Изрази, уравнения и системи от уравнения
с комплексни числа

Днес в урока ще разработим типични действия с комплексни числа, както и ще овладеем техниката за решаване на изрази, уравнения и системи от уравнения, които съдържат тези числа. Този семинар е продължение на урока и затова, ако не сте запознати с темата, моля, последвайте връзката по-горе. Е, предлагам на по-подготвените читатели веднага да загреят:

Пример 1

Опростяване на израза , ако . Представете резултата в тригонометрична форма и го изобразете на комплексната равнина.

Решение: така че трябва да замените в "ужасната" дроб, да извършите опростявания и да преведете полученото комплексно числов тригонометрична форма. Плюс по дяволите.

Кой е най-добрият начин да вземете решение? с "фантазия" алгебричен изразПо-добре е да вървите стъпка по стъпка. Първо, вниманието е по-малко разпръснато и, второ, ако задачата не бъде кредитирана, ще бъде много по-лесно да се намери грешка.

1) Нека първо опростим числителя. Заменете стойността в нея, отворете скобите и фиксирайте прическата:

... Да, такъв Квазимодо от сложни числа се оказа ...

Напомням ви, че в хода на трансформациите се използват напълно гениални неща - правилото за умножение на полиноми и вече баналното равенство. Основното нещо е да бъдете внимателни и да не се бъркате в знаците.

2) Сега знаменателят е следващият. Ако , тогава:

Забележете в каква необичайна интерпретация е използвано формула за сбор на квадрат. Като алтернатива можете да промените тук подформула . Резултатите, разбира се, ще съвпаднат.

3) И накрая, целият израз. Ако , тогава:

За да се отървем от дробта, умножаваме числителя и знаменателя по израза, спрегнат на знаменателя. Въпреки това, за целите на кандидатстването формули за разлика на квадратитетрябва да бъде предварително (и със сигурност!)поставете отрицателната реална част на 2-ро място:

И сега основното правило:

В НИКАКЪВ СЛУЧАЙ НЕ БЪРЗАМЕ! По-добре да играете на сигурно и да предпишете допълнителна стъпка.
В изрази, уравнения и системи с комплексни числа самонадеяни устни изчисления изпълнен както винаги!

Имаше хубаво свиване в последната стъпка и това е просто страхотен знак.

Забележка : строго погледнато, разделянето на комплексното число на комплексното число 50 се проведе тук (припомнете си, че ). Досега мълчах за този нюанс и ще говорим за него малко по-късно.

Нека отбележим постижението си с буквата

Нека представим резултата в тригонометрична форма. Най-общо казано, тук можете да се справите без чертеж, но щом е необходимо, е малко по-рационално да го завършите точно сега:

Изчислете модула на комплексно число:

Ако изпълните чертеж в мащаб от 1 единица. \u003d 1 cm (2 тетрадни клетки), тогава получената стойност е лесна за проверка с помощта на обикновена линийка.

Да намерим аргумент. Тъй като числото е във 2-ра координатна четвърт, тогава:

Ъгълът просто се проверява с транспортир. Това е несъмненият плюс на рисунката.

Така: - желаното число в тригонометрична форма.

Да проверим:
, което трябваше да бъде проверено.

Удобно е да намерите непознати стойности на синус и косинус тригонометрична таблица.

Отговор:

Подобен пример за независимо решение:

Пример 2

Опростяване на израза , където . Начертайте полученото число върху комплексната равнина и го запишете в експоненциална форма.

Опитайте се да не пропуснете казуси. Може да изглеждат прости, но без тренировка „влизането в локва“ е не просто лесно, а много лесно. Така че нека се сдобием с него.

Често проблемът позволява повече от едно решение:

Пример 3

Изчислете, ако,

Решение: първо, нека обърнем внимание на първоначалното условие - едното число е представено в алгебрична форма, а другото в тригонометрична форма и дори със степени. Нека веднага да го пренапишем в по-позната форма: .

