Σε ορισμένα προβλήματα της φυσικής, δεν είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια άμεση σύνδεση μεταξύ των ποσοτήτων που περιγράφουν τη διαδικασία. Αλλά είναι δυνατό να ληφθεί μια ισότητα που περιέχει τις παραγώγους των υπό μελέτη συναρτήσεων. Έτσι προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις και η ανάγκη επίλυσής τους για να βρεθεί μια άγνωστη συνάρτηση.

Αυτό το άρθρο προορίζεται για όσους αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Η θεωρία είναι δομημένη με τέτοιο τρόπο ώστε με μηδενική γνώση διαφορικών εξισώσεων, μπορείτε να αντεπεξέλθετε στην εργασία σας.

Κάθε τύπος διαφορικής εξίσωσης συνδέεται με μια μέθοδο λύσης με λεπτομερείς εξηγήσεις και λύσεις σε τυπικά παραδείγματα και προβλήματα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσδιορίσετε τον τύπο της διαφορικής εξίσωσης του προβλήματός σας, να βρείτε ένα παρόμοιο αναλυόμενο παράδειγμα και να πραγματοποιήσετε παρόμοιες ενέργειες.

Για επιτυχημένη λύσηδιαφορικές εξισώσεις, θα χρειαστείτε επίσης την ικανότητα να βρείτε σύνολα αντιπαραγώγων ( αόριστα ολοκληρώματα) διάφορες λειτουργίες. Εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να ανατρέξετε στην ενότητα.

Αρχικά, θα εξετάσουμε τους τύπους συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που μπορούν να επιλυθούν σε σχέση με την παράγωγο, μετά θα προχωρήσουμε σε ODE δεύτερης τάξης, στη συνέχεια θα σταθούμε σε εξισώσεις υψηλότερης τάξης και θα τελειώσουμε με συστήματα διαφορικές εξισώσεις.

Θυμηθείτε ότι αν το y είναι συνάρτηση του ορίσματος x.

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης της φόρμας.

Ας γράψουμε μερικά παραδείγματα τέτοιου τηλεχειριστηρίου .

Διαφορικές εξισώσεις μπορεί να επιλυθεί ως προς την παράγωγο διαιρώντας και τις δύο πλευρές της ισότητας με f(x) . Σε αυτή την περίπτωση, καταλήγουμε σε μια εξίσωση που θα είναι ισοδύναμη με την αρχική για f(x) ≠ 0. Παραδείγματα τέτοιων ODE είναι .

Εάν υπάρχουν τιμές του ορίσματος x στις οποίες οι συναρτήσεις f(x) και g(x) εξαφανίζονται ταυτόχρονα, τότε εμφανίζονται πρόσθετες λύσεις. Πρόσθετες λύσεις στην εξίσωση δεδομένου x είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις ορίζονται για αυτές τις τιμές ορίσματος. Παραδείγματα τέτοιων διαφορικών εξισώσεων περιλαμβάνουν:

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης.

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Το LDE με σταθερούς συντελεστές είναι ένας πολύ κοινός τύπος διαφορικής εξίσωσης. Η λύση τους δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Αρχικά, βρίσκονται οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης . Για διαφορετικά p και q, τρεις περιπτώσεις είναι δυνατές: οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορεί να είναι πραγματικές και διαφορετικές, πραγματικές και συμπίπτουσες ή σύνθετα συζυγή. Ανάλογα με τις τιμές των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, γράφεται κοινή απόφασηδιαφορική εξίσωση ως , ή , ή αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, θεωρήστε μια γραμμική ομοιογενή δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής του εξίσωσης είναι k 1 = -3 και k 2 = 0. Οι ρίζες είναι πραγματικές και διαφορετικές, επομένως, η γενική λύση ενός LODE με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή


Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Η γενική λύση μιας ΛΔΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y αναζητείται με τη μορφή του αθροίσματος της γενικής λύσης της αντίστοιχης ΛΔΔΕ και μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση, δηλαδή, . Η προηγούμενη παράγραφος είναι αφιερωμένη στην εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Και μια συγκεκριμένη λύση προσδιορίζεται είτε με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών με μια ορισμένη μορφήσυνάρτηση f(x) στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης ή με τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Ως παραδείγματα LDDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, δίνουμε


Για να κατανοήσετε τη θεωρία και να εξοικειωθείτε με λεπτομερείς λύσεις παραδειγμάτων, σας προσφέρουμε στη σελίδα γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις (LODE) και γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις (LNDEs) δεύτερης τάξης.

