Izračunajte udaljenost d između paralelnih pravih. Pronalaženje udaljenosti između linija koje se ukrštaju - teorija, primjeri, rješenja

Zajedno sa tačkom i ravninom. Ovo je beskonačna figura koja može povezati bilo koje dvije tačke u prostoru. Prava uvijek pripada nekoj ravni. Na osnovu položaja dvije prave linije, treba koristiti različite metode za pronalaženje udaljenosti između njih.

Postoje tri opcije za lokaciju dvije linije u prostoru jedna u odnosu na drugu: one su paralelne, sijeku se ili. Druga opcija je moguća samo ako su u istoj ravni, ne isključuje pripadnost dvije paralelne ravni. Treća situacija kaže da prave leže u različitim paralelnim ravnima.

Da biste pronašli udaljenost između dvije paralelne prave, morate odrediti dužinu okomitog segmenta koji ih povezuje u bilo koje dvije točke. Kako prave imaju dvije identične koordinate, što proizilazi iz definicije njihovog paralelizma, jednadžbe pravih u dvodimenzionalnom koordinatnom prostoru mogu se napisati na sljedeći način:
L1: a x + b y + c = 0;
L2: a x + b y + d = 0.
Tada možete pronaći dužinu segmenta koristeći formulu:
s = |c - d|/√(a² + b²), a lako je vidjeti da je na C = D, tj. podudarnost pravih linija, udaljenost će biti jednaka nuli.

Jasno je da udaljenost između linija koje se sijeku u dvodimenzionalnim koordinatama nema smisla. Ali kada se nalaze u različitim ravnima, to se može naći kao dužina segmenta koji leži u ravni koja je okomita na oba. Krajevi ovog segmenta će biti tačke koje su projekcije bilo koje dve tačke pravih na ovu ravan. Drugim riječima, njegova dužina je jednaka udaljenosti između paralelnih ravnina koje sadrže ove prave. Dakle, ako su ravni date općim jednačinama:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
udaljenost između linija može se dati formulom:
s = |E – F|/√(|A1 A2| + V1 V2 + S1 S2).

Bilješka

Prave uopšteno, a posebno ukrštajuće prave su od interesa ne samo za matematičare. Njihova svojstva su korisna u mnogim drugim oblastima: u građevinarstvu i arhitekturi, u medicini i samoj prirodi.

Savjet 2: Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave

Određivanje udaljenosti između dva objekta u jednoj ili više ravnina jedan je od najčešćih zadataka u geometriji. Vođen konvencionalne metode, možete pronaći udaljenost između dvije paralelne prave.

Uputstvo

Paralelne prave su prave koje leže u istoj ravni i ili se ne seku ili poklapaju. Da biste pronašli rastojanje između paralelnih linija, treba izabrati proizvoljnu tačku na jednoj od njih, a zatim spustiti okomicu na drugu liniju. Sada ostaje samo izmjeriti dužinu rezultirajućeg segmenta. Dužina okomice koja spaja dvije paralelne prave biće udaljenost između njih.

Obratite pažnju na redosled povlačenja okomice od jedne paralelne linije do druge, jer od toga zavisi tačnost izračunate udaljenosti. Da biste to učinili, koristite alat za crtanje "trokut" s pravim kutom. Odaberite tačku na jednoj od pravih, pričvrstite na nju jednu od stranica trokuta pored pravi ugao(noga), i poravnajte drugu stranu s drugom ravnom linijom. Naoštrenom olovkom povucite liniju duž prve noge tako da dođe do suprotne prave linije.

U materijalu ovog članka analizirat ćemo pitanje pronalaženja udaljenosti između dvije paralelne prave, posebno koristeći koordinatnu metodu. Analiza tipičnih primjera pomoći će u konsolidaciji stečenog teorijskog znanja.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Udaljenost između dvije paralelne prave je rastojanje od neke proizvoljne tačke na jednoj od paralelnih pravih do druge prave.

Evo ilustracije radi jasnoće:

Crtež prikazuje dvije paralelne linije. a I b. Tačka M 1 pripada pravoj a, sa koje se ispušta okomita na pravu b. Rezultirajući segment M 1 H 1 je rastojanje između dvije paralelne prave a I b.

Navedena definicija udaljenosti između dvije paralelne prave vrijedi i za ravninu i za prave u trodimenzionalni prostor. osim toga, ovu definiciju povezan je sa sljedećom teoremom.

Teorema

Kada su dvije prave paralelne, sve tačke jedne od njih jednako su udaljene od druge prave.

Dokaz

Neka nam budu date dvije paralelne prave a I b. Postavljen na pravu liniju A tačke M 1 i M 2, iz njih ispuštamo okomite na pravu b, označavajući njihove baze kao H 1 i H 2. M 1 H 1 je rastojanje između dve paralelne prave po definiciji, a moramo dokazati da | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

Neka također postoji neka sekansa koja siječe dvije date paralelne prave. Stanje paralelnih pravih, razmatrano u odgovarajućem članku, daje nam za pravo da tvrdimo da u ovaj slučaj unutrašnji poprečni uglovi formirani na preseku sekante datih pravih jednaki su: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Prava M 2 H 2 je po konstrukciji okomita na pravu b i, naravno, okomita na pravu a. Dobijeni trokuti M 1 H 1 H 2 i M 2 M 1 H 2 su pravokutni i jednaki jedan drugom duž hipotenuze i oštri ugao: M 1 H 2 - zajednička hipotenuza, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1. Na osnovu jednakosti trouglova možemo govoriti o jednakosti njihovih stranica, odnosno: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Teorema je dokazana.

Imajte na umu da je udaljenost između dvije paralelne prave najmanja od udaljenosti od tačaka na jednoj pravoj do tačaka na drugoj.

Pronalaženje udaljenosti između paralelnih pravih

Već smo saznali da je, u stvari, za pronalaženje udaljenosti između dvije paralelne prave potrebno odrediti dužinu okomice koja je spuštena iz određene tačke na jednu pravu na drugu. Postoji nekoliko načina da to učinite. U nekim je problemima zgodno koristiti Pitagorinu teoremu; drugi uključuju upotrebu znakova jednakosti ili sličnosti trouglova, itd. U slučajevima kada su linije date u pravougaonom koordinatnom sistemu, moguće je izračunati rastojanje između dve paralelne prave koristeći koordinatnu metodu. Razmotrimo to detaljnije.

Hajde da postavimo uslove. Recimo popravljeno pravougaoni sistem koordinate, u kojima su date dvije paralelne prave a i b. Potrebno je odrediti rastojanje između datih linija.

Rješenje zadatka ćemo izgraditi na određivanju udaljenosti između paralelnih pravih: da bismo pronašli udaljenost između dvije zadate paralelne prave, potrebno je:

Naći koordinate neke tačke M 1 koja pripada jednoj od datih pravih;

Izračunajte udaljenost od tačke M 1 do date prave linije kojoj ova tačka ne pripada.

Na osnovu vještina rada sa jednadžbama prave linije u ravni ili u prostoru, lako je odrediti koordinate tačke M 1. Prilikom pronalaženja udaljenosti od tačke M 1 do prave, koristan je materijal članka o pronalaženju udaljenosti od tačke do prave.

Vratimo se na primjer. Neka je prava a opisana opštom jednačinom A x + B y + C 1 = 0, a prava b opisana jednačinom A x + B y + C 2 = 0. Tada se udaljenost između dvije date paralelne prave može izračunati pomoću formule:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Hajde da izvedemo ovu formulu.

Koristimo neku tačku M 1 (x 1 , y 1) koja pripada pravoj a . U ovom slučaju koordinate tačke M 1 će zadovoljiti jednačinu A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Dakle, jednakost je pravedna: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; iz njega dobijamo: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Kada je C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

Sa C 2 ≥ 0, normalna jednačina prave b će izgledati ovako:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

I onda za slučajeve kada je C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

A za C 2 ≥ 0, željena udaljenost određena je formulom M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Dakle, za bilo koju vrijednost broja C 2, dužina segmenta | M 1 H 1 | (od tačke M 1 do linije b) izračunava se po formuli: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Iznad imamo: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, tada možemo transformirati formulu: M 1 H 1 = - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 - C 1 A 2 +B2. Tako smo, u stvari, dobili formulu navedenu u algoritmu koordinatnog metoda.

Analizirajmo teoriju na primjerima.

Primjer 1

Date su dvije paralelne prave y = 2 3 x - 1 i x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Potrebno je odrediti udaljenost između njih.

Rješenje

Početne parametarske jednačine omogućavaju postavljanje koordinata tačke kroz koju prolazi prava linija, opisanih parametarskim jednadžbama. Tako dobijamo tačku M 1 (4, - 5) . Tražena udaljenost je rastojanje između tačke M 1 (4, - 5) i prave linije y = 2 3 x - 1, izračunajmo je.

Zadata jednačina prave linije sa nagibom y = 2 3 x - 1 pretvara se u normalnu jednačinu prave. U tu svrhu prvo vršimo prijelaz na opću jednadžbu prave linije:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Izračunajmo faktor normalizacije: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Pomnožimo oba dijela posljednje jednačine s njim i, konačno, dobijemo priliku da napišemo normalnu jednačinu prave: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

Za x = 4 i y = - 5, izračunavamo željenu udaljenost kao modul vrijednosti ekstremne jednakosti:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

odgovor: 20 13 .

Primjer 2

U fiksnom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y date su dve paralelne prave definisane jednačinama x - 3 = 0 i x + 5 0 = y - 1 1 . Potrebno je pronaći rastojanje između datih paralelnih pravih.

Rješenje

Uslovi zadatka definišu jednu opštu jednačinu, datu jednom od originalnih linija: x-3=0. Hajde da transformišemo original kanonska jednačina općenito: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . Za varijablu x, koeficijenti u obje jednačine su jednaki (takođe jednaki za y - nula), te stoga imamo priliku primijeniti formulu za pronalaženje udaljenosti između paralelnih pravih:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 = 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

Odgovori: 8 .

Konačno, razmotrite problem nalaženja udaljenosti između dvije paralelne prave u trodimenzionalnom prostoru.

Primjer 3

U pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z date su dvije paralelne prave, opisane kanonskim jednadžbama prave u prostoru: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 i x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Pronađite udaljenost između ovih linija.

Rješenje

Iz jednadžbe x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4, lako se mogu odrediti koordinate tačke kroz koju prolazi prava linija, opisane ovom jednadžbom: M 1 (3, 0, - 2 ) . Izračunajmo udaljenost | M 1 H 1 | od tačke M 1 do prave x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

Prava linija x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 prolazi kroz tačku M 2 (- 5, 1, 2). Vektor pravca prave x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 zapisujemo kao b → sa koordinatama (1 , - 1 , 4) . Odredimo koordinate vektora M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Izračunajmo unakrsni proizvod vektora:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8, 36 , 7)

Primijenimo formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave linije u prostoru:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

odgovor: 1409 3 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dvije prave

Slučaj kada sala peva u horu. Dva reda mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se seku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : molim vas zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se dešavati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , Ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civilizovaniji paket:

Primjer 1

Da shvatim međusobnog dogovora direktno:

Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

Za svaki slucaj stavicu kamen sa pokazivacima na raskrsnicu:

Ostali skaču preko kamena i slijede, pravo do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna:

dakle,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se pronaći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu(općenito odgovara svakom broju).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razlog da se bilo šta nudi nezavisna odluka, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označite nepoznatu liniju slovom. Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "de".

Vektor smjera izvlačimo iz jednačine:

Odgovori:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sledećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još uvijek morate da se takmičite sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat školski program:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijskog smisla sisteme dve linearne jednačine sa dve nepoznate su dvije koje se ukrštaju (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati date linije i saznati točku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafički način rješavanja sistemi linearnih jednačina sa dve jednačine, dve nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali ima vidljivih nedostataka. Ne, nije poenta u tome da se sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave linije.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na ovo ću se više puta fokusirati.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Počnimo sa tipičnim i vrlo važan zadatak. U prvom dijelu smo naučili kako da napravimo pravu liniju paralelnu sa datom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednačinu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

Odgovori:

Hajde da otvorimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i uz pomoć tačkasti proizvod vektora zaključujemo da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite točku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Je li naš zabavno putovanje nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate je da pažljivo zamijenite brojeve u formulu i izvršite izračune:

Odgovori:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, odredit ću algoritam rješenja sa srednji rezultati:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Oba koraka su detaljno razmotrena u ovu lekciju.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta naći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućavajući vam da brojite obični razlomci. Više puta savjetovali i preporučit ću ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer za nezavisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami da pogodite, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Ugao između dvije linije

Koji god ugao, onda dovratak:

U geometriji, ugao između dve prave se uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski sledi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov „zeleni“ susjed ili suprotno orijentisan grimizni kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći uglove lako može ispostaviti negativan rezultat i ne bi trebalo da vas iznenadi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao obavezno označite njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu) strelicom.

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje I Prvi metod

Razmotrite dvije linije dato jednačinama V opšti pogled:

Ako je ravno nije okomito, To orijentisan ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Većina veliku pažnju okrenite se nazivniku - to je tačno skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost linija u formulaciji.

Na osnovu gore navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Nalazimo ugao između linija po formuli:

Korišćenjem inverzna funkcija lako pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi Sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti prave linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s direktnim .

Za manje od minute napravio sam novu Verdov datoteku i nastavio s tako uzbudljivom temom. Treba uhvatiti trenutke radnog raspoloženja, tako da neće biti lirskog uvoda. Biće prozaičnog udaranja =)

Dva ravna prostora mogu:

1) ukrštanje;

2) seku u tački ;

3) biti paralelan;

4) podudaranje.

Slučaj broj 1 se suštinski razlikuje od ostalih slučajeva. Dvije prave se sijeku ako ne leže u istoj ravni.. Podignite jednu ruku prema gore, a drugu ispružite naprijed - evo primjera linija koje se ukrštaju. U tačkama 2-4, linije nužno leže u jednoj ravni.

Kako saznati relativni položaj linija u prostoru?

Razmotrimo dva ravna prostora:

- ravno, tačka i vektor smjera;
je prava linija definirana točkom i vektorom smjera.

Za bolje razumijevanje Napravimo šematski crtež:

Na crtežu su prikazane nagnute linije kao primjer.

Kako se nositi sa ovim redovima?

Pošto su tačke poznate, vektor je lako pronaći.

Ako je ravno križanje, zatim vektori nije komplanarno(vidi lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova), što znači da je determinanta sastavljena od njihovih koordinata različita od nule. Ili, što je zapravo isto, bit će različito od nule: .

U slučajevima br. 2-4, naša konstrukcija „pada“ u jednu ravan, dok vektori komplanarno, a mješoviti proizvod je linearan zavisni vektori jednako nuli: .

Algoritam dalje proširujemo. Pretvarajmo se to , dakle, prave se ili seku, ili su paralelne, ili se poklapaju.

Ako su vektori smjera kolinearno, tada su prave ili paralelne ili se poklapaju. Kao završni ekser, predlažem sljedeću tehniku: uzimamo bilo koju tačku jedne prave i zamjenjujemo njene koordinate u jednadžbu druge prave; ako su se koordinate "približile", onda se linije poklapaju, ako se "nisu približile", onda su linije paralelne.

Tok algoritma je jednostavan, ali praktični primjeri i dalje neće škoditi:

Primjer 11

Saznajte relativni položaj dvije linije

Rješenje: kao iu mnogim problemima geometrije, zgodno je rasporediti rješenje tačku po tačku:

1) Izvlačimo tačke i vektore pravca iz jednačina:

2) Pronađite vektor:

Dakle, vektori su koplanarni, što znači da prave leže u istoj ravni i da se mogu sijeći, biti paralelne ili poklapati.

4) Provjerite kolinearnost vektora smjera.

Sastavimo sistem od odgovarajućih koordinata ovih vektora:

Od svima Jednačina implicira da je, dakle, sistem konzistentan, odgovarajuće koordinate vektora su proporcionalne, a vektori kolinearni.

Zaključak: prave su paralelne ili se poklapaju.

5) Saznajte da li prave imaju zajedničke tačke. Uzmimo tačku koja pripada prvoj pravoj liniji i zamijenimo njene koordinate u jednadžbe prave:

dakle, zajedničke tačke prave linije nemaju, i nemaju izbora osim da budu paralelne.

Odgovori:

Zanimljiv primjer za samostalno rješenje:

Primjer 12

Saznajte relativni položaj linija

Ovo je "uradi sam" primjer. Imajte na umu da drugi red ima slovo kao parametar. Logično. IN opšti slučaj- ovo su dvije različite linije, tako da svaka linija ima svoj parametar.

I opet vas pozivam da ne preskačete primjere, smatrat ću da su zadaci koje predlažem daleko od slučajnih ;-)

Problemi sa pravom linijom u prostoru

U završnom dijelu lekcije pokušat ću razmotriti maksimalni iznos razni problemi sa prostornim linijama. U ovom slučaju će se poštovati započeti red priče: prvo ćemo razmotriti probleme sa linijama koje se seku, zatim sa linijama koje se seku, a na kraju ćemo govoriti o paralelnim linijama u prostoru. Međutim, moram reći da se neki od zadataka ove lekcije mogu formulirati za nekoliko slučajeva pravih linija odjednom, iu tom pogledu, podjela odjeljka na paragrafe je donekle proizvoljna. Ima ih još jednostavni primjeri, ima ih još složeni primjeri i nadamo se da će svako pronaći ono što mu treba.

Ukrštene linije

Podsećam vas da se prave seku ako ne postoji ravan u kojoj obe leže. Kada sam razmišljao o praksi, pao mi je na pamet čudovišni zadatak, a sada mi je drago da vam predstavim zmaja sa četiri glave:

Primjer 13

Date su ravne linije. Obavezno:

a) dokazati da se prave seku;

b) naći jednačine prave koja prolazi kroz tačku okomitu na date prave;

c) sastaviti jednačine prave linije koja sadrži zajednička okomica linije koje se seku;

d) pronađite rastojanje između pravih.

Rješenje: Put će savladati onaj koji hoda:

a) Dokažimo da se prave seku. Nađimo tačke i vektore smjera ovih pravih linija:

Nađimo vektor:

Compute mješoviti proizvod vektora:

Dakle, vektori nije komplanarno, što znači da se prave seku, što je trebalo dokazati.

Vjerojatno su svi odavno primijetili da se za nagnute linije algoritam za provjeru ispostavi da je najkraći.

b) Nađimo jednačine prave koja prolazi kroz tačku i okomita je na prave. Napravimo šematski crtež:

Radi raznovrsnosti, postavio sam direkt IZA prave linije, pogledajte kako je malo izbrisano na prelazima. Križanci? Da, u opštem slučaju, linija "de" će se preseći sa originalnim linijama. Iako ovog trenutka nas još ne zanima, samo treba da napravimo okomitu liniju i to je to.

Šta se zna o direktnom "de"? Tačka koja joj pripada je poznata. Vektor smjera nedostaje.

Po uslovu, prava mora biti okomita na prave, što znači da će njen vektor pravca biti ortogonan na vektore pravca. Motiv koji je već poznat iz primjera br. 9, pronađimo vektorski proizvod:

Sastavimo jednadžbe prave linije "de" po tački i usmjerivačkom vektoru:

Spreman. U principu, može se promijeniti predznak u nazivnicima i upisati odgovor u obrazac , ali nema potrebe za ovim.

Za provjeru potrebno je zamijeniti koordinate tačke u dobijene jednačine prave, a zatim pomoću tačkasti proizvod vektora pobrinite se da je vektor stvarno ortogonalan na vektori smjera "pe jedan" i "pe two".

Kako pronaći jednadžbe prave koja sadrži zajedničku okomicu?

c) Ovaj problem je teži. Lubenice preporučuju da preskočite ovu stavku, ne želim da hladim tvoje iskrene simpatije prema analitičkoj geometriji =) Inače, vjerovatno je bolje da i spremniji čitaoci sačekaju, činjenica je da primjer treba staviti zadnji u članku po složenosti, ali po logici prezentacije, trebalo bi da se nalazi ovde.

Dakle, potrebno je pronaći jednadžbe prave linije koja sadrži zajedničku okomicu kosih linija.

je segment koji spaja date prave i okomit je na date prave:

Evo našeg zgodnog muškarca: - zajednička okomica linija koje se seku. On je jedini. Nema drugog sličnog. Također trebamo sastaviti jednačine prave linije koja sadrži dati segment.

Šta se zna o direktnom "uh"? Njegov vektor smjera je poznat, nalazi se u prethodnom pasusu. Ali, nažalost, ne znamo ni jednu tačku koja pripada pravoj liniji "em", ne znamo krajeve okomice - tačke. Gdje ova okomita prava siječe dvije prvobitne prave? Afrika, Antarktik? Iz prvobitnog pregleda i analize stanja uopće nije jasno kako riješiti problem.... Ali postoji trik za korištenje parametarske jednačine ravno.

Hajde da donesemo odluku tačku po tačku:

1) Prepišimo jednadžbe prve prave u parametarskom obliku:

Hajde da razmotrimo poentu. Ne znamo koordinate. ALI. Ako tačka pripada datoj liniji, tada njene koordinate odgovaraju , označite ga sa . Tada će koordinate tačke biti zapisane kao:

Život postaje sve bolji, jedna nepoznata - na kraju krajeva, ne tri nepoznate.

2) Isti napad se mora izvršiti i na drugoj tački. Prepišimo jednadžbe druge prave u parametarskom obliku:

Ako tačka pripada datoj liniji, onda sa vrlo specifičnim značenjem njegove koordinate moraju zadovoljiti parametarske jednadžbe:

Ili:

3) Vektor , kao i prethodno pronađeni vektor , bit će usmjeravajući vektor linije . Kako sastaviti vektor iz dvije tačke razmatrano je od pamtivijeka u lekciji Vektori za lutke. Sada je razlika u tome što se koordinate vektora pišu sa nepoznate vrijednosti parametri. Pa šta? Niko ne zabranjuje oduzimanje odgovarajućih koordinata početka vektora od koordinata kraja vektora.

Postoje dvije tačke: .

Pronalaženje vektora:

4) Pošto su vektori smjera kolinearni, onda se jedan vektor linearno izražava kroz drugi s nekim koeficijentom proporcionalnosti "lambda":

Ili koordinativno:

Ispalo je najobičnije sistem linearnih jednačina sa tri nepoznanice, što je standardno rješivo, npr. Cramerova metoda. Ali ovdje postoji prilika da se izvučete s malo krvi, iz treće jednačine ćemo izraziti "lambda" i zamijeniti je u prvu i drugu jednačinu:

ovako: , a "lambda" nam ne treba. Činjenica da su se vrijednosti parametara pokazale iste je čista slučajnost.

5) Nebo se potpuno razvedri, zamijenite pronađene vrijednosti na naše lokacije:

Vektor smjera nije posebno potreban, jer je njegov pandan već pronađen.

Poslije dug put Uvijek je zabavno provjeriti.

:

Dobijaju se tačne jednakosti.

Zamijenite koordinate tačke u jednačine :

Dobijaju se tačne jednakosti.

6) Završni akord: sastavit ćemo jednadžbe prave linije za tačku (možete uzeti) i usmjeravajući vektor:

U principu, možete pokupiti "dobru" tačku sa cjelobrojnim koordinatama, ali ovo je kozmetički.

Kako pronaći rastojanje između linija koje se seku?

d) Posjekli smo četvrtu glavu zmaja.

Prvi metod. Čak ni ne način, već mali poseban slučaj. Udaljenost između linija koje se sijeku jednaka je dužini njihove zajedničke okomice: .

ekstremne tačke zajednička okomica nalazi se u prethodnom pasusu, a zadatak je elementaran:

Metod dva. U praksi su najčešće krajevi zajedničke okomice nepoznati, pa se koristi drugačiji pristup. Kroz dvije linije koje se ukrštaju može se nacrtati paralelne ravni, a udaljenost između datih ravnina je jednaka udaljenosti između datih linija. Konkretno, između ovih ravnina strši zajednička okomica.

U toku analitičke geometrije, iz gore navedenih razmatranja, izvedena je formula za određivanje udaljenosti između kosih linija:
(umjesto naših tačaka "em jedan, dva" možemo uzeti proizvoljne tačke pravih).

Mješoviti proizvod vektora već nalazi u paragrafu "a": .

Unakrsni proizvod vektora nalazi u paragrafu "biti": , izračunaj njegovu dužinu:

ovako:

Ponosno rasporedite trofeje u jedan red:

Odgovori:
A) , dakle, prave se sijeku, što je trebalo dokazati;
b) ;
V) ;
G)

Šta se još može reći o linijama koje se seku? Između njih je definisan ugao. Ali razmotrite formulu univerzalnog ugla u sljedećem paragrafu:

Prave linije koje se seku nužno leže u istoj ravni:

Prva misao je da se svom snagom oslonite na tačku raskrsnice. I odmah sam pomislio, zašto negirati sebe prave želje?! Hajdemo odmah!

Kako pronaći tačku preseka prostornih linija?

Primjer 14

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Prepišimo jednadžbe linija u parametarskom obliku:

Ovaj zadatak detaljno razmotreno u primjeru br. 7 ove lekcije (vidi. Jednačine prave u prostoru). A same prave linije, inače, uzeo sam iz primjera br. 12. Neću lagati, previše sam lijen da izmišljam nove.

Rješenje je standardno i s njim smo se već susreli kada smo radili jednadžbe zajedničke okomice kosih linija.

Tačka presjeka pravih pripada pravoj, stoga njene koordinate zadovoljavaju parametarske jednačine ove prave i odgovaraju vrlo specifična vrijednost parametra:

Ali ista tačka pripada drugom redu, dakle:

Jednako odgovarajuće jednačine i napravi pojednostavljenja:

Primljeno sistem od tri linearne jednačine u dvije nepoznate. Ako se prave seku (kao što je dokazano u primjeru 12), onda je sistem nužno konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Može se riješiti Gaussova metoda, ali nećemo griješiti s takvim fetišizmom u vrtiću, učinimo to lakše: iz prve jednačine izrazimo "te nula" i zamijenimo je u drugu i treću jednačinu:

Pokazalo se da su posljednje dvije jednadžbe u suštini iste, a iz njih slijedi da . onda:

Zamijenimo pronađenu vrijednost parametra u jednačine:

Odgovori:

Za provjeru, zamjenjujemo pronađenu vrijednost parametra u jednačine:
Dobivene su iste koordinate kao što je potrebno za provjeru. Pažljivi čitaoci mogu zamijeniti koordinate tačke u originalnim kanonskim jednačinama linija.

Usput, bilo je moguće učiniti suprotno: pronaći tačku kroz "es zero", i provjeriti je kroz "te zero".

Poznati matematički znak kaže: tamo gdje se govori o sjecištu pravih, uvijek se osjeća miris okomica.

Kako konstruisati liniju prostora okomitu na datu?

(linije se sijeku)

Primjer 15

a) Sastavite jednačine prave koja prolazi kroz tačku okomitu na pravu (linije se seku).

b) Odrediti udaljenost od tačke do prave.

Bilješka : klauzula "linije se seku" - značajan. Kroz tačku
moguće je nacrtati beskonačan broj okomitih linija koje će se sjeći sa pravom "el". Jedino rešenje je u slučaju kada dati poen nacrtano pravo, okomito dva date prave linije (vidi Primer br. 13, paragraf "b").

A) Rješenje: Označite nepoznatu liniju sa . Napravimo šematski crtež:

Šta se zna o liniji? Uslovom se daje bod. Da bi se sastavile jednačine prave, potrebno je pronaći vektor pravca. Kao takav vektor, vektor je sasvim prikladan i bavit ćemo se njime. Tačnije, uzmimo nepoznati kraj vektora za rub.

1) Izvući ćemo njegov usmjeravajući vektor iz jednačina prave "el", a same jednačine ćemo prepisati u parametarskom obliku:

Mnogi su pretpostavili da će sada po treći put tokom lekcije mađioničar dobiti bijeli labud iz šešira. Zamislite tačku sa nepoznatim koordinatama. Budući da je tačka , tada njene koordinate zadovoljavaju parametarske jednadžbe prave linije "el" i odgovaraju određenoj vrijednosti parametra:

Ili u jednom redu:

2) Po uslovu, prave moraju biti okomite, pa su im vektori pravca ortogonalni. A ako su vektori ortogonalni, onda njihovi skalarni proizvod jednako nuli:

Šta se desilo? Najjednostavnija linearna jednadžba sa jednom nepoznatom:

3) Vrijednost parametra je poznata, pronađimo tačku:

I vektor smjera:
.

4) Sastavićemo jednačine prave po tački i vektoru pravca :

Imenioci proporcije su se pokazali razlomcima, a to je upravo slučaj kada je prikladno riješiti se razlomaka. Samo ću ih pomnožiti sa -2:

Odgovori:

Bilješka : rigorozniji završetak rješenja sastavlja se na sljedeći način: sastavljamo jednadžbe prave linije po tački i vektoru smjera . Zaista, ako je vektor usmjeravajući vektor prave linije, tada će vektor kolinearan njemu prirodno također biti usmjeravajući vektor ove prave linije.

Verifikacija se sastoji od dvije faze:

1) provjeriti ortogonalnost vektora smjera linija;

2) Zamenimo koordinate tačke u jednačine svake prave linije, one bi trebale da „stanu“ i ovde i tamo.

Mnogo se pričalo o tipičnim radnjama, pa sam provjerio nacrt.

Usput, zaboravio sam još jednu modu - izgraditi tačku "sue" simetričnu tački "en" u odnosu na pravu liniju "el". Međutim, postoji dobar "ravni analog", koji se može naći u članku Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Ovdje će sva razlika biti u dodatnoj "Z" koordinati.

Kako pronaći udaljenost od tačke do prave u prostoru?

b) Rješenje: Pronađite udaljenost od tačke do prave.

Prvi metod. S obzirom na udaljenost tačno jednaka dužini okomice: . Rješenje je očigledno: ako su tačke poznate , To:

Metod dva. U praktičnim problemima osnova okomice je često misterija, pa je racionalnije koristiti gotovu formulu.

Udaljenost od tačke do prave izražava se formulom:
, gdje je vektor smjera prave "el", i - proizvoljno tačka na datoj pravoj.

1) Iz jednačina prave linije dobijamo vektor pravca i najpristupačniju tačku.

2) Tačka je poznata iz uslova, izoštrite vektor:

3) Hajde da pronađemo vektorski proizvod i izračunaj njegovu dužinu:

4) Izračunajte dužinu vektora smjera:

5) Dakle, udaljenost od tačke do prave:

Dokaz.

Hajde da uzmemo poentu , koji leži na liniji a, zatim koordinate tačke M1 zadovoljiti jednačinu, odnosno jednakost, odakle imamo .

Ako font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b ima oblikfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> i ako, zatim normalna jednačina prave b ima oblikfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Zatim u font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">udaljenost od tačkena ravno b izračunato po formuli, i at - prema formuli

Odnosno, za bilo koju vrijednost C2 razdaljina sa tačke na ravno b može se izračunati pomoću formule. I s obzirom na jednakost, koji je dobiven gore, tada će posljednja formula poprimiti oblikfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> Teorema je dokazana.

2. Rješavanje zadataka na pronalaženje udaljenosti između paralelnih pravih

Primjer #1.

Pronađite razmak između paralelnih linija I Rješenje.

Dobijamo opšte jednačine zadatih paralelnih pravih.

Za ravno veličina fonta:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">odgovara opštoj jednačini linije. Prijeđimo od parametarskih jednačina direktnog oblikafont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">na opštu jednadžbu ovog reda:

veličina fonta:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Varijabilni koeficijenti x I y u primljeno opšte jednačine paralelne prave su jednake, tako da možemo odmah primijeniti formulu za izračunavanje udaljenosti između paralelnih pravih na ravni:.

odgovor: veličina fonta:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Primjer #2.

Na ravni se uvodi pravougaoni koordinatni sistem Oxy i date jednačine dvije paralelne prave I . Odrediti rastojanje između datih paralelnih pravih.

Rješenje:

Prvo rešenje.

Kanonske jednadžbe prave linije na ravni oblikaveličina fonta:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana"> omogućava vam da odmah snimite koordinate tačke M1 leži na ovoj liniji:veličina fonta:12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">. Udaljenost od ove tačke do linijejednak željenoj udaljenosti između paralelnih linija. Jednačinaje normalna jednačina prava linija, dakle, možemo odmah izračunati udaljenost od tačke na ravno font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Drugo rješenje.

Opšta jednačina jedne od datih paralelnih pravih nam je već datafont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Evo kanonske jednadžbe linijena opštu jednačinu prave:. Varijabilni koeficijenti x u opštim jednačinama, date paralelne prave su jednake (sa promenljivom y koeficijenti su također jednaki - jednaki su nuli), tako da možete koristiti formulu koja vam omogućava da izračunate udaljenost između datih paralelnih linija:.

Odgovor: 8

3. Zadaća

Zadaci za samotestiranje

1. Nađite razmak između dvije paralelne prave

4. ZAKLJUČAK

Svi postavljeni ciljevi su u potpunosti ostvareni. Izrađene su dvije lekcije iz odjeljka „Međusobni raspored objekata na ravni“ na temu „Udaljenost od tačke do prave. Udaljenost između paralelnih linija” koristeći koordinatnu metodu. Materijal je odabran na pristupačnom nivou za učenike, što će omogućiti rješavanje zadataka iz geometrije jednostavnijim i ljepšim metodama.

5. SPISAK LITERATURE

1) , Yudina. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.

2) , Poznyak. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.

3) , Nikolsky Mathematics. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.

4) , Poznyak geometrija.

6.APPS

Referentni materijal

Opšta jednačina prave linije:

Ah + Wu + C = 0 ,

Gdje A I IN nije jednako nuli u isto vrijeme.

Odds A I IN su koordinate normalni vektor prava linija (tj. vektor okomit na pravu liniju). At A = 0 prava linija paralelna sa osom OH, at B = 0 prava linija paralelna sa osom O Y .

At IN0 get jednačina nagiba :