Kako pronaći rastojanje između tačke i prave. Kako odrediti relativni položaj dvije linije? Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke

U analitičkoj geometriji, lokacija skupa tačaka koje pripadaju pravoj liniji u prostoru opisuje se jednadžbom. Za bilo koju tačku u prostoru tangentu na ovu pravu, moguće je definirati parametar, onaj koji se zove devijacija. Ako je jednako nuli, tada tačka leži na pravoj, a bilo koja druga vrijednost odstupanja, uzeta po modulu, određuje najkraća udaljenost između prave i tačke. Dozvoljeno je izračunati ako su poznate jednadžbe prave i koordinate tačke.

Uputstvo

1. Da bismo generalno riješili problem, označimo koordinate tačke sa A? (X?; Y?; Z?), a koordinate tačke koje joj je najbliže na pravoj koja se razmatra - kao A? (X?; Y?; Z?), i napišite jednadžbu prave u ovom obliku: a * X + b * Y + c * Z - d \u003d 0. Trebate odrediti dužinu segmenta A? A?, onaj koji leži na pravoj okomitoj na onu koju opisuje jednačina. Okomit ("tipični") vektor smjera? = (a;b;c) će pomoći u sastavljanju kanonskih jednačina A? i A? ravno: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2. Napišite kanonske jednadžbe u parametarskom obliku (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? i Z = c*t+Z?) i pronađite vrijednost parametra t? na kojoj su početna i okomita linije se seku. Da biste to uradili, zamenite parametarske izraze u jednačinu početne linije: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z?) ) – d = 0. Nakon toga izraziti parametar t?: t? = (d - a*X? - b*Y? - c*Z?)/(a? + b? + c?).

3. Zamijeniti vrijednost t dobijenu u prethodnom koraku? na definirajuće koordinate tačke A? parametarske jednačine:x? = a*t?+X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b*t?+Y? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? i Z? = c*t?+Z? = c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. Sada imate koordinate 2 tačke, ostaje da izračunate udaljenost (L) koju oni određuju.

4. Da biste dobili numeričku vrijednost udaljenosti između tačke sa poznatim koordinatama i prave linije date poznatom jednadžbom, izračunajte numeričke vrijednosti koordinata tačke A? (X?; Y?; Z?) koristeći formule iz prethodnog koraka i zamijenite vrijednosti u ovu formulu: L = (a *(X? - X?) + b*(Y? - Y?) + c*(Z? - Z?)) / ( a? + b? + c?) biće opisano prilično masivnom jednadžbom. Zamijeniti vrijednosti projekcija tačke A? na tri koordinatne ose sa jednakostima iz prethodnog koraka i pojednostavite rezultujuću jednakost koliko god je to moguće: L = (a*(X? - X?) + b*(Y? - Y?) + c*(Z? - Z?)) / ( a? + b? + c?) = (a*(X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b ? + c?)) + X?) + b*(Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c *(Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c ?))) + b *(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c* (2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c ?) = (2* a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b* Y? – b?* ((d - a*X? - b*Y? - c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? - c?*(( d - a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

5. Ako je bitan samo brojčani rezultat, a napredak u rješavanju problema nije značajan, koristite online kalkulator, onaj koji je posebno pripremljen za izračunavanje udaljenosti između tačke i prave u ortogonalnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora - http://ru.onlinemschool.com/math/ assist/cartesian_coordinate/p_line. Ovdje možete postaviti koordinate tačke u odgovarajuća polja, unijeti jednačinu prave u parametarskom ili kanonskom obliku, a zatim dobiti rezultat klikom na dugme "Detektiraj udaljenost od tačke do prave linije".

Povezani video zapisi

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dvije prave linije

Slučaj kada sala peva u horu. Dva reda mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se seku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : molim vas zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se dešavati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civilizovaniji paket:

Primjer 1

Saznati međusobnog dogovora direktno:

Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

Za svaki slucaj stavicu kamen sa pokazivacima na raskrsnicu:

Ostali skaču preko kamena i slijede, pravo do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna:

Na ovaj način,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se pronaći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu(općenito odgovara svakom broju).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razlog da se bilo šta nudi nezavisno rešenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označite nepoznatu liniju slovom. Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su prave paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "te".

