Πώς να απαλλαγείτε από το πτυχίο στην εξίσωση. Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις

εκθετικές εξισώσεις. Όπως γνωρίζετε, η ΧΡΗΣΗ περιλαμβάνει απλές εξισώσεις. Έχουμε ήδη εξετάσει μερικά - αυτά είναι λογαριθμικά, τριγωνομετρικά, ορθολογικά. Εδώ είναι εκθετικές εξισώσεις.

Σε ένα πρόσφατο άρθρο, δουλέψαμε με εκθετικές εκφράσεις, θα είναι χρήσιμο. Οι ίδιες οι εξισώσεις λύνονται απλά και γρήγορα. Απαιτείται μόνο να γνωρίζουμε τις ιδιότητες των εκθετών και ... Σχετικά με αυτόΠεραιτέρω.

Παραθέτουμε τις ιδιότητες των εκθετών:

Η μηδενική ισχύς οποιουδήποτε αριθμού είναι ίση με ένα.

Συνέπεια αυτής της ιδιότητας:

Λίγη ακόμα θεωρία.

Μια εκθετική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιέχει μια μεταβλητή στον εκθέτη, δηλαδή αυτή η εξίσωση έχει τη μορφή:

φά(Χ) μια έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή

Μέθοδοι επίλυσης εκθετικών εξισώσεων

1. Ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών, η εξίσωση μπορεί να αναχθεί στη μορφή:

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε την ιδιότητα:

2. Όταν λαμβάνεται μια εξίσωση της μορφής a f (Χ) = σιχρησιμοποιείται ο ορισμός του λογάριθμου, παίρνουμε:

3. Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, μπορείτε να πάρετε μια εξίσωση της μορφής:

Εφαρμόζεται ο λογάριθμος:

Εκφράστε και βρείτε το x.

Σε εργασίες Επιλογές ΧΡΗΣΗΣθα είναι αρκετό να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο.

Δηλαδή, είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε το αριστερό και το δεξί μέρος ως μοίρες με την ίδια βάση, και στη συνέχεια εξισώνουμε τους δείκτες και λύνουμε τη συνηθισμένη γραμμική εξίσωση.

Εξετάστε τις εξισώσεις:

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης 4 1-2x = 64.

Είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι στο αριστερό και το δεξί μέρος υπάρχουν εκθετικές εκφράσεις με την ίδια βάση. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε το 64 ως 4 στη δύναμη του 3. Παίρνουμε:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Εξέταση:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Απάντηση: -1

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης 3 x-18 = 1/9.

Είναι γνωστό ότι

Άρα 3 x-18 = 3 -2

Οι βάσεις είναι ίσες, μπορούμε να εξισώσουμε τους δείκτες:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Εξέταση:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Απάντηση: 16

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης:

Ας αντιπροσωπεύσουμε το κλάσμα 1/64 ως ένα τέταρτο προς την τρίτη δύναμη:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Εξέταση:

Απάντηση: 11

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης:

Ας αντιπροσωπεύσουμε το 1/3 ως 3 -1 και το 9 ως το 3 στο τετράγωνο, παίρνουμε:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Τώρα μπορούμε να εξισώσουμε τους δείκτες:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Εξέταση:

Απάντηση: 5

26654. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης:

Απόφαση:

Απάντηση: 8,75

Πράγματι, ανεξάρτητα από τη δύναμη που σηκώνουμε έναν θετικό αριθμό α, δεν μπορούμε να πάρουμε αρνητικό αριθμό με κανέναν τρόπο.

Οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση μετά από κατάλληλους μετασχηματισμούς περιορίζεται στην επίλυση ενός ή περισσότερων απλών.Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε επίσης τη λύση ορισμένων εξισώσεων, μην τη χάσετε!Αυτό είναι όλο. Καλή σου τύχη!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Αυτό το μάθημα προορίζεται για όσους μόλις αρχίζουν να μαθαίνουν εκθετικές εξισώσεις. Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό και απλά παραδείγματα.

Εάν διαβάζετε αυτό το μάθημα, τότε υποπτεύομαι ότι έχετε ήδη τουλάχιστον μια ελάχιστη κατανόηση των απλούστερων εξισώσεων - γραμμικών και τετραγωνικών: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ κ.λπ. Για να μπορέσετε να λύσετε τέτοιες κατασκευές είναι απολύτως απαραίτητο για να μην "κολλήσετε" στο θέμα που θα συζητηθεί τώρα.

