Видове сходимост на последователности от случайни променливи.

Последователности случайни променливи X 1, X 2 , . . ., X n, . . ., дадено на някакво вероятностно пространство на случайна променлива х,дефинирани по следния начин: ако за всяко при
По математика Този анализ на конвергенцията се нарича конвергенция в мярката. От S. до c. следва конвергенция в разпределението.
В. И. Битюцков.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "КОНВЕРГЕНЦИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ" в други речници:

- ... Уикипедия

Сходимост с вероятност едно, сходимост на последователност от случайни променливи X1, X2, . . ., Х н. . . ., дадено в определено вероятностно пространство на случайна променлива X, дефинирана по следния начин: (или a.s.), ако B е математическо. ... ... Математическа енциклопедия

В теорията на вероятностите, форма на конвергенция на случайни променливи. Съдържание 1 Определение 2 Бележки ... Wikipedia

В математиката конвергенцията означава, че една безкрайна последователност или сумата от безкрайна серия или неправилен интегралимат лимит. Концепциите имат смисъл за произволни последователности, серии и интеграли: Граница на последователност ... ... Wikipedia

Този термин има и други значения, вижте Конвергенция. Поредица от функции се сближава почти навсякъде до гранична функция, ако множеството от точки, за които няма сходимост, има мярка нула. Съдържание 1 Определение 1.1 Термин ... Wikipedia

Този термин има и други значения, вижте Конвергенция. Конвергенцията във функционалния анализ, теорията на вероятностите и свързаните с тях дисциплини е форма на конвергенция на измерими функции или случайни променливи. Определение Нека пространството с ... ... Wikipedia

- (от гледна точка на вероятността) във функционалния анализ, теорията на вероятностите и свързаните с тях дисциплини, това е вид конвергенция на измерими функции (случайни променливи), дадени в пространство с мярка (пространство на вероятностите). Определение Нека интервал с мярка. ... ... Wikipedia

Математическа концепция, означаваща, че някои променливаима ограничение. В този смисъл се говори за S. на редица, S. на серия, S. на безкраен продукт, S. на продължителна дроб, S. на интеграл и т.н. Понятието S. възниква, . .. ... Велика съветска енциклопедия

Същото като конвергенцията във вероятността... Математическа енциклопедия

Общият принцип, по силата на който съвместни действияслучайни фактори води до някои много Общи условиядо резултат, почти независим от случайността. Сближаване на честотата на поява случайно събитиес неговата вероятност, когато броят се увеличава ... ... Математическа енциклопедия

Книги

Теория на вероятностите и математическа статистика в задачи. Повече от 360 задачи и упражнения, Борзих Д. Предлаганото ръководство съдържа задачи с различни нива на сложност. Фокусът обаче е върху задачите средна трудност. Това се прави умишлено, за да се насърчат учениците да...
Теория на вероятностите и математическа статистика в задачите. Повече от 360 задачи и упражнения, Borzykh D.A. Предлаганото ръководство съдържа задачи с различни нива на сложност. Основният акцент обаче е поставен върху задачи със средна сложност. Това се прави умишлено, за да се насърчат учениците да...

В теорията на вероятностите, за разлика от математическия анализ, няколко различни видовесходимост на последователност от функции (случайни променливи) и техните разпределения. Това се дължи на факта, че в теорията на вероятностите е обичайно да се пренебрегват малко вероятните събития и това може да се направи по различни начини. Точковата конвергенция на случайни променливи, почти сигурната конвергенция и конвергенцията на вероятностните мерки във вариацията вече са дефинирани. Нека дадем още две важни дефиниции на конвергенцията на случайни променливи − конвергенция във вероятносттаи конвергенция в RMSи една дефиниция на конвергенция на разпределенията – слаба конвергенция.

Конвергенция във вероятността

се свежда до случайна променлива

по вероятност ако

Конвергенцията във вероятността се означава като

Конвергенция в RMS

Последователност от случайни променливи

се свежда до случайна променлива

в rms (в L 2), ако

Конвергенцията в RMS се означава като

Слаба сходимост на разпределенията

Последователност от случайни променливи

се свежда до случайна променлива

слабо (по разпределение) ако

във всички точки на непрекъснатост на функцията

Слабата конвергенция се означава като

Основната разлика между слабата конвергенция и други видове конвергенция е, че не се изисква случайните променливи да бъдат дефинирани в едно и също вероятностно пространство, тъй като условията за конвергенция се формулират, като се използват само техните функции на разпределение.

Връзката на различните видове конвергенция

Връзката между различните типове конвергенция е показана на следната диаграма.

Имайте предвид, че никоя от стрелките в тази диаграма не може, най-общо казано, да бъде обърната назад, т.е. всеки два вида конвергенция не са еквивалентни. От практическо значение са предимно слабата конвергенция и конвергенцията в RMS, тъй като те ви позволяват да правите приблизителни изчисления на вероятности и математически очаквания и да замените едно математически моделидруги. Други видове конвергенция се използват главно при доказване на слаба конвергенция или изследване на качествените свойства на модела. Ето защо, ние изучаваме по-подробно връзката между тези два вида конвергенция в останалата част.

Нека първо покажем, че конвергенцията във вероятността предполага слаба конвергенция.

Теорема (P->W).

Доказателство.

Нека x е точка на непрекъснатост на функцията

По този начин

На малки и голямо n наляво и дясна частнеравенствата се различават произволно малко от
, което доказва теоремата.

Доказателството е пълно.

Обратната теорема е вярна при едно допълнително условие.

Теорема (W->P).

Доказателство.

Доказателството е пълно.

Нека покажем, че сходимостта в RMS предполага сходимост във вероятността.

Теорема (Л 2 ->P).

Доказателство.

Използваме неравенството на Марков

Доказателството е пълно.

Следващата теорема дава пример за прилагане на предишната теорема за доказване на сходимостта на относителната честота на събитие към неговата вероятност в схемата на Бернули.

Закон за големите числа във формата на Бернули

Позволявам - броят на успехите в нтестове по схемата на Бернули с вероятност за успех стр.Тогава

Доказателство.

Доказателството е пълно.

По този начин, за да се докаже слаба конвергенция, е достатъчно да се докаже сходимост по вероятност или по среден квадрат.

При доказване на теореми за слаба сходимост се използва и следната важна теорема.

Теорема ((Хели-Брей).

Непрекъсната ограничена функция. Тогава

Доказателство.

Всяка функция, непрекъсната по цялата линия
може да бъде произволно точно апроксимирано чрез линейна комбинация от стъпкови функции на всеки интервал [-A,A), A>0.

Нека изберем A, така че точките –A, A и разделителните точки

биха били точки на непрекъснатост на функцията на разпределение

След това интегралите

се изразяват по същия начин по отношение на стойностите на функциите на разпределение
и
и може да се направи произволно близък чрез избор на достатъчно голямо n. Следователно интегралите също са близки

Тъй като функцията
е ограничено, тогава чрез избиране на достатъчно голямо А човек може да направи интегралите произволно малки

Теоремата е доказана.

Обратната теорема също е вярна.

Теорема (Обратна теорема на Хели-Брей)

Нека за всякакви

непрекъсната ограничена функция

Доказателство.

Идеята на доказателството е подобна на идеята на доказателството на предишната теорема и се основава на възможността за приближаване на стъпковата функция
непрекъсната функция
. Всъщност, отново избирайки подходящи точки на приемственост и настройка

виждаме, че интегралите са близки един до друг

могат да бъдат направени произволно близки, респ. до интеграли

Теоремата е доказана.

тогава последните две теореми дават необходими и достатъчни условия за слаба конвергенция по отношение на сходимостта на математическите очаквания на непрекъснати ограничени функции.

Теорема (f(W)).

непрекъсната функция. Тогава

Доказателство.

От замяната непрекъсната функцияв ограничена непрекъсната функция води отново до непрекъсната ограничена функция, тогава доказателството на тази теорема следва директно от теоремите на Хели-Брей.

Теоремата е доказана.

Лесно е да се покаже, че следната теорема също е вярна

Теорема (f(P)).

непрекъсната функция. Тогава

Докажете сами тази и следващите две теореми като упражнения.

Теорема (W+P->W).

Теорема (W*P->W).

В това, което следва, ще трябва да работим широко с производни и интеграли на случайни процеси. И двете операции - диференциране и интегриране - предполагат, както знаете, сближаването на определена последователност от количества до границата. Но за случайни променливи, дефинирани не детерминистично, а чрез техните собствени вероятностни разпределения, концепцията за конвергенция до границата (и следователно понятията за непрекъснатост, диференцируемост, интегрируемост за произволни функции) не може да има същото значение, което му се придава в анализа. За последователност от случайни променливи е възможна само вероятностна дефиниция на конвергенция до границата, която, между другото, отваря повече различни възможностив избора на определение. Вероятностната конвергенция също е от съществено значение за разглеждане на така наречените ергодични свойства на случайни функции, към които се обръщаме в следващия раздел.

