Πώς να εκφράσετε έναν αριθμό από έναν εκθέτη. Άκρα, αύξηση, μείωση

Η συνάρτηση EXP στο Excel χρησιμοποιείται για να αυξήσει τον αριθμό Euler (τη σταθερά e, που είναι περίπου ίση με 2,718) σε καθορισμένο πτυχίοκαι επιστρέφει την αντίστοιχη αριθμητική τιμή.

Παραδείγματα συνάρτησης EXP στο Excel

Στον τραπεζικό καταθέτη προσφέρθηκαν δύο επιλογές κατάθεσης:

1. Κατάθεση με ετήσιο επιτόκιο 16% και μηνιαία κεφαλαιοποίηση.
2. Κατάθεση συνεχούς κεφαλαιοποίησης (αριθμός περιόδων κεφαλαιοποίησης - άπειρο σύνολοκατά τη διάρκεια της σύμβασης κατάθεσης) με ετήσιο επιτόκιο 16%.

Ποια προσφορά είναι πιο κερδοφόρα; Το ποσό της κατάθεσης είναι 50.000 ρούβλια, η διάρκεια της σύμβασης είναι 5 χρόνια.

Προβολή του αρχικού πίνακα δεδομένων:

Ο τύπος για τον υπολογισμό της μελλοντικής αξίας της κατάθεσης για την πρώτη έκδοση της σύμβασης κατάθεσης:

BS(B3/B4;B4*B5;0;-B6)

Στη δεύτερη περίπτωση, η χρήση κεφαλαίων γίνεται συνεχώς, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη συνάρτηση:

Περιγραφή επιχειρημάτων:

• C3 - ετήσιος ρυθμός.
• Γ5 – διάρκεια της σύμβασης.
• Το C6 είναι το αρχικό ποσό κατάθεσης.

Αποτελέσματα:

Η επιλογή με συνεχή αύξηση της κεφαλαιοποίησης είναι πιο κερδοφόρα.



Υπολογισμός του ρυθμού διαίρεσης κυττάρων ιστού στο Excel

ΣΤΟ αρχική στιγμήκαιρό υπήρχε μόνο ένα κύτταρο ζωντανής ύλης. Κάθε 5 λεπτά ένα τέτοιο κελί χωρίζεται σε 2 πανομοιότυπα κύτταρα. Προσδιορίστε πόσα κύτταρα ιστών σχηματίζονται σε 0,5 ώρα, 1,5 ώρα ή μια ημέρα;

Ο αρχικός πίνακας μοιάζει με αυτό:

Για τον υπολογισμό, χρησιμοποιούμε τον τύπο πίνακα:

ΛΗΞΗ(A3*C3:C5/B3)

Περιγραφή επιχειρημάτων:

• A3 - αύξηση του αριθμού των κυττάρων (100%, δηλαδή, το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός κυττάρου είναι δύο νέα κύτταρα).
• C3:C5/B3 - οι περίοδοι που υποδεικνύονται από τη συνθήκη, διαιρεμένες με τη διάρκεια ζωής του κυττάρου μέχρι το τέλος της διαδικασίας διαίρεσης.

Αποτελέσματα:

Η τιμή 1,E+125 είναι ισοδύναμη με 10 25 .

Ο ρυθμός μείωσης της μάζας μιας ραδιενεργής ουσίας με την πάροδο του χρόνου

Ποσότητα ραδιενεργή ουσίαμειώθηκε στο μισό σε έξι μήνες. Πόσο θα ζυγίζει η ουσία μετά από 2 χρόνια εάν η αρχική μάζα ήταν 18 kg.

Άποψη του αρχικού πίνακα:

Τύπος υπολογισμού:

B5*EXP(B2*B4/B3)

Περιγραφή επιχειρημάτων:

• B5 είναι η αρχική μάζα της ουσίας.
• Β2 - ανάπτυξη ( αρνητικό νόημα, αφού η ποσότητα της ουσίας μειώνεται).
• B4 / B3 - ο αριθμός των περιόδων για τις οποίες εμφανίζεται ο χρόνος ημιζωής.

