Rn,
(MATEMATIKA U EKONOMIJI)

Vektorska dekompozicija

Vektorska dekompozicija a na komponente - operacija zamjene vektora a nekoliko drugih vektora ab, a2, a3, itd., koji, kada se saberu, formiraju početni vektor a; u ovom slučaju vektori db a2, a3 itd. nazivaju se komponentama vektora a. Drugim riječima, razlaganje bilo kojeg...
(FIZIKA)

Osnova i rang sistema vektora

Razmotrimo sistem vektora (1.18) Maksimalni nezavisni podsistem sistema vektora(1.I8) je parcijalni skup vektora ovog sistema koji zadovoljava dva uslova: 1) vektori ovog skupa su linearno nezavisni; 2) bilo koji vektor sistema (1.18) je linearno izražen u terminima vektora ovog skupa....
(MATEMATIKA U EKONOMIJI)

Vektorska reprezentacija u različiti sistemi koordinate.

Razmotrimo dva ortogonalna pravolinijska koordinatna sistema sa skupovima orta (i, j, k) i (i j, k") i predstavimo vektor a u njima. Pretpostavimo uslovno da primirani vektori odgovaraju novi sistemi e koordinate, a bez poteza - stara. Hajde da predstavimo vektor kao ekspanziju duž ose i starog i novog sistema...

Dekompozicija vektora u ortogonalnoj bazi

Uzmite u obzir prostornu osnovu Rn, u kojoj je svaki vektor ortogonan u odnosu na ostale bazne vektore: Ortogonalne baze su poznate i dobro predstavljene na ravni i u prostoru (slika 1.6). Baze ove vrste su zgodne, prije svega, jer su koordinate dekompozicije proizvoljnog vektora određene ...
(MATEMATIKA U EKONOMIJI)

Vektori i njihovi prikazi u koordinatnim sistemima

Koncept vektora je povezan sa određenim fizičke veličine, koje karakterizira njihov intenzitet (veličina) i smjer u prostoru. Takve veličine su, na primjer, sila koja djeluje na materijalno tijelo, brzina određena tačka ovog tijela, ubrzanje materijalne čestice...
(MEHANIKA KONTINUIRANIH MEDIJA: TEORIJA NAPONA I OSNOVNI MODELI)

Protozoa analitičke reprezentacije proizvoljna eliptična funkcija

Predstavljanje eliptičke funkcije kao sume elementarnih elemenata. Neka / (z) je eliptična funkcija reda s s jednostavnim polovima jjt, $s, leži u paralelogramu perioda. Označavanje kroz bk ostatak funkcije u odnosu na pol, imamo da je 2 ?l = 0 (§ 1» str. 3, teorema...
(UVOD U TEORIJU FUNKCIJA KOMPLEKSNE VARIJABLE)

Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektori.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U publici su kolica sa čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će pokriti dva odjeljka odjednom. višu matematiku, a vidjećemo kako će se slagati u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... dovraga, pa, svađaju se gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba da postoji pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre daleko je od uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor zbog kojeg sam upravo otišao u Gismeteo: - temperatura i Atmosferski pritisak respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi termini (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) su primenljivi na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će primeri biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipični zadaci algebra. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke i Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Uzmite u obzir ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tabeli.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desna ruka na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad sam smjer, dok ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

referenca: Riječi "linearno", "linearno" odnose se na činjenicu da u matematičke jednačine, izrazi nemaju kvadrate, kocke, druge potencije, logaritme, sinuse itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji ugao osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno ne su zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je osnova ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

I oni to kažu vektorpredstavljen u formi linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravni, ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Suština definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. baze - potpuno su dva drugačija osnova! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomjeriti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate onim malim prljavim tačkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takva referentna tačka je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sistema:

Počeću sa "školskim" sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Istaknuo sam neke od razlika između pravougaonog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada govorimo o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište koordinata, koordinatne ose i skalirati duž osi. Pokušajte da upišete "pravougaoni koordinatni sistem" u pretraživač i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, izgleda da pravougaoni sistem koordinate se mogu odrediti u smislu ortonormalne baze. I skoro da jeste. Formulacija glasi ovako:

porijeklo, i ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem ravni . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijski problemičesto (ali nikako uvijek) crtaju i vektore i koordinatne ose.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć tačke (porekla) i ortonormalne osnove BILO KOJA TAČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, "sve u avionu može biti numerisano".

