Kolika je apsolutna greška izmjerene vrijednosti. Apsolutne i relativne greške

Greške mjerenja se klasificiraju prema sledeće vrste:

apsolutno i relativno.

Pozitivne i negativne.

konstantan i proporcionalan.

Grubo, nasumično i sistematično.

Apsolutna greška rezultat pojedinačnog mjerenja (A y) definira se kao razlika između sljedećih veličina:

A y = y ja- y ist. » y i-` y.

Relativna greška rezultat pojedinačnog mjerenja (B y) se izračunava kao omjer sljedećih veličina:

Iz ove formule proizilazi da veličina relativne greške ne zavisi samo od veličine apsolutne greške, već i od vrednosti merene veličine. Kada izmjerena vrijednost ostane nepromijenjena ( y) relativna greška mjerenja može se smanjiti samo smanjenjem apsolutne greške (A y). Kada je apsolutna greška mjerenja konstantna, da biste smanjili relativnu grešku mjerenja, možete koristiti metodu povećanja vrijednosti mjerene veličine.

Primjer. Pretpostavimo da trgovačka vaga u trgovini ima konstantnu apsolutnu grešku mjerenja mase: A m = 10 g. Ako na takvoj vagi izmjerite 100 g slatkiša (m 1), tada će relativna greška u mjerenju mase slatkiša biti :

Kada se vaga 500 g slatkiša (m 2) na istoj vagi, relativna greška će biti pet puta manja:

Dakle, ako pet puta izmjerite 100 g slatkiša, onda zbog greške u mjerenju mase nećete dobiti ukupno 50 g proizvoda od 500 g. Jednim vaganjem veće mase (500 g) izgubit ćete samo 10 g slatkiša, tj. pet puta manje.

S obzirom na navedeno, može se primijetiti da je prije svega potrebno težiti smanjenju relativnih grešaka mjerenja. Apsolutne i relativne greške mogu se izračunati tek nakon određivanja srednje vrijednosti aritmetička vrijednost rezultat mjerenja.

Predznak greške (pozitivan ili negativan) određen je razlikom između pojedinačnog i stvarnog rezultata mjerenja:

y i-` y > 0 (greška je pozitivna);

y i-` y < 0 (greška je negativna).

Ako apsolutna greška merenja ne zavisi od vrednosti merene veličine, onda se takva greška naziva konstantan. U suprotnom, greška će biti proporcionalan. Priroda greške mjerenja (konstantna ili proporcionalna) utvrđuje se nakon posebnih studija.

Gruba greška mjerenje (promašaj) je rezultat mjerenja koji se značajno razlikuje od drugih, a koji se obično javlja kada se mjerna procedura naruši. Prisustvo grubih grešaka mjerenja u uzorku utvrđuje se samo metodama matematičke statistike(za n>2). Upoznajte se sa metodama za otkrivanje grubih grešaka.

Podjela grešaka na slučajne i sistematske je prilično uslovna.

To slučajne greške uključuju greške koje nemaju konstantna vrijednost i potpiši. Takve greške su uzrokovane sledeći faktori: nepoznato istraživaču; poznato, ali neregulisano; stalno se menja.

Slučajne greške mogu se procijeniti tek nakon izvršenih mjerenja.

Kvantitativna procjena modula veličine slučajne greške mjerenja može biti sledećim parametrima: i sl.

Slučajne greške mjerenja ne mogu se isključiti, već se mogu samo smanjiti. Jedan od glavnih načina da se smanji veličina slučajne greške mjerenja je povećanje broja pojedinačnih mjerenja (povećanje vrijednosti n). Ovo se objašnjava činjenicom da je veličina slučajnih grešaka obrnuto proporcionalna vrijednosti n, na primjer:

Sistematske greške su greške sa konstantnom veličinom i predznakom ili variraju prema poznatom zakonu. Ove greške su uzrokovane stalnim faktorima. Sistematske greške se mogu kvantificirati, smanjiti, pa čak i eliminirati.

Sistematske greške su klasifikovane u tipove grešaka I, II i III.

Na sistematičan greške tipa I upućuju greške poznato poreklo, koji se može izračunati prije mjerenja. Ove greške se mogu eliminisati unošenjem u rezultat mjerenja u obliku korekcija. Primjer ove vrste greške je greška u titrimetrijskom određivanju volumne koncentracije otopine ako je titrant pripremljen na jednoj temperaturi, a koncentracija mjerena na drugoj. Poznavajući ovisnost gustine titranta o temperaturi, moguće je izračunati promjenu volumne koncentracije titranta povezanu s promjenom njegove temperature prije mjerenja i uzeti u obzir ovu razliku kao korekciju kao rezultat mjerenje.

Sistematično greške tipa II- radi se o greškama poznatog porijekla, koje se mogu procijeniti samo tokom eksperimenta ili kao rezultat posebnih studija. Ova vrsta greške uključuje instrumentalne (instrumentalne), reaktivne, referentne i druge greške. Sami se upoznajte sa karakteristikama takvih grešaka.

Svaki uređaj, kada se koristi u postupku mjerenja, unosi svoje instrumentalne greške u rezultat mjerenja. Istovremeno, neke od ovih grešaka su nasumične, a drugi dio sistematski. Slučajne greške instrumenta se ne vrednuju zasebno, već se vrednuju zajedno sa svim ostalim slučajnim greškama merenja.

