Τι τιμές μπορεί να πάρει μια κλιμακωτή ποσότητα; Μάζα και πυκνότητα

 Διάνυσμα− καθαρό μαθηματική έννοια, το οποίο χρησιμοποιείται μόνο στη φυσική ή σε άλλα εφαρμοσμένες επιστήμεςκαι το οποίο σας επιτρέπει να απλοποιήσετε τη λύση ορισμένων πολύπλοκων προβλημάτων.
 Διάνυσμα− κατευθυνόμενο ευθύ τμήμα.
Ξέρω στοιχειώδης φυσικήπρέπει να λειτουργούμε με δύο κατηγορίες ποσοτήτων − βαθμωτό και διανυσματικό.
 Βαθμωτό μέγεθοςοι ποσότητες (βαθμοί) είναι ποσότητες που χαρακτηρίζονται από αριθμητική αξίακαι οικείο. Οι βαθμίδες είναι μήκος − μεγάλο, μάζα − Μ, μονοπάτι − μικρό, χρόνος − t, θερμοκρασία − Τ, ηλεκτρικό φορτίο − q, ενέργεια − W, συντεταγμένες κ.λπ.
Όλες οι αλγεβρικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός κ.λπ.) ισχύουν για βαθμωτές ποσότητες.

 Παράδειγμα 1.
Προσδιορίστε το συνολικό φορτίο του συστήματος, που αποτελείται από τα φορτία που περιλαμβάνονται σε αυτό, εάν q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Πλήρης χρέωση συστήματος
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.

 Παράδειγμα 2.
Για τετραγωνική εξίσωσηείδος
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 ΔιάνυσμαΟι ποσότητες (διανύσματα) είναι μεγέθη, για να καθοριστεί ποιες είναι απαραίτητο να δηλωθεί, εκτός από την αριθμητική τιμή, και η κατεύθυνση. Διανύσματα − ταχύτητα v, δύναμη φά, παρόρμηση Π, ένταση ηλεκτρικό πεδίο μι, μαγνητική επαγωγή σικαι τα λοιπά.
Η αριθμητική τιμή ενός διανύσματος (μέτρο) συμβολίζεται με ένα γράμμα χωρίς σύμβολο διανύσματος ή το διάνυσμα περικλείεται ανάμεσα σε κάθετες ράβδους r = |r|.
Γραφικά, το διάνυσμα αντιπροσωπεύεται από ένα βέλος (Εικ. 1),

Το μήκος του οποίου σε μια δεδομένη κλίμακα είναι ίσο με το μέγεθός του και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος.
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν τα μεγέθη και οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν.
Τα διανυσματικά μεγέθη προστίθενται γεωμετρικά (σύμφωνα με τον κανόνα της διανυσματικής άλγεβρας).
Η εύρεση ενός διανυσματικού αθροίσματος από δεδομένα διανύσματα συνιστωσών ονομάζεται πρόσθεση διανυσμάτων.
Η προσθήκη δύο διανυσμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου ή του τριγώνου. Διάνυσμα αθροίσματος
c = a + b
ίση με τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα έναΚαι σι. Διαμορφώστε το
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Εικ. 2).


Σε α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Το ίδιο διάνυσμα c μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου εάν από το τέλος του διανύσματος έναπαραμερίζουν διάνυσμα σι. Διάνυσμα κύλισης c (που συνδέει την αρχή του διανύσματος ένακαι το τέλος του διανύσματος σι) είναι το διανυσματικό άθροισμα των όρων (διανύσματα συστατικών έναΚαι σι).
Το διάνυσμα που προκύπτει βρίσκεται ως η τελική γραμμή της διακεκομμένης γραμμής της οποίας οι σύνδεσμοι είναι τα συστατικά διανύσματα (Εικ. 3).


 Παράδειγμα 3.
Προσθέστε δύο δυνάμεις F 1 = 3 N και F 2 = 4 N, διανύσματα ΣΤ 1Και F 2κάντε γωνίες α 1 = 10° και α 2 = 40° με τον ορίζοντα, αντίστοιχα
 F = F 1 + F 2(Εικ. 4).

Το αποτέλεσμα της προσθήκης αυτών των δύο δυνάμεων είναι μια δύναμη που ονομάζεται προκύπτουσα. Διάνυσμα φάπου κατευθύνεται κατά μήκος της διαγώνιου ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα ΣΤ 1Και F 2, και στις δύο πλευρές, και είναι ίσο σε συντελεστή με το μήκος του.
Διάνυσμα ενότητα φάβρείτε με το θεώρημα συνημιτόνου
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Αν
(α 2 − α 1) = 90°, τότε F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Γωνία που είναι διάνυσμα φάισούται με τον άξονα Ox, τον βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο
α = αρκτάνη((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = αρκτάνη((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = αρκτάνη0.51, α ≈ 0.47 rad.

Η προβολή του διανύσματος a στον άξονα Ox (Oy) είναι μια κλιμακωτή ποσότητα ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της κατεύθυνσης του διανύσματος ένακαι άξονας Ox (Oy). (Εικ. 5)


Διανυσματικές προβολές έναστον άξονα Ox και Oy ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες (Εικ. 6)


Προκειμένου να αποφευχθούν λάθη κατά τον προσδιορισμό του πρόσημου της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα, είναι χρήσιμο να θυμάστε τον ακόλουθο κανόνα: εάν η κατεύθυνση της συνιστώσας συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος σε αυτόν Ο άξονας είναι θετικός, αλλά αν η κατεύθυνση της συνιστώσας είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος είναι αρνητική. (Εικ. 7)


Η αφαίρεση διανυσμάτων είναι μια προσθήκη κατά την οποία προστίθεται ένα διάνυσμα στο πρώτο διάνυσμα, αριθμητικά ίσο με το δεύτερο, προς την αντίθετη κατεύθυνση
a − b = a + (−b) = d(Εικ. 8).

Ας είναι απαραίτητο από το διάνυσμα ένααφαιρώ διάνυσμα σι, τη διαφορά τους − ρε. Για να βρείτε τη διαφορά δύο διανυσμάτων, πρέπει να πάτε στο διάνυσμα έναπροσθήκη διανύσματος ( −β), δηλαδή ένα διάνυσμα d = a − bθα είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή του διανύσματος έναμέχρι το τέλος του διανύσματος ( −β) (Εικ. 9).

Σε ένα παραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα έναΚαι σικαι οι δύο πλευρές, μία διαγώνιος ντοέχει την έννοια του αθροίσματος, και το άλλο ρε− διανυσματικές διαφορές έναΚαι σι(Εικ. 9).
Προϊόν ενός φορέα έναμε βαθμωτό k ισούται με διάνυσμα σι= κ ένα, το μέτρο του οποίου είναι k φορές μεγαλύτερο από το μέτρο του διανύσματος ένα, και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση έναγια θετικό k και το αντίθετο για αρνητικό k.

 Παράδειγμα 4.
Προσδιορίστε την ορμή ενός σώματος βάρους 2 kg που κινείται με ταχύτητα 5 m/s. (Εικ. 10)

Σωματική παρόρμηση Π= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s και κατευθύνεται προς την ταχύτητα v.

 Παράδειγμα 5.
Ένα φορτίο q = −7,5 nC τοποθετείται σε ηλεκτρικό πεδίο με ισχύ E = 400 V/m. Να βρείτε το μέγεθος και την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το φορτίο.

Η δύναμη είναι φά= q μι. Εφόσον το φορτίο είναι αρνητικό, το διάνυσμα δύναμης κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα μι. (Εικ. 11)


 Διαίρεσηδιάνυσμα έναμε βαθμωτό k ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό ένακατά 1/k.
 Προϊόν με τελείεςφορείς έναΚαι σιονομάζεται βαθμωτός «c», ίσος με το γινόμενο των συντελεστών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας
(α.β) = (β.α) = γ,
σ = ab.cosα (Εικ. 12)


 Παράδειγμα 6.
Βρείτε το έργο που εκτελείται από μια σταθερή δύναμη F = 20 N, εάν η μετατόπιση είναι S = 7,5 m, και η γωνία α μεταξύ της δύναμης και της μετατόπισης είναι α = 120°.

Η εργασία που γίνεται με τη βία είναι εξ ορισμού ίση κλιμακωτό προϊόνδυνάμεις και κινήσεις
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

 Διάνυσμα έργα τέχνηςφορείς έναΚαι σιονομάζεται διάνυσμα ντο, αριθμητικά ίσο με το γινόμενο των απόλυτων τιμών των διανυσμάτων a και b πολλαπλασιαζόμενο με το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:
c = a × b = ,
σ = ab × sina.
Διάνυσμα ντοκάθετο στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα διανύσματα έναΚαι σι, και η κατεύθυνση του σχετίζεται με την κατεύθυνση των διανυσμάτων έναΚαι σικανόνας δεξιάς βίδας (Εικ. 13).


 Παράδειγμα 7.
Προσδιορίστε τη δύναμη που ασκεί ένας αγωγός μήκους 0,2 m, τοποθετημένος σε μαγνητικό πεδίο, του οποίου η επαγωγή είναι 5 Τ, εάν η ένταση ρεύματος στον αγωγό είναι 10 Α και σχηματίζει γωνία α = 30° με την κατεύθυνση του πεδίου .

Ισχύς αμπέρ
dF = I = Idl × B ή F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsina = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Σκεφτείτε την επίλυση προβλημάτων.
1. Πώς κατευθύνονται δύο διανύσματα, των οποίων οι συντελεστές είναι πανομοιότυπα και ίσα με a, αν το μέτρο του αθροίσματος τους είναι ίσο με: α) 0; β) 2α; γ) α? δ) a√(2); ε) a√(3);

 Λύση.
α) Δύο διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας προς τα μέσα αντίθετες πλευρές. Το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι μηδέν.

β) Δύο διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας προς την ίδια κατεύθυνση. Το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι 2α.