Vektor smjera izvlačimo iz jednačine:

Odgovori:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sledećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još uvijek morate da se takmičite sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat školski program:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijskog smisla dva linearne jednačine sa dve nepoznate su dvije koje se ukrštaju (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati date linije i saznati točku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafički način rješavanja sistemi linearnih jednačina sa dve jednačine, dve nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima vidljivih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave linije.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na ovo ću se više puta fokusirati.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Počnimo sa tipičnim i vrlo važan zadatak. U prvom dijelu smo naučili kako da napravimo pravu liniju paralelnu sa datom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

Odgovori:

Hajde da otvorimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i uz pomoć tačkasti proizvod vektora zaključujemo da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite točku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Naš zabavno putovanje nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate je da pažljivo zamijenite brojeve u formulu i izvršite izračune:

Odgovori:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, odredit ću algoritam rješenja sa srednji rezultati:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta naći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućavajući vam da brojite obični razlomci. Više puta savjetovali i preporučit ću ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer za nezavisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami da pogodite, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Ugao između dvije linije

Koji god ugao, onda dovratak:


U geometriji, ugao između dve prave se uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski sledi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentisan grimizni kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći uglove lako može ispostaviti negativan rezultat i ne bi trebalo da vas iznenadi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao obavezno označite njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu) strelicom.

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje i Prvi metod

Razmotrimo dvije prave date jednadžbama u opštem obliku:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentisan ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Većina veliku pažnju okrenite se nazivniku - to je tačno skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost linija u formulaciji.

Na osnovu gore navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod usmjeravajućih vektora pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Nalazimo ugao između linija po formuli:

Korišćenjem inverzna funkcija lako pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi Sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti prave linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s direktnim .

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice od tačke do prave. AT deskriptivna geometrija definisano je grafički prema algoritmu ispod.

Algoritam

1. Prava linija se prenosi u poziciju u kojoj će biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtajte okomicu iz tačke na pravu. U srži ovu konstrukciju je teorema projekcije pravog ugla.
3. Dužina okomice se određuje pretvaranjem njenih projekcija ili korištenjem metode pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika je složeni crtež tačke M i prave b, dato segmentom CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomjeriti liniju na poziciju paralelno sa ravninom projekcije. Važno je shvatiti da se nakon transformacije stvarna udaljenost između tačke i prave ne bi trebala mijenjati. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine, koja ne uključuje kretanje figura u prostoru.

U nastavku su prikazani rezultati prve faze izgradnje. Na slici je prikazano kako se paralelno sa b uvodi dodatna frontalna ravan P 4. AT novi sistem(P 1 , P 4) tačke C"" 1, D"" 1, M"" 1 su na istoj udaljenosti od ose X1 kao C"", D"", M"" od X ose.

Izvodeći drugi dio algoritma, sa M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na pravu b"" 1, pošto je pravi ugao MND između b i MN projektovan na ravan P 4 u punoj veličini. Određujemo položaj tačke N" duž komunikacijske linije i crtamo projekciju M"N" segmenta MN.

Na završna faza potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Za ovo gradimo pravougaonog trougla M"" 1 N"" 1 N 0 , čiji je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 – Y N 1) uklanjanja tačaka M" i N" sa ose X 1. Dužina hipotenuze M"" 1 N 0 trougla M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno sa CD uvodimo novu frontalnu ravan P 4 . Seče P 1 duž X 1 ose, a X 1 ∥C"D". U skladu sa metodom zamjene ravni, određujemo projekcije tačaka C "" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C"" 1 D"" 1 gradimo dodatnu horizontalnoj ravni P 5, na koju je prava b projektovana u tačku C "2 = b" 2.
• Udaljenost između tačke M i prave linije b određena je dužinom segmenta M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci:

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Ovaj članak govori o ovoj temi « udaljenost od tačke do linije », definicije udaljenosti od tačke do prave razmatraju se na ilustrovanim primjerima metodom koordinata. Svaki blok teorije na kraju je pokazao primjere rješavanja sličnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Udaljenost od tačke do prave nalazi se određivanjem udaljenosti od tačke do tačke. Razmotrimo detaljnije.