Нека започнем, за простота, като разгледаме различни видовеконвергенция на последователност от случайни променливи към (неслучайно) число a.

Един от видовете вероятностна конвергенция е конвергенцията в средния квадрат (r.m.s.), която се разбира като изчезване на средната стандартно отклонениеот числото a at

което е написано като

Обозначение 1. i. м. съставена от начални букви английско иметази граница (граница в средния квадрат). Използването на този тип конвергенция е най-целесъобразно в случаите, когато трябва да се работи с квадратични (по-специално тези, които имат енергиен смисъл) комбинации от случайни променливи.

Равенството (19.1) очевидно предполага крайността на най-крайната и средната стойност, тъй като . Изваждайки и добавяйки в скоби в (19.1), пренаписваме това равенство по различен начин:

Но границата на сумата от две неотрицателни величини може да бъде равна на нула само ако границите на двата члена са равни на нула, т.е.

По този начин границата на последователността от средства и границата на дисперсията е нула.

Друг вид вероятностна конвергенция към a - конвергенция във вероятност (във вер.) - се дефинира, както следва:

където, както обикновено, е всяко произволно малко положително число. В този случай пишете

Равенство (19.2) означава, че вероятността да се уцели някъде извън произволно тесен интервал изчезва в границата. С оглед на произволната малкост, това от своя страна означава, че плътността на вероятността на случайната променлива преминава при . От това обаче в никакъв случай не следва, че a е границата на редицата и че D клони към нула. Освен това, те могат да нарастват неограничено с увеличаване на N или дори да бъдат безкрайни за всяко N. Нека, например, да е неотрицателно и да се разпределя според закона на Коши:

За всяко ограничението за е равно на нула, докато ограничението не съществува. Условието за нормализиране обаче винаги е изпълнено:

така че има тенденция да . Въпреки това е лесно да се провери, че за всяко N и са безкрайни.

Конвергенцията във вероятността често се нарича конвергенция по смисъла на закона големи числа. Случайните променливи се наричат гранични константи, ако има последователност от константи, така че

Ако всички са еднакви (равни на a), тогава това равенство влиза в (19.2), т.е. означава, че се сближава по вероятност към a или разликата - a се сближава по вероятност към нула.

Конвергенцията във вероятността трябва ясно да се разграничава от обикновената конвергенция

Всъщност по отношение на поведението на емпиричните числа - стойностите - нищо не може да бъде доказано математически. Само твърдения, свързани с теоретични концепции, включително концепцията за вероятността, както е дефинирана в оригиналните аксиоми. При конвергенция във вероятността говорим сине това, а при , а че вероятността за събитие клони към единица. Връзката на това твърдение с опита се крие в "аксиомата за измерване", според която вероятността се измерва с относителната честота

възникването на разглежданото случайно събитие в достатъчно дълга поредица от тестове, в достатъчно обширна съвкупност от системи и т.н.

За по-добро разбиране на този основен аспект на проблема, нека се спрем на някои гранични теореми на теорията на вероятностите, които са комбинирани в често срещано имезаконът за големите числа, а именно върху теоремите, отнасящи се до случая, когато (19.2) съдържа средноаритметичната стойност на N случайни променливи

Ние правим серия от N опити, вземаме техните резултати и изчисляваме средната стойност (19,3). След това търсим дали има събитие (да го наречем BN събитие), което

За да измерим вероятността за събитие BN, трябва да направим много голямо число M серии от N опити трябва да имат колектив от такива серии. Законът за големите числа (19.2) гласи, че колкото по-дълги са сериите, които образуват колектива (колкото по-голямо е N), толкова по-близо до единица, т.е. според "аксиомата за измерване", голямо количествосериите ще съответстват на началото на BN (в границите - почти всички):

Следователно това е доста смислено твърдение, но става такова само с ясно сравнение математическа концепциявероятности с емпирична концепцияотносителна честота. Без това законът за големите числа остава определена теорема, логично произтичаща от определена системааксиоми за величината Р, която се дефинира като напълно адитивна, неотрицателна и нормирана на единица функция на областта.

Често този въпрос, който вече засегнахме в § 1, е изложен в учебна литературадоста непоследователно, без ясна индикация, че „аксиомата за измерване“, която свързва понятията на теорията на вероятностите с реалните явления, с експеримента и практиката, не се съдържа в математическа теориякато такъв. Могат да се срещнат твърдения, че основата за успеха на приложението на теорията на вероятностите в различни проблемиестествената наука и техника се крие именно в закона за големите числа. Ако това беше така, тогава това би означавало

основата на практическия успех е логическата последица от определени абстрактни аксиоми и че тези математически аксиоми сами предписват как трябва да се държат емпиричните количества.

По принцип може да се изхожда от други аксиоми - и да се изгради друга вероятностна теория, чиито изводи, които са различни от тези в съществуваща теория, би било също толкова логически безупречно и също толкова ненужно за реалните явления. Тук ситуацията е същата като при различните възможни геометрии. Но веднага щом една математическа теория бъде допълнена с определени методи за измерване на величините, с които оперира, и по този начин се превърне във физическа теория, ситуацията се променя. Правилността или неправилността на една теория тогава престава да бъде въпрос само на нейната логическа последователност, а става въпрос на нейното съответствие с реалните неща и явления. Въпросът за истинността на самите аксиоми придобива съдържание, тъй като сега това може да бъде подложено на експериментална и като цяло практическа проверка.

Въпреки това, дори преди такава проверка, е необходимо вътрешно съответствие между двете части на физическата теория: установените методи за измерване на количества не трябва да са в конфликт с уравненията, на които тези количества са подложени от математическата част на теорията . Например, уравненията на движението на Нютон приемат, че силата е вектор и следователно са несъвместими с начин за измерване на силата, който би я характеризирал само по отношение на абсолютна стойност. Може би в действителност силата не е вектор, а да речем тензор, но това е друг въпрос относно това колко добре отразява обективна реалностдадено физическа теорияв общи линии. Сега говорим само за факта, че наличието на противоречие между математическата и измервателната част на една физическа теория я прави несъстоятелна дори преди каквато и да е проверка на нейните последствия в експеримент.

От тази гледна точка законът за големите числа се различава от другите - логически еквивалентни - теореми на теорията на вероятностите само по това, че, както ще се види от това, което следва, той особено ясно и ясно показва съвместимостта математическа дефинициявероятност и честотния метод на нейното измерване. Той показва, че честотната "аксиома за измерване" не противоречи на математическата теория, но последната, разбира се, не замества и не може да замени тази "аксиома".

Доказателство различни теореми, имащ формата на закона за големите числа, обикновено използва неравенството на Чебишев, доказано в неговата дисертация през 1846 г. Нека една случайна променлива има крайна дисперсия Неравенството на Чебишев

гласи че

Ако, по-специално, , тогава неравенството (19.4) приема формата

Въпреки че неравенствата (19.4) и (19.5) дават само много груба оценка на P (повече точна оценкамогат да бъдат получени, ако законът за разпределение е известен), за теоретични конструкции те са много полезни и важни.

В случай, че неравенството на Чебишев съдържа средноаритметичното (19.3) на N случайни променливи, неравенството (19.5) ни позволява да докажем теоремата на Чебишев, която е доста общ израз на закона за големите числа. А именно, ако е последователност от по двойки независими случайни променливи с равномерно ограничени дисперсии (D С), тогава

Наистина ли,

Според неравенството на Чебишев

откъде за вероятността противоположно събитиеи следва теорема (19.6), т.е. сходимост на вероятността към

Специален случай на теоремата на Чебишев е теоремата на Поасон. Нека - случайни променливи-фиксатори на резултата от теста или 0 в съответствие с настъпването или ненастъпването на събитие А по време на теста, в което . Тогава

и теоремата на Чебишев дава

Това е теоремата на Поасон. Дори повече специален случай- кога . Тогава стигаме до теоремата на Бернули, една от първите формулировки на закона за големите числа:

Нека спрем на това най-простата формазакон. Теорема (19.8) показва, че с увеличаване на броя на опитите N, относителната честота на събитието A, т.е. емпиричната стойност се сближава по вероятност към - вероятността на събитието A. Ако това не беше така, тогава би е безсмислено да се измерва вероятността с помощта на относителната честота. Но щом това е така, тогава честотният метод за измерване на вероятностите както (чрез относителната честота на възникване на събитие A в серия от N опити), така и P (чрез относителната честота на възникване на събитие в екип от М серия опити) може да се приеме като допълнение към математическата теория, тъй като не й противоречи. След това вече е възможно както да се пита, така и да се тества чрез опит дали получената физическа теория отразява реални статистически закономерности.

Любопитно е, че за изпълнението на теорема (19.8) за всякакви стойности на , т.е. за сходимост на вероятността

достатъчно е да се изисква тази конвергенция да се извършва само за (относителната честота на малко вероятните събития трябва да е малка).

