Ταξινόμηση μαθηματικής μοντελοποίησης. Μαθηματική μοντελοποίηση

1. Τα οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα ταξινομούνται για διαφορετικούς λόγους.

Ανάλογα με το σκοπό χωρίζονται σε:

Θεωρητικό και αναλυτικό - στη μελέτη γενικών ιδιοτήτων και προτύπων.

Εφαρμοσμένο - στην επίλυση συγκεκριμένων οικονομικών προβλημάτων (μοντέλα οικονομικής ανάλυσης, πρόβλεψης, διαχείρισης).

Τα οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη διαφόρων πτυχών της παραγωγής και των επιμέρους τμημάτων της.

Σύμφωνα με τα ουσιαστικά ζητήματα που μελετώνται από τις οικονομικές διαδικασίες, τα οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα χωρίζονται σε:

Μοντέλα παραγωγής γενικά και τα υποσυστήματα της - βιομηχανίες, περιφέρειες κ.λπ.

Συμπλέγματα μοντέλων παραγωγής, κατανάλωσης, διαμόρφωσης και διανομής εισοδήματος, εργατικών πόρων, τιμολόγησης, οικονομικών σχέσεων κ.λπ.

Σύμφωνα με τη γενική ταξινόμηση των μαθηματικών μοντέλων, χωρίζονται σε:

λειτουργικός;

Κατασκευαστικός;

Δομικό και λειτουργικό.

Η χρήση δομικών μοντέλων στην έρευνα σε οικονομικό επίπεδο δικαιολογείται από τη διασύνδεση των υποσυστημάτων. Χαρακτηριστικά σε αυτή την περίπτωση είναι μοντέλα διατομεακών σχέσεων.

Τα λειτουργικά μοντέλα χρησιμοποιούνται ευρέως στον τομέα της οικονομικής ρύθμισης. Χαρακτηριστικά σε αυτή την περίπτωση είναι τα μοντέλα καταναλωτικής συμπεριφοράς όσον αφορά τις σχέσεις εμπορεύματος-χρήματος.

Ένα και το αυτό αντικείμενο μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή τόσο δομικών όσο και λειτουργικών μοντέλων ταυτόχρονα. Έτσι, για παράδειγμα, ένα δομικό μοντέλο χρησιμοποιείται για τον σχεδιασμό ενός χωριστού συστήματος βιομηχανίας και ένα λειτουργικό μοντέλο χρησιμοποιείται σε οικονομικό επίπεδο.

2. Οι διαφορές μεταξύ περιγραφικών και κανονιστικών μοντέλων αποκαλύπτονται όταν εξετάζεται η δομή και η φύση χρήσης τους.

Τα περιγραφικά μοντέλα παρέχουν μια απάντηση στην ερώτηση: "Πώς συμβαίνει αυτό;" ή «Πώς είναι πιο πιθανό αυτό να εξελιχθεί περαιτέρω;», δηλαδή εξηγούν τα παρατηρούμενα γεγονότα ή προβλέπουν την πιθανότητα οποιωνδήποτε γεγονότων.

Σκοπός της περιγραφικής προσέγγισης είναι ο εμπειρικός εντοπισμός διαφόρων εξαρτήσεων στην οικονομία. Αυτό μπορεί να είναι η καθιέρωση στατιστικών προτύπων οικονομικής συμπεριφοράς κοινωνικών ομάδων, η μελέτη πιθανών τρόπων ανάπτυξης οποιωνδήποτε διαδικασιών υπό αμετάβλητες συνθήκες ή χωρίς εξωτερικές επιρροές και άλλες μελέτες. Ένα παράδειγμα εδώ είναι ένα μοντέλο καταναλωτικής ζήτησης που έχει δημιουργηθεί με βάση την επεξεργασία στατιστικών δεδομένων.

Τα κανονιστικά μοντέλα αναγνωρίζονται για να απαντήσουν στην ερώτηση: «Πώς θα έπρεπε να είναι;», δηλαδή υποδηλώνουν σκόπιμη δραστηριότητα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το μοντέλο βέλτιστου σχεδιασμού.

Το οικονομικό-μαθηματικό μοντέλο μπορεί να είναι τόσο περιγραφικό όσο και κανονιστικό. Έτσι, το μοντέλο διατομεακής ισορροπίας είναι περιγραφικό εάν χρησιμοποιείται για την ανάλυση των αναλογιών της προηγούμενης περιόδου και κανονιστικό κατά τον υπολογισμό των ισορροπημένων επιλογών για την ανάπτυξη της οικονομίας.

3. Τα σημάδια των περιγραφικών και κανονιστικών μοντέλων συνδυάζονται εάν το κανονιστικό μοντέλο μιας σύνθετης δομής συνδυάζει ξεχωριστά μπλοκ που είναι ιδιωτικά περιγραφικά μοντέλα. Έτσι, το διατομεακό μοντέλο μπορεί να περιλαμβάνει συναρτήσεις καταναλωτικής ζήτησης που αντικατοπτρίζουν τη συμπεριφορά των καταναλωτών όταν αλλάζει το εισόδημα.

Η περιγραφική προσέγγιση χρησιμοποιείται ευρέως στη μοντελοποίηση προσομοίωσης.

Από τη φύση της ανακάλυψης των σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος, υπάρχουν αυστηρά ντετερμινιστικά μοντέλα και μοντέλα που περιλαμβάνουν στοιχεία τυχαιότητας και αβεβαιότητας. Είναι απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ της αβεβαιότητας που βασίζεται στο νόμο της θεωρίας πιθανοτήτων και της αβεβαιότητας που υπερβαίνει την εφαρμογή αυτού του νόμου. Ο δεύτερος τύπος αβεβαιότητας προκαλεί μεγάλα προβλήματα στη μοντελοποίηση.

4. Σύμφωνα με τους τρόπους αντανάκλασης του παράγοντα χρόνου, τα οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα χωρίζονται σε:

στατικός;

Δυναμικός.

Στα στατικά μοντέλα, όλοι οι νόμοι της οικονομίας αναφέρονται σε μια στιγμή ή μια χρονική περίοδο.

Τα δυναμικά μοντέλα χαρακτηρίζουν τις αλλαγές με την πάροδο του χρόνου.

Ανάλογα με τη διάρκεια της χρονικής περιόδου, διακρίνονται μοντέλα βραχυπρόθεσμης (έως ένα έτος), μεσοπρόθεσμης (έως 5 έτη), μακροπρόθεσμης (5 έτη και άνω) πρόβλεψης και προγραμματισμού. Η ροή του χρόνου σε οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα μπορεί να αλλάζει είτε συνεχώς είτε διακριτά.

Τα μοντέλα των οικονομικών φαινομένων διαφέρουν ως προς τη μορφή μαθηματικών εξαρτήσεων.

Η κατηγορία των γραμμικών μοντέλων είναι πιο βολική για ανάλυση και υπολογισμούς. Υπάρχουν όμως οι ακόλουθες εξαρτήσεις στην οικονομία, οι οποίες είναι μη γραμμικές:

Αποτελεσματικότητα χρήσης πόρων με παράλληλη αύξηση της παραγωγής.

