Παραδείγματα με κοινά και δεκαδικά κλάσματα. Δεκαδικοί, ορισμοί, καταγραφή, παραδείγματα, ενέργειες με δεκαδικά

Στο εργαστήριο ραπτικής υπήρχαν 5 χρώματα κορδέλας. Υπήρχε περισσότερη κόκκινη από μπλε κορδέλα κατά 2,4 μέτρα, αλλά λιγότερη από την πράσινη κορδέλα κατά 3,8 μέτρα. Η λευκή κορδέλα ήταν 1,5 μέτρο μεγαλύτερη από τη μαύρη, αλλά 1,9 μέτρα λιγότερη από την πράσινη. Πόσα μέτρα ταινία υπήρχαν στο συνεργείο αν η λευκή ταινία ήταν 7,3 μέτρα;

Απόφαση
• 1) 7,3 + 1,9 = 9,2 (m) πράσινης ταινίας ήταν στο εργαστήριο.
• 2) 7,3 - 1,5 = 5,8 (m) μαύρης ταινίας.
• 3) 9,2 - 3,8 = 5,4 (m) κόκκινη κορδέλα.
• 4) 5,4 - 2,4 = 3 (m) μπλε κορδέλα.
• 5) 7,3 + 9,2 + 5,8 + 5,4 + 3 = 30,7 (m).
• Απάντηση: συνολικά στο συνεργείο υπήρχαν 30,7 μέτρα ταινίας.

Εργασία 2

Το μήκος του ορθογώνιου τμήματος είναι 19,4 μέτρα και το πλάτος είναι 2,8 μέτρα μικρότερο. Υπολογίστε την περίμετρο του εμβαδού.

Απόφαση
• 1) 19,4 - 2,8 = 16,6 (m) πλάτος οικοπέδου.
• 2) 16,6 * 2 + 19,4 * 2 = 33,2 + 38,8 = 72 (m).
• Απάντηση: Η περίμετρος του οικοπέδου είναι 72 μέτρα.

Εργασία 3

Το μήκος ενός άλματος καγκουρό μπορεί να φτάσει τα 13,5 μέτρα σε μήκος. Το παγκόσμιο ρεκόρ για τον άνθρωπο είναι 8,95 μέτρα. Πόσο μακριά μπορεί να πηδήξει ένα καγκουρό;

Απόφαση
• 1) 13,5 - 8,95 = 4,55 (m).
• 2) Απάντηση: το καγκουρό πηδά 4,55 μέτρα πιο πέρα.

Εργασία 4

Η χαμηλότερη θερμοκρασία στον πλανήτη καταγράφηκε στο σταθμό Vostok στην Ανταρκτική, το καλοκαίρι της 21ης ​​Ιουλίου 1983, και ήταν -89,2 ° C, και η θερμότερη στην πόλη El Azizia, στις 13 Σεπτεμβρίου 1922, ήταν +57,8 ° C. Γ. Υπολογίστε τη διαφορά μεταξύ των θερμοκρασιών.

Απόφαση
• 1) 89,2 + 57,8 = 147°C.
• Απάντηση: Η διαφορά μεταξύ των θερμοκρασιών είναι 147°C.



Εργασία 5

Η χωρητικότητα μεταφοράς του φορτηγού Gazelle είναι 1,5 τόνος και το ανατρεπόμενο φορτηγό εξόρυξης BelAZ είναι 24 φορές μεγαλύτερο. Υπολογίστε την ικανότητα φόρτωσης του ανατρεπόμενου φορτηγού BelAZ.

Απόφαση
• 1) 1,5 * 24 = 36 (τόνοι).
• Απάντηση: η χωρητικότητα του BelAZ είναι 36 τόνοι.

Εργασία 6

Η μέγιστη ταχύτητα της Γης στην τροχιά της είναι 30,27 km / s και η ταχύτητα του Ερμή είναι 17,73 km μεγαλύτερη. Πόσο γρήγορος είναι ο Ερμής στην τροχιά του;

Απόφαση
• 1) 30,27 + 17,73 = 48 (km/s).
• Απάντηση: Η τροχιακή ταχύτητα του Ερμή είναι 48 km/s.

Εργασία 7

Το βάθος της τάφρου των Μαριάνων είναι 11.023 km και το ύψος του υψηλότερου βουνού στον κόσμο - Chomolungma είναι 8.848 km πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. Υπολογίστε τη διαφορά μεταξύ αυτών των δύο σημείων.

Απόφαση
• 1) 11.023 + 8.848 = 19.871 (χλμ).
• Απάντηση: 19.871 χλμ.

Εργασία 8

Για τον Kolya, όπως και για κάθε υγιή άτομο, η κανονική θερμοκρασία σώματος είναι 36,6 ° C και για τον τετράποδο φίλο του Sharik είναι 2,2 ° C περισσότερο. Ποια θερμοκρασία θεωρείται φυσιολογική για τον Sharik;

Απόφαση
• 1) 36,6 + 2,2 = 38,8°C.
• Απάντηση: Η κανονική θερμοκρασία σώματος του Sharik είναι 38,8°C.

Εργασία 9

Ο ζωγράφος ζωγράφισε 18,6 m² του φράχτη σε 1 ημέρα και ο βοηθός του ζωγράφισε 4,4 m² λιγότερο. Πόσα m2 φράχτη θα ζωγραφίσει ένας ζωγράφος και ο βοηθός του κατά τη διάρκεια μιας εργάσιμης εβδομάδας, αν είναι ίση με πέντε ημέρες;

Απόφαση
• 1) 18,6 - 4,4 \u003d 14,2 (m²) θα ζωγραφιστούν σε 1 ημέρα από τον βοηθό ζωγράφο.
• 2) 14,2 + 18,6 = 32,8 (m²) θα βαφτούν σε 1 μέρα μαζί.
• 3) 32,8 * 5 = 164 (m²).
• Απάντηση: Κατά τη διάρκεια της εργάσιμης εβδομάδας, ο ζωγράφος και ο βοηθός του θα ζωγραφίσουν μαζί 164 m² του φράχτη.

Εργασία 10

Δύο βάρκες αναχωρούσαν από δύο προβλήτες το ένα προς το άλλο ταυτόχρονα. Η ταχύτητα του ενός σκάφους είναι 42,2 km/h και του δεύτερου είναι 6 km/h παραπάνω. Ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ των σκαφών μετά από 2,5 ώρες εάν η απόσταση μεταξύ των προβλήτων είναι 140,5 km;

Απόφαση
• 1) 42,2 + 6 = 48,2 (km/h) ταχύτητα του δεύτερου σκάφους.
• 2) 42,2 * 2,5 = 105,5 (km) θα ξεπεράσει το πρώτο σκάφος σε 2,5 ώρες.
• 3) 48,2 * 2,5 = 120,5 (km) θα ξεπεράσει το δεύτερο σκάφος σε 2,5 ώρες.
• 4) 140,5 - 105,5 = 35 (km) απόσταση από το πρώτο σκάφος μέχρι την απέναντι προβλήτα.
• 5) 140,5 - 120, 5 = 20 (km) απόσταση από το δεύτερο σκάφος στην απέναντι προβλήτα.
• 6) 35 + 20 = 55 (χλμ).
• 7) 140 - 55 = 85 (χλμ).
• Απάντηση: Θα υπάρχουν 85 χλμ. μεταξύ των σκαφών.

Εργασία 11

Κάθε μέρα ένας ποδηλάτης ξεπερνά τα 30,2 χλμ. Ένας μοτοσικλετιστής, αν περνούσε τον ίδιο χρόνο, θα κάλυπτε μια απόσταση 2,5 φορές μεγαλύτερη από έναν ποδηλάτη. Πόσο μακριά μπορεί να διανύσει ένας μοτοσικλετιστής σε 4 μέρες;

Απόφαση
• 1) 30,2 * 2,5 = 75,5 (km) ένας μοτοσικλετιστής θα ξεπεράσει σε 1 ημέρα.
• 2) 75,5 * 4 = 302 (χλμ).
• Απάντηση: Ένας μοτοσικλετιστής μπορεί να διανύσει 302 km σε 4 ημέρες.