Сега пишем теоремата на Чебишев за случая, когато всички са a. Тогава

и теоремата става

което е в основата на правилото за средната аритметична стойност при измерванията. Индивидите могат да се отклоняват значително от a, но с вероятност имаме a при Това се случва, защото при изчисляване на средната стойност случайни отклоненияотделните термини се компенсират и в повечето случаи отклонението е много малко.

Отклоненията от a могат да бъдат случайни грешки в измерването. Но ако самата точност на отчитане по време на измерването е не по-малка от , т.е. има систематична грешка, свързана с цената на разделяне на скалата, тогава точността не е по-малка за всяко N, така че е безсмислено, апелирайки към закона за големите числа, да се стремим да получим в този случай стойността на a с грешка, по-малка от поради ви позволява да надминете точността на измерване, ограничена отдолу, и да получите, да речем, с помощта на екраниран амперметър, отчитането на силата на тока с точност до микроампера.

Възможна е и друга ситуация: самата измервана величина може да бъде произволна (шумов ток и т.н.). Тогава можем да сме сигурни, че при , т.е. средноаритметичната стойност клони към математическото очакване на случайната променлива.

Условието за взаимна независимост на резултатите от измерването на една случайна величина изисква, най-общо казано, тя да се измерва на достатъчно големи интервали от време. Въпреки това, за валидността на закона за големите числа, самото това условие за независимост не е необходимо, тъй като неравенството на Чебишев изисква само за . Няма да спираме за повече общи теоремии относно необходимите и достатъчни условия, при които законът за големите числа е валиден за средноаритметичното, тъй като тези условия се отнасят до самото количество и следователно са по-малко интересни на практика от по-тесните условия, но свързани с отделни термини

През 1909 г. Е. Борел (тогава - в повече обща форма- F. P. Cantelli, след това A. N. Kolmogorov) доказа по-силно твърдение от закона за големите числа. Според теоремата на Бернули

Според Борел (силен закон на големите числа)

т.е. със сигурност или, както се казва, "почти вероятно", относителната честота има вероятност като своя граница. Това е още по-силна основа за измерване на вероятността чрез относителна честота.

Въз основа на (19.9) може да се въведе друг вид вероятностна конвергенция - конвергенция в смисъла на силния закон на големите числа, която също се нарича сходимост с вероятност или почти сигурна конвергенция:

(19.10)

Накратко това може да се напише като

Понякога във връзка с дефиницията (19.10) възниква объркване относно факта, че тя съдържа обичайната граница на последователност от случайни променливи. Създава се впечатлението, че тук сякаш се отклоняваме от твърдението, направено по-горе, че конвергенцията на случайни променливи може да има само вероятностно значение. Но точно за това се говори в този случай. Сред различните реализации на последователността има и възможни реализации, които се събират в a в обичайния смисъл. Може да се покаже, че множеството от такива реализации има определена вероятност P. Конвергенцията почти сигурно означава, че тази вероятност, т.е. вероятността за случайно събитие, е равна на единица. С други думи, реализациите, сходни към a в обичайния смисъл, "почти изчерпват" набора от всички възможни реализации на последователността. Така в (19.10) не отиваме никъде от вероятностната дефиниция на конвергенция, въпреки че сега нямаме предвид границата на вероятността (както при конвергенцията във вероятността) и границата на вероятността.

Представяме две от условията за сходимост към почти сигурно. Едно от тях е необходимо и достатъчно

Това условие обаче никога не може да бъде проверено на практика. Друго, по-силно достатъчно условие, е това

че за всеки редът трябва да се сближава

Други достатъчни условия и, като цяло, подробно математическо обсъждане на въпроси, свързани с вероятностната конвергенция, могат да бъдат намерени в книгите (Глава 3) и (Глава 1).

Сближаването на средния квадрат включва (поради неравенството на Чебишев) сближаване на вероятността и ако всички са почти сигурно равномерно ограничени по абсолютна стойност, тогава, обратно, сближаването на вероятността предполага сближаване на средния квадрат. Конвергенцията почти сигурно включва и конвергенция във вероятността, но не и конвергенция в средния квадрат; в същото време средната квадратична конвергенция не предполага почти сигурна конвергенция.

теория вероятност теорема за конвергенция

Пределни теореми на теорията на вероятностите

Конвергенция на последователности от случайни променливи и вероятностни разпределения

1.1.1.1 Конвергенция на случайни променливи

Нека има вероятностно пространство със система от случайни променливи и дадена в него случайна променлива. В теорията на вероятностите се счита следните видовеконвергенция на последователности от случайни променливи.

Поредица от случайни променливи се сближава по вероятност до случайна променлива, ако има такава

Този тип конвергенция се означава като:, или.

Поредица от случайни променливи се сближава до случайна променлива с вероятност 1 (или почти сигурно), ако

това е, ако за за всички, освен, може би, от някои набор от нулева вероятност (). Конвергенцията с вероятност 1 ще бъде означена по следния начин: , или. Сходимостта с вероятност 1 е сходимост почти навсякъде по отношение на вероятностната мярка.

Обърнете внимание, че конвергенцията е събитие от -алгебрата, което може да бъде представено като

Нека формулираме някои теореми, установяващи критерии за почти сигурна конвергенция.

Теорема 1.1. ако и само ако за всяко

или, което е същото,

Теорема 1.2. Ако редът

се сближава за всякакви

Може да се покаже, че конвергенцията води до конвергенция (това следва от (1.1)).Обратното твърдение не е вярно като цяло, но е в сила следната теорема.

Теорема 1.3. Ако, тогава съществува подпоследователност, такава че за .

Връзката между конвергенция и конвергенция се установява от следните теореми.

Теорема 1.4. (Леви върху монотонната конвергенция) Нека има монотонна последователност от неотрицателни случайни променливи: имащи крайни математически очаквания, ограничен до същата стойност: . Тогава последователността се сближава с вероятност 1 към някаква случайна променлива c, и

Теорема 1.5. (Лебег за доминирана конвергенция) Нека и са количества, където е неотрицателна случайна променлива с крайно математическо очакване. Тогава случайната променлива също има крайно математическо очакване и

Поредица от случайни променливи конвергира към случайна променлива в среден ред, ако

Ще обозначим такава конвергенция. Когато говорят за конвергенция в средния квадрат и означават. По силата на обобщеното неравенство на Чебишев конвергенцията предполага конвергенция. От сходимостта по вероятност и още повече от сходимостта почти сигурно, сходимостта на реда не следва. По този начин сходимостта във вероятността е най-слабата конвергенция от трите, които разгледахме.

За една последователност се казва, че е фундаментална по вероятност (почти вероятно, в среден ред), ако има такава

Теорема 1.6. (Критерий за конвергенция на Коши) За да бъде една последователност фундаментална в съответния смисъл (вероятно, почти сигурно, средно на реда), тя е необходима и достатъчна.

1.1.1.2 Слаба конвергенция на разпределенията

Казва се, че вероятностното разпределение на случайни променливи се сближава слабо към разпределението на случайна променлива, ако за всяка непрекъсната ограничена функция

Слабата конвергенция ще бъде означена по следния начин: . Имайте предвид, че конвергенцията предполага конвергенция. Обратното не е вярно, но слабата конвергенция предполага сходимост във вероятността.

Условието (1.2) може да бъде пренаписано с помощта на интеграла на Лебег върху мярка, както следва

За случайни променливи с плътност на вероятността слабата конвергенция означава конвергенция за всяка ограничена функция

Ако говорим за функции на разпределение и съответните и, тогава слабата конвергенция означава това

препис

1 С.Я. Шацких Лекции по теория на вероятностите Видове сходимост на последователности от случайни променливи Чернова Конвергенция по вероятност. Ще приемем, че всички случайни променливи, които ни интересуват, са дефинирани в едно и също вероятностно пространство Ω, A, ). Нека си припомним определението за сходимост на случайни променливи по вероятност, което срещнахме, когато изучавахме закона за големите числа във формата на P.L. Чебишев. Определение 1. Казва се, че поредица от случайни променливи X n (ω)) се сближава към случайна променлива X(ω) по вероятност, ако за всяко ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, н. Нотация: X n (ω) X(ω). Конвергенцията във вероятността е пълен аналогсходимост по мярка, която се разглежда в курсовете по функционален анализ и "интеграл на Лебег". Теорема. Ако за n X n (ω) X(ω), X n (ω) Y (ω), тогава ω : X(ω) = Y (ω)) = 1 (уникалността на границата е почти сигурна). Теорема. Ако за n X n (ω) X(ω), Y n (ω) Y (ω), тогава 1 ax n (ω) + b Y n (ω) 2 X n (ω) Y n (ω) ax( ω) + b Y (ω) 3 X n (ω) X(ω) Y (ω), X(ω). (a, b const), Теорема. За случайни променливи X(ω), Y (ω) функционалът ) X(ω) Y (ω) d(x(ω), Y (ω)) = M 1 + X(ω) Y (ω) 1