Αλλαγή της ζήτησης και της κατανάλωσης του πληθυσμού με αύξηση της παραγωγής.

Αλλαγή ζήτησης και κατανάλωσης του πληθυσμού με αύξηση εισοδήματος κ.λπ.

Σύμφωνα με την αναλογία εξωγενών και ενδογενών μεταβλητών που περιλαμβάνονται στο μοντέλο, μπορούν να χωριστούν σε ανοιχτές και κλειστές.

Ένα μοντέλο πρέπει να περιέχει τουλάχιστον μία ενδογενή μεταβλητή, επομένως δεν υπάρχουν απολύτως ανοιχτά μοντέλα. Μοντέλα που δεν περιλαμβάνουν εξωγενείς μεταβλητές (κλειστές) είναι εξαιρετικά σπάνια - η κατασκευή τους απαιτεί πλήρη αφαίρεση από το «περιβάλλον», δηλαδή σοβαρή τραχύτητα των πραγματικών οικονομικών συστημάτων που έχουν πάντα εξωτερικές συνδέσεις.

Βασικά, τα μοντέλα διαφέρουν ως προς τον βαθμό ανοιχτότητας (κλειστό).

Για μοντέλα επιχειρηματικού επιπέδου, η διαίρεση σε είναι σημαντική. συγκεντρωτικά και αναλυτικά.

Ανάλογα με το αν τα οικονομικά μοντέλα περιλαμβάνουν χωρικούς παράγοντες και συνθήκες ή δεν περιλαμβάνουν, διακρίνονται τα χωρικά και σημειακά μοντέλα.

Με την αύξηση των επιτευγμάτων στην οικονομική και μαθηματική έρευνα, το πρόβλημα της ταξινόμησης των εφαρμοσμένων μοντέλων γίνεται πιο περίπλοκο. Μαζί με την εμφάνιση νέων τύπων μοντέλων (ιδιαίτερα μικτών) και νέων λόγων για την ταξινόμηση τους, λαμβάνει χώρα η διαδικασία ενσωμάτωσης μοντέλων διαφορετικών τύπων σε πιο σύνθετες κατασκευές μοντέλων.

Σκεφτείτε την έννοια: «Μοντέλα. Ταξινόμηση μοντέλων "από επιστημονική άποψη.

Ταξινόμηση

Επί του παρόντος, υπάρχει μια διαίρεση τους σε ξεχωριστές ομάδες. Ανάλογα με τον επιδιωκόμενο σκοπό, υπονοείται η ακόλουθη ταξινόμηση οικονομικών και μαθηματικών μοντέλων:

θεωρητικούς και αναλυτικούς τύπους που σχετίζονται με μελέτες γενικών χαρακτηριστικών και προτύπων.
εφαρμοσμένα μοντέλα που στοχεύουν στην επίλυση ορισμένων οικονομικών προβλημάτων. Αυτά περιλαμβάνουν μοντέλα πρόβλεψης, οικονομικής ανάλυσης, διαχείρισης.

Η ταξινόμηση των οικονομικών και μαθηματικών μοντέλων σχετίζεται και με το εύρος της πρακτικής εφαρμογής τους.

Ανάλογα με το περιεχόμενο του προβλήματος, τέτοια μοντέλα χωρίζονται σε ομάδες:

μοντέλα παραγωγής γενικά.
μεμονωμένες επιλογές για περιφέρειες, υποσυστήματα, βιομηχανίες.
συμπλέγματα μοντέλων κατανάλωσης, παραγωγής, διανομής και σχηματισμού εργατικών πόρων, εισοδημάτων, οικονομικών δεσμών.

Η ταξινόμηση των μοντέλων αυτών των ομάδων συνεπάγεται την κατανομή των δομικών υποσυστημάτων.

Κατά τη διεξαγωγή έρευνας σε οικονομικό επίπεδο, τα δομικά μοντέλα εξηγούνται από τη σχέση μεμονωμένων υποσυστημάτων. Τα μοντέλα διατομεακών συστημάτων μπορούν να διακριθούν ως κοινές επιλογές.

Οι λειτουργικές επιλογές χρησιμοποιούνται για την οικονομική ρύθμιση των σχέσεων εμπορεύματος-χρήματος. Ένα και το αυτό αντικείμενο μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή λειτουργικών, δομικών μορφών ταυτόχρονα.

Διαφορές μεταξύ μοντέλων

Ας αναλύσουμε διαφορετικά μοντέλα. Η ταξινόμηση των μοντέλων που χρησιμοποιούνται σήμερα στην οικονομία περιλαμβάνει την κατανομή κανονιστικών και περιγραφικών επιλογών. Χρησιμοποιώντας περιγραφικά μοντέλα, είναι δυνατό να εξηγηθούν τα αναλυόμενα γεγονότα, να προβλεφθεί η πιθανότητα ύπαρξης ορισμένων γεγονότων.

Ο σκοπός της περιγραφικής καμπάνιας

Περιλαμβάνει τον εμπειρικό προσδιορισμό διαφόρων εξαρτήσεων στη σύγχρονη οικονομία. Για παράδειγμα, καθιερώνονται οι στατιστικές κανονικότητες διαφόρων κοινωνικών ομάδων, μελετώνται οι πιθανοί τρόποι εξέλιξης ορισμένων διαδικασιών υπό σταθερές συνθήκες ή χωρίς εξωτερικές επιρροές. Με βάση τα αποτελέσματα που προέκυψαν κατά τη διάρκεια μιας κοινωνιολογικής έρευνας, είναι δυνατό να οικοδομηθεί ένα μοντέλο καταναλωτικής ζήτησης.

Ρυθμιστικά μοντέλα

Με τη βοήθειά τους, είναι δυνατό να αναλάβουμε σκόπιμη δραστηριότητα. Ένα παράδειγμα είναι το βέλτιστο μοντέλο προγραμματισμού.

Μπορεί να είναι και κανονιστικό και περιγραφικό. Εάν το μοντέλο χρησιμοποιείται στην ανάλυση των αναλογιών της προηγούμενης περιόδου, είναι περιγραφικό. Κατά τον υπολογισμό με τη βοήθειά του οι βέλτιστοι τρόποι οικονομικής ανάπτυξης, είναι κανονιστικό.

Χαρακτηριστικά μοντέλου

Η ταξινόμηση των μοντέλων περιλαμβάνει τη λήψη υπόψη μεμονωμένων λειτουργιών που βοηθούν στην αποσαφήνιση αμφιλεγόμενων ζητημάτων. Η περιγραφική προσέγγιση βρήκε τη μέγιστη κατανομή της στη μοντελοποίηση προσομοίωσης.

Ανάλογα με τη φύση της ανακάλυψης των αιτιακών σχέσεων, υπάρχει μια ταξινόμηση μοντέλων σε επιλογές, συμπεριλαμβανομένων μεμονωμένων στοιχείων αβεβαιότητας και τυχαίας, καθώς και αυστηρά ντετερμινιστικά μοντέλα. Είναι σημαντικό να γίνει διάκριση μεταξύ της αβεβαιότητας, η οποία βασίζεται στη θεωρία των πιθανοτήτων, και της αβεβαιότητας, η οποία υπερβαίνει τα όρια του νόμου.