Λοιπόν, εκθετικές εξισώσεις. Επιτρέψτε μου να σας δώσω μερικά παραδείγματα:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Κάποια από αυτά μπορεί να σας φαίνονται πιο περίπλοκα, μερικά από αυτά, αντίθετα, είναι πολύ απλά. Όμως ένα πράγμα τους ενώνει όλους σημαντικό χαρακτηριστικό: υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση $f\left(x \right)=((a)^(x))$ στη σημειογραφία τους. Έτσι εισάγουμε τον ορισμό:

Εκθετική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιέχει μια εκθετική συνάρτηση, δηλ. μια έκφραση της μορφής $((a)^(x))$. Εκτός από καθορισμένη λειτουργίατέτοιες εξισώσεις μπορούν να περιέχουν οποιεσδήποτε άλλες αλγεβρικές κατασκευές - πολυώνυμα, ρίζες, τριγωνομετρία, λογάριθμους κ.λπ.

Εντάξει τότε. Κατάλαβε τον ορισμό. Τώρα το ερώτημα είναι: πώς να λύσετε όλα αυτά τα χάλια; Η απάντηση είναι απλή και σύνθετη ταυτόχρονα.

Ας ξεκινήσουμε με τα καλά νέα: από την εμπειρία μου με πολλούς μαθητές, μπορώ να πω ότι για τους περισσότερους από αυτούς, οι εκθετικές εξισώσεις είναι πολύ πιο εύκολες από τους ίδιους λογάριθμους και ακόμη περισσότερο την τριγωνομετρία.

Αλλά υπάρχουν και άσχημα νέα: μερικές φορές οι συντάκτες προβλημάτων για κάθε είδους σχολικά βιβλία και εξετάσεις επισκέπτονται «έμπνευση» και ο φλεγμονώδης εγκέφαλός τους αρχίζει να παράγει τόσο βάναυσες εξισώσεις που γίνεται προβληματικό όχι μόνο για τους μαθητές να τα λύσουν - ακόμη και πολλοί δάσκαλοι κολλάνε σε τέτοια προβλήματα.

Ωστόσο, ας μην μιλάμε για θλιβερά πράγματα. Και ας επιστρέψουμε σε αυτές τις τρεις εξισώσεις που δόθηκαν στην αρχή κιόλας της ιστορίας. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε καθένα από αυτά.

Πρώτη εξίσωση: $((2)^(x))=4$. Λοιπόν, σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί ο αριθμός 2 για να πάρει τον αριθμό 4; Ίσως το δεύτερο; Άλλωστε, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — και έχουμε λάβει τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. πράγματι $x=2$. Λοιπόν, ευχαριστώ, καπάκι, αλλά αυτή η εξίσωση ήταν τόσο απλή που ακόμη και η γάτα μου μπορούσε να τη λύσει. :)

Ας δούμε την παρακάτω εξίσωση:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Εδώ όμως είναι λίγο πιο δύσκολο. Πολλοί μαθητές γνωρίζουν ότι $((5)^(2))=25$ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Μερικοί επίσης υποψιάζονται ότι ο ορισμός είναι ουσιαστικά ο $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ αρνητικές δυνάμεις(κατ' αναλογία με τον τύπο $((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))$).

Τέλος, μόνο λίγοι μαντεύουν ότι αυτά τα γεγονότα μπορούν να συνδυαστούν και το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Έτσι, η αρχική μας εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Και τώρα αυτό έχει ήδη λυθεί πλήρως! Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αυτές πουθενά αλλού. Ως εκ τούτου, είναι δυνατόν να "απορρίψετε" τις βάσεις και να εξισώσετε ανόητα τους δείκτες:

Πήραμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση που μπορεί να λύσει κάθε μαθητής σε μερικές μόνο γραμμές. Εντάξει, σε τέσσερις γραμμές:

\[\αρχή(στοίχιση)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(στοίχιση)\]

Εάν δεν καταλάβατε τι συνέβαινε στις τελευταίες τέσσερις γραμμές, φροντίστε να επιστρέψετε στο θέμα " γραμμικές εξισώσεις"και επαναλάβετε το. Διότι χωρίς σαφή αφομοίωση αυτού του θέματος, είναι πολύ νωρίς για εσάς να αναλάβετε εκθετικές εξισώσεις.

\[((9)^(x))=-3\]

Λοιπόν, πώς αποφασίζεις; Πρώτη σκέψη: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, οπότε η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=-3\]

