Kako definirati linearnu jednačinu. Opšti oblik dvostrukih nejednačina

Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomska industrija at matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta ( transportni zadatak) ili postavljanje opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u oblasti matematike, već iu fizici, hemiji i biologiji, kada se rešavaju problemi određivanja veličine populacije.

sistem linearne jednačine imenovati dvije ili više jednadžbi sa više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednačina

Jednačine oblika ax+by=c nazivaju se linearne. Oznake x, y su nepoznanice, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafika izgledat će kao prava linija, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavniji su primjeri sistema linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješite sistem jednačina - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sistem postaje istinska jednakost, ili utvrditi da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), napisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili ne postoji rješenje, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem nije homogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bi trebalo govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijable.

Suočeni sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati sa brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti proizvoljno veliki broj.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opći analitički način rješavanja slični sistemi, sve metode su zasnovane na numerička rješenja. AT školski kurs matematike, kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, zamjena, kao i grafičke i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavnim metodama rješavanja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješavanje primjera sistema linearnih jednačina 7. klase programa srednja škola prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike, ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednačina po metodi Gauss-a i Cramera detaljnije se proučava na prvim kursevima visokoškolskih ustanova.

Rješenje sistema metodom supstitucije

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na jedan oblik varijable. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo primjer sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F(X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovaj primjer ne uzrokuje poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera primljenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti složene i izraz varijable u terminima druge nepoznate bit će previše glomazan za dalje proračune. Kada postoji više od 3 nepoznate u sistemu, rešenje zamene je takođe nepraktično.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje korištenjem algebarskog sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja, sabiranje po član i množenje jednačina sa razni brojevi. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina sa jednom promenljivom.

Za aplikacije ovu metodu potrebna je praksa i posmatranje. Nije lako riješiti sistem linearnih jednadžbi metodom sabiranja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko sabiranje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam akcije rješenja:

Pomnožite obje strane jednačine nekim brojem. Kao rezultat aritmetička operacija jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednadžbu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba da pronađe rješenje za najviše dvije jednačine, broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava s obzirom na unesenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta po dobro poznata formula: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminanta, b, a, c su množitelji polinoma. AT dati primjer a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako je diskriminant Iznad nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda je da se nadograđuje koordinatna osa grafike svake jednačine uključene u sistem. Koordinate tačaka preseka krivih i biće zajedničko rešenje sistemima.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednadžbi na vizuelni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, za svaku liniju su konstruirane dvije tačke, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka pravih je rešenje sistema.

Sljedeći primjer treba pronaći grafičko rješenje sistemi linearnih jednačina: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruišu, postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za skraćenica sistemi linearnih jednačina. Tabela se zove matrica. posebna vrsta ispunjen brojevima. n*m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak. Matrica - vektor je matrica od jednog stupca sa beskonačno mogući broj linije. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za transformaciju sistema jednačina u matricu

Što se tiče sistema jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednačina zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Red matrice se naziva ne-nula ako barem jedan element reda nije jednak nuli. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice svi elementi matrice se sukcesivno množe brojem.

Opcije za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 - inverzna matrica, i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti elemente dijagonalno jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih notacija pri rješavanju sistema sa velika količina varijable i jednačine.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješenje sistema Gaussovom metodom

AT višu matematiku Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss-Cramerovom metodom rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabli sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima koja koriste zamjene i algebarsko sabiranje ali sistematičnije. U školskom predmetu se koristi Gausovo rješenje za sisteme od 3 i 4 jednačine. Svrha metode je da se sistem dovede u oblik obrnutog trapeza. način algebarske transformacije a supstitucije je vrijednost jedne varijable u jednoj od jednadžbi sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, a 3 i 4 - sa 3 i 4 varijable, respektivno.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja je opisan na sljedeći način:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, koja se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu učenicima je teško razumjeti srednja škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina da se razvije domišljatost djece upisane u program dubinska studija na časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni termini su zapisani u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje koje se izvode s jednim od redova. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i nastavlja izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat toga, treba dobiti matricu u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti proračune s brojevima obje strane jednačine.

Ova notacija je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometa navođenje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.

Važne napomene!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

Šta su "linearne jednačine"

ili u oralni- po tri prijatelja su dobili jabuke, na osnovu činjenice da Vasya ima jabuke ukupno.

