на тъпия триъгълник е извън него; Ортоцентърът на правоъгълен триъгълник съвпада с върха на правия ъгъл.

    Формулата за височината на триъгълник е:

    Медианае отсечка, която свързва всеки връх на триъгълник със средата на срещуположната страна. Трите медиани на триъгълник се пресичат в една точка, която винаги лежи вътре в триъгълника и е неговият център на тежестта. Тази точка разделя всяка медиана 2:1 от върха.

    Симетралае сегментът на ъглополовящата от върха до точката на пресичане с обратната страна. Трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка, която винаги лежи вътре в триъгълника и е център на вписаната окръжност. Симетралата разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни.
    Формулата за ъглополовяща на триъгълник е:

    Среден перпендикуляре перпендикуляр, прекаран от средата на отсечката (страна). Трите средни перпендикуляра на триъгълник се пресичат в една точка, която е центърът на описаната окръжност. AT остроъгълен триъгълниктази точка лежи вътре в триъгълника; в тъпа - отвън; в правоъгълна - в средата на хипотенузата. Ортоцентърът, центърът на тежестта, центърът на описаната окръжност и центърът на вписаната окръжност съвпадат само в равностранен триъгълник.

    Питагорова теорема. В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите: c2 = a2 + b2.

    Като цяло (за произволен триъгълник) имаме: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, където C е ъгълът между страните a и b.

    четириъгълник- фигура, образувана от четири точки (върхове), нито три от които не лежат на една права линия, и четири последователни отсечки (страни), свързващи ги, които не трябва да се пресичат.

    Успореднике четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни. Всякакви две срещуположни страни на успоредника се наричат ​​негови основи, а разстоянието между тях се нарича негова височина.

    Свойства на паралелограма:

    • противоположните страни на успоредник са равни;
    • срещуположните ъгли на успоредник са равни;
    • диагоналите на успоредника са разделени наполовина в точката на тяхното пресичане;
    • сборът от квадратите на диагоналите на успоредник е равен на сбора от квадратите на четирите му страни.

    Площ на паралелограма:

    Радиус на окръжност, вписана в успоредник:

    Правоъгълнике успоредник с всички ъгли равни на 90°.

    Основни свойства на правоъгълника.
    Страните на правоъгълника са и неговите височини.
    Диагоналите на правоъгълника са равни: AC = BD.

    Квадратът на диагонала на правоъгълник е равен на сумата от квадратите на страните му (според Питагоровата теорема).

    Площ на правоъгълник: S=аб.

    Диаметър на правоъгълника:

    Радиус на окръжност, описана около правоъгълник:

    Ромбът е успоредник, в който всички страни са равни. Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни и разполовяват ъглите си.

    Площта на ромба се изразява чрез диагонали:

    Квадратът е успоредник с прави ъгли и равни страни. Квадратът е специален случай на правоъгълник и ромб едновременно, следователно има всичките им свойства, изброени по-горе.

    Квадратна площ:

    Радиус на окръжност, описана около квадрат:

    Радиус на окръжност, вписана в квадрат:

    Квадратен диагонал:

    Трапеце четириъгълник с две противоположни страни, успоредни. Успоредните страни се наричат ​​основи на трапеца, а другите две страни. Разстоянието между основите е височината. Отсечката, свързваща средните точки на страните, се нарича средна линия на трапеца. Средната линия на трапец е половината от сбора на основите и е успоредна на тях. Трапец с равни страни се нарича равнобедрен трапец. В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни.

    Площ на трапец: , където a и b са основите, h е височината.

    Средна линия на триъгълникае отсечка, която свързва средите на страните на триъгълника. Средната линия на триъгълник е равна на половината от основата му и е успоредна на нея. Това свойство следва от свойството на трапеца, тъй като триъгълникът може да се разглежда като случай на израждане на трапеца, когато една от неговите основи става точка.

    Подобие на равнинни фигури. Ако промените всички размери на плоска фигура еднакъв брой пъти (коефициент на подобие), тогава старата и новата фигура се наричат ​​подобни. Два многоъгълника са подобни, ако ъглите им са равни и страните им са пропорционални.

    Признаци за подобие на триъгълници. Два триъгълника са подобни, ако:

    • всичките им съответни ъгли са равни (достатъчни са два ъгъла);
    • всичките им страни са пропорционални;
    • две страни на единия триъгълник са пропорционални на двете страни на другия и ъглите между тези страни са равни.

    Площите на подобни фигури са пропорционални на квадратите на подобните им линии (напр. страни, диаметри).

    Локус на точкитее набор от всички точки, които отговарят на определени условия.