Στη συνέχεια, υπενθυμίζουμε ότι κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=(3)^(2x))\Δεξί βέλος ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Και για μια τέτοια απόφαση, παίρνουμε ένα ειλικρινά άξιο δόγμα. Γιατί εμείς, με την ισοτιμία ενός Pokémon, στείλαμε το σύμβολο μείον μπροστά από τα τρία στη δύναμη αυτού του τριών. Και δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Και για αυτο. Ρίξε μια ματιά στο διαφορετικούς βαθμούςτρίδυμα:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(μήτρα)\]

Σύνταξη αυτής της ταμπλέτας, μόλις δεν παρέστρεψα: και θετικούς βαθμούςθεωρείται, και αρνητικό, ακόμη και κλασματικό ... καλά, όπου είναι τουλάχιστον ένα αρνητικός αριθμός? Δεν είναι! Και δεν μπορεί να είναι, γιατί η εκθετική συνάρτηση $y=((a)^(x))$, πρώτον, παίρνει πάντα μόνο θετικές αξίες(όσο και αν πολλαπλασιάσετε ένα ή διαιρέσετε με δύο, θα εξακολουθεί να είναι θετικός αριθμός), και δεύτερον, η βάση μιας τέτοιας συνάρτησης - ο αριθμός $a$ - είναι εξ ορισμού ένας θετικός αριθμός!

Λοιπόν, πώς να λύσουμε τότε την εξίσωση $((9)^(x))=-3$; Όχι, δεν υπάρχουν ρίζες. Και από αυτή την άποψη, οι εκθετικές εξισώσεις μοιάζουν πολύ με τις τετραγωνικές - μπορεί επίσης να μην υπάρχουν ρίζες. Αν όμως μέσα τετραγωνικές εξισώσειςο αριθμός των ριζών καθορίζεται από τη διάκριση (η διάκριση είναι θετική - 2 ρίζες, αρνητική - χωρίς ρίζες), στη συνέχεια σε εκθετικές τιμές όλα εξαρτώνται από το τι βρίσκεται στα δεξιά του πρόσημου ίσου.

Έτσι, διατυπώνουμε το βασικό συμπέρασμα: η απλούστερη εκθετική εξίσωση της μορφής $((a)^(x))=b$ έχει ρίζα αν και μόνο αν $b>0$. Γνωρίζοντας αυτό το απλό γεγονός, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε εάν η εξίσωση που σας προτείνεται έχει ρίζες ή όχι. Εκείνοι. αξίζει να το λύσετε καθόλου ή γράψτε αμέσως ότι δεν υπάρχουν ρίζες.

Αυτή η γνώση θα μας βοηθήσει περισσότερες από μία φορές όταν πρέπει να αποφασίσουμε περισσότερα απαιτητικές εργασίες. Στο μεταξύ, αρκετοί στίχοι - ήρθε η ώρα να μελετήσετε τον βασικό αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε το πρόβλημα. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εκθετική εξίσωση:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Σύμφωνα με τον "αφελή" αλγόριθμο που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα, είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε τον αριθμό $b$ ως δύναμη του αριθμού $a$:

Επιπλέον, εάν αντί για τη μεταβλητή $x$ υπάρχει κάποια έκφραση, θα λάβουμε μια νέα εξίσωση, η οποία μπορεί ήδη να λυθεί. Για παράδειγμα:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Δεξί βέλος ((3)^(-x))=((3)^(4))\Δεξί βέλος -x=4\Δεξί βέλος x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Δεξί βέλος ((5)^(2x))=(5)^(3))\Δεξί βέλος 2x=3\Δεξί βέλος x=\frac(3)( 2). \\\end(στοίχιση)\]

Και παραδόξως, αυτό το σχήμα λειτουργεί στο 90% περίπου των περιπτώσεων. Τι γίνεται με το άλλο 10% τότε; Το υπόλοιπο 10% είναι ελαφρώς «σχιζοφρενικές» εκθετικές εξισώσεις της μορφής:

\[((2)^(x))=3;\τετράγωνο ((5)^(x))=15;\τετράγωνο ((4)^(2x))=11\]

Σε ποια δύναμη χρειάζεται να σηκώσεις 2 για να πάρεις 3; Κατά την πρώτη? Αλλά όχι: $((2)^(1))=2$ δεν είναι αρκετό. Στο δεύτερο; Κανένα από τα δύο: $((2)^(2))=4$ είναι πάρα πολύ. Τι τότε?