A sada ste odlučili linearna jednačina
Sada dajmo ovom terminu matematičku definiciju.

Linearna jednačina - ovo je algebarska jednačina, čiji je ukupan stepen njegovih sastavnih polinoma jednak. izgleda ovako:

Gdje i su bilo koji brojevi i

Za naš slučaj sa Vasjom i jabukama, napisaćemo:

- "ako Vasja sva tri prijatelja da isti broj jabuka, neće mu ostati jabuka"

"Skrivene" linearne jednadžbe, ili važnost identičnih transformacija

Unatoč činjenici da je na prvi pogled sve krajnje jednostavno, pri rješavanju jednadžbi morate biti oprezni, jer se linearnim jednadžbama nazivaju ne samo jednadžbe oblika, već i sve jednadžbe koje se transformacijama i pojednostavljivanjima svode na ovaj oblik. Na primjer:

Vidimo da je na desnoj strani, što, teoretski, već ukazuje da jednačina nije linearna. Štaviše, ako otvorimo zagrade, dobićemo još dva pojma u kojima će biti, ali nemojte prenagliti sa zaključcima! Prije nego što ocijenimo da li je jednadžba linearna, potrebno je izvršiti sve transformacije i na taj način pojednostaviti originalni primjer. U ovom slučaju, transformacije se mogu promijeniti izgled, ali ne i samu suštinu jednačine.

Drugim riječima, ove transformacije moraju biti identičan ili ekvivalentno. Postoje samo dvije takve transformacije, ali igraju vrlo, JAKO važnu ulogu prilikom rešavanja problema. Razmotrimo obje transformacije na konkretnim primjerima.

Krećite se lijevo - desno.

Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednačinu:

Takođe u osnovna škola rečeno nam je: "sa X - lijevo, bez X - desno." Koji je izraz sa x na desnoj strani? Dobro, ne kako ne. I ovo je važno, jer ako se ovo pogrešno shvati, čini se jednostavno pitanje, daje netačan odgovor. A koji je izraz sa x na lijevoj strani? Ispravno, .

Sada kada smo se pozabavili ovim, prenosimo sve pojmove sa nepoznanicama lijeva strana, i sve što je poznato - udesno, sjećajući se da ako ispred broja nema znaka, na primjer, onda je broj pozitivan, odnosno prethodi mu znak "".

Preseljeno? šta si dobio?

Sve što je preostalo je voditi kao termini. Predstavljamo:

Dakle, uspješno smo raščlanili prvu identičnu transformaciju, iako sam siguran da ste je već znali i aktivno koristili bez mene. Glavna stvar - ne zaboravite na znakove za brojeve i promijenite ih na suprotno pri prijenosu kroz znak jednakosti!

Množenje-dijeljenje.

Počnimo odmah s primjerom

Gledamo i razmišljamo: šta nam se ne sviđa u ovom primjeru? Nepoznato je sve u jednom delu, poznato - u drugom, ali nas nešto koči... A ovo je nešto - četvorka, jer da je nema, sve bi bilo savršeno - x jednak je broju- baš onako kako želimo!

Kako ga se možete riješiti? Ne možemo preneti na desno, jer tada treba da prenesemo ceo množilac (ne možemo ga uzeti i otkinuti od njega), a prenošenje celog množitelja takođe nema smisla...

Vrijeme je da se prisjetimo podjele, u vezi s kojom ćemo sve podijeliti na! Sve - to znači i lijevo i desna strana. Tako i samo tako! Šta dobijamo?

Evo odgovora.

Pogledajmo sada još jedan primjer:

Pogodite šta učiniti u ovom slučaju? Tako je, pomnožite lijevi i desni dio sa! Kakav ste odgovor dobili? Ispravno. .

Sigurno ste već znali sve o identičnim transformacijama. Smatrajte da smo vam upravo osvježili ovo znanje u sjećanju i vrijeme je za nešto više - Na primjer, da riješimo naš veliki primjer:

Kao što smo ranije rekli, gledajući je, ne možete reći da je ova jednadžba linearna, ali moramo otvoriti zagrade i izvršiti identične transformacije. Pa počnimo!