Svaka instanca bilo kog instrumenta ima svoju ličnu sistematsku grešku. Da bi se procijenila ova greška, potrebno je provesti posebne studije.

Najpouzdaniji način za procjenu sistematske greške tipa II je provjera rada instrumenata u odnosu na standarde. Za mjerni pribor (pipete, birete, cilindri itd.) provodi se poseban postupak - kalibracija.

U praksi se najčešće traži ne procjena, već smanjenje ili otklanjanje sistematske greške tipa II. Najčešći metodi za smanjenje sistematskih grešaka su metode relativizacije i randomizacije.Provjerite ove metode sami na .

To greške III tip uključuju greške nepoznatog porijekla. Ove greške se mogu otkriti tek nakon što se eliminišu sve sistematske greške tipa I i II.

To druge greške pripisat ćemo sve druge vrste grešaka koje gore nisu razmatrane (dozvoljene, moguće marginalne greške i sl.). Koncept mogućih graničnih grešaka koristi se u slučajevima korištenja mjernih instrumenata i pretpostavlja najveću moguću instrumentalnu grešku mjerenja (stvarna vrijednost greške može biti manja od vrijednosti moguće granične greške).

Kada se koriste mjerni instrumenti, moguće je izračunati moguću apsolutnu granicu (P` y, itd.) ili relativna (E` y itd.) greške mjerenja. Tako se, na primjer, moguća granična apsolutna greška mjerenja nalazi kao zbir mogućih graničnih slučajnih (x ` y, nasumično, itd.) i neisključene sistematske (d` y itd.) greške:

P` y, npr. = x ` y, random, pr. + d` y, itd.

Za male uzorke (n £ 20), nepoznato stanovništva, povinovanje normalan zakon distribucije, slučajne moguće marginalne greške mjerenja mogu se procijeniti na sljedeći način:

x` y, random, pr. = D` y=S' y½t P, n ½,
gdje je t P,n kvantil Studentove distribucije (test) za vjerovatnoću P i veličinu uzorka n. Apsolutna moguća granična greška mjerenja u ovom slučaju bit će jednaka:

P` y,pr.= S ` y½t P, n ½+ d` y, itd.

Ako rezultati mjerenja nisu u skladu sa zakonom normalne distribucije, onda se greška procjenjuje korištenjem drugih formula.

Određivanje vrijednosti d ` y itd. zavisi od toga da li mjerni instrument ima klasu tačnosti. Ako mjerni instrument nema klasu tačnosti, onda za vrijednost d ` y itd. može se prihvatiti minimalna vrijednost podjele skale merenje . Za mjerni instrument sa poznatom klasom tačnosti za vrijednost d ` y, npr. može se prihvatiti apsolutna dozvoljena sistematska greška mjernog instrumenta (d y, dodati.):

d` y itd." .

d vrijednost y, dodati. izračunava se na osnovu formula datih u tabeli 5.

Za mnoge mjerne instrumente, klasa tačnosti je naznačena u obliku brojeva a × 10 n, gdje je a jednako 1; 1.5; 2; 2.5; četiri; 5; 6 i n je 1; 0; -jedan; -2 itd., koji pokazuju vrijednost moguće maksimalno dozvoljene sistematske greške (E y, dodaj.) i posebne znakove koji označavaju njen tip (relativni, redukovani, konstantni, proporcionalni).

Tabela 5

Primjeri označavanja klasa tačnosti mjernih instrumenata

Apsolutna greška mjerenja naziva se vrijednost određena razlikom između rezultata mjerenja x i pravu vrijednost izmjerene veličine x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Vrijednost δ, jednaka omjeru apsolutne greške mjerenja i rezultata mjerenja, naziva se relativna greška:

Primjer 2.1. Približna vrijednost broja π je 3,14. Tada je njegova greška 0,00159. Apsolutna greška se može smatrati jednakom 0,0016, a relativna 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Značajni brojevi. Ako apsolutna greška vrijednosti a ne prelazi jednu jedinicu posljednje cifre broja a, onda kažu da broj ima sve predznake tačne. Približne brojeve treba napisati, samo zadržati istiniti znaci. Ako je, na primjer, apsolutna greška broja 52400 jednaka 100, onda ovaj broj treba napisati, na primjer, kao 524·10 2 ili 0,524·10 5 . Možete procijeniti grešku približnog broja tako što ćete navesti koliko istinitih značajnih znamenki sadrži. Prilikom brojanja značajnih cifara, nule na lijevoj strani broja se ne broje.

Na primjer, broj 0,0283 ima tri važeće značajne cifre, a 2,5400 ima pet važećih značajnih cifara.

Pravila zaokruživanja brojeva. Ako približni broj sadrži dodatne (ili netačne) znakove, onda ga treba zaokružiti. Prilikom zaokruživanja dolazi do dodatne greške, koja ne prelazi polovinu jedinice posljednje značajne cifre ( d) zaokružen broj. Prilikom zaokruživanja čuvaju se samo ispravni znakovi; dodatni znakovi se odbacuju, a ako je prva odbačena znamenka veća ili jednaka d/2, tada se zadnja pohranjena cifra povećava za jedan.