Οι γνώστες μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη μαντέψει: σε τέτοιες περιπτώσεις, όταν είναι αδύνατο να λυθεί "όμορφα", το "βαρύ πυροβολικό" συνδέεται με την υπόθεση - λογάριθμους. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι χρησιμοποιώντας λογάριθμους, οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη οποιουδήποτε άλλου θετικός αριθμός(εκτός μονάδας):

Θυμάστε αυτόν τον τύπο; Όταν λέω στους μαθητές μου για τους λογάριθμους, τους προειδοποιώ πάντα: αυτός ο τύπος (είναι και ο κύριος λογαριθμική ταυτότηταή, αν θέλετε, ο ορισμός του λογάριθμου) θα σας στοιχειώσει για πολύ καιρό και θα «αναδυθεί» στα πιο απροσδόκητα μέρη. Λοιπόν, αυτή βγήκε στην επιφάνεια. Ας δούμε την εξίσωσή μας και αυτόν τον τύπο:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Αν υποθέσουμε ότι ο $a=3$ είναι ο αρχικός μας αριθμός στα δεξιά και το $b=2$ είναι η ίδια η βάση εκθετικη συναρτησηστην οποία τόσο θέλουμε να οδηγηθούμε σωστη πλευρα, τότε παίρνουμε τα εξής:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Δεξί βέλος ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\Δεξί βέλος x=( (\log )_(2))3. \\\end(στοίχιση)\]

Λάβαμε μια ελαφρώς περίεργη απάντηση: $x=((\log )_(2))3$. Σε κάποια άλλη εργασία, με μια τέτοια απάντηση, πολλοί θα αμφισβητούσαν και θα άρχιζαν να επανεξετάζουν τη λύση τους: τι θα γινόταν αν υπήρχε κάπου λάθος; Σπεύδω να σας ευχαριστήσω: δεν υπάρχει λάθος εδώ και οι λογάριθμοι στις ρίζες των εκθετικών εξισώσεων είναι αρκετά τυπική κατάσταση. Συνηθίστε το λοιπόν. :)

Τώρα λύνουμε αναλογικά τις υπόλοιπες δύο εξισώσεις:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Δεξί βέλος ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Δεξί βέλος x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Δεξί βέλος ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Δεξί βέλος 2x=( (\log )_(4))11\Δεξί βέλος x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Παρεμπιπτόντως, η τελευταία απάντηση μπορεί να γραφτεί διαφορετικά:

Εμείς εισαγάγαμε τον πολλαπλασιαστή στο όρισμα του λογαρίθμου. Αλλά κανείς δεν μας εμποδίζει να προσθέσουμε αυτόν τον παράγοντα στη βάση:

Σε αυτήν την περίπτωση, και οι τρεις επιλογές είναι σωστές - είναι απλά διαφορετικές μορφέςαρχεία του ίδιου αριθμού. Ποιο να επιλέξετε και να σημειώσετε σε αυτήν την απόφαση εξαρτάται από εσάς.

Έτσι, μάθαμε να λύνουμε τυχόν εκθετικές εξισώσεις της μορφής $((a)^(x))=b$, όπου οι αριθμοί $a$ και $b$ είναι αυστηρά θετικοί. Ωστόσο, η σκληρή πραγματικότητα του κόσμου μας είναι τέτοια απλές εργασίεςθα σε συναντήσω πολύ, πολύ σπάνια. Πιο συχνά θα συναντήσετε κάτι σαν αυτό:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, πώς αποφασίζεις; Μπορεί αυτό να λυθεί καθόλου; Και αν ναι, πώς;

Κανένας πανικός. Όλες αυτές οι εξισώσεις γρήγορα και εύκολα μειώνονται σε απλοί τύποιπου έχουμε ήδη εξετάσει. Απλά πρέπει να ξέρετε να θυμάστε μερικά κόλπα από το μάθημα της άλγεβρας. Και φυσικά, δεν υπάρχουν κανόνες για την εργασία με πτυχία εδώ. Θα μιλήσω για όλα αυτά τώρα. :)

Μετασχηματισμός εκθετικών εξισώσεων

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκη μπορεί να είναι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο πρέπει να περιοριστεί στις απλούστερες εξισώσεις - σε αυτές που έχουμε ήδη εξετάσει και που ξέρουμε πώς να λύσουμε. Με άλλα λόγια, το σχήμα για την επίλυση οποιασδήποτε εκθετικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

1. Καταγράψτε την αρχική εξίσωση. Για παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Κάνε μια βλακεία. Ή έστω κάποια χάλια που λέγεται "μετασχηματίστε την εξίσωση"?
3. Στην έξοδο, λάβετε τις απλούστερες εκφράσεις όπως $((4)^(x))=4$ ή κάτι άλλο παρόμοιο. Επιπλέον, μια αρχική εξίσωση μπορεί να δώσει πολλές τέτοιες εκφράσεις ταυτόχρονα.