Εργασία 12

Το κατάστημα πούλησε 18,3 κιλά μπισκότα σε 1 μέρα και 2,4 κιλά λιγότερα γλυκά. Πόσα γλυκά και μπισκότα πουλήθηκαν στο μαγαζί μαζί εκείνη την ημέρα;

Απόφαση
• 1) 18,3 - 2, 4 = 15,9 (kg) γλυκών πωλήθηκαν στο κατάστημα.
• 2) 15,9 + 18,3 = 34,2 (kg).
• Απάντηση: Πουλήθηκαν 34,2 κιλά γλυκά και μπισκότα.



Παράδειγμα:

Ένα κόμμα σε δεκαδικό χωρίζει:
1) το ακέραιο μέρος του κλασματικού.
2) τόσα πρόσημα όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή ενός συνηθισμένου κλάσματος.

Πώς να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα;

Για παράδειγμα, το \(0,35\) διαβάζει "σημείο μηδέν, τριάντα πέντε εκατοστά". Άρα γράφουμε: \(0 \frac(35)(100)\). Το ακέραιο μέρος είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή, απλά δεν μπορεί να γραφτεί και το κλασματικό μέρος μπορεί να μειωθεί κατά \(5\).
Παίρνουμε: \(0,35=0\frac(35)(100)=\frac(35)(100)=\frac(7)(20)\).
Περισσότερα παραδείγματα: \(2,14=2\frac(14)(100)=\frac(214)(100)=\frac(107)(50)\);
\(7.026=7\frac(26)(1000)=\frac(7026)(1000)\).

Αυτή η μετάβαση μπορεί να γίνει ακόμα πιο γρήγορα:

Γράψτε στον αριθμητή ολόκληρο τον αριθμό χωρίς κόμμα, και στον παρονομαστή - ένα και τόσα μηδενικά, όσα ψηφία χωρίστηκαν με κόμμα.

Ακούγεται περίπλοκο, οπότε δείτε την εικόνα:

Πώς μετατρέπετε ένα κοινό κλάσμα σε δεκαδικό;

Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με έναν τέτοιο αριθμό ώστε ο παρονομαστής να είναι \(10\),\(100\),\(1000\), κ.λπ., και στη συνέχεια γράψτε το αποτέλεσμα σε δεκαδική μορφή.

Παραδείγματα:\(\frac(3)(5)\) \(=\)\(\frac(3\cdot 2)(5\cdot 2)\) \(=\)\(\frac(6)(10) \) \(=0,6\); \(\frac(63)(25)\) \(=\frac(63 \cdot 4)(25\cdot 4)\)\(=\)\(\frac(252)(100)\) \(=2,52\); \(\frac(7)(200)\) \(=\) \(\frac(7 \cdot 5)(200\cdot 5)\)\(=\)\(\frac(35)(1000)\) \(=0.035\).

Αυτή η μέθοδος λειτουργεί καλά όταν ο παρονομαστής του κλάσματος είναι: \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)…, κ.λπ., δηλαδή όταν είναι αμέσως σαφές τι πρέπει να πολλαπλασιάζω. Ωστόσο, σε άλλες περιπτώσεις:

Για να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(7)(8)\) είναι πιο εύκολο να μετατραπεί διαιρώντας το \(7\) με το \(8\) παρά να μαντέψουμε ότι το \(8\) μπορεί να πολλαπλασιαστεί με \(125\) και πάρτε \( 1000\).

Δεν μετατρέπονται όλα τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά χωρίς προβλήματα. Πιο συγκεκριμένα, όλοι μεταμορφώνονται, αλλά μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να γράψετε το αποτέλεσμα μιας τέτοιας μεταμόρφωσης. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(9)(17)\) σε δεκαδική μορφή θα μοιάζει με \(0.52941…\) - και ούτω καθεξής, μια ατελείωτη σειρά από μη επαναλαμβανόμενα ψηφία. Τέτοια κλάσματα συνήθως αφήνονται με τη μορφή συνηθισμένων.

Ωστόσο, ορισμένα κλάσματα που δίνουν άπειρο αριθμό ψηφίων σε δεκαδική μορφή μπορούν να γραφτούν. Αυτό συμβαίνει εάν επαναληφθούν οι αριθμοί σε αυτήν τη σειρά. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) σε δεκαδική μορφή μοιάζει με αυτό \(0.66666…\) - μια άπειρη σειρά από έξι. Είναι γραμμένο ως εξής: \(0,(6)\). Το περιεχόμενο της αγκύλης είναι απλώς το άπειρα επαναλαμβανόμενο μέρος (η λεγόμενη περίοδος κλασμάτων).

Περισσότερα παραδείγματα: \(\frac(100)(27)\) \(=\)\(3,7037037037…=3,(703)\).
\(\frac(579)(110)\) \(=5,2636363636…=5,2(63)\).

Τύποι δεκαδικών αριθμών:

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Η πρόσθεση (αφαίρεση) δεκαδικών κλασμάτων πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση (αφαίρεση): το κύριο πράγμα είναι ότι το κόμμα στον δεύτερο αριθμό πρέπει να βρίσκεται κάτω από το κόμμα στον πρώτο.

Δεκαδικός πολλαπλασιασμός

Για να πολλαπλασιάσετε δύο δεκαδικά ψηφία, πρέπει να τα πολλαπλασιάσετε όπως οι κανονικοί αριθμοί, αγνοώντας τα κόμματα. Στη συνέχεια, προσθέστε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων στον πρώτο και στον δεύτερο αριθμό και, στη συνέχεια, διαχωρίστε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων που προκύπτει στον τελικό αριθμό, μετρώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά.

Είναι καλύτερα να κοιτάξετε μια εικόνα \(1\) φορές παρά να την διαβάσετε \(10\) φορές, γι' αυτό απολαύστε:

Δεκαδική διαίρεση

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με ένα δεκαδικό, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα στον δεύτερο αριθμό (τον διαιρέτη) μέχρι να γίνει ακέραιος. Στη συνέχεια μετακινήστε το κόμμα στον πρώτο αριθμό (διαιρούμενο) με το ίδιο ποσό. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε τους αριθμούς που προκύπτουν ως συνήθως. Ταυτόχρονα, στην απάντηση, θα πρέπει να θυμάστε να βάλετε κόμμα μόλις «περάσουμε το κόμμα» στο μέρισμα.

Και πάλι, μια εικόνα θα εξηγήσει την αρχή καλύτερα από οποιοδήποτε κείμενο.

Στην πράξη, είναι ευκολότερο να αναπαραστήσουμε τη διαίρεση ως ένα συνηθισμένο κλάσμα, μετά να αφαιρέσουμε κόμματα πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή (ή απλώς να μετακινήσουμε τα κόμματα αμέσως, όπως κάναμε παραπάνω) και στη συνέχεια να μειώσουμε τους αριθμούς που προκύπτουν.

\(13,12:1,6=\)\(\frac(13,12)(1,6)\) \(=\) \(\frac(13.12 100)(1.6 100)\)\(=\)\(\frac(1312)(160)\) \(=\)\(\frac(328)(40)\) \(=\)\(\frac(82)(10)\ )\(=8,2\).

Παράδειγμα . Υπολογίστε \(0,0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8\).

Απόφαση :

\(0,0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8=\)

Σε αυτό το σεμινάριο, θα εξετάσουμε κάθε μία από αυτές τις λειτουργίες μία προς μία.

Περιεχόμενο μαθήματος

Προσθήκη δεκαδικών αριθμών

Όπως γνωρίζουμε, ένας δεκαδικός έχει ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος. Κατά την προσθήκη δεκαδικών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη προστίθενται χωριστά.

Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα δεκαδικά ψηφία 3.2 και 5.3. Είναι πιο βολικό να προσθέτετε δεκαδικά κλάσματα σε μια στήλη.

Αρχικά, γράφουμε αυτά τα δύο κλάσματα σε μια στήλη, ενώ τα ακέραια μέρη πρέπει να βρίσκονται κάτω από τα ακέραια μέρη και τα κλασματικά κάτω από τα κλασματικά. Στο σχολείο, αυτή η απαίτηση ονομάζεται "κόμμα κάτω από κόμμα".