    кръг- Това е геометричното място на точките в равнина, еднакво отдалечена от една точка, наречена център на окръжността. Отсечката, свързваща центъра на окръжността с някоя от нейните точки, се нарича радиус и се обозначава - r. Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича окръжност. Част от окръжност се нарича дъга. Права линия, минаваща през две точки на окръжност, се нарича секанс, а нейната отсечка, разположена вътре в окръжността, се нарича хорда. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър и се обозначава с d. Диаметърът е най-голямата хорда, равна по големина на два радиуса: d = 2r.

    Където a е реалната, b е въображаемата полуос.

    Уравнение на равнина в пространството:
    Ax + By + Cz + D = 0,
    където x, y, z са правоъгълни координати на променлива точка от равнината, A, B, C са постоянни числа.
    Права линия, минаваща през точка от окръжност, перпендикулярна на радиуса, начертан до тази точка, се нарича допирателна. Тази точка се нарича точка на контакт.

    Допирателни свойства:

    • допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт;
    • от точка извън окръжността могат да бъдат начертани две допирателни към една и съща окръжност; отсечките им са равни.

    сегмент- това е частта от окръжността, ограничена от дъга и съответната хорда. Дължината на перпендикуляра, прекаран от средата на хордата до пресечната точка с дъгата, се нарича височина на отсечката.

    Сектор- това е част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, начертани към краищата на тази дъга.

    Ъгли в кръг. Централен ъгъл е ъгъл, образуван от два радиуса. Вписан ъгъл е ъгълът, образуван от две хорди, изтеглени от тяхната обща точка. Описаният ъгъл е ъгълът, образуван от две допирателни, изтеглени от една обща точка.

    Тази формула е основата за определяне на радианното измерване на ъглите. Радианната мярка на всеки ъгъл е съотношението на дължината на дъга, начертана от произволен радиус и затворена между страните на този ъгъл, към неговия радиус.

    Връзки между елементите на кръга.

    Вписаният ъгъл е равен на половината от централния ъгъл, основан върху същата дъга. Следователно всички вписани ъгли, базирани на една и съща дъга, са равни. И тъй като централен ъгълсъдържа същия брой градуси като неговата дъга, тогава всеки вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която лежи.

    Всички вписани ъгли, основани на полукръг, са прави ъгли.

    Ъгълът, образуван от две хорди, се измерва с половината от сбора на дъгите, затворени между страните му.

    Ъгълът, образуван от две секущи, се измерва с полуразликата на дъгите, затворени между неговите страни.

    Ъгълът, образуван от допирателна и хорда, се измерва от половината дъга, затворена в нея.

    Ъгълът, образуван от допирателната и секанса, се измерва с полуразликата на дъгите, затворени между неговите страни.

    Описаният ъгъл, образуван от две допирателни, се измерва с полуразликата на дъгите, затворени между страните му.

    Продуктите на отсечки от хорди, на които те са разделени от пресечната точка, са равни.

    Квадратът на допирателната е равен на произведението на секанса и неговата външна част.

    Хорда, перпендикулярна на диаметъра, се разполовява в точката им на пресичане.

    Многоъгълник се нарича вписан в кръг, чиито върхове са разположени на кръг. Многоъгълник, описан близо до окръжност, е многоъгълник, чиито страни са допирателни към окръжността. Съответно окръжност, минаваща през върховете на многоъгълник, се нарича описана близо до многоъгълника; окръжност, за която страните на многоъгълник се допират, се нарича вписана окръжност. За произволен многоъгълник е невъзможно да се впише и опише окръжност около него. За триъгълник тази възможност винаги съществува.

    В четириъгълник може да се впише окръжност, ако сумите на противоположните му страни са равни. За успоредници това е възможно само за ромб (квадрат). Центърът на вписаната окръжност се намира в пресечната точка на диагоналите. Може да се опише окръжност около четириъгълник, ако сборът от срещуположните му ъгли е 180°. За успоредниците това е възможно само за правоъгълник (квадрат). Центърът на описаната окръжност лежи в пресечната точка на диагоналите. Около трапец може да се опише окръжност, ако той е равнобедрен. Правилен многоъгълник е многоъгълник с равни страни и ъгли.

    Правилен четириъгълник е квадрат; правоъгълният триъгълник е равностранен триъгълник. Всеки ъгъл на правилен многоъгълник е равен на 180°(n - 2)/n, където n е броят на неговите ъгли. Вътре в правилен многоъгълник има точка O, еднакво отдалечена от всичките му върхове, която се нарича център на правилен многоъгълник. Центърът на правилен многоъгълник също е на еднакво разстояние от всичките му страни. В правилен многоъгълник може да се впише окръжност и около нея може да бъде описана окръжност. Центровете на вписаната и описаната окръжност съвпадат с центъра на правилен многоъгълник. Радиусът на описаната окръжност е радиусът на правилен многоъгълник, а радиусът на вписаната окръжност е неговата апотема.

    Основни аксиоми на стереометрията.

    Каквато и да е равнината, има точки, които принадлежат на тази равнина, и точки, които не принадлежат.