Διαίρεση μοντέλων ανάλογα με τους τρόπους αντανάκλασης του παράγοντα χρόνου

Υποτίθεται ότι ταξινομεί τα μοντέλα σύμφωνα με αυτόν τον παράγοντα σε δυναμικούς και στατικούς τύπους. Τα στατικά μοντέλα περιλαμβάνουν εξέταση όλων των κανονικοτήτων σε μια ορισμένη χρονική περίοδο. Οι δυναμικές επιλογές χαρακτηρίζονται από αλλαγές με την πάροδο του χρόνου. Ανάλογα με τη διάρκεια χρήσης, επιτρέπεται η ταξινόμηση των μοντέλων στις ακόλουθες επιλογές:

βραχυπρόθεσμη, η διάρκεια της οποίας δεν υπερβαίνει το ένα έτος·
μεσοπρόθεσμα, που υπολογίζονται για περίοδο ενός έως πέντε ετών·
μακροπρόθεσμα, που υπολογίζονται για περίοδο μεγαλύτερη των πέντε ετών.

Ανάλογα με τις ιδιαιτερότητες του έργου, επιτρέπεται η πραγματοποίηση αλλαγών στη διαδικασία χρήσης του μοντέλου.

Σύμφωνα με τη μορφή των μαθηματικών εξαρτήσεων

Η βάση για την ταξινόμηση των μοντέλων είναι η μορφή των μαθηματικών εξαρτήσεων που επιλέγονται για εργασία. Χρησιμοποιούν κυρίως την κατηγορία των γραμμικών μοντέλων για υπολογισμούς και αναλύσεις. Εξετάστε τους οικονομικούς τύπους μοντέλων. Η ταξινόμηση μοντέλων αυτού του τύπου βοηθά στη μελέτη της μεταβολής της κατανάλωσης και της ζήτησης του πληθυσμού σε περίπτωση αύξησης του υλικού του εισοδήματος. Επιπλέον, αναλύει τις αλλαγές στις ανάγκες του πληθυσμού σε περίπτωση αύξησης της παραγωγής και αξιολογεί την αποτελεσματικότητα της χρήσης των πόρων σε μια συγκεκριμένη κατάσταση.

Ανάλογα με την αναλογία ενδογενών και εξωγενών μεταβλητών που περιλαμβάνονται στο μοντέλο, εφαρμόζεται η ταξινόμηση των μοντέλων αυτών των τύπων σε κλειστά και ανοιχτά συστήματα.

Οποιοδήποτε μοντέλο πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον μία ενδογενή μεταβλητή και επομένως είναι πολύ προβληματικό να βρούμε εντελώς ανοιχτά συστήματα. Τα μοντέλα που δεν περιλαμβάνουν εξωγενείς μεταβλητές (κλειστές παραλλαγές) είναι επίσης πρακτικά ασυνήθιστα. Για να δημιουργηθεί μια τέτοια παραλλαγή, είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί πλήρως από το περιβάλλον, να επιτραπεί σοβαρή τραχύτητα του πραγματικού οικονομικού συστήματος που έχει εξωτερικούς δεσμούς.

Καθώς τα επιτεύγματα της μαθηματικής και οικονομικής έρευνας αυξάνονται, η ταξινόμηση μοντέλων και συστημάτων γίνεται πολύ πιο περίπλοκη. Επί του παρόντος, χρησιμοποιούνται μικτοί τύποι, καθώς και πολύπλοκα σχέδια μοντέλων. Δεν έχει ακόμη καθιερωθεί μια ενοποιημένη ταξινόμηση μοντέλων πληροφοριών. Ταυτόχρονα, μπορούν να σημειωθούν περίπου δέκα παράμετροι, σύμφωνα με τις οποίες ευθυγραμμίζονται οι τύποι μοντέλων.

Τύποι μοντέλων

Ένα μονογραφικό ή λεκτικό μοντέλο περιλαμβάνει μια περιγραφή μιας διαδικασίας ή ενός φαινομένου. Συχνά μιλάμε για κανόνες, νόμο, θεώρημα ή συνδυασμό πολλών παραμέτρων.

Το γραφικό μοντέλο γίνεται με τη μορφή σχεδίου, γεωγραφικού χάρτη, σχεδίου. Για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ της ζήτησης των καταναλωτών και του κόστους του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας άξονες συντεταγμένων. Το γράφημα δείχνει ξεκάθαρα τη σχέση μεταξύ των δύο μεγεθών.

Τα πραγματικά ή φυσικά μοντέλα δημιουργούνται για αντικείμενα που δεν υπάρχουν ακόμη στην πραγματικότητα.

Βαθμός συνάθροισης αντικειμένων

Υπάρχει μια ταξινόμηση των μοντέλων πληροφοριών σε αυτή τη βάση:

τοπικό, με τη βοήθεια του οποίου πραγματοποιείται η ανάλυση και η πρόβλεψη ορισμένων δεικτών ανάπτυξης του κλάδου·
σε μικροοικονομικά, που προορίζονται για μια σοβαρή ανάλυση της δομής της παραγωγής·
μακροοικονομική, με βάση τη μελέτη της οικονομίας.

Υπάρχει επίσης ξεχωριστή ταξινόμηση μοντέλων διαχείρισης για μακροοικονομικούς τύπους. Χωρίζονται σε επιλογές ενός, δύο και πολλαπλών τομέων.

Ανάλογα με το σκοπό δημιουργίας και χρήσης, διακρίνονται οι ακόλουθες επιλογές:

ντετερμινιστικό, με μοναδικά κατανοητά αποτελέσματα.
στοχαστική, η οποία περιλαμβάνει πιθανολογικά αποτελέσματα.

Στη σύγχρονη οικονομία, διακρίνονται μοντέλα ισορροπίας, τα οποία αντικατοπτρίζουν την απαίτηση αντιστοίχισης της βάσης πόρων και της εφαρμογής τους. Είναι γραμμένα με τη μορφή τετράγωνων πινάκων σκακιού.

Υπάρχουν και οικονομετρικοί τύποι, για την αξιολόγηση των οποίων χρησιμοποιούνται μέθοδοι μαθηματικής στατιστικής. Τέτοια μοντέλα εκφράζουν την ανάπτυξη των κύριων δεικτών του δημιουργημένου οικονομικού συστήματος μέσω μιας μακράς τάσης (τάσης). Έχουν ζήτηση για την ανάλυση και την πρόβλεψη ορισμένων οικονομικών καταστάσεων που σχετίζονται με πραγματικές στατιστικές πληροφορίες.

Τα μοντέλα βελτιστοποίησης καθιστούν δυνατή την επιλογή της βέλτιστης παραλλαγής παραγωγής, κατανάλωσης ή διανομής πόρων από μια ποικιλία εναλλακτικών (πιθανών) επιλογών. Η χρήση περιορισμένων πόρων σε μια τέτοια κατάσταση θα είναι το πιο αποτελεσματικό μέσο για την επίτευξη του στόχου.