Ας γράψουμε τα κλάσματα σε μια στήλη έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα:

Αρχίζουμε να προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη: 2 + 3 \u003d 5. Σημειώνουμε τα πέντε στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αθροίζουμε τα ακέραια μέρη: 3 + 5 = 8. Γράφουμε το οκτώ στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα χωρίζουμε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, ακολουθούμε και πάλι τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Πήρα την απάντηση 8.5. Άρα η έκφραση 3,2 + 5,3 ισούται με 8,5

Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο απλά όσο φαίνονται με την πρώτη ματιά. Και εδώ υπάρχουν παγίδες, για τις οποίες θα μιλήσουμε τώρα.

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Οι δεκαδικοί, όπως και οι συνηθισμένοι αριθμοί, έχουν τα δικά τους ψηφία. Αυτές είναι δέκατες θέσεις, εκατοστές θέσεις, χιλιοστές θέσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, τα ψηφία αρχίζουν μετά την υποδιαστολή.

Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή είναι υπεύθυνο για το δέκατο μέρος, το δεύτερο ψηφίο μετά την υποδιαστολή για τα εκατοστά, το τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή για τα χιλιοστά.

Τα δεκαδικά ψηφία αποθηκεύουν ορισμένες χρήσιμες πληροφορίες. Συγκεκριμένα, αναφέρουν πόσα δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά είναι σε δεκαδικό.

Για παράδειγμα, θεωρήστε το δεκαδικό 0,345

Η θέση όπου βρίσκεται το τριπλό ονομάζεται δέκατη θέση

Η θέση όπου βρίσκεται το τέσσερα ονομάζεται θέση εκατοστών

Η θέση όπου βρίσκεται η πεντάρα ονομάζεται χιλιοστά

Ας δούμε αυτό το σχήμα. Βλέπουμε ότι στην κατηγορία των δέκατων υπάρχει ένα τρία. Αυτό υποδηλώνει ότι υπάρχουν τρία δέκατα στο δεκαδικό κλάσμα 0,345.

Αν προσθέσουμε τα κλάσματα, και τότε παίρνουμε το αρχικό δεκαδικό κλάσμα 0,345

Φαίνεται ότι στην αρχή πήραμε την απάντηση, αλλά τη μετατρέψαμε σε δεκαδικό κλάσμα και πήραμε 0,345.

Κατά την πρόσθεση δεκαδικών κλασμάτων, ακολουθούνται οι ίδιες αρχές και κανόνες όπως κατά την πρόσθεση συνηθισμένων αριθμών. Η πρόσθεση δεκαδικών κλασμάτων γίνεται με ψηφία: τα δέκατα προστίθενται στα δέκατα, τα εκατοστά στα εκατοστά, τα χιλιοστά στα χιλιοστά.

Επομένως, όταν προσθέτετε δεκαδικά κλάσματα, απαιτείται να ακολουθείτε τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα". Ένα κόμμα κάτω από ένα κόμμα παρέχει την ίδια σειρά με την οποία τα δέκατα προστίθενται στα δέκατα, τα εκατοστά στα εκατοστά, τα χιλιοστά στα χιλιοστά.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της παράστασης 1,5 + 3,4

Πρώτα από όλα προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη 5 + 4 = 9. Γράφουμε το εννιά στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αθροίζουμε τα ακέραια μέρη 1 + 3 = 4. Σημειώνουμε τα τέσσερα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα χωρίζουμε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, τηρούμε και πάλι τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Πήρα την απάντηση 4.9. Άρα η τιμή της παράστασης 1,5 + 3,4 είναι 4,9

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης: 3,51 + 1,22

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, τηρώντας τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα"

Πρώτα από όλα, προσθέστε το κλασματικό μέρος, δηλαδή τα εκατοστά 1+2=3. Γράφουμε το τριπλό στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα προσθέστε δέκατα του 5+2=7. Καταγράφουμε τα επτά στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα προσθέστε τα ολόκληρα μέρη 3+1=4. Καταγράφουμε τα τέσσερα σε ολόκληρο το μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίζουμε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα, τηρώντας τον κανόνα "κόμμα κάτω από το κόμμα":

Πήρα την απάντηση 4.73. Άρα η τιμή της παράστασης 3,51 + 1,22 είναι 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Όπως και με τους συνηθισμένους αριθμούς, όταν προσθέτουμε δεκαδικά κλάσματα, . Σε αυτή την περίπτωση, στην απάντηση γράφεται ένα ψηφίο και τα υπόλοιπα μεταφέρονται στο επόμενο ψηφίο.

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή της παράστασης 2,65 + 3,27

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη:

Προσθέστε εκατοστά του 5+7=12. Ο αριθμός 12 δεν θα χωρέσει στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας. Επομένως, στο εκατοστό μέρος, γράφουμε τον αριθμό 2 και μεταφέρουμε τη μονάδα στο επόμενο bit:

Τώρα προσθέτουμε τα δέκατα του 6+2=8 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 9. Γράφουμε τον αριθμό 9 στο δέκατο της απάντησής μας:

Τώρα προσθέστε τα ολόκληρα μέρη 2+3=5. Γράφουμε τον αριθμό 5 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Πήρα την απάντηση 5.92. Άρα η τιμή της παράστασης 2,65 + 3,27 είναι 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή της παράστασης 9,5 + 2,8

Γράψτε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη

Προσθέτουμε τα κλασματικά μέρη 5 + 8 = 13. Ο αριθμός 13 δεν χωράει στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας, οπότε γράφουμε πρώτα τον αριθμό 3 και μεταφέρουμε τη μονάδα στο επόμενο ψηφίο ή μάλλον τη μεταφέρουμε στον ακέραιο μέρος:

Τώρα προσθέτουμε τα ακέραια μέρη 9+2=11 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 12. Γράφουμε τον αριθμό 12 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρα την απάντηση 12.3. Άρα η τιμή της παράστασης 9,5 + 2,8 είναι 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Κατά την προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα πρέπει να είναι ο ίδιος. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία, τότε αυτές οι θέσεις στο κλασματικό μέρος γεμίζουν με μηδενικά.

Παράδειγμα 5. Βρείτε την τιμή της παράστασης: 12,725 + 1,7

Πριν γράψουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, ας κάνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα ίδιο. Το δεκαδικό κλάσμα 12.725 έχει τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή, ενώ το κλάσμα 1.7 έχει μόνο ένα. Έτσι στο κλάσμα 1,7 στο τέλος πρέπει να προσθέσετε δύο μηδενικά. Τότε παίρνουμε το κλάσμα 1.700. Τώρα μπορείτε να γράψετε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη και να αρχίσετε να υπολογίζετε:

Προσθέστε χιλιοστά του 5+0=5. Γράφουμε τον αριθμό 5 στο χιλιοστό μέρος της απάντησής μας:

Προσθέστε εκατοστά του 2+0=2. Γράφουμε τον αριθμό 2 στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Προσθέστε δέκατα του 7+7=14. Ο αριθμός 14 δεν χωράει στο ένα δέκατο της απάντησής μας. Επομένως, γράφουμε πρώτα τον αριθμό 4 και μεταφέρουμε τη μονάδα στο επόμενο bit:

Τώρα προσθέτουμε τα ακέραια μέρη 12+1=13 συν τη μονάδα που πήραμε από την προηγούμενη πράξη, παίρνουμε 14. Γράφουμε τον αριθμό 14 στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρε την απάντηση 14.425. Άρα η τιμή της παράστασης 12.725+1.700 είναι 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

Αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Κατά την αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, πρέπει να ακολουθείτε τους ίδιους κανόνες όπως όταν προσθέτετε: "ένα κόμμα κάτω από ένα κόμμα" και "ίσος αριθμός ψηφίων μετά από μια υποδιαστολή".

