Ugao između dvije prave linije u formuli ravni. Ugao između linija na ravni

kutak između redova u prostoru nazvaćemo bilo koji od susjedni uglovi formirana od dvije ravne linije proizvoljna tačka paralelno sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i:

Dva ravno su paralelne ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l 1 paralela l 2 ako i samo ako je paralelno .

Dva ravno okomito ako i samo ako je zbir proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

At cilj između linije i ravni

Pusti liniju d- nije okomito na ravan θ;
d′− projekcija prave linije d na ravan θ;
Najmanji od uglova između pravih linija d i d′ zvaćemo ugao između prave i ravni.
Označimo to sa φ=( d,θ)
Ako a d⊥θ , tada ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− pravougaoni sistem koordinate.
Jednačina ravni:

θ: Sjekira+By+cz+D=0

Smatramo da je prava data tačkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje saznati ugao između vektora n→ i str→, označimo ga kao γ=( n→,str→).

Ako je ugao γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ako je ugao γ>π/2 , tada je traženi ugao φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

onda, ugao između prave i ravni može se izračunati pomoću formule:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+k.č 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

Pitanje 29. Koncept kvadratne forme. Znak-određenost kvadratnih oblika.

Kvadratni oblik j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih varijabli x 1, x 2, ..., x n naziva se zbir oblika
, (1)

gdje aij su neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti aij = a ji.

Kvadratni oblik se zove validan, ako aij O GR. Matrica kvadratne forme naziva se matrica sastavljena od njenih koeficijenata. Kvadratični oblik (1) odgovara jedinstvenoj simetričnoj matrici
tj. A T = A. shodno tome, kvadratni oblik(1) može se upisati matrični oblik j ( X) = x T Ah, gdje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do notacije varijabli.

Rang kvadratnog oblika naziva se rangom njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegenerisan, ako je njegova matrica nesingularna ALI. (podsjetimo da je matrica ALI naziva se nedegenerisanim ako mu je determinanta različita od nule). Inače, kvadratni oblik je degenerisan.

pozitivno definitivno(ili striktno pozitivno) ako

j ( X) > 0 , za bilo koga X = (X 1 , X 2 , …, x n), Osim toga X = (0, 0, …, 0).

Matrix ALI pozitivno određen kvadratni oblik j ( X) se također naziva pozitivno određen. Prema tome, pozitivno određeni kvadratni oblik odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.

Kvadratni oblik (1) se zove negativno određeno(ili strogo negativno) ako

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Osim toga X = (0, 0, …, 0).

Slično kao gore, negativno-definirana kvadratna matrica se također naziva negativno-definirana.

Dakle, pozitivno (negativno) određen kvadratni oblik j ( X) dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 for X* = (0, 0, …, 0).

Zapiši to večina kvadratni oblici nisu predznakom određeni, odnosno nisu ni pozitivni ni negativni. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u početku koordinatnog sistema, već iu drugim tačkama.

Kada n> 2, potrebni su posebni kriteriji za provjeru predznačne određenosti kvadratnog oblika. Hajde da ih razmotrimo.

Major Minors kvadratni oblici se nazivaju minori:

odnosno radi se o maloletnicima reda 1, 2, …, n matrice ALI nalazi se na lijevoj strani gornji ugao, posljednji od njih se poklapa sa determinantom matrice ALI.

Kriterijum za pozitivnu određenost (Sylvesterov kriterijum)

X) = x T Ah je pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice ALI bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterijum negativne sigurnosti Da bi kvadratni oblik j ( X) = x T Ah je negativno određen, potrebno je i dovoljno da su njegovi glavni minori parnog reda pozitivni, a neparnog negativni, tj.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Svakom učeniku koji se priprema za ispit iz matematike biće korisno da ponovi temu „Pronalaženje ugla između pravih“. Kao što statistika pokazuje, prilikom polaganja testa za certifikaciju, zadaci za ovaj odeljak stereometrija izaziva poteškoće za veliki broj studenti. Istovremeno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje ugla između pravih nalaze se u USE i osnovnim i nivo profila. To znači da bi svi trebali biti u mogućnosti da ih riješe.