Αποτέλεσμα υπολογισμού:

Μετά από 2 χρόνια, από τα 18 κιλά θα μείνουν μόνο 330 γρ.

Δυνατότητες χρήσης της συνάρτησης EXP στο Excel

Η συνάρτηση EXP έχει την ακόλουθη σύνταξη:

ΛΗΞΗ (αριθμός)

Το μόνο και υποχρεωτικό όρισμα είναι ο αριθμός , που χαρακτηρίζει την αριθμητική τιμή του εκθέτη στον οποίο είναι απαραίτητο να αυξηθεί η σταθερά e.

Σημειώσεις 1:

1. Οι συναρτήσεις LN και EXP είναι αντίθετες μεταξύ τους στο επιστρεφόμενο αποτέλεσμα. Ο λογάριθμος υποδεικνύει την ισχύ στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση (στην περίπτωση ενός φυσικού λογάριθμος lnxο εκθέτης είναι περίπου 2,718) για να πάρουμε τον x εκθέτη. Η συνάρτηση EXP καθορίζει τον εκθέτη x.
2. Το όρισμα αριθμού μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός στο εύρος πραγματικούς αριθμούς(ολόκληρο και κλασματικό αρνητικό, θετικές αξίεςκαι 0). Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης του =EXP(0) είναι 1.
3. Οι δυαδικές τιμές TRUE και FALSE μπορούν να περάσουν ως όρισμα στο EXP και θα μετατραπούν αυτόματα στις αριθμητικές τιμές 1 και 0 αντίστοιχα.
4. Εάν ένας αριθμός μεταβιβάστηκε ως όρισμα που δεν είναι μετατρέψιμο σε αριθμητική αξίαόνομα ή συμβολοσειρά κειμένου, η συνάρτηση EXP θα επιστρέψει τον κωδικό σφάλματος #VALUE!.
5. Η συνάρτηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως τύπος πίνακα.

Σημειώσεις 2:

1. Όπως γνωρίζετε, ο αριθμός e είναι ένας δείκτης του βαθμού του φυσικού λογάριθμου, ο οποίος γράφεται, για παράδειγμα, ως εξής: ln10, δηλαδή ο λογάριθμος με βάση το 2,718 από το 10. Ο ίδιος ο αριθμός e είναι δείκτης ανάπτυξης για κάθε διαδικασία, οι εξαρτώμενες ποσότητες της οποίας αλλάζουν συνεχώς με την αλλαγή των ανεξάρτητων. Παραδείγματα περιλαμβάνουν διεργασίες όπως η διαίρεση των ζωντανών κυττάρων του σώματος (μετά από μια ορισμένη χρονική περίοδο, ένα κύτταρο διαιρείται σε δύο, μετά καθένα από αυτά τα δύο διαιρείται σε άλλα δύο και ούτω καθεξής) ή η διάσπαση ραδιενεργών ουσιών (γνωρίζοντας το συντελεστής διάσπασης, μπορείτε να μάθετε πόση ραδιενεργή ύλη έχει αναλυθεί σε απλούστερα στοιχεία.
2. Ο αριθμός e χρησιμοποιείται για την προσέγγιση (δημιουργία ενός απλοποιημένου μοντέλου) συστημάτων των οποίων οι τιμές αλλάζουν άνισα.
3. Για να κατανοήσετε τη φυσική έννοια του αριθμού e, εξετάστε τη διαδικασία αύξησης των επενδύσεων κεφαλαίου σε μια τράπεζα. Για παράδειγμα, μια τράπεζα πρόσφερε αύξηση κεφαλαίου 100% στο τέλος του συγκεκριμένη περίοδοςπχ 12 μηνών. Δηλαδή το κέρδος του επενδυτή θα διπλασιαστεί. Ας υποθέσουμε ότι η διαδικασία αύξησης του κεφαλαίου είναι συνεχής καθ' όλη τη διάρκεια του έτους. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ποσό του κεφαλαίου μετά από 6 μήνες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο R=(1+100%/2) 2 , όπου R είναι η αύξηση κεφαλαίου, 2 είναι ο αριθμός των μισών περιόδων ανάπτυξης. Εάν αποφασίσουμε να καθορίσουμε την ανάπτυξη για 4 μήνες, ο τύπος θα πάρει τη μορφή R=(1+100%/3) 3 , για 3 μήνες - R=(1+100%/4) 4, κ.λπ. γενική περίπτωσηέχουμε τον τύπο R=(1+100%/x) x . Αν x→∞ (πάει στο άπειρο) το R (ανάπτυξη) θα είναι 2,718. Από αυτό προκύπτει ότι η μέγιστη δυνατή αύξηση 100% στο μικρότερο χρονικό διάστημα δεν μπορεί να υπερβαίνει την τιμή των 2,718, που είναι ο αριθμός e (αριθμός Euler). Στη γενική περίπτωση, οποιαδήποτε αύξηση μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο R \u003d e p * t, όπου p είναι η αύξηση της τιμής (για παράδειγμα, όχι 100%, όπως στα παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω, αλλά 30%, δηλαδή 0,3 ), και t είναι ο χρόνος (για παράδειγμα, εάν η σύμβαση κατάθεσης έχει σχεδιαστεί για 5 χρόνια, τότε t=5). Στη συνέχεια, για τον υπολογισμό στο Excel, αρκεί να εισαγάγετε τον τύπο = EXP (0,3 * 5).