2 дефинира метрика в пространството на случайни променливи 1. Конвергенцията в тази метрика е еквивалентна на конвергенцията във вероятността. Доказателство. Първо доказваме еквивалентността на конвергенциите. Помислете за увеличаване на полулинията; A = B() е Борелова σ алгебра на интервала; Мярка на Лебег. Нека зададем [ k 1 Xn(ω) k:= 1 A k n (ω), където A k n = n, k ], k = 1, n. n Да разгледаме последователност от случайни променливи X 1 1(ω), X 1 2(ω), X 2 2(ω), X 1 3(ω), X 2 3(ω), X 3 3(ω),. .. (6) Ясно е, че за всяко ω конструираната последователност е обединение на безкрайни последователности от нули и единици. Следователно във всяка точка ω тази последователност няма граница и нейното множество за сходимост е празно. От друга страна, за всяко ε (0, 1) ω : Xn(ω) k > ε) = 1, k = 1, n, n, следователно последователността (6) се сближава по вероятност до (идентично) нула. Въпреки че почти сигурната конвергенция не следва от конвергенцията във вероятността, следната теорема все пак е в сила. Теорема 4 (F. Riess). Ако за n X n (ω) X(ω), тогава съществува подпоследователност n k ) такава, че за k X nk (ω) a.s. X(ω). 7

8 Доказателство 3. Първо конструираме търсената подпоследователност n k ). Поставяме n 0 = 1 и след това, за k N, определяме чрез индукция n k като най-малкото естествено число, за които са валидни следните неравенства: n k > n k 1, ω : X nk (ω) X(ω) 1 )< 1 k 2 k Такое число существует в силу сходимости по вероятности ω : X n (ω) X(ω) 1 } 0, (n). k Теперь установим сходимость X nk (ω) п.н. X(ω), (k). Ввиду соотношения (9) (см. доказательство теоремы 2) } ω : sup X nk (ω) X(ω) >ε k m = k=m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). Следователно ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). k=m () За всяко ε > 0 съществува естествено M ε такова, че Следователно, за m > M ε 1 m< ε. m >M ε по избор n k ω : X nk (ω) X(ω) > ε ) k=m k=m ω : X nk (ω) X(ω) > 1 k ) k=m 1 2 k. Така, като вземем предвид (), ще имаме ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m k=m 1 2 k. Пределно преминаване в това неравенство за m, с оглед на крайността на сумата геометрична прогресия, получаваме ) lim ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε = 0. m k m За да докажем нашата теорема, остава да приложим критерия за почти сигурна сходимост (виж Теорема 2). 3 Тази теорема се разглежда в хода на функционалния анализ. осем

9 Въпросът за метризацията на конвергенцията е почти сигурен. Разгледайте въпроса за метризацията на почти сигурната конвергенция. Както ще видим, най-общо казано, отговорът на този въпрос е отрицателен: за разлика от конвергенцията във вероятността, конвергенцията е почти сигурно неметризуема. Тук обаче трябва да се направят някои забележки. Има примери за вероятностни пространства, за които сходимостта на вероятността е еквивалентна на почти сигурна конвергенция. В такива пространства всяка последователност от случайни променливи, която се сближава по вероятност, непременно е почти сигурно сходяща. В такава ситуация конвергенцията е почти сигурно метризуема поради метризуемостта на конвергенцията по вероятност (вижте теоремата?). В противен случай обаче, както показва следващата теорема, метризацията на конвергенцията е почти сигурно невъзможна. Теорема 5. Ако в набор от случайни променливи, дефинирани в определено вероятностно пространство, понятията за сходимост с вероятност едно и сходимост по вероятност не съвпадат, тогава за такъв набор от случайни променливи няма метрика, чиято сходимост е еквивалентна на почти сигурна конвергенция. Доказателство. Да приемем обратното, т.е. в множеството от случайни променливи има метрика ρ (,), съответстваща на почти сигурна конвергенция: за n X n (ω) a.s. X(ω) ρ (X n (ω), X(ω)) 0. Разгледайте последователност от случайни променливи X n (ω)), която се сближава към случайната променлива X(ω) по вероятност, но не почти сигурно по от една страна, за някои δ > 0 съществува подпоследователност n k ), за всички членове на която е изпълнено неравенството ρ (X nk (ω), X(ω)) > δ. () От друга страна, конвергенцията във вероятността остава: X nk (ω) X(ω), за k. Въпреки това, по силата на теорема 4, можем да твърдим, че подпоследователността n k ) има "подпоследователност" n km ), за която за m Следователно X nkm (ω) a.s. X(ω). lim m ρ (X nkm (ω), X(ω)) = 0, което противоречи на (). Теоремата е доказана. Сега даваме примери за вероятностни пространства, за които сходимостта на вероятността е еквивалентна на почти сигурна конвергенция. Първо, нека си припомним дефиницията на атомно вероятностно пространство 5 (виж Енциклопедия на ТВ и МС, под редакцията на Ю.В. Прохоров, Neveu J. "MOTV"). 4 Пример за такава последователност беше обсъден по-горе. 5 Грубо казано, атомното вероятностно пространство се състои от краен или изброим набор от точки, всяка от които има положителна вероятност. Пример за ограничено атомно пространство е схемата на Бернули. 9

10 Определение. Вероятностно пространство Ω, A, ) се нарича атомно, ако съществува ограничено или изброимо разпределение на Ω на атоми A i A: 1 Ω = A i, A i A j =, (i j), наборът от индекси I е краен или преброими. i I 2 A i ) > 0, за всяко i I; 3 за всеки B A всеки атом A i има едно от двете свойства или B A i ) = 0, или B A i ) = A i ); ) 4 A i = A i ) = 1. i I i I Теорема 6. За атомно вероятностно пространство сближаването с вероятност едно е еквивалентно на сближаване по вероятност. Доказателство. В атомно вероятностно пространство конвергенцията във вероятността предполага конвергенция за всеки атом. Наистина, ако за всяко ε > 0, за n ω : X n (ω) X(ω) ε) 0, тогава за всяко i I Следователно, множеството за конвергенция ω A i: X n (ω) X(ω) ε ) 0 ω : X n (ω) X(ω)) съдържа всички атоми и следователно неговата вероятност е единица. Следователно, използвайки теорема 3, получаваме доказателството на нашата теорема. Коментирайте. Обратното твърдение 6 също е вярно: ако в някакво вероятностно пространство понятията за конвергенция с вероятност едно и конвергенция във вероятност съвпадат, тогава такова вероятностно пространство е атомарно (виж Neveu "MOTV стр. 37; Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. „Сборник задачи по телевизията задача 5.25, стр. 107.). Средна конвергенция Определение 4. Казва се, че последователност от случайни променливи X n (ω)) се сближава средно от порядък p > 0 към случайна променлива X(ω), ако за n M X n (ω) X(ω) p ) 0 За p = 2 се говори за сближаване на средни квадрати. Разбира се, говорейки за средна конвергенция от порядък p, ние приемаме ограниченост на математическите очаквания M X n (ω) p )<, M X(ω) p } <. В следующей теореме мы установим, что сходимость по вероятности является необходимым условием сходимости в среднем порядка p >0.6 За нашия начален курс по теория на вероятностите доказателството на това твърдение е твърде техническо. десет

11 Теорема. Ако за някои p > 0 за n M X n (ω) X(ω) p ) 0. тогава X n (ω) X(ω). Доказателство. Chebyshev И имайте предвид, че е достатъчно да преминете до границата при n в P.L. X n (ω) X(ω) p > ε)< M X n(ω) X(ω) p } ε 2. X n (ω) X(ω) p >ε) = X n (ω) X(ω) > ε 1/p). Следващият прост пример показва, че сближаване във вероятността не може да бъде достатъчно условиеза средна конвергенция. Пример. Приемаме, че Нека Ω = , A = B(), ) = λ ) е мярката на Лебег на интервала . Тогава за всяко ε > 0, обаче, за p 1 X(ω) 1, X n (ω), = n когато ω [ 0, 1/n ], 1, когато ω (1/n, 1 ]. X n (ω) X(ω) > ε) = λ[ 0, 1/n ]) = 1/n 0, n. M X n (ω) X(ω) p ) = n p 1 n = np 1 1 за всички n N. Липсата на конвергенция средно в този пример се дължи на „областта, отиваща към безкрайност“. В следващата теорема важна роляиграе условието за равномерна ограниченост на интегрируемите случайни променливи, което предотвратява такова "напускане". Теорема. Ако за последователност от случайни променливи X n (ω)) съществува реално число 0< C < + такое, что ω : X n (ω) C} = 1, для любого n N, и при n имеет место сходимость по вероятности X n (ω) X(ω), то M X(ω) } C и lim M X n (ω) X(ω) } = 0. Доказательство. Вначале покажем, что из условия равномерной ограниченности случайных величин X n (ω)} с вероятностью единица следует ограниченность предельной случайной величины с вероятностью единица: ω : X(ω) C} = 1. 11