    Ако две различни равнини имат обща точка, тогава те се пресичат по права линия, минаваща през тази точка.

    Ако две различни прави имат обща точка, тогава през тях може да се начертае една и само една равнина.

    Чрез три точки, които лежат на една права, може да се начертае безброенравнини, които в този случай образуват сноп от равнини. Правата линия, през която преминават всички равнини на гредата, се нарича ос на гредата. През всяка права и точка извън тази права може да се начертае една и само една равнина. Чрез две линии не винаги е възможно да се начертае равнина, тогава тези линии се наричат ​​изкривени.

    Пресичащите се прави не се пресичат, независимо колко дълго са продължени, но те не са успоредни прави, тъй като не лежат в една и съща равнина. Само успоредните прави са непресичащи се прави, през които може да се начертае равнина. Разликата между косите и успоредните линии е, че успоредните линии имат една и съща посока, но косите линии не. През две пресичащи се прави винаги може да се начертае една и само една равнина. Разстоянието между две наклонени линии е дължината на сегмента, свързващ най-близките точки, разположени на наклонените линии. Непресичащите се равнини се наричат успоредни равнини. Равнина и права или се пресичат (в една точка), или не. AT последен случайЗа права и равнина се казва, че са успоредни една на друга.

    Перпендикуляр, пуснат от точка към равнина, е отсечка, свързваща дадена точка с точка от равнината и минаваща по права линия, перпендикулярна на равнината.

    Проекцията на точка върху равнина е основата на перпендикуляра, пуснат от точката върху равнината. Проекцията на отсечка върху равнината P е отсечка, чиито краища са проекциите на точките от тази отсечка.

    Двустенният ъгъл е фигура, образувана от две полуравнини с обща права линия, която ги ограничава. Полуравнините се наричат ​​лица, а правата, която ги ограничава, се нарича ръб на двустенния ъгъл. Равнината, перпендикулярна на ръба, дава ъгъл при пресичането си с полуравнините, наречен линеен ъгъл на двустенния ъгъл. Двустенен ъгълизмерено чрез неговия линеен ъгъл.

    многостенен ъгъл. Ако през точка начертаем набор от равнини, които последователно се пресичат по прави линии, тогава получаваме фигура, наречена многостенен ъгъл. Равнините, образуващи полиедърен ъгъл, се наричат ​​негови лица; линиите, по които лицата се пресичат последователно, се наричат ​​ръбове на многостенния ъгъл. Минимална сумаима три лица на полиедърен ъгъл.

    Паралелни равнини се изрязват по ръбовете на многостенен ъгъл, пропорционални сегменти и образуват подобни многоъгълници.

    Признаци за успоредност на права и равнина.

    Ако права, лежаща извън равнина, е успоредна на която и да е права, лежаща в тази равнина, тогава тя е успоредна на тази равнина.

    Ако права и равнина са перпендикулярни на една и съща права, тогава те са успоредни.

    Признаци на успоредни равнини:

    • Ако две пресичащи се прави в една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави в друга равнина, то тези равнини са успоредни.
    • Ако две равнини са перпендикулярни на една и съща права, тогава те са успоредни.
    • Признаци за перпендикулярност на права и равнина.
    • Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.
    • Ако една равнина е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

    Права линия, която пресича равнина и не е перпендикулярна на нея, се нарича наклонена на равнината.

    Теорема за трите перпендикуляра

    Права линия, лежаща в равнина и перпендикулярна на проекцията на наклонена равнина към тази равнина, също е перпендикулярна на самата наклонена.

    Признаци на успоредни прави в пространството:

    • Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
    • Ако една от пресичащите се равнини съдържа права, успоредна на друга равнина, тогава тя е успоредна на пресечната линия на равнините.

    Уравнение на права върху равнина в правоъгълна координатна система xy:
    ax + bx + c = 0, където a, b, c са постоянни числа, x и y са координатите на променливата точка M(x,y) на правата.

    Признаци на успоредни прави:

    Знак за перпендикулярност на равнините: ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.

    Теорема за общ перпендикуляр на две коси прави.За всеки две пресичащи се прави има само един общ перпендикуляр.

    Многостен- това е тяло, чиято граница се състои от части от равнини (многоъгълници). Тези многоъгълници се наричат ​​лица, техните страни се наричат ​​ръбове, техните върхове са върховете на многостена. Отсечките, свързващи два върха и не лежащи на едно лице, се наричат ​​диагонали на многостена. Полиедърът е изпъкнал, ако всичките му диагонали са вътре в него.

    куб - обемна фигурас шест равни страни.

    Обем и повърхност на куб:

    Призма е многостен, чиито две лица (основите на призмата) са равни многоъгълници със съответно успоредни страни, а останалите лица са успоредници.