Za početak, prisjetimo se formula za skraćeno množenje, posebno kvadrata zbira i kvadrata razlike. Ako se ne sjećate o čemu se radi i kako se otvaraju zagrade, toplo preporučujem da pročitate temu, jer će vam ove vještine biti korisne prilikom rješavanja gotovo svih primjera pronađenih na ispitu.
Otkriveno? uporedi:

Sada je vrijeme da donesete slične uslove. Sjećate li se kako smo u istom osnovna škola jesu li rekli "mi ne stavljamo muhe sa kotletima"? Evo podsjećam vas na ovo. Sve dodajemo posebno - faktore koji imaju, faktore koji imaju i ostale faktore koji nemaju nepoznanice. Dok donosite slične termine, pomerite sve nepoznate ulevo, a sve što je poznato udesno. šta si dobio?

Kao što vidite, x-kvadrat je nestao, a mi vidimo potpuno običan linearna jednačina. Ostaje samo pronaći!

I na kraju, reći ću još jednu vrlo važna stvar o identičnim transformacijama - identične transformacije su primjenjive ne samo za linearne jednadžbe, već i za kvadratne, frakciono racionalne i druge. Samo trebate zapamtiti da pri prijenosu faktora kroz znak jednakosti mijenjamo predznak u suprotan, a kada dijelimo ili množimo nekim brojem, množimo / dijelimo obje strane jednadžbe istim brojem.

Šta ste još izvukli iz ovog primjera? Da gledajući jednačinu nije uvijek moguće direktno i tačno odrediti da li je linearna ili ne. Prvo morate potpuno pojednostaviti izraz, pa tek onda suditi o čemu se radi.

Linearne jednadžbe. Primjeri.

Evo još nekoliko primjera koje možete sami vježbati - odredite je li jednadžba linearna i ako jeste, pronađite njezin korijen:

odgovori:

1. Is.

2. Nije.

Hajde da otvorimo zagrade i damo slične pojmove:

Napravimo identičnu transformaciju - dijelimo lijevi i desni dio na:

Vidimo da jednačina nije linearna, pa nema potrebe tražiti njene korijene.

3. Is.

Napravimo identičnu transformaciju - pomnožimo lijevi i desni dio sa da se riješimo nazivnika.

Razmislite zašto je to toliko važno? Ako znate odgovor na ovo pitanje, prelazimo na daljnje rješavanje jednadžbe, ako ne, svakako pogledajte temu kako ne biste pogriješili u više teški primjeri. Usput, kao što vidite, situacija u kojoj je to nemoguće. Zašto?
Dakle, idemo naprijed i preuredimo jednačinu:

Ako ste se sa svime snašli bez poteškoća, hajde da pričamo o linearnim jednačinama sa dve varijable.

Linearne jednadžbe s dvije varijable

Pređimo sada na malo komplikovaniju - linearne jednačine sa dvije varijable.

Linearne jednadžbe sa dvije varijable izgledaju ovako:

Gdje, i su bilo koji brojevi i.

Kao što vidite, jedina razlika je u tome što se jednadžbi dodaje još jedna varijabla. I tako je sve isto - nema x na kvadrat, nema dijeljenja promjenljivom itd. itd.

Koji bi ti doneo životni primjer... Uzmimo istog Vasju. Pretpostavimo da on odluči da će svakom od svoja 3 prijatelja dati isti broj jabuka, a jabuke zadržati za sebe. Koliko jabuka Vasja treba da kupi ako svakom prijatelju da po jednu jabuku? O čemu? Šta ako do?

Ovisnost broja jabuka koje će svaka osoba dobiti ukupno jabuke koje se kupuju biće izražene jednadžbom:

- broj jabuka koje će osoba dobiti (, ili, ili);
- broj jabuka koje će Vasya uzeti za sebe;
- koliko jabuka Vasya treba kupiti, uzimajući u obzir broj jabuka po osobi.

Rješavajući ovaj problem, dobijamo da ako Vasja jednom prijatelju da jabuku, onda on mora kupiti komade, ako daje jabuke - i tako dalje.

I uopšteno govoreći. Imamo dvije varijable. Zašto ne nacrtati ovu zavisnost na grafu? Koordinatama gradimo i obilježavamo vrijednost naše, odnosno tačaka!

Kao što vidite, zavisimo jedni od drugih linearno, otuda i naziv jednadžbi - “ linearno».

Apstrahujemo od jabuka i razmatramo grafički razne jednačine. Pažljivo pogledajte dva konstruisana grafika - pravu liniju i parabolu, date proizvoljnim funkcijama:

Pronađite i označite odgovarajuće tačke na obje slike.
šta si dobio?