Παράδειγμα 1Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2,5 − 2,2

Γράφουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη, τηρώντας τον κανόνα "κόμμα κάτω από κόμμα":

Υπολογίζουμε το κλασματικό μέρος 5−2=3. Γράφουμε τον αριθμό 3 στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Υπολογίστε το ακέραιο μέρος 2−2=0. Γράφουμε μηδέν στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήραμε την απάντηση 0,3. Άρα η τιμή της παράστασης 2,5 − 2,2 είναι ίση με 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης 7.353 - 3.1

Αυτή η έκφραση έχει διαφορετικό αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Στο κλάσμα 7.353 υπάρχουν τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή και στο κλάσμα 3.1 υπάρχει μόνο ένα. Αυτό σημαίνει ότι στο κλάσμα 3.1, πρέπει να προστεθούν δύο μηδενικά στο τέλος για να γίνει ο αριθμός των ψηφίων και στα δύο κλάσματα ίδιος. Τότε παίρνουμε 3.100.

Τώρα μπορείτε να γράψετε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη και να την υπολογίσετε:

Πήρε την απάντηση 4.253. Άρα η τιμή της παράστασης 7,353 − 3,1 είναι 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Όπως και με τους συνηθισμένους αριθμούς, μερικές φορές θα πρέπει να δανειστείτε ένα από το διπλανό bit εάν η αφαίρεση καταστεί αδύνατη.

Παράδειγμα 3Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3,46 − 2,39

Αφαιρέστε τα εκατοστά του 6−9. Από τον αριθμό 6 μην αφαιρέσετε τον αριθμό 9. Επομένως, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από το διπλανό ψηφίο. Έχοντας δανειστεί ένα από το διπλανό ψηφίο, ο αριθμός 6 μετατρέπεται στον αριθμό 16. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τα εκατοστά του 16−9=7. Καταγράφουμε τα επτά στο εκατοστό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρέστε δέκατα. Εφόσον πήραμε μία μονάδα στην κατηγορία των δέκατων, ο αριθμός που βρισκόταν εκεί μειώθηκε κατά μία μονάδα. Με άλλα λόγια, η δέκατη θέση δεν είναι πλέον ο αριθμός 4, αλλά ο αριθμός 3. Ας υπολογίσουμε τα δέκατα του 3−3=0. Γράφουμε μηδέν στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρέστε τα ακέραια μέρη 3−2=1. Γράφουμε τη μονάδα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρα την απάντηση 1.07. Άρα η τιμή της παράστασης 3,46−2,39 είναι ίση με 1,07

3,46−2,39=1,07

Παράδειγμα 4. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3−1.2

Αυτό το παράδειγμα αφαιρεί ένα δεκαδικό από έναν ακέραιο. Ας γράψουμε αυτήν την έκφραση σε μια στήλη έτσι ώστε το ακέραιο μέρος του δεκαδικού κλάσματος 1,23 να βρίσκεται κάτω από τον αριθμό 3

Τώρα ας κάνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή ίδιο. Για να το κάνετε αυτό, μετά τον αριθμό 3, βάλτε κόμμα και προσθέστε ένα μηδέν:

Τώρα αφαιρέστε τα δέκατα: 0−2. Μην αφαιρείτε τον αριθμό 2 από το μηδέν. Επομένως, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από το διπλανό ψηφίο. Με δανεισμό ενός από το διπλανό ψηφίο, το 0 μετατρέπεται στον αριθμό 10. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε τα δέκατα του 10−2=8. Καταγράφουμε τα οκτώ στο δέκατο μέρος της απάντησής μας:

Τώρα αφαιρέστε τα ολόκληρα μέρη. Προηγουμένως, ο αριθμός 3 βρισκόταν στον ακέραιο, αλλά δανειστήκαμε μία μονάδα από αυτόν. Ως αποτέλεσμα, μετατράπηκε στον αριθμό 2. Επομένως, αφαιρούμε το 1 από το 2. 2−1=1. Γράφουμε τη μονάδα στο ακέραιο μέρος της απάντησής μας:

Διαχωρίστε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα:

Πήρα την απάντηση 1.8. Άρα η τιμή της παράστασης 3−1,2 είναι 1,8

Δεκαδικός πολλαπλασιασμός

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών είναι εύκολος και μάλιστα διασκεδαστικός. Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικούς αριθμούς, πρέπει να τους πολλαπλασιάσετε όπως οι κανονικοί αριθμοί, αγνοώντας τα κόμματα.

Έχοντας λάβει την απάντηση, είναι απαραίτητο να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα, στη συνέχεια να μετρήσετε τον ίδιο αριθμό ψηφίων στα δεξιά στην απάντηση και να βάλετε κόμμα.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της παράστασης 2,5 × 1,5

Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένους αριθμούς, αγνοώντας τα κόμματα. Για να αγνοήσετε τα κόμματα, μπορείτε προσωρινά να φανταστείτε ότι απουσιάζουν εντελώς:

Πήραμε 375. Σε αυτόν τον αριθμό, είναι απαραίτητο να διαχωρίσουμε ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κλάσματα 2,5 και 1,5. Στο πρώτο κλάσμα υπάρχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή, στο δεύτερο κλάσμα υπάρχει επίσης ένα. Συνολικά δύο αριθμοί.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 375 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρα την απάντηση 3,75. Άρα η τιμή της παράστασης 2,5 × 1,5 είναι 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης 12,85 × 2,7

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτούς τους δεκαδικούς, αγνοώντας τα κόμματα:

Πήραμε 34695. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κλάσματα 12,85 και 2,7. Στο κλάσμα 12,85 υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή, στο κλάσμα 2,7 υπάρχει ένα ψηφίο - συνολικά τρία ψηφία.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 34695 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε τρία ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρε την απάντηση 34.695. Άρα η τιμή της παράστασης 12,85 × 2,7 είναι 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Πολλαπλασιασμός δεκαδικού με κανονικό αριθμό

Μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις όπου χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν κανονικό αριθμό.

Για να πολλαπλασιάσετε έναν δεκαδικό και έναν συνηθισμένο αριθμό, πρέπει να τους πολλαπλασιάσετε, ανεξάρτητα από το κόμμα στο δεκαδικό. Έχοντας λάβει την απάντηση, είναι απαραίτητο να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα, στη συνέχεια να μετρήσετε τον ίδιο αριθμό ψηφίων στα δεξιά στην απάντηση και να βάλετε κόμμα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 2,54 επί 2

Πολλαπλασιάζουμε το δεκαδικό κλάσμα 2,54 με τον συνηθισμένο αριθμό 2, αγνοώντας το κόμμα:

Πήραμε τον αριθμό 508. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα 2,54. Το κλάσμα 2,54 έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 508 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρα την απάντηση 5.08. Άρα η τιμή της παράστασης 2,54 × 2 είναι 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών με 10, 100, 1000

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με 10, 100 ή 1000 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με κανονικούς αριθμούς. Είναι απαραίτητο να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, αγνοώντας το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα και, στη συνέχεια, στην απάντηση, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος, μετρώντας τον ίδιο αριθμό ψηφίων στα δεξιά όπως υπήρχαν ψηφία μετά την υποδιαστολή στην υποδιαστολή κλάσμα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 2,88 με το 10

Ας πολλαπλασιάσουμε το δεκαδικό κλάσμα 2,88 επί 10, αγνοώντας το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα:

Πήραμε 2880. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε ολόκληρο το τμήμα από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα 2,88. Βλέπουμε ότι στο κλάσμα 2,88 υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 2880 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε δύο ψηφία από τα δεξιά και να βάλουμε κόμμα:

Πήρα την απάντηση 28,80. Απορρίπτουμε το τελευταίο μηδέν - παίρνουμε 28,8. Άρα η τιμή της παράστασης 2,88 × 10 είναι 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Υπάρχει ένας δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού των δεκαδικών κλασμάτων με 10, 100, 1000. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ απλούστερη και πιο βολική. Συνίσταται στο γεγονός ότι το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα μετακινείται προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα 2,88×10 με αυτόν τον τρόπο. Χωρίς να δώσουμε κανέναν υπολογισμό, κοιτάμε αμέσως τον παράγοντα 10. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι έχει ένα μηδέν. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, παίρνουμε 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 2,88 με το 100. Εξετάζουμε αμέσως τον παράγοντα 100. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι έχει δύο μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά δύο ψηφία, παίρνουμε 288

2,88 x 100 = 288

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 2,88 με το 1000. Εξετάζουμε αμέσως τον παράγοντα 1000. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτόν. Βλέπουμε ότι έχει τρία μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 2,88 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά τρία ψηφία. Το τρίτο ψηφίο δεν υπάρχει, οπότε προσθέτουμε άλλο ένα μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών με 0,1 0,01 και 0,001

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με 0,1, 0,01 και 0,001 λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού με ένα δεκαδικό. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί και να βάλουμε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας τόσα ψηφία στα δεξιά όσα και τα ψηφία μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάστε το 3,25 με 0,1

Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα κλάσματα σαν συνηθισμένους αριθμούς, αγνοώντας τα κόμματα:

Πήραμε 325. Σε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαχωρίσετε ολόκληρο το τμήμα από το κλασματικό μέρος με κόμμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κλάσματα 3,25 και 0,1. Στο κλάσμα 3,25 υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή, στο κλάσμα 0,1 υπάρχει ένα ψηφίο. Συνολικά τρεις αριθμοί.