Υποθέστε τη συμμετοχή στο έργο όχι μόνο ενός ειδικού, αλλά και ενός εξειδικευμένου λογισμικού, υπολογιστών. Η προκύπτουσα βάση δεδομένων ειδικών προορίζεται να λύσει μία ή περισσότερες εργασίες προσομοιώνοντας την ανθρώπινη δραστηριότητα.

Τα μοντέλα δικτύου είναι ένα σύνολο λειτουργιών και συμβάντων που διασυνδέονται χρονικά. Τις περισσότερες φορές, ένα τέτοιο μοντέλο προορίζεται για την εκτέλεση της εργασίας με τέτοια σειρά ώστε να επιτυγχάνεται ο ελάχιστος χρόνος για το έργο.

Ανάλογα με τον επιλεγμένο τύπο μαθηματικής συσκευής, τα μοντέλα διακρίνονται:

μήτρα;
συσχέτιση-παλινδρομική;
δίκτυο;
διαχείριση αποθεμάτων;
μαζική εξυπηρέτηση.

Στάδια οικονομικής και μαθηματικής μοντελοποίησης

Αυτή η διαδικασία είναι σκόπιμη, υπόκειται σε ένα συγκεκριμένο λογικό πρόγραμμα ενεργειών. Μεταξύ των κύριων σταδίων δημιουργίας ενός τέτοιου μοντέλου είναι:

Διατύπωση του οικονομικού προβλήματος και ποιοτική του ανάλυση.
ανάπτυξη ενός μαθηματικού μοντέλου·
προετοιμασία αρχικών πληροφοριών·
αριθμητική λύση;
ανάλυση των ληφθέντων αποτελεσμάτων, χρήση τους.

Όταν τίθεται ένα οικονομικό πρόβλημα, είναι απαραίτητο να διατυπωθεί με σαφήνεια η ουσία του προβλήματος, να σημειωθούν τα σημαντικά χαρακτηριστικά και οι παράμετροι του αντικειμένου που μοντελοποιείται, να αναλυθεί η σχέση μεμονωμένων στοιχείων προκειμένου να εξηγηθεί η ανάπτυξη και η συμπεριφορά του υπό εξέταση αντικειμένου.

Κατά την ανάπτυξη ενός μαθηματικού μοντέλου, αποκαλύπτεται η σχέση μεταξύ εξισώσεων, ανισώσεων και συναρτήσεων. Πρώτα απ 'όλα, προσδιορίζεται ο τύπος του μοντέλου, αναλύεται η δυνατότητα εφαρμογής του σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα και σχηματίζεται μια συγκεκριμένη λίστα παραμέτρων και μεταβλητών. Όταν εξετάζουμε πολύπλοκα αντικείμενα, κατασκευάζονται πολυδιάστατα μοντέλα έτσι ώστε το καθένα να χαρακτηρίζει μεμονωμένες πτυχές του αντικειμένου.

συμπέρασμα

Επί του παρόντος, δεν υπάρχει ξεχωριστή ιδέα του μοντέλου. Η ταξινόμηση των μοντέλων είναι υπό όρους, αλλά αυτό δεν μειώνει τη συνάφειά τους.

Υπολογισμοί της κατάστασης τάσης-παραμόρφωσης της δοκού

Ερμηνεύει ο μαθητής γρ. 6-Sm-1 Melnikov R.V.

Επικεφαλής Semenov A.A.

Αγία Πετρούπολη

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………………………………………….2

1. Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων………………………………………………………………………………………………………

2. Μέθοδος Ritz……………………………………………………………………………………………………

3. Υπολογισμοί της κατάστασης τάσης-παραμόρφωσης της δοκού………….…….7

3.1. Υπολογισμός γραμμικού-ελαστικού προβλήματος για χαλύβδινη δοκό…………….…….7

3.2. Υπολογισμός μη γραμμικού ελαστικού προβλήματος για χαλύβδινη δοκό……….….…..9

3.3. Υπολογισμός γραμμικού-ελαστικού προβλήματος για δοκό σκυροδέματος………….…….12

3.4. Υπολογισμός του προβλήματος ερπυσμού για δοκό σκυροδέματος………………………….13

Συμπέρασμα………………………………………………………………………………………………………….15

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας…………………………………………………………………….16

Εισαγωγή

Με την εμφάνιση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αναπτύχθηκε μια νέα μέθοδος για τη θεωρητική μελέτη πολύπλοκων διαδικασιών, δηλ. μελέτη προβλημάτων φυσικών επιστημών μέσω υπολογιστικών μαθηματικών.

Η ουσία ενός υπολογιστικού πειράματος είναι να συντάξει ένα μαθηματικό μοντέλο της υπό μελέτη διαδικασίας ή φαινομένου, το οποίο είναι μερικές μαθηματικές εξισώσεις, στη συνέχεια αναπτύσσεται ένας υπολογιστικός αλγόριθμος για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, ένα πρόγραμμα υπολογιστή μεταγλωττίζεται και συγκεκριμένες επιλογές για την κατάσταση της αντικείμενο υπολογίζονται όταν αλλάζουν οι παράμετροι που περιλαμβάνονται στην εξίσωση. Οτι. η βάση για τη μελέτη διαφόρων αντικειμένων είναι η κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου της λειτουργίας τους.

Σκοπός του μαθήματος είναι η ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων παραμόρφωσης στοιχείων κτιριακών κατασκευών, η κατασκευή μεθοδολογίας για τη μελέτη της κατάστασης τάσης-παραμόρφωσης δοκών χάλυβα και σκυροδέματος.

Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων

Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια μαθηματική αναπαράσταση της πραγματικότητας, μια από τις παραλλαγές ενός μοντέλου ως συστήματος, η μελέτη του οποίου επιτρέπει τη λήψη πληροφοριών για κάποιο άλλο σύστημα.

Η διαδικασία κατασκευής και μελέτης μαθηματικών μοντέλων ονομάζεται μαθηματική μοντελοποίηση.

Τα μαθηματικά μοντέλα μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με διάφορα κύρια χαρακτηριστικά.

1. Στατικά και δυναμικά μοντέλα

Ένα μοντέλο ονομάζεται στατικό εάν η τιμή της εξόδου εξαρτάται από την τιμή της εισόδου ταυτόχρονα. Σε δυναμικά μοντέλα, η τιμή εξόδου μπορεί να εξαρτάται από ολόκληρη την προηγούμενη διαδικασία εισόδου. Για τα δυναμικά μοντέλα, το αντικείμενο μελέτης είναι η αλλαγή στο υπό μελέτη αντικείμενο στο χρόνο.

2. Ντετερμινιστικά και πιθανολογικά μοντέλα.

Εάν το μαθηματικό μοντέλο περιλαμβάνει τυχαίες μεταβλητές που υπακούουν σε στατιστικούς νόμους, τότε ονομάζεται πιθανοτικό ή στοχαστικό. Ένα μαθηματικό μοντέλο που δεν περιέχει τυχαία στοιχεία ονομάζεται ντετερμινιστικό.

