Gedelove teoreme o nepotpunosti imaju filozofsko značenje. Ispovest velikog logičara

Godelova teorema o nepotpunosti

Uspensky V.A.

Možda je Gedelov teorem o nepotpunosti zaista jedinstven. Jedinstven po tome što se na njega pozivaju kada žele da dokažu "sve na svetu" - od prisustva bogova do odsustva razuma. Oduvijek me je zanimalo "primarnije pitanje" - a ko bi od onih koji se pozivaju na teoremu o nepotpunosti mogao to ne samo formulirati, već i dokazati? objavljujem Ovaj članak iz razloga što predstavlja vrlo pristupačnu formulaciju Gödelove teoreme. Preporučujem da prvo pročitate članak Tullija Reggea Kurta Gödela i njegovu čuvenu teoremu

Zaključak o nemogućnosti univerzalnog kriterija istine direktna je posljedica rezultata koji je Tarski dobio kombiniranjem Gödelove teoreme o neodlučivosti s vlastitom teorijom istine, prema kojoj ne može postojati univerzalni kriterij istine čak ni za relativno usko područje. teorije brojeva, a time i za svaku nauku koja koristi aritmetiku. Naravno, ovaj rezultat se a fortiori primjenjuje na koncept istine u bilo kojoj nematematičkoj oblasti znanja u kojoj se aritmetika široko koristi.

Karl Popper

Uspenski Vladimir Andrejevič rođen je 27. novembra 1930. godine u Moskvi. Diplomirao na Mehaničko-matematičkom fakultetu Moskovskog državnog univerziteta (1952). Doktor fizičko-matematičkih nauka (1964). Profesor, šef Katedre za matematičku logiku i teoriju algoritama Mehaničkog i matematičkog fakulteta (1966). Čita kurseve predavanja "Uvod u matematičku logiku", "Izračunljive funkcije", "Gödelov teorem kompletnosti". Pripremio 25 kandidata i 2 doktora nauka

1. Izjava o problemu

Teorema o nepotpunosti, čiju ćemo tačnu formulaciju dati na kraju ovog poglavlja, a možda i kasnije (ako čitatelja to zanima) i dokaz, otprilike iznosi sljedeće: pod određenim uvjetima u bilo kojem jeziku postoje istiniti, ali nedokazive izjave.

Kada formulišemo teoremu na ovaj način, skoro svaka reč zahteva neko objašnjenje. Stoga ćemo početi objašnjavanjem značenja riječi koje koristimo u ovoj formulaciji.

1.1. Jezik

Nećemo davati najopštiju moguću definiciju jezika, radije ćemo se ograničiti na one jezičke koncepte koji će nam kasnije biti potrebni. Postoje dva takva koncepta: "abeceda jezika" i "skup istinitih iskaza jezika".

1.1.1. Abeceda

Pod abecedom podrazumijevamo konačan skup elementarnih znakova (tj. stvari koje se ne mogu rastaviti na sastavne dijelove). Ovi znakovi se nazivaju slovima abecede. Pod slovom abecede mislimo konačna sekvenca pisma. Na primjer, obične riječi na engleskom (uključujući vlastita imena) su riječi abecede od 54 slova (26 malih slova, 26 velikih slova, crtica i apostrof). Drugi primjer su prirodni brojevi u decimalni zapis su riječi abecede od 10 slova, čija su slova znakovi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Za označavanje alfabeta koristićemo obična velika slova. Ako je L abeceda, onda je L? će označavati skup svih riječi abecede L, - riječi nastale od njegovih slova. Pretpostavićemo da svaki jezik ima svoje pismo, tako da su svi izrazi ovog jezika (tj. - nazivi raznih objekata, iskazi o tim objektima itd.) reči ovog pisma. Na primjer, bilo koji prijedlog na engleskom, kao i svaki tekst napisan na engleskom jeziku, može se smatrati riječju proširene abecede od 54 slova, koja uključuje i znakove interpunkcije, razmak među riječima, znak crvene linije i eventualno neke druge korisne znakove. Pod pretpostavkom da su jezički izrazi riječi nekog alfabeta, mi tako isključujemo iz razmatranja "višeslojne" izraze poput ???f(x)dx. Međutim, ovo ograničenje nije previše značajno, budući da se svaki takav izraz, koristeći prikladne konvencije, može "rastegnuti" u linearni oblik. Bilo koji skup M sadržan u L? naziva se skup riječi abecede L. Ako jednostavno kažemo da je M skup riječi, onda mislimo da je riječ neke abecede. Sada se gornja jezička pretpostavka može preformulisati na sljedeći način: u bilo kojem jeziku, bilo koji skup izraza je skup riječi.

1.1.2. Mnogo istinitih tvrdnji

Pretpostavljamo da nam je dat podskup T skupa L? (gdje je L abeceda nekog jezika koji razmatramo), koji se naziva skup "tačnih izjava" (ili jednostavno "istina"). Prelazeći direktno na podskup T, izostavljamo sljedeće međukorake rezonovanja: prvo, koje riječi abecede L su dobro oblikovani izrazi jezika, odnosno imaju određenu vrijednost u našoj interpretaciji ovog jezika (na primjer, 2+3, x+3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 su dobro oblikovani izrazi, dok izrazi poput +=x nisu); drugo, koji su izrazi formule, tj. može zavisiti od parametra (npr. x=3, x=y, 2=3, 2=2); treće, koje od formula su zatvorene formule, tj. izjave koje ne zavise od parametara (na primjer, 2=3, 2=2); i konačno, koje su zatvorene formule istinite izjave (na primjer, 2=2).

1.1.3. Osnovni jezički par

1.2. "Nedokazivo"

"Nedokazivo" znači da nema dokaza.

1.3. Dokaz

Uprkos činjenici da je pojam "dokaz" možda jedan od najvažnijih u matematici (Bourbaki započinju svoju knjigu "Osnove matematike" riječima: "Još od vremena starih Grka, reći "matematika" je značilo isto što i govoreći "dokaz""), on nema preciznu definiciju. Općenito, pojam dokaza sa svim svojim semantičkim granama pripada, prije, polju psihologije nego matematike. Ali kako god bilo, dokaz je jednostavno argument koji i mi sami smatramo prilično uvjerljivim da bismo uvjerili sve ostale.

Kada se zapiše, dokaz postaje riječ u nekom alfabetu P, kao i svaka engleski tekst je riječ abecede L, čiji je primjer dat gore. Skup svih dokaza čini podskup (i prilično veliki podskup) skupa P?. Nećemo pokušavati da damo preciznu definiciju ovog i "naivnog" i "apsolutnog" koncepta dokaza, ili - što je ekvivalentno - da definišemo odgovarajući podskup od P?. Umjesto toga, razmotrićemo formalni analog ovog nejasnog koncepta, za koji ćemo i dalje koristiti termin "dokaz" u nastavku. Ovaj analog ima dvije vrlo važne karakteristike koje ga razlikuju od intuitivnog koncepta (iako intuitivna ideja dokaza još uvijek u određenoj mjeri odražava ove karakteristike). Prije svega, pretpostavljamo da postoje različiti koncepti dokaza, odnosno da su dozvoljeni različiti podskupovi dokaza u P?, pa čak i više od toga: mi ćemo, zapravo, pretpostaviti da se sama abeceda dokaza P može mijenjati . U nastavku ćemo zahtijevati da za svaki takav koncept dokaza postoji efikasna metoda, drugim riječima, algoritam koji bi nužno odredio da li data reč alfabet P dokaz ili ne. Takođe pretpostavljamo da postoji algoritam koji uvijek može odrediti koja izjava dokazuje dat dokaz. (U mnogim situacijama, tvrdnja koja se dokazuje jednostavno je posljednja izjava u nizu koraka koji čine dokaz.)