γ) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 120° μεταξύ τους. Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι α. Το διάνυσμα που προκύπτει βρίσκεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου:

a 2 + a 2 + 2aacosa = a 2,
cosα = −1/2 και α = 120°.
δ) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 90° μεταξύ τους. Ο συντελεστής του αθροίσματος είναι ίσος με
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 και α = 90°.

ε) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 60° μεταξύ τους. Ο συντελεστής του αθροίσματος είναι ίσος με
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 και α = 60°.
 Απάντηση: Η γωνία α μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με: α) 180°; β) 0; γ) 120°; δ) 90°; ε) 60°.

2. Αν a = a 1 + a 2προσανατολισμός των διανυσμάτων, τι μπορεί να ειπωθεί για τον αμοιβαίο προσανατολισμό των διανυσμάτων Α'1Και Α2, αν: α) a = a 1 + a 2 ; β) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; γ) a 1 + a 2 = a 1 − a 2;

 Λύση.
α) Εάν το άθροισμα των διανυσμάτων βρεθεί ως το άθροισμα των μονάδων αυτών των διανυσμάτων, τότε τα διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μίας ευθείας γραμμής, παράλληλα μεταξύ τους a 1 ||a 2.
β) Αν τα διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία μεταξύ τους, τότε το άθροισμά τους βρίσκεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 και α = 90°.
τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους a 1 ⊥ a 2.
γ) Κατάσταση a 1 + a 2 = a 1 − a 2μπορεί να εκτελεστεί εάν Α2− μηδενικό διάνυσμα, μετά a 1 + a 2 = a 1 .
 Απαντήσεις. ΕΝΑ) a 1 ||a 2; σι) a 1 ⊥ a 2; V) Α2− μηδενικό διάνυσμα.

3. Δύο δυνάμεις 1,42 Ν η καθεμία ασκούνται σε ένα σημείο του σώματος υπό γωνία 60° μεταξύ τους. Σε ποια γωνία πρέπει να ασκηθούν δύο δυνάμεις 1,75 N η καθεμία στο ίδιο σημείο του σώματος, ώστε η δράση τους να εξισορροπήσει τη δράση των δύο πρώτων δυνάμεων;

Λύση.
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, δύο δυνάμεις 1,75 Ν η καθεμία εξισορροπούν δύο δυνάμεις 1,42 Ν η καθεμία. Αυτό είναι δυνατό εάν οι μονάδες των ζευγών δυνάμεων που προκύπτουν είναι ίσες. Προσδιορίζουμε το διάνυσμα που προκύπτει χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο. Για το πρώτο ζεύγος δυνάμεων:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
για το δεύτερο ζεύγος δυνάμεων, αντίστοιχα
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Εξίσωση των αριστερών πλευρών των εξισώσεων
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Ας βρούμε την απαιτούμενη γωνία β μεταξύ των διανυσμάτων
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Μετά από υπολογισμούς,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7°.

 Δεύτερη λύση.
Ας εξετάσουμε την προβολή των διανυσμάτων στον άξονα συντεταγμένων OX (Εικ.).

Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των μερών σε ορθογώνιο τρίγωνο, παίρνουμε
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
που
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) και β ≈ 90,7°.

4. Διάνυσμα a = 3i − 4j. Ποια πρέπει να είναι η κλιμακωτή ποσότητα c για το |c ένα| = 7,5?
 Λύση.
ντο ένα= γ( 3i − 4j) = 7,5
Διάνυσμα ενότητα έναθα είναι ίσοι
a 2 = 3 2 + 4 2, και a = ±5,
τότε από
c.(±5) = 7,5,
ας το βρούμε
c = ±1,5.

5. Διανύσματα Α'1Και Α2αφήστε την καταγωγή και έχετε Καρτεσιανές συντεταγμένεςάκρα (6, 0) και (1, 4), αντίστοιχα. Βρείτε το διάνυσμα α 3έτσι ώστε: α) Α'1 + Α2 + α 3= 0; σι) Α'1 − Α2 + α 3 = 0.

 Λύση.
Ας αναπαραστήσουμε τα διανύσματα στο Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες (εικ.)

α) Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Ox είναι
a x = 6 + 1 = 7.
Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Oy είναι
a y = 4 + 0 = 4.
Για να είναι το άθροισμα των διανυσμάτων ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο να ικανοποιείται η συνθήκη
Α'1 + Α2 = −α 3.
Διάνυσμα α 3 modulo θα είναι ίσο με το συνολικό διάνυσμα α 1 + α 2, αλλά κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Διάνυσμα τελική συντεταγμένη α 3ισούται με (−7, −4), και το μέτρο
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.

Β) Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Ox είναι ίσο με
a x = 6 − 1 = 5,
και το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Όταν πληρούται η προϋπόθεση
Α'1 − Α2 = −α 3,
διάνυσμα α 3θα έχει τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος a x = –5 και a y = −4, και το μέτρο του είναι ίσο με
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.

6. Ένας αγγελιοφόρος περπατά 30 μ. προς τα βόρεια, 25 μ. προς τα ανατολικά, 12 μ. προς τα νότια και μετά παίρνει ασανσέρ σε ύψος 36 μ. σε ένα κτίριο. Ποια είναι η απόσταση που διανύει το L και η μετατόπιση S ?

 Λύση.
Ας απεικονίσουμε την κατάσταση που περιγράφεται στο πρόβλημα σε ένα επίπεδο σε αυθαίρετη κλίμακα (Εικ.).

Τέλος του διανύσματος Ο.Α.έχει συντεταγμένες 25 m στα ανατολικά, 18 m στα βόρεια και 36 επάνω (25; 18; 36). Η απόσταση που διανύει ένα άτομο είναι ίση με
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Το μέγεθος του διανύσματος μετατόπισης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
όπου x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
 Απάντηση: L = 103 m, S = 47,4 m.

7. Γωνία α μεταξύ δύο διανυσμάτων έναΚαι σιισούται με 60°. Προσδιορίστε το μήκος του διανύσματος c = a + bκαι γωνία β μεταξύ των διανυσμάτων έναΚαι ντο. Τα μεγέθη των διανυσμάτων είναι a = 3,0 και b = 2,0.

 Λύση.
Διάνυσμα μήκος, ίσο με το ποσόφορείς έναΚαι σιΑς προσδιορίσουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο (Εικ.).

σ = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Μετά την αντικατάσταση
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Για να προσδιορίσουμε τη γωνία β, χρησιμοποιούμε το ημιτονικό θεώρημα για τρίγωνο ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Ταυτόχρονα, πρέπει να το γνωρίζετε
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Επίλυση ενός απλού τριγωνομετρική εξίσωση, φτάνουμε στην έκφραση
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
ως εκ τούτου,
β = αρκτάνη(bsinα/(a + bcosα)),
β = αρκτάνη (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Ας ελέγξουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2,
που
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Και
β = τόξο((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = τόξο ((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
 Απάντηση: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Λύνω προβλήματα.
8. Για διανύσματα έναΚαι σιόπως ορίζεται στο Παράδειγμα 7, βρείτε το μήκος του διανύσματος d = a − bγωνία γ μεταξύ έναΚαι ρε.

9. Να βρείτε την προβολή του διανύσματος a = 4,0i + 7,0jσε ευθεία, η διεύθυνση της οποίας κάνει γωνία α = 30° με τον άξονα Ox. Διάνυσμα ένακαι η ευθεία βρίσκεται στο επίπεδο xOy.

10. Διάνυσμα ένακάνει γωνία α = 30° με ευθεία ΑΒ, a = 3,0. Σε ποια γωνία β προς την ευθεία ΑΒ πρέπει να κατευθύνεται το διάνυσμα; σι(b = √(3)) έτσι ώστε το διάνυσμα c = a + bήταν παράλληλη με την ΑΒ; Βρείτε το μήκος του διανύσματος ντο.

11. Δίνονται τρία διανύσματα: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. Βρες ένα) α+β; σι) α+γ; V) (α, β); ΣΟΛ) (α, γ)β − (α, β)γ.

12. Γωνία μεταξύ διανυσμάτων έναΚαι σιισούται με α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Να βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων c = (a, b)a + bΚαι d = 2b − a/2.

13. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα έναΚαι σιείναι κάθετες αν a = (2, 1, −5) και b = (5, −5, 1).

14. Να βρείτε τη γωνία α μεταξύ των διανυσμάτων έναΚαι σι, εάν a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Διάνυσμα ένακάνει γωνία α = 30° με τον άξονα Ox, η προβολή αυτού του διανύσματος στον άξονα Oy είναι ίση με a y = 2,0. Διάνυσμα σικάθετο στο διάνυσμα ένακαι b = 3,0 (βλ. σχήμα).

Διάνυσμα c = a + b. Να βρείτε: α) προβολές του διανύσματος σιστον άξονα Ox και Oy. β) την τιμή του c και τη γωνία β μεταξύ του διανύσματος ντοκαι ο άξονας Ox? ταξί); δ) (α, γ).

 Απαντήσεις:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. α) 5i + j; β) i + 3j − 2k; γ) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. α) b x = −1,5; b y = 2,6; β) c = 5; β ≈ 67°; γ) 0; δ) 16,0.
Με τη μελέτη της φυσικής, έχετε μεγάλες ευκαιρίεςσυνεχίστε την εκπαίδευσή σας σε πολυτεχνείο. Αυτό θα απαιτήσει μια παράλληλη εμβάθυνση των γνώσεων στα μαθηματικά, τη χημεία, τη γλώσσα και σπανιότερα άλλα μαθήματα. Ο νικητής της Ρεπουμπλικανικής Ολυμπιάδας, Savich Egor, αποφοίτησε από μια από τις σχολές του MIPT, όπου τίθενται μεγάλες απαιτήσεις στη γνώση στη χημεία. Εάν χρειάζεστε βοήθεια στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών στη χημεία, επικοινωνήστε με τους επαγγελματίες· σίγουρα θα λάβετε ειδική και έγκαιρη βοήθεια.

