Primjena određene integralne površine ravne figure. Površina ravne figure

Predavanje 21 Aplikacije definitivni integral(2h)

Geometrijske aplikacije

a) područje figure

Kao što je navedeno u predavanju 19, numerički jednaka površini krivolinijski trapez, ograničena kriva at = f(x) , prave linije X = a, X = b i segment [ a, b] ose OX. Istovremeno, ako f(x) £ 0 na [ a, b], onda integral treba uzeti sa predznakom minus.

Ako je uključeno dati segment funkcija at = f(x) mijenja predznak, a zatim da bi se izračunala površina figure zatvorene između grafika ove funkcije i ose OX, treba segment podijeliti na dijelove na kojima funkcija zadržava svoj predznak i pronaći površinu svaki deo figure. Željena površina u ovom slučaju je algebarski zbir integrala nad ovim segmentima, a integrali koji odgovaraju negativnim vrijednostima funkcije uzimaju se u ovom zbiru sa predznakom minus.

Ako je figura ograničena sa dvije krivulje at = f 1 (x) i at = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), tada je, kao što slijedi sa slike 9, njegova površina jednaka razlici između površina krivolinijskih trapeza a Ned b i a AD b, od kojih je svaki brojčano jednak integralu. znači,

Imajte na umu da se površina figure prikazane na slici 10, a nalazi po istoj formuli: S = (Dokaži to!). Razmislite o tome kako izračunati površinu figure prikazane na slici 10, b?

Govorili smo samo o krivolinijskim trapezima koji su u blizini ose OX. Ali slične formule važe i za figure koje su u blizini y-ose. Na primjer, površina figure prikazane na slici 11 nalazi se po formuli

Pusti liniju y=f(x) može se dati ograničavajući krivolinijski trapez parametarske jednačine , t O , i j(a)= a, j(b) = b, tj. at= . Tada je površina ovog krivolinijskog trapeza

b) Dužina luka krive

Neka postoji kriva at = f(x). Razmotrite luk ove krive koji odgovara promjeni X na segmentu [ a, b]. Nađimo dužinu ovog luka. Da bismo to učinili, dijelimo luk AB na P dijelovi sa točkama A = M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (slika 14), što odgovara tačkama X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].

Označiti D l i dužina luka, dakle l= . Ako su dužine luka D l i dovoljno mali, mogu se smatrati približno jednake dužine odgovarajući segmenti koji povezuju tačke M i-1,M i. Ove tačke imaju koordinate M i -1 (x i -1, f (x i-1)), M i(x i, f(x i)). Tada su dužine segmenata jednake

Ovdje se koristi Lagrangeova formula. Hajde da stavimo x i – x i-1=D x i, dobijamo

Onda l = , gdje

l = .

Dakle, dužina luka krive at = f(x) koji odgovara promjeni X na segmentu [ a, b], nalazi se po formuli

l = , (1)

Ako je kriva data parametarski, t O, tj. y(t) = f(x(t)), onda iz formule (1) dobijamo:

l=
.

Dakle, ako je kriva data parametarski, tada je dužina luka ove krive koja odgovara promjeni t n, nalazi se po formuli

u) Zapremina tijela revolucije.

Fig.15

Zamislite krivolinijski trapez a AB b, ograničeno linijom at = f(x), ravno X = a, X = b i segment [ a,b] ose OX (slika 15). Neka ovaj trapez rotira oko ose OX, rezultat će biti tijelo okretanja. Može se dokazati da će zapremina ovog tijela biti jednaka

Slično, možete izvesti formulu za volumen tijela dobivenu rotacijom oko y-ose krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije X= j( at), ravno y = c , y = d i segment [ c,d] y-osa (slika 15):

Fizičke aplikacije definitivni integral

U 19. predavanju smo dokazali da je, sa fizičke tačke gledišta, integral numerički jednaka masi pravolinijski tanki nehomogeni štap dužine l= b – a, s promjenjivom linearnom gustinom r = f(x), f(x) ³ 0, gdje X je udaljenost od tačke štapa do njegovog lijevog kraja.

Razmotrimo druge fizičke primjene određenog integrala.

Zadatak 1. Pronađite rad potreban za ispumpavanje ulja iz vertikalnog cilindričnog rezervoara visine H i poluprečnika osnove R. Gustoća ulja je r.

Odluka. Hajde da gradimo matematički model ovaj zadatak. Neka os OX prolazi duž ose simetrije cilindra visine H i poluprečnika R, početak - u centru gornje osnove cilindra (Sl. 17). Hajde da podelimo cilindar P mali horizontalni dijelovi. Onda gde Ai- pumpni radovi i th layer. Ova podjela cilindra odgovara podjeli segmenta promjene visine sloja na P dijelovi. Razmotrite jedan od ovih slojeva koji se nalazi na udaljenosti x i od površine, širina D X(ili odmah dx). Ispumpavanje ovog sloja može se smatrati "podizanjem" sloja na visinu x i.