    Сегментите, свързващи съответните върхове, се наричат ​​странични ръбове. Височината на призмата е всеки перпендикуляр, пуснат от всяка точка на основата към равнината на другата основа. В зависимост от формата на многоъгълника, лежащ в основата, призмата може да бъде съответно триъгълна, четириъгълна, петоъгълна, шестоъгълна и т.н. Ако страничните ръбове на призмата са перпендикулярни на основната равнина, тогава такава призма се нарича права; иначе е така наклонена призма. Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава такава призма също се нарича правилна. Диагоналът на призмата е сегмент, свързващ два върха на призмата, които не принадлежат на едно и също лице.

    Площта на страничната повърхност на права призма:
    S страна \u003d P * H, където P е периметърът на основата, а H е височината.

    паралелепипеде призма, чиито основи са успоредници. Така паралелепипедът има шест лица и всички те са паралелограми. Противоположните лица са по двойки равни и успоредни. Паралелепипедът има четири диагонала; всички те се пресичат в една точка и се разделят наполовина в нея.

    Ако четири странични лицапаралелепипед - правоъгълници, тогава се нарича права линия. Прав паралелепипед, в който и шестте лица са правоъгълници, се нарича правоъгълен. Диагоналът на правоъгълен паралелепипед d и неговите ръбове a, b, c са свързани с отношението d2 = a2 + b2 + c2. Правоъгълен паралелепипед, чиито лица са квадрати, се нарича куб. Всички ръбове на куб са равни.

    Обем и повърхност на правоъгълен паралелепипед:
    V = a*b*c, S общо = 2(ab + ac + bc).

    Пирамидае многостен, в който едно лице (основата на пирамидата) е произволен многоъгълник, а останалите лица (странични лица) са триъгълници с общ връх, наречен връх на пирамидата. Перпендикулярът, пуснат от върха на пирамидата към нейната основа, се нарича височина на пирамидата. В зависимост от формата на многоъгълника, лежащ в основата, пирамидата може да бъде съответно триъгълна, четириъгълна, петоъгълна, шестоъгълна и др. триъгълна пирамидае тетраедър, четириъгълната е петоъгълник и т.н. Пирамидата се нарича правилна, ако в основата лежи правилен многоъгълник, а височината му пада в центъра на основата. Всички странични ребра правилна пирамидаса равни; всички странични лица са равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност се нарича апотема на правилна пирамида.

    Ако начертаем разрез, успореден на основата на пирамидата, тогава тялото, затворено между тези равнини и страничната повърхност, се нарича пресечена пирамида. Паралелните лица се наричат ​​бази; разстоянието между тях е височината. Пресечената пирамида се нарича правилна, ако пирамидата, от която е получена, е правилна. Всички странични стени на правилната пресечена пирамида са равни равнобедрени трапеци.

    Странична повърхност на правилна пирамида:
    , където P е периметърът на основата; h е височината на страничната повърхност (апотемата на правилна пирамида).

    Обемът на пресечената пирамида:

    Странична повърхност на правилна пресечена пирамида:
    ,
    където P и P' са периметрите на основите; h е височината на страничната повърхност (апотемата на правилна пресечена пирамида).

    Цилиндрична повърхност се образува чрез преместване на права линия, която запазва посоката си и се пресича с дадена линия (крива). Тази линия се нарича направляваща. Правите линии, съответстващи на различните позиции на правата при нейното движение, се наричат ​​генератори на цилиндричната повърхност.

    Цилиндърът е тяло, ограничено от цилиндрична повърхност със затворен водач и две успоредни равнини. Части от тези равнини се наричат ​​основи на цилиндъра. Разстоянието между основите е височината на цилиндъра. Цилиндърът е прав, ако неговите образуващи са перпендикулярни на основата; в противен случай цилиндърът е наклонен. Цилиндърът се нарича кръгъл, ако основата му е кръг. Ако цилиндърът е едновременно прав и кръгъл, тогава той се нарича кръгъл. Призмата е специален случай на цилиндър.

    Обем, площ на страничните и пълните повърхности на цилиндъра:
    ,
    където R е радиусът на основите; H е височината на цилиндъра.

    Цилиндрични разрези на страничната повърхност на кръгъл цилиндър.

    Сеченията, успоредни на основата, са кръгове с еднакъв радиус.

    Участъците, успоредни на образуващите на цилиндъра, са двойки успоредни прави.

    Секции, които не са успоредни нито на основата, нито на образуващите, са елипси.

    Конична повърхност се образува, когато права линия се движи, минаваща през цялото време през фиксирана точка и пресичаща дадена линия, наречена водач. Правите, съответстващи на различните позиции на линията, докато се движи, се наричат ​​образуващи на коничната повърхност; точка е неговият връх. Коничната повърхност се състои от две части: едната е описана от лъч, другата от нейното продължение.

    Обикновено една от неговите части се разглежда като конична повърхност.