 Δείτε επίσης:

Διανυσματική ποσότητα

Διανυσματική ποσότητα- φυσικό μέγεθος, το οποίο είναι διάνυσμα (τανυστής κατάταξης 1). Από τη μια πλευρά, αντιπαραβάλλεται με βαθμωτές ποσότητες (τανυστές βαθμού 0), και από την άλλη, με μεγέθη τανυστών (αυστηρά μιλώντας, με τανυστές της τάξης 2 ή περισσότερο). Μπορεί επίσης να αντιπαραβληθεί με ορισμένα αντικείμενα εντελώς διαφορετικής μαθηματικής φύσης.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, ο όρος διάνυσμα χρησιμοποιείται στη φυσική για να δηλώσει ένα διάνυσμα στον λεγόμενο «φυσικό χώρο», δηλ. στον συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο στην κλασική φυσική ή στον τετραδιάστατο χωροχρόνο σε σύγχρονη φυσική(V η τελευταία περίπτωσηη έννοια ενός διανύσματος και μιας διανυσματικής ποσότητας συμπίπτει με την έννοια του 4-διανυσματικού και ενός 4-διανυσματικού μεγέθους).

Η χρήση της φράσης «διανυσματική ποσότητα» εξαντλείται πρακτικά από αυτό. Ως προς τη χρήση του όρου «διάνυσμα», αυτός, παρά την προεπιλεγμένη κλίση στο ίδιο πεδίο εφαρμογής, σε μεγάλες ποσότητεςπεριπτώσεις εξακολουθούν να υπερβαίνουν πολύ αυτά τα όρια. Δείτε παρακάτω για λεπτομέρειες.

Χρήση όρων διάνυσμαΚαι διανυσματική ποσότηταστη φυσική

Γενικά, στη φυσική η έννοια του διανύσματος συμπίπτει σχεδόν πλήρως με αυτή των μαθηματικών. Ωστόσο, υπάρχει μια ορολογική ιδιαιτερότητα που σχετίζεται με το γεγονός ότι στα σύγχρονα μαθηματικά αυτή η έννοια είναι κάπως υπερβολικά αφηρημένη (σε σχέση με τις ανάγκες της φυσικής).

Στα μαθηματικά, όταν προφέρουμε «διάνυσμα» εννοούμε μάλλον ένα διάνυσμα γενικά, δηλ. οποιοδήποτε διάνυσμα οποιουδήποτε αυθαίρετα αφηρημένου γραμμικού χώρου οποιασδήποτε διάστασης και φύσης, το οποίο, αν δεν καταβληθούν ιδιαίτερες προσπάθειες, μπορεί να οδηγήσει ακόμη και σε σύγχυση (όχι τόσο, φυσικά, στην ουσία, αλλά ως προς την ευκολία χρήσης). Εάν είναι απαραίτητο να είμαστε πιο συγκεκριμένοι, στο μαθηματικό στυλ κάποιος πρέπει είτε να μιλήσει αρκετά εκτενώς («διάνυσμα του τάδε και του τάδε χώρου»), είτε να έχει κατά νου αυτό που υπονοείται από το ρητά περιγραφόμενο πλαίσιο.

Στη φυσική, ωστόσο, σχεδόν πάντα δεν μιλάμε για μαθηματικά αντικείμενα (που διαθέτουν ορισμένες τυπικές ιδιότητες) γενικά, αλλά για τη συγκεκριμένη («φυσική») σύνδεσή τους. Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις εκτιμήσεις της ειδικότητας με τις εκτιμήσεις της συντομίας και της ευκολίας, μπορεί να γίνει κατανοητό ότι η ορολογική πρακτική στη φυσική διαφέρει σημαντικά από αυτή των μαθηματικών. Ωστόσο, δεν έρχεται σε προφανή αντίφαση με το τελευταίο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με μερικά απλά «κόλπα». Πρώτα απ 'όλα, αυτά περιλαμβάνουν τη συμφωνία για τη χρήση του όρου από προεπιλογή (όταν δεν προσδιορίζεται συγκεκριμένα το πλαίσιο). Έτσι, στη φυσική, σε αντίθεση με τα μαθηματικά, η λέξη διάνυσμα χωρίς πρόσθετη διευκρίνιση συνήθως δεν σημαίνει «κάποιο διάνυσμα οποιουδήποτε γραμμικού χώρου γενικά», αλλά κυρίως ένα διάνυσμα που σχετίζεται με «συνηθισμένο φυσικό χώρο» ( τρισδιάστατο χώρο κλασική φυσικήή τετραδιάστατος χωροχρόνος της σχετικιστικής φυσικής). Για διανύσματα χώρων που δεν σχετίζονται άμεσα και άμεσα με τον «φυσικό χώρο» ή τον «χωροχρόνο», χρησιμοποιούνται ειδικές ονομασίες (μερικές φορές περιλαμβάνουν τη λέξη «διάνυσμα», αλλά με διευκρίνιση). Εάν ένα διάνυσμα κάποιου χώρου που δεν σχετίζεται άμεσα και άμεσα με τον «φυσικό χώρο» ή τον «χωροχρόνο» (και που είναι δύσκολο να χαρακτηριστεί αμέσως με κάποιο τρόπο σίγουρα) εισαχθεί στη θεωρία, συχνά περιγράφεται συγκεκριμένα ως «αφηρημένο διάνυσμα ".

Όλα όσα έχουν ειπωθεί σε μεγαλύτερο βαθμό, παρά στον όρο "διάνυσμα", αναφέρεται στον όρο "διανυσματική ποσότητα". Η σιωπή σε αυτή την περίπτωση υποδηλώνει ακόμη πιο αυστηρά μια σύνδεση με τον «συνηθισμένο χώρο» ή τον χωροχρόνο και τη χρήση αφηρημένων στοιχείων σε σχέση με διανυσματικοί χώροιΑντίθετα, πρακτικά δεν συμβαίνει, τουλάχιστον, μια τέτοια εφαρμογή φαίνεται να είναι η σπανιότερη εξαίρεση (αν όχι καθόλου επιφύλαξη).

Στη φυσική, τα διανύσματα τις περισσότερες φορές και τα διανυσματικά μεγέθη - σχεδόν πάντα - ονομάζονται διανύσματα δύο τάξεων που είναι παρόμοια μεταξύ τους:

Παραδείγματα διανύσματος φυσικές ποσότητες: ταχύτητα, δύναμη, ροή θερμότητας.

Γένεση διανυσματικών μεγεθών

Πώς σχετίζονται τα φυσικά «διανυσματικά μεγέθη» με τον χώρο; Πρώτα απ 'όλα, αυτό που είναι εντυπωσιακό είναι ότι η διάσταση των διανυσματικών μεγεθών (με τη συνήθη έννοια της χρήσης αυτού του όρου, που εξηγείται παραπάνω) συμπίπτει με τη διάσταση του ίδιου «φυσικού» (και «γεωμετρικού») χώρου, για Για παράδειγμα, ένας τρισδιάστατος χώρος και ένα ηλεκτρικό διανυσματικό πεδίο είναι τρισδιάστατα. Διαισθητικά, μπορεί κανείς επίσης να παρατηρήσει ότι οποιοδήποτε διανυσματικό φυσικό μέγεθος, ανεξάρτητα από την αόριστη σύνδεση που έχει με τη συνηθισμένη χωρική επέκταση, έχει ωστόσο μια πολύ συγκεκριμένη κατεύθυνση σε αυτόν τον συνηθισμένο χώρο.

Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι μπορούν να επιτευχθούν πολύ περισσότερα με την άμεση «μείωση» ολόκληρου του συνόλου των διανυσματικών ποσοτήτων της φυσικής στα απλούστερα «γεωμετρικά» διανύσματα, ή μάλλον ακόμη και σε ένα διάνυσμα - το διάνυσμα της στοιχειώδους μετατόπισης, και θα ήταν περισσότερο σωστό να λέμε - αντλώντας τα όλα από αυτό.

Αυτή η διαδικασία έχει δύο διαφορετικές (αν και ουσιαστικά επαναλαμβανόμενες η μία την άλλη λεπτομερώς) υλοποιήσεις για την τρισδιάστατη περίπτωση της κλασικής φυσικής και για την τετραδιάστατη χωροχρονική διατύπωση κοινή στη σύγχρονη φυσική.

Κλασική τρισδιάστατη θήκη

Θα ξεκινήσουμε από τον συνηθισμένο τρισδιάστατο «γεωμετρικό» χώρο στον οποίο ζούμε και μπορούμε να κινηθούμε.

Ας πάρουμε το διάνυσμα της απειροελάχιστης μετατόπισης ως αρχικό και διάνυσμα αναφοράς. Είναι αρκετά προφανές ότι αυτό είναι ένα κανονικό "γεωμετρικό" διάνυσμα (ακριβώς όπως ένα διάνυσμα πεπερασμένης μετατόπισης).

Ας σημειώσουμε τώρα αμέσως ότι ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν βαθμωτό παράγει πάντα ένα νέο διάνυσμα. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για το άθροισμα και τη διαφορά των διανυσμάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο δεν θα κάνουμε διαφορά μεταξύ πολικών και αξονικών διανυσμάτων, οπότε σημειώνουμε ότι το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων δίνει επίσης ένα νέο διάνυσμα.

Επίσης, το νέο διάνυσμα δίνει τη διαφοροποίηση του διανύσματος ως προς το βαθμωτό (αφού μια τέτοια παράγωγος είναι το όριο του λόγου της διαφοράς των διανυσμάτων προς το βαθμωτό). Αυτό μπορεί να ειπωθεί περαιτέρω για τα παράγωγα όλων των υψηλότερων τάξεων. Το ίδιο ισχύει και για την ολοκλήρωση μέσω βαθμωτών (χρόνος, όγκος).