Tada je rad obavljen da se ovaj sloj ispumpa jednak

Ai„R i x i, ,

gdje je P i=rgV i= rgpR 2 dx, R i– težina, V i je zapremina sloja. Onda Ai" R i x i= rgpR 2 dx.x i, gdje

, i stoga .

Zadatak 2. Pronađite moment inercije

a) šuplji cilindar tankih zidova oko ose koja prolazi kroz njegovu osu simetrije;

b) čvrsti cilindar oko ose koja prolazi kroz njegovu osu simetrije;

c) dužina tanke šipke l oko ose koja prolazi kroz njegovu sredinu;

d) dužina tanke šipke l oko ose koja prolazi kroz njen lijevi kraj.

Odluka. Kao što znate, moment inercije tačke oko ose je jednak J=gospodin 2, i sistemi tačaka.

a) Cilindar je tankih stijenki, što znači da se debljina stijenke može zanemariti. Neka su poluprečnik osnove cilindra R, njegova visina H i gustina mase na zidovima jednaki r.

Hajde da podelimo cilindar P dijelove i pronađite gdje J i- moment inercije i-ti element particije.

Razmislite i-ti pregradni element (infinitezimalni cilindar). Sve njegove tačke su na udaljenosti R od ose l. Neka je masa ovog cilindra t i, onda t i= rV i» rs strana= 2prR dx i, gdje x i O. Onda J i» R 2 prR dx i, gdje

Ako je r konstanta, onda J= 2prR 3 N, a pošto je masa cilindra M = 2prRN, onda J= MR 2 .

b) Ako je cilindar čvrst (napunjen), onda ga dijelimo na P vlo tanki cilindri smešteni jedan u drugi. Ako P veliki, svaki od ovih cilindara se može smatrati tankozidnim. Ova particija odgovara particiji segmenta na P dijelovi po tačkama R i. Nađimo masu i-ti cilindar tankih zidova: t i= rV i, gdje

V i=pR i 2 H - pR ja- 1 2 H \u003d pH (R i 2-R i -1 2) =

PH(R i-R i-1)(R i+R i -1).

Pošto su zidovi cilindra tanki, možemo pretpostaviti da je R i+R i-1 » 2R i, i R i-R i-1=DR i, zatim V i» pH2R i DR i, gdje t i» rpN×2R i DR i,

Onda konačno

c) Razmotrimo štap dužine l, čija je gustina mase jednaka r. Neka os rotacije prolazi kroz njegovu sredinu.

Modeliramo štap kao segment ose OX, tada je osa rotacije štapa osa OY. Razmotrimo elementarni segment, njegovu masu, udaljenost do ose može se smatrati približno jednakim r i= x i. Tada je moment inercije ovog presjeka , odakle je moment inercije cijelog štapa . S obzirom da je masa štapa , Onda

d) Neka sada osa rotacije prođe kroz lijevi kraj štapa, tj. model štapa je segment ose OX. Zatim na sličan način, r i= x i, , gdje , i od , tada .

Zadatak 3. Odrediti silu pritiska fluida gustine r na pravougli trougao sa kracima a i b, uronjen okomito u tečnost tako da noga a nalazi se na površini tečnosti.

Odluka.

Napravimo model zadatka. Neka vrh pravi ugao trougao je u početku, krak a poklapa se sa segmentom ose OY (os OY određuje površinu tečnosti), os OX je usmerena nadole, krak b poklapa se sa segmentom ove ose. Hipotenuza ovog trokuta ima jednadžbu , ili .

Poznato je da ako je na horizontalnoj površini područja S, uronjen u tečnost gustine r, pritisnut je stubom tečnosti visine h, tada je sila pritiska jednaka (Paskalov zakon). Koristimo ovaj zakon.

Definitivni integral (OI) se široko koristi u praktičnim primjenama matematike i fizike.

Konkretno, u geometriji, uz pomoć OR, nalaze se područja jednostavne figure i složene površine, zapremine tela obrtanja i tela proizvoljnog oblika, dužine krivina u ravni i u prostoru.

u fizici i teorijske mehanike RI se koristi za izračunavanje statičkih momenata, masa i centara mase materijalnih krivina i površina, za izračunavanje rada promjenjive sile duž zakrivljene putanje itd.

Površina ravne figure

Neka neka ravan figurira u kartezijanskom pravougaoni sistem koordinate $xOy$ je odozgo ograničeno krivom $y=y_(1) \left(x\right)$, dolje krivom $y=y_(2) \left(x\right)$, a lijevo i desno okomitim linijama $ x=a$ i $x=b$ respektivno. AT opšti slučaj površina takve figure se izražava pomoću ILI $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left( x\desno)\desno )\cdot dx $.