Μηχανική αριθμομηχανή σε απευθείας σύνδεση

Σπεύδουμε να παρουσιάσουμε σε όλους ένα δωρεάν μηχανική αριθμομηχανή. Με τη βοήθειά του, κάθε μαθητής μπορεί γρήγορα και, κυρίως, εύκολα να εκτελέσει διάφορα είδη μαθηματικούς υπολογισμούςΣε σύνδεση.

Η αριθμομηχανή προέρχεται από τον ιστότοπο - web 2.0 επιστημονική αριθμομηχανή

Μια απλή και εύχρηστη μηχανική αριθμομηχανή με διακριτική και διαισθητική διεπαφή θα είναι πραγματικά χρήσιμη για το ευρύτερο φάσμα χρηστών του Διαδικτύου. Τώρα, όταν χρειάζεστε μια αριθμομηχανή, επισκεφτείτε τον ιστότοπό μας και χρησιμοποιήστε τη δωρεάν μηχανική αριθμομηχανή.

Μια αριθμομηχανή μηχανικής μπορεί να λειτουργήσει τόσο απλά αριθμητικές πράξεις, καθώς και μάλλον περίπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς.

Το Web20calc είναι μια μηχανική αριθμομηχανή που διαθέτει μεγάλο ποσόλειτουργεί, για παράδειγμα, ως ο υπολογισμός όλων στοιχειώδεις λειτουργίες. Η αριθμομηχανή υποστηρίζει επίσης τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πίνακες, λογάριθμους και ακόμη και γραφική παράσταση.

Αναμφίβολα, το Web20calc θα ενδιαφέρει την ομάδα ανθρώπων που αναζητούν απλές λύσειςκερδίζει μέσα μηχανές αναζήτησηςερώτηση: μαθηματικά ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Η δωρεάν εφαρμογή Ιστού θα σας βοηθήσει να υπολογίσετε άμεσα το αποτέλεσμα οποιασδήποτε μαθηματικής παράστασης, για παράδειγμα, αφαίρεση, προσθήκη, διαίρεση, εξαγωγή της ρίζας, αύξηση σε δύναμη κ.λπ.

Στην έκφραση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις πράξεις εκθέσεως, πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης, ποσοστού, σταθεράς PI. Οι παρενθέσεις πρέπει να χρησιμοποιούνται για πολύπλοκους υπολογισμούς.

Χαρακτηριστικά της μηχανικής αριθμομηχανής:

1. Βασικές αριθμητικές πράξεις.
2. Εργασία με αριθμούς σε τυπική μορφή.
3. υπολογισμός τριγωνομετρικές ρίζες, συναρτήσεις, λογάριθμοι, εκθετικότητα.
4. στατιστικούς υπολογισμούς: πρόσθεση, αριθμητικός μέσος όρος ή τυπική απόκλιση.
5. Εφαρμογή κυψέλης μνήμης και λειτουργίες χρήστη 2 μεταβλητών.
6. εργασία με γωνίες σε μέτρα ακτίνων και μοιρών.