Dodatne cifre u cijelim brojevima zamjenjuju se nulama, a u decimalnim razlomcima se odbacuju (kao i dodatne nule). Na primjer, ako je greška mjerenja 0,001 mm, tada se rezultat 1,07005 zaokružuje na 1,070. Ako je prva od nulto izmijenjenih i odbačenih cifara manja od 5, preostale cifre se ne mijenjaju. Na primjer, broj 148935 s preciznošću mjerenja od 50 ima zaokruživanje od 148900. Ako je prva znamenka koja se zamjenjuje nulama ili odbacuje je 5, a nakon nje nema cifara ili nula, tada se zaokruživanje vrši na najbliži par broj. Na primjer, broj 123,50 se zaokružuje na 124. Ako je prva znamenka koja se zamjenjuje nulama ili odbacuje veća od 5 ili jednaka 5, ali nakon nje slijedi značajna cifra, tada se posljednja preostala znamenka povećava za jedan. Na primjer, broj 6783,6 je zaokružen na 6784.

Primjer 2.2. Prilikom zaokruživanja broja 1284 na 1300 apsolutna greška je 1300 - 1284 = 16, a kod zaokruživanja na 1280 apsolutna greška je 1280 - 1284 = 4.

Primjer 2.3. Kada se broj 197 zaokruži na 200, apsolutna greška je 200 - 197 = 3. Relativna greška je 3/197 ≈ 0,01523 ili približno 3/200 ≈ 1,5%.

Primjer 2.4. Prodavac vaga lubenicu na vagi. U setu tegova najmanji je 50 g. Vaganjem je dobijeno 3600 g. Ovaj broj je približan. Tačna težina lubenice nije poznata. Ali apsolutna greška ne prelazi 50 g. Relativna greška ne prelazi 50/3600 = 1,4%.

Greške u rješavanju problema na PC

Tri vrste grešaka se obično smatraju glavnim izvorima grešaka. To su takozvane greške skraćivanja, greške zaokruživanja i greške propagacije. Na primjer, prilikom korištenja iterativne metode tražiti korijene nelinearne jednačine rezultati su približni za razliku od direktnih metoda, koje daju egzaktno rješenje.

Greške pri skraćenju

Ova vrsta greške je povezana sa greškom koja je inherentna samom problemu. To može biti zbog nepreciznosti u definiciji početnih podataka. Na primjer, ako su neke dimenzije navedene u uvjetu problema, onda su u praksi za stvarne objekte ove dimenzije uvijek poznate s određenom točnošću. Isto važi i za bilo koju drugu fizički parametri. Ovo takođe uključuje nepreciznosti formule za izračunavanje i njihove numeričke koeficijente.

Greške u širenju

Ova vrsta greške povezana je s korištenjem jedne ili druge metode rješavanja problema. U toku proračuna neizbježno dolazi do gomilanja ili, drugim riječima, širenja greške. Pored činjenice da sami originalni podaci nisu tačni, nova greška nastaje kada se množe, sabiraju itd. Akumulacija greške zavisi od prirode i broja aritmetičkih operacija koje se koriste u proračunu.

Greške zaokruživanja

Ova vrsta greške je zbog činjenice da kompjuter ne pohranjuje uvijek pravu vrijednost broja. Kada je realan broj pohranjen u memoriji računara, on se zapisuje kao mantisa i eksponent na isti način kao što se broj prikazuje na kalkulatoru.

U fizici i drugim naukama vrlo je često potrebno mjeriti različite veličine (npr. dužina, masa, vrijeme, temperatura, električni otpor itd.).

Measurement- proces pronalaženja vrijednosti fizičke veličine pomoću specijal tehnička sredstva- mjerni uređaji.

Merni instrument naziva se uređaj kojim se izmjerena veličina upoređuje sa fizičkom veličinom iste vrste, uzeta kao jedinica mjere.

Postoje direktne i indirektne metode mjerenja.

Direktne metode mjerenja - metode u kojima se vrijednosti veličina koje se određuju nalaze se direktnim poređenjem mjernog objekta sa mjernom jedinicom (etalonom). Na primjer, dužina tijela mjerena ravnalom upoređuje se s jedinicom dužine - metar, masa tijela mjerena vagom upoređuje se s jedinicom mase - kilogramom, itd. Dakle, kao rezultat direktno merenje utvrđena vrijednost se dobija odmah, odmah.

Indirektne metode mjerenja- metode u kojima se vrijednosti veličina koje se određuju izračunavaju iz rezultata direktnih mjerenja drugih veličina sa kojima su povezane poznatom funkcionalnom zavisnošću. Na primjer, određivanje obima kruga na osnovu rezultata mjerenja prečnika ili određivanje zapremine tijela na osnovu rezultata mjerenja njegovih linearnih dimenzija.

Zbog nesavršenosti mjernih instrumenata, naša čula utiču spoljni uticaji na mjernoj opremi i objektu mjerenja, kao i drugim faktorima, sva mjerenja se mogu vršiti samo sa donekle tačnost; stoga rezultati mjerenja ne daju pravu vrijednost mjerene veličine, već samo približnu. Ako se, na primjer, tjelesna težina odredi s točnošću od 0,1 mg, onda to znači da se pronađena težina razlikuje od prave tjelesne težine za manje od 0,1 mg.