Επιστρέφουμε στον αριθμό 325 και αρχίζουμε να κινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά. Πρέπει να μετρήσουμε τρία ψηφία στα δεξιά και να βάλουμε κόμμα. Αφού μετρήσουμε τρία ψηφία, διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί έχουν τελειώσει. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να προσθέσετε ένα μηδέν και να βάλετε κόμμα:

Πήραμε την απάντηση 0,325. Άρα η τιμή της παράστασης 3,25 × 0,1 είναι 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Υπάρχει ένας δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού των δεκαδικών με 0,1, 0,01 και 0,001. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ πιο εύκολη και πιο βολική. Συνίσταται στο γεγονός ότι το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα μετακινείται προς τα αριστερά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα 3,25 × 0,1 με αυτόν τον τρόπο. Χωρίς να δώσουμε κανέναν υπολογισμό, κοιτάμε αμέσως τον παράγοντα 0,1. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι έχει ένα μηδέν. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο. Μετακινώντας το κόμμα ένα ψηφίο προς τα αριστερά, βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν άλλα ψηφία πριν από τα τρία. Σε αυτή την περίπτωση, προσθέστε ένα μηδέν και βάλτε κόμμα. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 3,25 επί 0,01. Κοιτάξτε αμέσως τον πολλαπλασιαστή του 0,01. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι έχει δύο μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε το κόμμα προς τα αριστερά κατά δύο ψηφία, παίρνουμε 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το 3,25 με το 0,001. Κοιτάξτε αμέσως τον πολλαπλασιαστή του 0,001. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι έχει τρία μηδενικά. Τώρα στο κλάσμα 3,25 μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία, παίρνουμε 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Μην συγχέετε τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών με 0,1, 0,001 και 0,001 με τον πολλαπλασιασμό με 10, 100, 1000. Ένα συνηθισμένο λάθος που κάνουν οι περισσότεροι.

Κατά τον πολλαπλασιασμό με το 10, 100, 1000, το κόμμα μετακινείται προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Και κατά τον πολλαπλασιασμό με 0,1, 0,01 και 0,001, το κόμμα μετακινείται προς τα αριστερά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή.

Εάν στην αρχή είναι δύσκολο να θυμηθείτε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο, στην οποία ο πολλαπλασιασμός εκτελείται όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς. Στην απάντηση, θα χρειαστεί να διαχωρίσετε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος μετρώντας τόσα ψηφία στα δεξιά όσα και τα ψηφία μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα.

Διαιρώντας έναν μικρότερο αριθμό με έναν μεγαλύτερο. Προχωρημένο επίπεδο.

Σε ένα από τα προηγούμενα μαθήματα, είπαμε ότι όταν διαιρούμε έναν μικρότερο αριθμό με έναν μεγαλύτερο, προκύπτει ένα κλάσμα, στον αριθμητή του οποίου είναι το μέρισμα και στον παρονομαστή ο διαιρέτης.

Για παράδειγμα, για να χωρίσετε ένα μήλο στα δύο, πρέπει να γράψετε 1 (ένα μήλο) στον αριθμητή και 2 (δύο φίλοι) στον παρονομαστή. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα. Έτσι κάθε φίλος θα πάρει ένα μήλο. Με άλλα λόγια, μισό μήλο. Ένα κλάσμα είναι η απάντηση σε ένα πρόβλημα πώς να χωρίσετε ένα μήλο μεταξύ δύο

Αποδεικνύεται ότι μπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα περαιτέρω εάν διαιρέσετε το 1 με το 2. Εξάλλου, μια κλασματική ράβδος σε οποιοδήποτε κλάσμα σημαίνει διαίρεση, πράγμα που σημαίνει ότι αυτή η διαίρεση επιτρέπεται επίσης σε ένα κλάσμα. Αλλά πως? Έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι το μέρισμα είναι πάντα μεγαλύτερο από το διαιρέτη. Και εδώ, αντίθετα, το μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

Όλα θα ξεκαθαρίσουν αν θυμηθούμε ότι κλάσμα σημαίνει συντριβή, διαίρεση, διαίρεση. Αυτό σημαίνει ότι η μονάδα μπορεί να χωριστεί σε όσα μέρη θέλετε, και όχι μόνο σε δύο μέρη.

Κατά τη διαίρεση ενός μικρότερου αριθμού με έναν μεγαλύτερο, προκύπτει ένα δεκαδικό κλάσμα, στο οποίο το ακέραιο μέρος θα είναι 0 (μηδέν). Το κλασματικό μέρος μπορεί να είναι οτιδήποτε.

Λοιπόν, ας διαιρέσουμε το 1 με το 2. Ας λύσουμε αυτό το παράδειγμα με μια γωνία:

Δεν μπορεί κανείς να χωριστεί στα δύο ακριβώς έτσι. Αν κάνετε μια ερώτηση "Πόσα δύο είναι σε ένα" , τότε η απάντηση θα είναι 0. Επομένως, στο ιδιωτικό γράφουμε 0 και βάζουμε κόμμα:

Τώρα, ως συνήθως, πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη για να βγάλουμε το υπόλοιπο:

Ήρθε η στιγμή που η μονάδα μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε ένα άλλο μηδέν στα δεξιά του ληφθέντος:

Πήραμε 10. Διαιρούμε το 10 με το 2, παίρνουμε 5. Σημειώνουμε το πέντε στο κλασματικό μέρος της απάντησής μας:

Τώρα βγάζουμε το τελευταίο υπόλοιπο για να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό. Πολλαπλασιάζουμε το 5 επί 2, παίρνουμε 10

Πήραμε την απάντηση 0,5. Άρα το κλάσμα είναι 0,5

Μισό μήλο μπορεί επίσης να γραφτεί χρησιμοποιώντας το δεκαδικό κλάσμα 0,5. Αν προσθέσουμε αυτά τα δύο μισά (0,5 και 0,5), παίρνουμε πάλι το αρχικό ένα ολόκληρο μήλο:

Αυτό το σημείο μπορεί επίσης να γίνει κατανοητό αν φανταστούμε πώς χωρίζεται 1 cm σε δύο μέρη. Αν χωρίσετε 1 εκατοστό σε 2 μέρη, παίρνετε 0,5 cm

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης 4:5

Πόσα πεντάρια είναι στα τέσσερα; Καθόλου. Γράφουμε ιδιωτικά 0 και βάζουμε κόμμα:

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με το 5, παίρνουμε 0. Γράφουμε μηδέν κάτω από τα τέσσερα. Αφαιρέστε αμέσως αυτό το μηδέν από το μέρισμα:

Τώρα ας αρχίσουμε να χωρίζουμε (χωρίζουμε) τα τέσσερα σε 5 μέρη. Για να γίνει αυτό, στα δεξιά του 4, προσθέτουμε το μηδέν και διαιρούμε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε το οκτώ ιδιωτικά.