Osnovni momenti

Postoje 4 vrste međusobnog rasporeda linija u prostoru. Mogu da se poklapaju, ukrštaju, budu paralelne ili seku. Ugao između njih može biti oštar ili ravan.

Da bi pronašli ugao između linija u Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješenju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko metoda za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti klasičnim konstrukcijama. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik treba da bude sposoban da logički gradi rasuđivanje i kreira crteže kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti vektorsko-koordinatni metod primjenom jednostavne formule, pravila i algoritme. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve proračune. Usavršite svoje vještine rješavanja problema u stereometriji i drugim temama školski kursće vam pomoći edukativni projekat"Shkolkovo".

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dvije prave linije

Slučaj kada sala peva u horu. Dva reda mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se seku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : molim vas zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se dešavati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civilizovaniji paket:

Primjer 1

Saznati međusobnog dogovora direktno:

Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

Za svaki slucaj stavicu kamen sa pokazivacima na raskrsnicu:

Ostali skaču preko kamena i slijede, pravo do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna:

Na ovaj način,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se pronaći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu(općenito odgovara svakom broju).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razlog da se bilo šta nudi nezavisno rešenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označite nepoznatu liniju slovom. Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "de".

Vektor smjera izvlačimo iz jednačine:

Odgovori:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sledećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još uvijek morate da se takmičite sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat školski program:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijsko značenje dva linearne jednačine sa dve nepoznate su dvije koje se ukrštaju (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati date linije i saznati točku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafički način rješavanja sistemi linearnih jednačina sa dvije jednačine, dvije nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima vidljivih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Zadatak se zgodno može podijeliti u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave linije.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na ovo ću se više puta fokusirati.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Počnimo sa tipičnim i vrlo važan zadatak. U prvom dijelu smo naučili kako da napravimo pravu liniju paralelnu sa datom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

Odgovori:

Hajde da otvorimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i uz pomoć tačkasti proizvod vektora zaključujemo da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite točku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Naš zabavno putovanje nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate je da pažljivo zamijenite brojeve u formulu i izvršite izračune:

Odgovori:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, odredit ću algoritam rješenja sa srednji rezultati:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta naći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućavajući vam da brojite obični razlomci. Više puta savjetovali i preporučit ću ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer za nezavisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami da pogodite, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Ugao između dvije linije

Koji god ugao, onda dovratak:


U geometriji, ugao između dve prave se uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski sledi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov „zeleni“ susjed ili suprotno orijentisan grimizni kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći uglove lako može ispostaviti negativan rezultat i ne bi trebalo da vas iznenadi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao, neophodno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje i Prvi metod

Razmotrite dvije linije dato jednačinama in opšti pogled:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentisan ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Većina veliku pažnju okrenite se nazivniku - to je tačno skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost linija u formulaciji.

Na osnovu gore navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Nalazimo ugao između linija po formuli:

Korišćenjem inverzna funkcija lako pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi Sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s direktnim .

Uputstvo

Bilješka

Period trigonometrijska funkcija tangenta je jednaka 180 stepeni, što znači da uglovi nagiba pravih linija ne mogu, po modulu, premašiti ovu vrednost.

Korisni savjeti

Ako a faktori nagiba su jednake jedna drugoj, onda je ugao između takvih pravih jednak 0, jer se takve prave ili poklapaju ili su paralelne.

Da bi se odredio ugao između linija ukrštanja, potrebno je obje linije (ili jednu od njih) prenijeti na novu poziciju metodom paralelnog prijenosa do raskrsnice. Nakon toga, trebali biste pronaći kut između rezultirajućih linija koje se sijeku.

Trebaće ti

• vladar, pravougaonog trougla, olovka, kutomjer.