Ako je neka ravna figura u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu $xOy$ s desne strane ograničena krivom $x=x_(1) \left(y\right)$, s lijeve strane - krivom $x=x_(2 ) \left(y\right) $, a ispod i iznad horizontalnim linijama $y=c$ i $y=d$, respektivno, tada se površina takve figure izražava pomoću OI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Neka se razmatra ravna figura (krivolinijski sektor). polarnog sistema koordinate, formiran je grafikom kontinuirane funkcije $\rho =\rho \left(\phi \right)$, kao i dvije zrake koje prolaze pod uglovima $\phi =\alpha $ i $\phi =\ beta $, respektivno. Formula za izračunavanje površine takvog krivolinijskog sektora je: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

Dužina luka krive

Ako na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ krivulja je data jednadžbom $\rho =\rho \left(\phi \right)$ u polarnim koordinatama, a zatim se dužina njenog luka izračunava pomoću OR $L=\int \limits _ (\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $.

Ako je kriva na segmentu $\left$ data jednadžbom $y=y\left(x\right)$, tada se dužina njenog luka izračunava pomoću ILI $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $.

Ako na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ kriva je data parametarski, tj. $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, zatim se dužina njenog luka izračunava pomoću ILI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Proračun volumena tijela iz površina paralelnih presjeka

Neka je potrebno pronaći volumen prostornog tijela čije koordinate tačke zadovoljavaju uslove $a\le x\le b$, i za koje su površine poprečnog presjeka $S\left(x\right)$ ravninama okomitim na $Ox$ osa je poznata.

Formula za izračunavanje zapremine takvog tela je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Volumen tijela revolucije

Neka je na segmentu $\left$ data nenegativna kontinuirana funkcija $y=y\left(x\right)$, formirajući krivolinijski trapez (KrT). Ako ovu CRT rotiramo oko $Ox$ ose, tada se formira tijelo, koje se zove tijelo okretanja.

Izračunavanje zapremine tela obrtanja je poseban slučaj izračunavanja zapremine tela iz poznati trgovi njegovih paralelnih sekcija. Odgovarajuća formula je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx $.

Neka je neka ravna figura u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu $xOy$ odozgo ograničena krivom $y=y_(1) \left(x\right)$, odozdo krivom $y=y_(2) \left (x\right)$ , gdje su $y_(1) \left(x\right)$ i $y_(2) \left(x\right)$ nenegativne kontinuirane funkcije, a okomite linije $x=a$ i $x= b$ respektivno. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko $Ox$ ose izražava sa ILI $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) ^(2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Neka je neka ravna figura u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu $xOy$ s desne strane ograničena krivom $x=x_(1) \left(y\right)$, s lijeve strane - krivom $x=x_(2 ) \left(y\right)$ , gdje su $x_(1) \left(y\right)$ i $x_(2) \left(y\right)$ nenegativne kontinuirane funkcije, a horizontalne linije $y =c$ i $y= d$ respektivno. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko $Oy$ ose izražava OI $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Površina okretnog tijela

Neka je na segmentu $\left$ data nenegativna funkcija $y=y\left(x\right)$ sa kontinuiranim izvodom $y"\left(x\right)$. Ova funkcija formira KrT. Ako rotiramo ovaj KrT oko ose $Ox $, tada on sam formira tijelo okretanja, a luk KrT je njegova površina. Površina takvog tijela okretanja izražava se formulom $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Pretpostavimo da je kriva $x=\phi \left(y\right)$, gdje je $\phi \left(y\right)$ nenegativna funkcija definirana na segmentu $c\le y\le d$, se rotira oko ose $Oy$. U ovom slučaju, površina formiranog tijela okretanja se izražava kao ILI $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

Fizičke primjene OI

Da biste izračunali pređenu udaljenost u vrijeme $t=T$ s promjenjivom brzinom $v=v\left(t\right)$ materijalne tačke koja je počela da se kreće u vrijeme $t=t_(0) $, koristite OR $ S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
Za izračunavanje rada varijabilne sile $F=F\left(x\right)$ primijenjene na materijalna tačka krećući se dalje prava staza duž $Ox$ ose od tačke $x=a$ do tačke $x=b$ (smjer sile se poklapa sa smjerom kretanja) koristite OR $A=\int \limits _(a)^ (b)F\levo(x \desno)\cdot dx$.
Statički momenti u odnosu na koordinatne ose materijalna kriva $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$ izražena je formulama $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ lijevo(x\ desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, pri čemu se pretpostavlja da je linearna gustina $\rho $ ove krive konstantna.
Centar mase materijalne krive je tačka u kojoj je njena cijela masa uvjetno koncentrirana na način da su statički momenti točke u odnosu na koordinatne osi jednaki odgovarajućim statičkim momentima cijele krivulje u cjelini.

Formule za izračunavanje koordinata centra mase ravne krive su $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) ) \left(x\ desno)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ i $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right) ) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

Statički momenti materijala ravna figura u obliku KrT u odnosu na koordinatne ose izražene su formulama $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^ (2) \left(x\ desno)\cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
Koordinate centra mase materijalne ravne figure u obliku KrT, koju formira kriva $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$, izračunavaju se po formulama $x_( C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\desno)\cdot dx ) $ i $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \desno)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

Predavanja 8. Primene određenog integrala.