Da li koordinatni vektori moraju biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrimo tačku i dva ortogonalna vektora proizvoljne dužine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka tačka ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori in opšti slučaj imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedan, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, a također i ispod u afine baze razmatraju se ravni i prostorne jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica na apscisi sadrži 4 cm, jedna jedinica na ordinati sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna da se po potrebi konvertuju „nestandardne“ koordinate u „naše uobičajene centimetre“.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - da li je ugao između baznih vektora nužno jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, i nekolinearno vektori, , set afini koordinatni sistem ravni :

Ponekad se ovaj koordinatni sistem naziva koso sistem. Tačke i vektori su prikazani kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan, formule za dužine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sistema kartezijanski pravougaoni sistem. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polar) koordinatni sistem. Da, i humanoidi takvi sistemi mogu pasti na ukus =)

Pređimo na praktični dio. Svi zadaci ovu lekciju važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je prečišćavanje očitog odnosa koordinata po koordinata.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Saznajte da li postoji vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Svakako ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja prilično dobro funkcionira u praksi. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, tako da su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje može se koristiti činjenica da kolinearni vektori su linearno izražene jedna kroz drugu. AT ovaj slučaj postoje jednakosti . Njihova valjanost se može lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako raditi kroz proporciju ovdje? (Zaista, ne možete podijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

odgovor: a) , b) oblik.

Mala kreativni primjer za nezavisno rešenje:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i samo ga dodamo kao petu tačku:

Za dva ravan vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Ja se jako, jako nadam da ste u ovom trenutku već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno nezavisni i čine bazu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata, pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverougao se naziva u kojem su suprotne strane parno paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je bio isti vektor („prema školi“ - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očigledna, ali je bolje donijeti odluku kako treba, sa aranžmanom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ovi vektori kolinearni, i .

Zaključak: suprotne stranečetvorouglovi su parno paralelni, tako da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se polako krećemo iz aviona u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

a) ;
b)
u)

Rješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti vektora prostora i putem determinante trećeg reda, ovu metodu obrađeno u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali na avionu važiće i za prostor. Pokušao sam da minimiziram sažetak teorije, budući da je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada u zatvorenom, neko je na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga su potrebna tri prostorna vektora za konstruiranje baze. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je različite strane palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, ne morate to demonstrirati nastavnicima, ma kako zavrtili prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Dalje, hajde da pitamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalni prostor ? Čvrsto pritisnite tri prsta na sto računara. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim očigledno, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da komplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, već mogu biti u paralelne ravni(samo nemoj prstima, samo je Salvador Dali tako ispao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo koplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redosledom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u datoj bazi , gdje su koordinate vektora u datoj bazi

Podsjećamo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao za ravno kućište, jedna tačka i bilo koje tri linearne nezavisni vektori:

porijeklo, i nekoplanarni vektori, uzeti određenim redosledom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava da definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, u afinom koordinatnom sistemu prostora, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi mogu pretpostaviti, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

tačka u prostoru tzv porijeklo, i ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematiziramo informacije:

Za tri vektora razmaci su ekvivalentni sljedećim izjavama:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostalo praktični zadaci imaće izražen algebarski karakter. Vrijeme je da okačite geometrijski štap na nokat i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri svemirska vektora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolji u kolonama, jer je korisniji za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu, sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

upoznati i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednačinu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Vršimo dalja pojednostavljenja i svedemo stvar na najjednostavnije linearna jednačina:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti, za to morate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

Konačno, razmislite o još jednom tipičan zadatak, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u datoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Hajde da se prvo pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je osnova - nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti da li su vektori stvarno linearno nezavisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate obavezno zapiši u kolone odrednica, a ne nizovi. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Osnova(starogrčki βασις, baza) - skup takvih vektora u vektorski prostor da se bilo koji vektor ovog prostora može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - baznih vektora

Baza u prostoru R n je bilo koji sistem iz n-linearno nezavisni vektori. Svaki vektor iz R n koji nije uključen u bazu može se predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora, tj. proširiti preko osnove.
Neka je baza prostora R n i . Tada postoje brojevi λ 1 , λ 2 , …, λ n takvi da .
Koeficijenti proširenja λ 1 , λ 2 , ..., λ n , nazivaju se koordinatama vektora u bazi B. Ako je baza data, tada su koeficijenti vektora jednoznačno određeni.

Komentar. U svakom n-dimenzionalni vektorski prostor, može se birati bezbroj razne baze. U različitim bazama, isti vektor ima razne koordinate, ali jedinstven u odabranoj osnovi. Primjer. Proširite vektor u smislu .
Rješenje. . Zamijenite koordinate svih vektora i izvršite radnje na njima:

Izjednačavanjem koordinata dobijamo sistem jednačina:

Hajde da to riješimo: .
Tako dobijamo ekspanziju: .
U osnovi vektor ima koordinate .