Με το πρώτο σημείο, όλα είναι ξεκάθαρα - ακόμα και η γάτα μου μπορεί να γράψει την εξίσωση σε ένα φύλλο. Και με το τρίτο σημείο, όπως φαίνεται, είναι λίγο πολύ ξεκάθαρο - έχουμε ήδη λύσει μια ολόκληρη δέσμη τέτοιων εξισώσεων παραπάνω.

Τι γίνεται όμως με το δεύτερο σημείο; Ποιες είναι οι μεταμορφώσεις; Τι να μετατρέψω σε τι; Και πως?

Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. Καταρχήν θα ήθελα να επισημάνω το εξής. Όλες οι εκθετικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο τύπους:

1. Η εξίσωση αποτελείται από εκθετικές συναρτήσεις με την ίδια βάση. Παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Ο τύπος περιέχει εκθετικές συναρτήσεις με διαφορετικές βάσεις. Παραδείγματα: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ και $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις του πρώτου τύπου - είναι οι πιο εύκολο να λυθούν. Και στη λύση τους θα μας βοηθήσει μια τέτοια τεχνική όπως η επιλογή σταθερών εκφράσεων.

Επισήμανση μιας σταθερής έκφρασης

Ας δούμε ξανά αυτήν την εξίσωση:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Τι βλέπουμε; Τα τέσσερα ανυψώνονται σε διαφορετικούς βαθμούς. Αλλά όλες αυτές οι δυνάμεις είναι απλά αθροίσματα της μεταβλητής $x$ με άλλους αριθμούς. Επομένως, είναι απαραίτητο να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\end(στοίχιση)\]

Με απλά λόγια, η πρόσθεση εκθετών μπορεί να μετατραπεί σε γινόμενο δυνάμεων και η αφαίρεση μετατρέπεται εύκολα σε διαίρεση. Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους στις δυνάμεις από την εξίσωσή μας:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(στοίχιση)\]

Ξαναγράφουμε την αρχική εξίσωση λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός και, στη συνέχεια, συλλέγουμε όλους τους όρους στα αριστερά:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -έντεκα; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(στοίχιση)\]

Οι πρώτοι τέσσερις όροι περιέχουν το στοιχείο $((4)^(x))$ — ας το βγάλουμε από την αγκύλη:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(στοίχιση)\]

Απομένει να διαιρεθούν και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το κλάσμα $-\frac(11)(4)$, δηλ. ουσιαστικά πολλαπλασιάζουμε με το ανεστραμμένο κλάσμα - $-\frac(4)(11)$. Παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Μειώσαμε την αρχική εξίσωση στην απλούστερη και πήραμε την τελική απάντηση.

Ταυτόχρονα, στη διαδικασία επίλυσης, ανακαλύψαμε (και μάλιστα βγάλαμε από την αγκύλη) τον κοινό παράγοντα $((4)^(x))$ - αυτή είναι η σταθερή έκφραση. Μπορεί να οριστεί ως νέα μεταβλητή ή μπορείτε απλά να την εκφράσετε με ακρίβεια και να λάβετε μια απάντηση. ΤΕΛΟΣ παντων, βασική αρχήοι λύσεις είναι οι εξής:

Βρείτε στην αρχική εξίσωση μια σταθερή έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή που διακρίνεται εύκολα από όλες τις εκθετικές συναρτήσεις.

Τα καλά νέα είναι ότι σχεδόν κάθε εκθετική εξίσωση δέχεται μια τόσο σταθερή έκφραση.

Υπάρχουν όμως και άσχημα νέα: τέτοιες εκφράσεις μπορεί να είναι πολύ δύσκολες και μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να τις ξεχωρίσεις. Ας δούμε λοιπόν ένα άλλο πρόβλημα:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ίσως κάποιος θα έχει τώρα μια ερώτηση: «Πάσα, σε λιθοβολούν; Εδώ είναι διαφορετικές βάσεις - 5 και 0,2. Ας προσπαθήσουμε όμως να μετατρέψουμε μια ισχύ με βάση το 0,2. Για παράδειγμα, ας απαλλαγούμε από το δεκαδικό κλάσμα, φέρνοντάς το στο συνηθισμένο:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)) )\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός 5 εξακολουθεί να εμφανίζεται, αν και στον παρονομαστή. Ταυτόχρονα, ο δείκτης ξαναγράφηκε ως αρνητικός. Και τώρα θυμόμαστε ένα από αυτά βασικούς κανόνεςεργασία με πτυχία:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Εδώ βέβαια απάτησα λίγο. Γιατί για να κατανοήσουμε πλήρως τη φόρμουλα για να απαλλαγούμε από αρνητικών δεικτώνέπρεπε να γραφτεί έτσι:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(5)(1) \ δεξιά))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Από την άλλη πλευρά, τίποτα δεν μας εμπόδισε να δουλέψουμε μόνο με ένα κλάσμα:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((5)^(\αριστερά(-1 \δεξιά)\cdot \αριστερά(-\αριστερά(x+1 \δεξιά) \δεξιά) ))=((5)^(x+1))\]