В каква форма трябва да се извършват изчисленията? Изразът очевидно включва първото умножение и последващото повишаване на 10-та степен в Формулата на Де Моавър, която е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. По този начин изглежда по-логично да се преобразува първото число. Намерете неговия модул и аргумент:

Използваме правилото за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма:
ако , тогава

Правейки фракцията правилна, стигаме до извода, че е възможно да „завъртите“ 4 оборота (радвам се.):

Вторият начин за решаванее да преведе второто число в алгебрична форма , направете умножението в алгебрична форма, преведете резултата в тригонометрична форма и използвайте формулата на De Moivre.

Както можете да видите, едно "допълнително" действие. Желаещите могат да проследят решението докрай и да се уверят, че резултатите съвпадат.

Условието не казва нищо за формата на полученото комплексно число, така че:

Отговор:

Но „за красота“ или при поискване резултатът може лесно да бъде представен в алгебрична форма:

сам:

Пример 4

Опростяване на израза

Тук е необходимо да запомните действия с правомощия, въпреки че един полезно правилоне в ръководството, ето го: .

Още нещо важна забележка: Примерът може да бъде решен в два стила. Първият вариант е да се работи с двечисла и се примирява с дроби. Втората опция е да представите всяко число във формуляра частно на две числа: и отървете се от четириетажния. От формална гледна точка няма значение как се решава, но има смислова разлика! Моля, обмислете добре:
е комплексно число;
е частното на две комплексни числа ( и ), но в зависимост от контекста може да се каже и това: число, представено като частно на две комплексни числа.

Бързо решениеи отговорът в края на урока.

Изразите са добри, но уравненията са по-добри:

Уравнения с комплексни коефициенти

Как се различават от "обикновените" уравнения? Коефициенти =)

В светлината на горната забележка, нека започнем с този пример:

Пример 5

реши уравнението

И незабавен преамбюл по горещи следи: първоначално дясна частуравнението е позиционирано като частно от две комплексни числа ( и 13) и следователно би било лоша форма да пренапишете условието с числото (въпреки че няма да причини грешка). Между другото, тази разлика се вижда по-ясно във фракции - ако, относително казано, , тогава тази стойност се разбира предимно като "пълен" комплексен корен на уравнението, а не като делител на числото и още повече - не като част от числото !

Решение, по принцип, също може да се изготви стъпка по стъпка, но в този случайиграта не си струва свещта. Първоначалната задача е да се опрости всичко, което не съдържа неизвестно "Z", в резултат на което уравнението ще бъде намалено до формата:

Уверено опростете средната дроб:

Прехвърляме резултата от дясната страна и намираме разликата:

Забележка : и отново насочвам вниманието ви към смисловото - тук не извадихме числото от числото, а сумирахме дробите до общ знаменател! Трябва да се отбележи, че още в хода на решението не е забранено да се работи с числа: , но в разглеждания пример такъв стил е по-скоро вреден, отколкото полезен =)

Съгласно правилото за пропорцията, ние изразяваме "z":

Сега отново можете да разделяте и умножавате по присъединения израз, но подозрително сходните числа на числителя и знаменателя предполагат следния ход:

Отговор:

За целите на проверката заместваме получената стойност в лявата страна на оригиналното уравнение и извършваме опростявания:

- получава се дясната страна на първоначалното уравнение, така че коренът е намерен правилно.

...Сега-сега...ще ти избера нещо по-интересно...чакай:

Пример 6

реши уравнението

Това уравнениенамалява до формата , и следователно е линеен. Мисля, че подсказката е ясна - дерзайте!

Разбира се ... как можете да живеете без него:

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти

На урока Комплексни числа за манекенинаучихме това квадратно уравнениес реални коефициенти могат да имат спрегнати комплексни корени, след което възниква логичен въпрос: защо всъщност самите коефициенти не могат да бъдат комплексни? ще формулирам общ случай:

Квадратно уравнение с произволни комплексни коефициенти (1 или 2 от които или и трите могат да бъдат по-специално валидни)То има две и само двесложни корени (евентуално едното от които или и двете са валидни). Докато корените (както реални, така и с ненулева имагинерна част)могат да съвпадат (да бъдат множество).

