Ъгъл между две прави в равнинна формула. Ъгъл между прави в равнина

ъгълмежду редовете в пространството ще наречем произволен от съседни ъглиобразувана от две прави линии през произволна точкапаралелно с данните.

Нека в пространството са дадени две прави линии:

Очевидно ъгълът φ между линиите може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , то според формулата за косинус на ъгъла между векторите получаваме

Условията на успоредност и перпендикулярност на две прави са еквивалентни на условията на успоредност и перпендикулярност на техните насочващи вектори и:

Две прави са успоредниако и само ако техните съответни коефициенти са пропорционални, т.е. л 1 паралел л 2 ако и само ако са успоредни .

Две прави перпендикулярентогава и само ако сумата от произведенията на съответните коефициенти е равна на нула: .

При гол между права и равнина

Нека линията д- не е перпендикулярна на равнината θ;
д′− проекция на права линия дкъм равнината θ;
Най-малкият от ъглите между прави линии ди д„ще се обадим ъгъл между права и равнина.
Нека го обозначим като φ=( д,θ)
Ако д⊥θ , тогава ( д,θ)=π/2

Ой→й→к→− правоъгълна системакоординати.
Уравнение на равнината:

θ: брадва+от+cz+д=0

Считаме, че правата е дадена от точка и насочващ вектор: д[М 0,стр→]
вектор н→(А,Б,° С)⊥θ
След това остава да разберете ъгъла между векторите н→ и стр→, означете го като γ=( н→,стр→).

Ако ъгълът γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ако ъгълът γ>π/2 , тогава търсеният ъгъл φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тогава, ъгъл между права и равнинаможе да се изчисли по формулата:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ап 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √А 2+Б 2+° С 2√стр 21+стр 22+стр 23

Въпрос 29. Концепцията за квадратна форма. Знакоопределеността на квадратичните форми.

Квадратична форма j (x 1, x 2, ..., x n) n реални променливи x 1, x 2, ..., x nсе нарича сбор от формата
, (1)

където aij са някои числа, наречени коефициенти. Без загуба на общост можем да предположим, че aij = а джи.

Квадратната форма се нарича валиден,ако aij О ГР. Матрица с квадратна формасе нарича матрица, съставена от неговите коефициенти. Квадратната форма (1) съответства на уникална симетрична матрица
т.е. A T = A. Следователно, квадратна форма(1) може да се запише в матрична форма j ( х) = x T Ah, където х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

И обратно, всяка симетрична матрица (2) съответства на уникална квадратична форма до записа на променливи.

Рангът на квадратната формасе нарича ранг на неговата матрица. Квадратната форма се нарича неизроден,ако неговата матрица е неособена НО. (припомнете си, че матрицата НОсе нарича неизродена, ако нейната детерминанта е различна от нула). В противен случай квадратната форма е изродена.

положително определено(или строго положително), ако

j ( х) > 0 , за всеки х = (х 1 , х 2 , …, x n), Освен това х = (0, 0, …, 0).

Матрица НОположително определена квадратна форма j ( х) се нарича още положително определен. Следователно положително определена квадратна форма съответства на уникална положително определена матрица и обратно.

Квадратната форма (1) се нарича отрицателно определено(или строго отрицателно), ако

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), Освен това х = (0, 0, …, 0).

Подобно на горното, отрицателно определена квадратична матрица се нарича също отрицателно определена.

Следователно положително (отрицателно) определена квадратна форма j ( х) достига минималната (максималната) стойност j ( Х*) = 0 за Х* = (0, 0, …, 0).

Забележи, че повечето отквадратичните форми не са знакоопределени, тоест не са нито положителни, нито отрицателни. Такива квадратни форми изчезват не само в началото на координатната система, но и в други точки.

Кога н> 2 се изискват специални критерии за проверка на знакоопределеността на квадратична форма. Нека ги разгледаме.

Основни Непълнолетниквадратична форма се наричат ​​незначителни:

това са второстепенни от порядък 1, 2, …, нматрици НОразположен вляво горен ъгъл, последният от тях съвпада с детерминантата на матрицата НО.