Tačnost mjerenja - karakteristika kvaliteta mjerenja, koja odražava blizinu rezultata mjerenja pravoj vrijednosti mjerene veličine.

Što su greške merenja manje, to je veća tačnost merenja. Preciznost merenja zavisi od instrumenata koji se koriste u merenjima i od uobičajene metode mjerenja. Apsolutno je beskorisno pokušavati prekoračiti ovu granicu tačnosti prilikom mjerenja pod datim uslovima. Moguće je minimizirati uticaj uzroka koji smanjuju tačnost merenja, ali ih je nemoguće potpuno otkloniti, odnosno uvek se prave manje ili više značajne greške (greške) tokom merenja. Za povećanje tačnosti konačni rezultat bilo koji fizička dimenzija potrebno je uraditi ne jedan, već nekoliko puta pod istim eksperimentalnim uslovima.

Kao rezultat i-tog mjerenja (i je mjerni broj) vrijednosti "X", dobija se približni broj X i koji se razlikuje od istinska vrijednost Hist po nekoj vrijednosti ∆H i = |H i – H|, što je greška ili, drugim riječima, greška. Prava greška nam nije poznata, jer ne znamo pravu vrijednost izmjerene vrijednosti. Prava vrijednost izmjerene fizičke veličine leži u intervalu

H i – ∆H< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

gdje je X i vrijednost X vrijednosti dobijene tokom mjerenja (tj. izmjerena vrijednost); ∆X je apsolutna greška u određivanju vrijednosti X.

Apsolutna greška (greška) mjerenja ∆X je apsolutna vrijednost razlike između prave vrijednosti izmjerene veličine Xist i rezultata mjerenja X i: ∆X = |X ist - X i |.

Relativna greška (greška) mjerenje δ (karakterizira tačnost mjerenja) je numerički jednako omjeru apsolutne greške mjerenja ∆X i prave vrijednosti izmjerene vrijednosti X sist (često izražene u postocima): δ \u003d (∆X / X sist) 100% .

Greške ili greške mjerenja mogu se podijeliti u tri klase: sistematske, nasumične i grube (promašaji).

Sistematično nazivaju takvu grešku koja ostaje konstantna ili se prirodno (prema nekoj funkcionalnoj zavisnosti) mijenja pri ponovljenim mjerenjima iste veličine. Takve greške su rezultat karakteristike dizajna mjernih instrumenata, nedostataka prihvaćene metode mjerenja, eventualnih propusta eksperimentatora, utjecaja vanjskih uslova ili defekta samog mjernog objekta.

U svakom mjernom uređaju inherentna je jedna ili druga sistematska greška, koja se ne može eliminisati, ali se može uzeti u obzir redoslijed. Sistematske greške povećavaju ili smanjuju rezultate mjerenja, odnosno ove greške karakterizira konstantan predznak. Na primjer, ako tijekom vaganja jedan od utega ima masu za 0,01 g veću od naznačene na njoj, tada će pronađena vrijednost tjelesne težine biti precijenjena za ovaj iznos, bez obzira na to koliko se mjerenja izvrši. Ponekad se sistematske greške mogu uzeti u obzir ili eliminisati, ponekad se to ne može učiniti. Na primjer, fatalne greške uključuju greške instrumenta, za koje možemo samo reći da ne prelaze određenu vrijednost.

Slučajne greške naziva greškama koje mijenjaju svoju veličinu i znak na nepredvidiv način od iskustva do iskustva. Pojava nasumičnih grešaka uzrokovana je djelovanjem mnogih raznolikih i nekontroliranih uzroka.

Na primjer, kod vaganja s vage, ovi razlozi mogu biti vibracije zraka, taložene čestice prašine, različito trenje u lijevom i desnom ovjesu čaša, itd. Slučajne greške se manifestuju u tome što se mjerenjem iste vrijednosti X pod U istim eksperimentalnim uslovima imamo različite vrednosti: X1, X2, X3,…, X i ,…, X n , gde je X i rezultat i-tog merenja. Nije moguće utvrditi bilo kakvu pravilnost između rezultata, stoga se uzima u obzir rezultat i-tog mjerenja X slučajna varijabla. Slučajne greške mogu određeni uticaj na jedno mjerenje, ali s više mjerenja se povinuju statistički zakoni a njihov uticaj na rezultate merenja može se uzeti u obzir ili značajno smanjiti.

Promašaji i greške- preterano velike greške, jasno iskrivljujući rezultat mjerenja. Ova klasa grešaka najčešće je uzrokovana pogrešnim radnjama eksperimentatora (na primjer, zbog nepažnje, umjesto očitanja uređaja "212" upisuje se potpuno drugačiji broj - "221"). Mjerenja koja sadrže promašaje i velike greške treba odbaciti.

Mjerenja se mogu vršiti u smislu njihove tačnosti tehničkim i laboratorijskim metodama.

Kada se koriste tehničke metode, mjerenje se vrši jednokratno. U ovom slučaju, oni su zadovoljni takvom preciznošću pri kojoj greška ne prelazi neke unaprijed određene postavljena vrijednost određena greškom primijenjene mjerne opreme.