Τώρα σημειώστε ότι, με βάση το διάνυσμα ακτίνας rή από στοιχειώδη μετατόπιση δ r, κατανοούμε εύκολα ότι τα διανύσματα είναι (καθώς ο χρόνος είναι βαθμωτός) τέτοια κινηματικά μεγέθη όπως

Από την ταχύτητα και την επιτάχυνση, πολλαπλασιαζόμενες με μια βαθμωτή (μάζα), παίρνουμε

Εφόσον μας ενδιαφέρουν πλέον οι ψευδοφορείς, το σημειώνουμε

• Χρησιμοποιώντας τον τύπο δύναμης Lorentz, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και το διάνυσμα μαγνητικής επαγωγής συνδέονται με τα διανύσματα δύναμης και ταχύτητας.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, ανακαλύπτουμε ότι όλες οι διανυσματικές ποσότητες που είναι γνωστές σε εμάς είναι πλέον όχι μόνο διαισθητικά, αλλά και τυπικά, συνδεδεμένες με τον αρχικό χώρο. Δηλαδή, όλα αυτά, κατά μία έννοια, είναι τα στοιχεία του, γιατί εκφράζονται ουσιαστικά ως γραμμικοί συνδυασμοί άλλων διανυσμάτων (με βαθμωτούς παράγοντες, ίσως διαστασιακούς, αλλά βαθμωτούς, και επομένως τυπικά αρκετά νόμιμους).

Σύγχρονη τετραδιάστατη θήκη

Η ίδια διαδικασία μπορεί να γίνει με βάση την τετραδιάστατη κίνηση. Αποδεικνύεται ότι και τα μεγέθη των 4 διανυσμάτων «προέρχονται» από τη μετατόπιση 4, όντας επομένως κατά μία έννοια τα ίδια διανύσματα χωροχρόνου με την ίδια τη μετατόπιση 4.

Είδη διανυσμάτων σε σχέση με τη φυσική

• Ένα πολικό ή αληθινό διάνυσμα είναι ένα συνηθισμένο διάνυσμα.
• Αξονικό διάνυσμα (ψευδοδιάνυσμα) - στην πραγματικότητα, δεν είναι πραγματικό διάνυσμα, αλλά τυπικά δεν διαφέρει σχεδόν καθόλου από το τελευταίο, εκτός από το ότι αλλάζει κατεύθυνση προς το αντίθετο όταν αλλάζει ο προσανατολισμός του συστήματος συντεταγμένων (για παράδειγμα, όταν εικόνα καθρέφτησυστήματα συντεταγμένων). Παραδείγματα ψευδοδιανυσμάτων: όλες οι ποσότητες που ορίζονται μέσω του διασταυρούμενου γινομένου δύο πολικών διανυσμάτων.
• Υπάρχουν πολλές διαφορετικές κατηγορίες ισοδυναμίας για δυνάμεις.

Σημειώσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Δείτε τι είναι η "Διανυσματική ποσότητα" σε άλλα λεξικά:

διανυσματική ποσότητα- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Αγγλο-ρωσικό λεξικό ηλεκτρολογίας και μηχανικής ισχύος, Μόσχα, 1999] Θέματα ηλεκτρολογίας, βασικές έννοιες EN διανυσματική ποσότητα ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

διανυσματική ποσότητα- vektorinis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: αγγλ. διανυσματική ποσότητα διανυσματική ποσότητα vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. διανυσματική ποσότητα, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatikos Terminų žodynas

διανυσματική ποσότητα- vektorinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: αγγλ. διανυσματική ποσότητα διανυσματική ποσότητα vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. διανυσματική ποσότητα, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Γραφική αναπαράσταση μεγεθών που αλλάζουν σύμφωνα με το νόμο του ημιτόνου (συνημίτονο) και των σχέσεων μεταξύ τους χρησιμοποιώντας κατευθυνόμενα τμήματα διανυσμάτων. Διανυσματικά διαγράμματαχρησιμοποιείται ευρέως στην ηλεκτρική μηχανική, την ακουστική, την οπτική, τη θεωρία κραδασμών και ούτω καθεξής.... ... Wikipedia

Το ερώτημα "δύναμη" ανακατευθύνεται εδώ. δείτε επίσης άλλες έννοιες. Διάσταση δύναμης LMT−2 μονάδες SI ... Wikipedia

Αυτό το άρθρο ή ενότητα χρειάζεται αναθεώρηση. Βελτιώστε το άρθρο σύμφωνα με τους κανόνες για τη σύνταξη άρθρων. Φυσική... Βικιπαίδεια

Αυτή είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα πειράματος, λαμβάνει μία από τις πολλές τιμές και η εμφάνιση μιας ή άλλης τιμής αυτής της ποσότητας δεν μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια πριν από τη μέτρησή της. Επίσημος μαθηματικός ορισμόςτο εξής: ας είναι πιθανολογικό... ... Wikipedia

Διανυσματικές και βαθμωτές συναρτήσεις συντεταγμένων και χρόνου, που είναι χαρακτηριστικά ηλεκτρο μαγνητικό πεδίο. Διάνυσμα P. e. που ονομάζεται διανυσματική ποσότητα Α, ρότορας σε σμήνος ίσο με το διάνυσμαΣε επαγωγή μαγνητικού πεδίου; rotA V. Scalar P. e. που ονομάζεται κλιμακωτή ποσότητα f,…… Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Πολυτεχνικό Λεξικό

Η τιμή που χαρακτηρίζει την περιστροφή. η επίδραση της δύναμης όταν δρα στην τηλεόραση. σώμα. Υπάρχουν M. s. σε σχέση με το κέντρο (σημείο) και σε σχέση με το κύριο. Κυρία. σε σχέση με την διανυσματική ποσότητα κέντρου Ο (Εικ. α), αριθμητικά ίσο με το γινόμενοδύναμη μονάδας F σε... ... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Ένα διανυσματικό μέγεθος που χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας ενός σημείου ως προς την αριθμητική του τιμή και την κατεύθυνση. Στο ευθεία κίνησησημεία όταν η ταχύτητά του υ αυξάνεται (ή μειώνεται) ομοιόμορφα, αριθμητικά U. χρονικά: ... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Η φυσική και τα μαθηματικά δεν μπορούν να κάνουν χωρίς την έννοια της «διανυσματικής ποσότητας». Πρέπει να το γνωρίζετε και να το αναγνωρίζετε, και επίσης να μπορείτε να το χειρίζεστε. Αυτό πρέπει οπωσδήποτε να το μάθετε για να μην μπερδεύεστε και κάνετε ανόητα λάθη.

Πώς να διακρίνετε μια κλιμακωτή ποσότητα από μια διανυσματική ποσότητα;

Το πρώτο έχει πάντα ένα μόνο χαρακτηριστικό. Αυτή είναι η αριθμητική του τιμή. Οι περισσότερες βαθμωτές ποσότητες μπορούν να λάβουν τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Παραδείγματα αυτών είναι το ηλεκτρικό φορτίο, η εργασία ή η θερμοκρασία. Αλλά υπάρχουν βαθμίδες που δεν μπορούν να είναι αρνητικές, για παράδειγμα, μήκος και μάζα.

Διανυσματική ποσότητα εκτός αριθμητική αξία, το οποίο λαμβάνεται πάντα modulo, χαρακτηρίζεται επίσης από κατεύθυνση. Επομένως, μπορεί να απεικονιστεί γραφικά, δηλαδή με τη μορφή βέλους, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την απόλυτη τιμή που κατευθύνεται προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Κατά την εγγραφή, κάθε διανυσματική ποσότητα υποδεικνύεται με ένα σύμβολο βέλους στο γράμμα. Αν μιλάμε γιαπερίπου μια αριθμητική τιμή, τότε το βέλος δεν γράφεται ή λαμβάνεται modulo.

Ποιες ενέργειες εκτελούνται συχνότερα με διανύσματα;

Πρώτον, μια σύγκριση. Μπορεί να είναι ίσοι ή όχι. Στην πρώτη περίπτωση, οι ενότητες τους είναι οι ίδιες. Αλλά αυτή δεν είναι η μόνη προϋπόθεση. Πρέπει επίσης να έχουν τις ίδιες ή αντίθετες κατευθύνσεις. Στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να κληθούν ίσα διανύσματα. Στο δεύτερο αποδεικνύονται απέναντι. Εάν τουλάχιστον μία από τις καθορισμένες προϋποθέσεις δεν πληρούται, τότε τα διανύσματα δεν είναι ίσα.

Μετά έρχεται η προσθήκη. Μπορεί να γίνει σύμφωνα με δύο κανόνες: ένα τρίγωνο ή ένα παραλληλόγραμμο. Ο πρώτος ορίζει να αφαιρέσετε πρώτα ένα διάνυσμα και μετά από το τέλος του το δεύτερο. Το αποτέλεσμα της προσθήκης θα είναι αυτό που πρέπει να κληρωθεί από την αρχή του πρώτου έως το τέλος του δεύτερου.

Ο κανόνας του παραλληλογράμμου μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά την προσθήκη διανυσματικών ποσοτήτων στη φυσική. Σε αντίθεση με τον πρώτο κανόνα, εδώ θα πρέπει να αναβληθούν από ένα σημείο. Στη συνέχεια, χτίστε τα σε παραλληλόγραμμο. Το αποτέλεσμα της ενέργειας θα πρέπει να θεωρηθεί η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που σχεδιάζεται από το ίδιο σημείο.

Αν μια διανυσματική ποσότητα αφαιρεθεί από μια άλλη, τότε αποτυπώνονται πάλι από ένα σημείο. Μόνο το αποτέλεσμα θα είναι ένα διάνυσμα που συμπίπτει με αυτό που απεικονίζεται από το τέλος του δεύτερου έως το τέλος του πρώτου.

Ποια διανύσματα μελετώνται στη φυσική;

Υπάρχουν τόσα από αυτά, όσα και σκαλοπάτια. Μπορείτε απλά να θυμάστε ποιες διανυσματικές ποσότητες υπάρχουν στη φυσική. Ή γνωρίζετε τα σημάδια με τα οποία μπορούν να υπολογιστούν. Για όσους προτιμούν την πρώτη επιλογή, αυτός ο πίνακας θα είναι χρήσιμος. Παρουσιάζει τα κύρια διανυσματικά φυσικά μεγέθη.