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти се решава по същия начин като "училищно" уравнение, с някои разлики в изчислителната техника:

Пример 7

Намерете корените на квадратно уравнение

Решение: въображаемата единица е на първо място и по принцип можете да се отървете от нея (умножаване на двете страни по ), обаче няма особена нужда от това.

За удобство записваме коефициентите:

Ние не губим "минуса" на безплатния член! ... Може да не е ясно за всички - ще пренапиша уравнението в стандартна форма :

Нека изчислим дискриминанта:

Ето основното препятствие:

Приложение обща формулаизвличане на корени (вижте последния параграф на статията Комплексни числа за манекени) се усложнява от сериозни трудности, свързани с аргумента на радикалното комплексно число (вижте сами). Но има и друг, "алгебричен" начин! Ще търсим корена във формата:

Нека повдигнем на квадрат двете страни:

Две комплексни числа са равни, ако техните реални и имагинерни части са равни. Така получаваме следваща система:

Системата е по-лесна за решаване чрез избор (по-задълбочен начин е да изразите от 2-ро уравнение - заместете в 1-во, вземете и решете биквадратно уравнение) . Ако приемем, че авторът на проблема не е чудовище, ние предполагаме това и са цели числа. От първото уравнение следва, че "x" по модулповече от "у". Освен това положителният продукт ни казва, че неизвестните са с един и същи знак. Въз основа на гореизложеното и фокусирайки се върху второто уравнение, записваме всички двойки, които му отговарят:

Очевидно последните две двойки удовлетворяват първото уравнение на системата, като по този начин:

Една междинна проверка няма да навреди:

което трябваше да се провери.

Като "работещ" корен можете да изберете всякаквизначение. Ясно е, че е по-добре да вземете версията без "против":

Намираме корените, без да забравяме между другото, че:

Отговор:

Нека проверим дали намерените корени удовлетворяват уравнението :

1) Заместник:

правилно равенство.

2) Заместник:

правилно равенство.

Така решението е намерено правилно.

Вдъхновен от току-що обсъдения проблем:

Пример 8

Намерете корените на уравнението

трябва да бъде отбелязано че Корен квадратенот чисто комплексночислата са перфектно извлечени и с помощта на общата формула , където , така че и двата метода са показани в извадката. Втората полезна забележка се отнася до факта, че предварителното извличане на корена от константата изобщо не опростява решението.

А сега можете да се отпуснете - в този пример ще се разминете с лека уплаха :)

Пример 9

Решете уравнението и проверете

Решения и отговори в края на урока.

Последният параграф на статията е посветен на

система от уравнения с комплексни числа

Отпуснахме се и ... не се напрягаме =) Помислете най-простият случай- система от две линейни уравненияс две неизвестни:

Пример 10

Решете системата от уравнения. Представете отговора в алгебрична и експоненциална форма, изобразете корените на чертежа.

Решение: самото условие предполага, че системата има уникално решение, тоест трябва да намерим две числа, които удовлетворяват за всекиуравнение на системата.

Системата наистина може да бъде решена по "детски" начин (изразяват една променлива по отношение на друга) , но е много по-удобен за използване Формули на Крамер. Изчислете основен определящ факторсистеми:

, така че системата има уникално решение.

Повтарям, че е по-добре да не бързате и да предписвате стъпките възможно най-подробно:

Умножаваме числителя и знаменателя по въображаема единица и получаваме първи корен:

По същия начин:

Съответните десни страни, т.т.п.

Нека изпълним чертежа:

Ние представяме корените в експоненциална форма. За да направите това, трябва да намерите техните модули и аргументи:

1) - аркутангенсът на "двете" се изчислява "зле", така че го оставяме така:

За да решавате задачи с комплексни числа, трябва да разберете основните дефиниции. основната задачана тази обзорна статия - за да обясни какво представляват комплексните числа и да представи методи за решаване на основни задачи с комплексни числа. По този начин комплексното число е число от формата z = a + bi, където а, б- реални числа, които се наричат ​​съответно реалната и имагинерната част на комплексното число и обозначават a = Re(z), b=Im(z).
азсе нарича имагинерна единица. i 2 \u003d -1. По-специално, всяко реално число може да се счита за сложно: a = a + 0i, където a е реално. Ако а = 0и b ≠ 0, тогава числото се нарича чисто имагинерно.