Dakle, naša konačna formulacija definicije je sljedeća:

(1) Imamo abecedu L (azbuku jezika) i azbuku P (azbuku dokaza).

(2) Dat nam je skup P koji je podskup od P? i čiji se elementi nazivaju "dokazi". U budućnosti ćemo pretpostaviti da imamo i algoritam koji nam omogućava da odredimo da li je proizvoljna riječ abecede P element skupa P, odnosno dokaz ili ne.

(3) Također imamo funkciju? (za pronalaženje šta je tačno dokazano), čiji je domen? zadovoljava uslov P???P?, i čiji je opseg u P?. Pretpostavljamo da imamo algoritam koji izračunava ovu funkciju (tačno značenje riječi "algoritam izračunava funkciju" je sljedeće: vrijednosti funkcije se dobijaju pomoću ovog algoritma - skupa posebnih pravila transformacije). Reći ćemo da je element p? P je dokaz riječi?(p) abecede L.

Trojka<Р, Р, ?>, zadovoljava uslove (1)-(3) naziva se deduktivnim sistemom nad alfabetom L.

Za čitaoca koji je upoznat sa uobičajenim načinom definisanja "dokaza" u terminima "aksioma" i "pravila zaključivanja", sada ćemo objasniti kako se ovaj metod može smatrati posebnim slučajem definicije date u odeljku 1.3.2. To jest, dokaz se obično definira kao niz takvih jezičkih izraza, od kojih je svaki ili aksiom ili je prethodno dobiven iz već postojećih iskaza korištenjem jednog od pravila zaključivanja. Ako u abecedu našeg jezika dodamo novu riječ *, onda možemo napisati takav dokaz kao riječ sastavljena pomoću rezultirajuće abecede: niz izraza postaje riječ C1*C2*...*Cn. U ovom slučaju, funkcija koja određuje šta je tačno dokazano ima svoju vrijednost u dijelu ove riječi odmah iza posljednjeg slova * u nizu. Algoritam čije postojanje je potrebno u Odjeljku 1.3.2. definicije, mogu se lako konstruisati nakon što smo precizno definisali bilo koje od prihvaćenih značenja reči "aksiom" i "pravilo zaključivanja".

1.4 Pokušaji da se tačno formuliše teorema o nepotpunosti

1.4.1. Prvi pokušaj

„Pod određenim uslovima za osnovni par jezika abecede L i deduktivnog sistema<Р, Р, ?>preko L, uvijek postoji riječ u T koja nema dokaza. Ova opcija još uvijek izgleda nejasno. Konkretno, lako bismo mogli smisliti onoliko deduktivnih sistema koliko želimo da ima vrlo malo riječi koje se mogu dokazati. ?) nema riječi uopšte to bi imalo dokaze.

1.4.2. Drugi pokušaj

Postoji još jedan, više prirodni pristup. Pretpostavimo da nam je dat jezik - u smislu da nam je dat osnovni par ovog jezika. Sada ćemo tražiti deduktivni sistem preko L (intuitivno, tražimo tehniku dokaza) kojim bismo mogli dokazati kako više riječi iz T, u granicama sve riječi iz T. Gödelova teorema opisuje situaciju u kojoj takav deduktivni sistem (pomoću kojeg bi svaka riječ u T bila dokaziva) ne postoji. Stoga bismo željeli formulirati sljedeću izjavu:

"Pod određenim uslovima u vezi sa osnovnim parom, ne postoji takav deduktivni sistem u kojem bi svaka reč iz T imala dokaz."

Međutim, takva izjava je očigledno netačna, jer je potrebno uzeti samo deduktivni sistem u kojem je P = L, P = P? i?(p) = p za sve p u P?; onda svaka riječ iz L? je trivijalno dokazivo. Stoga, moramo prihvatiti neka ograničenja u pogledu deduktivnih sistema koje koristimo.

1.5. Dosljednost

Bilo bi sasvim prirodno zahtijevati da se mogu dokazati samo "tačni iskazi", odnosno samo riječi iz T. Reći ćemo da je deduktivni sistem<Р, Р, ?>je konzistentan u odnosu na osnovni par ako?(P)?T. U svim daljnjim razmišljanjima, zanimat će nas samo takvi konzistentni deduktivni sistemi. Ako nam je dat jezik, onda bi bilo izuzetno primamljivo pronaći tako konzistentan deduktivni sistem u kojem bi svaka istinita izjava imala dokaz. Varijanta Gedelove teoreme koja nas zanima upravo kaže da je pod određenim uslovima u odnosu na osnovni par nemoguće pronaći takav deduktivni sistem.

1.6. potpunost

Kaže se da je deduktivni sistem<Р,Р,?>je kompletan u odnosu na osnovni par, pod uslovom da?(P)?T. Tada naša formulacija teoreme nepotpunosti poprima sljedeći oblik:

Pod određenim uslovima u vezi sa osnovnim parom, takav deduktivni sistem ne postoji<Р,Р,?>preko L koji bi bio i potpun i relativno konzistentan.

Bibliografija

Za pripremu ovog rada korišteni su materijali sa stranice http://filosof.historic.ru.

Jedan od mnogih poznate teoreme matematička logika srećni i nesrećni u isto vreme. U ovome je ona kao specijalna teorija Ajnštajnova relativnost. S jedne strane, skoro svi su čuli nešto o njima. S druge strane, u popularnoj interpretaciji, Ajnštajnova teorija, kao što znate, "kaže da je sve na svetu relativno". I Gedelov teorem o nepotpunosti (u daljem tekstu jednostavno TGN), u približno jednako slobodnoj narodnoj formulaciji, "dokazuje da postoje stvari koje su neshvatljive ljudskom umu". I tako ga neki pokušavaju prilagoditi kao argument protiv materijalizma, dok drugi, naprotiv, uz njegovu pomoć dokazuju da Boga nema. Smiješno je ne samo da obje strane ne mogu biti u pravu u isto vrijeme, već i da se ni jedna ni druga ne trude da dokuče šta, u stvari, ova teorema kaže.

Pa šta? U nastavku ću pokušati da "na prste" pričam o tome. Moje izlaganje, naravno, neće biti rigorozno i intuitivno, ali ću zamoliti matematičare da me ne osuđuju striktno. Moguće je da će za nematematičare (kojima, u stvari, i ja pripadam), biti nešto novo i korisno u onome što je rečeno u nastavku.