Primjena integrala na fizički zadaci zasniva se na svojstvu aditivnosti integrala nad skupom. Stoga se uz pomoć integrala mogu izračunati one veličine koje su same po sebi aditivne u skupu. Na primjer, površina figure jednaka je zbiru površina njenih dijelova.Ista svojstva imaju dužina luka, površina, zapremina tijela i masa tijela. Stoga se sve ove veličine mogu izračunati pomoću određenog integrala.

Postoje dva načina za rješavanje problema: metoda integralnih suma i metoda diferencijala.

Metoda integralnih suma ponavlja konstrukciju određenog integrala: konstruiše se particija, označavaju tačke, u njima se računa funkcija, izračunava se integralni zbir i vrši se prelazak do granice. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da će se u granici dobiti upravo ono što je potrebno u problemu.

Diferencijalna metoda koristi neodređeni integral i Newton–Leibnizovu formulu. Izračunava se diferencijal vrijednosti koju treba odrediti, a zatim se, integrirajući ovaj diferencijal, dobiva tražena vrijednost pomoću Newton-Leibnizove formule. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da se izračunava diferencijal željene vrijednosti, a ne nešto drugo.

Izračunavanje površina ravnih figura.

1. Slika je ograničena na graf funkcije navedene u Kartezijanski sistem koordinate.

Do koncepta određenog integrala došli smo iz problema površine krivolinijskog trapeza (u stvari, koristeći metodu integralnih suma). Ako funkcija prihvaća samo ne negativne vrijednosti, tada se površina ispod grafika funkcije na segmentu može izračunati pomoću određenog integrala. primeti, to pa ovdje možete vidjeti metodu diferencijala.

Ali funkcija također može uzeti negativne vrijednosti na određenom segmentu, tada će integral nad ovim segmentom dati negativnu površinu, što je u suprotnosti s definicijom površine.

Možete izračunati površinu koristeći formuluS=. Ovo je ekvivalentno promjeni predznaka funkcije u onim područjima u kojima ona uzima negativne vrijednosti.

Ako trebate izračunati površinu figure ograničenu odozgo grafom funkcije, a odozdo grafom funkcije, tada možete koristiti formuluS= , kao .

Primjer. Izračunajte površinu figure ograničene pravim linijama x=0, x=2 i grafovima funkcija y=x 2 , y=x 3 .

Imajte na umu da je na intervalu (0,1) zadovoljena nejednakost x 2 > x 3, a za x > 1 nejednakost x 3 > x 2. dakle

2. Slika je ograničena na grafik funkcije date u polarnom koordinatnom sistemu.

Neka je graf funkcije dat u polarnom koordinatnom sistemu i želimo da izračunamo površinu krivolinijskog sektora omeđenog sa dva zraka i grafik funkcije u polarnom koordinatnom sistemu.

Ovdje možete koristiti metodu integralnih suma, računajući površinu zakrivljenog sektora kao granicu zbira površina elementarnih sektora u kojima je graf funkcije zamijenjen lukom kružnice .

Možete koristiti i diferencijalnu metodu: .

Možete razmišljati ovako. Zamjena elementarnog krivolinijskog sektora koji odgovara centralni ugao kružni sektor, imamo proporciju . Odavde . Integracijom i upotrebom Newton-Leibnizove formule dobijamo .

Primjer. Izračunajte površinu kruga (provjerite formulu). Mi vjerujemo . Površina kruga je .

Primjer. Izračunajte površinu ograničenu kardioidom .

3 Slika je ograničena na graf funkcije specificirane parametarski.

Funkcija se može odrediti parametarski u obliku . Koristimo formulu S= , zamjenjujući u njega granice integracije u odnosu na novu varijablu . . Obično se pri izračunavanju integrala razlikuju ona područja u kojima integrand ima određeni predznak i uzima se u obzir odgovarajuća oblast s ovim ili onim predznakom.

Primjer. Izračunajte površinu zatvorenu elipsom.

Koristeći simetriju elipse, izračunavamo površinu četvrtine elipse, koja se nalazi u prvom kvadrantu. u ovom kvadrantu. Stoga .

Proračun volumena tijela.

1. Proračun volumena tijela iz površina paralelnih presjeka.

Neka je potrebno izračunati zapreminu nekog tijela V iz poznatih površina presjeka ovog tijela ravninama okomitim na pravu OX, povučenu kroz bilo koju tačku x odsječka OX.

Primjenjujemo metodu diferencijala. Uzimajući u obzir elementarnu zapreminu iznad segmenta kao zapreminu pravog kružnog cilindra sa baznom površinom i visinom, dobijamo . Integracijom i primjenom Newton-Leibnizove formule dobijamo

2. Proračun volumena tijela okretanja.

Neka je potrebno izračunati OX.