Αλλά σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να μπορείτε να ανεβάσετε έναν βαθμό σε άλλο βαθμό (σας υπενθυμίζω: σε αυτήν την περίπτωση, οι δείκτες αθροίζονται). Αλλά δεν χρειάστηκε να "αναποδογυρίσω" τα κλάσματα - ίσως για κάποιον θα είναι πιο εύκολο. :)

Σε κάθε περίπτωση, η αρχική εκθετική εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση είναι ακόμη πιο εύκολη στην επίλυση από την προηγουμένως θεωρημένη: εδώ δεν χρειάζεται καν να ξεχωρίσετε μια σταθερή έκφραση - όλα έχουν μειωθεί από μόνα τους. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι $1=((5)^(0))$, από όπου παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η όλη λύση! Πήραμε την τελική απάντηση: $x=-2$. Ταυτόχρονα, θα ήθελα να σημειώσω ένα τέχνασμα που απλοποίησε σημαντικά όλους τους υπολογισμούς για εμάς:

Στις εκθετικές εξισώσεις, φροντίστε να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα, μετατρέψτε τα σε κανονικά. Αυτό θα σας επιτρέψει να δείτε ίδιους λόγουςβαθμούς και απλοποιεί σημαντικά τη λύση.

Ας προχωρήσουμε σε περισσότερα σύνθετες εξισώσεις, στις οποίες υπάρχουν διαφορετικές βάσεις, οι οποίες γενικά δεν ανάγονται μεταξύ τους με τη βοήθεια μοιρών.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα εκθέτη

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε δύο πιο σκληρές εξισώσεις:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(στοίχιση)\]

Η κύρια δυσκολία εδώ είναι ότι δεν είναι ξεκάθαρο σε τι και σε ποια βάση να οδηγήσει. Οπου σετ εκφράσεων? Πού είναι τα κοινά σημεία; Δεν υπάρχει τίποτα από αυτά.

Αλλά ας προσπαθήσουμε να πάμε από την άλλη. Εάν δεν υπάρχουν έτοιμες πανομοιότυπες βάσεις, μπορείτε να προσπαθήσετε να τις βρείτε συνυπολογίζοντας τις διαθέσιμες βάσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εξίσωση:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Δεξί βέλος ((21)^(3x))=((\αριστερά(7\cdot 3 \δεξιά))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(στοίχιση)\]

Αλλά τελικά, μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - σχηματίστε τον αριθμό 21 από τους αριθμούς 7 και 3. Είναι ιδιαίτερα εύκολο να το κάνετε αυτό στα αριστερά, καθώς οι δείκτες και των δύο βαθμών είναι οι ίδιοι:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Βγάλατε τον εκθέτη από το γινόμενο και πήρατε αμέσως μια όμορφη εξίσωση που μπορεί να λυθεί σε μερικές γραμμές.

Τώρα ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση. Εδώ όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ΣΤΟ αυτή η υπόθεσητα κλάσματα αποδείχθηκαν μη αναγώγιμα, αλλά αν κάτι μπορούσε να μειωθεί, φροντίστε να το μειώσετε. Αυτό συχνά οδηγεί σε ενδιαφέροντες λόγους με τους οποίους μπορείτε ήδη να εργαστείτε.

Δυστυχώς, δεν έχουμε καταλήξει σε τίποτα. Αλλά βλέπουμε ότι οι εκθέτες στα αριστερά στο γινόμενο είναι αντίθετοι:

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: για να απαλλαγείτε από το σύμβολο μείον στον εκθέτη, πρέπει απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα. Ας ξαναγράψουμε λοιπόν την αρχική εξίσωση:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(εκατό); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(στοίχιση)\]

Στη δεύτερη γραμμή, μόλις βγάλαμε συνολικό σκοραπό το γινόμενο της παρένθεσης σύμφωνα με τον κανόνα $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, και στο τελευταίο απλώς πολλαπλασίασε τον αριθμό 100 με ένα κλάσμα.