To možete vidjeti na grafikonu prve funkcije sam odgovara jedan, odnosno i linearno zavise jedna od druge, što se ne može reći za drugu funkciju. Naravno, možete prigovoriti da na drugom grafu x takođe odgovara - , ali ovo je samo jedna tačka, tj. poseban slučaj, budući da još uvijek možete pronaći onaj koji odgovara više od jednog. A konstruisani graf ni na koji način ne liči na pravu, već je parabola.

Ponavljam, još jednom: grafik linearne jednačine mora biti PRAVA linija.

Uz činjenicu da jednadžba neće biti linearna ako idemo do bilo koje mjere - to je razumljivo na primjeru parabole, iako možete napraviti još nekoliko za sebe jednostavni grafovi, na primjer ili. Ali uvjeravam vas - nijedan od njih neće biti PRAVA LINIJA.

Ne vjerujete? Napravite i zatim uporedite sa onim što sam dobio:

A šta se događa ako nešto podijelimo, na primjer, nekim brojem? Hoće li linearna zavisnost i? Nećemo se svađati, ali ćemo graditi! Na primjer, nacrtajmo graf funkcije.

Nekako ne izgleda kao izgrađena ravna linija ... prema tome, jednadžba nije linearna.
Hajde da rezimiramo:

Linearna jednačina - je algebarska jednadžba u kojoj je ukupan stepen njenih sastavnih polinoma jednak.
Linearna jednačina sa jednom promenljivom izgleda ovako:
, gdje i su bilo koji brojevi;
Linearna jednačina sa dvije varijable:
, gdje i su bilo koji brojevi.
Nije uvijek moguće odmah odrediti da li je jednačina linearna ili ne. Ponekad, da bi se ovo razumjelo, potrebno je izvršiti identične transformacije, pomjeriti slične pojmove lijevo/desno, ne zaboravljajući promijeniti predznak, ili pomnožiti / podijeliti obje strane jednačine istim brojem.

LINEARNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNOM

1. Linearna jednačina

Ovo je algebarska jednadžba u kojoj je ukupan stepen njenih sastavnih polinoma jednak.

2. Linearna jednačina s jednom promjenljivom izgleda kao:

Gdje i su bilo koji brojevi;

3. Linearna jednadžba s dvije varijable izgleda kao:

Gdje i jesu li brojevi.

4. Transformacije identiteta

Da bi se utvrdilo da li je jednadžba linearna ili ne, potrebno je izvršiti identične transformacije:

pomerajte se levo/desno kao pojmovi, ne zaboravljajući da promenite znak;
pomnožite/podijelite obje strane jednačine istim brojem.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješna isporuka Jedinstveni državni ispit, za prijem u institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se mnogo toga otvara pred njima. više mogućnosti i život postaje svetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rešenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Linearna jednačina je algebarska jednačina čiji je puni stepen polinoma jednak jedan. Rješavanje linearnih jednadžbi - dio školski program, i nije najteže. Međutim, neki i dalje imaju poteškoća u prolasku ove teme. Nadamo se da ćemo pročitati dati materijal, sve poteškoće za vas će ostati u prošlosti. Pa, hajde da shvatimo. kako riješiti linearne jednadžbe.

Opšti oblik

Linearna jednačina je predstavljena kao:

ax + b = 0, gdje su a i b bilo koji brojevi.

Iako a i b mogu biti bilo koji broj, njihove vrijednosti utječu na broj rješenja jednadžbe. Postoji nekoliko posebnih slučajeva rješenja:

Ako je a=b=0, jednačina ima beskonačan skup odluke;
Ako je a=0, b≠0, jednačina nema rješenja;
Ako je a≠0, b=0, jednačina ima rješenje: x = 0.

U slučaju da oba broja imaju br null vrijednosti, jednadžba se mora riješiti da bi se dobio konačni izraz za varijablu.

Kako odlučiti?

Rješavanje linearne jednačine znači pronalaženje kojoj je varijabla jednaka. Kako uraditi? Da, vrlo je jednostavno - korištenjem jednostavnih algebarskih operacija i pridržavanjem pravila prijenosa. Ako se jednadžba pojavila pred vama u opštem obliku, imate sreće, sve što trebate učiniti je:

Premjestite b na desnu stranu jednačine, ne zaboravljajući promijeniti predznak (pravilo prijenosa!), Dakle, iz izraza oblika ax + b = 0, treba dobiti izraz oblika ax = -b.
Primijenite pravilo: da biste pronašli jedan od faktora (x - u našem slučaju), trebate podijeliti proizvod (-b u našem slučaju) sa drugim faktorom (a - u našem slučaju). Dakle, treba dobiti izraz oblika: x \u003d -b / a.