Ειδική περίπτωση διαφορικών εξισώσεων αυτού του τύπου είναι οι LODE και LDDE με σταθερούς συντελεστές.

Η γενική λύση του LODE σε ένα συγκεκριμένο τμήμα αντιπροσωπεύεται από έναν γραμμικό συνδυασμό δύο γραμμικά ανεξάρτητων μερικών λύσεων y 1 και y 2 αυτής της εξίσωσης, δηλαδή .

Η κύρια δυσκολία έγκειται ακριβώς στην εύρεση γραμμικά ανεξάρτητων μερικών λύσεων σε μια διαφορική εξίσωση αυτού του τύπου. Συνήθως, επιλέγονται συγκεκριμένες λύσεις τα ακόλουθα συστήματαγραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις:


Ωστόσο, συγκεκριμένες λύσεις δεν παρουσιάζονται πάντα με αυτή τη μορφή.

Ένα παράδειγμα LOD είναι .

Η γενική λύση του LDDE αναζητείται στη μορφή , όπου είναι η γενική λύση του αντίστοιχου LDDE, και είναι η συγκεκριμένη λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης. Μόλις μιλήσαμε για την εύρεση του, αλλά μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Μπορεί να δοθεί ένα παράδειγμα LNDU .

Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων.

Διαφορικές εξισώσεις που επιτρέπουν μείωση κατά σειρά.

Σειρά διαφορικής εξίσωσης , η οποία δεν περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση και τις παράγωγές της έως k-1 τάξη, μπορεί να μειωθεί σε n-k αντικαθιστώντας το .

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχική διαφορική εξίσωση θα μειωθεί σε . Αφού βρεθεί η λύση του p(x), μένει να επιστρέψουμε στην αντικατάσταση και να προσδιορίσουμε την άγνωστη συνάρτηση y.

Για παράδειγμα, η διαφορική εξίσωση μετά την αντικατάσταση, θα γίνει μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές και η σειρά της θα μειωθεί από την τρίτη στην πρώτη.

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης και υψηλότερης τάξης.
Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Παραδείγματα λύσεων.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης και διαφορικών εξισώσεων υψηλότερης τάξης. Εάν έχετε μια αόριστη ιδέα για το τι είναι μια διαφορική εξίσωση (ή δεν καταλαβαίνετε καθόλου τι είναι), τότε προτείνω να ξεκινήσετε με το μάθημα Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Πολλές αρχές λύσης και ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣΕπομένως, οι διαχυτές πρώτης τάξης επεκτείνονται αυτόματα σε διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε πρώτα τις εξισώσεις πρώτης τάξης.

Πολλοί αναγνώστες μπορεί να έχουν την προκατάληψη ότι ο τηλεχειρισμός της 2ης, 3ης και άλλων παραγγελιών είναι κάτι πολύ δύσκολο και απροσπέλαστο. Αυτό είναι λάθος . Μάθετε να λύνετε διαχύσεις ανώτερης τάξηςελάχιστα πιο περίπλοκο από τα «συνηθισμένα» DE 1ης τάξης. Και σε ορισμένα σημεία είναι ακόμη πιο απλό, αφού οι λύσεις χρησιμοποιούν ενεργά υλικό από το σχολικό πρόγραμμα.