12 Наистина, конвергенцията във вероятността предполага конвергенция a.s. за някаква подпоследователност Следователно, чрез свойствата на границите, ако Следователно и ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1, за m. ω ω : X n(m) (ω) X(ω)), тогава X(ω) C. ω : X n(m) (ω) X(ω)) ω : X(ω) C) ω : X (ω) C) = 1. Оттук получаваме съществуването и ограничеността на математическото очакване на случайната променлива X(ω) M X(ω) ) C. Сега е лесно да проверим валидността на неравенството ω : X n (ω) X(ω) 2C) = 1. Освен това, чрез свойствата на математическите очаквания, MX n (ω)) MX(ω)) M X n (ω) X(ω) ) X n (ω) X(ω ) d + X n (ω) X(ω) d ω : X n(ω) X(ω) ε) ω: X n(ω) X(ω) > ε) ε + 2C ω : X n (ω) X(ω) > ε). Преминавайки към границата като n, с оглед на произволността на ε, получаваме доказателството на нашата теорема. В следващата теорема, вместо условието за равномерно ограничение от константа, ще бъде разгледано по-слабо условие за равномерно ограничение от (неотрицателна) интегрируема случайна променлива. Теорема на Лебег за доминирана конвергенция. Ако за последователност от случайни променливи X n (ω)) има случайни променливи X(ω) и Y (ω), така че 1 X n (ω) X(ω), n, тогава за n 2 за всички n X n ( ω) Y (ω), - почти сигурно, 3 MY (ω))<, M X(ω) } MY (ω)} < M X n (ω) X(ω) } 0. 12

13 Доказателство 7. Първо установяваме неравенствата X(ω) Y (ω), - почти сигурно. Конвергенцията на последователност от случайни променливи по вероятност предполага почти сигурна конвергенция за някаква подпоследователност: X n(m) (ω) a.s. X(ω), m. С други думи, вероятността на множеството за конвергенция е равна на единица ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1. Следователно, преминавайки към границата (m) в неравенството X n(m) ( ω) Y (ω), за всяко ω ω : X n(m) (ω) X(ω)) От това получаваме съществуването на MX(ω)) и оценка (почти сигурно). M X(ω) ) MY (ω)). Следователно и Оценете количеството = X n (ω) X(ω) 2Y (ω), (почти вероятно) M X n (ω) X(ω) ) 2MY (ω)). M X n (ω) X(ω) ) = X n (ω) X(ω) d + X n (ω) X(ω) d ω: X n(ω) X(ω) ε) ε + 2 ω: X n(ω) X(ω) > ε) Y (ω) d. () ω: X n(ω) X(ω) > ε) По условие 1 на теоремата (сходимост във вероятността), за всяко ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, ( n) . Следователно, използвайки лемата за интеграла върху набор с ниска вероятност, можем да твърдим, че lim Y (ω) d = 0. ω: X n(ω) X(ω) > ε) конвергенцията се отнася до единственото място в Лебег теория на интеграцията, където наивните формалности могат да доведат до неправилен резултат." Вижте Feller, v.2, p.

14 Преминавайки към границата в неравенството () ще имаме 0 lim M X n (ω) X(ω) ) ε. Следователно, предвид произволността на ε > 0, получаваме доказателството на теоремата. Коментирайте. Доказателството на тази теорема е подробно описано в курса "Интеграл на Лебег". Малко по-различна версия на доказателството може да се намери в книгата [Ширяев "Вероятност"]. Нека представим без доказателство още два класически резултата (от реалния анализ), които често се използват в анализа на средната конвергенция. Теорема за монотонна сходимост. Ако ненамаляваща поредица от неотрицателни случайни променливи X n (ω)) X n (ω) X n+1 (ω), n = 1, се сближава почти сигурно към случайна променлива X(ω), тогава за n MX n (ω)) MX (ω)). Коментирайте. Ако математическото очакване MX(ω)) е крайно, тогава (поради монотонността) математическите очаквания на всички случайни променливи MX n (ω) са крайни. Имаме конвергенция монотонна последователностда се крайна граница MX n (ω)) MX(ω)). Ако математическото очакване MX(ω)) е безкрайно, тогава, приемайки крайни математически очаквания на случайни променливи MX n (ω)), получаваме конвергенцията на монотонната последователност към безкрайната граница MX n (ω)) +. Лема Фату. Всяка поредица от неотрицателни случайни променливи X n (ω)) удовлетворява неравенството lim MX n (ω)) Mlim X n (ω)). Коментирайте. Твърдението на лемата на Фату показва, че неравенството 2 = lim MX n (ω)) M lim X n (ω)) = 1, което се проведе в горния пример, е проявление общ модел. Задача. Ако за n M X n (ω) X(ω) p ) 0, тогава M X n (ω) p ) M X (ω) p ). Решение. Използвайки неравенството на Г. Минковски, можем да запишем (M X n (ω) p )) 1/p = (M X n (ω) X(ω) + X(ω) p )) 1/p 14

15 (M X n (ω) X (ω) p )) 1/p + (M X (ω) p )) 1/p. Обръщайки се към горен лимит, за n получаваме lim (M X n (ω) p )) 1/p (M X(ω) p )) 1/p. Следователно, използвайки непрекъснатост и монотонност степенна функция, имаме lim M X n (ω) p ) M X(ω) p ). () От друга страна, аргументирайки се по подобен начин, от неравенството (M X(ω) p )) 1/p (M X(ω) X n (ω) p )) 1/p + (M X n (ω) p )) 1/ стр. получаваме M X(ω) p ) lim M X n (ω) p ). Комбинирайки заедно неравенствата () и (), получаваме решението на нашия проблем. Теорема. Ако при n (). M X n (ω) X(ω) p ) 0, тогава за всяко q (0, p) M X n (ω) X(ω) q ) 0. Доказателство. Достатъчно е да преминете към границата при n в A.M. Ляпунов (виж [Shiryaev A.N. Вероятност.]) (M X n (ω) X(ω) q )) 1/q (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p, при 0< q p. При p = 2 и q = 1 доказательство теоремы можно получить с помощью следующего варианта неравенства Коши-Буняковского M X n (ω) X(ω) } = M X n (ω) X(ω) 1} (M X n (ω) X(ω) 2}) 1/2 (M 1 2 }) 1/2 = (M Xn (ω) X(ω) 2}) 1/2. Пространство L p Ω, A, } Рассмотрим пространство L p Ω, A, } - т.е. множество всех случайных величин X(ω), определенных на Ω, измеримых относительно σ алгебры A и таких, что M X n (ω) p } = X n (ω) p d <. Ω Это пространство вполне аналогично известному из курса функционального анализа линейному пространству L p [ 0,1], которое состоит из всех функций y = f(x) определенных на отрезке [ 0, 1], измеримых по Лебегу и интегрируемых с показателем p по мере Лебега 1 0 f(x) p dx <. 15

16 Без да даваме подробни доказателства, формулираме няколко твърдения, свързани с пространството L p Ω, A, ), които са подобни на съответните твърдения за пространството L p . Функционалът X(ω) p:= (M X(ω) p )) 1/p определя нормата в пространството от случайни променливи 8 L p Ω, A, ) : 1 X(ω) p 0, 2 c X( ω) p = c X(ω) p, c = const, 3 X(ω) + Y (ω) p X(ω) p + Y (ω) p, (неравенство на Минковски). Забележете, че линейността на множеството L p Ω, A, ) непосредствено следва от свойствата на нормата. Освен това, по отношение на сходимостта в нормата 9 X n (ω) X(ω) p 0, пространството L p Ω, A, ) е пълно. В нашия случай определението за пълнота е следното: ако последователност от случайни променливи е фундаментална в нормата X n (ω)) L p Ω, A, ) X n (ω) X m (ω) p 0, за n, m, тогава съществува случайна променлива X (ω) L p Ω, A, ), такава че X n (ω) X(ω) p 0, за n. И така, L p Ω, A, ) е пълно линейно нормирано пространство, т.е. Банахово пространство. За p = 2, пространството L 2 Ω, A, ) е хилбертово пространство със скаларно произведение 10: X(ω), Y (ω) := MX n (ω)y (ω)) = X n (ω) y (ω) d. За така въведените точков продуктреални случайни променливи, неравенството на Минковски X(ω), Y (ω) X(ω) 2 + Y (ω) 2. Сходимост в разпределението и слаба сходимост 8 .to. по дефиниция на нормата X(ω) p = 0 X(ω) 0. 9 Т.е. сближаване средно с p. 10 Имаме работа с реални случайни променливи, така че знакът за комплексно спрежение върху втория фактор може да бъде пропуснат. Ω 16