Onda .

Isto tako, zapremina tela obrtanja oko oseOY, ako je funkcija data u obliku , može se izračunati pomoću formule .

Ako je funkcija data u obliku i potrebno je odrediti volumen tijela rotacije oko oseOY, onda se formula za izračunavanje volumena može dobiti na sljedeći način.

Prelazeći na diferencijal i zanemarujući kvadratne članove, imamo . Integracijom i primjenom Newton-Leibnizove formule imamo .

Primjer. Izračunajte zapreminu sfere.

Primjer. Izračunajte zapreminu pravog kružnog konusa ograničenog površinom i ravninom.

Izračunajte zapreminu kao zapreminu obrtnog tela formiranog rotacijom oko OZ ose pravougaonog trougla u ravnini OXZ, čije noge leže na osi OZ i pravoj z \u003d H, a hipotenuza leži na pravoj.

Izražavajući x u terminima z, dobijamo .

Proračun dužine luka.

Da bismo dobili formule za izračunavanje dužine luka, prisjetimo se formula za diferencijal dužine luka izvedenih u 1. polugodištu.

Ako je luk graf kontinuirano diferencibilne funkcije, diferencijal dužine luka može se izračunati po formuli

. dakle

Ako je glatki luk parametarski specificiran, onda

. dakle .

Ako je luk u polarnim koordinatama, onda

. dakle .

Primjer. Izračunajte dužinu luka grafa funkcije, . .

Početna > Predavanje

Predavanje 18. Primjena određenog integrala.

18.1. Izračunavanje površina ravnih figura.

Poznato je da je definitivni integral na segmentu površina krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije f(x). Ako se graf nalazi ispod x-ose, tj. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, tada područje ima znak “+”.

Formula se koristi za pronalaženje ukupne površine.

Područje figure ograničene nekim linijama može se pronaći pomoću određenih integrala ako su poznate jednadžbe ovih linija.

Primjer. Pronađite površinu figure ograničenu linijama y = x, y = x 2, x = 2.

Željeno područje (osenčeno na slici) možete pronaći po formuli:

18.2. Pronalaženje površine krivolinijskog sektora.

Da bismo pronašli površinu krivolinijskog sektora, uvodimo polarni koordinatni sistem. Jednačina krive koja ograničava sektor u ovom koordinatnom sistemu ima oblik  = f(), gdje je  dužina radijus vektora koji povezuje pol sa proizvoljna tačka kriva, i  - ugao nagiba ovog radijus-vektora prema polarnoj osi.

Područje zakrivljenog sektora može se pronaći po formuli

18.3. Proračun dužine luka krive.

y y = f(x)

S i y i

Dužina polilinije koja odgovara luku može se naći kao
.

Tada je dužina luka
.

Od geometrijska razmatranja:

U isto vrijeme

Onda se to može pokazati

One.

Ako je jednadžba krivulje data parametarski, onda, uzimajući u obzir pravila za izračunavanje derivacije parametarski zadane, dobijamo

gdje je x = (t) i y = (t).

Ako je postavljeno prostorna kriva, i x = (t), y = (t) i z = Z(t), tada

Ako je kriva postavljena na polarne koordinate, onda

,  = f().

primjer: Pronađite obim dat jednadžbom x 2 + y 2 = r 2 .

1 način. Izrazimo varijablu y iz jednačine.

Nađimo derivat

Tada je S = 2r. Dobili smo dobro poznatu formulu za obim kruga.

2 way. Ako datu jednačinu predstavimo u polarnom koordinatnom sistemu, dobijamo: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, tj. funkcija  = f() = r,
onda

18.4. Proračun volumena tijela.

Proračun volumena tijela iz poznatih površina njegovih paralelnih presjeka.

Neka postoji tijelo zapremine V. Površina bilo kojeg poprečnog presjeka tijela, Q, poznata je kao kontinuirana funkcija Q = Q(x). Podijelimo tijelo na “slojeve” poprečnim presjecima koji prolaze kroz tačke x i podjele segmenta. Jer funkcija Q(x) je kontinuirana na nekom srednjem segmentu particije, tada poprima najveći i najmanju vrijednost. Označimo ih shodno M i i m i .

Ako se na ovim najvećim i najmanjim odsjecima grade cilindri sa generatorima paralelnim sa x osom, tada će zapremine ovih cilindara biti respektivno jednake M i x i i m i x i ovdje x i = x i - x i -1 .

Napravivši takve konstrukcije za sve segmente pregrade, dobijamo cilindre čiji su volumeni, respektivno,
i
.

Kako korak particije  teži nuli, ovi sumi imaju zajedničku granicu:

Dakle, volumen tijela se može naći po formuli:

Nedostatak ove formule je što je za pronalaženje volumena potrebno poznavati funkciju Q(x), što je vrlo problematično za složena tijela.

primjer: Odredite zapreminu sfere poluprečnika R.