Uputstvo

Dakle, neka su vektor V = (a, b, c) i ravan A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus ugla α između vektora V i N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Da biste izračunali vrijednost ugla u stepenima ili radijanima, morate izračunati funkciju inverznu kosinusu iz rezultirajućeg izraza, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primjer: nađi kutak između vektor(5, -3, 8) i avion, dato općom jednadžbom 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0. Rješenje: zapišite koordinate normalni vektor ravan N = (2, -5, 3). Zamenite sve poznate vrednosti u gornjoj formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Povezani video zapisi

Prava linija koja ima jednu sa krugom zajednička tačka, je tangenta na kružnicu. Još jedna karakteristika tangente je da je ona uvek okomita na poluprečnik povučen do tačke dodira, odnosno tangenta i poluprečnik čine pravu liniju kutak. Ako su dvije tangente na kružnicu AB i AC povučene iz jedne tačke A, onda su one uvijek jednake jedna drugoj. Definicija ugla između tangenti ( kutak ABC) se proizvodi pomoću Pitagorine teoreme.

Uputstvo

Da biste odredili ugao, morate znati poluprečnik kružnice OB i OS i udaljenost početne tačke tangente od centra kružnice - O. Dakle, uglovi ABO i ACO su jednaki, poluprečnik OB , na primjer, 10 cm, a udaljenost do središta kružnice AO je 15 cm. Odredite dužinu tangente formulom u skladu s Pitagorinom teoremom: AB = Kvadratni korijen od AO2 - OB2 ili 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

a. Neka su date dvije prave koje, kao što je naznačeno u poglavlju 1, formiraju različite pozitivne i negativne uglove, koji mogu biti oštar ili tupi. Poznavajući jedan od ovih uglova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.

Usput, za sve ove uglove, numerička vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku

Jednačine linija. Brojevi su projekcije usmjeravajućih vektora prve i druge prave.Ugao između ovih vektora jednak je jednom od uglova formiranih pravim linijama. Stoga se problem svodi na određivanje ugla između vektora. Dobijamo

Radi jednostavnosti, možemo se dogovoriti oko kuta između dvije prave da bismo razumjeli akutni pozitivni ugao (kao, na primjer, na slici 53).

Tada će tangenta ovog ugla uvijek biti pozitivna. Dakle, ako se dobije znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. zadržati samo apsolutnu vrijednost.

Primjer. Odredite ugao između linija

Po formuli (1) imamo

With. Ako se naznači koja je strana ugla njegov početak, a koja kraj, onda, računajući uvijek smjer ugla u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, možemo izvući nešto više iz formula (1). Kao što je lako vidjeti sa Sl. 53 znak dobijen na desnoj strani formule (1) će pokazati koji ugao - oštar ili tup - čini drugu liniju sa prvim.

(Zaista, sa slike 53 vidimo da je ugao između prvog i drugog vektora smjera ili jednak željenom kutu između linija, ili se od njega razlikuje za ±180°.)

d. Ako su prave paralelne, onda su i njihovi vektori pravca paralelni.Primjenom uvjeta paralelnosti dva vektora dobijamo!

Ovo je neophodan i dovoljan uslov da dve prave budu paralelne.

Primjer. Direktno

su paralelne jer

e. Ako su linije okomite, tada su i njihovi vektori pravca okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dva vektora dobijamo uvjet okomitosti dvije prave, tj.

Primjer. Direktno

okomito jer

U vezi sa uslovima paralelizma i okomitosti, rešićemo sledeća dva problema.

f. Kroz tačku nacrtajte pravu paralelnu datoj pravoj

Odluka se donosi ovako. Pošto je željena prava paralelna sa datom, onda za njen usmjeravajući vektor možemo uzeti isti kao i data prava, tj. vektor sa projekcijama A i B. I tada će se napisati jednačina željene prave u obliku (§ 1)

Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (1; 3) paralelnu pravoj liniji

bit će sljedeći!

g. Povucite pravu kroz tačku okomitu na datu pravu

Ovdje više nije prikladno uzeti vektor sa projekcijama A i kao usmjeravajući vektor, već je potrebno osvojiti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora se stoga moraju odabrati prema uslovu da su oba vektora okomita, tj.

Moguće je ispuniti ovaj uslov bezbroj načina, jer postoji jedna jednačina sa dvije nepoznanice. Ali najlakše je uzeti je. Tada će jednačina željene prave biti zapisana u obliku

Primjer. Jednadžba prave koja prolazi kroz tačku (-7; 2) u okomitoj liniji

će biti sljedeće (prema drugoj formuli)!

h. U slučaju kada su linije date jednačinama oblika