Matematička logika je zaista prilično komplikovana nauka, i što je najvažnije, nije baš poznata. Zahtijeva pažljive i stroge manevre, u kojima je važno ne pobrkati stvarno dokazano sa činjenicom da je "već jasno". Međutim, nadam se da će čitaocu biti potrebno samo znanje školske matematike / informatike, vještine za razumijevanje sljedećeg „crta dokaza TGN-a“. logičko razmišljanje i 15-20 minuta vremena.

Pojednostavljujući donekle, TGN tvrdi da je to dovoljno teški jezici postoje nepotkrijepljene izjave. Ali u ovoj frazi, gotovo svaka riječ treba objašnjenje.

Počnimo pokušavajući da shvatimo šta je dokaz. Uzmimo neki školski zadatak iz aritmetike. Na primjer, neka se traži da se dokaže ispravnost sljedeće jednostavne formule: "" (podsjećam da se simbol čita "za bilo koji" i zove se "univerzalni kvantifikator"). To se može dokazati identičnom transformacijom, recimo, ovako:

Prelazak s jedne formule na drugu se događa prema nekima poznata pravila. Prijelaz sa 4. formule na 5. dogodio se, recimo, zato što je svaki broj jednak samom sebi - takav je aksiom aritmetike. I cijeli postupak dokazivanja, dakle, prevodi formulu u logičku vrijednost TRUE. Rezultat bi mogao biti LAŽAN - ako bismo opovrgli neku formulu. U ovom slučaju bismo dokazali njegovu negaciju. Moguće je zamisliti program (a takvi su programi zapravo napisani) koji bi dokazao takve (i složenije) tvrdnje bez ljudske intervencije.

Recimo istu stvar malo formalnije. Pretpostavimo da imamo skup koji se sastoji od nizova znakova neke abecede, a postoje pravila po kojima je podskup tzv. izjave- odnosno gramatički značajne fraze, od kojih je svaka istinita ili netačna. Možemo reći da postoji funkcija koja odgovara iskazima iz jedne od dvije vrijednosti: TRUE ili FALSE (to jest, preslikava ih na Boolean skup od dva elementa).

Nazovimo takav par - skup iskaza i funkciju od do - "jezik izjava". Imajte na umu da je u svakodnevnom smislu pojam jezika nešto širi. Na primjer, ruski izraz "Pa, dođi ovamo!" nije istinito i nije netačno, odnosno, sa stanovišta matematičke logike, nije izjava.

Za ono što slijedi, potreban nam je pojam algoritma. Neću ovdje davati njegovu formalnu definiciju - to bi nas odvelo prilično u stranu. Ograničiću se na neformalno: "algoritam"- ovaj niz nedvosmislenih instrukcija ("program"), koji iza konačan broj stepenice pretvara ulazne podatke u izlazne. Kurziv je fundamentalno važan - ako se program zaglavi na nekim početnim podacima, onda ne opisuje algoritam. Radi jednostavnosti i u primjeni na naš slučaj, čitalac može smatrati da je algoritam program napisan u bilo kojem njemu poznatom programskom jeziku, za koji je zagarantovano da će za bilo koji ulazni podatak iz date klase završiti svoj rad s Booleovim rezultatom.

Zapitajmo se: postoji li “algoritam dokazivanja” za svaku funkciju (ili, ukratko, "deduktivan") ekvivalentno ovoj funkciji, odnosno prevođenje svake izjave u potpuno istu logičku vrijednost kao i ona? Konciznije, isto pitanje se može formulirati na sljedeći način: da li je svaka funkcija nad skupom propozicija izračunljiv? Kao što već možete pretpostaviti, iz valjanosti TGN-a proizilazi da ne, ne bilo koje - postoje neizračunljive funkcije ovog tipa. Drugim riječima, ne može se dokazati svaka istinita izjava.

Vrlo je moguće da će ova izjava izazvati vaš interni protest. To je zbog nekoliko okolnosti. Prvo, kada nas nauče skolska matematika, onda se ponekad stvara lažan utisak o gotovo potpunom identitetu fraza "teorema je istinita" i "teorema je moguće dokazati ili potvrditi". Ali ako razmislite o tome, to uopće nije očigledno. Neke teoreme se dokazuju prilično jednostavno (na primjer, nabrajanjem malog broja opcija), a neke su vrlo teške. Razmotrimo, na primjer, Fermatovu čuvenu Posljednju teoremu:

čiji je dokaz pronađen tek tri i po stoljeća nakon prve formulacije (i daleko je od elementarnog). Potrebno je razlikovati istinitost iskaza i njegovu dokazivost. Ni od kuda ne proizlazi da ne postoje istinite, već nedokazive (i ne u potpunosti provjerljive) izjave.

Drugi intuitivni argument protiv TGN-a je suptilniji. Pretpostavimo da imamo neku nedokazivu (u okviru ove deduktivne) tvrdnje. Šta nas sprečava da to prihvatimo kao novi aksiom? Tako ćemo malo zakomplikovati naš sistem dokaza, ali to nije strašno. Ovaj argument bi bio savršeno tačan da postoji konačan broj nedokazivih tvrdnji. U praksi se može dogoditi sljedeće - nakon postuliranja novog aksioma, naići ćete na novu nedokazivu tvrdnju. Uzmite to kao još jedan aksiom - naići ćete na treći. I tako u nedogled. Kažu da će deductica ostati nepotpuno. Također možemo poduzeti snažne mjere tako da se algoritam za dokazivanje završi nakon konačnog broja koraka s nekim rezultatom za bilo koju izjavu jezika. Ali u isto vrijeme, on će početi lagati - dovesti do istine za netačne izjave, ili do laži - za vjernike. U takvim slučajevima se kaže da je deduktivna kontradiktorno. Dakle, još jedna formulacija TGN-a zvuči ovako: "Postoje propozicijski jezici za koje je potpuna konzistentna deduktika nemoguća" - otuda i naziv teoreme.

Ponekad se naziva "Gödelov teorem" tvrdnja da bilo koja teorija sadrži probleme koji se ne mogu riješiti unutar okvira same teorije i zahtijevaju njenu generalizaciju. U određenom smislu to je tačno, iako takva formulacija zamagljuje problem, a ne razjašnjava ga.

Također napominjem da ako govorimo o uobičajenim funkcijama koje prikazuju skup realni brojevi u njega, onda "neizračunljivost" funkcije nikoga ne bi iznenadila (samo nemojte brkati "izračunljive funkcije" i "izračunljive brojeve" - to su različite stvari). Svaki školarac zna da, recimo, u slučaju funkcije morate imati veliku sreću s argumentom tako da se proces izračunavanja točne decimalne reprezentacije vrijednosti ove funkcije završava u konačnom broju koraka. I najvjerovatnije ćete ga izračunati koristeći beskonačan niz, a ovo izračunavanje nikada neće dovesti do toga tačan rezultat, iako mu se može približiti koliko god želite - jednostavno zato što je vrijednost sinusa većine argumenata iracionalna. TGN nam jednostavno govori da čak i među funkcijama čiji su argumenti nizovi i čije su vrijednosti nula ili jedan, postoje i neizračunljive funkcije, iako raspoređene na potpuno drugačiji način.