Сега въвеждаме операции върху комплексни числа.
Помислете за две комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iи z 2 = a 2 + b 2 i.

Обмисли z = a + bi.

Множеството от комплексни числа разширява множеството от реални числа, което от своя страна разширява множеството рационални числаи т.н. Тази верига от инвестиции може да се види на фигурата: N - цели числа, Z са цели числа, Q са рационални, R са реални, C са комплексни.

Представяне на комплексни числа

Алгебрична нотация.

Помислете за комплексно число z = a + bi, тази форма на запис на комплексно число се нарича алгебричен. Вече обсъдихме подробно тази форма на писане в предишния раздел. Доста често използвайте следния илюстративен чертеж

тригонометрична форма.

От фигурата се вижда, че броят z = a + biможе да се напише различно. Очевидно е, че a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Следователно z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) се нарича аргумент на комплексно число. Това представяне на комплексно число се нарича тригонометрична форма. Тригонометричната форма на нотация понякога е много удобна. Например, удобно е да го използвате за повдигане на комплексно число до цяло число, а именно if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, тогава z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, тази формула се нарича Формулата на Де Моавър.

Демонстративна форма.

Обмисли z = rcos(φ) + rsin(φ)iе комплексно число в тригонометрична форма, ние го записваме в различна форма z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, последното равенство следва от формулата на Ойлер, така че получаваме нова формазаписи на комплексни числа: z = re iφ, което се нарича демонстративен. Тази форма на запис също е много удобна за повишаване на комплексно число на степен: z n = r n e inφ, тук нне е задължително цяло число, но може да бъде произволно реално число. Тази форма на писане доста често се използва за решаване на проблеми.

Основна теорема на висшата алгебра

Представете си, че имаме квадратно уравнение x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно дискриминантът на това уравнение е отрицателен и то няма реални корени, но се оказва, че това уравнение има два различни комплексни корена. И така, основната теорема на висшата алгебра гласи, че всеки полином от степен n има поне един комплексен корен. От това следва, че всеки полином от степен n има точно n комплексни корена, като се вземе предвид тяхната кратност. Тази теорема е много важен резултатв математиката и се използва широко. Просто следствие от тази теорема е следният резултат: има точно n различни коренимощности n извън единица.

Основни типове задачи

Този раздел ще обхване основните видове прости задачикъм комплексни числа. Условно задачите върху комплексни числа могат да бъдат разделени на следните категории.

• Извършване на прости аритметични операции със сложни числа.
• Намиране на корените на полиноми в комплексни числа.
• Повдигане на комплексни числа на степен.
• Извличане на корени от комплексни числа.
• Приложение на комплексни числа за решаване на други задачи.

Сега помислете общи техникирешения на тези проблеми.

Извършването на най-простите аритметични операции със сложни числа се извършва съгласно правилата, описани в първия раздел, но ако сложните числа са представени в тригонометрични или експоненциални форми, тогава в този случай те могат да бъдат преобразувани в алгебрична форма и да извършват операции съгласно известни правила.

Намирането на корените на полиноми обикновено се свежда до намиране на корените на квадратно уравнение. Да предположим, че имаме квадратно уравнение, ако неговият дискриминант е неотрицателен, тогава неговите корени ще бъдат реални и ще бъдат намерени по добре известна формула. Ако дискриминантът е отрицателен, тогава D = -1∙a 2, където ае определено число, тогава можем да представим дискриминанта във формата D = (ia) 2, Следователно √D = i|a|, и след това можете да използвате известна формулаза корените на квадратно уравнение.