3. Διακριτά και συνεχή μοντέλα.

Οι τιμές μπορούν να είναι δύο τύπων - διακριτές, δηλαδή, λαμβάνοντας μεμονωμένες τιμές, επιτρέποντας τη φυσική αρίθμηση και συνεχείς, λαμβάνοντας όλες τις τιμές από ένα συγκεκριμένο διάστημα. Μια μικτή περίπτωση είναι επίσης δυνατή, για παράδειγμα, όταν μια τιμή συμπεριφέρεται ως διακριτή σε ένα διάστημα και ως συνεχής σε ένα άλλο. Ομοίως, τα μαθηματικά μοντέλα μπορεί να είναι είτε διακριτά, είτε συνεχή ή μικτά. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η δυνατότητα χρήσης είτε διακριτών είτε συνεχών συσκευών στην κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου και η μέθοδος μελέτης του.

4. Γραμμικά και μη γραμμικά μοντέλα.

Η γραμμική εξάρτηση μιας ποσότητας από μια άλλη είναι η αναλογικότητα των προσαυξήσεών τους, δηλαδή η εξάρτηση της μορφής y=ax+b, από την οποία παίρνουμε △y=a△x. Ομοίως, ορίζεται και η έννοια του γραμμικού μοντέλου. Εάν το μοντέλο θεωρείται ως μετατροπέας, για τον οποίο κάθε είσοδος αντιστοιχεί σε κάποια έξοδο. Τότε το μοντέλο ονομάζεται γραμμικό εάν σε αυτό ικανοποιείται η αρχή της υπέρθεσης, δηλ. κατά την πρόσθεση των εισόδων, προστίθενται οι έξοδοι, όταν πολλαπλασιάζεται η είσοδος με οποιοδήποτε αριθμό, η έξοδος πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό. Χρησιμοποιώντας την αρχή της υπέρθεσης, δεν είναι δύσκολο, έχοντας βρει λύση σε κάθε περίπτωση, να κατασκευάσουμε μια λύση σε μια γενικότερη κατάσταση. Επομένως, οι ποιοτικές ιδιότητες της γενικής περίπτωσης μπορούν να κριθούν από τις ιδιότητες της συγκεκριμένης - η διαφορά μεταξύ των δύο λύσεων είναι μόνο ποσοτική.

Μία από τις πιο σημαντικές ιδιότητες των μαθηματικών μοντέλων είναι η καθολικότητα τους. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι τα ίδια μαθηματικά μοντέλα μπορούν να περιγράψουν διεργασίες που έχουν τελείως διαφορετική φύση, δηλ. οι ίδιες τεχνικές και μέθοδοι κατασκευής και μελέτης μαθηματικών μοντέλων είναι κατάλληλες για διάφορα προβλήματα.

Ωστόσο, η επίλυση τέτοιων προβλημάτων απαιτεί την ενσωμάτωση ενός πολύπλοκου συστήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων και συνδέεται με σημαντικές μαθηματικές δυσκολίες. Ως εκ τούτου, κατά την επίλυση ενός άμεσου προβλήματος, χρησιμοποιούνται συχνά προσεγγιστικές μέθοδοι, για παράδειγμα, άμεσες μέθοδοι μεταβλητών προβλημάτων (μέθοδος Ritz), καθώς και η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων.

Μέθοδος Ritz

Η μέθοδος Ritz είναι μια άμεση μέθοδος για την εύρεση μιας κατά προσέγγιση λύσης σε προβλήματα συνοριακών τιμών στον λογισμό των μεταβολών.

Η μέθοδος προβλέπει την επιλογή μιας δοκιμαστικής συνάρτησης, η οποία θα πρέπει να ελαχιστοποιεί μια ορισμένη συνάρτηση, με τη μορφή υπερθέσεων γνωστών συναρτήσεων που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα περιορίζεται στην εύρεση άγνωστων συντελεστών υπέρθεσης. Ο χωρικός τελεστής στην εξίσωση τελεστή που περιγράφει το πρόβλημα της οριακής τιμής πρέπει να είναι γραμμικός, συμμετρικός και θετικός καθορισμένος.

Η μέθοδος Ritz επιτρέπει σε κάποιον να βρει άγνωστες συναρτήσεις μετατόπισης από την συνθήκη της ελάχιστης συνάρτησης της συνολικής ενέργειας παραμόρφωσης.

Εξετάστε τη λειτουργική ενέργεια:

Απαιτείται η εύρεση του ελάχιστου του συναρτητικού (3.1), δηλαδή η εύρεση των συναρτήσεων u(Χ, y), v(Χ, y) , w(Χ, y), δίνεται σε κάποια περιοχή ρε= {0 ≤ Χ≤ ένα; 0 ≤ y≤ σι) ικανοποιώντας κάποιες ομοιογενείς συνοριακές συνθήκες στο όριο Γ , κάτω από τις οποίες η συνάρτηση (1) έχει μια ελάχιστη τιμή. Θα αναζητήσουμε μια κατά προσέγγιση λύση του προβλήματος με τη μορφή:

u(x,y)=u N = ,

v(x,y)=v N = ,

w(x,y)=w N= .

Για να αποφύγουμε δύο δείκτες, αντιπροσωπεύουμε τις κινήσεις ως:

Εδώ U(Εγώ), V(Εγώ), W(Εγώ) είναι άγνωστες αριθμητικές παράμετροι. Χ 1(Εγώ), Χ 2(Εγώ), Χ 3(Εγώ) είναι γνωστές συναρτήσεις προσέγγισης της μεταβλητής Χ, ικανοποιητικό σε Χ= 0, Χ= έναδεδομένες οριακές συνθήκες· Υ 1(Εγώ), Υ 2(Εγώ), Υ 3(Εγώ) είναι γνωστές συναρτήσεις προσέγγισης της μεταβλητής y, ικανοποιητικό σε y= 0, y= σιδεδομένων οριακών συνθηκών. Λειτουργίες Χ 1(Εγώ) − Χ 3(Εγώ) , Υ 1(Εγώ) − Υ 3(Εγώ) ονομάζονται συναρτήσεις βάσης.

Αντικαθιστώντας το (2) σε (1) και ενσωματώνοντας από γνωστές συναρτήσεις, ανάγουμε τη συνάρτηση (1) στη συνάρτηση:

J=J(U(I),V(I),W(I)) (3)

Παράμετροι U(Εγώ), V(Εγώ), W(Εγώ), Εγώ=1,…,Ν.

Για να έχει η συνάρτηση (3.3) ελάχιστο, οι μερικές παράγωγοί της ως προς τις μεταβλητές U(μεγάλο),V(μεγάλο),W(μεγάλο), μεγάλο=1,.., Νπρέπει να εξαφανιστεί:

Το σύστημα (4) είναι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, το οποίο μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο Gauss. Βρέθηκαν τιμές παραμέτρων U(Εγώ), V(Εγώ), W(Εγώ) αντικαθίστανται σε επεκτάσεις (2) και παίρνουμε μια κατά προσέγγιση λύση του προβλήματος που τίθεται. Έχει αποδειχθεί η ύπαρξη ενός ελάχιστου των συναρτήσεων της συνολικής ενέργειας καταπόνησης των στοιχείων των κτιριακών κατασκευών (ράβδος, πλάκα, κέλυφος).

Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια απλοποίηση μιας πραγματικής κατάστασης και είναι ένα αφηρημένο, τυπικά περιγραφόμενο αντικείμενο, η μελέτη του οποίου είναι δυνατή με διάφορες μαθηματικές μεθόδους.

Σκεφτείτε ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων.

Τα μαθηματικά μοντέλα χωρίζονται σε:

1. Ανάλογα με τη φύση των ιδιοτήτων του εμφανιζόμενου αντικειμένου:

· λειτουργικός;

· κατασκευαστικός.

Λειτουργικά μαθηματικά μοντέλαέχει σχεδιαστεί για να εμφανίζει πληροφορίες, φυσικές, χρονικές διεργασίες που συμβαίνουν σε εξοπλισμό λειτουργίας, κατά τη διάρκεια τεχνολογικών διεργασιών κ.λπ.

Ετσι, λειτουργικά μοντέλα- εμφάνιση των διεργασιών της λειτουργίας του αντικειμένου. Συνήθως παίρνουν τη μορφή συστήματος εξισώσεων.

Δομικά μοντέλα- μπορεί να πάρει τη μορφή πινάκων, γραφημάτων, λιστών διανυσμάτων και να εκφράσει τη σχετική θέση των στοιχείων στο χώρο. Αυτά τα μοντέλα χρησιμοποιούνται συνήθως σε περιπτώσεις όπου τα προβλήματα της δομικής σύνθεσης μπορούν να τεθούν και να λυθούν, αφαιρώντας από τις φυσικές διεργασίες στο αντικείμενο. Αντικατοπτρίζουν τις δομικές ιδιότητες του σχεδιασμένου αντικειμένου.

Για να ληφθεί μια στατική αναπαράσταση του μοντελοποιημένου αντικειμένου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ομάδα μεθόδων, που ονομάζεται σχηματικά μοντέλα - πρόκειται για μεθόδους ανάλυσης, συμπεριλαμβανομένης μιας γραφικής αναπαράστασης της λειτουργίας του συστήματος. Για παράδειγμα, διαγράμματα ροής, διαγράμματα, διαγράμματα πολλαπλών λειτουργιών και διαγράμματα ροής.

2. Σύμφωνα με τις μεθόδους απόκτησης λειτουργικών μαθηματικών μοντέλων:

· θεωρητικός;

· επίσημος;

· εμπειρικός.

Θεωρητικόςπου λαμβάνονται με βάση τη μελέτη των φυσικών νόμων. Η δομή των εξισώσεων και οι παράμετροι των μοντέλων έχουν μια συγκεκριμένη φυσική ερμηνεία.

Επίσημοςλαμβάνονται με βάση την εκδήλωση των ιδιοτήτων του μοντελοποιημένου αντικειμένου στο εξωτερικό περιβάλλον, δηλ. θεωρώντας το αντικείμενο ως κυβερνητικό «μαύρο κουτί».

Η θεωρητική προσέγγιση καθιστά δυνατή την απόκτηση πιο καθολικών μοντέλων, έγκυρων για ευρύτερα εύρη εξωτερικών παραμέτρων.

Επίσημο -είναι πιο ακριβείς στο σημείο του χώρου παραμέτρων στο οποίο έγιναν οι μετρήσεις.

Εμπειρικά μαθηματικά μοντέλαδημιουργούνται ως αποτέλεσμα πειραμάτων (μελετώντας τις εξωτερικές εκδηλώσεις των ιδιοτήτων ενός αντικειμένου μετρώντας τις παραμέτρους του στην είσοδο και την έξοδο) και την επεξεργασία των αποτελεσμάτων τους χρησιμοποιώντας μεθόδους μαθηματικών στατιστικών.

3. Ανάλογα με τη γραμμικότητα και τη μη γραμμικότητα των εξισώσεων:

· γραμμικός;

· μη γραμμικό.

4. Ανάλογα με το σύνολο των τομέων και των τιμών των μεταβλητών μοντέλου, υπάρχουν:

· συνεχής

· διακεκριμένος (οι τομείς ορισμού και οι τιμές είναι συνεχείς).

· συνεχής-διακριτής (το πεδίο ορισμού είναι συνεχές και το πεδίο τιμών είναι διακριτό). Αυτά τα μοντέλα μερικές φορές ονομάζονται κβαντισμένα.

· διακριτική-συνεχής (το πεδίο ορισμού είναι διακριτό και το πεδίο των τιμών είναι συνεχές). Αυτά τα μοντέλα ονομάζονται διακριτά.

· ψηφιακό (οι τομείς ορισμού και οι τιμές είναι διακριτές)

5. Σύμφωνα με τη μορφή συνδέσεων μεταξύ εξόδου, εσωτερικών και εξωτερικών παραμέτρων:

· αλγοριθμική?

· αναλυτικός;

· αριθμητικός.

αλγοριθμικήονομάζονται μοντέλα που παρουσιάζονται με τη μορφή αλγορίθμων που περιγράφουν μια ακολουθία αδιαμφισβήτητα ερμηνευόμενων πράξεων που εκτελούνται για να ληφθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Αλγοριθμικά μαθηματικά μοντέλαεκφράζουν τη σχέση μεταξύ των παραμέτρων εξόδου και των παραμέτρων εισόδου και εσωτερικών παραμέτρων με τη μορφή αλγορίθμου.

Αναλυτικά μαθηματικά μοντέλαονομάζεται μια τέτοια τυπική περιγραφή ενός αντικειμένου (φαινόμενο, διαδικασία), η οποία είναι μια ρητή μαθηματική έκφραση των παραμέτρων εξόδου ως συναρτήσεις εισόδου και εσωτερικών παραμέτρων.

Η αναλυτική μοντελοποίηση βασίζεται σε μια έμμεση περιγραφή του αντικειμένου που μοντελοποιείται χρησιμοποιώντας ένα σύνολο μαθηματικών τύπων. Η γλώσσα αναλυτικής περιγραφής περιέχει τις ακόλουθες κύριες ομάδες σημασιολογικών στοιχείων: κριτήριο (κριτήρια), άγνωστα, δεδομένα, μαθηματικές πράξεις, περιορισμούς. Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό των αναλυτικών μοντέλων είναι ότι το μοντέλο δεν είναι δομικά παρόμοιο με το μοντελοποιημένο αντικείμενο. Η δομική ομοιότητα εδώ σημαίνει μια αντιστοιχία ενός προς ένα των στοιχείων και των συνδέσμων του μοντέλου με τα στοιχεία και τους συνδέσμους του μοντελοποιημένου αντικειμένου. Τα αναλυτικά μοντέλα περιλαμβάνουν μοντέλα που έχουν κατασκευαστεί με βάση τη συσκευή μαθηματικού προγραμματισμού, συσχέτισης, ανάλυσης παλινδρόμησης. Ένα αναλυτικό μοντέλο είναι πάντα μια κατασκευή που μπορεί να αναλυθεί και να λυθεί μαθηματικά. Έτσι, εάν χρησιμοποιηθεί η συσκευή του μαθηματικού προγραμματισμού, τότε το μοντέλο αποτελείται βασικά από μια αντικειμενική συνάρτηση και ένα σύστημα περιορισμών στις μεταβλητές. Η αντικειμενική συνάρτηση, κατά κανόνα, εκφράζει το χαρακτηριστικό του αντικειμένου (συστήματος) που πρέπει να υπολογιστεί ή να βελτιστοποιηθεί. Συγκεκριμένα, μπορεί να είναι η απόδοση του τεχνολογικού συστήματος. Οι μεταβλητές εκφράζουν τα τεχνικά χαρακτηριστικά του αντικειμένου (συστήματος), συμπεριλαμβανομένων των μεταβλητών, των περιορισμών - των επιτρεπόμενων οριακών τιμών τους.