U nastavku ćemo opisati "jezik formalne aritmetike". Razmotrimo klasu tekstualnih nizova konačne dužine, koja se sastoji od arapskih brojeva, varijabli (slova latinica), uzimajući prirodne vrijednosti, razmake, znakove aritmetičke operacije, jednakost i nejednakost, kvantifikatori („postoji“) i („za bilo koje“) i, možda, neki drugi simboli (njihov tačan broj i sastav su za nas nevažni). Jasno je da nisu svi takvi redovi smisleni (na primjer, "" je besmislica). Podskup smislenih izraza iz ove klase (to jest, nizovi koji su istiniti ili netačni u smislu obične aritmetike) biće naš skup iskaza.

Primjeri formalnih aritmetičkih iskaza:

itd. Sada nazovimo "formulu sa slobodnim parametrom" (FSP) stringom koji postaje izraz ako ga zamijenimo kao ovaj parametar prirodni broj. Primjeri FSP-a (sa parametrom):

itd. Drugim riječima, FSP-ovi su ekvivalentni funkcijama prirodnog argumenta s Booleovom vrijednošću.

Skup svih FSP-ova označiti slovom . Jasno je da se može poređati (na primjer, prvo ispisujemo jednoslovne formule poredane po abecednom redu, zatim formule od dva slova, itd.; po kojem će se abecedi redoslijed odvijati nije nam bitno). Dakle, bilo koji FSP odgovara svom broju na uređenoj listi, a mi ćemo ga označiti .

Pređimo sada na skicu dokaza TGN-a u sljedećoj formulaciji:

Za propozicioni jezik formalne aritmetike ne postoji potpuna konzistentna dedukcija.

Dokazaćemo kontradikcijom.

Dakle, pretpostavimo da takav deduktiv postoji. Hajde da opišemo sledeći pomoćni algoritam koji prirodnom broju dodeljuje booleovu vrednost na sledeći način:

Jednostavno rečeno, algoritam daje vrijednost TRUE ako i samo ako rezultat zamjene u FSP vlastiti broj na našoj listi daje lažnu izjavu.

Ovdje dolazimo do jedinog mjesta gdje ću zamoliti čitaoca da mi vjeruje na riječ.

Očigledno, pod gornjom pretpostavkom, bilo koji FSP iz može biti povezan s algoritmom koji sadrži prirodni broj na ulazu i Booleovu vrijednost na izlazu. Manje očigledno je suprotno:

Dokaz ove leme zahtijevao bi barem formalnu, a ne intuitivnu definiciju pojma algoritma. Međutim, ako malo razmislite, prilično je uvjerljivo. Zaista, algoritmi su napisani na algoritamskim jezicima, među kojima ima i egzotičnih kao što je, na primjer, Brainfuck, koji se sastoji od osam riječi od jednog znaka, u kojima se, ipak, može implementirati bilo koji algoritam. Bilo bi čudno kada bi se bogatiji jezik formalnih aritmetičkih formula koji smo opisali pokazao lošijim - iako, bez sumnje, nije baš pogodan za obično programiranje.

Nakon prolaska ovog klizavog mjesta, brzo dolazimo do kraja.

Dakle, gore smo opisali algoritam. Prema lemi u koju sam vas zamolio da vjerujete, postoji ekvivalentni FSP. Ima neki broj na listi - recimo. Zapitajmo se, koja je poenta? Neka bude ISTINA. Zatim, prema konstrukciji algoritma (a time i funkciji koja mu je ekvivalentna), to znači da je rezultat zamjene broja u funkciju FALSE. Na isti način se provjerava suprotno: iz FALSE slijedi TRUE. Došli smo do kontradikcije, što znači da je prvobitna pretpostavka pogrešna. Dakle, za formalnu aritmetiku ne postoji potpuna konzistentna dedukcija. Q.E.D.

Ovdje je prikladno podsjetiti se na Epimenida (vidi portret u naslovu), koji je, kao što znate, izjavio da su svi Krićani lažovi, budući da je i sam Krićanin. U sažetijoj formulaciji, njegova izjava (poznata kao "paradoks lažova") može se formulisati kao: "Lažem". Upravo takvu tvrdnju, koja sama proglašava svoju neistinitost, koristili smo za dokaz.

U zaključku, želim napomenuti da TGN ne tvrdi ništa posebno iznenađujuće. Uostalom, svi su odavno navikli na činjenicu da se svi brojevi ne mogu predstaviti kao omjer dva cijela broja (zapamtite, ova izjava ima vrlo elegantan dokaz star više od dvije hiljade godina?). I korijeni polinoma s racionalnim koeficijentima također nisu svi brojevi. A sada se pokazalo da nisu sve funkcije prirodnog argumenta izračunljive.

Skica datog dokaza bila je za formalna aritmetika, ali nije teško vidjeti da se THN primjenjuje i na mnoge druge propozicione jezike. Naravno, nisu svi jezici takvi. Na primjer, definirajmo jezik ovako:

„Bilo koja fraza Kineski je istinita izjava ako je sadržana u citatniku druga Mao Tse Tunga, a netačna je ako nije sadržana.

Tada odgovarajući kompletan i dosljedan algoritam dokazivanja (može se nazvati "dogmatski deduktivni") izgleda otprilike ovako:

“Prelistajte citate druga Mao Tse Tunga dok ne pronađete izjavu koju tražite. Ako se nađe, onda je tačno, a ako je citatnik gotov, a izjava nije pronađena, onda je lažna.

Ovdje nas spašava činjenica da je svaki citat očigledno konačan, pa će se proces "dokazivanja" neminovno završiti. Stoga je TGN neprimjenjiv na jezik dogmatskih izjava. Ali pričali smo o složenim jezicima, zar ne?

Teoreme o nepotpunosti Kurta Gödela bile su prekretnica u matematici 20. vijeka. A u njegovim rukopisima, objavljenim nakon njegove smrti, sačuvan je logičan dokaz postojanja Boga. Na poslednjim Božićnim čitanjima zanimljiv izveštaj o ovom malo poznatom nasleđu izneo je vanredni profesor Tobolske bogoslovije, kandidat teologije, sveštenik Dimitrije Kirjanov. "NS" je zatražio da objasni glavne ideje naučnika.

Gödelove teoreme o nepotpunosti: rupa u matematici

- Možete li nekako popularno objasniti Gedelove teoreme o nepotpunosti? Brijač brije samo one koji se ne briju sami. Da li se brijač sam brije? Ima li ovaj famozni paradoks ikakve veze s njima?

Glavna teza logičkog dokaza postojanja Boga, koju je iznio Kurt Gödel: "Bog postoji u razmišljanju. Ali postojanje u stvarnosti je veće od postojanja samo u mislima. Stoga, Bog mora postojati." Na fotografiji: autor teoreme nepotpunosti Kurt Godel sa svojim prijateljem, autorom teorije relativnosti Albertom Ajnštajnom. Preston. Amerika. 1950

— Da, naravno da jeste. Prije Gödela postojao je problem aksiomatizacije matematike i problem takvih paradoksalnih rečenica koje se formalno mogu napisati na bilo kojem jeziku. Na primjer: "Ova izjava je lažna." Šta je istina ove izjave? Ako je istina, onda je lažna, ako je lažna, onda je istinita; što rezultira lingvističkim paradoksom. Gödel je istraživao aritmetiku i u svojim teoremama pokazao da se njena konzistentnost ne može dokazati iz njenih samoočiglednih principa: aksioma sabiranja, oduzimanja, dijeljenja, množenja itd. Potrebne su nam neke dodatne pretpostavke da to opravdamo. Na samom je najjednostavnija teorija, ali šta je sa složenijim (fizičke jednačine, itd.)! Da bismo opravdali neki sistem rezonovanja, uvek smo prinuđeni da pribegnemo nekom dodatnom rezonovanju, koje nije opravdano u okviru sistema.