Пример. Нека се върнем към квадратното уравнение, споменато по-горе x 2 + x + 1 = 0.
Дискриминанта - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 = -3 \u003d -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Сега можем лесно да намерим корените:

Повдигането на комплексни числа на степен може да стане по няколко начина. Ако искате да повишите комплексно число в алгебрична форма на малка степен (2 или 3), тогава можете да направите това чрез директно умножение, но ако степента е по-голяма (в задачи често е много по-голяма), тогава трябва да запишете това число в тригонометрични или експоненциални форми и използвайте вече известни методи.

Пример. Да разгледаме z = 1 + i и да повдигнем на десета степен.
Записваме z в експоненциална форма: z = √2 e iπ/4 .
Тогава z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Нека се върнем към алгебричната форма: z 10 = -32i.

Извличането на корени от комплексни числа е операция, обратна на степенуването, така че се извършва по подобен начин. За извличане на корените често се използва експоненциалната форма на записване на число.

Пример. Намерете всички корени от степен 3 на единица. За да направим това, намираме всички корени на уравнението z 3 = 1, ще търсим корените в експоненциална форма.
Заместете в уравнението: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Следователно: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, следователно φ = 2πk/3.
Получават се различни корени при φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Следователно 1 , e i2π/3 , e i4π/3 са корени.
Или в алгебрична форма:

Последният тип задача включва голямо множествопроблеми и няма общи методи за разрешаването им. Ето прост пример за такава задача:

Намерете сумата sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Въпреки че формулировката на този проблем не го прави въпросниятза комплексни числа, но с тяхна помощ може лесно да се реши. За решаването му се използват следните представяния:


Ако сега заместим това представяне в сумата, тогава проблемът се свежда до сумирането на обичайната геометрична прогресия.

Заключение

Комплексните числа се използват широко в математиката, в тази статия за преглед бяха разгледани основните операции върху комплексни числа, бяха описани и описани накратко няколко вида стандартни проблеми общи методитехните решения, за по-подробно проучване на възможностите на комплексните числа се препоръчва използването на специализирана литература.