Τώρα σημειώστε ότι οι αριθμοί στα αριστερά (στη βάση) και στα δεξιά είναι κάπως παρόμοιοι. Πως? Ναι, προφανώς: είναι ισάριθμες δυνάμεις! Εχουμε:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \δεξιά))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\αριστερά(\frac(3)(10) \δεξιά))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, η εξίσωσή μας θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \δεξιά))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \δεξιά))^(3\αριστερά(x-1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(10)(3) \δεξιά))^(3x-3))\]

Ταυτόχρονα, στα δεξιά, μπορείτε επίσης να πάρετε έναν βαθμό με την ίδια βάση, για τον οποίο αρκεί απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Τέλος, η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η όλη λύση. Η βασική του ιδέα συνοψίζεται στο γεγονός ότι ακόμη και με διαφορετικούς λόγους, προσπαθούμε με το άγκιστρο ή με το στραβό να μειώσουμε αυτούς τους λόγους στον ίδιο. Αυτό μας βοηθάει στοιχειώδεις μεταμορφώσειςεξισώσεις και κανόνες για την εργασία με δυνάμεις.

Αλλά ποιους κανόνες και πότε να χρησιμοποιήσετε; Πώς να καταλάβετε ότι σε μια εξίσωση πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με κάτι και σε μια άλλη - να αποσυνθέσετε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης σε παράγοντες;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα έρθει με την εμπειρία. Δοκιμάστε τις δυνάμεις σας στην αρχή απλές εξισώσεις, και στη συνέχεια περιπλέκετε σταδιακά τις εργασίες - και πολύ σύντομα οι δεξιότητές σας θα είναι αρκετές για να λύσετε οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση από την ίδια ΧΡΗΣΗ ή οποιαδήποτε ανεξάρτητη / δοκιμαστική εργασία.

Και για να σας βοηθήσω σε αυτό το δύσκολο έργο, προτείνω να κατεβάσετε στον ιστότοπό μου ένα σύνολο εξισώσεων για ανεξάρτητη λύση. Όλες οι εξισώσεις έχουν απαντήσεις, ώστε να μπορείτε πάντα να ελέγχετε τον εαυτό σας.

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά σε ειδικό τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τι εκθετική εξίσωση? Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις μαζί τους δείκτεςκάποιους βαθμούς. Και μόνο εκεί! Είναι σημαντικό.

Εδώ είσαι παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:

3 x 2 x = 8 x + 3

Σημείωση! Στις βάσεις των μοιρών (κάτω) - μόνο αριθμοί. ΣΤΟ δείκτεςμοίρες (παραπάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με x. Εάν, ξαφνικά, εμφανιστεί ένα x στην εξίσωση κάπου διαφορετικό από τον δείκτη, για παράδειγμα:

αυτή θα είναι η εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες επίλυσης. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Εδώ θα ασχοληθούμε επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστην πιο αγνή του μορφή.

Στην πραγματικότητα, ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις δεν λύνονται πάντα καθαρά. Αλλά υπάρχουν ορισμένοι τύποιεκθετικές εξισώσεις που μπορούν και πρέπει να λυθούν. Αυτοί είναι οι τύποι που θα εξετάσουμε.

Λύση των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων.

Ας ξεκινήσουμε με κάτι πολύ βασικό. Για παράδειγμα:

Ακόμη και χωρίς θεωρίες, απλή επιλογήείναι σαφές ότι x=2. Τίποτα περισσότερο, σωστά! Δεν υπάρχουν άλλα ρολά αξίας x. Και τώρα ας δούμε τη λύση αυτής της δύσκολης εκθετικής εξίσωσης:

Τι καναμε? Στην πραγματικότητα, απλώς πετάξαμε τους ίδιους πάτους (τριπλούς). Εντελώς πεταμένο. Και, ό,τι ευχαριστεί, χτυπήστε το σημάδι!

Πράγματι, αν στην εκθετική εξίσωση στα αριστερά και στα δεξιά είναι το ίδιοαριθμοί σε οποιοδήποτε βαθμό, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να αφαιρεθούν και να ισοδυναμούν με εκθέτες. Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Μένει να λύσουμε μια πολύ απλούστερη εξίσωση. Είναι καλό, σωστά;)

Ωστόσο, ας θυμηθούμε ειρωνικά: Μπορείτε να αφαιρέσετε τις βάσεις μόνο όταν οι αριθμοί βάσης στα αριστερά και στα δεξιά βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση!Χωρίς γείτονες και συντελεστές. Ας πούμε στις εξισώσεις:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ή

Δεν μπορείτε να αφαιρέσετε τα διπλά!