    Конус- това е тяло, ограничено от една от частите на конична повърхност със затворен водач и равнина, пресичаща коничната повърхност, която не минава през върха.

    Частта от тази равнина, разположена вътре в коничната повърхност, се нарича основа на конуса. Перпендикулярът, пуснат от върха към основата, се нарича височина на конуса.

    Пирамидата е частен случай на конус. Конусът се нарича кръгъл, ако основата му е кръг. Правата линия, свързваща върха на конуса с центъра на основата, се нарича ос на конуса. Ако височината на кръгъл конус съвпада с неговата ос, тогава такъв конус се нарича кръгъл.

    Обем, площ на страничните и пълните повърхности на конуса:
    ,
    където r е радиусът; Сосн - площ; P е обиколката на основата; L е дължината на образуващата; H е височината на конуса.

    Обем и площ на страничната повърхност на пресечен конус:

    Конични сечения.

    Сеченията на кръгъл конус, успоредни на основата му, са окръжности.

    Сечение, което пресича само една част от кръгъл конус и не е успоредно на нито една от неговите образуващи, е елипса.

    Сечение, което пресича само една част от кръгъл конус и е успоредно на една от неговите образуващи, е парабола.

    Сечение, което пресича двете части на кръгъл конус, обикновено е хипербола, състояща се от два клона. По-специално, ако този участък минава през оста на конуса, тогава получаваме двойка пресичащи се линии (образуващи конус).

    сферична повърхност- това е геометричното място на точките в пространството, равноотдалечени от една точка, която се нарича център на сферична повърхност.

    Топка (сфера)е тяло, ограничено от сферична повърхност. Можете да получите топка, като завъртите полукръг (или кръг) около диаметъра. Всички равнинни сечения на една сфера са кръгове. Най-големият кръг се намира в участъка, минаващ през центъра на топката, и се нарича голям кръг. Неговият радиус е равен на радиуса на сферата. Всякакви две големи окръжности се пресичат в диаметъра на топката. Този диаметър е и диаметърът на пресичащите се големи окръжности. През две точки от сферична повърхност, разположени в краищата на един и същ диаметър, могат да се начертаят безкраен брой големи кръгове.

    Обемът на една сфера е един и половина пъти по-малък от обема на цилиндъра, описан около нея, а повърхността на топката е един и половина пъти по-малка от общата повърхност на същия цилиндър.

    Уравнението на сфера в правоъгълна координатна система е:
    (x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)=R2,
    тук x, y, z са координатите на променлива точка върху сферата;
    x0, y0, z0 - координати на центъра;
    R е радиусът на сферата.

    Обем на сфера и площ на сфера:

    Обемът на сферичния сегмент и площта на сегментираната повърхност:
    ,
    където h е височината на сферичния сегмент.

    Обем и обща повърхност на сферичния сектор:
    ,
    където R е радиусът на топката; h е височината на сферичния сегмент.

    Обем и обща повърхност на сферичния слой:
    ,
    където h е височината; r1 и r2 са радиусите на основите на сферичния слой.

    Обем и повърхност на торус:
    ,
    където r е радиусът на окръжността; R е разстоянието от центъра на кръга до оста на въртене.

    Средна кривина на повърхността S в точка A0:

    части на топката. Част от топката (сфера), отрязана от нея от която и да е равнина, се нарича сферичен (сферичен) сегмент. Окръжността се нарича основа на сферичния сегмент. Отсечката от перпендикуляра, прекарана от центъра на окръжността до пресечната точка със сферичната повърхност, се нарича височина на сферичната отсечка. Частта от сферата, затворена между две успоредни равнини, пресичащи сферичната повърхност, се нарича сферичен слой; извитата повърхност на сферичен слой се нарича сферичен пояс (зона). Разстоянието между основите на сферичния пояс е неговата височина. Част от сфера, ограничена от извитата повърхност на сферичен сегмент и конична повърхност, чиято основа е основата на сегмента, а върхът е центърът на топката, се нарича сферичен сектор.

    Симетрия.

    Огледална симетрия. Геометрична фигурасе казва, че е симетричен по отношение на равнината S, ако за всяка точка E от тази фигура може да се намери точка E' от същата фигура, така че отсечката EE' е перпендикулярна на равнината S и разполовява тази равнина. Равнината S се нарича равнина на симетрия. Симетричните фигури, предмети и тела не са равни помежду си в тесния смисъл на думата, те се наричат ​​огледално равни.

    централна симетрия. Геометрична фигура се нарича симетрична по отношение на центъра C, ако за всяка точка A от тази фигура може да се намери точка E от същата фигура, така че отсечката AE минава през центъра C и се дели на две в тази точка. Точка C в този случай се нарича център на симетрия.

    симетрия на въртене. Едно тяло има ротационна симетрия, ако при завъртане на ъгъл от 360° / n (n е цяло число) около някаква права линия AB (ос на симетрия) то напълно съвпада с първоначалното си положение. За n=2 имаме аксиална симетрия.