Neka postoji prava a i tačka M 1 koja ne pripada datoj pravoj. Povucite liniju kroz nju koja je postavljena okomito na pravu a. Uzmite tačku preseka pravih kao H 1. Dobijamo da je M 1 H 1 okomica, koja je spuštena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija 1

Udaljenost od tačke M 1 do prave linije a naziva se rastojanje između tačaka M 1 i H 1 .

Postoje zapisi o definiciji sa figurom dužine okomice.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do linije je dužina okomice povučene iz date tačke na datu pravu.

Definicije su ekvivalentne. Razmotrite sliku ispod.

Poznato je da je udaljenost od tačke do prave najmanja od svih mogućih. Pogledajmo ovo na primjeru.

Ako uzmemo tačku Q koja leži na pravoj a, a ne poklapa se sa tačkom M 1, onda dobijamo da se segment M 1 Q naziva kosim, spušten sa M 1 na pravu a. Potrebno je naznačiti da je okomica iz tačke M 1 manja od bilo koje druge kose povučene iz tačke na pravu liniju.

Da biste to dokazali, razmotrite trougao M 1 Q 1 H 1 , gdje je M 1 Q 1 hipotenuza. Poznato je da je njegova dužina uvijek veća od dužine bilo koje noge. Dakle, imamo da je M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Početni podaci za pronalaženje od tačke do prave omogućavaju korištenje nekoliko metoda rješenja: kroz Pitagorinu teoremu, definicije sinusa, kosinusa, tangenta ugla i dr. Većina zadataka ovog tipa rješava se u školi na časovima geometrije.

Kada je pri pronalaženju udaljenosti od tačke do prave moguće uneti pravougaoni koordinatni sistem, tada se koristi koordinatni metod. AT ovaj stav razmotrite dvije glavne metode za pronalaženje željene udaljenosti od date tačke.

Prva metoda uključuje pronalaženje udaljenosti kao okomice povučene iz M 1 na pravu a. Druga metoda koristi normalna jednačina prava linija a da biste pronašli željenu udaljenost.

Ako na ravni postoji tačka sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) koja se nalazi u pravougaoni sistem koordinate, prava a, ali je potrebno pronaći udaljenost M 1 H 1, možete izračunati na dva načina. Hajde da ih razmotrimo.

Prvi način

Ako postoje koordinate tačke H 1 jednake x 2, y 2, tada se udaljenost od tačke do prave izračunava iz koordinata iz formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pređimo sada na pronalaženje koordinata tačke H 1.

Poznato je da prava linija u O x y odgovara jednačini prave linije u ravni. Hajdemo na način da definišemo pravu liniju a kroz pisanje opšte jednačine prave ili jednačine sa nagibom. Sastavljamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na datu pravu a. Označimo liniju sa bukva b . H 1 je tačka preseka pravih a i b, tako da da biste odredili koordinate, morate koristiti artikal u kojem u pitanju na koordinatama tačaka preseka dve prave.

Vidi se da se algoritam za određivanje udaljenosti od date tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a izvodi prema tačkama:

Definicija 3

• pronalaženje opće jednadžbe prave a , koja ima oblik A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ili jednadžbe s koeficijentom nagiba, koja ima oblik y = k 1 x + b 1;
• dobivanje opće jednadžbe prave b, koja ima oblik A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili jednadžbe s nagibom y = k 2 x + b 2 ako pravac b siječe tačku M 1 i okomita je na datu pravu a;
• određivanje koordinata x 2, y 2 tačke H 1, koja je tačka preseka a i b, za to se rešava sistem linearnih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračunavanje potrebne udaljenosti od tačke do prave, koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Teorema može pomoći u odgovoru na pitanje o pronalaženju udaljenosti od date tačke do date prave na ravni.