To je sve - rešenje je pronađeno!

Pogledajmo sada konkretan primjer:

2x + 4 = 0 - prenosi b jednako ovaj slučaj 4, desna strana
2x = -4 - podijeliti b sa a (ne zaboravite znak minus)
x=-4/2=-2

To je sve! Naše rješenje: x = -2.

Kao što vidite, pronalaženje rješenja linearne jednadžbe s jednom promjenljivom je prilično jednostavno, ali sve je tako jednostavno ako imamo sreće da jednadžbu ispunimo u općem obliku. U većini slučajeva, prije rješavanja jednačine u dva gore opisana koraka, također je potrebno postojeći izraz dovesti u opći oblik. Međutim, to također nije zastrašujući zadatak. Pogledajmo neke posebne slučajeve s primjerima.

Rješavanje posebnih slučajeva

Prvo, pogledajmo slučajeve koje smo opisali na početku članka i objasnimo šta znači imati beskonačan broj rješenja, a nema rješenja.

Ako je a=b=0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 0 = 0. Izvođenjem prvog koraka dobijamo: 0x = 0. Šta znači ova glupost, uzviknete! Uostalom, bez obzira koji broj pomnožite sa nulom, uvijek ćete dobiti nulu! Tačno! Stoga kažu da jednadžba ima beskonačan broj rješenja - koji god broj da uzmete, jednakost će biti istinita, 0x = 0 ili 0 = 0.
Ako je a=0, b≠0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 3 = 0. Izvodimo prvi korak, dobijamo 0x = -3. Opet gluposti! Očigledno je da ova jednakost nikada neće biti istinita! Zato kažu da jednačina nema rješenja.
Ako je a≠0, b=0, jednačina će izgledati ovako: 3x + 0 = 0. Prvim korakom dobijamo: 3x = 0. Koje je rješenje? Lako je, x = 0.

Poteškoće u prevođenju

Opisani konkretni slučajevi nisu sve čime nas linearne jednačine mogu iznenaditi. Ponekad je jednadžba općenito teško identificirati na prvi pogled. Uzmimo primjer:

12x - 14 = 2x + 6

Je li ovo linearna jednadžba? Ali šta je sa nulom na desnoj strani? Nećemo žuriti sa zaključcima, mi ćemo djelovati - sve komponente naše jednadžbe ćemo prenijeti na lijevu stranu. Dobijamo:

12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sada oduzimanjem sličnog od sličnog, dobijamo:

10x - 20 = 0

Naučio? Najlinearnija jednačina ikada! Čije rješenje: x = 20/10 = 2.

Šta ako imamo ovaj primjer:

12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, ovo je također linearna jednadžba, samo je potrebno uraditi još transformacija. Prvo proširimo zagrade:

(12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sada izvršite prijenos:
25x - 4 = 0 - ostaje pronaći rješenje prema već poznatoj shemi:
25x=4
x = 4/25 = 0,16

Kao što vidite, sve je riješeno, glavna stvar je ne brinuti, već djelovati. Zapamtite, ako vaša jednadžba sadrži samo varijable prvog stepena i brojeve, ovo je linearna jednačina, koja se, bez obzira kako izgleda u početku, može svesti na opći oblik i riješiti. Nadamo se da će vam sve uspjeti! Sretno!

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stepenu.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije pomoću algoritma:

Otvorene zagrade, ako ih ima;
Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
Dovedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih mahinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako to sve funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

Prije svega, morate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednji primjer);
Onda donesi slično
Na kraju, izolujte varijablu, tj. sve što je povezano sa varijablom - termini u kojima je sadržana - prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom na "x", i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se greše ili prilikom otvaranja zagrada, ili kod brojanja "plusova" i "minusa".

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Analiziraćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počećemo, kao što ste već shvatili, sa najviše jednostavni zadaci.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

Proširite zagrade, ako ih ima.
Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
Predstavljamo slične termine.
Sve dijelimo koeficijentom na "x".