At laboratorijske metode mjerenja, potrebno je da se vrijednost mjerene veličine naznači tačnije nego što to njeno pojedinačno mjerenje dozvoljava tehnička metoda. U tom slučaju se vrši nekoliko mjerenja i izračunava se aritmetička sredina dobivenih vrijednosti, koja se uzima kao najpouzdanija (prava) vrijednost izmjerene vrijednosti. Zatim se procjenjuje tačnost rezultata mjerenja (uzimajući u obzir slučajne greške).

Iz mogućnosti izvođenja mjerenja po dvije metode proizilazi postojanje dvije metode za procjenu tačnosti mjerenja: tehničke i laboratorijske.

Jedan od mnogih važna pitanja u numeričkoj analizi postavlja se pitanje kako se greška koja se pojavi na određenom mestu u toku proračuna dalje širi, odnosno da li njen uticaj postaje sve veći ili manji kako se izvode naredne operacije. Ekstremni slučaj je oduzimanje skoro dva jednaki brojevi: čak i sa vrlo malim greškama oba ova broja, relativna greška razlike može biti veoma velika. Takva relativna greška će se dalje širiti u svim narednim aritmetičkim operacijama.

Jedan od izvora računskih grešaka (greške) je približna reprezentacija realni brojevi u kompjuteru, zbog konačnosti bitne mreže. Iako su početni podaci prikazani u računaru sa velikom preciznošću, gomilanje grešaka zaokruživanja u procesu brojanja može dovesti do značajne rezultirajuće greške, a neki algoritmi se mogu pokazati kao potpuno neprikladni za realno računanje na računaru. Možete saznati više o predstavljanju realnih brojeva na računaru.

Bug Propagation

Kao prvi korak u rješavanju takvog problema kao što je propagacija greške, potrebno je pronaći izraze za apsolutne i relativne greške rezultata svake od četiri aritmetičke operacije kao funkciju veličina uključenih u operaciju i njihovih grešaka.

Apsolutna greška

Dodatak

Postoje dvije aproksimacije i dvije veličine i , kao i odgovarajuće apsolutne greške i . Zatim, kao rezultat sabiranja, imamo

Zbirna greška, koju označavamo sa , bit će jednaka

Oduzimanje

Na isti način dobijamo

Množenje

Kada se pomnoži imamo

Budući da su greške obično mnogo manje od samih vrijednosti, zanemarujemo proizvod grešaka:

Greška proizvoda će biti

Division

Transformišemo ovaj izraz u formu

Faktor u zagradama može se proširiti u niz

Množenjem i zanemarivanjem svih pojmova koji sadrže proizvode grešaka ili stepene greške veće od prvog, imamo

shodno tome,

Mora se jasno shvatiti da je znak greške poznat samo u vrlo rijetkim slučajevima. Nije činjenica, na primjer, da se greška povećava sa sabiranjem, a smanjuje sa oduzimanjem jer u formuli za sabiranje postoji plus, a za oduzimanje minus. Ako, na primjer, greške dva broja imaju suprotnih znakova, tada će situacija biti upravo suprotna, odnosno greška će se smanjiti pri zbrajanju i povećati pri oduzimanju ovih brojeva.

Relativna greška

Nakon što smo izveli formule za propagaciju apsolutnih grešaka u četiri aritmetičke operacije, prilično je lako izvesti odgovarajuće formule za relativne greške. Za sabiranje i oduzimanje, formule su modificirane da eksplicitno uključuju relativnu grešku svakog originalnog broja.

Dodatak

Oduzimanje

Množenje

Division

Počinjemo aritmetičku operaciju s dvije približne vrijednosti i s odgovarajućim greškama i . Ove greške mogu biti bilo kojeg porijekla. Vrijednosti i mogu biti eksperimentalni rezultati koji sadrže greške; mogu biti rezultati prethodnog izračunavanja prema nekom beskonačnom procesu i stoga mogu sadržavati greške ograničenja; mogu biti rezultati prethodnih aritmetičkih operacija i mogu sadržavati greške zaokruživanja. Naravno, mogu sadržavati i sve tri vrste grešaka u raznim kombinacijama.

Gornje formule daju izraz za grešku rezultata svake od četiri aritmetičke operacije kao funkciju od ; greška zaokruživanja u ovom slučaju aritmetička operacija pri čemu nije uzeto u obzir. Ako u budućnosti bude potrebno izračunati kako se greška ovog rezultata širi u narednim aritmetičkim operacijama, onda je potrebno izračunati grešku rezultata izračunate po jednoj od četiri formule dodati grešku zaokruživanja zasebno.

Grafovi računskih procesa

Sada razmotrimo pogodan način za izračunavanje širenja greške u nekom aritmetičkom proračunu. U tu svrhu prikazat ćemo redoslijed operacija u proračunu koristeći count a mi ćemo pisati koeficijente u blizini strelica na grafu, što će nam omogućiti da relativno lako odredimo ukupnu grešku konačnog rezultata. Ova metoda je pogodna i po tome što olakšava određivanje doprinosa bilo koje greške koja je nastala u toku proračuna ukupnoj grešci.

Fig.1. Računarski procesni graf

Na sl.1 prikazan je graf procesa računanja. Grafikon treba čitati odozdo prema gore, prateći strelice. Prvo se izvode operacije koje se nalaze na nekom horizontalnom nivou, a zatim operacije koje se nalaze na više visoki nivo, itd. Sa slike 1, na primjer, jasno je da x i y prvo se sabere, a zatim pomnoži sa z. Grafikon prikazan u sl.1, je samo slika samog procesa računanja. Da bi se izračunala ukupna greška rezultata, potrebno je ovaj grafikon dopuniti koeficijentima koji su upisani u blizini strelica prema sljedećim pravilima.