AT presjeci kuglice, dobiju se krugovi promjenjivog polumjera y. Ovisno o trenutnoj x koordinati, ovaj radijus se izražava formulom
.

Tada funkcija površine poprečnog presjeka ima oblik: Q(x) = .

Dobijamo volumen lopte:

primjer: Odrediti zapreminu proizvoljne piramide visine H i površine osnove S.

Prilikom prelaska piramide ravninama okomitim na visinu, u presjeku dobijamo figure slične bazi. Koeficijent sličnosti ovih figura jednak je omjeru x / H, gdje je x udaljenost od ravnine presjeka do vrha piramide.

Iz geometrije je poznato da je omjer površina sličnih figura jednak koeficijentu sličnosti na kvadrat, tj.

Odavde dobijamo funkciju površina poprečnog preseka:

Određivanje zapremine piramide:

18.5. Volumen tijela revolucije.

Razmotrimo krivu koju daje jednačina y = f(x). Pretpostavimo da je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu . Ako se krivolinijski trapez koji mu odgovara sa bazama a i b zarotira oko ose Ox, tada dobijamo tzv. tijelo revolucije.

Jer svaki dio tijela po ravnini x = const je krug polumjera , tada se volumen tijela okretanja može lako pronaći pomoću gore dobivene formule:

18.6. Površina okretnog tijela.

M i B

definicija: Površina rotacije kriva AB oko date ose je granica kojoj teže površine okretnih površina izlomljenih linija upisanih u krivu AB, kada najveća od dužina karika ovih izlomljenih linija teži nuli.

Podijelimo luk AB na n dijelova tačkama M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Vrhovi rezultirajuće polilinije imaju koordinate x i i y i . Rotiranjem izlomljene linije oko ose dobijamo površinu koja se sastoji od bočnih površina krnjih konusa, čija je površina jednaka P i . Ovo područje se može pronaći pomoću formule:

Ovdje je S i dužina svakog tetiva.

Primjenjujemo Lagrangeov teorem (usp. Lagrangeova teorema) na odnos
.

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije

savezna državna autonomna obrazovna ustanova

visoko stručno obrazovanje

"Sjever (Arktik) federalni univerzitet nazvan po M.V. Lomonosov"

Katedra za matematiku

NASTAVNI RAD

Po disciplini Matematika

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Supervizor

Art. nastavnik

Borodkina T. A.

Arhangelsk 2014

ZADATAK ZA NASTAVNI RAD

Primjena određenog integrala

POČETNI PODACI:

21. y=x 3 , y= ; 22.

UVOD

U ovom kursu imam sljedeće zadatke: izračunati površine figura koje su ograničene grafovima funkcija, ograničena linijama, dat jednadžbama, također ograničen linijama datim jednadžbama u polarnim koordinatama, izračunati dužine luka krivulja, dato jednačinama u pravokutnom koordinatnom sistemu, datom parametarskim jednadžbama, datim jednadžbama u polarnim koordinatama, kao i izračunati zapremine tijela ograničenih površinama, ograničenih grafovima funkcija, a formiranih rotacijom figura ograničenih grafovima funkcija oko polarnu os. Odabrao sam seminarski rad na temu „Definitivni integral. S tim u vezi, odlučio sam da saznam koliko lako i brzo možete koristiti integralne proračune i koliko tačno možete izračunati zadatke koji su mi dodijeljeni.

INTEGRAL je jedan od najvažnijih koncepata matematike koji je nastao u vezi sa potrebom, s jedne strane, da se funkcije pronađu po njihovim derivacijama (na primjer, da se pronađe funkcija koja izražava put koji prelazi točka koja se kreće, prema brzina ove tačke), a sa druge strane, za merenje površina, zapremina, dužina lukova, rada sila za određeni vremenski period itd.

Otkrivanje teme seminarski rad Slijedio sam sljedeći plan: definicija određenog integrala i njegovih svojstava; dužina luka krive; površina krivolinijskog trapeza; površina rotacije.

Za bilo koju funkciju f(x) kontinuiranu na segmentu , postoji antiderivat na ovom segmentu, što znači da postoji neodređeni integral.