Δημοφιλέστερος διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Σε μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Αναγκαίωςπεριλαμβάνει τη δεύτερη παράγωγο και Δεν περιλαμβάνονται

Πρέπει να σημειωθεί ότι μερικά από τα μωρά (ακόμα και όλα ταυτόχρονα) μπορεί να λείπουν από την εξίσωση· είναι σημαντικό ο πατέρας να είναι στο σπίτι. Η πιο πρωτόγονη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης μοιάζει με αυτό:

Διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης σε πρακτικές εργασίεςείναι πολύ λιγότερο συχνές, σύμφωνα με τις υποκειμενικές μου παρατηρήσεις στο Κρατική Δούμαθα έπαιρναν περίπου το 3-4% των ψήφων.

Σε μια διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης Αναγκαίωςπεριλαμβάνει την τρίτη παράγωγο και Δεν περιλαμβάνονταιπαράγωγα υψηλότερων τάξεων:

Η απλούστερη διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης μοιάζει με αυτό: – ο μπαμπάς είναι στο σπίτι, όλα τα παιδιά είναι έξω για μια βόλτα.

Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να ορίσετε διαφορικές εξισώσεις 4ης, 5ης και υψηλότερης τάξης. Σε πρακτικά προβλήματα, τέτοια συστήματα ελέγχου σπάνια αποτυγχάνουν, ωστόσο, θα προσπαθήσω να δώσω σχετικά παραδείγματα.

Οι διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης, που προτείνονται σε πρακτικά προβλήματα, μπορούν να χωριστούν σε δύο κύριες ομάδες.

1) Η πρώτη ομάδα - η λεγόμενη εξισώσεις που μπορούν να μειωθούν κατά σειρά. Ελα!

2) Δεύτερη ομάδα - γραμμικές εξισώσειςυψηλότερες παραγγελίες με σταθερούς συντελεστές. Το οποίο θα αρχίσουμε να εξετάζουμε τώρα.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
με σταθερούς συντελεστές

Στη θεωρία και την πράξη, διακρίνονται δύο τύποι τέτοιων εξισώσεων: ομοιογενής εξίσωσηΚαι ανομοιογενής εξίσωση.

Ομοιογενής ΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστέςΕχει επόμενη προβολή:
, όπου και είναι σταθερές (αριθμοί), και στη δεξιά πλευρά – αυστηράμηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες με ομοιογενείς εξισώσεις, το κύριο πράγμα είναι αποφασίσει σωστά τετραγωνική εξίσωση .

Μερικές φορές υπάρχουν μη τυποποιημένα ομοιογενείς εξισώσεις, για παράδειγμα, μια εξίσωση στη μορφή , όπου στη δεύτερη παράγωγο υπάρχει κάποια σταθερά διαφορετική από τη μονάδα (και, φυσικά, διαφορετική από το μηδέν). Ο αλγόριθμος λύσης δεν αλλάζει καθόλου, θα πρέπει να σχεδιάσετε ήρεμα χαρακτηριστική εξίσωσηκαι να βρει τις ρίζες του. Αν η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, για παράδειγμα: , τότε η γενική λύση θα γραφτεί σύμφωνα με το συνηθισμένο σχήμα: .

Σε ορισμένες περιπτώσεις, λόγω τυπογραφικού λάθους στην κατάσταση, μπορεί να προκύψουν «κακές» ρίζες, κάτι σαν . Τι να κάνετε, η απάντηση θα πρέπει να γραφτεί ως εξής:

Με «κακές» συζυγείς σύνθετες ρίζες όπως ούτε πρόβλημα, γενική λύση:

Αυτό είναι, υπάρχει γενική λύση πάντως. Γιατί κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Στην τελευταία παράγραφο, όπως υποσχέθηκα, θα εξετάσουμε εν συντομία:

Γραμμικές ομοιογενείς εξισώσεις υψηλότερων τάξεων

Όλα είναι πολύ, πολύ παρόμοια.