Dodatak

Neka dvije strelice koje ulaze u krug za sabiranje izađu iz dva kruga sa vrijednostima i . Ove vrijednosti mogu biti i početne i rezultatske. prethodnim proračunima. Tada strelica koja vodi od do znaka + u krugu dobija koeficijent , dok strelica koja vodi od do znaka + u krugu dobija koeficijent .

Oduzimanje

Ako se operacija izvrši, tada odgovarajuće strelice primaju koeficijente i .

Množenje

Obje strelice uključene u krug za množenje dobijaju faktor +1.

Division

Ako se izvrši podjela, onda strelica od do zaokružene kose crte dobiva faktor +1, a strelica od do zaokružene kose crte dobiva faktor -1.

Značenje svih ovih koeficijenata je sljedeće: relativna greška rezultata bilo koje operacije (krug) uključena je u rezultat sljedeće operacije, pomnožena sa koeficijentima strelice koja povezuje ove dvije operacije.

Primjeri

Fig.2. Grafikon računskog procesa za sabiranje, i

Primijenimo sada tehniku grafa na primjere i ilustrirajmo šta znači širenje greške u praktičnim proračunima.

Primjer 1

Razmotrimo problem sabiranja četiri pozitivni brojevi:

, .

Grafikon ovog procesa je prikazan u sl.2. Pretpostavimo da su sve početne vrijednosti date tačno i da nemaju grešaka, i neka su , i relativne greške zaokruživanja nakon svake sljedeće operacije sabiranja. Uzastopna primjena pravila za izračunavanje ukupne greške konačnog rezultata dovodi do formule

Smanjenjem sume u prvom članu i množenjem cijelog izraza sa , dobivamo

S obzirom da je greška zaokruživanja (in ovaj slučaj pretpostavlja se da pravi broj u računaru je predstavljen u obliku decimalni razlomak With t značajne brojke), konačno imamo

Mjerenje veličine je operacija u kojoj saznajemo koliko je puta izmjerena vrijednost veća (ili manja) od odgovarajuće vrijednosti, uzete kao standard (mjerna jedinica). Sva mjerenja se mogu podijeliti u dvije vrste: direktna i indirektna.

DIREKTNA ovo su mjerenja u kojima su direktno interesantna fizička količina(masa, dužina, vremenski intervali, promjena temperature, itd.).

INDIREKTNA - to su mjerenja u kojima se količina koja nas zanima određuje (izračunava) iz rezultata direktnih mjerenja drugih veličina povezanih s njom određenom funkcionalnom zavisnošću. Na primjer, određivanje brzine ravnomerno kretanje merenjem pređenog puta u određenom vremenskom periodu, merenjem gustine tela merenjem telesne mase i zapremine itd.

Zajednička karakteristika merenja je nemogućnost dobijanja prave vrednosti merene veličine, rezultat merenja uvek sadrži neku vrstu greške (greške). Ovo se objašnjava suštinski ograničenom preciznošću merenja i prirodom samih mernih objekata. Stoga, da bi se naznačilo koliko je dobijeni rezultat blizak pravoj vrijednosti, greška mjerenja je naznačena zajedno sa dobijenim rezultatom.

Na primjer, izmjerili smo žižnu daljinu sočiva f i to zapisali

f = (256 ± 2) mm (1)

To znači da je žižna daljina između 254 i 258 mm. Ali u stvari ova jednakost (1) ima vjerovatnoća značenja. Ne možemo sa potpunom sigurnošću reći da se vrijednost nalazi u navedenim granicama, postoji samo određena vjerovatnoća za to, stoga se jednakost (1) mora dopuniti naznakom vjerovatnoće s kojom ovaj omjer ima smisla (u nastavku ćemo to formulirati tačnije izjava).

Evaluacija grešaka je neophodna, jer bez znanja o čemu se radi, nemoguće je izvući definitivne zaključke iz eksperimenta.

Obično izračunajte apsolutnu i relativnu grešku. Apsolutna greška Δx je razlika između prave vrijednosti izmjerene veličine μ i rezultata mjerenja x, tj. Δx = μ - x

Omjer apsolutne greške i prave vrijednosti izmjerene vrijednosti ε = (μ - x)/μ naziva se relativna greška.

Apsolutna greška karakteriše grešku metode koja je odabrana za merenje.

Relativna greška karakteriše kvalitet merenja. Tačnost mjerenja je recipročna vrijednost relativne greške, tj. 1/ε.

§ 2. Klasifikacija grešaka

Sve greške merenja su podeljene u tri klase: promašaji (grube greške), sistematske i slučajne greške.

GUBITAK je uzrokovan oštrim kršenjem uslova mjerenja u pojedinačnim opservacijama. Ovo je greška povezana sa udarom ili lomom uređaja, grubom pogrešnom proračunom eksperimentatora, nepredviđenim smetnjama itd. gruba greška se obično pojavljuje u ne više od jedne ili dvije dimenzije i oštro se razlikuje po veličini od ostalih grešaka. Prisustvo promašaja može uvelike iskriviti rezultat koji sadrži promašaj. Najlakši način je utvrditi uzrok klizanja i eliminisati ga tokom procesa mjerenja. Ako proklizavanje nije isključeno tokom procesa mjerenja, to treba učiniti prilikom obrade rezultata mjerenja, koristeći posebne kriterije koji omogućavaju objektivno razlikovanje u svakoj seriji zapažanja greška ako postoji.