Teorema

Pravougaoni koordinatni sistem ima O x y ima tačku M 1 (x 1, y 1), iz koje je povučena prava linija a na ravan, datu normalnom jednačinom ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p \u003d 0, jednako modulu vrijednosti dobivene na lijevoj strani jednadžbe normalne pravolinijske, izračunate po x = x 1, y = y 1, znači da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dokaz

Prava a odgovara normalnoj jednačini ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, tada se smatra n → = (cos α , cos β) normalni vektor prava a na udaljenosti od početka do prave a sa p jedinicama. Potrebno je prikazati sve podatke na slici, dodati tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) , gdje je radijus vektor tačke M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Od tačke do prave je potrebno povući pravu liniju koju ćemo označiti sa M 1 H 1 . Potrebno je prikazati projekcije M 2 i H 2 tačaka M 1 i H 2 na pravu koja prolazi kroz tačku O sa usmjeravajućim vektorom oblika n → = (cos α , cos β) i numeričkom projekcijom vektora će biti označeno kao O M 1 → = (x 1 , y 1) u pravcu n → = (cos α , cos β) kao n p n → O M 1 → .

Varijacije zavise od lokacije same tačke M 1. Razmotrite sliku ispod.

Rezultate fiksiramo pomoću formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Zatim donosimo jednakost u ovaj oblik M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p da bismo dobili n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Skalarni proizvod vektori kao rezultat daje transformisanu formulu oblika n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , koja je proizvod u koordinatnom obliku oblika n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Otuda dobijamo da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iz toga slijedi da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorema je dokazana.

Dobijamo da se za pronalaženje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a na ravni mora izvršiti nekoliko radnji:

Definicija 4

• dobijanje normalne jednačine prave a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod uslovom da nije u zadatku;
• izračunavanje izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , pri čemu rezultirajuća vrijednost uzima M 1 H 1 .

Primijenimo ove metode za rješavanje problema s pronalaženjem udaljenosti od tačke do ravni.

Primjer 1

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 1 , 2) do prave 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Rješenje

Koristimo prvi metod za rješavanje.

Da biste to učinili, morate pronaći opštu jednačinu prave b, koja prolazi kroz datu tačku M 1 (- 1 , 2) okomito na pravu 4 x - 3 y + 35 = 0 . Iz uslova se vidi da je prava b okomita na pravu a, tada njen vektor pravca ima koordinate jednake (4, - 3) . Tako imamo priliku da napišemo kanonsku jednačinu prave b na ravni, pošto postoje koordinate tačke M 1, koja pripada pravoj b. Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave b . Dobijamo da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Rezultirajuća kanonska jednačina se mora pretvoriti u opštu. Onda to shvatamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nađimo koordinate tačaka presjeka pravih koje ćemo uzeti kao oznaku H 1. Transformacije izgledaju ovako:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz navedenog imamo da su koordinate tačke H 1 (- 5; 5) .

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke M 1 do prave a. Imamo da su koordinate tačaka M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), zatim ubacimo u formulu za pronalaženje udaljenosti i dobijemo da

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 \u003d 5

Drugo rješenje.

Za rješavanje na drugi način potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave. Izračunavamo vrijednost faktora normalizacije i množimo obje strane jednačine 4 x - 3 y + 35 = 0 . Odavde dobijamo da je faktor normalizacije - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , a normalna jednačina će biti oblika - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Prema algoritmu proračuna potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave i izračunati je sa vrijednostima x = - 1 , y = 2 . Onda to shvatamo

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Odavde dobijamo da rastojanje od tačke M 1 (- 1 , 2) do date prave 4 x - 3 y + 35 = 0 ima vrednost - 5 = 5 .

odgovor: 5 .