    Примери за видове симетрия.Топката (сферата) има както централна, така и огледална симетрия и ротационна симетрия. Центърът на симетрия е центърът на топката; равнината на симетрия е равнината на всеки голям кръг; оста на симетрия е диаметърът на топката.

    Кръглият конус е аксиално симетричен; оста на симетрия е оста на конуса.

    Правата призма има огледална симетрия. Равнината на симетрия е успоредна на нейните основи и се намира на еднакво разстояние между тях.

    Симетрия на равнинни фигури.

    Огледална осова симетрия. Ако плоска фигурае симетрична по отношение на равнина (което е възможно само ако равнинната фигура е перпендикулярна на тази равнина), тогава линията, по която се пресичат тези равнини, е оста на симетрия от втори ред на тази фигура. В този случай фигурата се нарича огледално-симетрична.

    централна симетрия. Ако една плоска фигура има ос на симетрия от втори ред, перпендикулярна на равнинатафигура, тогава точката, в която се пресичат правата и равнината на фигурата, е центърът на симетрия.

    Примери за симетрия на равнинни фигури.

    Паралелограмът има само централна симетрия. Неговият център на симетрия е пресечната точка на диагоналите.
    Равнобедреният трапец има само аксиална симетрия. Неговата ос на симетрия е перпендикуляр, прекаран през средните точки на основите на трапеца.

    Ромбът има както централна, така и аксиална симетрия. Неговата ос на симетрия е всеки от неговите диагонали; центърът на симетрия е точката на тяхното пресичане.

    Геометричното място на точките (наричано по-долу GMT) е равнинна фигура, състояща се от точки с определено свойство и не съдържаща нито една точка, която няма това свойство.

    Ще разгледаме само тези HMT, които могат да бъдат конструирани с помощта на компас и линейка.

    Нека разгледаме HMT на равнината, които имат най-простите и най-често изразени свойства:

    1) HMT, разположена на дадено разстояние r от дадена точка O, е окръжност с център в точка O с радиус r.

    2) GMT на точки A и B, равноотдалечени от две дадени точки, е права линия, перпендикулярна на отсечката AB и минаваща през средата му.

    3) GMT на еднакво разстояние от две дадени пресичащи се прави, има двойка взаимно перпендикулярни линии, минаващи през пресечната точка и разделящи ъглите между дадените линии наполовина.

    4) GMT, разположени на същото разстояние h от права линия, има две прави линии, успоредни на тази права линия и разположени по различни страниот него на дадено разстояние h.

    5) Геометричното място на центровете на окръжностите, допирателни към дадена права m в дадена точка M от нея, е перпендикуляр на AB в точка M (с изключение на точката M).

    6) Геометричното място на центрове на окръжности, допирателни към дадена окръжност в дадена точка M от нея, е права линия, минаваща през точката M и центъра на дадената окръжност (с изключение на точките M и O).

    7) HMT, от които този сегмент се вижда под даден ъгъл, представлява две дъги от окръжности, описани на даден сегмент и ограждащи даден ъгъл.

    8) GMT, разстоянията от които до две дадени точки A и B са в съотношение m:n, е окръжност (наречена окръжност на Аполоний).

    9) Геометричното място на средните точки на хорди, изтеглени от една точка на окръжност, е окръжност, построена върху сегмент, свързващ дадена точка с центъра на дадена окръжност, като диаметър.

    10) Географското място на върховете на триъгълници, равни по площ на дадена и имащи общо основание, образува две прави, успоредни на основата и минаващи през върха на дадения триъгълник и симетрични на него спрямо правата, съдържаща основата.

    Нека дадем примери за намиране на GMT.

    ПРИМЕР 2.Намерете GMT, които са средните точки на акорди,изтеглена от една точка на дадената окръжност(GMT № 9).

    Решение . Нека е дадена окръжност с център O и върху тази окръжност е избрана точка A, от която са изтеглени хорди. Нека покажем, че желаната HMT е окръжност, построена върху AO като диаметър (с изключение на точка A) (фиг. 3).

    Нека AB е хорда и M е нейната среда. Нека свържем M и O. Тогава MO ^ AB (радиусът, разделящ хордата наполовина, е перпендикулярен на тази хорда). Но тогава RAMO = 90 0 . Така че M принадлежи на окръжност с диаметър AO (GMT № 7). защото тази окръжност минава през точка O, тогава O принадлежи на нашия GMT.


    Обратно, нека M принадлежи на нашия GMT. След това, начертавайки хордата AB през M и свързвайки M и O, получаваме, че РАМО = 90 0 , т.е. MO ^ AB и следователно M е средата на хордата AB. Ако M съвпада с O, тогава O е средата на AC.

    Често методът на координатите ви позволява да намерите GMT.