Prije svega, ovo ukazuje na ograničenost tvrdnji ljudskog uma u spoznaji stvarnosti. Odnosno, ne možemo reći da ćemo izgraditi neku vrstu sveobuhvatne teorije univerzuma koja će sve objasniti – takva teorija ne može biti naučna.

Kako matematičari sada misle o Gedelovim teoremama? Niko ih ne pokušava opovrgnuti, nekako zaobići?

“To je kao da pokušavate opovrgnuti Pitagorinu teoremu. Teoreme imaju rigorozan logički dokaz. Istovremeno se pokušavaju pronaći ograničenja u primjeni Gedelovih teorema. Ali većina kontroverzi se vrti oko filozofskih implikacija Gödelovih teorema.

Koliko je razrađen Gödelov dokaz postojanja Boga? Je li gotovo?

- To je detaljno razrađeno, iako se sam naučnik nije usudio da to objavi do svoje smrti. Gödel razvija ontološku (metafizičku. — "NS") argument koji je prvi predložio Anselm od Canterburyja. U sažetom obliku, ovaj argument se može izraziti na sljedeći način: „Bog je, po definiciji, Onaj veći od koga se ništa ne može zamisliti. Bog postoji u mislima. Ali postojanje u stvarnosti je veće od postojanja samo u mislima. Dakle, Bog mora postojati." Anselmov argument su kasnije razvili René Descartes i Gottfried Wilhelm Leibniz. Dakle, prema Descartesu, misliti Više savršeno biće, kojem nedostaje postojanje, znači pasti u logičku kontradikciju. U kontekstu ovih ideja, Gödel razvija svoju vlastitu verziju dokaza, koja doslovno staje na dvije stranice. Nažalost, izlaganje njegovog argumenta nemoguće je bez uvođenja vrlo složene modalne logike u temelje.

Naravno, logička besprijekornost Godelovih zaključaka ne tjera osobu da postane vjernik pod pritiskom sile dokaza. Ne trebamo biti naivni i vjerovati da svakog razumno možemo uvjeriti misleća osoba vjerovati u Boga kroz ontološke argumente ili druge dokaze. Vjera se rađa kada se čovjek suoči licem u lice s evidentnim prisustvom vrhovne transcendentne stvarnosti Boga. Ali postoji barem jedna osoba koju je ontološki argument doveo do religijskog vjerovanja, a to je pisac Clive Staples Lewis, koji je to i sam priznao.

Daleka budućnost je daleka prošlost

Kako su se Gedelovi savremenici osjećali o njemu? Da li je bio prijatelj sa jednim od velikih naučnika?

Ajnštajnov asistent na Princetonu svedoči o tome jedina osoba sa kojim je bio prijatelj poslednjih godinaživot je bio Kurt Gödel. Bili su različiti gotovo u svemu - Ajnštajn je društven, veseo, a Gedel izuzetno ozbiljan, potpuno usamljen i nepoverljiv. Ali jesu ukupni kvalitet: obojica su otišli pravo i iskreno na centralna pitanja nauke i filozofije. Uprkos prijateljstvu sa Ajnštajnom, Gödel je imao svoj specifičan pogled na religiju. Odbacio je ideju o Bogu kao bezličnom biću, kao što je Bog bio za Ajnštajna. Tom prilikom Gödel je primijetio: „Ajnštajnova religija je previše apstraktna, poput Spinoze i indijske filozofije. Spinozin Bog je manje od osobe; moj Bog je više od osobe; jer Bog može igrati ulogu osobe.” Možda postoje duhovi koji nemaju tijelo, ali mogu komunicirati s nama i utjecati na svijet.”

Kako je Gödel završio u Americi? Bežeći od nacista?

- Da, u Ameriku je došao 1940. iz Nemačke, uprkos činjenici da su ga nacisti priznali kao Arijevca i velikog naučnika, oslobodivši ga vojna služba. On i njegova supruga Adele proputovali su se kroz Rusiju preko Transsibirske željeznice. Nije ostavio uspomene na ovo putovanje. Adele se samo sjeća stalni strah noću, da će se zaustaviti i vratiti nazad. Nakon osam godina života u Americi, Gödel je postao američki državljanin. Kao i svi podnosioci zahteva za državljanstvo, morao je da odgovara na pitanja u vezi sa Ustavom SAD. Kao skrupulozna osoba, vrlo pažljivo se pripremao za ovaj ispit. Na kraju je rekao da je pronašao nedosljednost u Ustavu: "Otkrio sam logičnu legitimnu mogućnost u kojoj bi Sjedinjene Države mogle postati diktatura." Njegovi prijatelji su priznali da je, bez obzira na logičku vrijednost Gödelovog argumenta, ova mogućnost bila čisto hipotetičke prirode, i upozorili su na duge razgovore o toj temi na ispitu.

Da li su Gödel i Einstein koristili ideje jedni drugih u naučni rad?

— Godine 1949. Gödel je izrazio svoje kosmološke ideje u matematičkom eseju, koji je, prema Albertu Ajnštajnu, bio važan doprinos opšta teorija relativnost. Gödel je vjerovao da će vrijeme - "taj tajanstveni i u isto vrijeme samo-kontradiktorni entitet koji čini osnovu svijeta i našeg vlastitog postojanja" - na kraju postati najveća iluzija. Ono "jednog dana" će prestati da postoji i doći će drugi oblik bića, koji se može nazvati večnošću. Ova ideja vremena dovela je velikog logičara do neočekivanog zaključka. Napisao je: „Uvjeren sam u zagrobni život, bez obzira na teologiju. Ako je svijet inteligentno izgrađen, onda mora postojati zagrobni život.”

“Vrijeme je samo-kontradiktoran entitet.” Zvuči čudno; ima neke fizičko značenje?

Gödel je pokazao da je u okviru Ajnštajnove jednačine moguće konstruisati kosmološki model sa zatvorenim vremenom, gde se daleka prošlost i daleka budućnost poklapaju. U ovom modelu to postaje teoretski moguće putovanje na vrijeme. Zvuči čudno, ali matematički se može izraziti – to je poenta. Ovaj model može, ali i ne mora imati eksperimentalne implikacije. To je teorijska konstrukcija koja može, ali ne mora biti korisna u izgradnji novih kosmoloških modela. Moderna teorijska fizika, posebno kvantna kosmologija, ima tako složenu matematičku strukturu da je vrlo teško dati ovim strukturama jednoznačno filozofsko razumijevanje. Štoviše, neke od njegovih teoretskih konstrukcija su još uvijek eksperimentalno neprovjerljive iz jednostavnog razloga što njihova provjera zahtijeva detekciju čestica vrlo visoke energije. Sjetite se kako su ljudi izbezumljeni zbog lansiranja Velikog hadronskog sudarača: fondovi masovni medij stalno plašio ljude približavanjem kraja sveta. U stvari, ozbiljno naučni eksperiment testirati modele kvantne kosmologije i takozvane "teorije velikog ujedinjenja". Kada bi bilo moguće otkriti takozvane Higgsove čestice, onda bi to bio sljedeći korak u našem razumijevanju većine ranim fazama postojanje našeg univerzuma. Ali dok ne postoje eksperimentalni podaci, konkurentni modeli kvantne kosmologije i dalje su samo matematički modeli.