Μια γραμμική ομοιογενής εξίσωση τρίτης τάξης έχει την ακόλουθη μορφή:
, όπου είναι σταθερές.
Για δεδομένη εξίσωσηΠρέπει επίσης να δημιουργήσετε μια χαρακτηριστική εξίσωση και να βρείτε τις ρίζες της. Η χαρακτηριστική εξίσωση, όπως πολλοί έχουν μαντέψει, μοιάζει με αυτό:
, και αυτό ΤΕΛΟΣ παντωνΕχει ακριβώς τρειςρίζα

Ας, για παράδειγμα, όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές: , τότε η γενική λύση θα γραφτεί ως εξής:

Εάν η μία ρίζα είναι πραγματική και οι άλλες δύο είναι συζευγμένες μιγαδικές, τότε γράφουμε τη γενική λύση ως εξής:

Ιδιαίτερη περίπτωση, όταν και οι τρεις ρίζες είναι πολλαπλές (το ίδιο). Ας θεωρήσουμε την πιο απλή ομοιογενή ΔΕ 3ης τάξης με μοναχικό πατέρα: . Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τρεις μηδενικές ρίζες που συμπίπτουν. Γράφουμε τη γενική λύση ως εξής:

Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει, για παράδειγμα, τρεις πολλαπλές ρίζες, τότε η γενική λύση, κατά συνέπεια, είναι η εξής:

Παράδειγμα 9

Να λύσετε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης

Λύση:Ας συνθέσουμε και λύσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

, – λαμβάνεται μία πραγματική ρίζα και δύο συζευγμένες μιγαδικές ρίζες.

Απάντηση:κοινή απόφαση

Ομοίως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση τέταρτης τάξης με σταθερούς συντελεστές: , όπου είναι σταθερές.

Συχνά μόνο μια αναφορά διαφορικές εξισώσειςκάνει τους μαθητές να αισθάνονται άβολα. Γιατί συμβαίνει αυτό? Τις περισσότερες φορές, επειδή κατά τη μελέτη των βασικών στοιχείων του υλικού, προκύπτει ένα κενό στη γνώση, λόγω του οποίου η περαιτέρω μελέτη των difurs γίνεται απλώς βασανιστήριο. Δεν είναι ξεκάθαρο τι να κάνετε, πώς να αποφασίσετε, από πού να ξεκινήσετε;

Ωστόσο, θα προσπαθήσουμε να σας δείξουμε ότι τα difurs δεν είναι τόσο δύσκολα όσο φαίνεται.

Βασικές έννοιες της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων

Από το σχολείο γνωρίζουμε τις απλούστερες εξισώσεις στις οποίες πρέπει να βρούμε το άγνωστο x. στην πραγματικότητα διαφορικές εξισώσειςμόνο ελαφρώς διαφορετική από αυτές - αντί για μεταβλητή Χ πρέπει να βρείτε μια συνάρτηση σε αυτά y(x) , που θα μετατρέψει την εξίσωση σε ταυτότητα.

ρε διαφορικές εξισώσειςέχουν τεράστια εφαρμοσμένη τιμή. Δεν πρόκειται για αφηρημένα μαθηματικά που δεν έχουν καμία σχέση με τον κόσμο γύρω μας. Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για την περιγραφή πολλών πραγματικών φυσικές διαδικασίες. Για παράδειγμα, οι δονήσεις μιας χορδής, η κίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή, χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις σε προβλήματα μηχανικής, βρίσκουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σώματος. Επίσης DUχρησιμοποιούνται ευρέως στη βιολογία, τη χημεία, τα οικονομικά και πολλές άλλες επιστήμες.

Διαφορική εξίσωση (DU) είναι μια εξίσωση που περιέχει παραγώγους της συνάρτησης y(x), την ίδια τη συνάρτηση, ανεξάρτητες μεταβλητές και άλλες παραμέτρους σε διάφορους συνδυασμούς.

Υπάρχουν πολλοί τύποι διαφορικών εξισώσεων: συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις, γραμμικές και μη γραμμικές, ομοιογενείς και ανομοιογενείς, διαφορικές εξισώσεις πρώτης και ανώτερης τάξης, μερικές διαφορικές εξισώσεις κ.λπ.

Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνάρτηση που τη μετατρέπει σε ταυτότητα. Υπάρχουν γενικές και ειδικές λύσεις του τηλεχειριστηρίου.