Ako je funkcija F(x) neki antiderivat od kontinuirana funkcija f(x), tada je ovaj izraz poznat kao Newton-Leibnizova formula:

Glavna svojstva određenog integrala:

Ako su donja i gornja granica integracije jednake (a=b), tada je integral jednak nuli:

Ako je f(x)=1, onda:

Prilikom preuređivanja granica integracije, definitivni integral mijenja predznak u suprotan:

Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka određenog integrala:

Ako su funkcije integrabilne na, onda je njihov zbir integrabilan i integral od sume jednak je zbiru integrali:

Postoje i osnovne metode integracije, kao što je promjena varijable,:

Popravak diferencijala:

Formula integracije po dijelovima omogućava da se izračunavanje integrala svede na izračunavanje integrala, što se može pokazati jednostavnijim:

geometrijskog smisla određenog integrala je da je za kontinuiranu i nenegativnu funkciju to u geometrijskom smislu površina odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Osim toga, koristeći određeni integral, možete pronaći područje područja ograničeno krivuljama, pravim linijama i, gdje

Ako je krivolinijski trapez omeđen krivuljom koja je parametarski zadata pravim linijama x = a i x = b i osom Ox, tada se njegova površina nalazi po formuli, gdje se one određuju iz jednakosti:

. (12)

Glavno područje, područje koje se nalazi pomoću određenog integrala, je krivolinijski sektor. Ovo je područje ograničeno dvjema zrakama i krivom, gdje su r i polarne koordinate:

Ako je kriva graf funkcije gdje, a funkcija njenog izvoda je kontinuirana na ovom segmentu, tada se površina figure formirana rotacijom krivulje oko ose Ox može izračunati po formuli:

. (14)

Ako su funkcija i njen izvod kontinuirani na segmentu, tada kriva ima dužinu jednaku:

Ako je jednadžba krivulje data u parametarskom obliku

gdje su x(t) i y(t) kontinuirane funkcije s kontinuiranim derivacijama i tada se dužina krivulje nalazi po formuli:

Ako je kriva data jednadžbom u polarnim koordinatama, gdje su i kontinuirani na segmentu, tada se dužina luka može izračunati na sljedeći način:

Ako se krivolinijski trapez rotira oko ose Ox, omeđen kontinuiranim segmentom i pravim linijama x = a i x = b, tada će volumen tijela nastalog rotacijom ovog trapeza oko ose Ox biti jednak :

Ako je krivolinijski trapez omeđen grafikom neprekidne funkcije i linijama x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Ako je figura omeđena krivuljama i (je "viša" od pravih linija x = a, x = b, tada će volumen tijela rotacije oko ose Ox biti jednak:

i oko y-ose (:

Ako se krivolinijski sektor rotira oko polarne ose, tada se površina rezultirajućeg tijela može pronaći po formuli:

2. RJEŠAVANJE PROBLEMA

Zadatak 14: Izračunajte površine figura koje su ograničene grafovima funkcija:

1) Rješenje:

Slika 1 - Grafikon funkcija

X se mijenja sa 0 na

x 1 = -1 i x 2 = 2 - granice integracije (ovo se može vidjeti na slici 1).

3) Izračunajte površinu figure koristeći formulu (10).

Odgovor: S = .

Zadatak 15: Izračunajte površine figura ograničenih linijama datim jednadžbama:

1) Rješenje:

Slika 2 - Grafikon funkcija

Razmotrimo funkciju na intervalu .

Slika 3 - Tabela varijabli za funkciju

Od tada će 1 luk stati na ovaj period. Ovaj luk se sastoji od središnjeg dijela (S 1) i bočnih dijelova. Centralni dio se sastoji od željenog dijela i pravokutnika (S pr):. Izračunajmo površinu jednog središnjeg dijela luka.

2) Pronađite granice integracije.

i y = 6, dakle

Za interval, granice integracije.

3) Nađite površinu figure koristeći formulu (12).

krivolinijski integralni trapez

Problem 16: Izračunajte površine figura ograničenih linijama datim jednadžbama u polarnim koordinatama:

1) Rješenje:

Slika 4 - Grafikon funkcija,

Slika 5 - Tabela varijabilnih funkcija,

2) Pronađite granice integracije.

posljedično -

3) Nađite površinu figure koristeći formulu (13).

Odgovor: S=.

Zadatak 17: Izračunajte dužine lukova krivih datih jednadžbama u pravokutnom koordinatnom sistemu:

1) Rješenje:

Slika 6 - Grafikon funkcije

Slika 7 - Tabela funkcijskih varijabli

2) Pronađite granice integracije.

varira od ln do ln, to je očigledno iz uslova.

3) Odrediti dužinu luka koristeći formulu (15).

odgovor: l =

Zadatak 18: Izračunajte dužine lukova krivulja datih parametarskim jednadžbama: 1)

1) Rješenje:

Slika 8- Grafikon funkcija

Slika 11 - Tabela funkcijskih varijabli

2) Pronađite granice integracije.

ts varira od, to je očigledno iz uslova.

Nađimo dužinu luka koristeći formulu (17).

Zadatak 20: Izračunajte zapremine tijela ograničenih površinama:

1) Rješenje:

Slika 12 - Grafikon funkcija:

2) Pronađite granice integracije.

Z se mijenja od 0 do 3.

3) Pronađite zapreminu figure koristeći formulu (18)

Zadatak 21: Izračunajte zapremine tijela ograničenih grafovima funkcija, osom rotacije Ox: 1)

1) Rješenje:

Slika 13 - Grafikon funkcija

Slika 15 - Tabela grafa funkcija

2) Pronađite granice integracije.