Λοιπόν, έχουμε κατακτήσει το πιο σημαντικό πράγμα. Πώς να μετακινηθείτε από τις κακές εκθετικές εκφράσεις σε απλούστερες εξισώσεις.

«Εδώ είναι εκείνες οι στιγμές!» - λες. «Ποιος θα δώσει τέτοιο πρωτόγονο στον έλεγχο και τις εξετάσεις!;»

Αναγκάστηκε να συμφωνήσει. Κανείς δεν θα το κάνει. Αλλά τώρα ξέρετε πού να πάτε όταν λύνετε μπερδεμένα παραδείγματα. Είναι απαραίτητο να το θυμάστε, όταν ο ίδιος αριθμός βάσης βρίσκεται στα αριστερά - στα δεξιά. Τότε όλα θα είναι πιο εύκολα. Στην πραγματικότητα, αυτά είναι τα κλασικά των μαθηματικών. Παίρνουμε το αρχικό παράδειγμα και το μετατρέπουμε στο επιθυμητό μαςμυαλό. Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, φυσικά.

Εξετάστε παραδείγματα που απαιτούν κάποια επιπλέον προσπάθειαγια να τα φέρουμε στα πιο απλά. Ας τους φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις.

Οι εξισώσεις ονομάζονται εκθετικές εάν ο άγνωστος περιέχεται στον εκθέτη. Η απλούστερη εκθετική εξίσωση έχει τη μορφή: a x \u003d a b, όπου a> 0 και 1, x είναι ένας άγνωστος.

Οι κύριες ιδιότητες των μοιρών, με τη βοήθεια των οποίων μετασχηματίζονται οι εκθετικές εξισώσεις: a>0, b>0.

Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, χρησιμοποιεί κανείς επίσης τις ακόλουθες ιδιότητεςεκθετική συνάρτηση: y = a x , a > 0, a1:

Για να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως δύναμη, χρησιμοποιείται η βασική λογαριθμική ταυτότητα: b = , a > 0, a1, b > 0.

Εργασίες και δοκιμές με θέμα "Εκθετικές εξισώσεις"

• εκθετικές εξισώσεις

  Μαθήματα: 4 Εργασίες: 21 Τεστ: 1

• εκθετικές εξισώσεις - Σημαντικά ΘέματαΓια επανάληψη της εξέτασηςμαθηματικά

  Καθήκοντα: 14

• Συστήματα εκθετικών και λογαριθμικών εξισώσεων - Επιδεικτικά και λογαριθμικές συναρτήσειςΒαθμός 11

  Μαθήματα: 1 Εργασίες: 15 Τεστ: 1

• §2.1. Επίλυση εκθετικών εξισώσεων

  Μαθήματα: 1 Εργασίες: 27

• §7 Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις - Ενότητα 5. Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις Βαθμός 10

  Μαθήματα: 1 Εργασίες: 17

Για επιτυχημένη λύσηεκθετικές εξισώσεις που πρέπει να γνωρίζετε βασικές ιδιότητεςμοίρες, ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης, βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, χρησιμοποιούνται δύο κύριες μέθοδοι:

1. μετάβαση από την εξίσωση a f(x) = a g(x) στην εξίσωση f(x) = g(x);
2. εισαγωγή νέων γραμμών.

Παραδείγματα.

1. Εξισώσεις που ανάγονται στο απλούστερο. Επιλύονται φέρνοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη με την ίδια βάση.

3x \u003d 9x - 2.

Απόφαση:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Απάντηση: 4.

2. Εξισώσεις που λύνονται με αγκύλες τον κοινό παράγοντα.

Απόφαση:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Απάντηση: 3.

3. Εξισώσεις που λύνονται με αλλαγή μεταβλητής.

Απόφαση:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Συμβολίζουμε 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
α) 2 x = - 4. Η εξίσωση δεν έχει λύσεις, γιατί 2 x > 0.
β) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Απάντηση:ημερολόγιο 2 3.

4. Εξισώσεις που περιέχουν δυνάμεις με δύο διαφορετικές (μη αναγώγιμες μεταξύ τους) βάσεις.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Απάντηση: 2.

5. Εξισώσεις που είναι ομοιογενείς ως προς τα a x και b x .

Γενική μορφή: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Απόφαση:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Σημειώστε (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Απάντηση:ημερολόγιο 3/2 2; - κούτσουρο 3/2 2.