Sistematska greška je komponenta greške merenja koja ostaje konstantna i redovno se menja tokom ponovljenih merenja iste vrednosti. Sistematske greške nastaju ako se ne uzme u obzir npr. termička ekspanzija pri mjerenju volumena tekućine ili plina koji se proizvodi pri lagano promjenjivoj temperaturi; ako se pri mjerenju mase ne uzima u obzir djelovanje sile uzgona zraka na vagano tijelo i na utege itd.

Sistematske greške se uočavaju ako je skala lenjira primijenjena neprecizno (neravnomjerno); kapilara termometra u različitim dijelovima ima različit poprečni presjek; sa odsustvom električna struja kroz ampermetar, strelica uređaja nije na nuli itd.

Kao što se može vidjeti iz primjera, sistematska greška je uzrokovana određenim razlozima, njegova vrijednost ostaje konstantna (nulti pomak ljestvice instrumenta, neujednačene ljestvice) ili se mijenja po određenom (ponekad prilično složenom) zakonu (neujednačenost skale, neujednačen poprečni presjek kapilarni termometar itd.).

Možemo reći da je sistematska greška ublažen izraz koji zamjenjuje riječi "greška eksperimentatora".

Do ovih grešaka dolazi zbog:

neprecizni mjerni instrumenti;
prava instalacija je nešto drugačija od idealne;
teorija fenomena nije sasvim tačna, tj. nikakvi efekti nisu uzeti u obzir.

Znamo šta učiniti u prvom slučaju, potrebna je kalibracija ili gradacija. U dva druga slučaja gotov recept ne postoji. Što bolje poznajete fiziku, što više iskustva imate, veća je vjerovatnoća da ćete otkriti takve efekte, a samim tim i eliminirati ih. Opća pravila, ne postoje recepti za identifikaciju i otklanjanje sistematskih grešaka, ali se mogu napraviti neke klasifikacije. Razlikujemo četiri vrste sistematskih grešaka.

Sistematske greške, čija vam je priroda poznata, a vrijednost se mogu pronaći, stoga su isključene uvođenjem izmjena. Primjer. Vaganje na nejednakoj vagi. Neka je razlika dužina ruku 0,001 mm. Sa dužinom klackalice od 70 mm i telesne težine 200 G sistematska greška će biti 2,86 mg. Sistematska greška ovog mjerenja može se eliminisati primjenom posebne metode vaganje (Gaussova metoda, Mendeljejeva metoda itd.).
Sistematske greške, za koje se zna da su manje od sigurnog određenu vrijednost. U tom slučaju, prilikom snimanja odgovora, oni se mogu naznačiti maksimalna vrijednost. Primjer. U pasošu priloženom uz mikrometar piše: „Dozvoljena greška je ± 0,004 mm. Temperatura +20 ± 4 °C. To znači da ćemo mjerenjem dimenzija tijela ovim mikrometrom na temperaturama navedenim u pasošu imati apsolutna greška, ne prelazi ± 0,004 mm za sve rezultate merenja.
Često je maksimalna apsolutna greška koju daje dati instrument označena klasom tačnosti instrumenta, koja je na skali instrumenta prikazana odgovarajućim brojem, najčešće uzetim u krug.

Broj koji označava klasu tačnosti označava maksimalnu apsolutnu grešku instrumenta, izraženu kao procenat najveća vrednost izmjerena vrijednost uključena gornja granica vage.

Neka se u mjerenjima koristi voltmetar koji ima skalu od 0 do 250 AT, njegova klasa tačnosti je 1. To znači da maksimalna apsolutna greška koja se može napraviti pri mjerenju ovim voltmetrom neće biti veća od 1% najveće vrijednosti napona koja se može izmjeriti na ovoj instrument skali, drugim riječima:

δ = ±0,01 250 AT= ±2,5 AT.

Klasa tačnosti električnih mjernih instrumenata određuje maksimalnu grešku, čija se vrijednost ne mijenja pri kretanju od početka do kraja skale. U ovom slučaju relativna greška se dramatično mijenja, jer instrumenti daju dobru preciznost kada strelica odstupa skoro do cijele skale i ne daje je pri mjerenju na početku skale. Otuda i preporuka: izaberite instrument (ili skalu instrumenta sa više opsega) tako da strelica instrumenta tokom merenja ide dalje od sredine skale.

Ako klasa tačnosti uređaja nije navedena i nema podataka o putovnici, tada se kao najveća greška uređaja uzima polovina cijene najmanjeg podjela uređaja.

Nekoliko riječi o tačnosti vladara. Metalni lenjiri su vrlo precizni: milimetarske podjele se primjenjuju s greškom ne većom od ±0,05 mm, a centimetarske nisu ništa gore nego s tačnošću od 0,1 mm. Greška mjerenja napravljena sa tačnošću ovakvih ravnala je praktično jednaka grešci očitavanja na oko (≤0,5 mm). Bolje je ne koristiti drvena i plastična ravnala, njihove greške mogu biti neočekivano velike.