Η αριθμομηχανή μηχανικής επιτρέπει τη χρήση μιας ποικιλίας μαθηματικών συναρτήσεων:

Εξαγωγή ριζών (τετραγωνική ρίζα, κυβική ρίζα, καθώς και η ρίζα του ν-ου βαθμού).
ex (e έως x ισχύς), εκθέτης;
τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ημιτονοειδές - αμαρτία, συνημίτονο - συν, εφαπτομένη - μαύρισμα.
αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctantgent - tan-1;
υπερβολικές συναρτήσεις: sine - sinh, συνημίτονο - cosh, εφαπτομένη - tanh;
λογάριθμοι: δυαδικός λογάριθμος βάσης δύο - log2x, δεκαδικός λογάριθμοςβάση δέκα - κούτσουρο, φυσικός λογάριθμος– Ιν.

Αυτή η μηχανική αριθμομηχανή περιλαμβάνει επίσης μια αριθμομηχανή μετατροπής φυσικές ποσότητεςΓια διάφορα συστήματαμετρήσεις - μονάδες υπολογιστή, απόσταση, βάρος, χρόνος κ.λπ. Με αυτή τη λειτουργία, μπορείτε να μετατρέψετε άμεσα μίλια σε χιλιόμετρα, λίβρες σε κιλά, δευτερόλεπτα σε ώρες κ.λπ.

Για να κάνετε μαθηματικούς υπολογισμούς, εισαγάγετε πρώτα μια ακολουθία μαθηματικών παραστάσεων στο κατάλληλο πεδίο, μετά κάντε κλικ στο σύμβολο ίσου και δείτε το αποτέλεσμα. Μπορείτε να εισαγάγετε τιμές απευθείας από το πληκτρολόγιο (για αυτό, η περιοχή της αριθμομηχανής πρέπει να είναι ενεργή, επομένως, θα είναι χρήσιμο να τοποθετήσετε τον κέρσορα στο πεδίο εισαγωγής). Μεταξύ άλλων, τα δεδομένα μπορούν να εισαχθούν χρησιμοποιώντας τα κουμπιά της ίδιας της αριθμομηχανής.

Για να δημιουργήσετε γραφήματα στο πεδίο εισαγωγής, γράψτε τη συνάρτηση όπως υποδεικνύεται στο πεδίο του παραδείγματος ή χρησιμοποιήστε τη γραμμή εργαλείων που έχει σχεδιαστεί ειδικά για αυτό (για να μεταβείτε σε αυτήν, κάντε κλικ στο κουμπί με το εικονίδιο σε μορφή γραφήματος). Για να μετατρέψετε τιμές, πατήστε Unit, για να εργαστείτε με πίνακες - Matrix.

Εκθέτης (αριθμός ε) - παράλογος αριθμός, περίπου ίσο με 2,71828. Ο αριθμός e παίζει μεγάλο ρόλο στο διαφορικό και ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣκαι χρησιμοποιείται σχεδόν σε όλα επιστημονικά πεδία. Τόσο στεγνό μαθηματικός ορισμόςδεν αποκαλύπτει την ουσία του φυσική αίσθησηεκθέτες. Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα.

Η έννοια του αριθμού ε

Ο αριθμός Pi δεν είναι απλώς ένας παράλογος αριθμός ίσος με 3,1415, αλλά ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο που είναι ίδιος για όλες τις περιπτώσεις. Ομοίως, ο αριθμός e έχει τη δική του σημασία.

Ο εκθέτης είναι ο βασικός λόγος ανάπτυξης για όλες τις διαδικασίες ανάπτυξης. Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως κλιμακούμενη μονάδα, οποιοδήποτε τετράγωνο ως κλιμακωτό τετράγωνο μονάδας, οποιοδήποτε ισόπλευρο τρίγωνο- σε μεγέθυνση ή μειωμένη ορθογώνιο τρίγωνο, αλλά οποιοσδήποτε αυξητικός παράγοντας μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλιμακούμενος παράγοντας e.