Μια γενική λύση σε μια διαφορική εξίσωση είναι ένα γενικό σύνολο λύσεων που μετατρέπουν την εξίσωση σε ταυτότητα. Μια μερική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια λύση που ικανοποιεί πρόσθετες συνθήκες που καθορίστηκαν αρχικά.

Καθορίζεται η σειρά της διαφορικής εξίσωσης υψηλότερη τάξηπαράγωγα που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Συνήθεις διαφορικές εξισώσειςείναι εξισώσεις που περιέχουν μία ανεξάρτητη μεταβλητή.

Ας εξετάσουμε την απλούστερη συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Μοιάζει:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί απλώς ενσωματώνοντας τη δεξιά πλευρά της.

Παραδείγματα τέτοιων εξισώσεων:

Διαχωρίσιμες εξισώσεις

ΣΕ γενική εικόνααυτός ο τύπος εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Όταν λύνετε μια τέτοια εξίσωση, πρέπει να διαχωρίσετε τις μεταβλητές, φέρνοντάς την στη μορφή:

Μετά από αυτό, μένει να ενσωματωθούν και τα δύο μέρη και να επιτευχθεί μια λύση.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Τέτοιες εξισώσεις μοιάζουν με:

Εδώ τα p(x) και q(x) είναι μερικές συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής και η y=y(x) είναι η επιθυμητή συνάρτηση. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας τέτοιας εξίσωσης:

Όταν λύνουν μια τέτοια εξίσωση, τις περισσότερες φορές χρησιμοποιούν τη μέθοδο της μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς ή αντιπροσωπεύουν την επιθυμητή συνάρτηση ως γινόμενο δύο άλλων συναρτήσεων y(x)=u(x)v(x).

Για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, απαιτείται συγκεκριμένη προετοιμασία και θα είναι αρκετά δύσκολο να ληφθούν "με μια ματιά".

Παράδειγμα επίλυσης διαφορικής εξίσωσης με διαχωρίσιμες μεταβλητές

Εξετάσαμε λοιπόν τους απλούστερους τύπους τηλεχειριστηρίου. Τώρα ας δούμε τη λύση σε ένα από αυτά. Ας είναι αυτή μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.

Αρχικά, ας ξαναγράψουμε την παράγωγο σε μια πιο οικεία μορφή:

Στη συνέχεια διαιρούμε τις μεταβλητές, δηλαδή, σε ένα μέρος της εξίσωσης συλλέγουμε όλα τα "I" και στο άλλο - τα "X":

Τώρα μένει να ενσωματωθούν και τα δύο μέρη:

Ενσωματώνουμε και παίρνουμε μια γενική λύση σε αυτήν την εξίσωση:

Φυσικά, η επίλυση διαφορικών εξισώσεων είναι ένα είδος τέχνης. Πρέπει να είστε σε θέση να κατανοήσετε τι είδους εξίσωση είναι, και επίσης να μάθετε να βλέπετε τι μετασχηματισμοί πρέπει να γίνουν με αυτήν για να οδηγήσετε σε μια μορφή ή στην άλλη, για να μην αναφέρουμε μόνο την ικανότητα διαφοροποίησης και ενσωμάτωσης. Και για να πετύχεις να λύσεις ΔΕ χρειάζεται εξάσκηση (όπως σε όλα). Και αν έχετε αυτή τη στιγμήδεν έχετε χρόνο να καταλάβετε πώς λύνονται οι διαφορικές εξισώσεις ή το πρόβλημα του Cauchy έχει κολλήσει σαν κόκκαλο στο λαιμό σας ή δεν ξέρετε, επικοινωνήστε με τους συγγραφείς μας. Σε σύντομο χρονικό διάστημα θα σας παρέχουμε ένα έτοιμο και λεπτομερής λύση, τις λεπτομέρειες του οποίου μπορείτε να κατανοήσετε οποιαδήποτε στιγμή σας βολεύει. Εν τω μεταξύ, προτείνουμε να παρακολουθήσετε ένα βίντεο με θέμα "Πώς να λύσετε διαφορικές εξισώσεις":

Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης

Βασική ορολογία διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης (ΔΕΗΕ).