    ПРИМЕР 3.Намерете GMT, разстоянието от което до две дадени точки A и B са в даденото съотношение m: n (m ≠ n).

    Решение . Да изберем правоъгълна системакоординати, така че точките A и B да са разположени на оста Ox симетрично по отношение на началото на координатите, а оста Oy минава през средата на AB (фиг. 4). Поставяме AB = 2a. Тогава точка A има координати A (a, 0), точка B има координати B (-a, 0). Нека C принадлежи на нашия HMT, координати C(x, y) и CB/CA = м/н.Но Средства

    (*)

    Нека променим нашето уравнение. Ние имаме

    Телата се различават едно от друго по тегло, цвят, плътност, твърдост, пространство, което заемат и т.н.

    Тези признаци се наричат ​​свойства на телата.

    Телата с тези свойства се наричат физически тела.

    Между тези свойства, свойството на тялото, наречено дължина.

    Дължинаима свойството на тялото да заема определено място в пространството.

    Наричат ​​го геометрично свойствотяло. Това свойство определя формата и размера на тялото.

    Тяло, което има само едно свойство на разширение, се нарича геометрично тяло. Разглеждайки геометрично тяло, обърнете внимание само на неговата форма и размер.

    Останалите свойства на тялото се наричат ​​физически.

    геометрично тялоима пространството, заемано от физическото тяло.

    Геометричното тяло е ограничено от всички страни. Тя е отделена от останалото пространство от повърхността на тялото. За да изразят това, те казват това

    Повърхностима ограничение на тялото.

    Едната повърхност е разделена от другата с линия. Линията определя повърхността, така че линията се нарича граница на повърхността.

    Линияима граница на повърхността.

    Краят на линията се нарича точка. Точката ограничава и разделя една линия от друга, поради което точката се нарича граница на линията.

    Точкаима линия лимит.

    Фигура 1 показва тяло под формата на затворена от всички страни кутия. Тя е ограничена от шест страни, които образуват повърхността на кутията. Всяка страна на кутията може да се разглежда като отделна повърхност. Тези страни са разделени една от друга с 12 линии, които образуват ръбовете на кутията. Линиите са разделени една от друга с 8 точки, които образуват ъглите на кутията.

    Телата, повърхностите и линиите не са с еднакъв размер. Това означава, че те заемат неравномерно пространство или неравномерна степен.

    обем на тялото. Стойността на геометричното тяло се нарича обем или капацитет на тялото.

    площ. Площта на повърхността се нарича площ.

    Дължина на линията. Дължината на линията се нарича дължина.

    Дължината, площта и обемът са разнородни величини. Те се измерват в различни единици и се използват за различни цели. За да намерите разстоянието на два обекта, ширината на рамото, дълбочината на кладенеца, височината на кулата, определете дължината на линията. За това се прави само едно измерване, тоест измерване се извършва в една посока. Когато измервате, прибягвайте до единици за дължина. Тези единици за дължина се наричат ​​версти, сажени, аршини, футове, метри и т.н. Единицата за дължина има едно измерение, поради което казват, че

    Линиите имат едно измерение. Линиите нямат нито ширина, нито дебелина. Те са с еднаква дължина.

    За да имате представа за размера на картината, трябва да знаете нейната дължина и ширина. Дължината и ширината дават представа за площта на картината. За да се определи площта, стана необходимо да се направят две измервания или да се измери картината в две посоки. За определяне на размера на площта се използват единици площ. За единица площ се приема квадрат, чиито страни имат определена единица дължина. Единиците за площ се наричат ​​квадратни мили, квадратни версти, квадратни футове и т.н. Квадратна верста е площта на квадрат, чиято всяка страна е равна на верста и т.н. Единицата за площ има две измерения: дължина и ширина. Тъй като повърхностите се измерват в единици площ, в този смисъл те казват това

    Повърхностите имат две измерения. Повърхностите нямат дебелина. Те могат да имат само дължина и ширина.

    За да имате представа за капацитета на една стая или бокс, трябва да знаете техните обеми. За да направите това, трябва да знаете дължината, ширината и височината на помещението, тоест да направите три измервания или да го измерите в три посоки. Обемите се измерват в единици обем. За единица обем се приема куб, всяка страна на който е равна на единица. Обемните единици имат три измерения: дължина, ширина и височина. Тъй като обемите се измерват в единици обеми, казваме това

    Телата имат три измерения.

    Единиците за обем се наричат ​​кубични версти, кубични футове и т.н. В зависимост от дължината на страната на куба.

    Точката няма дължина, ширина, височина или точка няма измерение.

    геометрични разширения. Линиите, повърхностите и телата се наричат ​​геометрични разширения.

    Геометрия е наука за свойствата и измерването на геометричните разширения.

    Геометрията е наука за пространството. Той определя набор от необходими отношения, свързани с природата на пространството.