Είναι οι πράξεις στον αριθμό e που θα σας δώσουν τη δυνατότητα να προσδιορίσετε τον ρυθμό ανάπτυξης σε καταστάσεις όπως η αύξηση του πληθυσμού, οι τόκοι μιας κατάθεσης ή ο χρόνος ημιζωής μιας ραδιενεργής ουσίας.

Διακριτή Ανάπτυξη

Ένα βασικό παράδειγμα ενός συστήματος συνεχούς διπλασιασμού είναι ο πολλαπλασιασμός των βακτηρίων που διπλασιάζεται κάθε μέρα. Αν ο διπλασιασμός γίνει μία φορά, τότε μαθηματικά παίρνουμε 2 στην πρώτη δύναμη, δηλαδή μόλις 2. Αν διπλασιαστεί x φορές, τότε στο τέλος παίρνουμε 2 στην x δύναμη βακτηρίων, χρημάτων ή οποιουδήποτε άλλου αγαθού.

Ωστόσο, το σύστημα μπορεί να μην αλλάξει κατά 2 φορές, αλλά για παράδειγμα κατά 20% ή 120%. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε τον διπλασιασμό όχι ως δυαδικό κύμα, αλλά ως 1 + 1 ή 1 + 100%. Σε μια τέτοια εγγραφή, μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιονδήποτε αυξητικό παράγοντα και να πάρουμε τον τύπο ανάπτυξης ως:

Ανάπτυξη \u003d (1 + ανάπτυξη) x,

όπου x είναι ο αριθμός των κύκλων ανάπτυξης.

Χάρη σε αυτόν τον τύπο, μπορούμε να μάθουμε πόσα βακτήρια θα πάρουμε από ένα κύτταρο μετά από 30 ημέρες. Ωστόσο, τα βακτήρια διαιρούνται διακριτά, δηλαδή μέχρι να σχηματιστεί ένα νέο κύτταρο μέσα σε μια μέρα, δεν θα είναι σε θέση να παράγει νέους οργανισμούς. Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο στα χρήματα, έχουμε ένα εντελώς διαφορετικό αποτέλεσμα.

Συνεχής ανάπτυξη

Κατά τον υπολογισμό των τόκων σε χρήματα, δεν υπάρχει διακριτό, αλλά συνεχής ανάπτυξη. Από τη στιγμή που συγκεντρώνεται ένα κέρδος ύψους δύο πένας στην κατάθεση, αυτά τα χρήματα αρχίζουν να φέρνουν το δικό τους κέρδος. Δεν χρειάζεται να περιμένετε μέχρι να «γεννηθεί» ένα ολόκληρο δολάριο, το οποίο αρχίζει να διαιρείται όπως τα βακτήρια. Αρκεί να σχηματίσει ένα σεντ, το οποίο θα αρχίσει να δημιουργεί τα μικροκέρδη του.

Ας φανταστούμε ότι έχουμε επενδύσει $1 σε μια επιχείρηση που μας υπόσχεται 100% κέρδος σε ένα χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε αύξηση:

Εισόδημα = (1 + 1) 1 = 2

Μόνο 2 $ - αραιά. Ωστόσο, αν χωρίσουμε το έτος σε δύο εξάμηνα, τότε παίρνουμε 50 σεντς για κάθε εξάμηνο. Τα ληφθέντα σεντ μπορούν ήδη να δημιουργήσουν κέρδος από μόνα τους και τότε ο τύπος θα αλλάξει.

Εισόδημα = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Εφόσον τώρα έχουμε δύο περιόδους διπλασιασμού, έχουμε τετραγωνίσει την αύξηση και έχουμε επιπλέον 25 σεντς εισόδημα. Αν σπάσουμε το κέρδος μας σε 5 μέρη των 20 λεπτών, θα αποδειχθεί ακόμα πιο ελκυστικό:

Εισόδημα = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Ίσως μπορούμε να μοιράσουμε τα κέρδη επ' αόριστον ένας μεγάλος αριθμός από μικρά κομμάτιακαι να πάρεις άπειρο κέρδος; Δυστυχώς όχι. Ακόμα κι αν χωρίσουμε το δολάριο μας σε 100.000 μέρη, το εισόδημα είναι:

Εισόδημα = (1 + 0,00001) 100.000 = 2,71826

Με ένα άπειρο μοίρασμα του δολαρίου, το κέρδος θα αυξηθεί κατά εκατό χιλιοστά μετά την υποδιαστολή. Το κέρδος μας 2,71826 $ θα τείνει προς 2,718281828, που δεν είναι παρά ο αριθμός E.