17 Нека въведем обозначението за функциите на разпределение на случайни променливи X n (ω) и X(ω) : В допълнение, чрез C F F (x) : F n (x) = ω : X n (ω) x), F (x) = ω : X(ω)x). означаваме множеството от точки на непрекъснатост на функцията C F:= x R: lim x x F (x) = F (x)). Определение 4. Казва се, че поредица от случайни променливи X n (ω)) се сближава в разпределението към случайна променлива X(ω), ако за n F n (x) F (x) във всяка точка x C F. (11) d Означение: X n (ω) X(ω). Определение 5. Ако за n F n (x) F (x), във всяка точка x C F, (12) тогава казваме, че последователността от функции на разпределение F n (x)) конвергира слабо 11 към функцията на разпределение F (x ). w Обозначение: F n (x) F (x). Коментирайте. Ако функцията на разпределение F (x) е непрекъсната по цялата реална ос (CF = (,)), тогава отношенията (11) и (12) са точкова конвергенция. Освен това може да се покаже 12, че в този случай конвергенцията F n (x) F (x) е еднаква по цялата реална ос. w Забележка. Ако F n (x) F (x), тогава за x / C F неравенствата 13 F (x) lim F n (x)< lim F n (x) F (x). Пример. Рассмотрим последовательность функций распределения 0, когда x (, 1/n); n F n (x) = x + 1, когда x [ 1/n, 1/n]; 2 2 1, когда x (1/n,), графики которых имеют вид F n (x) 1 1/2 1/n 0 1/n 11 Иногда слабую сходимость называют "сходимостью в основном". 12 См. задачу См. задачу 5. x 17

18 Лесно се вижда, че за всеки x (,) lim F n(x) = F (x) = Графиката на функцията F (x) има формата F (x) 0, когато x (, 0); 1/2, когато x = 0; 1, когато x(0,). 1 1/2 0 Тъй като граничната функция F (x) не е непрекъсната отдясно, тя не може да бъде функция на разпределение. Но тъй като Дефиниция 5 за слаба конвергенция се занимава с конвергенция към функции на разпределение, в този пример не можем да твърдим, че F n (x) F (x). Въпреки това, след лека промяна в граничната функция F (x), може да се получи функцията на разпределение F (x), към която функциите F n (x) ще се сближат слабо. Наистина, разгледайте функцията на разпределение на случайната променлива X(ω) 0: 0, когато x (, 0); F(x) = 1, когато x ; A = B() е Борелова σ алгебра на интервала; Мярка на Лебег. Означаваме с Φ 1 () функцията, обратна на стандартното разпределение на Гаус. Нека тогава Φ(x) = 1 2π x exp) (u2 du. 2 X 2k (ω) = Φ 1 (ω), X 2k 1 (ω) = Φ 1 (ω), ω ;k = 1, 2,.... ω : X n (ω) x) Φ(x), за всички положителни цели числа n. Следователно последователността X n ) (тривиално) се сближава в разпределението. Лесно е обаче да се види, че няма конвергенция във вероятността. Наистина, тъй като X 2k (ω) X 2m 1 (ω) 2 Φ 1 (ω), за всяко k, m. тогава ω : X 2k (ω) X 2m 1 (ω) > ε) ω : Φ 1 (ω) > ε ) [ (ε = 2 1 Φ. 2 2)] Сега разглеждаме твърдението, което всъщност е второто версия на определението слаба конвергенция. Този вариант е по-подходящ за определяне на слабата конвергенция на многомерни функции на разпределение и дори за определяне на 20

21 слаба конвергенция на разпределения върху по-сложни безкрайномерни метрични пространства. Теорема 6. За да се сближи слабо последователността от функции на разпределение F n (x)) към функцията на разпределение F (x), е необходимо и достатъчно равенството lim ϕ(x) df n (x) = ϕ(x) df (x) (15) за всяка непрекъсната и ограничена функция ϕ(x) върху реалната ос R. Доказателство. Нека първо покажем, че слабата конвергенция (12) предполага равенство 14 (15). За всяко ε > 0 има положително A(ε) C F, така че, чрез свойствата на функцията на разпределение 15 x: x > A(ε)) df (x) = 1 A(ε) A(ε ) df (x) = 1< ε, (16) и, кроме того, найдется натуральное N(ε, A(ε)) такое, что при всех n >N(ε, A(ε)) F n (A(ε)) F (A(ε))< ε, F n (A(ε)) F (A(ε)) < ε. Тогда при всех n >N(ε, A(ε)) x: x > A(ε)) df n (x)< 3ε. (17) Пусть ϕ(x) - непрерывная и ограниченная на вещественной оси R функция. Будем считать, что для всех действительных x ϕ(x) C = const. В силу существования интеграла Римана - Стилтьеса от непрерывной функции по интегрирующей функции распределения, а также из определения этого интеграла как предела интегральных сумм 16 следует, что для любого ε >0, съществува δ > 0, така че за всяко разделение на сегмента [ A(ε), A(ε)], чийто диаметър е по-малък от δ > 0, неравенствата A(ε) A(ε) ϕ(x) df (x) S n (δ)< ε, A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) S(δ) < ε. (18) где k 1 k 1 S n (δ) = ϕ(t i) i F n (x), S(δ) = ϕ(t i) i F (x). i=0 i=0 14 Импликация (12) = (15) носит название теоремы Хелли-Брея. 15 Множество точек непрерывности функции распределения всюду плотно на вещественной оси. 16 см. Рудин У. "Основы математического анализа стр

22 Вземете дял на сегмента [ A(ε), A(ε)] [ A(ε), A(ε)] = A(ε) = x 0< x 1 <... < x k = A(ε)}, считая что все точки деления x i C F, а диаметр разбиения меньше δ. Кроме того, для ε >0 за избрано k (броя на разделителните точки), ще считаме предварително избраното число N(ε, A(ε)) за толкова голямо, че за всички n > N(ε, A(ε)) F n (x i) F (x i)< ε, i = 0, k. k Тогда Поэтому i F n (x i) i F (x i) = F n (x i+1) F n (x i) F (x i+1) + F (x i) F n (x i+1) F (x i+1) + F n (x i) F (x i) < 2 ε, i = 0, k. k S n (δ) S(δ) k 1 ϕ(t i) i F n (x i) i F (x i) C k 2 ε k i=0 = 2 Cε. (19) Тогда из неравенств (18) и (19) получим A(ε) ϕ(x) df (x) A(ε) A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) < 2 ε + 2 C ε. (20) В свою очередь из неравенства (16) и (17) будем иметь ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x) x: x >A(ε) x: x > A(ε))< 4 C ε. (21) Собирая вместе неравенства (20) и (21), можно утверждать, что для любого ε >0, съществува естествено число N(ε, A(ε)), така че за всички n > N(ε, A(ε)) неравенството ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x)< 6 C ε + 2 ε. Равенство (15) доказано. Покажем теперь, что из равенства (15) следует слабая сходимость (12). Возьмем x 0 C F и рассмотрим две вспомогательные функции. Функция f ε (1) (x) непрерывна на всей числовой оси, равна единице при x x 0 ε, нулю при x x 0 и линейна на отрезке . Функция f ε (2) (x) := f ε (1) (x ε). Графики этих функций изображены на рис.? 22

23 1 0 f (1) ε f ε (2) x 0 ε x 0 x 0 + ε Фиг.? x Лесно се вижда, че F n (x 0) = x 0 f ε (2) (x) df n (x) Използвайки условие (15), преминаваме към границата при n, f ε (2) (x ) df n ( x). lim F n (x 0) f (2) ε (x) df (x) = x 0 + ε f (2) ε (x) df (x) + x 0 + ε f ε (2) (x) df (x) x 0 + ε 1 df (x) + 0 = F (x 0 + ε). Като се аргументираме по подобен начин, ще имаме F n (x 0) = Следователно, за n = x 0 ε x 0 1 df n (x) x 0 lim F n (x 0) f (1) ε (x) df (x) + x 0 ε x 0 x 0 ε f (1) ε (x) df n (x) = f (1) ε (x) df (x) = f ε (1) (x) df n (x). f ε (1) (x) df (x) + f ε (1) (x) df (x) x 0 1 df (x) + 0 = F (x 0 ε). И така, получихме неравенството F (x 0 ε) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0 + ε). 23

24 Преминаване към границата в това неравенство при ε 0, като се вземе предвид, че x 0 C F F (x 0) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0). Така за всеки x 0 C F lim F n(x 0) = F (x 0). Равенството (12), а с него и теоремата, са доказани. Забележка относно интегралите на Риман-Стилтьес и Лебег-Стилтьес. Обърнете внимание, че интегралът на Риман-Стилтьес I (, x0 ](x) df n (x) = lim N L, N L I (, x0 ](x) df n (x) не съществува, ако функцията на разпределение F n (x) има прекъсване в точката x 0. Стандартното доказателство за този факт е следното: Разглеждане на сумите на Риман-Стилтьес за интеграла N L I (, x0 ](x) df n (x), x 0 (L, N) () , лесно е да се получи равенството S = n 1 I (, x0 ](ξ i) = I (, x0 ](ξ i0), i=0 където точките x 0, ξ i0 са вътрешни точкичастичен сегмент 17 : Тогава Тъй като S = x 0, ξ i0 (x i0, x i0 +1). Fn (x i0 +1) F n (x i0), когато се избира ξ i0< x 0, 0, при выборе ξ i0 >x 0. F n (x i0 +1) F n (x i0) > 0, тогава такива интегрални суми не могат да имат ограничение, тъй като диаметърът на дяла клони към нула. Следователно интегралът () не съществува в смисъла на Риман-Стилтьес и, строго погледнато, неравенство (21) не може да бъде получено чрез интегриране (според Риман-Стилтьес) на неравенство (20). Независимо от това, неравенство (21) може да бъде получено и с помощта на интеграла на Риман-Стилтьес. Наистина, тъй като функцията f ε (1) (x) е непрекъсната, съществува интегралът на Риман-Стилтьес f ε (1) (x) df n (x), 17 Разделения на сегмент с това свойство могат да имат произволно малък диаметър. 24