Литература

Услугата за решаване на уравнения онлайн ще ви помогне да решите всяко уравнение. Използвайки нашия сайт, вие не само ще получите отговора на уравнението, но и ще видите подробно решение, тоест стъпка по стъпка показване на процеса на получаване на резултата. Нашата услуга ще бъде полезна за ученици от гимназията общообразователни училищаи техните родители. Учениците ще могат да се подготвят за контролни, изпити, да проверяват знанията си, а родителите ще могат да контролират решението математически уравненияс техните деца. Умението за решаване на уравнения е задължително изискване за учениците. Услугата ще ви помогне да се самообучите и да подобрите знанията си в областта на математическите уравнения. С него можете да решите всяко уравнение: квадратно, кубично, ирационално, тригонометрично и др. онлайн услугано безценен, защото освен верния отговор, получавате подробно решение на всяко уравнение. Ползи от решаването на уравнения онлайн. Можете да решите всяко уравнение онлайн на нашия уебсайт абсолютно безплатно. Услугата е напълно автоматична, не е необходимо да инсталирате нищо на компютъра си, трябва само да въведете данните и програмата ще издаде решение. Всички изчислителни грешки или печатни грешки са изключени. Много е лесно да решите всяко уравнение онлайн с нас, така че не забравяйте да използвате нашия сайт за решаване на всякакъв вид уравнения. Трябва само да въведете данните и изчислението ще бъде завършено за секунди. Програмата работи самостоятелно, без човешка намеса и получавате точен и подробен отговор. Решаване на уравнението в общ изглед. В такова уравнение променливите коефициенти и желаните корени са взаимосвързани. Най-високата степен на променлива определя реда на такова уравнение. Въз основа на това, за уравненията използвайте различни методии теореми за намиране на решения. Решаване на уравнения от този типозначава намиране на желаните корени в общи линии. Нашата услуга ви позволява да решавате дори най-сложното алгебрично уравнение онлайн. Можете да получите както общото решение на уравнението, така и частното решение за тези, които сте посочили. числови стойностикоефициенти. За да решите алгебрично уравнение на сайта, е достатъчно да попълните правилно само две полета: лявата и дясната част дадено уравнение. При алгебрични уравненияс променливи коефициенти, безкраен брой решения, като чрез задаване на определени условия от множеството решения се избират частни. Квадратно уравнение. Квадратното уравнение има формата ax^2+bx+c=0 за a>0. Решаване на уравнения квадратен изгледпредполага намиране на стойности x, за които е изпълнено равенството ax^2+bx+c=0. За да направите това, стойността на дискриминанта се намира по формулата D=b^2-4ac. Ако дискриминантът е по-малък от нула, то уравнението няма реални корени (корените са от полето на комплексните числа), ако е нула, то уравнението има един реален корен, а ако дискриминантът Над нулата, тогава уравнението има два реални корена, които се намират по формулата: D \u003d -b + -sqrt / 2a. За да решите квадратно уравнение онлайн, просто трябва да въведете коефициентите на такова уравнение (цели числа, дроби или десетични стойности). Ако в уравнението има знаци за изваждане, трябва да поставите минус пред съответните членове на уравнението. Можете също така да решите квадратно уравнение онлайн в зависимост от параметъра, тоест променливите в коефициентите на уравнението. Нашата онлайн услуга за намиране общи решения. Линейни уравнения. За решаване на линейни уравнения (или системи от уравнения) на практика се използват четири основни метода. Нека опишем подробно всеки метод. Метод на заместване. Решаването на уравнения чрез метода на заместване изисква изразяване на една променлива по отношение на другите. След това изразът се замества в други уравнения на системата. Оттук и името на метода на решение, т.е. вместо променлива се замества изразът й чрез останалите променливи. На практика методът изисква сложни изчисления, въпреки че е лесен за разбиране, така че решаването на такова уравнение онлайн ще спести време и ще улесни изчисленията. Просто трябва да посочите броя на неизвестните в уравнението и да попълните данните от линейните уравнения, след което услугата ще направи изчислението. Метод на Гаус. Методът се основава на най-простите трансформации на системата, за да се стигне до еквивалентна система триъгълна. От него се определят едно по едно неизвестните. На практика се изисква такова уравнение да се реши онлайн с Подробно описание, благодарение на което ще усвоите добре метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения. Запишете системата от линейни уравнения в правилния формат и вземете предвид броя на неизвестните, за да решите правилно системата. Методът на Крамер. Този метод решава системи от уравнения в случаите, когато системата има уникално решение. Основната математическа операция тук е изчислението матрични детерминанти. Решаването на уравнения по метода на Крамер се извършва онлайн, получавате резултата незабавно с пълно и подробно описание. Достатъчно е просто да попълните системата с коефициенти и да изберете броя на неизвестните променливи. матричен метод. Този метод се състои в събиране на коефициентите на неизвестните в матрица A, неизвестните в колона X и свободните членове в колона B. Така системата от линейни уравнения се свежда до матрично уравнениеот формата AxX=B. Това уравнение има уникално решение само ако детерминантата на матрицата A е различна от нула, в противен случай системата няма решения или има безкраен брой решения. Решаване на уравнения матричен методе да се намери обратна матрицаНО.

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Уравненията са били използвани от човека от древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. За по-голяма яснота нека разрешим следния проблем:

Изчислете \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ако \

Първо, нека обърнем внимание на факта, че едното число е представено в алгебрична форма, другото - в тригонометрична форма. Трябва да се опрости и следващ вид

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Изразът \ казва, че първо правим умножение и повдигане на 10-та степен според формулата на Moivre. Тази формула е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. Получаваме:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Придържайки се към правилата за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма, ще направим следното:

В нашия случай:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Правейки дробта \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] правилна, заключаваме, че е възможно да "завъртим" 4 оборота \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Отговор: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Това уравнение може да бъде решено по друг начин, който се свежда до привеждане на второто число в алгебрична форма, след това извършване на умножение в алгебрична форма, превеждане на резултата в тригонометрична форма и прилагане на формулата на Moivre:

Къде мога да реша онлайн система от уравнения с комплексни числа?

Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт https: // site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкцията и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.