Ολοκληρώνουμε το παράδειγμα πολλαπλασιάζοντας το 8 επί 5 και παίρνουμε 40:

Πήραμε την απάντηση 0,8. Άρα η τιμή της παράστασης 4:5 είναι 0,8

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή της παράστασης 5: 125

Πόσοι αριθμοί 125 είναι στο πέντε; Καθόλου. Γράφουμε 0 ιδιωτικά και βάζουμε κόμμα:

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με το 5, παίρνουμε 0. Γράφουμε 0 κάτω από το πέντε. Αφαιρέστε αμέσως από το πέντε 0

Τώρα ας αρχίσουμε να χωρίζουμε (διαιρούμε) τα πέντε σε 125 μέρη. Για να γίνει αυτό, στα δεξιά αυτού του πέντε, γράφουμε μηδέν:

Διαιρέστε το 50 με το 125. Πόσοι αριθμοί είναι το 125 στο 50; Καθόλου. Άρα στο πηλίκο γράφουμε πάλι 0

Πολλαπλασιάζουμε το 0 με 125, παίρνουμε 0. Το μηδέν το γράφουμε κάτω από το 50. Αμέσως αφαιρούμε το 0 από το 50

Τώρα χωρίζουμε τον αριθμό 50 σε 125 μέρη. Για να γίνει αυτό, στα δεξιά του 50, γράφουμε ένα άλλο μηδέν:

Διαιρέστε το 500 με το 125. Πόσοι αριθμοί είναι το 125 στον αριθμό 500. Στον αριθμό 500 υπάρχουν τέσσερις αριθμοί 125. Γράφουμε τους τέσσερις ιδιωτικά:

Ολοκληρώνουμε το παράδειγμα πολλαπλασιάζοντας το 4 επί 125 και παίρνουμε 500

Πήραμε την απάντηση 0,04. Άρα η τιμή της παράστασης 5: 125 είναι 0,04

Διαίρεση αριθμών χωρίς υπόλοιπο

Λοιπόν, ας βάλουμε κόμμα στο πηλίκο μετά τη μονάδα, υποδεικνύοντας έτσι ότι η διαίρεση των ακέραιων μερών έχει τελειώσει και προχωράμε στο κλασματικό μέρος:

Προσθέστε μηδέν στο υπόλοιπο 4

Τώρα διαιρούμε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε τα οκτώ ιδιωτικά:

40−40=0. Έλαβε 0 στο υπόλοιπο. Άρα η διαίρεση έχει ολοκληρωθεί πλήρως. Διαιρώντας το 9 με το 5 προκύπτει δεκαδικό 1,8:

9: 5 = 1,8

Παράδειγμα 2. Διαιρέστε το 84 με το 5 χωρίς υπόλοιπο

Αρχικά διαιρούμε το 84 με το 5 ως συνήθως με ένα υπόλοιπο:

Παρελήφθησαν ιδιωτικά 16 και 4 ακόμη στο υπόλοιπο. Τώρα διαιρούμε αυτό το υπόλοιπο με το 5. Βάζουμε κόμμα στο ιδιωτικό και προσθέτουμε 0 στο υπόλοιπο 4

Τώρα διαιρούμε το 40 με το 5, παίρνουμε 8. Γράφουμε το οκτώ στο πηλίκο μετά την υποδιαστολή:

και συμπληρώστε το παράδειγμα ελέγχοντας αν υπάρχει ακόμα υπόλοιπο:

Διαίρεση δεκαδικού με κανονικό αριθμό

Ένα δεκαδικό κλάσμα, όπως γνωρίζουμε, αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Όταν διαιρείτε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν κανονικό αριθμό, πρώτα απ 'όλα χρειάζεστε:

• διαιρέστε το ακέραιο μέρος του δεκαδικού κλάσματος με αυτόν τον αριθμό.
• μετά τη διαίρεση του ακέραιου μέρους, πρέπει να βάλετε αμέσως κόμμα στο ιδιωτικό μέρος και να συνεχίσετε τον υπολογισμό, όπως στη συνηθισμένη διαίρεση.

Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 4,8 με το 2

Ας γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως γωνία:

Τώρα ας διαιρέσουμε ολόκληρο το μέρος με το 2. Τέσσερα διαιρούμενα με δύο είναι δύο. Γράφουμε το deuce ιδιωτικά και αμέσως βάζουμε κόμμα:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη και βλέπουμε αν υπάρχει υπόλοιπο από τη διαίρεση:

4−4=0. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Δεν γράφουμε ακόμη μηδέν, αφού η λύση δεν έχει ολοκληρωθεί. Στη συνέχεια συνεχίζουμε να υπολογίζουμε, όπως στη συνηθισμένη διαίρεση. Αφαιρέστε το 8 και διαιρέστε το με το 2

8: 2 = 4. Γράφουμε το τέσσερα στο πηλίκο και το πολλαπλασιάζουμε αμέσως με τον διαιρέτη:

Πήρα την απάντηση 2.4. Τιμή έκφρασης 4,8: ​​2 ισούται με 2,4

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης 8.43:3

Διαιρούμε το 8 με το 3, παίρνουμε 2. Βάζουμε αμέσως κόμμα μετά τα δύο:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη 2 × 3 = 6. Γράφουμε το έξι κάτω από το οκτώ και βρίσκουμε το υπόλοιπο:

Διαιρούμε το 24 με το 3, βγάζουμε 8. Γράφουμε τα οκτώ ιδιωτικά. Το πολλαπλασιάζουμε αμέσως με τον διαιρέτη για να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης:

24−24=0. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Το μηδέν δεν έχει καταγραφεί ακόμα. Πάρτε τα τρία τελευταία του μερίσματος και διαιρέστε με το 3, παίρνουμε 1. Πολλαπλασιάστε αμέσως το 1 με το 3 για να ολοκληρώσετε αυτό το παράδειγμα:

Πήρα την απάντηση 2.81. Άρα η τιμή της παράστασης 8,43: 3 ισούται με 2,81

Διαίρεση δεκαδικού με δεκαδικό

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα, στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά με τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη και, στη συνέχεια, διαιρέστε με έναν κανονικό αριθμό.

Για παράδειγμα, διαιρέστε το 5,95 με το 1,7

Ας γράψουμε αυτή την έκφραση ως γωνία

Τώρα, στο μέρισμα και στον διαιρέτη, μετακινούμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη. Ο διαιρέτης έχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Πρέπει λοιπόν να μετακινήσουμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Μεταφορά:

Αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, το δεκαδικό κλάσμα 5,95 μετατράπηκε σε κλάσμα 59,5. Και το δεκαδικό κλάσμα 1,7, αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, μετατράπηκε στον συνηθισμένο αριθμό 17. Και ξέρουμε ήδη πώς να διαιρέσουμε το δεκαδικό κλάσμα με τον συνηθισμένο αριθμό. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι δύσκολος:

Το κόμμα μετακινείται προς τα δεξιά για να διευκολυνθεί η διαίρεση. Αυτό επιτρέπεται λόγω του γεγονότος ότι κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση του μερίσματος και του διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει. Τι σημαίνει?

Αυτό είναι ένα από τα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά της διαίρεσης. Ονομάζεται ιδιωτική ιδιοκτησία. Θεωρήστε την έκφραση 9: 3 = 3. Εάν σε αυτήν την παράσταση το μέρισμα και ο διαιρέτης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε το πηλίκο 3 δεν θα αλλάξει.

Ας πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη επί 2 και ας δούμε τι συμβαίνει:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, το πηλίκο δεν έχει αλλάξει.

Το ίδιο συμβαίνει όταν φέρουμε κόμμα στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Στο προηγούμενο παράδειγμα, όπου διαιρέσαμε το 5,91 με το 1,7, μετακινήσαμε το κόμμα ένα ψηφίο προς τα δεξιά στο μέρισμα και στο διαιρέτη. Μετά τη μετακίνηση του κόμματος, το κλάσμα 5,91 μετατράπηκε στο κλάσμα 59,1 και το κλάσμα 1,7 μετατράπηκε στον συνηθισμένο αριθμό 17.