Vjera i intuicija

“…Moj Bog je više od osobe; jer Bog može da igra ulogu čoveka...” Da li je Gedelova vera još uvek daleko od pravoslavnog ispovedanja?

— Sačuvano je vrlo malo Gödelovih izjava o njegovoj vjeri, skupljaju se malo po malo. Uprkos činjenici da je Gödel napravio prve nacrte vlastite verzije argumenta još 1941. godine, sve do 1970. godine, plašeći se podsmijeha svojih kolega, o tome nije govorio. U februaru 1970., osjetivši da mu se bliži smrt, dozvolio je svom pomoćniku da kopira verziju njegovog dokaza. Nakon Gödelove smrti 1978. godine, u njegovim radovima pronađena je nešto drugačija verzija ontološkog argumenta. Supruga Kurta Gödela, Adele, rekla je dva dana nakon smrti njenog muža da je Gödel, "iako nije išao u crkvu, bio religiozan i čitao Bibliju u krevetu svake nedjelje ujutro".

Kada govorimo o naučnicima poput Gödela, Einsteina ili recimo Galilea ili Newtona, važno je naglasiti da oni nisu bili ateisti. Vidjeli su da iza Univerzuma postoji razum, izvjesni Velika snaga. Za mnoge naučnike, vera u postojanje Vrhovna inteligencija bila je jedna od posljedica njihovog naučnog promišljanja, a to promišljanje nije uvijek dovelo do pojave duboke religijske veze između čovjeka i Boga. Što se tiče Gedela, može se reći da je osećao potrebu za ovom vezom, jer je isticao da je teista, da o Bogu misli kao o ličnosti. Ali, naravno, njegova se vjera ne može nazvati pravoslavnom. Bio je, da tako kažemo, "domaći luteran".

- Možeš dati istorijskih primera: Kako različiti naučnici veruju u Boga? Evo genetike Francisa Collinsa, prema njegovim priznanjima, proučavanje strukture DNK dovelo je do vjere u Boga...

„Samo po sebi, prirodno znanje o Bogu nije dovoljno za spoznaju Boga. Nije dovoljno otkriti Boga proučavajući prirodu – važno je naučiti ga upoznati kroz Otkrivenje koje je Bog dao čovjeku. Dolazak osobe do vjere, bio on naučnik ili ne, uvijek se oslanja na nešto što nadilazi puke logičke ili naučne argumente. Francis Collins piše da je u vjeru došao sa 27 godina nakon dugog intelektualnog spora sa samim sobom i pod utjecajem Clivea Staplesa Lewisa. Dvoje ljudi su u istoj istorijskoj situaciji, pod istim početnim uslovima: jedan postaje vernik, drugi ateista. Samo proučavanje DNK vodi do vjerovanja u postojanje Boga. Drugi proučava i ne dolazi do toga. Dvoje ljudi gledaju sliku: jedan misli da je prelepa, a drugi kaže: "Tako-tako, obična slika!" Jedan ima ukus, intuiciju, a drugi nema. Profesor pravoslavnog Svetog Tihona humanitarni univerzitet Vladimir Nikolajevič Katasonov, doktor filozofije, matematičar po prvom obrazovanju, kaže: „Nijedan dokaz u matematici nije moguć bez intuicije: matematičar prvo vidi sliku, a onda formuliše dokaz.”

Pitanje o dolasku osobe u vjeru uvijek je pitanje koje nadilazi puko logičko rasuđivanje. Kako objasniti šta vas je dovelo do vjere? Čovek odgovara: Otišao sam u hram, razmišljao, čitao ovo i to, video harmoniju univerzuma; ali najvažniji, najizuzetniji trenutak, u kojem čovjek odjednom postane svjestan da je naišao na prisustvo Boga, ne može se izraziti. To je uvek tajna.

- Možete identifikovati probleme koji se ne mogu rešiti moderna nauka?

— Svejedno, nauka je dovoljno samouveren, nezavisan i dobro uspostavljen poduhvat da tako oštro govori. To je dobar i vrlo koristan alat u ljudskim rukama. Od vremena Francisa Bacona, znanje je zaista postalo sila koja je promijenila svijet. Nauka se razvija u skladu sa svojim unutrašnjim zakonima: naučnik nastoji da shvati zakone svemira, i nema sumnje da će ovo traganje dovesti do uspjeha. Ali u isto vrijeme potrebno je biti svjestan granica nauke. Ne treba brkati nauku sa onim ideološkim pitanjima koja se mogu postaviti u vezi sa naukom. Ključna pitanja danas su povezani ne toliko sa naučnim metodom koliko sa vrijednosne orijentacije. Nauku tokom dugog dvadesetog veka ljudi su doživljavali kao apsolutno dobro koje doprinosi napretku čovečanstva; i vidimo da je dvadeseti vek postao najokrutniji u smislu ljudskih žrtava. A tu je i pitanje vrijednosti. naučni napredak, znanje uopšte. Etičke vrijednosti ne proizilaze iz same nauke. Briljantan naučnik može da izmisli oružje za uništenje čitavog čovečanstva i tu se postavlja pitanje moralne odgovornosti naučnika, na koje nauka ne može da odgovori. Nauka ne može čovjeku ukazati na smisao i svrhu njegovog postojanja. Nauka nikada neće moći odgovoriti na pitanje zašto smo ovdje? Zašto univerzum postoji? Ova pitanja se rješavaju na različitim nivoima znanja, kao što su filozofija i religija.

— Osim Gedelovih teorema, postoji li još neki dokaz da naučna metoda ima svoje granice? Da li to sami naučnici prepoznaju?

- Već početkom 20. veka, filozofi Bergson i Huserl su ukazivali na relativna vrijednost naučna saznanja priroda. Sada je postalo gotovo univerzalno uvjerenje među filozofima nauke da naučne teorije predstavljaju hipotetičke modele za objašnjenje fenomena. Jedan od kreatora kvantna mehanika Erwin Schrödinger je to rekao elementarne čestice su samo slike, ali možemo i bez njih. Prema filozofu i logičaru Karlu Popperu, naučne teorije su poput mreže kroz koju pokušavamo da uhvatimo svijet, one nisu kao fotografije. naučne teorije su u stalnom razvoju i promjeni. Tvorci kvantne mehanike, poput Paulija, Bora, Heisenberga, govorili su o granicama naučne metode. Pauli je napisao: „...Fizika i psiha se mogu smatrati kao dodatni aspekti ista stvarnost" - i fokusiran na nesvodljivost viši nivoi biti na nižem. Razna objašnjenja svaki put pokrivaju samo jedan aspekt materije, ali sveobuhvatna teorija nikada neće biti postignuta.