Vidi se da u ovu metodu važno je koristiti normalnu jednačinu prave, jer je ova metoda najkraća. Ali prva metoda je zgodna po tome što je dosljedna i logična, iako ima više računskih bodova.

Primjer 2

Na ravni se nalazi pravougaoni koordinatni sistem O x y sa tačkom M 1 (8, 0) i pravom linijom y = 1 2 x + 1. Pronađite udaljenost od date tačke do prave linije.

Rješenje

Rješenje na prvi način podrazumijeva smanjenje zadata jednačina sa nagibom jednačine opšti pogled. Da pojednostavimo, možete to učiniti drugačije.

Ako proizvod nagiba okomitih linija ima vrijednost - 1, onda nagib prava okomita na dato y = 1 2 x + 1 ima vrijednost 2 . Sada dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (8, 0) . Imamo da je y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nastavljamo s pronalaženjem koordinata tačke H 1, odnosno tačaka presjeka y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Sastavljamo sistem jednačina i dobijamo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x = 6 \u003d y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iz toga slijedi da je udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (8 , 0) do prave y = 1 2 x + 1 jednaka udaljenosti od početne i krajnje tačke sa koordinatama M 1 (8 , 0) i H 1 (6 , 4) . Izračunajmo i dobijemo da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Rješenje na drugi način je prijeći iz jednačine s koeficijentom u njen normalni oblik. To jest, dobijamo y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, tada će vrijednost faktora normalizacije biti - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Iz toga slijedi da normalna jednačina prave linije ima oblik - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Izračunajmo od tačke M 1 8 , 0 do prave linije oblika - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Dobijamo:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

odgovor: 2 5 .

Primjer 3

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 2 , 4) do pravih 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0 .

Rješenje

Dobijamo jednačinu normalnog oblika prave linije 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Zatim prelazimo na izračunavanje udaljenosti od tačke M 1 - 2, 4 do prave linije x - 3 2 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Jednačina prave linije y + 1 = 0 ima faktor normalizacije sa vrijednošću -1. To znači da će jednačina imati oblik - y - 1 = 0 . Nastavljamo računati udaljenost od tačke M 1 (- 2 , 4) do prave - y - 1 = 0 . Dobijamo da je jednako - 4 - 1 = 5.

odgovor: 3 1 2 i 5 .

Pogledajmo bliže pronalaženje udaljenosti od date tačke ravni do koordinatne ose O x i O y.

U pravokutnom koordinatnom sistemu, os O y ima jednadžbu prave linije, koja je nepotpuna i ima oblik x = 0, a O x - y = 0. Jednačine su normalne za koordinatne ose, tada je potrebno pronaći rastojanje od tačke sa koordinatama M 1 x 1 , y 1 do pravih linija. Ovo se radi na osnovu formula M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1 . Razmotrite sliku ispod.

Primjer 4

Pronađite udaljenost od tačke M 1 (6, - 7) do koordinatnih linija koje se nalaze u ravni O x y.

Rješenje

Budući da se jednadžba y = 0 odnosi na pravu O x, možete pronaći udaljenost od M 1 sa date koordinate, u ovaj red, koristeći formulu. Dobijamo da je 6 = 6.

Budući da se jednadžba x \u003d 0 odnosi na liniju O y, možete pronaći udaljenost od M 1 do ove linije pomoću formule. Tada dobijamo da je - 7 = 7.

odgovor: udaljenost od M 1 do O x ima vrijednost 6, a od M 1 do O y vrijednost 7.

Kada u trodimenzionalni prostor imamo tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), potrebno je pronaći rastojanje od tačke A do prave a.

Razmotrite dva načina koji vam omogućavaju da izračunate udaljenost od tačke do prave linije a koja se nalazi u prostoru. Prvi slučaj razmatra rastojanje od tačke M 1 do prave, gde se tačka na pravoj naziva H 1 i osnova je okomice povučene iz tačke M 1 na pravu a. Drugi slučaj sugeriše da se tačke ove ravni moraju tražiti kao visina paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo da je udaljenost od tačke M 1 koja se nalazi na pravoj a dužina okomice M 1 H 1, onda to dobijemo sa pronađenim koordinatama tačke H 1, zatim nalazimo udaljenost između M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1, y 1, z 1) na osnovu formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Dobijamo da se cijelo rješenje svodi na pronalaženje koordinata osnove okomice povučene iz M 1 na pravu a. Ovo se radi na sledeći način: H 1 je tačka u kojoj se prava a seče sa ravni koja prolazi kroz datu tačku.