    Образуване на геометрични размери чрез движение

    Линията може да се разглежда по същия начин като следа, оставена от движението на точка, повърхността като следа, оставена от движението на линия, а тялото като следа, оставена от движението на повърхност. Други дефиниции на линия, повърхност и тяло се основават на тези съображения.

    Линия е геометричното място на движещата се точка.

    Повърхност е геометричното място на движещата се линия.

    Тяло е геометричното място на движещата се повърхност.

    Всички обекти, разглеждани в природата, имат три измерения. В него няма нито точки, нито линии, нито повърхности, а съществуват само тела. В геометрията обаче точките, линиите и повърхностите се разглеждат отделно от телата. В същото време много тънка обвивка на тялото ни дава някакво приблизително визуално представяне на повърхността, много тънка нишка или косъм ни дава визуално представяне на линията, а краят на нишката за точката.

    линии

    Линиите се делят на прави, начупени линии и криви.

    е най-късото разстояние между две точки.

    Плътно опъната тънка нишка дава известно визуално представяне на права линия.

    Всяка линия се обозначава с букви, поставени в нейните точки. Чертеж 2 показва права линия AB. Във всяка права линия вниманието се привлича към нейното посокаи стойност.

    Посоката на правата линия се определя от нейното положение.

    има последователна и непрекъсната връзка на няколко прави линии с различни посоки.

    Начупената линия ABCD (фиг. 3) е съставена от прави AB, BC, CD, които нямат еднаква посока.

    има такъв, който не може да бъде съставен от прави линии.

    Линията, показана на фиг. 4, ще бъде крива линия.

    Линия, съставена от прави линии и криви, понякога се нарича съставна линия.

    Чертеж (4, а) представлява такава съставна линия.

    повърхности

    Повърхностите се делят на прави или плоски и извити. Плоска повърхностнаречен самолет.

    Самолет. Една повърхност се нарича равнина, когато всяка права, прекарана през всеки две точки от повърхността, лежи върху нея с всичките си точки.

    Крива повърхност има един, който не може да бъде съставен от равнини.

    Права линия, начертана между произволни две точки от крива повърхност, не се побира върху нея с всичките й междинни точки.

    Известно визуално представяне на равнината се дава от повърхността на добре полирано огледало или повърхността на застояла вода. Пример за извити повърхности е повърхността на билярдна топка.

    Раздели на геометрията

    Геометрията се разделя на планиметрия и плътна геометрия.

    Планиметрия изучава свойството на геометричните разширения, разглеждани в равнината.

    Стереометрия изучава свойствата на такива геометрични разширения, които не могат да бъдат представени в една равнина.

    Планиметрия се нарича геометрия на равнина, стереометрия - геометрия в пространството.

    Геометрията се разделя допълнително на първична и висша.В настоящата работа е представена само първоначалната геометрия.

    Различни форми на изразяване на геометричните истини

    Геометричните истини се изразяват под формата на аксиоми, теореми, леми и проблеми или задачи.

    Аксиома има истина, но нейните доказателства не изискват доказателства.

    Примери за истини, които не изискват доказателство, са следните аксиоми:

      Цялото е равно на сумата от неговите части.

      Цялото е по-голямо от своята част. Частите са по-малки от цялото.

      Две количества, равни на една и съща трета, са равни една на друга.

      Като добавяме или изваждаме по равно от равни количества, получаваме равни количества.

      Чрез добавяне или изваждане от равни стойности не еднакво, ние получаваме неравни стойности.

      Като добавяме или изваждаме еднакво от неравните стойности, получаваме неравни стойности.

      Сборът на по-големите е по-голям от сбора на по-малките.

      Еднородна величина, която е нито повече, нито по-малко от друга, равнява се на нея и т.н.

    Теорема. Теорема или предположение е истина, която изисква доказателство..

    Доказателство е набор от аргументи, които правят теоремата очевидна.

    Теоремата се доказва с помощта на аксиоми.

    Съставът на теоремата. Всяка теорема се състои от условие и заключение.

    Състоянието понякога се нарича догадка, предположение, а заключението понякога се нарича следствие. Условието е дадено и затова понякога получава името дадено.

    Една теорема се нарича обратна, ако заключението стане условие, а условието или предположението стане заключение. В този случай тази теорема се нарича директна. Не всяка теорема има своята обратна.

    Проблем или предизвикателство има въпрос, който може да бъде решен с помощта на теореми.

    Лема е спомагателна истина, която улеснява доказателството на теоремата.

    Не намерихте отговор на въпроса си? Вижте тук
    Ораторското изкуство като първообраз на журналистикатаОраторското изкуство като първообраз на журналистиката
    Цитати за Наполеон - dslinkov — LiveJournalЦитати за Наполеон - dslinkov — LiveJournal
    Аз отмъщение Човекът на булдозера унищожи градаАз отмъщение Човекът на булдозера унищожи града