Μια εξίσωση της μορφής , όπου n >1 (2)

ονομάζεται διαφορική εξίσωση ανώτερης τάξης, δηλ. n-η σειρά.

περιοχή ορισμού DU, nτης τάξης υπάρχει μια περιοχή .

Σε αυτό το μάθημα θα εξεταστούν οι ακόλουθοι τύποι συστημάτων ελέγχου:

Πρόβλημα Cauchy DU VP:

Αφήστε το τηλεχειριστήριο να δοθεί,
Και αρχικές συνθήκεςα/α: αριθμοί.

Πρέπει να βρείτε μια συνεχή και n φορές διαφοροποιήσιμη συνάρτηση
:

1)
είναι μια λύση στη δεδομένη ΔΕ στις , δηλ.
;

2) ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές προϋποθέσεις: .

Για μια ΔΕ δεύτερης τάξης, η γεωμετρική ερμηνεία της λύσης του προβλήματος είναι η εξής: αναζητείται μια ολοκληρωμένη καμπύλη που διέρχεται από το σημείο (Χ 0 , y 0 ) και εφαπτομένη στη γραμμή με κλίση κ = y 0 ́ .

Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας(λύσεις στο πρόβλημα Cauchy για DE (2)):

Αν 1)
συνεχής (συνολικά (n+1) επιχειρήματα) στην περιοχή
; 2)
συνεχής (πάνω από το σύνολο των επιχειρημάτων
) στο , λοιπόν ! λύση του προβλήματος Cauchy για το DE, που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες n/a: .

Η περιοχή ονομάζεται περιοχή μοναδικότητας της ΔΕ.

Γενική λύση τηλεχειριστηρίου VP (2) – n -παραμετρικήλειτουργία,
, Οπου
– αυθαίρετες σταθερές, που ικανοποιούν τις ακόλουθες απαιτήσεις:

1)

– λύση της ΔΕ (2) στις ;

2) n/a από την περιοχή της μοναδικότητας!
:
ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Σχόλιο.

Προβολή σχέσης
, που καθορίζει σιωπηρά τη γενική λύση της ΔΕ (2) ονομάζεται γενικό ολοκλήρωμα DU.

Ιδιωτική λύσηΤο DE (2) λαμβάνεται από τη γενική του λύση για μια συγκεκριμένη τιμή .

Ενσωμάτωση τηλεχειριστηρίου VP.

Οι διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης, κατά κανόνα, δεν μπορούν να επιλυθούν με ακριβείς αναλυτικές μεθόδους.

Ας προσδιορίσουμε έναν συγκεκριμένο τύπο DUVP που επιτρέπει μειώσεις κατά σειρά και μπορεί να μειωθεί σε τετράγωνα. Ας συνθέσουμε αυτούς τους τύπους εξισώσεων και μεθόδων για τη μείωση της σειράς τους.

VP DU που επιτρέπουν μειώσεις παραγγελιών

		Μέθοδος μείωσης παραγγελίας
	Το σύστημα ελέγχου είναι ημιτελές, δεν περιέχει . Για παράδειγμα,	Και τα λοιπά. Μετά nΗ πολλαπλή ολοκλήρωση δίνει μια γενική λύση στο DE.
	Η εξίσωση είναι ημιτελής. προφανώς δεν περιέχει την απαιτούμενη λειτουργία και αυτή πρώτα παράγωγα. Για παράδειγμα,	Υποκατάσταση μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά κμονάδες.
	Ημιτελής εξίσωση; προφανώς δεν περιέχει επιχείρημα την επιθυμητή λειτουργία. Για παράδειγμα,	Υποκατάσταση η σειρά της εξίσωσης μειώνεται κατά ένα.
	Η εξίσωση είναι σε ακριβείς παραγώγους· μπορεί να είναι πλήρης ή ατελής. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να μετατραπεί στη μορφή (*) ́= (*)́, όπου η δεξιά και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ακριβείς παράγωγοι ορισμένων συναρτήσεων.	Η ενσωμάτωση της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της εξίσωσης πάνω από το όρισμα μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά ένα.
		Υποκατάσταση μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά ένα.