Τώρα λίγα περισσότερα για μερικές από αυτές τις ποσότητες.

Η πρώτη ποσότητα είναι η ταχύτητα

Αξίζει να ξεκινήσετε με παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι είναι από τα πρώτα που μελετήθηκαν.

Η ταχύτητα ορίζεται ως χαρακτηριστικό της κίνησης ενός σώματος στο χώρο. Ορίζει την αριθμητική τιμή και την κατεύθυνση. Επομένως, η ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Επιπλέον, συνηθίζεται να το χωρίζουμε σε τύπους. Το πρώτο είναι γραμμική ταχύτητα. Εισάγεται όταν εξετάζουμε ένα ευθύγραμμο ομοιόμορφη κίνηση. Σε αυτή την περίπτωση, αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με την αναλογία της διαδρομής που διανύει το σώμα προς τη στιγμή της κίνησης.

Η ίδια φόρμουλα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ανομοιόμορφη κίνηση. Μόνο τότε θα είναι μέτριο. Επιπλέον, το χρονικό διάστημα που πρέπει να επιλεγεί πρέπει να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Καθώς το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν, η τιμή της ταχύτητας είναι ήδη στιγμιαία.

Εάν ληφθεί υπόψη αυθαίρετη κίνηση, τότε η ταχύτητα είναι πάντα διανυσματική ποσότητα. Εξάλλου, πρέπει να αποσυντεθεί σε στοιχεία που κατευθύνονται κατά μήκος κάθε διανύσματος που κατευθύνει τις γραμμές συντεταγμένων. Επιπλέον, ορίζεται ως η παράγωγος του διανύσματος ακτίνας που λαμβάνεται σε σχέση με το χρόνο.

Η δεύτερη ποσότητα είναι η δύναμη

Καθορίζει το μέτρο της έντασης της κρούσης που ασκείται στο σώμα από άλλα σώματα ή πεδία. Εφόσον η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος, έχει αναγκαστικά το δικό της μέγεθος και κατεύθυνση. Δεδομένου ότι δρα στο σώμα, το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη είναι επίσης σημαντικό. Αποκτώ οπτική αναπαράστασησχετικά με τα διανύσματα δύναμης, μπορείτε να ανατρέξετε στον παρακάτω πίνακα.

Επίσης ένα άλλο διανυσματικό μέγεθος είναι η προκύπτουσα δύναμη. Ορίζεται ως το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα μηχανικές δυνάμεις. Για να το προσδιορίσετε, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε πρόσθεση σύμφωνα με την αρχή του κανόνα του τριγώνου. Απλά πρέπει να αφαιρέσετε τα διανύσματα ένα προς ένα από το τέλος του προηγούμενου. Το αποτέλεσμα θα είναι αυτό που συνδέει την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.

Η τρίτη ποσότητα είναι η μετατόπιση

Κατά τη διάρκεια της κίνησης, το σώμα περιγράφει μια συγκεκριμένη γραμμή. Ονομάζεται τροχιά. Αυτή η γραμμή μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική. Αποδεικνύεται ότι δεν είναι αυτή που είναι πιο σημαντική εμφάνιση, και τα σημεία έναρξης και λήξης της κίνησης. Συνδέονται με ένα τμήμα που ονομάζεται μετάφραση. Αυτή είναι επίσης μια διανυσματική ποσότητα. Επιπλέον, κατευθύνεται πάντα από την αρχή της κίνησης μέχρι το σημείο που σταμάτησε η κίνηση. Είναι σύνηθες να το ορίζουν Λατινικό γράμμα r.

Εδώ μπορεί να προκύψει το ακόλουθο ερώτημα: "Είναι η διαδρομή διανυσματική ποσότητα;" ΣΕ γενική περίπτωσηαυτή η δήλωση δεν είναι αλήθεια. Μονοπάτι ίσο με μήκοςτροχιά και δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση όταν λαμβάνεται υπόψη η ευθύγραμμη κίνηση προς μία κατεύθυνση. Τότε το μέγεθος του διανύσματος μετατόπισης συμπίπτει σε τιμή με τη διαδρομή και η κατεύθυνσή τους αποδεικνύεται η ίδια. Επομένως, όταν εξετάζουμε την κίνηση κατά μήκος μιας ευθείας χωρίς αλλαγή της κατεύθυνσης της κίνησης, η διαδρομή μπορεί να συμπεριληφθεί σε παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών.

Η τέταρτη ποσότητα είναι η επιτάχυνση

Είναι χαρακτηριστικό της ταχύτητας αλλαγής της ταχύτητας. Επιπλέον, η επιτάχυνση μπορεί να είναι και θετική και αρνητικό νόημα. Όταν κινείται σε ευθεία γραμμή, κατευθύνεται προς μεγαλύτερη ταχύτητα. Εάν η κίνηση συμβεί κατά μήκος καμπυλόγραμμη τροχιά, τότε το διάνυσμα επιτάχυνσής του αποσυντίθεται σε δύο συνιστώσες, το ένα εκ των οποίων κατευθύνεται προς το κέντρο της καμπυλότητας κατά μήκος της ακτίνας.

Διακρίνονται οι τιμές μέσης και στιγμιαίας επιτάχυνσης. Το πρώτο θα πρέπει να υπολογιστεί ως ο λόγος της αλλαγής της ταχύτητας σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο προς αυτή τη χρονική περίοδο. Όταν το υπό εξέταση χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν, μιλάμε για στιγμιαία επιτάχυνση.

Πέμπτη τιμή - ορμή

Με άλλο τρόπο ονομάζεται και ποσότητα κίνησης. Η ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος γιατί σχετίζεται άμεσα με την ταχύτητα και τη δύναμη που εφαρμόζεται στο σώμα. Και οι δύο έχουν μια κατεύθυνση και τη δίνουν στην ώθηση.

Εξ ορισμού το τελευταίο ίσο με το γινόμενοσωματικό βάρος στην ταχύτητα. Χρησιμοποιώντας την έννοια της ορμής ενός σώματος, μπορούμε να γράψουμε τον γνωστό νόμο του Νεύτωνα διαφορετικά. Αποδεικνύεται ότι η μεταβολή της ορμής είναι ίση με το γινόμενο της δύναμης και μιας χρονικής περιόδου.

Στη φυσική σημαντικός ρόλοςέχει το νόμο της διατήρησης της ορμής, που λέει ότι σε ένα κλειστό σύστημα σωμάτων η συνολική του ορμή είναι σταθερή.

Παραθέσαμε πολύ συνοπτικά ποιες ποσότητες (διάνυσμα) μελετώνται στο μάθημα της φυσικής.

Πρόβλημα ανελαστικής πρόσκρουσης

Κατάσταση. Στις ράγες υπάρχει μια σταθερή πλατφόρμα. Μια άμαξα το πλησιάζει με ταχύτητα 4 m/s. Οι μάζες της πλατφόρμας και του αυτοκινήτου είναι 10 και 40 τόνοι, αντίστοιχα. Το αυτοκίνητο χτυπά στην πλατφόρμα και γίνεται αυτόματη σύζευξη. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η ταχύτητα του συστήματος «αυτοκίνητο-πλατφόρμα» μετά την κρούση.

Λύση. Αρχικά, πρέπει να εισαγάγετε τους ακόλουθους χαρακτηρισμούς: η ταχύτητα του αυτοκινήτου πριν από την πρόσκρουση είναι v1, η ταχύτητα του αυτοκινήτου με την πλατφόρμα μετά τη σύζευξη είναι v, η μάζα του αυτοκινήτου είναι m1, η μάζα της πλατφόρμας είναι m2. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι απαραίτητο να μάθετε την τιμή της ταχύτητας v.

Οι κανόνες για την επίλυση τέτοιων εργασιών απαιτούν μια σχηματική αναπαράσταση του συστήματος πριν και μετά την αλληλεπίδραση. Είναι λογικό να κατευθύνετε τον άξονα OX κατά μήκος των σιδηροτροχιών προς την κατεύθυνση που κινείται το αυτοκίνητο.

Υπό αυτές τις συνθήκες, το σύστημα του αυτοκινήτου μπορεί να θεωρηθεί κλειστό. Αυτό καθορίζεται από το γεγονός ότι εξωτερικές δυνάμειςμπορεί να παραμεληθεί. Η βαρύτητα και η αντίδραση στήριξης είναι ισορροπημένες και η τριβή στις ράγες δεν λαμβάνεται υπόψη.

Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ορμής, το διανυσματικό άθροισμά τους πριν από την αλληλεπίδραση του αυτοκινήτου και της πλατφόρμας είναι ίσο με το σύνολο για τη σύζευξη μετά την κρούση. Στην αρχή η πλατφόρμα δεν κινήθηκε, οπότε η ορμή της ήταν μηδενική. Μόνο το αυτοκίνητο κινήθηκε, η ορμή του είναι το γινόμενο των m1 και v1.

Δεδομένου ότι η πρόσκρουση ήταν ανελαστική, δηλαδή το αυτοκίνητο συνδέθηκε με την πλατφόρμα, και στη συνέχεια άρχισαν να κυλούν μαζί προς την ίδια κατεύθυνση, η ώθηση του συστήματος δεν άλλαξε κατεύθυνση. Το νόημά του όμως έχει αλλάξει. Δηλαδή, το γινόμενο του αθροίσματος της μάζας του αυτοκινήτου με την πλατφόρμα και την επιθυμητή ταχύτητα.

Μπορείτε να γράψετε την ακόλουθη ισότητα: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Θα ισχύει για την προβολή διανυσμάτων παλμών στον επιλεγμένο άξονα. Από αυτό είναι εύκολο να εξαχθεί η ισότητα που θα χρειαστεί για τον υπολογισμό της απαιτούμενης ταχύτητας: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Σύμφωνα με τους κανόνες, οι τιμές για τη μάζα πρέπει να μετατρέπονται από τόνους σε κιλά. Επομένως, όταν τα αντικαθιστάτε στον τύπο, πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσετε τις γνωστές ποσότητες επί χίλια. Απλοί υπολογισμοί δίνουν ένα νούμερο 0,75 m/s.