Критерий за положителна определеност (Критерий на Силвестър)

х) = x T Ahе положително определена, е необходимо и достатъчно всички главни минори на матрицата НОбяха положителни, т.е. М 1 > 0, М 2 > 0, …, M n > 0. Критерий за отрицателна сигурност За да може квадратната форма j ( х) = x T Ahе отрицателно дефинитивно, необходимо и достатъчно е неговите главни минори от четен ред да са положителни, а тези от нечетен ред да са отрицателни, т.е.: М 1 < 0, М 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)н

Ще бъде полезно за всеки ученик, който се готви за изпита по математика, да повтори темата „Намиране на ъгъл между прави“. Както показва статистиката, при преминаване на сертификационен тест, задачи за този разделстереометрията създава затруднения за Голям бройстуденти. В същото време задачи, изискващи намиране на ъгъла между прави линии, се намират в USE както основни, така и ниво на профил. Това означава, че всеки трябва да може да ги реши.

Основни моменти

Има 4 вида взаимно разположение на линиите в пространството. Те могат да съвпадат, да се пресичат, да са успоредни или да се пресичат. Ъгълът между тях може да бъде остър или прав.

За да намерят ъгъла между линиите в Единния държавен изпит или, например, в решението, учениците в Москва и други градове могат да използват няколко метода за решаване на задачи в този раздел на стереометрията. Можете да изпълните задачата чрез класически конструкции. За да направите това, си струва да научите основните аксиоми и теореми на стереометрията. Ученикът трябва да може логически да изгражда разсъждения и да създава чертежи, за да доведе задачата до планиметричен проблем.

Можете също да използвате метода на векторните координати, като приложите прости формули, правила и алгоритми. Основното нещо в този случай е правилното извършване на всички изчисления. Усъвършенствайте уменията си за решаване на проблеми по стереометрия и други теми училищен курсще ви помогне образователен проект"Школково".

О-о-о-о-о-о ... е, тенекиен е, сякаш си прочете изречението =) Но тогава релаксът ще помогне, особено след като днес купих подходящи аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.

Взаимно разположение на две прави линии

Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математически знакпресичане, ще се случва много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалите с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:

Пример 1

Да открия взаимно споразумениедиректен:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и го следват, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение(по принцип подхожда на всяко число).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачанаказва сурово Славея Разбойника.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете непознатия ред с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "te".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не много рационален начин за решаване. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че помислете за проблем, който ви е добре познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето за вас геометричен смисълдве линейни уравненияс две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичен начине просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност обмислихме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка по аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Задачата може удобно да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за мнозина геометрични задачи, и ще се съсредоточа върху това многократно.

Цялостно решениеи отговорът в края на урока:

Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Да започнем с типичен и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверкарешения:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Нашите забавно пътуванепродължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия, а най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще обознача алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, позволявайки ви да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.

Ъгъл между две прави

Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно може да се окаже отрицателен резултати не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за два реда дадени чрез уравненияв общ изглед:

Ако прав не перпендикулярно, тогава ориентиранаъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Повечето внимателно вниманиеобърнете се към знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

Като се използва обратна функциялесно намиране на самия ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените редовете, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Инструкция

Забележка

месечен цикъл тригонометрична функциятангенсът е равен на 180 градуса, което означава, че ъглите на наклона на правите линии не могат по модул да надвишават тази стойност.

Полезни съвети

Ако фактори на наклонаса равни една на друга, тогава ъгълът между тези линии е равен на 0, тъй като такива линии или съвпадат, или са успоредни.

За да се определи ъгълът между пресичащите се линии, е необходимо двете линии (или една от тях) да се прехвърлят на нова позиция по метода на успоредно прехвърляне към пресечната точка. След това трябва да намерите ъгъла между получените пресичащи се линии.

Ще имаш нужда

• Владетел, правоъгълен триъгълник, молив, транспортир.

Инструкция

И така, нека са дадени векторът V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормалата N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

За да изчислите стойността на ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите функцията, обратна на косинуса от получения израз, т.е. аркосинус: α \u003d arcos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Пример: намери ъгълмежду вектор(5, -3, 8) и самолет, дадено от общото уравнение 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0. Решение: запишете координатите нормален векторравнина N = (2, -5, 3). Заместете всичко известни стойностив горната формула: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Подобни видеа

Права линия, която има една с кръг обща точка, е допирателна към окръжността. Друга особеност на допирателната е, че тя винаги е перпендикулярна на радиуса, начертан до точката на контакт, тоест допирателната и радиусът образуват права линия ъгъл. Ако две допирателни към окръжността AB и AC са прекарани от една точка A, то те винаги са равни една на друга. Определение на ъгъла между тангентите ( ъгъл ABC) се получава с помощта на Питагоровата теорема.