Τα αναλυτικά μοντέλα είναι ένα αποτελεσματικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης διαδικασιών που συμβαίνουν σε τεχνολογικά συστήματα, καθώς και για τη βελτιστοποίηση και τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών των ίδιων των τεχνολογικών συστημάτων.

Ένα σημαντικό σημείο είναι η διάσταση ενός συγκεκριμένου αναλυτικού μοντέλου. Συχνά για πραγματικά τεχνολογικά συστήματα (αυτοματοποιημένες γραμμές, ευέλικτα συστήματα παραγωγής), η διάσταση των αναλυτικών μοντέλων τους είναι τόσο μεγάλη που η απόκτηση της βέλτιστης λύσης αποδεικνύεται πολύ δύσκολη από υπολογιστική άποψη. Για τη βελτίωση της υπολογιστικής απόδοσης σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές. Ένα από αυτά σχετίζεται με τη διαίρεση ενός προβλήματος υψηλής διάστασης σε υποπροβλήματα μικρότερης διάστασης έτσι ώστε αυτόνομες λύσεις υποπροβλημάτων σε μια ορισμένη σειρά δίνουν λύση στο κύριο πρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτουν προβλήματα στην οργάνωση της αλληλεπίδρασης των δευτερευουσών εργασιών, τα οποία δεν είναι πάντα απλά. Μια άλλη τεχνική περιλαμβάνει τη μείωση της ακρίβειας των υπολογισμών, λόγω της οποίας είναι δυνατό να μειωθεί ο χρόνος για την επίλυση του προβλήματος.

Το αναλυτικό μοντέλο μπορεί να διερευνηθεί με τις ακόλουθες μεθόδους:

· αναλυτικά, όταν επιδιώκουν να αποκτήσουν σε γενική μορφή τις εξαρτήσεις για τα επιθυμητά χαρακτηριστικά.

· αριθμητικά, όταν επιδιώκουν να λάβουν αριθμητικά αποτελέσματα με συγκεκριμένα αρχικά δεδομένα·

· ποιοτική, όταν, έχοντας λύσεις σε ρητή μορφή, μπορείτε να βρείτε κάποιες ιδιότητες της λύσης (εκτιμήστε τη σταθερότητα της λύσης).

Ωστόσο, η αναλυτική μοντελοποίηση δίνει καλά αποτελέσματα στην περίπτωση αρκετά απλών συστημάτων. Στην περίπτωση πολύπλοκων συστημάτων, είτε απαιτείται σημαντική απλοποίηση του αρχικού μοντέλου προκειμένου να μελετηθούν τουλάχιστον οι γενικές ιδιότητες του συστήματος. Αυτό σας επιτρέπει να λαμβάνετε κατά προσέγγιση αποτελέσματα και να προσδιορίζετε πιο ακριβείς εκτιμήσεις, να χρησιμοποιείτε άλλες μεθόδους, για παράδειγμα, μοντελοποίηση προσομοίωσης.

Αριθμητικό μοντέλοχαρακτηρίζεται από μια εξάρτηση τέτοιας μορφής που επιτρέπει μόνο λύσεις που λαμβάνονται με αριθμητικές μεθόδους για συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες και ποσοτικές παραμέτρους των μοντέλων.

6. Ανάλογα με το αν οι εξισώσεις του μοντέλου λαμβάνουν υπόψη την αδράνεια των διεργασιών στο αντικείμενο ή δεν λαμβάνουν υπόψη:

· δυναμικός ή αδρανειακά μοντέλα(γραμμένο ως διαφορικές ή ολοκλήρωμα-διαφορικές εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων) ;

· στατικός ή μη αδρανειακά μοντέλα(γράφεται ως αλγεβρικές εξισώσεις ή συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων).

7. Ανάλογα με την παρουσία ή την απουσία αβεβαιοτήτων και το είδος των αβεβαιοτήτων, τα μοντέλα είναι:

· ντετερμινιστική e (χωρίς αβεβαιότητες).

· στοχαστική (υπάρχουν αβεβαιότητες με τη μορφή τυχαίων μεταβλητών ή διαδικασιών που περιγράφονται με στατιστικές μεθόδους με τη μορφή νόμων ή συναρτήσεων κατανομής, καθώς και αριθμητικών χαρακτηριστικών).

· ασαφής (για την περιγραφή των αβεβαιοτήτων, χρησιμοποιείται η συσκευή της θεωρίας των ασαφών συνόλων);

· σε συνδυασμό (υπάρχουν αβεβαιότητες και των δύο ειδών).

Στη γενική περίπτωση, ο τύπος του μαθηματικού μοντέλου εξαρτάται όχι μόνο από τη φύση του πραγματικού αντικειμένου, αλλά και από τις εργασίες για τις οποίες δημιουργείται και την απαιτούμενη ακρίβεια της επίλυσής τους.

Οι κύριοι τύποι μοντέλων που παρουσιάζονται στο Σχήμα 2.5.