Kraj rada -

Ova tema pripada:

Koncept vektora. Linearne operacije nad vektorima

Vektor je usmjereni segment koji ima određenu dužinu i e segment određene dužine koji ima jednu od svojih graničnih tačaka.. dužina vektora se naziva njegovim modulom i označava se simbolom modula vektora.. vektor se naziva nula označava se ako mu se početak i kraj poklapaju. nulti vektor nema definitivan ..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Vektorski račun i njegove primjene veliki značaj ima problem dekompozicije, koji se sastoji u predstavljanju datog vektora kao sume nekoliko vektora, koji se nazivaju komponente datog

vektor. Ovaj problem, koji u općem slučaju ima beskonačan broj rješenja, postaje sasvim određen ako se daju neki elementi konstitutivnih vektora.

2. Primjeri razlaganja.

Razmotrimo nekoliko vrlo čestih slučajeva raspadanja.

1. Dati vektor c rastaviti na dva komponentna vektora od kojih je jedan, na primjer a, dat po veličini i smjeru.

Problem se svodi na određivanje razlike između dva vektora. Zaista, ako su vektori komponente vektora c, onda je jednakost

Odavde se određuje drugi komponentni vektor

2. Rastaviti dati vektor c na dvije komponente, od kojih jedna mora ležati u dati avion a drugi mora ležati na datoj pravoj a.

Da bismo odredili sastavne vektore, pomeramo vektor c tako da se njegov početak poklopi sa tačkom preseka date prave linije sa ravninom (tačka O - vidi sliku 18). Nacrtajte pravu liniju od kraja vektora c (tačka C) do

presek sa ravninom (B je tačka preseka), a zatim iz tačke C povučemo paralelnu pravu liniju

Tražit će se vektori i, tj., naravno, naznačena dekompozicija je moguća ako prava a i ravan nisu paralelne.

3. Dana su tri koplanarna vektora a, b i c, a vektori nisu kolinearni. Potrebno je dekomponovati vektor c na vektore

Uzmimo sva tri dati vektori do jedne tačke O. Tada će se, zbog svoje komplanarnosti, nalaziti u istoj ravni. Na dati vektor sa as na dijagonali konstruišemo paralelogram čije su stranice paralelne sa linijama delovanja vektora (slika 19). Ova konstrukcija je uvijek moguća (osim ako su vektori kolinearni) i jedinstvena. Od sl. 19 to pokazuje

L. 2-1 Osnovni pojmovi vektorske algebre. Linearne operacije na vektorima.

Dekompozicija vektora u smislu baze.

Osnovni pojmovi vektorske algebre

Vektor je skup svih usmjerenih segmenata koji imaju iste dužine i smjer
.

Svojstva:

Linearne operacije preko vektora

1.

Pravilo paralelograma:

OD ummet dva vektora i zove vektor , koji izlazi iz njihovog zajedničkog porijekla i predstavlja dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima i kao sa strane.

Pravilo poligona:

Da biste konstruisali zbir bilo kojeg broja vektora, potrebno je da stavite početak 2. vektora na kraj 1. člana, početak 3. na kraj 2. i tako dalje. Vektor koji zatvara rezultat slomljena linija, je zbir. Njegov početak se poklapa s početkom prvog, a kraj s krajem posljednjeg.

Svojstva:

2.

Vektorski proizvod po broju , naziva se vektor koji zadovoljava uslove:
.

Svojstva:

3.

razlika vektori i vektor poziva jednak zbiru vektora i vektor suprotan vektoru , tj.
.

- zakon suprotnog elementa (vektora).

Dekompozicija vektora u smislu baze

Zbir vektora je određen na jedinstven način
(ali samo ). Obrnuta operacija, dekompozicija vektora na nekoliko komponenti, je dvosmislena: Da bi to bilo nedvosmisleno, potrebno je naznačiti smjerove u kojima dolazi do širenja razmatranog vektora, ili, kako kažu, potrebno je naznačiti osnovu.

Prilikom određivanja osnove, zahtjev nekoplanarnosti i nekolinearnosti vektora je bitan. Da bi se razumjelo značenje ovog zahtjeva, potrebno je razmotriti koncept linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti vektora.

Proizvoljni izraz oblika: , pozvan linearna kombinacija vektori
.

Linearna kombinacija nekoliko vektora naziva se trivijalan ako su svi njegovi koeficijenti jednaki nuli.

Vektori
pozvao linearno zavisna, ako postoji netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli:
(1), pod uslovom
. Ako jednakost (1) vrijedi samo za sve
istovremeno jednak nuli, a zatim različiti od nule vektori
će linearno nezavisna.

Lako je dokazati: bilo koja dva kolinearna vektora su linearno zavisna, a dva nekolinearna vektora su linearno nezavisna.

Dokaz počinjemo s prvom tvrdnjom.

Neka vektori i kolinearno. Pokažimo da su one linearno zavisne. Zaista, ako su kolinearni, onda se međusobno razlikuju samo po brojčanom faktoru, tj.
, Shodno tome
. Pošto je rezultirajuća linearna kombinacija jasno netrivijalna i jednaka je "0", onda su vektori i linearno zavisna.