Инструкция

За да определите ъгъла, трябва да знаете радиуса на окръжността OB и OS и разстоянието на началната точка на допирателната от центъра на окръжността - O. И така, ъглите ABO и ACO са равни, радиусът OB , например 10 см, а разстоянието до центъра на окръжността AO е 15 см. Определете дължината на допирателната по формула в съответствие с Питагоровата теорема: AB = Корен квадратенот AO2 - OB2 или 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

а. Нека са дадени две прави.Тези линии, както беше посочено в глава 1, образуват различни положителни и отрицателни ъгли, които могат да бъдат или остри, или тъпи. Познавайки един от тези ъгли, лесно можем да намерим всеки друг.

Между другото, за всички тези ъгли числената стойност на тангентата е една и съща, разликата може да бъде само в знака

Уравнения на прави. Числата са проекциите на насочващите вектори на първата и втората права.Ъгълът между тези вектори е равен на един от ъглите, образувани от прави линии. Следователно проблемът се свежда до определяне на ъгъла между векторите, Получаваме

За простота можем да се споразумеем за ъгъл между две прави линии, за да разберем остър положителен ъгъл (както например на фиг. 53).

Тогава тангенсът на този ъгъл винаги ще бъде положителен. Така, ако се получи знак минус от дясната страна на формула (1), тогава трябва да го отхвърлим, т.е. да запазим само абсолютната стойност.

Пример. Определете ъгъла между линиите

По формула (1) имаме

с. Ако е посочено коя от страните на ъгъла е неговото начало и коя е неговият край, тогава, като броим винаги посоката на ъгъла обратно на часовниковата стрелка, можем да извлечем нещо повече от формулите (1). Както е лесно да се види от фиг. 53 знакът, получен от дясната страна на формулата (1), ще покаже кой - остър или тъп - ъгълът образува втората линия с първата.

(Наистина, от Фиг. 53 виждаме, че ъгълът между първия и втория насочващ вектор е или равен на желания ъгъл между линиите, или се различава от него с ±180°.)

д. Ако правите са успоредни, то и техните насочващи вектори са успоредни.Прилагайки условието за успоредност на два вектора, получаваме!

Това е необходимо и достатъчно условие две прави да са успоредни.

Пример. Директен

са успоредни, защото

д. Ако линиите са перпендикулярни, тогава техните насочващи вектори също са перпендикулярни. Прилагайки условието за перпендикулярност на два вектора, получаваме условието за перпендикулярност на две прави, а именно

Пример. Директен

перпендикулярно, защото

Във връзка с условията на успоредност и перпендикулярност ще решим следните две задачи.

f. Начертайте права, успоредна на дадена права през точка

Решението се взема така. Тъй като търсената права е успоредна на дадената, тогава за нейния насочващ вектор можем да вземем същия като този на дадената права, т.е. вектор с проекции A и B. И тогава ще бъде написано уравнението на търсената права във формата (§ 1)

Пример. Уравнение на права линия, минаваща през точка (1; 3), успоредна на права линия

ще бъде следващата!

ж. Начертайте права през точка, перпендикулярна на дадената права

Тук вече не е подходящо да се вземе вектор с проекции A и като насочващ вектор, но е необходимо да се спечели вектор, перпендикулярен на него. Следователно проекциите на този вектор трябва да бъдат избрани според условието, че и двата вектора са перпендикулярни, т.е. според условието

Възможно е да се изпълни това условие безброенначини, тъй като има едно уравнение с две неизвестни. Но най-лесният начин е да го вземем. Тогава уравнението на желаната права ще бъде записано във формата

Пример. Уравнение на права, минаваща през точка (-7; 2) в перпендикулярна права

ще бъде следното (според втората формула)!

ч. В случая, когато линиите са дадени с уравнения от вида