Στην πραγματικότητα, μέσα σε αυτή τη διαδικασία, πραγματοποιήθηκε ο πολλαπλασιασμός με το 10. Δείτε πώς έμοιαζε:

5,91 × 10 = 59,1

Επομένως, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη εξαρτάται από το με τι θα πολλαπλασιαστούν το μέρισμα και ο διαιρέτης. Με άλλα λόγια, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη θα καθορίσει πόσα ψηφία στο μέρισμα και στον διαιρέτη το κόμμα θα μετακινηθεί προς τα δεξιά.

Δεκαδική διαίρεση με 10, 100, 1000

Η διαίρεση ενός δεκαδικού με το 10, το 100 ή το 1000 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το . Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 2.1 με το 10. Ας λύσουμε αυτό το παράδειγμα με μια γωνία:

Υπάρχει όμως και δεύτερος τρόπος. Είναι πιο ελαφρύ. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι το κόμμα στο μέρισμα μετακινείται προς τα αριστερά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον διαιρέτη.

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο. 2.1: 10. Κοιτάμε το διαχωριστικό. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Έτσι, στο διαιρετό 2.1, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο. Μετακινούμε το κόμμα προς τα αριστερά κατά ένα ψηφίο και βλέπουμε ότι δεν έχουν μείνει άλλα ψηφία. Σε αυτή την περίπτωση, προσθέτουμε ένα ακόμη μηδέν πριν από τον αριθμό. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 0,21

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 2,1 με το 100. Υπάρχουν δύο μηδενικά στον αριθμό 100. Έτσι, στο διαιρετό 2.1, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά κατά δύο ψηφία:

2,1: 100 = 0,021

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 2,1 με το 1000. Υπάρχουν τρία μηδενικά στον αριθμό 1000. Έτσι, στο διαιρετό 2.1, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία:

2,1: 1000 = 0,0021

Δεκαδική διαίρεση με 0,1, 0,01 και 0,001

Η διαίρεση ενός δεκαδικού με 0,1, 0,01 και 0,001 γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως . Στο μέρισμα και στον διαιρέτη, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη.

Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,1. Πρώτα από όλα, μετακινούμε τα κόμματα στο μέρισμα και στο διαιρέτη προς τα δεξιά κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη. Ο διαιρέτης έχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Έτσι μετακινούμε τα κόμματα στο μέρισμα και στον διαιρέτη προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο.

Αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, το δεκαδικό κλάσμα 6,3 μετατρέπεται στον συνηθισμένο αριθμό 63 και το δεκαδικό κλάσμα 0,1, αφού μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο, μετατρέπεται σε ένα. Και η διαίρεση 63 με 1 είναι πολύ απλή:

Άρα η τιμή της παράστασης 6.3: 0.1 είναι ίση με 63

Υπάρχει όμως και δεύτερος τρόπος. Είναι πιο ελαφρύ. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι το κόμμα στο μέρισμα μεταφέρεται προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον διαιρέτη.

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο. 6,3:0,1. Ας δούμε το διαχωριστικό. Μας ενδιαφέρει πόσα μηδενικά υπάρχουν σε αυτό. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Έτσι, στο διαιρετό 6.3, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο. Μετακινούμε το κόμμα προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο και παίρνουμε 63

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,01. Ο διαιρέτης 0,01 έχει δύο μηδενικά. Έτσι, στο διαιρετό 6.3, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά δύο ψηφία. Αλλά στο μέρισμα υπάρχει μόνο ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να προστεθεί ένα ακόμη μηδέν στο τέλος. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 630

Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 6,3 με το 0,001. Ο διαιρέτης του 0,001 έχει τρία μηδενικά. Έτσι, στο διαιρετό 6.3, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τρία ψηφία:

6,3: 0,001 = 6300

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

Σας άρεσε το μάθημα;
Εγγραφείτε στη νέα μας ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

Για να γράψετε έναν ορθολογικό αριθμό m / n ως δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Στην περίπτωση αυτή, το πηλίκο γράφεται ως πεπερασμένο ή άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Γράψτε τον αριθμό που δίνεται ως δεκαδικό.

Απόφαση. Διαιρέστε τον αριθμητή κάθε κλάσματος με τον παρονομαστή του: ένα)διαιρέστε το 6 με το 25. σι)διαιρέστε το 2 με το 3; σε)διαιρέστε το 1 με το 2 και, στη συνέχεια, προσθέστε το κλάσμα που προκύπτει στη μονάδα - το ακέραιο μέρος αυτού του μικτού αριθμού.

Μη αναγώγιμα κοινά κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές δεν περιέχουν πρώτους διαιρέτες εκτός από 2 και 5 , γράφονται ως τελικό δεκαδικό κλάσμα.

ΣΤΟ παράδειγμα 1πότε ένα)παρονομαστής 25=5 5; πότε σε)ο παρονομαστής είναι 2, οπότε πήραμε τα τελικά δεκαδικά 0,24 και 1,5. Πότε σι)ο παρονομαστής είναι 3, οπότε το αποτέλεσμα δεν μπορεί να γραφτεί ως τελικό δεκαδικό.

Είναι δυνατόν, χωρίς διαίρεση σε στήλη, να μετατραπεί ένα τέτοιο συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου δεν περιέχει άλλους διαιρέτες, εκτός από το 2 και το 5; Ας το καταλάβουμε! Ποιο κλάσμα λέγεται δεκαδικό και γράφεται χωρίς κλασματική γραμμή; Απάντηση: ένα κλάσμα με παρονομαστή 10. 100; 1000 κλπ. Και καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι ένα γινόμενο ίσοςαριθμός δύο και πέντε. Στην πραγματικότητα: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 κ.λπ.

Επομένως, ο παρονομαστής ενός μη αναγώγιμου συνηθισμένου κλάσματος θα πρέπει να αναπαρασταθεί ως γινόμενο των "δύο" και "πέντε" και στη συνέχεια πολλαπλασιάζεται επί 2 και (ή) επί 5, έτσι ώστε τα "δύο" και τα "πέντε" να γίνουν ίσα. Τότε ο παρονομαστής του κλάσματος θα είναι ίσος με 10 ή 100 ή 1000 κ.λπ. Για να μην αλλάξει η τιμή του κλάσματος, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάστηκε ο παρονομαστής.

Εκφράστε τα παρακάτω κλάσματα ως δεκαδικό:

Απόφαση. Κάθε ένα από αυτά τα κλάσματα είναι μη αναγώγιμο. Ας αποσυνθέσουμε τον παρονομαστή κάθε κλάσματος σε πρώτους παράγοντες.

20=2 2 5. Συμπέρασμα: λείπει ένα «πέντε».

8=2 2 2. Συμπέρασμα: δεν φτάνουν τα τρία «πέντε».

25=5 5. Συμπέρασμα: λείπουν δύο «δύο».

Σχόλιο.Στην πράξη, συχνά δεν χρησιμοποιούν την παραγοντοποίηση του παρονομαστή, αλλά απλώς θέτουν το ερώτημα: με πόσο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής ώστε το αποτέλεσμα να είναι μια μονάδα με μηδενικά (10 ή 100 ή 1000 κ.λπ.). Και τότε ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό.

Έτσι, σε περίπτωση ένα)(παράδειγμα 2) από τον αριθμό 20 μπορείτε να πάρετε 100 πολλαπλασιάζοντας με το 5, επομένως, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 5.

Πότε σι)(παράδειγμα 2) από τον αριθμό 8, ο αριθμός 100 δεν θα λειτουργήσει, αλλά ο αριθμός 1000 θα ληφθεί πολλαπλασιάζοντας με το 125. Τόσο ο αριθμητής (3) όσο και ο παρονομαστής (8) του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με 125.

Πότε σε)(παράδειγμα 2) από τα 25 παίρνετε 100 όταν πολλαπλασιάσετε με το 4. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμητής 8 πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί με 4.

Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο ένα ή περισσότερα ψηφία επαναλαμβάνονται αμετάβλητα στην ίδια ακολουθία ονομάζεται περιοδικόςδεκαδικό κλάσμα. Το σύνολο των επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος αυτού του κλάσματος. Για συντομία, η περίοδος ενός κλάσματος γράφεται μία φορά, περικλείοντάς το σε παρένθεση.