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovoj fazi. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: mi pričamo samo o pojedinačnim terminima. napišimo:

Slične pojmove dajemo lijevo i desno, ali to je ovdje već urađeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite s faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo posmatrati zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, tj. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali one se ničim ne množe, samo stoje ispred njih razni znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo posljednji korak - sve dijelimo koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, rekao bih sljedeće:

Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne treba ga nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za proširenje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ovoga jednostavna činjenicaće vas spriječiti da napravite glupe i štetne greške u srednjoj školi kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija prilikom izvođenja različitih transformacija. Međutim, toga se ne treba bojati, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Hajdemo sada da uzmemo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očigledno je da zadata jednačina Rešenja nema, pa u odgovoru pišemo:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očigledno, ova linearna jednačina nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "x". Napomena: množite svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, može se otvoriti zagrada sa stanovišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije obavljene, setimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve ispod samo menja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer je rješavanje jednačina uvijek niz elementarne transformacije gde nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnim koracima dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i ponovo uče da rešavaju tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine izbrusiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Uradimo retreat:

Evo nekih poput:

Uradimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što jednačinu čini upravo linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Uradimo prvi korak pažljivo: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno, nakon transformacije treba dobiti četiri nova pojma:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:

Pomerimo pojmove sa "x" ulevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednadžbe je ova: čim počnemo množiti zagrade u kojima je više od jednog člana, onda se to radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom od drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobijamo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

U posljednjem primjeru, želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzimamo sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbir se razlikuje od uobičajenog aritmetičkog zbira.

Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Da bismo riješili takve zadatke, našem algoritmu će morati dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:

Otvorene zagrade.
Odvojene varijable.
Donesite slično.
Podijelite sa faktorom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve akcije i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

Riješite se razlomaka.
Otvorene zagrade.
Odvojene varijable.
Donesite slično.
Podijelite sa faktorom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svuda je imenilac samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot četiri\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku od njih pomnožiti sa "četiri". napišimo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada otvorimo:

Vršimo izdvajanje varijable:

Vršimo redukciju sličnih termina:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Imamo konačna odluka, prelazimo na drugu jednačinu.

Primjer #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
Mogućnost otvaranja zagrada.
Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijela brojevna prava je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite sa nama, čeka vas još mnogo zanimljivih stvari!

Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put suoče s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to je obično slučaj, ali za višu algebru to, općenito govoreći, nije istina.

Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1 , k 2 , ..., k n ), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.

Prema tome, riješiti sistem jednačina znači pronaći skup svih njegovih rješenja ili dokazati da je ovaj skup prazan. Budući da broj jednačina i broj nepoznatih možda nisu isti, moguća su tri slučaja:

Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojom metodom se sistem rješava.
Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najviše tvrda verzija. Nije dovoljno reći da "sistem ima beskonačan skup rješenja" - potrebno je opisati kako je taj skup uređen.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u preostalim jednačinama koeficijent za varijablu x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati dozvoljenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti početni sistem može se svesti na različite dozvoljene sisteme, ali nas to sada ne zanima. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema su dozvoljena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem dozvoljen u odnosu na x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati najnoviju jednačinu u obliku x 5 = x 4 .

Sada razmotrite više opšti slučaj. Pretpostavimo da imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:

Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je kolaborativan i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k \u003d b k;
Broj dozvoljenih varijabli r je manji od ukupan broj varijable k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je vrlo važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete konačni sistem, ista varijabla može biti i dozvoljena i slobodna. Većina naprednih nastavnika matematike preporučuje pisanje varijabli leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, ne morate uopće slijediti ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina varijable x 1 , x 2 , ..., x r dozvoljene, a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k su slobodne, tada:

Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), a zatim pronađemo vrijednosti x 1 , x 2 , . .., x r , dobijamo jedno od rješenja.

Ako su vrijednosti slobodnih varijabli u dva rješenja iste, onda su i vrijednosti dozvoljenih varijabli iste, tj. rješenja su jednaka.

Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja dozvoljenog sistema jednačina, dovoljno je izdvojiti slobodne varijable. Zatim, dodjeljivanje slobodnim varijablama različita značenja, primićemo rješenja po sistemu ključ u ruke. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.

Zaključak: dozvoljeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u dozvoljenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti definitivan; ako je manji, biće neodređen.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako iz originalnog sistema jednačina dobiti riješeno? Za ovo postoji