Radni mikrometar daje tačnost od 0,01 mm, a greška mjerenja kaliperom određena je tačnošću kojom se očitavanje može izvršiti, tj. preciznost nonija (obično 0,1 mm ili 0,05 mm).
Sistematske greške zbog svojstava mjernog objekta. Ove greške se često mogu svesti na slučajne. Primjer.. Određuje se električna provodljivost nekog materijala. Ako se za takvo mjerenje uzme komad žice koji ima neku vrstu defekta (zadebljanje, pukotina, nehomogenost), tada će se napraviti greška u određivanju električne vodljivosti. Ponavljanje mjerenja daje istu vrijednost, tj. postoji neka sistematska greška. Izmjerimo otpor nekoliko segmenata takve žice i pronađemo prosječnu vrijednost električne provodljivosti ovog materijala, koja može biti veća ili manja od električne provodljivosti pojedinačnih mjerenja, pa se greške napravljene u ovim mjerenjima mogu pripisati na takozvane slučajne greške.
Sistematske greške, čije postojanje nije poznato. Primjer.. Odredite gustinu bilo kojeg metala. Prvo odredite zapreminu i masu uzorka. Unutar uzorka postoji praznina o kojoj ne znamo ništa. Doći će do greške u određivanju gustine, koja će se ponavljati za bilo koji broj mjerenja. Navedeni primjer je jednostavan, izvor greške i njena veličina mogu se odrediti bez većih poteškoća. Greške ove vrste mogu se otkriti uz pomoć dodatnih studija, provođenjem mjerenja potpuno drugom metodom i pod različitim uvjetima.

RANDOM je komponenta greške mjerenja koja se nasumično mijenja s ponovljenim mjerenjima iste vrijednosti.

Kada se ponovljena mjerenja iste konstantne, nepromjenjive veličine izvode s istom pažnjom i pod istim uslovima, dobijamo rezultate mjerenja da se neki od njih međusobno razlikuju, a neki se poklapaju. Ovakva odstupanja u rezultatima mjerenja ukazuju na prisustvo nasumičnih komponenti greške u njima.

Slučajna greška proizlazi iz istovremenog djelovanja više izvora, od kojih svaki sam po sebi ima neprimjetan učinak na rezultat mjerenja, ali ukupni učinak svih izvora može biti prilično jak.

Slučajna greška može poprimiti različite apsolutne vrijednosti, koje se ne mogu predvidjeti za dati mjerni akt. Ova greška može biti podjednako i pozitivna i negativna. Slučajne greške su uvijek prisutne u eksperimentu. U nedostatku sistematskih grešaka, oni uzrokuju da se ponovljena mjerenja raspršuju oko prave vrijednosti ( sl.14).

Ako, pored toga, postoji sistematska greška, tada će rezultati mjerenja biti raspršeni u odnosu ne na pravu, već na pristrasnu vrijednost ( sl.15).

Rice. 14 Fig. petnaest

Pretpostavimo da uz pomoć štoperice merimo period oscilovanja klatna, a merenje se ponavlja više puta. Greške pri pokretanju i zaustavljanju štoperice, greška u referentnoj vrijednosti, malo neravnomjerno kretanje klatna sve to uzrokuje rasipanje rezultata ponovljenih mjerenja i stoga se može klasificirati kao slučajne greške.

Ako nema drugih grešaka, onda će neki rezultati biti nešto precijenjeni, dok će drugi biti malo potcijenjeni. Ali ako, pored ovoga, i sat kasni, onda će svi rezultati biti potcijenjeni. Ovo je već sistematska greška.

Neki faktori mogu uzrokovati i sistematske i slučajne greške u isto vrijeme. Dakle, uključivanjem i isključivanjem štoperice možemo stvoriti mali nepravilan razmak u trenucima pokretanja i zaustavljanja sata u odnosu na kretanje klatna i time unijeti slučajnu grešku. Ali ako, pored toga, svaki put kada požurimo da upalimo štopericu i nešto kasnimo s isključivanjem, to će dovesti do sistematske greške.

Slučajne greške su uzrokovane greškom paralakse pri očitavanju podjela skale instrumenta, podrhtavanjem temelja zgrade, utjecajem blagog kretanja zraka itd.

Iako je nemoguće isključiti slučajne greške pojedinačnih mjerenja, matematička teorija slučajnih pojava nam omogućava da smanjimo utjecaj ovih grešaka na konačni rezultat mjerenja. U nastavku će biti pokazano da je za to potrebno izvršiti ne jedno, već nekoliko mjerenja, a što je manja vrijednost greške koju želimo dobiti, više merenja treba sprovesti.

Treba imati na umu da ako se slučajna greška dobivena iz mjernih podataka pokaže znatno manja od greške određene preciznošću instrumenta, onda, očito, nema smisla pokušavati dalje smanjiti veličinu ionako slučajna greška, rezultati mjerenja neće postati precizniji iz ovoga.

Naprotiv, ako je slučajna greška veća od instrumentalne (sistematske) greške, tada merenje treba izvršiti nekoliko puta kako bi se smanjila vrednost greške za datu seriju merenja i ta greška bila manja od ili jednog reda od veličina sa greškom instrumenta.