To znači da algoritam za određivanje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a prostora podrazumeva nekoliko tačaka:

Definicija 5

• sastavljanje jednačine ravnine χ kao jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na pravu;
• određivanje koordinata (x 2 , y 2 , z 2) koje pripadaju tački H 1 koja je tačka preseka prave a i ravni χ ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Drugi način

Iz uslova imamo pravu a, tada možemo odrediti vektor pravca a → = a x, a y, a z sa koordinatama x 3, y 3, z 3 i određena tačka M 3 koji pripada liniji a. S obzirom na koordinate tačaka M 1 (x 1 , y 1) i M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → može se izračunati:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Potrebno je odgoditi vektore a → \u003d a x, a y, a z i M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 iz tačke M 3, povezati i dobiti figura paralelograma. M 1 H 1 je visina paralelograma.

Razmotrite sliku ispod.

Imamo da je visina M 1 H 1 željeno rastojanje, onda je morate pronaći pomoću formule. Odnosno, tražimo M 1 H 1 .

Označite površinu paralelograma slovom S, nalazi se po formuli pomoću vektora a → = (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Formula površine ima oblik S = a → × M 3 M 1 → . Također, površina figure jednaka je proizvodu dužina njegovih stranica i visine, dobijamo da je S = a → M 1 H 1 sa a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, što je dužina vektora a → \u003d (a x, a y, a z), koji je jednaka strana paralelogram. Dakle, M 1 H 1 je rastojanje od tačke do prave. Nalazi se po formuli M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Da biste pronašli udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a u prostoru, potrebno je izvršiti nekoliko tačaka algoritma:

Definicija 6

• određivanje vektora pravca a - a → = (a x , a y , a z) ;
• izračunavanje dužine vektora pravca a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• dobijanje koordinata x 3 , y 3 , z 3 koje pripadaju tački M 3 koja se nalazi na pravoj a;
• izračunavanje koordinata vektora M 3 M 1 → ;
• pronalaženje unakrsnog proizvoda vektora a → (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 kao a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 da se dobije dužina prema formuli a → × M 3 M 1 → ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rješavanje zadataka o pronalaženju udaljenosti od date tačke do date prave linije u prostoru

Primjer 5

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 2 , - 4 , - 1 do prave x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Rješenje

Prva metoda počinje pisanjem jednačine ravni χ koja prolazi kroz M 1 i okomita je na datu tačku. Dobijamo izraz kao:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Potrebno je pronaći koordinate tačke H 1, koja je tačka preseka sa ravni χ na pravu zadatu uslovom. Neophodno je preći sa kanonskog oblika na onaj koji se ukršta. Tada dobijamo sistem jednadžbi oblika:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Potrebno je izračunati sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovom metodom, onda dobijamo:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Dakle, imamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Drugi način je da započnete traženjem koordinata u kanonska jednačina. Da biste to učinili, obratite pažnju na nazivnike razlomka. Tada je a → = 2 , - 1 , 5 vektor pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Potrebno je izračunati dužinu koristeći formulu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je da prava x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 siječe tačku M 3 (- 1 , 0 , - 5), pa imamo da je vektor sa ishodištem M 3 (- 1 , 0 , - 5) i njegov kraj u tački M 1 2 , - 4 , - 1 je M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Naći vektorski proizvod a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Dobijamo izraz oblika a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

dobijamo da je dužina unakrsnog proizvoda a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Imamo sve podatke da koristimo formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke za pravu liniju, pa je primijenimo i dobijemo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

odgovor: 11 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter