Διαιρούμε δεκαδικά. Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Εξετάστε παραδείγματα διαίρεσης δεκαδικά κλάσματαυπό αυτό το πρίσμα.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε το δεκαδικό 1,2 με το δεκαδικό 0,48.

Λύση.

Απάντηση:

1,2:0,48=2,5 .

Παράδειγμα.

Διαιρέστε το περιοδικό δεκαδικό 0.(504) με το δεκαδικό 0,56 .

Λύση.

Ας μεταφράσουμε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο:. Μεταφράζουμε επίσης το τελικό δεκαδικό κλάσμα 0,56 σε ένα συνηθισμένο, έχουμε 0,56 \u003d 56/100. Τώρα μπορούμε να περάσουμε από τη διαίρεση των αρχικών δεκαδικών στη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων και να ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς: .

Ας μεταφράσουμε τα ληφθέντα κοινό κλάσμασε δεκαδικό κλάσμα διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή με μια στήλη:

Απάντηση:

0,(504):0,56=0,(900) .

Η αρχή της διαίρεσης άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτωνδιαφέρει από την αρχή της διαίρεσης πεπερασμένων και περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων, αφού τα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά κλάσματα δεν μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Η διαίρεση των άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων ανάγεται στη διαίρεση των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων, για τα οποία εκτελείται στρογγυλοποίηση αριθμώνμέχρι ένα ορισμένο επίπεδο. Επιπλέον, εάν ένας από τους αριθμούς με τους οποίους πραγματοποιείται η διαίρεση είναι πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, τότε στρογγυλοποιείται επίσης στο ίδιο ψηφίο με το μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε το άπειρο μη επαναλαμβανόμενο δεκαδικό 0,779... με το τελικό δεκαδικό 1,5602.

Λύση.

Πρώτα πρέπει να στρογγυλοποιήσετε τα δεκαδικά κλάσματα για να μεταβείτε από τη διαίρεση ενός άπειρου μη επαναλαμβανόμενου δεκαδικού κλάσματος στη διαίρεση πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων. Μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε στα εκατοστά: 0,779…≈0,78 και 1,5602≈1,56. Έτσι, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Απάντηση:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Διαίρεση φυσικού αριθμού με δεκαδικό κλάσμα και αντίστροφα

Η ουσία της προσέγγισης για τη διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ένα δεκαδικό κλάσμα και τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με φυσικός αριθμόςδεν διαφέρει από την ουσία της διαίρεσης δεκαδικών κλασμάτων. Δηλαδή, τα πεπερασμένα και περιοδικά κλάσματα αντικαθίστανται από συνηθισμένα κλάσματα, και τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματαστρογγυλοποιούνται.

Για να το καταλάβετε, εξετάστε το παράδειγμα της διαίρεσης ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε το δεκαδικό κλάσμα 25,5 με τον φυσικό αριθμό 45.

Λύση.

Αντικαθιστώντας το δεκαδικό κλάσμα 25,5 με ένα συνηθισμένο κλάσμα 255/10=51/2, η διαίρεση ανάγεται στη διαίρεση ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό: . Το κλάσμα που προκύπτει δεκαδικός συμβολισμόςέχει τη μορφή 0,5(6) .

Απάντηση:

25,5:45=0,5(6) .

Διαίρεση δεκαδικού κλάσματος με φυσικό αριθμό με στήλη

Η διαίρεση των τελικών δεκαδικών κλασμάτων με φυσικούς αριθμούς πραγματοποιείται εύκολα από μια στήλη κατ' αναλογία με τη διαίρεση με μια στήλη φυσικών αριθμών. Εδώ είναι ο κανόνας της διαίρεσης.

Προς την διαιρέστε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη, απαραίτητη:

προσθέστε μερικά ψηφία προς τα δεξιά στο διαιρετό δεκαδικό κλάσμα 0, (κατά τη διαίρεση, εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό μηδενικών, αλλά αυτά τα μηδενικά μπορεί να μην χρειάζονται).
εκτελέστε διαίρεση με στήλη δεκαδικού κλάσματος με φυσικό αριθμό σύμφωνα με όλους τους κανόνες διαίρεσης με στήλη φυσικών αριθμών, αλλά όταν ολοκληρωθεί η διαίρεση του ακέραιου μέρους του δεκαδικού κλάσματος, τότε στον ιδιωτικό πρέπει να βάλτε κόμμα και συνεχίστε τη διαίρεση.

Ας πούμε αμέσως ότι ως αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, μπορεί να ληφθεί είτε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Πράγματι, μετά τη διαίρεση όλων των μη 0 δεκαδικών ψηφίων μέρισμα, μπορούμε να πάρουμε είτε ένα υπόλοιπο 0 , και θα πάρουμε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα, είτε τα υπόλοιπα θα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται περιοδικά και θα πάρουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Ας ασχοληθούμε με όλες τις περιπλοκές της διαίρεσης των δεκαδικών κλασμάτων σε φυσικούς αριθμούς με μια στήλη κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε το δεκαδικό 65,14 με το 4.

Λύση.

Ας εκτελέσουμε τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Ας προσθέσουμε ένα ζεύγος μηδενικών προς τα δεξιά στην εγγραφή του κλάσματος 65,14, ενώ παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα ίσο με αυτό 65,1400 (βλ. ίσα και άνισα δεκαδικά κλάσματα). Τώρα μπορείτε να αρχίσετε να διαιρείτε το ακέραιο μέρος του δεκαδικού κλάσματος 65.1400 με έναν φυσικό αριθμό 4 με μια στήλη:

Αυτό ολοκληρώνει τη διαίρεση του ακέραιου μέρους του δεκαδικού κλάσματος. Εδώ ιδιωτικά πρέπει να βάλετε μια υποδιαστολή και να συνεχίσετε τη διαίρεση:

Έχουμε φτάσει στο υπόλοιπο 0, σε αυτό το στάδιο η διαίρεση με μια στήλη τελειώνει. Ως αποτέλεσμα, έχουμε 65,14:4=16,285.

Απάντηση:

65,14:4=16,285 .

Παράδειγμα.

Διαιρέστε το 164,5 με το 27.

Λύση.

Ας διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Μετά τη διαίρεση του ακέραιου μέρους, έχουμε την ακόλουθη εικόνα:

Τώρα βάζουμε κόμμα ιδιωτικά και συνεχίζουμε τη διαίρεση με μια στήλη:

Τώρα φαίνεται καθαρά ότι τα υπολείμματα του 25, 7 και 16 έχουν αρχίσει να επαναλαμβάνονται, ενώ οι αριθμοί 9, 2 και 5 επαναλαμβάνονται στο πηλίκο. Έτσι, διαιρώντας το δεκαδικό 164,5 με το 27, μας δίνεται το περιοδικό δεκαδικό 6,0(925) .

Απάντηση:

164,5:27=6,0(925) .

Διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων με στήλη

Η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μειωθεί στη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Για να γίνει αυτό, το μέρισμα και ο διαιρέτης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν τέτοιο αριθμό 10, ή 100, ή 1000, κ.λπ., έτσι ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός αριθμός και στη συνέχεια να διαιρεθεί με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό λόγω των ιδιοτήτων της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού, αφού a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για να διαιρέσετε ένα τελικό δεκαδικό με ένα τελειωμένο δεκαδικό, χρειάζομαι:

στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά κατά όσους χαρακτήρες υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη, εάν ταυτόχρονα δεν υπάρχουν αρκετοί χαρακτήρες στο μέρισμα για να μετακινήσετε το κόμμα, τότε πρέπει να προσθέσετε απαιτούμενο ποσόμηδενικά στα δεξιά?
Μετά από αυτό, εκτελέστε τη διαίρεση με μια στήλη δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Σκεφτείτε, όταν λύνετε ένα παράδειγμα, την εφαρμογή αυτού του κανόνα για τη διαίρεση με ένα δεκαδικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Διαίρεση στήλης 7.287 με 2.1.

Λύση.

Ας μετακινήσουμε το κόμμα σε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα ένα ψηφίο προς τα δεξιά, αυτό θα μας επιτρέψει να πάμε από τη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 7,287 με το δεκαδικό κλάσμα 2,1 στη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 72,87 με τον φυσικό αριθμό 21. Ας διαιρέσουμε με μια στήλη:

Απάντηση:

7,287:2,1=3,47 .

Παράδειγμα.

Διαιρέστε το δεκαδικό 16,3 με το δεκαδικό 0,021.

Λύση.

Μετακινήστε το κόμμα στο μέρισμα και το διαιρέτη προς τα δεξιά κατά 3 ψηφία. Προφανώς, δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον διαιρέτη για να φέρουν το κόμμα, οπότε ας προσθέσουμε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στα δεξιά. Τώρα ας διαιρέσουμε τη στήλη του κλάσματος 16300,0 με τον φυσικό αριθμό 21:

Από αυτή τη στιγμή, τα υπόλοιπα 4, 19, 1, 10, 16 και 13 αρχίζουν να επαναλαμβάνονται, πράγμα που σημαίνει ότι θα επαναληφθούν και οι αριθμοί 1, 9, 0, 4, 7 και 6 στο πηλίκο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 776,(190476) .

Απάντηση:

16,3:0,021=776,(190476) .

Σημειώστε ότι ο κανόνας της φωνής σας επιτρέπει να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα με μια στήλη.

Παράδειγμα.

Διαιρέστε τον φυσικό αριθμό 3 με το δεκαδικό κλάσμα 5.4.

Λύση.

Αφού μετακινήσουμε το κόμμα 1 ψηφίο προς τα δεξιά, καταλήγουμε στη διαίρεση του αριθμού 30,0 με το 54. Ας διαιρέσουμε με μια στήλη:
.

Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί όταν διαιρούμε άπειρα δεκαδικά κλάσματα με 10, 100, .... Για παράδειγμα, 3,(56):1000=0,003(56) και 593,374…:100=5,93374… .

Διαίρεση δεκαδικών με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ.

Δεδομένου ότι 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, κ.λπ., προκύπτει από τον κανόνα της διαίρεσης με ένα συνηθισμένο κλάσμα ότι διαιρώντας ένα δεκαδικό κλάσμα με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ. . είναι σαν να πολλαπλασιάζεις το δεκαδικό με 10, 100, 1000 κ.λπ. αντίστοιχα.

Με άλλα λόγια, για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 0,1, 0,01, ... πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά 1, 2, 3, ... ψηφία και αν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στο δεκαδικό κλάσμα σε μετακινήστε το κόμμα και, στη συνέχεια, πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό στα δεξιά μηδενικά.

Για παράδειγμα, 5.739:0.1=57.39 και 0.21:0.00001=21.000 .

Ο ίδιος κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί όταν διαιρούμε άπειρα δεκαδικά με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ. Ταυτόχρονα, θα πρέπει να είναι κανείς πολύ προσεκτικός με τη διαίρεση περιοδικά κλάσματα, για να μην γίνει λάθος με την περίοδο του κλάσματος, που προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης. Για παράδειγμα, 7.5(716):0.01=757,(167) , αφού αφού μετακινήσουμε το κόμμα στην εγγραφή του δεκαδικού κλάσματος 7.5716716716 ... δύο ψηφία προς τα δεξιά, έχουμε την εγγραφή 757.167167 ... . Με άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά, όλα είναι πιο απλά: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Διαίρεση κλάσματος ή μικτού αριθμού με δεκαδικό και αντίστροφα

Η διαίρεση ενός κοινού κλάσματος ή ενός μικτού αριθμού με ένα πεπερασμένο ή επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ή η διαίρεση ενός πεπερασμένου ή επαναλαμβανόμενου δεκαδικού με ένα κοινό κλάσμα ή μικτός αριθμόςανάγεται στη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, τα δεκαδικά κλάσματα αντικαθίστανται από τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα και ο μικτός αριθμός αναπαρίσταται ως ακατάλληλο κλάσμα.

Κατά τη διαίρεση ενός άπειρου μη περιοδικού δεκαδικού κλάσματος με ένα συνηθισμένο κλάσμα ή έναν μικτό αριθμό και αντίστροφα, θα πρέπει να προχωρήσουμε στη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, αντικαθιστώντας το συνηθισμένο κλάσμα ή τον μικτό αριθμό με το αντίστοιχο δεκαδικό κλάσμα.

Βιβλιογραφία.

Μαθηματικά: σπουδές. για 5 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: εικ. ISBN 5-346-00699-0.
Μαθηματικά. 6η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., Rev. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

37. Δεκαδική διαίρεση

Μια εργασία.Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 2,88 dm 2 και το πλάτος του είναι 0,8 dm. Ποιο είναι το μήκος του ορθογωνίου;

Λύση Επειδή 2,88 dm 2 \u003d 288 cm 2 και 0,8 dm \u003d 8 cm, το μήκος του ορθογωνίου είναι 288: 8, δηλαδή 36 cm \u003d 3,6 dm. Βρήκαμε έναν αριθμό 3,6 τέτοιο ώστε 3,6 0,8 = 2,88. Είναι το πηλίκο του 2,88 διαιρούμενο με το 0,8.

Η απάντηση 3.6 μπορεί να ληφθεί χωρίς να μετατραπούν τα δεκατόμετρα σε εκατοστά. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον διαιρέτη 0,8 και το μέρισμα 2,88 με 10 (δηλαδή, μετακινήστε το κόμμα ένα ψηφίο προς τα δεξιά) και διαιρέστε το 28,8 με το 8. Και πάλι παίρνουμε:.

Για να διαιρέσουμε έναν αριθμό με δεκαδικό, απαραίτητη:
1) στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη.
2) μετά από αυτό να γίνει διαίρεση με φυσικό αριθμό.

Παράδειγμα 1Διαιρέστε το 12.096 με το 2.24. Ας μετακινήσουμε τα κόμματα 2 ψηφία προς τα δεξιά στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Παίρνουμε τους αριθμούς 1209,6 και 224.

Από τότε και .

Παράδειγμα 2Διαιρέστε το 4,5 με το 0,125. Εδώ είναι απαραίτητο να μετακινήσετε το κόμμα 3 ψηφία προς τα δεξιά στο μέρισμα και το διαιρέτη. Δεδομένου ότι υπάρχει μόνο ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή στο μέρισμα, θα προσθέσουμε δύο μηδενικά σε αυτό στα δεξιά. Αφού μετακινήσουμε το κόμμα, παίρνουμε τους αριθμούς 4500 και 125.

Από τότε και .

Τα παραδείγματα 1 και 2 δείχνουν ότι όταν διαιρούμε έναν αριθμό με ακατάλληλο κλάσμαο αριθμός αυτός μειώνεται ή δεν αλλάζει και όταν διαιρείται με το σωστό δεκαδικό κλάσμα αυξάνεται:, α.

Διαιρέστε το 2,467 με το 0,01. Αφού μετακινήσουμε το κόμμα στο μέρισμα και τον διαιρέτη κατά 2 ψηφία προς τα δεξιά, παίρνουμε ότι το πηλίκο είναι 246,7: 1, δηλαδή 246,7. Ως εκ τούτου, και 2,467: 0,01 = 246,7. Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με 0,1. 0,01; 0,001, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα σε αυτό προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν μπροστά από τη μονάδα του διαιρέτη (δηλαδή, πολλαπλασιάστε το με 10, 100, 1000).

Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί, πρέπει πρώτα να προσθέσετε μερικά μηδενικά στο τέλος του κλάσματος.

Για παράδειγμα, .

1443. Βρείτε το πηλίκο και δοκιμάστε με πολλαπλασιασμό:

α) 0,8: 0,5; β) 3,51: 2,7; γ) 14.335: 0.61.

1444. Βρείτε το πηλίκο και δοκιμάστε με διαίρεση:

α) 0,096: 0,12; 6) 0,126:0,9; γ) 42.105: 3.5.

1445. Εκτελέστε διαίρεση:

1446. Να γράψετε τις εκφράσεις:

α) το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος των a και 2,6 με τη διαφορά των b και 8,5.
β) το άθροισμα του πηλίκου x και 3,7 και του πηλίκου 3,1 και y.

1447. Διαβάστε την έκφραση:

α) m: 12,8 - n: 4,9; β) (x + 0,7): (y + 3,4); γ) (α: β) (8: γ).

1448. Το βήμα ενός άνδρα είναι 0,8 μ. Πόσα βήματα χρειάζεται να κάνει για να περπατήσει μια απόσταση 100 μ.;

1449. Ο Αλιόσα διένυσε 162,5 χλμ με το τρένο σε 2,6 ώρες Πόσο γρήγορο ήταν το τρένο;

1450. Να βρείτε τη μάζα 1 cm 3 πάγου αν η μάζα 3,5 cm 3 πάγου είναι 3,08 g.

1451. Το σχοινί κόπηκε σε δύο μέρη. Το μήκος του ενός τμήματος είναι 3,25 μέτρα και το μήκος του άλλου είναι 1,3 φορές μικρότερο από το πρώτο. Ποιο ήταν το μήκος του σχοινιού;

1452. Η πρώτη συσκευασία περιελάμβανε 6,72 κιλά αλεύρι, δηλαδή 2,4 φορές περισσότερο από τη δεύτερη συσκευασία. Πόσα κιλά αλεύρι περιείχαν και τα δύο σακουλάκια;

1453. Ο Borya ξόδεψε 3,5 φορές λιγότερο χρόνο στην προετοιμασία των μαθημάτων παρά σε έναν περίπατο. Πόσος χρόνος χρειάστηκε για να περπατήσει ο Borya και να προετοιμάσει τα μαθήματά του αν η βόλτα κράτησε 2,8 ώρες;

Η διαίρεση με ένα δεκαδικό είναι η ίδια με τη διαίρεση με έναν φυσικό αριθμό.

Κανόνας για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα δεκαδικό κλάσμα

Για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα δεκαδικό κλάσμα, είναι απαραίτητο τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά όσα ψηφία υπάρχουν στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή. Μετά από αυτό, διαιρέστε με έναν φυσικό αριθμό.

Παραδείγματα.

Εκτελέστε διαίρεση με δεκαδικό:

Για να διαιρέσετε με ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά τόσα ψηφία τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη, δηλαδή κατά ένα πρόσημο. Παίρνουμε: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. Τώρα εκτελούμε διαίρεση με γωνία. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Για να εκτελέσετε τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά με ένα σύμβολο: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Τώρα εκτελούμε έναν φυσικό αριθμό. Αποτέλεσμα: 14,76: 3,6 = 4,1.

Για να γίνει διαίρεση με δεκαδικό κλάσμα ενός φυσικού αριθμού, είναι απαραίτητο τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη να μετακινηθούν τόσοι χαρακτήρες προς τα δεξιά όσοι είναι στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή. Δεδομένου ότι το κόμμα δεν γράφεται στον διαιρέτη σε αυτήν την περίπτωση, συμπληρώνουμε τον αριθμό των χαρακτήρων που λείπουν με μηδενικά: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Διαιρούμε τους φυσικούς αριθμούς που προκύπτουν με μια γωνία: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Για να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε ένα άλλο, μετακινούμε το κόμμα προς τα δεξιά τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη με τόσα ψηφία όσα υπάρχουν στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή, δηλαδή κατά τρία ψηφία. Έτσι, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Η διαίρεση με ένα δεκαδικό κλάσμα αντικαταστάθηκε από τη διαίρεση με έναν φυσικό αριθμό. Μοιραζόμαστε μια γωνιά. Έχουμε: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Σε αυτό το σεμινάριο, θα εξετάσουμε κάθε μία από αυτές τις λειτουργίες μία προς μία.

Περιεχόμενο μαθήματος

Προσθήκη δεκαδικών αριθμών

Όπως γνωρίζουμε, ένας δεκαδικός έχει ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος. Κατά την προσθήκη δεκαδικών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη προστίθενται χωριστά.

Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα δεκαδικά ψηφία 3.2 και 5.3. Είναι πιο βολικό να προσθέτετε δεκαδικά κλάσματα σε μια στήλη.

Αρχικά, γράφουμε αυτά τα δύο κλάσματα σε μια στήλη, ενώ τα ακέραια μέρη πρέπει να βρίσκονται κάτω από τα ακέραια μέρη και τα κλασματικά κάτω από τα κλασματικά μέρη. Στο σχολείο, αυτή η απαίτηση ονομάζεται "κόμμα κάτω από κόμμα".

Ας γράψουμε τα κλάσματα σε μια στήλη έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα:

Αρχίζουμε να προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη: 2 + 3 \u003d 5. Σημειώνουμε τα πέντε στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αθροίζουμε τα ακέραια μέρη: 3 + 5 = 8. Γράφουμε το οκτώ στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα χωρίζουμε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, ακολουθούμε και πάλι τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Πήρα την απάντηση 8.5. Άρα η έκφραση 3,2 + 5,3 ισούται με 8,5

Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο απλά όσο φαίνονται με την πρώτη ματιά. Και εδώ υπάρχουν παγίδες, για τις οποίες θα μιλήσουμε τώρα.

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Οι δεκαδικοί, όπως και οι συνηθισμένοι αριθμοί, έχουν τα δικά τους ψηφία. Αυτές είναι δέκατες θέσεις, εκατοστές θέσεις, χιλιοστές θέσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, τα ψηφία αρχίζουν μετά την υποδιαστολή.

Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή είναι υπεύθυνο για τα δέκατα, το δεύτερο ψηφίο μετά την υποδιαστολή για τα εκατοστά, το τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή για τα χιλιοστά.

Τα ψηφία στα δεκαδικά κλάσματα αποθηκεύουν μερικά ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ. Συγκεκριμένα, αναφέρουν πόσα δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά είναι σε δεκαδικό.

Για παράδειγμα, θεωρήστε το δεκαδικό 0,345

Η θέση όπου βρίσκεται το τριπλό ονομάζεται δέκατη θέση

Η θέση όπου βρίσκεται το τέσσερα ονομάζεται θέση εκατοστών

Η θέση όπου βρίσκεται η πεντάρα ονομάζεται χιλιοστά

Ας δούμε αυτό το σχήμα. Βλέπουμε ότι στην κατηγορία των δέκατων υπάρχει ένα τρία. Αυτό υποδηλώνει ότι υπάρχουν τρία δέκατα στο δεκαδικό κλάσμα 0,345.

Αν προσθέσουμε τα κλάσματα, και τότε παίρνουμε το αρχικό δεκαδικό κλάσμα 0,345

Φαίνεται ότι στην αρχή πήραμε την απάντηση, αλλά τη μετατρέψαμε σε δεκαδικό κλάσμα και πήραμε 0,345.

Κατά την πρόσθεση δεκαδικών κλασμάτων, ακολουθούνται οι ίδιες αρχές και κανόνες όπως κατά την πρόσθεση συνηθισμένων αριθμών. Η πρόσθεση δεκαδικών κλασμάτων γίνεται με ψηφία: τα δέκατα προστίθενται στα δέκατα, τα εκατοστά στα εκατοστά, τα χιλιοστά στα χιλιοστά.

Επομένως, κατά την προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων, απαιτείται να ακολουθείτε τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα". Ένα κόμμα κάτω από ένα κόμμα παρέχει την ίδια σειρά με την οποία προστίθενται τα δέκατα στα δέκατα, τα εκατοστά στα εκατοστά, τα χιλιοστά στα χιλιοστά.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της παράστασης 1,5 + 3,4

Πρώτα από όλα προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη 5 + 4 = 9. Γράφουμε το εννιά στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αθροίζουμε τα ακέραια μέρη 1 + 3 = 4. Καταγράφουμε τα τέσσερα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα χωρίζουμε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, τηρούμε και πάλι τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Πήρα την απάντηση 4.9. Άρα η τιμή της παράστασης 1,5 + 3,4 είναι 4,9

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης: 3,51 + 1,22

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, τηρώντας τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα"

Πρώτα από όλα, προσθέστε το κλασματικό μέρος, δηλαδή τα εκατοστά 1+2=3. Γράφουμε το τριπλό στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα προσθέστε δέκατα του 5+2=7. Καταγράφουμε τα επτά στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα προσθέστε τα ολόκληρα μέρη 3+1=4. Καταγράφουμε τα τέσσερα σε ολόκληρο το μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίζουμε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα, τηρώντας τον κανόνα "κόμμα κάτω από το κόμμα":

Πήρα την απάντηση 4.73. Άρα η τιμή της παράστασης 3,51 + 1,22 είναι 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Όπως και με τους συνηθισμένους αριθμούς, όταν προσθέτουμε δεκαδικά κλάσματα, . Στην περίπτωση αυτή, στην απάντηση γράφεται ένα ψηφίο και τα υπόλοιπα μεταφέρονται στο επόμενο ψηφίο.

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή της παράστασης 2,65 + 3,27

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη:

Προσθέστε εκατοστά του 5+7=12. Ο αριθμός 12 δεν χωράει στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας. Επομένως, στο εκατοστό μέρος, γράφουμε τον αριθμό 2 και μεταφέρουμε τη μονάδα στο επόμενο bit:

Τώρα προσθέτουμε τα δέκατα του 6+2=8 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 9. Γράφουμε τον αριθμό 9 στο δέκατο της απάντησής μας:

Τώρα προσθέστε τα ολόκληρα μέρη 2+3=5. Γράφουμε τον αριθμό 5 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Πήρα την απάντηση 5.92. Άρα η τιμή της παράστασης 2,65 + 3,27 είναι 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή της παράστασης 9,5 + 2,8

Γράψτε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη

Προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη 5 + 8 = 13. Ο αριθμός 13 δεν χωράει στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας, οπότε γράφουμε πρώτα τον αριθμό 3 και μεταφέρουμε τη μονάδα στο επόμενο ψηφίο ή μάλλον τη μεταφέρουμε στον ακέραιο μέρος:

Τώρα προσθέτουμε τα ακέραια μέρη 9+2=11 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 12. Γράφουμε τον αριθμό 12 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρα την απάντηση 12.3. Άρα η τιμή της παράστασης 9,5 + 2,8 είναι 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Κατά την προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα πρέπει να είναι ο ίδιος. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία, τότε αυτές οι θέσεις στο κλασματικό μέρος γεμίζουν με μηδενικά.

Παράδειγμα 5. Βρείτε την τιμή της παράστασης: 12,725 + 1,7

Πριν γράψουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, ας κάνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα ίδιο. Το δεκαδικό κλάσμα 12.725 έχει τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή, ενώ το κλάσμα 1.7 έχει μόνο ένα. Έτσι στο κλάσμα 1,7 στο τέλος πρέπει να προσθέσετε δύο μηδενικά. Τότε παίρνουμε το κλάσμα 1.700. Τώρα μπορείτε να γράψετε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη και να αρχίσετε να υπολογίζετε:

Προσθέστε χιλιοστά του 5+0=5. Γράφουμε τον αριθμό 5 στο χιλιοστό μέρος της απάντησής μας:

Προσθέστε εκατοστά του 2+0=2. Γράφουμε τον αριθμό 2 στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Προσθέστε δέκατα του 7+7=14. Ο αριθμός 14 δεν χωράει στο ένα δέκατο της απάντησής μας. Επομένως, γράφουμε πρώτα τον αριθμό 4 και μεταφέρουμε τη μονάδα στο επόμενο bit:

Τώρα προσθέτουμε τα ακέραια μέρη 12+1=13 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 14. Γράφουμε τον αριθμό 14 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρε την απάντηση 14.425. Άρα η τιμή της παράστασης 12,725+1,700 είναι 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Όταν αφαιρείτε δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να ακολουθείτε τους ίδιους κανόνες όπως όταν προσθέτετε: "ένα κόμμα κάτω από ένα κόμμα" και "ίσος αριθμός ψηφίων μετά από μια υποδιαστολή".

Παράδειγμα 1Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2,5 − 2,2

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, τηρώντας τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Υπολογίζουμε το κλασματικό μέρος 5−2=3. Γράφουμε τον αριθμό 3 στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Υπολογίστε το ακέραιο μέρος 2−2=0. Γράφουμε μηδέν στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήραμε την απάντηση 0,3. Άρα η τιμή της παράστασης 2,5 − 2,2 είναι ίση με 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης 7.353 - 3.1

Σε αυτή την έκφραση διαφορετικό ποσόψηφία μετά την υποδιαστολή. Στο κλάσμα 7.353 υπάρχουν τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή και στο κλάσμα 3.1 υπάρχει μόνο ένα. Αυτό σημαίνει ότι στο κλάσμα 3.1, πρέπει να προστεθούν δύο μηδενικά στο τέλος για να γίνει ο αριθμός των ψηφίων και στα δύο κλάσματα ίδιος. Τότε παίρνουμε 3.100.

Τώρα μπορείτε να γράψετε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη και να την υπολογίσετε:

Πήρε την απάντηση 4.253. Άρα η τιμή της παράστασης 7,353 − 3,1 είναι 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Όπως και με τους συνηθισμένους αριθμούς, μερικές φορές θα πρέπει να δανειστείτε ένα από το διπλανό bit εάν η αφαίρεση καταστεί αδύνατη.

Παράδειγμα 3Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3,46 − 2,39

Αφαιρέστε τα εκατοστά του 6−9. Από τον αριθμό 6 μην αφαιρέσετε τον αριθμό 9. Επομένως, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από το διπλανό ψηφίο. Έχοντας δανειστεί ένα από το διπλανό ψηφίο, ο αριθμός 6 μετατρέπεται στον αριθμό 16. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τα εκατοστά του 16−9=7. Καταγράφουμε τα επτά στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρέστε δέκατα. Εφόσον πήραμε μία μονάδα στην κατηγορία των δέκατων, ο αριθμός που βρισκόταν εκεί μειώθηκε κατά μία μονάδα. Με άλλα λόγια, η δέκατη θέση δεν είναι πλέον ο αριθμός 4, αλλά ο αριθμός 3. Ας υπολογίσουμε τα δέκατα του 3−3=0. Γράφουμε μηδέν στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρέστε τα ακέραια μέρη 3−2=1. Γράφουμε τη μονάδα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρα την απάντηση 1.07. Άρα η τιμή της παράστασης 3,46−2,39 είναι ίση με 1,07

3,46−2,39=1,07

Παράδειγμα 4. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3−1.2

Αυτό το παράδειγμα αφαιρεί ένα δεκαδικό από έναν ακέραιο. Ας γράψουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη έτσι ώστε ολόκληρο μέροςΤο δεκαδικό κλάσμα 1,23 ήταν κάτω από τον αριθμό 3

Τώρα ας κάνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή ίδιο. Για να το κάνετε αυτό, μετά τον αριθμό 3, βάλτε κόμμα και προσθέστε ένα μηδέν:

Τώρα αφαιρέστε τα δέκατα: 0−2. Μην αφαιρείτε τον αριθμό 2 από το μηδέν. Επομένως, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από το διπλανό ψηφίο. Με δανεισμό ενός από το διπλανό ψηφίο, το 0 μετατρέπεται στον αριθμό 10. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε τα δέκατα του 10−2=8. Καταγράφουμε τα οκτώ στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρέστε τα ολόκληρα μέρη. Προηγουμένως, ο αριθμός 3 βρισκόταν στον ακέραιο, αλλά δανειστήκαμε μία μονάδα από αυτόν. Ως αποτέλεσμα, μετατράπηκε στον αριθμό 2. Επομένως, αφαιρούμε το 1 από το 2. 2−1=1. Γράφουμε τη μονάδα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρα την απάντηση 1.8. Άρα η τιμή της παράστασης 3−1,2 είναι 1,8

Δεκαδικός πολλαπλασιασμός

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών είναι εύκολος και μάλιστα διασκεδαστικός. Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικούς αριθμούς, πρέπει να τους πολλαπλασιάσετε όπως οι κανονικοί αριθμοί, αγνοώντας τα κόμματα.

Έχοντας λάβει την απάντηση, είναι απαραίτητο να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα, στη συνέχεια να μετρήσετε τον ίδιο αριθμό ψηφίων στα δεξιά στην απάντηση και να βάλετε κόμμα.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της παράστασης 2,5 × 1,5

Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένους αριθμούς, αγνοώντας τα κόμματα. Για να αγνοήσετε τα κόμματα, μπορείτε προσωρινά να φανταστείτε ότι απουσιάζουν εντελώς:

Πήραμε 375. Σε αυτόν τον αριθμό, είναι απαραίτητο να διαχωρίσουμε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κλάσματα 2,5 και 1,5. Στο πρώτο κλάσμα υπάρχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή, στο δεύτερο κλάσμα υπάρχει επίσης ένα. Συνολικά δύο αριθμοί.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 375 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρα την απάντηση 3,75. Άρα η τιμή της παράστασης 2,5 × 1,5 είναι 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης 12,85 × 2,7

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτούς τους δεκαδικούς, αγνοώντας τα κόμματα:

Πήραμε 34695. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κλάσματα 12,85 και 2,7. Στο κλάσμα 12,85 υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή, στο κλάσμα 2,7 υπάρχει ένα ψηφίο - συνολικά τρία ψηφία.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 34695 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε τρία ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρε την απάντηση 34.695. Άρα η τιμή της παράστασης 12,85 × 2,7 είναι 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Πολλαπλασιασμός δεκαδικού με κανονικό αριθμό

Μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις όπου χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν κανονικό αριθμό.

Για να πολλαπλασιάσετε έναν δεκαδικό και έναν συνηθισμένο αριθμό, πρέπει να τους πολλαπλασιάσετε, ανεξάρτητα από το κόμμα στο δεκαδικό. Έχοντας λάβει την απάντηση, είναι απαραίτητο να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα, στη συνέχεια στην απάντηση, μετρήστε τον ίδιο αριθμό ψηφίων στα δεξιά και βάλτε κόμμα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 2,54 επί 2

Πολλαπλασιάζουμε το δεκαδικό κλάσμα 2,54 με τον συνηθισμένο αριθμό 2, αγνοώντας το κόμμα:

Πήραμε τον αριθμό 508. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα 2,54. Το κλάσμα 2,54 έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 508 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρα την απάντηση 5.08. Άρα η τιμή της παράστασης 2,54 × 2 είναι 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών με 10, 100, 1000

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με 10, 100 ή 1000 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με κανονικούς αριθμούς. Είναι απαραίτητο να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, αγνοώντας το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα και, στη συνέχεια, στην απάντηση, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος, μετρώντας τον ίδιο αριθμό ψηφίων στα δεξιά όπως υπήρχαν ψηφία μετά την υποδιαστολή στην υποδιαστολή κλάσμα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 2,88 με το 10

Ας πολλαπλασιάσουμε το δεκαδικό κλάσμα 2,88 επί 10, αγνοώντας το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα:

Πήραμε 2880. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε ολόκληρο το τμήμα από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα 2,88. Βλέπουμε ότι στο κλάσμα 2,88 υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 2880 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρα την απάντηση 28,80. Απορρίπτουμε το τελευταίο μηδέν - παίρνουμε 28,8. Άρα η τιμή της παράστασης 2,88 × 10 είναι 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Υπάρχει ένας δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού των δεκαδικών κλασμάτων με 10, 100, 1000. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ απλούστερη και πιο βολική. Συνίσταται στο γεγονός ότι το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα μετακινείται προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα 2,88×10 με αυτόν τον τρόπο. Χωρίς να δώσουμε κανέναν υπολογισμό, κοιτάμε αμέσως τον παράγοντα 10. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι έχει ένα μηδέν. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, παίρνουμε 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 2,88 επί 100. Εξετάζουμε αμέσως τον παράγοντα 100. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι έχει δύο μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά δύο ψηφία, παίρνουμε 288

2,88 x 100 = 288

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 2,88 με το 1000. Εξετάζουμε αμέσως τον παράγοντα 1000. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι έχει τρία μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά τρία ψηφία. Το τρίτο ψηφίο δεν υπάρχει, οπότε προσθέτουμε άλλο ένα μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών με 0,1 0,01 και 0,001

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με 0,1, 0,01 και 0,001 λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού με ένα δεκαδικό. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί και να βάλουμε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας τόσα ψηφία στα δεξιά όσα και τα ψηφία μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 3,25 με 0,1

Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα κλάσματα σαν συνηθισμένους αριθμούς, αγνοώντας τα κόμματα:

Πήραμε 325. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε ολόκληρο το τμήμα από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κλάσματα 3,25 και 0,1. Στο κλάσμα 3,25 υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή, στο κλάσμα 0,1 υπάρχει ένα ψηφίο. Συνολικά τρεις αριθμοί.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 325 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε τρία ψηφία στα δεξιά και να βάλουμε κόμμα. Αφού μετρήσουμε τρία ψηφία, διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί έχουν τελειώσει. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να προσθέσετε ένα μηδέν και να βάλετε κόμμα:

Πήραμε την απάντηση 0,325. Άρα η τιμή της παράστασης 3,25 × 0,1 είναι 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Υπάρχει ένας δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού των δεκαδικών με 0,1, 0,01 και 0,001. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ πιο εύκολη και πιο βολική. Συνίσταται στο γεγονός ότι το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα μετακινείται προς τα αριστερά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα 3,25 × 0,1 με αυτόν τον τρόπο. Χωρίς να δώσουμε κανέναν υπολογισμό, κοιτάμε αμέσως τον παράγοντα 0,1. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι έχει ένα μηδέν. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο. Μετακινώντας το κόμμα ένα ψηφίο προς τα αριστερά, βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν άλλα ψηφία πριν από τα τρία. Σε αυτή την περίπτωση, προσθέστε ένα μηδέν και βάλτε κόμμα. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 3,25 με 0,01. Κοιτάξτε αμέσως τον πολλαπλασιαστή του 0,01. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι έχει δύο μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε το κόμμα προς τα αριστερά κατά δύο ψηφία, παίρνουμε 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 3,25 με το 0,001. Κοιτάξτε αμέσως τον πολλαπλασιαστή του 0,001. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι έχει τρία μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία, παίρνουμε 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Μην συγχέετε τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών με 0,1, 0,001 και 0,001 με τον πολλαπλασιασμό με 10, 100, 1000. Κοινό λάθοςοι περισσότεροι άνθρωποι.

Κατά τον πολλαπλασιασμό με 10, 100, 1000, το κόμμα μετακινείται προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Και κατά τον πολλαπλασιασμό με 0,1, 0,01 και 0,001, το κόμμα μετακινείται προς τα αριστερά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Εάν στην αρχή είναι δύσκολο να θυμηθείτε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο, στην οποία ο πολλαπλασιασμός εκτελείται όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς. Στην απάντηση, θα χρειαστεί να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος μετρώντας τόσα ψηφία στα δεξιά όσα και τα ψηφία μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα.

Διαιρώντας έναν μικρότερο αριθμό με έναν μεγαλύτερο. Προχωρημένο επίπεδο.

Σε ένα από τα προηγούμενα μαθήματα είπαμε ότι κατά τη διαίρεση λιγότεροιΓια περισσότερα, προκύπτει ένα κλάσμα, στον αριθμητή του οποίου είναι το μέρισμα και στον παρονομαστή ο διαιρέτης.

Για παράδειγμα, για να χωρίσετε ένα μήλο στα δύο, πρέπει να γράψετε 1 (ένα μήλο) στον αριθμητή και να γράψετε 2 (δύο φίλους) στον παρονομαστή. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα. Έτσι κάθε φίλος θα πάρει ένα μήλο. Με άλλα λόγια, μισό μήλο. Ένα κλάσμα είναι η απάντηση σε ένα πρόβλημα πώς να χωρίσετε ένα μήλο στα δύο

Αποδεικνύεται ότι μπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα περαιτέρω εάν διαιρέσετε το 1 με 2. Εξάλλου, μια κλασματική ράβδος σε οποιοδήποτε κλάσμα σημαίνει διαίρεση, πράγμα που σημαίνει ότι αυτή η διαίρεση επιτρέπεται επίσης σε ένα κλάσμα. Αλλά πως? Έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι το μέρισμα είναι πάντα μεγαλύτερο από το διαιρέτη. Και εδώ, αντίθετα, το μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

Όλα θα ξεκαθαρίσουν αν θυμηθούμε ότι κλάσμα σημαίνει συντριβή, διαίρεση, διαίρεση. Αυτό σημαίνει ότι η μονάδα μπορεί να χωριστεί σε όσα μέρη θέλετε, και όχι μόνο σε δύο μέρη.

Κατά τη διαίρεση ενός μικρότερου αριθμού με έναν μεγαλύτερο, προκύπτει ένα δεκαδικό κλάσμα, στο οποίο το ακέραιο μέρος θα είναι 0 (μηδέν). Το κλασματικό μέρος μπορεί να είναι οτιδήποτε.

Λοιπόν, ας διαιρέσουμε το 1 με το 2. Ας λύσουμε αυτό το παράδειγμα με μια γωνία:

Δεν μπορεί κανείς να χωριστεί στα δύο ακριβώς έτσι. Αν κάνετε μια ερώτηση "Πόσα δύο είναι σε ένα" , τότε η απάντηση θα είναι 0. Επομένως, στο ιδιωτικό γράφουμε 0 και βάζουμε κόμμα:

Τώρα, ως συνήθως, πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη για να βγάλουμε το υπόλοιπο:

Ήρθε η στιγμή που η μονάδα μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε ένα άλλο μηδέν στα δεξιά του ληφθέντος:

Πήραμε 10. Διαιρούμε το 10 με το 2, παίρνουμε 5. Σημειώνουμε το πέντε στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα βγάζουμε το τελευταίο υπόλοιπο για να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό. Πολλαπλασιάζουμε το 5 με το 2, παίρνουμε 10

Πήραμε την απάντηση 0,5. Άρα το κλάσμα είναι 0,5

Μισό μήλο μπορεί επίσης να γραφτεί χρησιμοποιώντας το δεκαδικό κλάσμα 0,5. Αν προσθέσουμε αυτά τα δύο μισά (0,5 και 0,5), παίρνουμε πάλι το αρχικό ένα ολόκληρο μήλο:

Αυτό το σημείο μπορεί επίσης να γίνει κατανοητό αν φανταστούμε πώς χωρίζεται 1 cm σε δύο μέρη. Αν χωρίσετε 1 εκατοστό σε 2 μέρη, παίρνετε 0,5 cm

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης 4:5

Πόσα πεντάρια είναι στα τέσσερα; Καθόλου. Γράφουμε ιδιωτικά 0 και βάζουμε κόμμα:

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με το 5, παίρνουμε 0. Γράφουμε μηδέν κάτω από τα τέσσερα. Αφαιρέστε αμέσως αυτό το μηδέν από το μέρισμα:

Τώρα ας αρχίσουμε να χωρίζουμε (χωρίζουμε) τα τέσσερα σε 5 μέρη. Για να γίνει αυτό, στα δεξιά του 4, προσθέτουμε το μηδέν και διαιρούμε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε το οκτώ ιδιωτικά.

Ολοκληρώνουμε το παράδειγμα πολλαπλασιάζοντας το 8 επί 5 και παίρνουμε 40:

Πήραμε την απάντηση 0,8. Άρα η τιμή της παράστασης 4: 5 είναι 0,8

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή της παράστασης 5: 125

Πόσοι αριθμοί 125 είναι στο πέντε; Καθόλου. Γράφουμε 0 ιδιωτικά και βάζουμε κόμμα:

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με το 5, παίρνουμε 0. Γράφουμε 0 κάτω από το πέντε. Αφαιρέστε αμέσως από τα πέντε 0

Τώρα ας αρχίσουμε να χωρίζουμε (διαιρούμε) τα πέντε σε 125 μέρη. Για να γίνει αυτό, στα δεξιά αυτού του πέντε, γράφουμε μηδέν:

Διαιρέστε το 50 με το 125. Πόσοι αριθμοί είναι το 125 στο 50; Καθόλου. Άρα στο πηλίκο γράφουμε πάλι 0

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με 125, παίρνουμε 0. Αυτό το μηδέν το γράφουμε κάτω από το 50. Αμέσως αφαιρούμε το 0 από το 50

Τώρα χωρίζουμε τον αριθμό 50 σε 125 μέρη. Για να γίνει αυτό, στα δεξιά του 50, γράφουμε ένα άλλο μηδέν:

Διαιρέστε το 500 με το 125. Πόσοι αριθμοί είναι το 125 στον αριθμό 500. Στον αριθμό 500 υπάρχουν τέσσερις αριθμοί 125. Γράφουμε τους τέσσερις ιδιωτικά:

Ολοκληρώνουμε το παράδειγμα πολλαπλασιάζοντας το 4 επί 125 και παίρνουμε 500

Πήραμε την απάντηση 0,04. Άρα η τιμή της παράστασης 5: 125 είναι 0,04

Διαίρεση αριθμών χωρίς υπόλοιπο

Λοιπόν, ας βάλουμε κόμμα στο πηλίκο μετά τη μονάδα, υποδεικνύοντας έτσι ότι η διαίρεση των ακέραιων μερών έχει τελειώσει και προχωράμε στο κλασματικό μέρος:

Προσθέστε μηδέν στο υπόλοιπο 4

Τώρα διαιρούμε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε τα οκτώ ιδιωτικά:

40−40=0. Έλαβε 0 στο υπόλοιπο. Άρα η διαίρεση έχει ολοκληρωθεί πλήρως. Διαιρώντας το 9 με το 5 προκύπτει δεκαδικό 1,8:

9: 5 = 1,8

Παράδειγμα 2. Διαιρέστε το 84 με το 5 χωρίς υπόλοιπο

Αρχικά διαιρούμε το 84 με το 5 ως συνήθως με ένα υπόλοιπο:

Παρελήφθησαν ιδιωτικά 16 και 4 ακόμη στο υπόλοιπο. Τώρα διαιρούμε αυτό το υπόλοιπο με το 5. Βάζουμε κόμμα στο ιδιωτικό και προσθέτουμε 0 στο υπόλοιπο 4

Τώρα διαιρούμε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε το οκτώ στο πηλίκο μετά την υποδιαστολή:

και συμπληρώστε το παράδειγμα ελέγχοντας αν υπάρχει ακόμα υπόλοιπο:

Διαίρεση δεκαδικού με κανονικό αριθμό

Ένα δεκαδικό κλάσμα, όπως γνωρίζουμε, αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Όταν διαιρείτε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν κανονικό αριθμό, πρώτα απ 'όλα χρειάζεστε:

διαιρέστε το ακέραιο μέρος του δεκαδικού κλάσματος με αυτόν τον αριθμό.
μετά τη διαίρεση του ακέραιου μέρους, πρέπει να βάλετε αμέσως κόμμα στο ιδιωτικό μέρος και να συνεχίσετε τον υπολογισμό, όπως στη συνηθισμένη διαίρεση.

Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 4,8 με το 2

Ας γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως γωνία:

Τώρα ας διαιρέσουμε ολόκληρο το μέρος με το 2. Τέσσερα διαιρούμενα με δύο είναι δύο. Γράφουμε το deuce ιδιωτικά και αμέσως βάζουμε κόμμα:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη και βλέπουμε αν υπάρχει υπόλοιπο από τη διαίρεση:

4−4=0. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Δεν γράφουμε ακόμη μηδέν, αφού η λύση δεν έχει ολοκληρωθεί. Στη συνέχεια συνεχίζουμε να υπολογίζουμε, όπως στη συνηθισμένη διαίρεση. Αφαιρέστε το 8 και διαιρέστε το με το 2

8: 2 = 4. Γράφουμε το τέσσερα στο πηλίκο και το πολλαπλασιάζουμε αμέσως με τον διαιρέτη:

Πήρα την απάντηση 2.4. Τιμή έκφρασης 4,8: 2 ισούται με 2,4

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης 8.43:3

Διαιρούμε το 8 με το 3, παίρνουμε 2. Βάζουμε αμέσως κόμμα μετά τα δύο:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη 2 × 3 = 6. Γράφουμε το έξι κάτω από το οκτώ και βρίσκουμε το υπόλοιπο:

Διαιρούμε το 24 με το 3, παίρνουμε 8. Γράφουμε τα οκτώ ιδιωτικά. Το πολλαπλασιάζουμε αμέσως με τον διαιρέτη για να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης:

24−24=0. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Το μηδέν δεν έχει καταγραφεί ακόμα. Πάρτε τα τρία τελευταία του μερίσματος και διαιρέστε με το 3, παίρνουμε 1. Πολλαπλασιάστε αμέσως το 1 με το 3 για να ολοκληρώσετε αυτό το παράδειγμα:

Πήρα την απάντηση 2.81. Άρα η τιμή της παράστασης 8,43: 3 ισούται με 2,81

Διαίρεση δεκαδικού με δεκαδικό

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα, στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά με τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη και, στη συνέχεια, διαιρέστε με έναν κανονικό αριθμό.

Για παράδειγμα, διαιρέστε το 5,95 με το 1,7

Ας γράψουμε αυτή την έκφραση ως γωνία

Τώρα, στο μέρισμα και στον διαιρέτη, μετακινούμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη. Ο διαιρέτης έχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Πρέπει λοιπόν να μετακινήσουμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Μεταφορά:

Αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, το δεκαδικό κλάσμα 5,95 μετατράπηκε σε κλάσμα 59,5. Και το δεκαδικό κλάσμα 1,7, αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, μετατράπηκε στον συνηθισμένο αριθμό 17. Και ξέρουμε ήδη πώς να διαιρέσουμε το δεκαδικό κλάσμα με τον συνηθισμένο αριθμό. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι δύσκολος:

Το κόμμα μετακινείται προς τα δεξιά για να διευκολυνθεί η διαίρεση. Αυτό επιτρέπεται λόγω του γεγονότος ότι κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση του μερίσματος και του διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει. Τι σημαίνει?

Αυτό είναι ένα από ενδιαφέροντα χαρακτηριστικάδιαίρεση. Ονομάζεται ιδιωτική ιδιοκτησία. Θεωρήστε την έκφραση 9: 3 = 3. Εάν σε αυτήν την παράσταση το μέρισμα και ο διαιρέτης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε το πηλίκο 3 δεν θα αλλάξει.

Ας πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη επί 2 και ας δούμε τι συμβαίνει:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, το πηλίκο δεν έχει αλλάξει.

Το ίδιο συμβαίνει όταν φέρουμε κόμμα στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Στο προηγούμενο παράδειγμα, όπου διαιρέσαμε το 5,91 με το 1,7, μετακινήσαμε το κόμμα ένα ψηφίο προς τα δεξιά στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Μετά τη μετακίνηση του κόμματος, το κλάσμα 5,91 μετατράπηκε στο κλάσμα 59,1 και το κλάσμα 1,7 μετατράπηκε στον συνηθισμένο αριθμό 17.

Στην πραγματικότητα, μέσα σε αυτή τη διαδικασία, πραγματοποιήθηκε ο πολλαπλασιασμός με το 10. Δείτε πώς έμοιαζε:

5,91 × 10 = 59,1

Επομένως, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη εξαρτάται από το με τι θα πολλαπλασιαστούν το μέρισμα και ο διαιρέτης. Με άλλα λόγια, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη θα καθορίσει πόσα ψηφία στο μέρισμα και στον διαιρέτη το κόμμα θα μετακινηθεί προς τα δεξιά.

Δεκαδική διαίρεση με 10, 100, 1000

Η διαίρεση ενός δεκαδικού με το 10, το 100 ή το 1000 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το . Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 2.1 με το 10. Ας λύσουμε αυτό το παράδειγμα με μια γωνία:

Υπάρχει όμως και δεύτερος τρόπος. Είναι πιο ελαφρύ. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι το κόμμα στο μέρισμα μετακινείται προς τα αριστερά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον διαιρέτη.

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο. 2.1: 10. Κοιτάμε το διαχωριστικό. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Έτσι, στο διαιρετό 2.1, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο. Μετακινούμε το κόμμα προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο και βλέπουμε ότι δεν έχουν μείνει άλλα ψηφία. Σε αυτήν την περίπτωση, προσθέτουμε ένα ακόμη μηδέν πριν από τον αριθμό. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 0,21

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 2,1 με το 100. Υπάρχουν δύο μηδενικά στον αριθμό 100. Έτσι, στο διαιρετό 2.1, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά κατά δύο ψηφία:

2,1: 100 = 0,021

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 2,1 με το 1000. Υπάρχουν τρία μηδενικά στον αριθμό 1000. Έτσι, στο διαιρετό 2.1, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία:

2,1: 1000 = 0,0021

Δεκαδική διαίρεση με 0,1, 0,01 και 0,001

Η διαίρεση ενός δεκαδικού με 0,1, 0,01 και 0,001 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως . Στο μέρισμα και στον διαιρέτη, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη.

Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,1. Πρώτα απ 'όλα, μετακινούμε τα κόμματα στο μέρισμα και στο διαιρέτη προς τα δεξιά κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη. Ο διαιρέτης έχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Έτσι μετακινούμε τα κόμματα στο μέρισμα και στον διαιρέτη προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο.

Αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, το δεκαδικό κλάσμα 6,3 μετατρέπεται στον συνηθισμένο αριθμό 63 και το δεκαδικό κλάσμα 0,1, αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, μετατρέπεται σε ένα. Και η διαίρεση 63 με 1 είναι πολύ απλή:

Άρα η τιμή της παράστασης 6.3: 0.1 ισούται με 63

Υπάρχει όμως και δεύτερος τρόπος. Είναι πιο ελαφρύ. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι το κόμμα στο μέρισμα μεταφέρεται προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον διαιρέτη.

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο. 6,3:0,1. Ας δούμε το διαχωριστικό. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Έτσι, στο διαιρετό 6.3, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο. Μετακινούμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο και παίρνουμε 63

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,01. Ο διαιρέτης 0,01 έχει δύο μηδενικά. Έτσι, στο διαιρετό 6.3, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά δύο ψηφία. Αλλά στο μέρισμα υπάρχει μόνο ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να προστεθεί ένα ακόμη μηδέν στο τέλος. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 630

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,001. Ο διαιρέτης του 0,001 έχει τρία μηδενικά. Έτσι, στο διαιρετό 6.3, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τρία ψηφία:

6,3: 0,001 = 6300

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

Στο τελευταίο μάθημα, μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε δεκαδικά κλάσματα (δείτε το μάθημα "Προσθήκη και αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων"). Ταυτόχρονα, υπολόγισαν πόσο απλοποιούνται οι υπολογισμοί σε σύγκριση με τα συνηθισμένα κλάσματα «διώροφων».

Δυστυχώς, με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, αυτό το φαινόμενο δεν εμφανίζεται. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο δεκαδικός συμβολισμός περιπλέκει ακόμη και αυτές τις λειτουργίες.

Αρχικά, ας εισαγάγουμε έναν νέο ορισμό. Θα τον συναντάμε αρκετά συχνά, και όχι μόνο σε αυτό το μάθημα.

Το σημαντικό μέρος ενός αριθμού είναι οτιδήποτε μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου μη μηδενικού ψηφίου, συμπεριλαμβανομένων των τρέιλερ. Είναι περίπουμόνο για τους αριθμούς, η υποδιαστολή δεν λαμβάνεται υπόψη.

Τα ψηφία που περιλαμβάνονται στο σημαντικό μέρος του αριθμού ονομάζονται σημαντικά ψηφία. Μπορούν να επαναληφθούν και να είναι ίσες με μηδέν.

Για παράδειγμα, εξετάστε πολλά δεκαδικά κλάσματα και γράψτε τα αντίστοιχα σημαντικά μέρη τους:

91,25 → 9125 (σημαντικοί αριθμοί: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (σημαντικοί αριθμοί: 8; 2; 4; 1);
15.0075 → 150075 (σημαντικοί αριθμοί: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (σημαντικοί αριθμοί: 3; 0; 4);
3000 → 3 (υπάρχει μόνο ένας σημαντικός αριθμός: 3).

Σημειώστε: τα μηδενικά μέσα στο σημαντικό μέρος του αριθμού δεν πηγαίνουν πουθενά. Έχουμε ήδη συναντήσει κάτι παρόμοιο όταν μάθαμε να μετατρέπουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα (δείτε το μάθημα «Δεκαδικά κλάσματα»).

Αυτό το σημείο είναι τόσο σημαντικό και γίνονται λάθη τόσο συχνά που θα δημοσιεύσω μια δοκιμή για αυτό το θέμα στο εγγύς μέλλον. Φροντίστε να εξασκηθείτε! Και εμείς, οπλισμένοι με την έννοια του σημαντικού μέρους, θα προχωρήσουμε, στην πραγματικότητα, στο θέμα του μαθήματος.

Δεκαδικός πολλαπλασιασμός

Η λειτουργία πολλαπλασιασμού αποτελείται από τρία διαδοχικά βήματα:

Για κάθε κλάσμα σημειώστε το σημαντικό μέρος. Θα λάβετε δύο συνηθισμένους ακέραιους αριθμούς - χωρίς παρονομαστές και δεκαδικά ψηφία.
Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς με οποιονδήποτε βολικό τρόπο. Απευθείας, αν οι αριθμοί είναι μικροί, ή σε στήλη. Παίρνουμε το σημαντικό μέρος του επιθυμητού κλάσματος.
Μάθετε πού και με πόσα ψηφία μετατοπίζεται η υποδιαστολή στα αρχικά κλάσματα για να λάβετε το αντίστοιχο σημαντικό μέρος. Εκτελέστε αντίστροφες μετατοπίσεις στο σημαντικό μέρος που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα.

Να θυμίσω για άλλη μια φορά ότι τα μηδενικά στις πλευρές του σημαντικού μέρους δεν λαμβάνονται ποτέ υπόψη. Η παράβλεψη αυτού του κανόνα οδηγεί σε σφάλματα.

0,28 12,5;

6,3 1,08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10.000.

Δουλεύουμε με την πρώτη έκφραση: 0,28 12,5.

Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη για τους αριθμούς από αυτήν την έκφραση: 28 και 125.
Το γινόμενο τους: 28 125 = 3500;
Στον πρώτο πολλαπλασιαστή, η υποδιαστολή μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά (0,28 → 28) και στο δεύτερο - κατά άλλο 1 ψηφίο. Συνολικά, χρειάζεται μια μετατόπιση προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία: 3500 → 3.500 = 3.5.

Ας ασχοληθούμε τώρα με την έκφραση 6.3 1.08.

Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη: 63 και 108.
Το γινόμενο τους: 63 108 = 6804;
Και πάλι, δύο μετατοπίσεις προς τα δεξιά: κατά 2 και 1 ψηφία, αντίστοιχα. Συνολικά - πάλι 3 ψηφία προς τα δεξιά, οπότε η αντίστροφη μετατόπιση θα είναι 3 ψηφία προς τα αριστερά: 6804 → 6.804. Αυτή τη φορά δεν υπάρχουν μηδενικά στο τέλος.

Φτάσαμε στην τρίτη έκφραση: 132,5 0,0034.

Σημαντικά μέρη: 1325 και 34;
Το γινόμενο τους: 1325 34 = 45.050;
Στο πρώτο κλάσμα, η υποδιαστολή πηγαίνει προς τα δεξιά κατά 1 ψηφίο και στο δεύτερο - κατά 4. Σύνολο: 5 προς τα δεξιά. Εκτελούμε μια μετατόπιση κατά 5 προς τα αριστερά: 45050 → .45050 = 0,4505. Το μηδέν αφαιρέθηκε στο τέλος και προστέθηκε στο μπροστινό μέρος για να μην αφήσει μια «γυμνή» υποδιαστολή.

Η ακόλουθη έκφραση: 0,0108 1600,5.

Γράφουμε σημαντικά μέρη: 108 και 16 005.
Τα πολλαπλασιάζουμε: 108 16 005 = 1 728 540;
Μετράμε τους αριθμούς μετά την υποδιαστολή: στον πρώτο αριθμό υπάρχουν 4, στον δεύτερο - 1. Συνολικά - πάλι 5. Έχουμε: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Στο τέλος αφαιρέθηκε το «έξτρα» μηδέν.

Τέλος, η τελευταία έκφραση: 5,25 10.000.

Σημαντικά μέρη: 525 και 1;
Τα πολλαπλασιάζουμε: 525 1 = 525;
Το πρώτο κλάσμα μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά και το δεύτερο κλάσμα μετατοπίζεται 4 ψηφία προς τα αριστερά (10.000 → 1.0000 = 1). Σύνολο 4 − 2 = 2 ψηφία προς τα αριστερά. Εκτελούμε αντίστροφη μετατόπιση κατά 2 ψηφία προς τα δεξιά: 525, → 52 500 (έπρεπε να προσθέσουμε μηδενικά).

δώσε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα: δεδομένου ότι η υποδιαστολή κινείται προς διαφορετικές κατευθύνσεις, η συνολική μετατόπιση γίνεται μέσω της διαφοράς. Αυτό είναι πολύ σημαντικό σημείο! Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:

Θεωρήστε τους αριθμούς 1,5 και 12,500. Έχουμε: 1,5 → 15 (μετατόπιση κατά 1 προς τα δεξιά); 12 500 → 125 (μετατόπιση 2 προς τα αριστερά). Περνάμε 1 ψηφίο προς τα δεξιά και μετά 2 ψηφία προς τα αριστερά. Ως αποτέλεσμα, περάσαμε 2 − 1 = 1 ψηφίο προς τα αριστερά.

Δεκαδική διαίρεση

Η διαίρεση είναι ίσως η μεγαλύτερη πολύπλοκη λειτουργία. Φυσικά, εδώ μπορείτε να ενεργήσετε αναλογικά με τον πολλαπλασιασμό: διαιρέστε τα σημαντικά μέρη και, στη συνέχεια, «μετακινήστε» την υποδιαστολή. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν πολλές λεπτές αποχρώσεις που αναιρούν τις πιθανές εξοικονομήσεις.

Ας δούμε λοιπόν έναν γενικό αλγόριθμο που είναι λίγο μεγαλύτερος, αλλά πολύ πιο αξιόπιστος:

Μετατρέψτε όλα τα δεκαδικά σε κοινά κλάσματα. Με λίγη εξάσκηση, αυτό το βήμα θα σας πάρει μερικά δευτερόλεπτα.
Διαιρέστε τα κλάσματα που προκύπτουν με τον κλασικό τρόπο. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο (δείτε το μάθημα " Πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμητικών κλασμάτων").
Εάν είναι δυνατόν, επιστρέψτε το αποτέλεσμα ως δεκαδικό. Αυτό το βήμα είναι επίσης γρήγορο, γιατί συχνά ο παρονομαστής έχει ήδη ισχύ δέκα.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Θεωρούμε την πρώτη έκφραση. Αρχικά, ας μετατρέψουμε τα κλάσματα obi σε δεκαδικούς:

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος αναλύεται και πάλι σε παράγοντες:

Υπάρχει ένα σημαντικό σημείο στο τρίτο και τέταρτο παράδειγμα: αφού απαλλαγούμε από τον δεκαδικό συμβολισμό, εμφανίζονται ακυρώσιμα κλάσματα. Ωστόσο, δεν θα πραγματοποιήσουμε αυτή τη μείωση.

Το τελευταίο παράδειγμα είναι ενδιαφέρον γιατί ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι πρώτος αριθμός. Απλώς δεν υπάρχει τίποτα να παραγοντοποιήσουμε εδώ, επομένως το θεωρούμε "κενό":

Μερικές φορές η διαίρεση καταλήγει σε έναν ακέραιο (μιλάω για το τελευταίο παράδειγμα). Σε αυτή την περίπτωση, το τρίτο βήμα δεν εκτελείται καθόλου.

Επιπλέον, κατά τη διαίρεση, εμφανίζονται συχνά «άσχημα» κλάσματα που δεν μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικά. Εδώ διαφέρει η διαίρεση από τον πολλαπλασιασμό, όπου τα αποτελέσματα εκφράζονται πάντα σε δεκαδική μορφή. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση, το τελευταίο βήμα και πάλι δεν εκτελείται.

Δώστε επίσης προσοχή στο 3ο και 4ο παράδειγμα. Σε αυτά, σκόπιμα δεν μειώνουμε τα συνηθισμένα κλάσματα που λαμβάνονται από δεκαδικούς. Διαφορετικά θα το κάνει πιο δύσκολο αντίστροφο πρόβλημα- αναπαράσταση της τελικής απάντησης και πάλι σε δεκαδική μορφή.

Θυμηθείτε: η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος (όπως κάθε άλλος κανόνας στα μαθηματικά) από μόνη της δεν σημαίνει ότι πρέπει να εφαρμόζεται παντού και πάντα, με κάθε ευκαιρία.