Απάντηση. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου με την πλατφόρμα είναι 0,75 m/s.

Πρόβλημα με τη διαίρεση του σώματος σε μέρη

Κατάσταση. Η ταχύτητα μιας ιπτάμενης χειροβομβίδας είναι 20 m/s. Σπάει σε δύο κομμάτια. Το βάρος του πρώτου είναι 1,8 κιλά. Συνεχίζει να κινείται προς την κατεύθυνση που πετούσε η χειροβομβίδα με ταχύτητα 50 m/s. Το δεύτερο θραύσμα έχει μάζα 1,2 kg. Ποια είναι η ταχύτητά του;

Λύση. Αφήστε τις μάζες των θραυσμάτων να συμβολίζονται με τα γράμματα m1 και m2. Οι ταχύτητες τους θα είναι v1 και v2 αντίστοιχα. ταχύτητα εκκίνησηςχειροβομβίδες - v. Το πρόβλημα απαιτεί τον υπολογισμό της τιμής του v2.

Προκειμένου το μεγαλύτερο θραύσμα να συνεχίσει να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση με ολόκληρη τη χειροβομβίδα, το δεύτερο πρέπει να πετάξει μέσα αντιθετη πλευρα. Αν επιλέξουμε ως κατεύθυνση του άξονα αυτή που ήταν αρχική παρόρμηση, μετά από ένα διάλειμμα το μεγάλο θραύσμα πετά κατά μήκος του άξονα και το μικρό πετάει ενάντια στον άξονα.

Σε αυτό το πρόβλημα, επιτρέπεται η χρήση του νόμου διατήρησης της ορμής λόγω του γεγονότος ότι η χειροβομβίδα εκρήγνυται ακαριαία. Επομένως, παρά το γεγονός ότι η βαρύτητα δρα στη χειροβομβίδα και στα μέρη της, δεν έχει χρόνο να δράσει και να αλλάξει την κατεύθυνση του διανύσματος ώθησης με την απόλυτη τιμή του.

Το άθροισμα των διανυσματικών μεγεθών της ώθησης μετά την έκρηξη της χειροβομβίδας είναι ίσο με αυτό που ήταν πριν από αυτήν. Αν γράψουμε το νόμο της διατήρησης της ορμής ενός σώματος σε προβολή στον άξονα OX, θα μοιάζει με αυτό: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Από αυτό είναι εύκολο να εκφραστεί η απαιτούμενη ταχύτητα. Θα προσδιοριστεί από τον τύπο: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Αφού αντικαταστήσουμε τις αριθμητικές τιμές και τους υπολογισμούς, παίρνουμε 25 m/s.

Απάντηση. Η ταχύτητα του μικρού θραύσματος είναι 25 m/s.

Πρόβλημα με τη λήψη υπό γωνία

Κατάσταση. Ένα όπλο είναι τοποθετημένο σε μια πλατφόρμα μάζας M. Εκτοξεύει βλήμα μάζας m. Πετά έξω υπό γωνία α ως προς τον ορίζοντα με ταχύτητα v (δομένη σε σχέση με το έδαφος). Πρέπει να γνωρίζετε την ταχύτητα της πλατφόρμας μετά τη βολή.

Λύση. Σε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το νόμο της διατήρησης της ορμής κατά την προβολή στον άξονα OX. Αλλά μόνο στην περίπτωση που η προβολή των εξωτερικών δυνάμεων που προκύπτουν είναι ίση με μηδέν.

Για την κατεύθυνση του άξονα OX, πρέπει να επιλέξετε την πλευρά όπου θα πετάξει το βλήμα και παράλληλα με την οριζόντια γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, οι προβολές των δυνάμεων βαρύτητας και η αντίδραση της στήριξης στο OX θα είναι ίσες με μηδέν.

Το πρόβλημα θα λυθεί σε γενική εικόνα, αφού δεν υπάρχουν συγκεκριμένα στοιχεία για γνωστές ποσότητες. Η απάντηση είναι μια φόρμουλα.

Η ορμή του συστήματος πριν από τη βολή ήταν μηδενική, αφού η πλατφόρμα και το βλήμα ήταν ακίνητα. Αφήστε την επιθυμητή ταχύτητα πλατφόρμας να συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα u. Τότε η ορμή του μετά τη βολή θα προσδιοριστεί ως το γινόμενο της μάζας και της προβολής της ταχύτητας. Δεδομένου ότι η πλατφόρμα θα κυλήσει προς τα πίσω (κατά την κατεύθυνση του άξονα OX), η τιμή παλμού θα έχει πρόσημο μείον.

Η ορμή ενός βλήματος είναι το γινόμενο της μάζας του και της προβολής της ταχύτητας στον άξονα OX. Λόγω του ότι η ταχύτητα κατευθύνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα, η προβολή της είναι ίση με την ταχύτητα πολλαπλασιαζόμενη με το συνημίτονο της γωνίας. Στην κυριολεκτική ισότητα θα μοιάζει με αυτό: 0 = - Mu + mv * cos α. Από αυτό, μέσω απλών μετασχηματισμών, προκύπτει ο τύπος απάντησης: u = (mv * cos α) / M.

Απάντηση. Η ταχύτητα της πλατφόρμας καθορίζεται από τον τύπο u = (mv * cos α) / M.

Πρόβλημα διέλευσης ποταμού

Κατάσταση. Το πλάτος του ποταμού σε όλο το μήκος του είναι ίδιο και ίσο με l, οι όχθες του είναι παράλληλες. Η ταχύτητα της ροής του νερού στον ποταμό v1 και η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους v2 είναι γνωστές. 1). Κατά τη διέλευση, η πλώρη του σκάφους κατευθύνεται αυστηρά προς την απέναντι ακτή. Πόσο μακριά θα μεταφερθεί κατάντη; 2). Σε ποια γωνία α πρέπει να κατευθύνεται η πλώρη του σκάφους ώστε να φτάνει στην απέναντι ακτή αυστηρά κάθετα προς το σημείο αναχώρησης; Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για μια τέτοια διέλευση;

Λύση. 1). Η συνολική ταχύτητα του σκάφους είναι το διανυσματικό άθροισμα δύο ποσοτήτων. Το πρώτο από αυτά είναι η ροή του ποταμού, που κατευθύνεται κατά μήκος των όχθεων. Το δεύτερο είναι η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους, κάθετα στις ακτές. Το σχέδιο δείχνει δύο παρόμοιο με ένα τρίγωνο. Το πρώτο σχηματίζεται από το πλάτος του ποταμού και την απόσταση πάνω από την οποία παρασύρεται το σκάφος. Το δεύτερο είναι με διανύσματα ταχύτητας.

Από αυτά ακολουθεί η ακόλουθη καταχώρηση: s / l = v1 / v2. Μετά τον μετασχηματισμό, λαμβάνεται ο τύπος για την επιθυμητή τιμή: s = l * (v1 / v2).

2). Σε αυτήν την έκδοση του προβλήματος, το διάνυσμα της συνολικής ταχύτητας είναι κάθετο στις ακτές. Είναι ίσο με το διανυσματικό άθροισμα των v1 και v2. Το ημίτονο της γωνίας κατά την οποία πρέπει να αποκλίνει το διάνυσμα της φυσικής ταχύτητας είναι ίσο με τον λόγο των μονάδων v1 και v2. Για να υπολογίσετε τον χρόνο ταξιδιού, θα πρέπει να διαιρέσετε το πλάτος του ποταμού με την υπολογιζόμενη πλήρη ταχύτητα. Η τιμή του τελευταίου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

v = √(v22 – v12), μετά t = l / (√(v22 – v12)).

Απάντηση. 1). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Όταν μελετάτε διάφορους κλάδους της φυσικής, της μηχανικής και τεχνικές επιστήμεςυπάρχουν ποσότητες που προσδιορίζονται πλήρως με τον καθορισμό των αριθμητικών τους τιμών, πιο συγκεκριμένα, οι οποίες καθορίζονται πλήρως από τον αριθμό που προκύπτει ως αποτέλεσμα της μέτρησής τους ομοιογενές μέγεθος, λαμβάνεται ως ένα. Τέτοιες ποσότητες λέγονται βαθμωτό μέγεθοςή, εν ολίγοις, σκαλοπάτια. Τα κλιμακωτά μεγέθη, για παράδειγμα, είναι το μήκος, το εμβαδόν, ο όγκος, ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία του σώματος, η πυκνότητα, το έργο, η ηλεκτρική χωρητικότητα κ.λπ. Δεδομένου ότι μια κλιμακωτή ποσότητα καθορίζεται από έναν αριθμό (θετικό ή αρνητικό), μπορεί να παρουσιαστεί στο αντίστοιχος άξονα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, συχνά κατασκευάζονται ο άξονας του χρόνου, της θερμοκρασίας, του μήκους (απόσταση που διανύθηκε) και άλλων.

Εκτός από βαθμωτές ποσότητες, σε διάφορα προβλήματα υπάρχουν ποσότητες για τις οποίες, εκτός από την αριθμητική τους αξία, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και την κατεύθυνσή τους στο χώρο. Τέτοιες ποσότητες λέγονται διάνυσμα. Φυσικά παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών περιλαμβάνουν μετατόπιση υλικό σημείοκινείται στο διάστημα, την ταχύτητα και την επιτάχυνση αυτού του σημείου, καθώς και τη δύναμη που ασκεί σε αυτό, την ισχύ του ηλεκτρικού ή μαγνητικού πεδίου. Οι διανυσματικές ποσότητες χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, στην κλιματολογία. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα από την κλιματολογία. Αν πούμε ότι ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/s, τότε θα εισαγάγουμε μια κλιμακωτή τιμή της ταχύτητας του ανέμου, αλλά αν πούμε ότι ο βόρειος άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/s, τότε σε αυτό Σε περίπτωση που η ταχύτητα του ανέμου θα είναι ήδη διανυσματική ποσότητα.