Ljepota i harmonija svemira podrazumijeva mogućnost njegovog poznavanja naučne metode. U isto vrijeme, kršćani su uvijek razumjeli neshvatljivost misterije iza ovog materijalnog univerzuma. Univerzum nema utemeljenje u sebi i ukazuje na savršeni izvor bića – Boga.

Jedna od najpoznatijih teorema matematičke logike, sreća i nesreća u isto vreme. Po tome je slična Ajnštajnovoj specijalnoj teoriji relativnosti. S jedne strane, skoro svi su čuli nešto o njima. S druge strane, u popularnoj interpretaciji, Ajnštajnova teorija, kao što znate, "kaže da je sve na svetu relativno". I Gedelov teorem o nepotpunosti (u daljem tekstu jednostavno TGN), u približno jednako slobodnoj narodnoj formulaciji, "dokazuje da postoje stvari koje su neshvatljive ljudskom umu". I tako ga neki pokušavaju prilagoditi kao argument protiv materijalizma, dok drugi, naprotiv, uz njegovu pomoć dokazuju da Boga nema. Smiješno je ne samo da obje strane ne mogu biti u pravu u isto vrijeme, već i da se ni jedna ni druga ne trude da dokuče šta, u stvari, ova teorema kaže.

Matematička logika je zaista prilično komplikovana nauka, i što je najvažnije, nije baš poznata. Zahtijeva pažljive i stroge manevre, u kojima je važno ne pobrkati stvarno dokazano sa činjenicom da je "već jasno". Međutim, nadam se da će čitaocu za razumijevanje sljedećeg “crta dokaza TGN-a” biti potrebno samo znanje školske matematike/informatike, vještine logičkog razmišljanja i 15-20 minuta vremena.

Pojednostavljujući donekle, TGN tvrdi da u dovoljno složenim jezicima postoje nedokazivi prijedlozi. Ali u ovoj frazi, gotovo svaka riječ treba objašnjenje.

Prijelaz s jedne formule na drugu odvija se prema određenim dobro poznatim pravilima. Prijelaz sa 4. formule na 5. dogodio se, recimo, zato što je svaki broj jednak samom sebi - takav je aksiom aritmetike. I cijeli postupak dokazivanja, dakle, prevodi formulu u logičku vrijednost TRUE. Rezultat bi mogao biti LAŽAN - ako bismo opovrgli neku formulu. U ovom slučaju bismo dokazali njegovu negaciju. Moguće je zamisliti program (a takvi su programi zapravo napisani) koji bi dokazao takve (i složenije) tvrdnje bez ljudske intervencije.

Za ono što slijedi, potreban nam je pojam algoritma. Neću ovdje davati njegovu formalnu definiciju - to bi nas odvelo prilično u stranu. Ograničiću se na neformalno: "algoritam"- ovaj niz nedvosmislenih instrukcija ("program"), koji u konačnom broju koraka pretvara ulazne podatke u izlazne. Kurziv je fundamentalno važan - ako se program zaglavi na nekim početnim podacima, onda ne opisuje algoritam. Radi jednostavnosti i u primjeni na naš slučaj, čitalac može smatrati da je algoritam program napisan u bilo kojem njemu poznatom programskom jeziku, za koji je zagarantovano da će za bilo koji ulazni podatak iz date klase završiti svoj rad s Booleovim rezultatom.

Vrlo je moguće da će ova izjava izazvati vaš interni protest. To je zbog nekoliko okolnosti. Prvo, kada nas uče matematiku u školi, ponekad se stvara lažni utisak da su fraze „teorema je istinita“ i „teorema je moguće dokazati ili verificirati“ gotovo identične. Ali ako razmislite o tome, to uopće nije očigledno. Neke teoreme se dokazuju prilično jednostavno (na primjer, nabrajanjem malog broja opcija), a neke su vrlo teške. Razmotrimo, na primjer, Fermatovu čuvenu Posljednju teoremu:

Također napominjem da ako govorimo o uobičajenim funkcijama koje preslikavaju skup realnih brojeva u njega, onda "neizračunljivost" funkcije nikoga ne bi iznenadila (samo nemojte brkati "izračunljive funkcije" i "izračunljive brojeve" - to su različite stvari). Svaki školarac zna da, recimo, u slučaju funkcije morate imati veliku sreću s argumentom tako da se proces izračunavanja točne decimalne reprezentacije vrijednosti ove funkcije završava u konačnom broju koraka. I najvjerovatnije ćete ga izračunati koristeći beskonačan niz, a ovo izračunavanje nikada neće dovesti do tačnog rezultata, iako mu se može približiti koliko god želite - jednostavno zato što je vrijednost sinusa većine argumenata iracionalna. TGN nam jednostavno govori da čak i među funkcijama čiji su argumenti nizovi i čije su vrijednosti nula ili jedan, postoje i neizračunljive funkcije, iako raspoređene na potpuno drugačiji način.

U nastavku ćemo opisati "jezik formalne aritmetike". Razmotrimo klasu tekstualnih nizova konačne dužine, koja se sastoji od arapskih brojeva, varijabli (slova latinske abecede) koje uzimaju prirodne vrijednosti, razmaka, znakova aritmetičkih operacija, jednakosti i nejednakosti, kvantifikatora ("postoji") i ("za bilo koji" ) i, možda, neki drugi simboli (njihov tačan broj i sastav za nas su nevažni). Jasno je da nisu svi takvi redovi smisleni (na primjer, "" je besmislica). Podskup smislenih izraza iz ove klase (to jest, nizovi koji su istiniti ili netačni u smislu obične aritmetike) biće naš skup iskaza.

Primjeri formalnih aritmetičkih iskaza:

itd. Sada nazovimo "formulu sa slobodnim parametrom" (FSP) stringom koji postaje izraz ako se u njega kao ovaj parametar unese prirodni broj. Primjeri FSP-a (sa parametrom):

itd. Drugim riječima, FSP-ovi su ekvivalentni funkcijama prirodnog argumenta s Booleovom vrijednošću.

Pređimo sada na skicu dokaza TGN-a u sljedećoj formulaciji:

Za propozicioni jezik formalne aritmetike ne postoji potpuna konzistentna dedukcija.

Dokazaćemo kontradikcijom.

Dakle, pretpostavimo da takav deduktiv postoji. Hajde da opišemo sledeći pomoćni algoritam koji prirodnom broju dodeljuje booleovu vrednost na sledeći način:

Jednostavno rečeno, algoritam daje vrijednost TRUE ako i samo ako rezultat zamjene u FSP vlastiti broj na našoj listi daje lažnu izjavu.

Ovdje dolazimo do jedinog mjesta gdje ću zamoliti čitaoca da mi vjeruje na riječ.

Očigledno, pod gornjom pretpostavkom, bilo koji FSP iz može biti povezan s algoritmom koji sadrži prirodni broj na ulazu i Booleovu vrijednost na izlazu. Manje očigledno je suprotno:

Nakon prolaska ovog klizavog mjesta, brzo dolazimo do kraja.