Tačke (0;0) i (1;1) su zajedničke za oba grafa, pa su to granice integracije, što je vidljivo na slici.

3) Odrediti zapreminu figure koristeći formulu (20).

Zadatak 22: Izračunajte površinu tijela nastalu rotacijom figura ograničenih grafovima funkcija oko polarne ose:

1) Rješenje:

Slika 16 - Grafikon funkcije

Slika 17 - Tabela varijabli za graf funkcije

2) Pronađite granice integracije.

c se mijenja od

3) Nađite površinu figure koristeći formulu (22).

Odgovor: 3.68

ZAKLJUČAK

U procesu dovršavanja kursa na temu „Definitivni integral“ naučio sam kako izračunati površine različita tijela, pronađite dužine različitih lukova krivih i izračunajte zapremine. Ovo predstavljanje o radu sa integralima, pomoći će mi u budućnosti profesionalna aktivnost kako brzo i efikasno izvesti razne aktivnosti. Uostalom, sam integral je jedan od najvažnijih koncepata matematike, koji je nastao u vezi s potrebom da se, s jedne strane, pronađu funkcije po njihovim derivacijama (na primjer, da se pronađe funkcija koja izražava put koji se kreće tačka, prema brzini ove tačke), a sa druge strane, za merenje površina, zapremina, dužina luka, rada sila za određeni vremenski period itd.

SPISAK KORIŠĆENIH IZVORA

1. Napisano, D.T. Bilješke s predavanja o višoj matematici: 1. dio - 9. izd. - M.: Iris-press, 2008. - 288 str.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Viša matematika. Diferencijal i integralni račun: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 str.

3. V. A. Zorich, Matematička analiza. Dio I. - Ed. 4. - M.: MTSNMO, 2002. - 664 str.

4. Kuznjecov D.A. „Zbirka zadataka za višu matematiku» Moskva, 1983

5. Nikolsky S. N. "Elementi matematička analiza". - M.: Nauka, 1981.

Slični dokumenti

Izračunavanje površina ravnih figura. Pronalaženje određenog integrala funkcije. Određivanje površine ispod krive, površine figure zatvorene između krivih. Proračun volumena tijela okretanja. Granica integralnog zbira funkcije. Određivanje zapremine cilindra.

prezentacija, dodano 18.09.2013

Osobine izračunavanja volumena tijela ograničenih površinama pomoću geometrijskog značenja dvostruki integral. Određivanje površina ravnih figura ograničenih linijama metodom integracije u toku matematičke analize.

prezentacija, dodano 17.09.2013

Derivat određenog integrala u odnosu na promenljivu gornja granica. Izračunavanje određenog integrala kao granice integralnog zbira po Newton–Leibnizovoj formuli, promjena varijable i integracija po dijelovima. Dužina luka u polarnim koordinatama.

kontrolni rad, dodano 22.08.2009

Momenti i centri mase ravnih krivih. Guldenova teorema. Površina koja nastaje rotacijom luka ravne krive oko ose koja leži u ravni luka i ne siječe je jednaka je proizvodu dužine luka i dužine kruga.

predavanje, dodano 04.09.2003

Tehnika i glavne faze pronalaženja parametara: površina krivolinijskog trapeza i sektora, dužina luka krive, zapremina tijela, površina tijela okretanja, rad varijable sila. Redosled i mehanizam za izračunavanje integrala pomoću MathCAD paketa.

kontrolni rad, dodano 21.11.2010

Neophodan i dovoljno stanje postojanje određenog integrala. Jednakost određenog integrala od algebarski zbir(razlika) dvije funkcije. Teorema srednje vrijednosti – posljedica i dokaz. Geometrijsko značenje određenog integrala.

prezentacija, dodano 18.09.2013

Zadatak numerička integracija funkcije. Izračunavanje približne vrijednosti određenog integrala. Pronalaženje određenog integrala metodama pravougaonika, srednjih pravougaonika, trapeza. Greška formula i poređenje metoda u smislu tačnosti.

priručnik za obuku, dodan 01.07.2009

Metode za izračunavanje integrala. Formule i validacija neodređeni integral. Područje krivolinijskog trapeza. Neodređeno, određeno i složeni integral. Osnovne primjene integrala. Geometrijsko značenje određenih i neodređenih integrala.

prezentacija, dodano 15.01.2014

Izračunavanje površine figure ograničene date linije, koristeći dvostruki integral. Izračunavanje dvostrukog integrala odlaskom na polarne koordinate. Metoda određivanja krivolinijski integral druge vrste duž date linije i toka vektorskog polja.

kontrolni rad, dodano 14.12.2012

Pojam određenog integrala, proračun površine, zapremine tijela i dužine luka, statičkog momenta i težišta krive. Proračun površine u slučaju pravougaone krivolinijske regije. Primjena krivolinijskih, površinskih i trostrukih integrala.