Razmotrimo sada dva nekolinearna vektora i . Dokažimo da su oni linearno nezavisni. Dokaz gradimo kontradikcijom.

Pretpostavljamo da su one linearno zavisne. Tada mora postojati netrivijalna linearna kombinacija
. Pretvarajmo se to
, onda
. Rezultirajuća jednakost znači da su vektori i su kolinearni, suprotno našoj početnoj pretpostavci.

Slično, može se dokazati: bilo koja tri koplanarna vektora su linearno zavisna, a dva nekoplanarna vektora su linearno nezavisna.

Vraćajući se na koncept osnove i na problem proširenja vektora u određenoj bazi, možemo reći da osnova na ravni i u prostoru se formira iz skupa linearno nezavisnih vektora. Takav koncept osnove je opšti, jer primjenjiv je na prostor bilo kojeg broja dimenzija.

Izraz kao:
, naziva se dekompozicija vektora po vektorima ,…,.

Ako uzmemo u obzir bazu u trodimenzionalnom prostoru, onda je dekompozicija vektora osnovu
bice
, gdje
-vektorske koordinate.

U problemu proširenja proizvoljnog vektora u nekoj osnovi vrlo je važna sljedeća izjava: bilo koji vektormože se razložiti na jedinstven način u datoj osnovi
. Drugim riječima, koordinate
za bilo koji vektor u odnosu na osnovu
je nedvosmisleno definisan.

Uvođenje baze u prostor i na ravan omogućava pripisivanje svakom vektoru poredani trostruki (par) brojeva - njegove koordinate. Ovaj vrlo važan rezultat, koji omogućava uspostavljanje veze između geometrijskih objekata i brojeva, omogućava analitički opis i proučavanje položaja i kretanja fizičkih objekata.

Kombinacija tačke i osnove se zove koordinatni sistem.

Ako su vektori koji formiraju bazu jedinični i po paru okomiti, tada se zove koordinatni sistem pravougaona, i osnovu ortonormalno.

L. 2-2 Proizvod vektora

Dekompozicija vektora u smislu baze

Razmotrite vektor
, dat svojim koordinatama:
.

- vektorske komponente u pravcima baznih vektora
.

Izražavanje forme
naziva se dekompozicija vektora osnovu
.

Na sličan način se može razgraditi osnovu
vektor
:

.

Kosinusi uglova formiranih razmatranim vektorom sa baznim vektorima
pozvao kosinus smjera

;
;
.

Skalarni proizvod vektora.

Skalarni proizvod dva vektora i naziva se broj jednak proizvodu modula ovih vektora kosinusom ugla između njih

Skalarni proizvod dva vektora može se smatrati proizvodom modula jednog od ovih vektora i ortogonalne projekcije drugog vektora na smjer prvog vektora.
.

Svojstva:

Ako su koordinate vektora poznate
i
, zatim, proširivši vektore u smislu baze
:
i
, nađi

, jer
,
, onda

.

.

Uslov okomitosti vektora:
.

Uslov kolinearnosti za rektore:
.

Unakrsni proizvod vektora

ili

vektorska umjetnost po vektoru takav vektor se zove
, koji zadovoljava uslove:

Svojstva:

Razmatrana algebarska svojstva omogućavaju pronalaženje analitičkog izraza za unakrsni proizvod u terminima koordinata konstitutivnih vektora u ortonormalnoj bazi.

Dato:
i
.

jer ,
,
,
,
,
,
, onda

. Ova formula se može napisati kraće, u obliku determinante trećeg reda:

.

Mješoviti proizvod vektora

Mješoviti proizvod tri vektora ,i naziva se broj jednak vektorskom proizvodu
, pomnoženo skalarno vektorom .

Tačna je sljedeća jednakost:
, pa je napisan mješoviti proizvod
.

Kao što slijedi iz definicije, rezultat je mješoviti proizvoda od tri vektori je broj. Ovaj broj ima jasno geometrijsko značenje:

Modul mješovitih proizvoda
jednak je volumenu paralelepipeda izgrađenog na smanjenom na zajednički početak vektori ,i .

Kombinovana svojstva proizvoda:

Ako vektori ,,date su u ortonormalnoj bazi
njihove koordinate, izračunavanje mješovitog proizvoda vrši se prema formuli

.

Zaista, ako
, onda

;
;
, onda
.

Ako vektori ,,su komplanarni, onda vektorski proizvod
okomito na vektor . I obrnuto, ako
, tada je volumen paralelepipeda nula, a to je moguće samo ako su vektori koplanarni (linearno zavisni).

Dakle, tri vektora su komplanarna ako i samo ako je njihov mješoviti proizvod nula.