Πότε σι)(παράδειγμα 1 ) το επαναλαμβανόμενο ψηφίο είναι ένα και ισούται με 6. Επομένως, το αποτέλεσμά μας 0,66... ​​θα γραφτεί ως εξής: 0,(6) . Διαβάζουν: μηδέν ακέραιοι, έξι στην περίοδο.

Εάν υπάρχει ένα ή περισσότερα μη επαναλαμβανόμενα ψηφία μεταξύ του κόμματος και της πρώτης περιόδου, τότε ένα τέτοιο περιοδικό κλάσμα ονομάζεται μικτό περιοδικό κλάσμα.

Ένα μη αναγώγιμο κοινό κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής μαζί με άλλουςο πολλαπλασιαστής περιέχει πολλαπλασιαστή 2 ή 5 , γίνεται μικτόςπεριοδικό κλάσμα.

Γράψε τον αριθμό ως δεκαδικό:

Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Γράψτε τον αριθμό ως άπειρο περιοδικό κλάσμα.

Οπως και:

± d m … ρε 1 ρε 0 , ρε -1 ρε -2 …

όπου ± είναι το πρόσημο του κλάσματος: είτε + είτε -,

, - δεκαδικό σημείο, το οποίο χρησιμεύει ως διαχωριστικό μεταξύ του ακέραιου και των κλασματικών μερών του αριθμού,

dk- δεκαδικά ψηφία.

Ταυτόχρονα, η σειρά των ψηφίων πριν από το κόμμα (στα αριστερά του) έχει τέλος (όπως min 1 ανά ψηφίο) και μετά το κόμμα (στα δεξιά) μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη (προαιρετικά , μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου ψηφία μετά το κόμμα), και άπειρα.

Δεκαδική τιμή ± d m … ρε 1 ρε 0 , ρε -1 ρε -2 … είναι πραγματικός αριθμός:

που ισούται με το άθροισμα ενός πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού όρων.

Η αναπαράσταση πραγματικών αριθμών με χρήση δεκαδικών κλασμάτων είναι μια γενίκευση του συμβολισμού των ακεραίων στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Η δεκαδική αναπαράσταση ενός ακέραιου αριθμού δεν έχει ψηφία μετά την υποδιαστολή, και έτσι, αυτή η αναπαράσταση μοιάζει με αυτό:

± d m … ρε 1 ρε 0 ,

Και αυτό συμπίπτει με την εγγραφή του αριθμού μας στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Δεκαδικός- αυτό είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 1 σε 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής μέρη. Αυτά τα κλάσματα είναι αρκετά βολικά για υπολογισμούς, γιατί βασίζονται στο ίδιο σύστημα θέσεων πάνω στο οποίο βασίζεται η καταμέτρηση και η σημειογραφία των ακεραίων. Εξαιτίας αυτού, ο συμβολισμός και οι κανόνες για τα δεκαδικά κλάσματα είναι σχεδόν οι ίδιοι με τους ακέραιους αριθμούς.

Όταν γράφετε δεκαδικά κλάσματα, δεν χρειάζεται να σημειώσετε τον παρονομαστή, καθορίζεται από τη θέση που καταλαμβάνει το αντίστοιχο σχήμα. Πρώτα, γράψτε το ακέραιο μέρος του αριθμού και μετά βάλτε μια υποδιαστολή στα δεξιά. Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή δηλώνει τον αριθμό των δέκατων, το δεύτερο - τον αριθμό των εκατοστών, το τρίτο - τον αριθμό των χιλιοστών και ούτω καθεξής. Οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή είναι δεκαδικά ψηφία.

Για παράδειγμα:

Ένα από τα πλεονεκτήματα των δεκαδικών κλασμάτων είναι ότι μπορούν πολύ εύκολα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα: ο αριθμός μετά την υποδιαστολή (το δικό μας είναι 5047) είναι αριθμητής; παρονομαστήςισοδυναμεί nο βαθμός 10, όπου n- τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων (έχουμε αυτό n=4):

Όταν δεν υπάρχει ακέραιο μέρος στο δεκαδικό κλάσμα, τότε βάζουμε μηδέν μπροστά από την υποδιαστολή:

Ιδιότητες δεκαδικών κλασμάτων.

1. Ο δεκαδικός αριθμός δεν αλλάζει όταν προστίθενται μηδενικά στα δεξιά:

13.6 =13.6000.

2. Το δεκαδικό δεν αλλάζει όταν αφαιρεθούν τα μηδενικά που βρίσκονται στο τέλος του δεκαδικού:

0.00123000 = 0.00123.

Προσοχή!Μηδενικά που ΔΕΝ βρίσκονται στο τέλος ενός δεκαδικού δεν πρέπει να αφαιρούνται!

3. Το δεκαδικό κλάσμα αυξάνεται κατά 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής φορές που μετακινούμε την υποδιαστολή σε θέσεις 1-πηγάδι, 2, 2 κ.ο.κ. προς τα δεξιά, αντίστοιχα:

3.675 → 367.5 (το κλάσμα έχει αυξηθεί εκατό φορές).

4. Το δεκαδικό κλάσμα γίνεται μικρότερο από δέκα, εκατό, χίλια και ούτω καθεξής φορές που μετακινούμε την υποδιαστολή σε θέσεις 1-πηγάδι, 2, 3 κ.ο.κ. προς τα αριστερά, αντίστοιχα:

1536,78 → 1,53678 (το κλάσμα έχει γίνει χίλιες φορές μικρότερο).

Τύποι δεκαδικών αριθμών.

Οι δεκαδικοί διαιρούνται με τελικός, ατελείωτεςκαι περιοδικά δεκαδικά.

Τέλος δεκαδικού -αυτό είναι ένα κλάσμα που περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή (ή δεν υπάρχουν καθόλου), δηλ. μοιάζει με αυτό:

Ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μόνο εάν αυτός ο αριθμός είναι ρητός και όταν γράφεται ως μη αναγώγιμο κλάσμα p/qπαρονομαστής qδεν έχει πρώτους διαιρέτες εκτός από το 2 και το 5.

Άπειρο δεκαδικό.

Περιέχει μια άπειρα επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων που ονομάζεται περίοδος. Η περίοδος γράφεται σε παρένθεση. Για παράδειγμα, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Περιοδικό δεκαδικό- αυτό είναι ένα τόσο άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο η ακολουθία ψηφίων μετά την υποδιαστολή, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων. Με άλλα λόγια, περιοδικό κλάσμαείναι ένα δεκαδικό που μοιάζει με αυτό:

Ένα τέτοιο κλάσμα συνήθως γράφεται εν συντομία ως εξής:

Ομάδα αριθμών β 1 … β λ, που επαναλαμβάνεται, είναι κλασματική περίοδο, ο αριθμός των ψηφίων σε αυτήν την ομάδα είναι διάρκεια περιόδου.

Όταν σε ένα περιοδικό κλάσμα η περίοδος έρχεται αμέσως μετά την υποδιαστολή, τότε το κλάσμα είναι καθαρά περιοδική. Όταν υπάρχουν αριθμοί μεταξύ του κόμματος και της 1ης τελείας, τότε το κλάσμα είναι μικτή περιοδικήκαι μια ομάδα ψηφίων μετά την υποδιαστολή μέχρι το σύμβολο της 1ης τελείας - κλάσμα προπερίοδος.

για παράδειγμα, το κλάσμα 1,(23) = 1,2323… είναι καθαρό περιοδικό, και το κλάσμα 0,1(23)=0,12323… είναι μεικτό περιοδικό.

Η κύρια ιδιότητα των περιοδικών κλασμάτων, λόγω του οποίου διακρίνονται από ολόκληρο το σύνολο των δεκαδικών κλασμάτων, έγκειται στο γεγονός ότι τα περιοδικά κλάσματα και μόνο αυτά αντιπροσωπεύουν ρητούς αριθμούς. Πιο συγκεκριμένα γίνονται τα εξής:

Κάθε άπειρο επαναλαμβανόμενο δεκαδικό αντιπροσωπεύει έναν ρητό αριθμό. Αντίστροφα, όταν ένας ρητός αριθμός αποσυντίθεται σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα, τότε αυτό το κλάσμα θα είναι περιοδικό.