Και τι σημαίνει όλο αυτό

Ένας εκθέτης είναι το μεγαλύτερο δυνατό αποτέλεσμα 100% συνεχούς ανάπτυξης σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Ναι, αρχικά μας υποσχέθηκαν 100% κέρδος, δηλαδή μόνο $2, αλλά κάθε σεντ φέρνει τα δικά του μερίσματα και, ως αποτέλεσμα, έχουμε ακριβώς $2,71828 κέρδος. Ο αριθμός e είναι το μέγιστο που μπορούμε να πάρουμε όταν διαιρούμε το κέρδος σε αθροίσματα απειροελάχιστων τιμών.

Αυτό σημαίνει ότι εάν, με πιθανή απόδοση 100%, επενδύσουμε 1 $ στην επιχείρηση, θα λάβουμε 2.718 $ σε καθαρό κέρδος. Αν $2, τότε θα έχουμε 2x καθαρό κέρδος και αν $100, τότε το κέρδος μας θα είναι 100x. Έτσι, το e είναι μια περιοριστική σταθερά που περιορίζει τις διαδικασίες ανάπτυξης με τον ίδιο τρόπο που η ταχύτητα του φωτός περιορίζει την κίνηση των πληροφοριών στο διάστημα. Ο αριθμός e είναι το μέγιστο δυνατό αποτέλεσμα, δύσκολο να επιτευχθεί στην πράξη, επομένως, στην πραγματικότητα, πολλές διαδικασίες περιγράφονται χρησιμοποιώντας τμήματα του εκθέτη.

Χρήση του εκθέτη στην πράξη

Με την πρώτη ματιά, η ανάπτυξη απεικονίζεται ως πρόσθεση 1%, ωστόσο, μαθηματικά, μια τέτοια αύξηση εκφράζεται ως πολλαπλασιασμός επί 1,01. Έτσι, σε πράξεις με τον αριθμό e, χρησιμοποιούμε δυνάμεις ή ρίζες. Ή φυσικούς λογάριθμους, αν χρειαζόμαστε την αντίστροφη πράξη. Όποιο ρυθμό ανάπτυξης και να πάρουμε, θα σημαίνει τη δύναμη για τον αριθμό ε. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι μέσα σε 3 χρόνια θα έχουμε κέρδος 200%, τότε απλώς πολλαπλασιάζουμε την ανάπτυξη (ε 2) επί 3 περιόδους και παίρνουμε :

Ύψος \u003d (e 3) 2 \u003d e 6

Για καλύτερη κατανόησηας δούμε παραδείγματα.

κατάθεση σε τραπεζικό λογαριασμό

Ας υποθέσουμε ότι καταθέσαμε 100 $ σε μια τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 8%. Η επιλεγμένη τράπεζα μας προσφέρει πλήρη κεφαλαιοποίηση τόκων, τι κέρδος θα έχουμε σε 5 χρόνια; Εφόσον η τράπεζα μας παρέχει συνεχή αύξηση των χρημάτων, σε 5 χρόνια ο λογαριασμός μας θα έχει ήδη:

Κέρδος = 100 × e (0,08 × 5) = 149,1

Καταπληκτικό, σωστά; Δυστυχώς, οι πραγματικές τράπεζες χρησιμοποιούν σπάνια ανατοκισμός, και αν υπολογίζουν την κεφαλαιοποίηση, τότε σύμφωνα με τους δικούς τους τύπους, που είναι κάπως διαφορετικοί από τον κλασικό εκθέτη.