25 и f (1) ε (x) df n (x) = Тъй като за всички x (, x 0 ] тогава x 0 f ε (1) (x) df n (x) x 0 x 0, че f (1) ε (x) = 0 за x x 0 По същия начин, f (2) ε (x) df n (x) = x 0 f ε (1) (x) df n (x) + f ε ( 1) (x) df n (x).x 0 f (1) ε (x) 1, 1 df n (x) = F n (x 0) F n () = F n (x 0).f ε (1) (x) df n (x) = 0. x 0 f (2) ε (x) df n (x) + x 0 +ε Лесно се вижда, че от свойствата на функцията f ε (2) (x) x 0 Следователно f (2) ε (x) df n (x) = F n (x 0); x 0 + ε f ε (2) (x) df n (x) + x 0 f ε (2) (x ) df n (x) 0;x 0 f (2) ε (x) df n (x) F n (x 0).x 0 + ε x 0 + ε f ε (2) (x) df n (x) f (2) ε (x) df n (x) = 0. Ако разгледаме интеграла () като интеграла на Lebeggue-Stieltjes за x 0 (L, N), тогава, тъй като индикаторът I (, x0 ]( x ) е проста функция, по дефиницията на интеграла на Lebeggue-Stieltjes ще имаме N I (, x0 ](x) df n (x) = 1 (F n (x 0) F n (L)). И следователно , L I ( , x0 ](x) df n (x) = F n (x 0) Даваме нова формулировка на теорема 6. За да направим това, означаваме с C(R) пространството на непрекъснатите функции, ограничени на реалната ос. След това, използвайки произволна функция на разпределение G(x), дефинираме в пространството C(R) линейния функционал G(ϕ) := ϕ(x) dg(x), 25 ϕ(x) C(R)

26 Използвайки нова нотация, теорема 6 може да бъде преформулирана, както следва. w Теорема 6. Слабата сходимост F n (x) F (x) е еквивалентна на сходимостта на линейни функционали F n (ϕ) F (ϕ) в пространството C(R). Метризация на слабата конвергенция. Метрика П. Леви. За двойка произволни функцииразпределения F (x) и G(x) на реалната линия, разгледайте функционала L(F, G) = inf h > 0: F (x h) h G(x) F (x + h) + h), ( ), което носи името на разстоянието на П. Леви между разпределенията F и G. Теорема 7. Функционалът L(,) дефинира метрика в множеството от функции на разпределение на реалната линия. Конвергенцията в тази метрика е еквивалентна на слаба конвергенция w F n (x) F (x) L(F n, F) 0, (n). Доказателство. Теоремата е доказана. d Задача 1. Ако X n X c = const, тогава X n Решение. Функция на разпределение на константата c X. F (x) = ω : X(ω) x) = 1 за x c, 0 за x< c непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точки x = c. Поэтому в этой задаче слабая сходимость означает следующее 1 для x >c, lim F n(x) = 0 за x< c. Для любого ε >0 ω : X n (ω) c > ε) = ω : X n (ω)< c ε} + ω : X n (ω) >c+ε). Използвайки очевидни отношения, получаваме неравенството ω : X n (ω)< c ε} ω : X n (ω) c ε} = F n (c ε), ω : X n (ω) >c + ε) = 1 ω : X n (ω) c + ε) = 1 F n (c + ε), ω : X n (ω) c > ε) F n (c ε) + 1 F n (c + ε). Преминавайки до границата в това неравенство, за n получаваме решение на задачата. d d Задача 2. Ако X n (ω) X(ω) и Y n (ω) 0, тогава X n (ω) + Y n (ω) X(ω). 26

27 Решение. Нека F (x) := ω : X(ω) x). Избирайки ε > 0, така че x, x ε, x+ε C F е лесно да се установят включванията ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) ω : Y n ( ω) > ε), тогава ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : Y n (ω) > ε). ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) + ω : Y n (ω) > ε), ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) + ω : Y n (ω) > ε). Следователно, обозначавайки F n (x) := ω : X n (ω) x), имаме F n (x ε) ω : Y n (ω) > ε) ω : X n (ω)+y n (ω) x) F n (x+ε)+ω : Y n (ω) > ε). Преминавайки в това неравенство до границата при n, като вземем предвид, че x ε, x+ε C F, получаваме връзката F (x ε) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x + ε). Сега преминаваме към границата, като се стремим към ε 0: F (x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x ). Следователно lim ω : X n(ω) + Y n (ω) x) = F (x). Задача 3. Ако последователност от функции на разпределение F n (x)) се сближава слабо към функция на разпределение F (x), която е непрекъсната по цялата реална ос, тогава тази конвергенция е еднаква по цялата реална ос: F n (x) w F (x) и F (x) C (,) F n (x) F (x) върху R. Решение. За произволно ε > 0 вземете естествено число m > 1/ε. Тъй като функцията F (x) е непрекъсната, има точки x 1<... < x m 1 такие, что F (x i) = i, i = 1,..., m 1. (!) m Ввиду слабой сходимости, в этих точках для всех n, начиная с некоторого, будут выполнены неравенства F n (x i) F (x i) < ε, i = 1,..., m 1. (!!) В силу неубывания функций распределения, а также свойств (!!) и (!) получаем следующие неравенства: при x [ x i, x i+1 ], (i = 1,..., m 2) F n (x) F (x) F n (x i+1) F (x i) F (x i+1) + ε F (x i) = 1 m + ε < 2ε. Аналогично, при x (, x 1 ] F n (x) F (x) F n (x 1) F (x 1) + ε = 1 m + ε < 2ε, 27

28 и за x [ x 1, x 2 ]... [ x m 2, x m 1 ] = F (x 0) F (x 0 1/m). lim X n = x 0 ) lim = 0. m Задача 7. Ако последователност от функции на разпределение F n (x)) конвергира към функция на разпределение F (x) за всички x от някакъв навсякъде плътен набор на реалната линия, тогава w F n ( x)F(x). Решение. За да разрешим този проблем, трябва да докажем, че lim F n(x) = F (x) за всички x C F. () Нека x C F, тогава за всяко ε > 0 има δ 1 (ε) > 0, така че веднага щом x S(x, δ 1 (ε)) x: x x< δ 1 (ε)}, то F (x) F (x) < ε. () Рассмотрим всюду плотное на вещественной прямой множество A такое, что lim F n(x) = F (x) для всех x A. () Tогда существует пара точек x, x A таких, что x δ 1 (ε) < x < x, x < x < x + δ 1 (ε). Так как для точек x, x выполняется свойство (), то для любого ε >0, съществува N ε N такова, че щом n > N ε, тогава F n (x) F (x)< ε и F n (x) F (x) < ε. Следовательно, ввиду (), как только n >N ε, тогава F n (x) F (x)< 2ε и F n (x) F (x) < 2ε. 31

32 Следователно, с оглед на монотонността на функцията F n (x), за всички n > N ε получаваме неравенството F n (x) F n (x) F n (x), F n (x) F ( х)< 2ε. Cходимость () доказана. Замечание. Так как множество точек разрыва функции распределения (ввиду монотонности) является не более чем счетным, то множество её точек непрерывности является всюду плотным на вещественной оси. 32

ЛЕКЦИЯ 3A (4) Теоремата на Радон Никодим Този урок ще бъде посветен на доказателството на теоремата на Радон Никодим. Ще ни трябва, за да докажем изоморфизма на пространствата L p (Ω) и (L q (Ω)) *, където

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА 5 ПРЕХОД ДО ГРАНИЦАТА ПОД ЗНАКА НА ИНТЕГРАЛА НА ЛЕБЕГ I. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМА

ЯЖТЕ. РУДЕН МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ. ЦИФРОВИ И ФУНКЦИОНАЛНИ ПОРЕДИ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА СФЕРА SEI HPE "НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ" E.M. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ.