Skica dokaza je bila za formalnu aritmetiku, ali nije teško vidjeti da se THN primjenjuje i na mnoge druge propozicione jezike. Naravno, nisu svi jezici takvi. Na primjer, definirajmo jezik ovako:

"Svaka fraza na kineskom jeziku je istinita ako je sadržana u citatniku druga Mao Tse Tunga, a netačna je ako nije sadržana."

Tada odgovarajući kompletan i dosljedan algoritam dokazivanja (može se nazvati "dogmatski deduktivni") izgleda otprilike ovako:

“Prelistajte citate druga Mao Tse Tunga dok ne pronađete izjavu koju tražite. Ako se nađe, onda je tačno, a ako je citatnik gotov, a izjava nije pronađena, onda je lažna.

Oznake: Dodajte oznake

Svaki sistem matematičkih aksioma, počevši od određenog nivoa složenosti, ili je interno nekonzistentan ili nepotpun.

Godine 1900. u Parizu je održana Svjetska konferencija matematičara, na kojoj je David Hilbert (1862-1943) u obliku sažetaka predstavio 23 najvažnija, po njegovom mišljenju, problema koje je on formulirao, a koje su trebali riješiti teoretičari. narednog dvadesetog veka. Broj dva na njegovoj listi bio je jedan od njih jednostavni zadaci, odgovor na koji se čini očiglednim dok ne zadubite malo dublje. razgovor savremeni jezik, to je bilo pitanje: da li je matematika dovoljna sama po sebi? Hilbertov drugi problem je bio da rigorozno dokaže da je sistem aksiome- osnovni iskazi uzeti u matematici kao osnova bez dokaza - savršen je i potpun, odnosno omogućava vam da matematički opišete sve što postoji. Bilo je potrebno dokazati da je moguće postaviti takav sistem aksioma koji će, prvo, biti međusobno konzistentni, a drugo, iz njih se može izvući zaključak o istinitosti ili neistinitosti bilo koje tvrdnje.

Uzmimo primjer iz školske geometrije. Standard Euklidska planimetrija(geometrija na ravni) moguće je bezuslovno dokazati da je tvrdnja "zbir uglova trougla 180°" tačna, a tvrdnja "zbir uglova trougla je 137°" netačna. U suštini, u euklidskoj geometriji, svaka izjava je ili lažna ili istinita, a treća nije data. A početkom dvadesetog veka matematičari su naivno verovali da istu situaciju treba posmatrati u svakom logički doslednom sistemu.

A onda je 1931. neki bečki matematičar Kurt Godel s naočalama uzeo i objavio kratak članak koji je jednostavno preokrenuo cijeli svijet takozvane "matematičke logike". Nakon dugih i složenih matematičkih i teorijskih preambula, on je doslovno ustanovio sljedeće. Uzmimo bilo koju izjavu poput: "Pretpostavka #247 je logički nedokaziva u ovom sistemu aksioma" i nazovimo je "tvrdnjom A". Tako je Gödel jednostavno dokazao sljedeće nevjerovatno svojstvo bilo koji aksiomski sistemi:

"Ako se izjava A može dokazati, onda se može dokazati izjava koja nije A."

Drugim riječima, ako je moguće dokazati valjanost tvrdnje „Pretpostavka 247 ne dokazivo“, onda je moguće dokazati valjanost tvrdnje „Pretpostavka 247 dokazano". Odnosno, vraćajući se na formulaciju drugog Hilbertovog problema, ako je sistem aksioma potpun (tj. bilo koja izjava u njemu može biti dokazana), onda je nedosljedan.

Jedini izlaz iz ove situacije je prihvatanje nekompletnog sistema aksioma. Odnosno, treba se pomiriti s tim da u kontekstu bilo kojeg logički sistem ostat će nam izjave tipa A za koje se zna da su istinite ili netačne - i možemo samo suditi o njihovoj istinitosti vani okvir aksiomatike koju smo usvojili. Ako takvih tvrdnji nema, onda je naša aksiomatika kontradiktorna, au njenom okviru će se neizbježno naći formulacije koje se mogu i dokazati i opovrgnuti.

Dakle, formulacija prvo,or slab Gedelove teoreme o nepotpunosti: "Svaki formalni sistem aksioma sadrži neriješene pretpostavke." Ali Gödel nije stao na tome, formulirajući i dokazujući sekunda, ili jaka Godelova teorema o nepotpunosti: „Logička potpunost (ili nepotpunost) bilo kojeg sistema aksioma ne može se dokazati u okviru ovog sistema. Da bi se to dokazalo ili opovrglo, potrebni su dodatni aksiomi (jačanje sistema).

Bilo bi sigurnije misliti da su Godelove teoreme apstraktne i da se ne tiču nas, već samo područja uzvišene matematičke logike, ali se u stvari pokazalo da su u direktnoj vezi sa strukturom ljudskog mozga. engleski matematičar a fizičar Roger Penrose (r. 1931) pokazao je da se Gedelove teoreme mogu koristiti za dokazivanje fundamentalnih razlika između ljudskog mozga i kompjutera. Poenta njegovog rezonovanja je jednostavna. Kompjuter radi strogo logički i nije u stanju da utvrdi da li je izjava A tačna ili netačna ako izlazi iz okvira aksiomatike, a takvi iskazi, prema Gödelovoj teoremi, neizbežno postoje. Osoba, suočena sa tako logički nedokazivom i nepobitnom tvrdnjom A, uvijek je u stanju da utvrdi njenu istinitost ili neistinitost – na osnovu svakodnevnog iskustva. Barem u ovome ljudski mozak nadmašuje računar okovan čistim logička kola. Ljudski mozak je u stanju da shvati punu dubinu istine sadržanu u Gedelovim teoremama, ali kompjuter nikada ne može. Stoga je ljudski mozak sve samo ne kompjuter. On je sposoban donositi odluke, i Turingov test će proći.

Pitam se da li je Hilbert imao pojma dokle će nas njegova pitanja odvesti?

Kurt Godel, 1906-78

austrijski, zatim američki matematičar. Rođen u Brünnu (Brünn, sada Brno, Češka). Diplomirao je na Univerzitetu u Beču, gdje je ostao nastavnik na Odsjeku za matematiku (od 1930. - profesor). Godine 1931. objavio je teoremu koja je kasnije dobila njegovo ime. Kao čisto apolitična osoba, izuzetno je teško preživio ubistvo svog prijatelja i službenika odjela od strane nacističkog studenta i pao u duboku depresiju čiji su ga recidivi pratili do kraja života. 1930-ih emigrirao je u Sjedinjene Države, ali se vratio u rodnu Austriju i oženio. 1940. godine, na vrhuncu rata, bio je prisiljen pobjeći u Ameriku u tranzitu kroz SSSR i Japan. Radio je neko vrijeme na Princeton institutu napredno istraživanje. Nažalost, psiha naučnika to nije mogla podnijeti, te je umro od gladi u psihijatrijskoj klinici, odbijajući jesti, jer je bio uvjeren da ga namjeravaju otrovati.