Οι διανυσματικές ποσότητες αναπαρίστανται χρησιμοποιώντας διανύσματα.

Για τη γεωμετρική αναπαράσταση διανυσματικών μεγεθών χρησιμοποιούνται κατευθυνόμενα τμήματα, δηλαδή τμήματα που έχουν σταθερή διεύθυνση στο χώρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος του τμήματος είναι ίσο με την αριθμητική τιμή της διανυσματικής ποσότητας και η διεύθυνση του συμπίπτει με την κατεύθυνση της διανυσματικής ποσότητας. Το κατευθυνόμενο τμήμα που χαρακτηρίζει μια δεδομένη διανυσματική ποσότητα ονομάζεται γεωμετρικό διάνυσμαή απλώς ένα διάνυσμα.

Η έννοια του διανύσματος παίζει σημαντικό ρόλο τόσο στα μαθηματικά όσο και σε πολλούς τομείς της φυσικής και της μηχανικής. Πολλά φυσικά μεγέθη μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας διανύσματα και αυτή η αναπαράσταση πολύ συχνά συμβάλλει στη γενίκευση και απλοποίηση των τύπων και των αποτελεσμάτων. Συχνά τα διανυσματικά μεγέθη και τα διανύσματα που τα αντιπροσωπεύουν ταυτίζονται μεταξύ τους: για παράδειγμα, λένε ότι η δύναμη (ή η ταχύτητα) είναι διάνυσμα.

Στοιχεία της διανυσματικής άλγεβρας χρησιμοποιούνται σε κλάδους όπως: 1) ηλεκτρικές μηχανές. 2) αυτοματοποιημένη ηλεκτρική κίνηση. 3) ηλεκτρικός φωτισμός και ακτινοβολία. 4) μη διακλαδισμένες αλυσίδες εναλλασσόμενο ρεύμα; 5) εφαρμοσμένη μηχανική? 6) θεωρητική μηχανική; 7) φυσική? 8) υδραυλικά: 9) εξαρτήματα μηχανών. 10) αντοχή των υλικών. 11) διαχείριση? 12) χημεία? 13) κινηματική? 14) στατική κ.λπ.

2. Ορισμός διανύσματος.Ένα ευθύγραμμο τμήμα ορίζεται από δύο ίσα σημεία - τα άκρα του. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ένα κατευθυνόμενο τμήμα που ορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων. Είναι γνωστό για αυτά τα σημεία ποιο από αυτά είναι το πρώτο (αρχή) και ποιο το δεύτερο (τέλος).

Ένα κατευθυνόμενο τμήμα νοείται ως ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων, το πρώτο από τα οποία - το σημείο Α - ονομάζεται αρχή του και το δεύτερο - Β - το τέλος του.

Στη συνέχεια κάτω διάνυσμαΣτην απλούστερη περίπτωση γίνεται κατανοητό το ίδιο το κατευθυνόμενο τμήμα και σε άλλες περιπτώσεις τα διάφορα διανύσματα διαφορετικές τάξειςισοδυναμίες κατευθυνόμενων τμημάτων, που προσδιορίζονται από κάποια συγκεκριμένη σχέση ισοδυναμίας. Επιπλέον, η σχέση ισοδυναμίας μπορεί να είναι διαφορετική, καθορίζοντας τον τύπο του διανύσματος («ελεύθερο», «σταθερό» κ.λπ.). Με απλά λόγια, μέσα σε μια κλάση ισοδυναμίας, όλα τα κατευθυνόμενα τμήματα που περιλαμβάνονται σε αυτήν αντιμετωπίζονται ως εντελώς ίσα και το καθένα μπορεί να αντιπροσωπεύει εξίσου ολόκληρη την κλάση.

Τα διανύσματα παίζουν σημαντικό ρόλο στη μελέτη των απειροελάχιστων μετασχηματισμών του χώρου.

Ορισμός 1.Θα ονομάσουμε ένα κατευθυνόμενο τμήμα (ή, το ίδιο, ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων) διάνυσμα. Η κατεύθυνση του τμήματος συνήθως σημειώνεται με ένα βέλος. Κατά τη σύνταξη, τοποθετείται ένα βέλος πάνω από τον χαρακτηρισμό του γράμματος του διανύσματος, για παράδειγμα: (σε αυτήν την περίπτωση, το γράμμα που αντιστοιχεί στην αρχή του διανύσματος πρέπει να τοποθετηθεί μπροστά). Στα βιβλία, τα γράμματα που δηλώνουν ένα διάνυσμα πληκτρολογούνται συχνά με έντονους χαρακτήρες, για παράδειγμα: ΕΝΑ.

Ως διανύσματα θα συμπεριλάβουμε επίσης το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα, του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν.

Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή συμπίπτει με το τέλος του ονομάζεται μηδέν. Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται απλώς ως 0.

Η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους ενός διανύσματος ονομάζεται του μήκος(και μονάδα μέτρησηςκαι απόλυτη τιμή). Το μήκος του διανύσματος συμβολίζεται με | | ή | |. Το μήκος ενός διανύσματος, ή ο συντελεστής ενός διανύσματος, είναι το μήκος του αντίστοιχου κατευθυνόμενου τμήματος: | | = .

Τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες, με λίγα λόγια, αν υπάρχει ευθεία με την οποία είναι παράλληλες.

Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη, εάν υπάρχει ένα επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα, μπορούν να αναπαρασταθούν από διανύσματα που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα, αφού δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση. Το μήκος του, φυσικά, είναι μηδέν. Προφανώς, οποιαδήποτε δύο διανύσματα είναι συνεπίπεδα. αλλά φυσικά δεν είναι κάθε τρία διανύσματα στο χώρο συνεπίπεδα. Εφόσον τα διανύσματα παράλληλα μεταξύ τους είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο, τότε συγγραμμικά διανύσματαείναι ακόμη πιο ομοεπίπεδες. Φυσικά, το αντίστροφο δεν ισχύει: τα συνεπίπεδα διανύσματα μπορεί να μην είναι συγγραμμικά. Δυνάμει της συνθήκης που υιοθετήθηκε παραπάνω, το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα και συνεπίπεδο με οποιοδήποτε ζεύγος διανυσμάτων, δηλ. αν μεταξύ τρία διανύσματατουλάχιστον ένα είναι μηδέν, τότε είναι ομοεπίπεδα.

2) Η λέξη "συνεπίπεδο" ουσιαστικά σημαίνει: "έχω ένα κοινό επίπεδο", δηλ. "βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο". Επειδή όμως εδώ μιλάμε για ελεύθερα διανύσματα που μπορούν να μεταφερθούν (χωρίς να αλλάξουν μήκος και κατεύθυνση) με αυθαίρετο τρόπο, πρέπει να ονομάσουμε διανύσματα παράλληλα στο ίδιο επίπεδο ομοεπίπεδα, γιατί σε αυτή την περίπτωση μπορούν να μεταφερθούν έτσι ώστε να βρίσκονται σε ένα αεροπλάνο.

Για να συντομεύσουμε την ομιλία, ας συμφωνήσουμε σε έναν όρο: αν πολλά ελεύθερα διανύσματα είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο, τότε θα πούμε ότι είναι ομοεπίπεδα. Συγκεκριμένα, δύο διανύσματα είναι πάντα ομοεπίπεδα. για να πειστούμε γι' αυτό, αρκεί να τα αναβάλουμε από το ίδιο σημείο. Είναι σαφές, περαιτέρω, ότι η κατεύθυνση του επιπέδου στο οποίο δύο δεδομένα διανύσματα είναι παράλληλα ορίζεται πλήρως εάν αυτά τα δύο διανύσματα δεν είναι παράλληλα μεταξύ τους. Απλώς θα ονομάσουμε οποιοδήποτε επίπεδο στο οποίο αυτά τα συνεπίπεδα διανύσματα είναι παράλληλα το επίπεδο αυτών των διανυσμάτων.

Ορισμός 2.Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσος, αν είναι συγγραμμικά, έχουν την ίδια κατεύθυνση και έχουν ίσα μήκη.

Πρέπει πάντα να θυμάστε ότι η ισότητα των μηκών δύο διανυσμάτων δεν σημαίνει ότι αυτά τα διανύσματα είναι ίσα.

Με την ίδια την έννοια του ορισμού, δύο διανύσματα που είναι χωριστά ίσα με το τρίτο είναι ίσα μεταξύ τους. Προφανώς, όλα τα μηδενικά διανύσματα είναι ίσα μεταξύ τους.

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει αμέσως ότι επιλέγοντας οποιοδήποτε σημείο Α", μπορούμε να κατασκευάσουμε (και, επιπλέον, μόνο ένα) διάνυσμα Α" Β", ίσο με κάποιο δεδομένο διάνυσμα, ή, όπως λένε, μετακινήστε το διάνυσμα στο σημείο Α."

Σχόλιο. Για τα διανύσματα δεν υπάρχουν έννοιες «περισσότερο» ή «λιγότερο», δηλ. είναι ίσοι ή όχι ίσοι.

Ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με ένα ονομάζεται μονόκλινοδιάνυσμα και συμβολίζεται με e. Μονάδα διάνυσμα, η διεύθυνση του οποίου συμπίπτει με τη φορά του διανύσματος α, ονομάζεται ortomδιάνυσμα και συμβολίζεται α.