Ορισμός ομοιογενούς συνάρτησης:

Λειτουργία
ονομάζεται ομοιογενής στις μεταβλητές
, Αν


σε οποιοδήποτε σημείο στον τομέα ορισμού της συνάρτησης
;

– σειρά ομοιογένειας.

Για παράδειγμα, είναι μια ομοιογενής συνάρτηση 2ης τάξης σε σχέση με
, δηλ. .

Παράδειγμα 1:

Βρείτε τη γενική λύση του τηλεχειριστηρίου
.

ΔΕ 3ης τάξης, ελλιπής, δεν περιέχει ρητά
. Ενσωματώνουμε διαδοχικά την εξίσωση τρεις φορές.

,

– γενική λύση του τηλεχειριστηρίου.

Παράδειγμα 2:

Λύστε το πρόβλημα Cauchy για τηλεχειριστήριο
στο

.

ΔΕ δεύτερης τάξης, ελλιπής, δεν περιέχει ρητά .

Υποκατάσταση
και το παράγωγό του
θα μειώσει τη σειρά του τηλεχειριστηρίου κατά ένα.

. Πήραμε μια πρώτης τάξης DE - την εξίσωση Bernoulli. Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση Bernoulli:

,

και συνδέστε το στην εξίσωση.

Σε αυτό το στάδιο, λύνουμε το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση
:
.

– εξίσωση πρώτης τάξης με διαχωρίσιμες μεταβλητές.

Αντικαθιστούμε τις αρχικές συνθήκες στην τελευταία ισότητα:

Απάντηση:
είναι μια λύση στο πρόβλημα Cauchy που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες.

Παράδειγμα 3:

Λύστε DE.

– DE 2ης τάξης, ελλιπής, δεν περιέχει ρητά τη μεταβλητή και επομένως επιτρέπει τη μείωση της σειράς κατά μία χρησιμοποιώντας αντικατάσταση ή
.

Παίρνουμε την εξίσωση
(αφήνω
).

– ΔΕ 1ης τάξης με διαχωριστικές μεταβλητές. Ας τα χωρίσουμε.

– γενικό αναπόσπαστο της ΔΕ.

Παράδειγμα 4:

Λύστε DE.

Η εξίσωση
υπάρχει εξίσωση σε ακριβείς παραγώγους. Πραγματικά,
.

Ας ενσωματώσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά σε σχέση με , δηλ.
ή . Λάβαμε ένα DE 1ης τάξης με διαχωρίσιμες μεταβλητές, δηλ.
– γενικό αναπόσπαστο της ΔΕ.

Παράδειγμα 5:

Λύστε το πρόβλημα Cauchy για
στο .

ΔΕ 4ης τάξης, ελλιπής, δεν περιέχει ρητά
. Παρατηρώντας ότι αυτή η εξίσωση είναι σε ακριβείς παραγώγους, παίρνουμε
ή
,
. Ας αντικαταστήσουμε τις αρχικές συνθήκες σε αυτήν την εξίσωση:
. Ας πάρουμε ένα τηλεχειριστήριο
3η τάξη του πρώτου τύπου (βλ. πίνακα). Ας το ενσωματώσουμε τρεις φορές και μετά από κάθε ολοκλήρωση θα αντικαταστήσουμε τις αρχικές συνθήκες στην εξίσωση:

Απάντηση:
- λύση του προβλήματος Cauchy της αρχικής ΔΕ.

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση.

– ΔΕ 2ης τάξης, πλήρης, περιέχει ομοιογένεια ως προς
. Υποκατάσταση
θα μειώσει τη σειρά της εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, ας μειώσουμε την εξίσωση στη μορφή
, διαιρώντας και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με . Και διαφοροποιήστε τη λειτουργία Π:

.

Ας αντικαταστήσουμε
Και
στο τηλεχειριστήριο:
. Αυτή είναι μια εξίσωση 1ης τάξης με χωριστές μεταβλητές.