Ημιζωή

Φανταστείτε ότι έχετε 5 κιλά ραδιενεργού ουρανίου, το οποίο διασπάται με ρυθμό 100% ετησίως. Πόσο ουράνιο θα σας απομείνει μετά από 2 χρόνια; Θεωρητικά, όλο το ουράνιο θα πρέπει να διασπάται τον πρώτο χρόνο, αλλά αυτό δεν είναι έτσι. Μετά από 6 μήνες, θα σας απομείνουν μόνο 2,5 κιλά ουρανίου, το οποίο με τη σειρά του θα αρχίσει να αποσυντίθεται με ρυθμό μόνο 2,5 κιλά ετησίως. Σε μερικούς μήνες ακόμη, 1 κιλό ουρανίου θα παραμείνει στην αποθήκευσή σας, αλλά επίσης θα αποσυντεθεί με περισσότερο πιο αργή ταχύτηταστο επίπεδο του 1 kg ετησίως. Με την πάροδο του χρόνου, χάνετε ραδιενεργό καύσιμο και ο ρυθμός αποσύνθεσης μειώνεται επίσης. Έτσι μετά από 2 χρόνια θα έχετε:

Ραδιενεργό υπόλειμμα = 5 × e −2 = 0,676

συμπέρασμα

Ο εκθέτης έχει ευρεία χρήση σε καταστάσεις όπου κάτι αυξάνεται συνεχώς ή διακριτά. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή e exponentiation για να υπολογίσετε τα αποτελέσματα ανάπτυξης οποιασδήποτε συνεχούς διαδικασίας.

y (x) = e x, του οποίου η παράγωγος είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση.

Ο εκθέτης συμβολίζεται ως , ή .

αριθμός e

Η βάση του βαθμού του εκθέτη είναι αριθμός e. Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός. Είναι περίπου ίσο
μι ≈ 2,718281828459045...

Ο αριθμός e καθορίζεται μέσω του ορίου της ακολουθίας. Αυτό το λεγόμενο δεύτερο υπέροχο όριο:
.

Επίσης, ο αριθμός e μπορεί να αναπαρασταθεί ως σειρά:
.

Διάγραμμα εκθετών

Γραφική παράσταση εκθέτη, y = e x .

Το γράφημα δείχνει τον εκθέτη, μιστο βαθμό Χ.
y (x) = e x
Το γράφημα δείχνει ότι ο εκθέτης αυξάνεται μονότονα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Οι βασικοί τύποι είναι οι ίδιοι όπως για εκθετικη συναρτησημε βάση ε.

;
;
;

Έκφραση μιας εκθετικής συνάρτησης με αυθαίρετη βάση βαθμού α μέσω του εκθέτη:
.

Ιδιωτικές αξίες

Αφήστε το y (x) = e x. Επειτα
.

Ιδιότητες εκθέτη

Ο εκθέτης έχει τις ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση το βαθμό μι > 1 .

Τομέας ορισμού, σύνολο τιμών

Εκθέτης y (x) = e xορίζεται για όλα τα x .
Το πεδίο εφαρμογής του είναι:
- ∞ < x + ∞ .
Το σύνολο των σημασιών του:
0 < y < + ∞ .

Άκρα, αύξηση, μείωση

Ο εκθέτης είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση, επομένως δεν έχει ακρότατα. Οι κύριες ιδιότητές του παρουσιάζονται στον πίνακα.

Αντίστροφη συνάρτηση

Το αντίστροφο του εκθέτη είναι φυσικός λογάριθμος.
;
.

Παράγωγος του εκθέτη

Παράγωγο μιστο βαθμό Χείναι ίσο με μιστο βαθμό Χ :
.
Παράγωγο της νης τάξης:
.
Παραγωγή τύπων > > >

Αναπόσπαστο

Μιγαδικοί αριθμοί

Δράσεις με μιγαδικοί αριθμοίπραγματοποιηθεί μέσω Τύποι Euler:
,
πού είναι η φανταστική μονάδα:
.

Εκφράσεις ως προς τις υπερβολικές συναρτήσεις

; ;
.

Εκφράσεις ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις

; ;
;
.

Επέκταση σειράς ισχύος

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.