3. Σχετικά με έναν άλλο ορισμό ενός διανύσματος. Σημειώστε ότι η έννοια της ισότητας των διανυσμάτων διαφέρει σημαντικά από την έννοια της ισότητας, για παράδειγμα, των αριθμών. Κάθε αριθμός είναι ίσος μόνο με τον εαυτό του, με άλλα λόγια, δύο ίσοι αριθμοί υπό όλες τις συνθήκες μπορούν να θεωρηθούν ως ο ίδιος αριθμός. Με τα διανύσματα, όπως βλέπουμε, η κατάσταση είναι διαφορετική: εξ ορισμού, υπάρχουν διαφορετικά αλλά ίσα διανύσματα. Αν και στις περισσότερες περιπτώσεις δεν θα χρειαστεί να διακρίνουμε μεταξύ τους, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι κάποια στιγμή θα μας ενδιαφέρει το διάνυσμα , και όχι ένα άλλο ίσο διάνυσμα A "B".

Προκειμένου να απλοποιηθεί η έννοια της ισότητας των διανυσμάτων (και να αφαιρεθούν ορισμένες από τις δυσκολίες που σχετίζονται με αυτήν), μερικές φορές περιπλέκουν τον ορισμό ενός διανύσματος. Δεν θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον περίπλοκο ορισμό, αλλά θα τον διατυπώσουμε. Για να αποφύγουμε τη σύγχυση, θα γράψουμε "Διάνυσμα" (με κεφαλαία γράμματα) για να δηλώσετε την έννοια που ορίζεται παρακάτω.

Ορισμός 3. Ας δοθεί ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Το σύνολο όλων των κατευθυνόμενων τμημάτων ίσο με ένα δεδομένο με την έννοια του Ορισμού 2 ονομάζεται Διάνυσμα.

Έτσι, κάθε κατευθυνόμενο τμήμα ορίζει ένα Διάνυσμα. Είναι εύκολο να δούμε ότι δύο κατευθυνόμενα τμήματα ορίζουν το ίδιο Διάνυσμα αν και μόνο αν είναι ίσα. Για τα Διανύσματα, όπως και για τους αριθμούς, η ισότητα σημαίνει σύμπτωση: δύο Διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν είναι το ίδιο Διάνυσμα.

Με την παράλληλη μεταφορά του χώρου, ένα σημείο και η εικόνα του σχηματίζουν ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων και ορίζουν ένα κατευθυνόμενο τμήμα, και όλα αυτά τα κατευθυνόμενα τμήματα είναι ίσα με την έννοια του ορισμού 2. Επομένως, η παράλληλη μεταφορά χώρου μπορεί να ταυτιστεί με ένα διάνυσμα που αποτελείται όλων αυτών των κατευθυνόμενων τμημάτων.

Από αρχική πορείαΟι φυσικοί γνωρίζουν καλά ότι η δύναμη μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Αλλά δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα Διάνυσμα, αφού δυνάμεις που αντιπροσωπεύονται από ίσα κατευθυνόμενα τμήματα παράγουν, γενικά, διαφορετικές ενέργειες. (Εάν μια δύναμη ασκεί σε ένα ελαστικό σώμα, τότε το κατευθυνόμενο τμήμα που το αντιπροσωπεύει δεν μπορεί να μεταφερθεί ακόμη και κατά μήκος της ευθείας στην οποία βρίσκεται.)

Αυτός είναι μόνο ένας από τους λόγους για τους οποίους, μαζί με τα Vectors, δηλαδή σύνολα (ή, όπως λένε, κλάσεις) ίσων κατευθυνόμενων τμημάτων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη μεμονωμένοι εκπρόσωποι αυτών των κλάσεων. Υπό αυτές τις συνθήκες, η εφαρμογή του Ορισμού 3 γίνεται πιο δύσκολη ένας μεγάλος αριθμόςκρατήσεις Θα τηρούμε τον Ορισμό 1 και με τη γενική έννοια θα είναι πάντα ξεκάθαρο αν μιλάμε για ένα καλά καθορισμένο διάνυσμα ή αν κάποιος ίσος με αυτό μπορεί να αντικατασταθεί στη θέση του.

Σε σχέση με τον ορισμό ενός διανύσματος, αξίζει να εξηγήσουμε τη σημασία ορισμένων λέξεων που βρίσκονται στη βιβλιογραφία.

Στη φυσική, υπάρχουν διάφορες κατηγορίες μεγεθών: διανυσματικές και βαθμωτές.

Τι είναι μια διανυσματική ποσότητα;

Ένα διανυσματικό μέγεθος έχει δύο βασικά χαρακτηριστικά: κατεύθυνση και ενότητα. Δύο διανύσματα θα είναι ίδια αν η απόλυτη τιμή και η κατεύθυνσή τους είναι ίδια. Για να δηλώσετε μια διανυσματική ποσότητα, χρησιμοποιούνται συχνότερα γράμματα με ένα βέλος πάνω τους. Ένα παράδειγμα διανυσματικού μεγέθους είναι η δύναμη, η ταχύτητα ή η επιτάχυνση.

Για να κατανοήσουμε την ουσία μιας διανυσματικής ποσότητας, θα πρέπει να την εξετάσουμε από γεωμετρικό σημείοόραμα. Ένα διάνυσμα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει κατεύθυνση. Το μήκος ενός τέτοιου τμήματος συσχετίζεται με την τιμή του συντελεστή του. Φυσικό παράδειγμαδιανυσματική ποσότητα είναι η μετατόπιση ενός υλικού σημείου που κινείται στο χώρο. Παράμετροι όπως η επιτάχυνση αυτού του σημείου, η ταχύτητα και οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο θα εμφανίζονται επίσης ως διανυσματικά μεγέθη.

Αν θεωρήσουμε ένα διανυσματικό μέγεθος ανεξάρτητα από την κατεύθυνση, τότε ένα τέτοιο τμήμα μπορεί να μετρηθεί. Αλλά το αποτέλεσμα που προκύπτει θα αντικατοπτρίζει μόνο μερικά χαρακτηριστικά της ποσότητας. Για να το μετρήσετε πλήρως, η τιμή θα πρέπει να συμπληρωθεί με άλλες παραμέτρους του κατευθυντικού τμήματος.

ΣΕ διανυσματική άλγεβραυπάρχει μια έννοια μηδενικό διάνυσμα. Αυτή η έννοια σημαίνει ένα σημείο. Όσο για την κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος, θεωρείται αβέβαιη. Για να δηλώσετε το μηδενικό διάνυσμα, χρησιμοποιείται το αριθμητικό μηδέν, πληκτρολογημένο με έντονους χαρακτήρες.

Αν αναλύσουμε όλα τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όλα τα κατευθυνόμενα τμήματα ορίζουν διανύσματα. Δύο τμήματα θα ορίσουν ένα διάνυσμα μόνο αν είναι ίσα. Κατά τη σύγκριση διανυσμάτων, ισχύει ο ίδιος κανόνας όπως και όταν συγκρίνονται βαθμωτές ποσότητες. Ισότητα σημαίνει πλήρης συμφωνία από όλες τις απόψεις.

Τι είναι μια κλιμακωτή ποσότητα;

Σε αντίθεση με ένα διάνυσμα, ένα βαθμωτό μέγεθος έχει μόνο μία παράμετρο - αυτή την αριθμητική του τιμή. Αξίζει να σημειωθεί ότι η αναλυόμενη τιμή μπορεί να έχει και θετική αριθμητική τιμή και αρνητική.

Παραδείγματα περιλαμβάνουν μάζα, τάση, συχνότητα ή θερμοκρασία. Με τέτοιες τιμές μπορείτε να εκτελέσετε διάφορα αριθμητικές πράξεις: πρόσθεση, διαίρεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός. Ένα βαθμωτό μέγεθος δεν έχει τέτοιο χαρακτηριστικό όπως η κατεύθυνση.

Μια κλιμακωτή ποσότητα μετριέται με μια αριθμητική τιμή, ώστε να μπορεί να εμφανιστεί σε έναν άξονα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, πολύ συχνά κατασκευάζεται ο άξονας της διανυθείσας απόστασης, της θερμοκρασίας ή του χρόνου.

Κύριες διαφορές μεταξύ βαθμωτών και διανυσματικών μεγεθών

Από τις περιγραφές που δίνονται παραπάνω, είναι σαφές ότι η κύρια διαφορά μεταξύ των διανυσματικών μεγεθών και των βαθμωτών μεγεθών είναι Χαρακτηριστικά. Ένα διανυσματικό μέγεθος έχει κατεύθυνση και μέγεθος, ενώ ένα βαθμωτό μέγεθος έχει μόνο αριθμητική τιμή. Φυσικά, ένα διανυσματικό μέγεθος, όπως ένα βαθμωτό μέγεθος, μπορεί να μετρηθεί, αλλά ένα τέτοιο χαρακτηριστικό δεν θα είναι πλήρες, αφού δεν υπάρχει κατεύθυνση.

Για να φανταστεί κανείς πιο ξεκάθαρα τη διαφορά μεταξύ μιας κλιμακωτής ποσότητας και μιας διανυσματικής ποσότητας, θα πρέπει να δοθεί ένα παράδειγμα. Για να γίνει αυτό, ας πάρουμε έναν τέτοιο τομέα γνώσης όπως κλιματολογία. Αν πούμε ότι ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 8 μέτρων το δευτερόλεπτο, τότε θα εισαχθεί μια κλιμακωτή ποσότητα. Αν όμως πούμε ότι ο βοριάς φυσάει με ταχύτητα 8 μέτρων το δευτερόλεπτο, τότε θα μιλήσουμεσχετικά με τη διανυσματική τιμή.

Διανύσματα που παίζουν τεράστιο ρόλοστα σύγχρονα μαθηματικά, καθώς και σε πολλούς τομείς της μηχανικής και της φυσικής. Τα περισσότερα φυσικά μεγέθη μπορούν να αναπαρασταθούν ως διανύσματα. Αυτό μας επιτρέπει να γενικεύουμε και να απλοποιούμε σημαντικά τους τύπους και τα αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται. Συχνά οι διανυσματικές τιμές και τα διανύσματα ταυτίζονται μεταξύ τους. Για παράδειγμα, στη φυσική μπορεί να ακούσετε ότι η ταχύτητα ή η δύναμη είναι ένα διάνυσμα.