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
, παίρνουμε τηλεχειριστήριο ή
– γενική λύση της αρχικής ΔΕ.

Θεωρία γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης.

Βασική ορολογία.

– NLDU -η σειρά, όπου - συνεχείς λειτουργίεςσε κάποιο διάστημα.

Ονομάζεται το διάστημα της συνέχειας του τηλεχειριστηρίου (3).

Ας εισαγάγουμε έναν (υπό όρους) διαφορικό τελεστή ης τάξης

Όταν δρα στη συνάρτηση, παίρνουμε

Δηλαδή η αριστερή πλευρά μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης ης τάξης.

Ως αποτέλεσμα, το LDE μπορεί να γραφτεί

Γραμμικές ιδιότητες του τελεστή
:

1) – ιδιότητα προσθετικότητας

2)
– αριθμός – ιδιότητα ομοιογένειας

Οι ιδιότητες είναι εύκολο να ελεγχθούν, καθώς οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων έχουν παρόμοιες ιδιότητες ( τελικό ποσόπαράγωγα ισούται με το άθροισμα πεπερασμένος αριθμόςπαράγωγα; ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου).

Οτι.
– γραμμικός τελεστής.

Ας εξετάσουμε το ζήτημα της ύπαρξης και της μοναδικότητας μιας λύσης στο πρόβλημα Cauchy για το LDE
.

Ας λύσουμε το LDE σε σχέση με
: ,
, – διάστημα συνέχειας.

Συνάρτηση συνεχής στον τομέα, παράγωγα
συνεχής στην περιοχή

Συνεπώς, η περιοχή μοναδικότητας στην οποία το πρόβλημα Cauchy LDE (3) έχει μοναδική λύση και εξαρτάται μόνο από την επιλογή του σημείου
, όλες οι άλλες τιμές ορίσματος
λειτουργίες
μπορούν να ληφθούν αυθαίρετα.

Γενική θεωρία της OLDE.

– διάστημα συνέχειας.

Κύριες ιδιότητες των λύσεων OLDE:

1. Ιδιότητα προσθετικότητας

(
– λύση OLDE (4) σε )
(
– λύση του OLDE (4) στο ).

Απόδειξη:

– λύση OLDE (4) επί

– λύση OLDE (4) επί

Επειτα

2. Ιδιότητα ομοιογένειας

( – λύση του OLDE (4) στις ) (
(– αριθμητικό πεδίο))

– λύση στο OLDE (4) στο .

Η απόδειξη είναι παρόμοια.

Οι ιδιότητες της προσθετικότητας και της ομοιογένειας ονομάζονται γραμμικές ιδιότητες OLDU (4).

Συνέπεια:

(
– λύση στο OLDE (4) στις )(

– λύση του OLDE (4) στο ).

3. ( – λύση μιγαδικής αξίας του OLDE (4) στις )(
είναι λύσεις με πραγματική αξία του OLDE (4) στις ).

Απόδειξη:

Αν είναι μια λύση στο OLDE (4) στο , τότε όταν αντικατασταθεί στην εξίσωση το μετατρέπει σε ταυτότητα, δηλ.
.

Λόγω της γραμμικότητας του τελεστή, η αριστερή πλευρά της τελευταίας ισότητας μπορεί να γραφεί ως εξής:
.

Αυτό σημαίνει ότι, δηλ., είναι λύσεις πραγματικής αξίας του OLDE (4) στο .

Οι επακόλουθες ιδιότητες των λύσεων σε OLDE σχετίζονται με την έννοια " γραμμική εξάρτηση”.

Ορισμός γραμμική εξάρτησηπεπερασμένο σύστημα συναρτήσεων

Ένα σύστημα συναρτήσεων λέγεται ότι εξαρτάται γραμμικά από το αν υπάρχει μη τετριμμένοσύνολο αριθμών
έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός
λειτουργίες
με αυτούς τους αριθμούς είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν στο , δηλ.
.n που είναι λάθος. Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.διαφορικό εξισώσειςπιο ψηλάτάξεις μεγέθους(4 ώρες...