Лекция 1 ТЕОРИЯТА НА МЯРКАТА НА ЛЕБЕК ОТ R 2. 1. Необходимостта от разширяване на понятието интеграл. Нека първо обсъдим конструкцията на интеграла на Риман. Нека функцията f(x) е дефинирана на собствения си сегмент. Нека дефинираме дял

5. Теория на мярката, лекция 5: измерими функции Понятията мярка и интеграл са много близки. Мярката на набор е интегралът на неговата характеристична функция. Обратно, ако е дадена мярка на пространство, можем да кажем

Валиден анализ. Лекция 4. 25 февруари 2009 г. 1 Реален анализ. IV семестър. 2009 година. Преподавател Скворцов В. А. Пишете за грешки в [имейл защитен]Лекция 4 25 февруари 2009 г. Лебег дефинира класа

Последна актуализация: 16 март 2008 г. Списък с дефиниции: 1.1 Неприпокриващи се сегменти ................................. ............. 2 1.2 Система от неприпокриващи се сегменти .................................. .............

В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенен ред. Радиус на конвергенция и интервал на конвергенция. Естеството на конвергенцията. Интеграция и диференциация. 1.1 Радиус на конвергенция и интервал на конвергенция. Функционален диапазон

ЛЕКЦИЯ 4A Метрични пространства 1. Най-простите (и най-важни) свойства на метричните пространства 1) Непрекъснатост на разстоянието. Лесно се вижда, че функцията "разстояние" ρ(x, y) е непрекъсната във всеки от аргументите.

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ образователна институцияпо-висок професионално образование„Новосибирска национална изследователска държава

Лекция 1 Концепцията за случаен процес и неговите крайномерни разпределения Теорията на случайните процеси е част от теорията на вероятностите. Спецификата на теорията на случайните процеси е, че тя разглежда

Списък на проблемите с решения във функционалния анализ Нека линейно нормирано пространство Докажете, че за всякакви елементи неравенството от аксиомите на нормата

Лекция 6 9 Принципът на съкращаващите преобразувания Теореми за фиксирана точкаНека D е оператор, най-общо казано, нелинеен, действащ от банахово пространство B в себе си. Определение Операторът D, действащ от банахово пространство

Тема 2 Пълнота, компактност, вътрешна метрика. 2.1 Конвергенция и пълнота Определение 2.1. Поредица от точки x 1, x 2,... на метрично пространство (X, d) се нарича фундаментална, ако за всяко

ЛЕКЦИЯ A Интегралът на Риман-Стилтьес 1. Нека f n (x) C[; b], g(x) BV[; b], f n (x) f(x) върху [; b]. Тогава наистина, по силата на оценката f n (x)dg(x) f(x)dg(x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) и свойства за линейност

Допълнителна лекция 1 МЕТРИЧНИ ПРОСТРАНСТВА. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Най-простите свойства на метричните пространства. Свойство 1. Непрекъснатост на разстоянието. Лесно се вижда, че функцията "разстояние" ρ(x, y) е непрекъсната

Г. Н. Яковлев Функционални пространства кратко въведениев теорията на метричните, нормираните и евклидовите пространства, както и в теорията на обобщените функции, и е окончателният

Глава 1. Граници и непрекъснатост 1. Числови набори 1 0. Реални числаот училищна математикаЗнаете естествени N цели Z рационални Q и реални R числа Естествени и цели числа

Граници и приемственост. Граница на функция Нека функцията = f) е дефинирана в някаква околност на точка = a. В същото време в самата точка а функцията не е непременно дефинирана. Определение. Числото b се нарича граница

Лекция 1. Вероятностни космически светила). случайни експерименти. пространство

8 Комплексни числа Разгледайте числови редове с комплексни числана формата k a, (46) където (a k) е даденото числова последователностс комплексни членове k Серия (46) се нарича конвергентна ако

Москва Държавен университетна името на М. В. Ломоносов Факултет по изчислителна математика и кибернетика Катедра Обща математикаЗадачи по функционален анализ (V семестър) Преподавател доц. Н. Ю.

А. Ю. Пирковски Функционален анализ Лекция 4 4.1. Банахови пространства Спомнете си, че последователност (x n) в метрично пространство (, ρ) се нарича фундаментална последователност (или последователност на Коши),

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема на Хиле Йосида S 3. Дефиниция и елементарни свойствана максимални монотонни оператори В тези две лекции символът H обозначава хилбертово пространство със скаларен

В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функционални редици и серии. Равномерна конвергенция, възможност за пермутация на гранични преходи, интегриране и диференциране на серии и последователности.

Глава 28 ОБОБЩЕНИ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D на базисни и обобщени функции Понятието обобщена функция обобщава класическа концепцияфункционира и дава възможност за изразяване в математическа форматакива

21. Компактност Компактността е изключително важна техническа концепциятопология и анализ. Да започнем с определение. Определение 21.1. Топологичното пространство X се нарича компактно, ако има

федерална агенцияпо образование Федерална държавна образователна институция за висше професионално образование ЮЖЕН ФЕДЕРАЛЕН УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методически

1. Определение и основни свойстваИнтеграл на Риман Дефиниция на дял Разделяне на сегмент [, b] е набор от точки = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА 7 ПЪЛНА И КОМПАКТНА В МЕТРИЧНИТЕ ПРОСТРАНСТВА. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМИ Определение. Нека X е преобразуване: X X R, което поставя всяка двойка (x y) X X в

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕКЪСНИ ФУНКЦИИ 1. Определения и свойства Припомнете си дефиницията, дадена в лекцията. Определение 1. Функцията f(x) се нарича абсолютно непрекъсната на отсечката [; b] ако за

Теория на мярката, лекция 4: Мярка на Лебег Миша Вербицки 14 март 2015 г. NMU 1 Булеви пръстени (преглед) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Булев пръстен е пръстен, чиито всички елементи са идемпотенти. ЗАБЕЛЕЖКА: В булев пръстен

ГЛАВА СТАБИЛНОСТ НА ЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ В тази глава изучаваме стабилността на прост клас диференциални системи линейни системиПо-специално се установява, че за линейни системи с константи

ТЕМА V СЕРИИ НА ФУРИЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разлагане периодична функцияв реда на Фурие Много процеси, протичащи в природата и технологията, имат свойствата да се повтарят през определени интервали Такива процеси

Функции, непрекъснати на отсечка (теореми на Болцано-Коши, Вайерщрас, Кантор). Функционалите са непрекъснати върху компактно множество.. Теорема за междинните стойности Теорема. (Болцано-Коши) Нека функцията f е непрекъсната

ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ. Интегрални суми и определен интегралНека функция y = f (), дефинирана на интервала [, b], където< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Московски държавен университет на името на М. В. Ломоносов Химически факултетРъководство за подготовка за изпити математически анализза общообразователни Трети семестр Цифрови серииДиференциал

ЛЕКЦИЯ 4A Метрични пространства 1 1. Примери и контрапримери

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧНИ ПРОСТРАНСТВА. 1. Дефиниция на топологично пространство Дефиниция 1. Произволно множество X с разграничена система от подмножества τ на множеството X се нарича топологично пространство

А. Ю. Пирковски Функционален анализ Лекция 23 23.1. Компактни оператори в хилбертово пространство Вече знаем доста за компактните оператори в банахови пространства (вижте Лекции 18

2. Степен c рационален показател; експоненциален В допълнение към казаното в предишната лекция, ние също така показваме как понятието граница може да се сведе до понятието непрекъснатост. А именно следното очевидно

В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Хилбертово пространство. Определение. Най-простите свойства на скаларното произведение. Основна теорема. Ред на Фурие в хилбертово пространство. 7.1 Дефиниция на хилбертово пространство.

ПРЕДГОВОР Наръчникът е продължение на . Основава се на добре познати учебни помагалавърху математическия анализ [6]. Тя се основава на лекциите на В. В. Жук, които са били многократно четени

13. Експонента и логаритъм За да завършим доказателството на предложение 12.8, остава да дадем едно определение и да докажем едно твърдение. Определение 13.1. Серия a i се нарича абсолютно сходяща, ако

ЛЕКЦИЯ N Свойства на безкрайно малки и безкрайно големи функции Забележителни границиНепрекъснатост на функциите Свойства на безкрайно малките Критерии за съществуване на граница 3 Свойства на безкрайно малките 4Първо

С. С. Платонов Елементи хармоничен анализЧаст I. Ред на Фурие f(x) = n= c n e inx Петрозаводск 2010 Федерална агенция за образование Държавно висше професионално учебно заведение

Колодий А.М., Колодий Н.А. Лекции по теория на вероятностите за студенти от специалност "Математическо осигуряване и администриране" информационни системи"четири. Пределни теореми 4.. Законът за големите числа.

ДОПЪЛНИТЕЛНИ ГЛАВИ ОТ ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ Е. А. Бакланов ММФ НГУ, 2012 г. ГЛАВА 1 Вероятностни неравенства 1. Експоненциални неравенства. В този раздел X 1,..., X n са независими произволни

ВЪВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрекъснатост на функция Лекция 7 Предел на функция СЪДЪРЖАНИЕ: Предел на функция в точка Предел на функция в безкрайност Основни теореми за границите на функции Infinite