Εξετάστε μια άλλη ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων. Αυτή η ταξινόμηση βασίζεται στην έννοια της δυνατότητας ελέγχου του αντικειμένου ελέγχου. Θα χωρίσουμε υπό όρους όλα τα MM σε τέσσερις ομάδες.1. Μοντέλα πρόβλεψης (υπολογιστικά μοντέλα χωρίς έλεγχο). Μπορούν να χωριστούν σε στατικόςκαι δυναμικός.Ο κύριος σκοπός αυτών των μοντέλων: η γνώση της αρχικής κατάστασης και οι πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά στο όριο, η πρόβλεψη για τη συμπεριφορά του συστήματος στο χρόνο και στο χώρο. Τέτοια μοντέλα μπορεί επίσης να είναι στοχαστικά.Κατά κανόνα, τα μοντέλα πρόβλεψης περιγράφονται με αλγεβρικές, υπερβατικές, διαφορικές, ολοκληρωτικές, ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις και ανισότητες. Παραδείγματα είναι μοντέλα διανομής θερμότητας, ηλεκτρικό πεδίο, χημική κινητική, υδροδυναμική, αεροδυναμική κ.λπ. 2. Μοντέλα βελτιστοποίησης. Αυτά τα μοντέλα μπορούν επίσης να χωριστούν σε στατικόςκαι δυναμικός.Στατικά μοντέλα χρησιμοποιούνται σε επίπεδο σχεδιασμού διαφόρων τεχνολογικών συστημάτων. Δυναμική - τόσο σε επίπεδο σχεδιασμού όσο και, κυρίως, για τον βέλτιστο έλεγχο διαφόρων διαδικασιών - τεχνολογικών, οικονομικών κ.λπ. Υπάρχουν δύο κατευθύνσεις στα προβλήματα βελτιστοποίησης. Το πρώτο περιλαμβάνει ντετερμινιστικές εργασίες. Όλες οι πληροφορίες εισόδου σε αυτές είναι απολύτως προσδιορίσιμες.Η δεύτερη κατεύθυνση αναφέρεται σε στοχαστικές διαδικασίες. Σε αυτές τις εργασίες, ορισμένες παράμετροι είναι τυχαίες ή περιέχουν ένα στοιχείο αβεβαιότητας. Πολλά προβλήματα βελτιστοποίησης για αυτόματες συσκευές, για παράδειγμα, περιέχουν παραμέτρους με τη μορφή τυχαίου θορύβου με ορισμένα πιθανοτικά χαρακτηριστικά.Οι μέθοδοι για την εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών με διάφορους περιορισμούς ονομάζονται συχνά μέθοδοι μαθηματικού προγραμματισμού. Τα προβλήματα μαθηματικού προγραμματισμού είναι ένα από τα σημαντικά προβλήματα βελτιστοποίησης. Στον μαθηματικό προγραμματισμό διακρίνονται οι ακόλουθες κύριες ενότητες.· Γραμμικός προγραμματισμός . Η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική και το σύνολο στο οποίο αναζητείται το άκρο της αντικειμενικής συνάρτησης δίνεται από ένα σύστημα γραμμικών ισοτήτων και ανισοτήτων.· Μη γραμμικός προγραμματισμός . Η αντικειμενική συνάρτηση είναι μη γραμμικοί και μη γραμμικοί περιορισμοί.· Κυρτός προγραμματισμός . Η αντικειμενική συνάρτηση είναι ένα κυρτό και κυρτό σύνολο στο οποίο επιλύεται το ακραίο πρόβλημα.· Τετραγωνικός προγραμματισμός . Η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική και οι περιορισμοί γραμμικοί.· Πολλαπλές ακραίες εργασίες. Προβλήματα στα οποία η αντικειμενική συνάρτηση έχει πολλά τοπικά άκρα. Τέτοιες εργασίες φαίνεται να είναι πολύ προβληματικές.· Ακέραιος προγραμματισμός. Σε τέτοια προβλήματα, επιβάλλονται ακέραιοι όροι σε μεταβλητές.

Ρύζι. 4.8. Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων

Κατά κανόνα, οι μέθοδοι κλασικής ανάλυσης για την εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών δεν μπορούν να εφαρμοστούν σε προβλήματα μαθηματικού προγραμματισμού.Τα μοντέλα της θεωρίας βέλτιστου ελέγχου είναι ένα από τα πιο σημαντικά στα μοντέλα βελτιστοποίησης. Η μαθηματική θεωρία βέλτιστου ελέγχου είναι μια από τις θεωρίες με σημαντικές πρακτικές εφαρμογές, κυρίως για τον βέλτιστο έλεγχο των διαδικασιών. Υπάρχουν τρεις τύποι μαθηματικών μοντέλων της θεωρίας βέλτιστου ελέγχου.· Διακριτά μοντέλα βέλτιστου ελέγχου. Παραδοσιακά, τέτοια μοντέλα ονομάζονται μοντέλα δυναμικού προγραμματισμού, αφού η κύρια μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι η μέθοδος δυναμικού προγραμματισμού Bellman.· Συνεχή μοντέλα βέλτιστου ελέγχου συστημάτων με αθροιστικές παραμέτρους (που περιγράφονται με εξισώσεις σε συνήθεις παραγώγους).· Συνεχή μοντέλα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα με κατανεμημένες παραμέτρους (που περιγράφονται με μερικές διαφορικές εξισώσεις).3. Κυβερνητικά μοντέλα (παιχνίδι). Κυβερνητικά μοντέλα χρησιμοποιούνται για την ανάλυση καταστάσεων σύγκρουσης. Υποτίθεται ότι η δυναμική διαδικασία καθορίζεται από πολλά υποκείμενα που έχουν πολλές παραμέτρους ελέγχου στη διάθεσή τους. Μια ολόκληρη ομάδα θεμάτων με τα δικά τους ενδιαφέροντα συνδέεται με το κυβερνητικό σύστημα. 4. Προσομοίωση . Οι παραπάνω τύποι μοντέλων δεν καλύπτουν μεγάλο αριθμό διαφορετικών καταστάσεων, τέτοιες που να μπορούν να επισημοποιηθούν πλήρως. Για να μελετηθούν τέτοιες διαδικασίες, είναι απαραίτητο να συμπεριληφθεί ένας λειτουργικός «βιολογικός» σύνδεσμος, ένα άτομο, στο μαθηματικό μοντέλο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται προσομοίωση, καθώς και μέθοδοι εμπειρογνωμοσύνης και διαδικασίες πληροφόρησης.

Μοντελοποίηση, γενικές έννοιες

Το έργο της μοντελοποίησης είναι η μελέτη σύνθετων αντικειμένων ή διαδικασιών στα φυσικά ή μαθηματικά τους μοντέλα. Σκοπός της μοντελοποίησης είναι να βρεθεί η βέλτιστη (καλύτερη σύμφωνα με ορισμένα κριτήρια) τεχνική λύση. Τύποι μοντελοποίησης:

Ø σωματική;

Ø μαθηματικά;

Ø γραφικό (γεωμετρικό).

Κατά τη μοντελοποίηση, οι σημαντικότερες ιδιότητες του υπό μελέτη συστήματος αντικαθίστανται από αυστηρές, αλλά απλοποιημένες σε σχέση με το αρχικό φυσικό φαινόμενο, επιστημονικές διατυπώσεις - μοντέλα. Το μοντέλο παρέχει τη δυνατότητα ακριβούς περιγραφής και πρόβλεψης της συμπεριφοράς του συστήματος, αλλά μόνο σε μια αυστηρά περιορισμένη περιοχή εφαρμογής - μέχρι στιγμής, ισχύουν αυτές οι αρχικές απλουστεύσεις βάσει των οποίων κατασκευάστηκε το μοντέλο.

Για παράδειγμα, κατά την προσομοίωση της πτήσης ενός δορυφόρου γύρω από τη Γη, τα τοιχώματά του μπορούν να θεωρηθούν απολύτως συμπαγή και κατά την προσομοίωση σύγκρουσης του ίδιου δορυφόρου με μικρομετεωρίτη, ακόμη και ο υπερσκληρός σίδηρος μπορεί να περιγραφεί με πολύ υψηλή ακρίβεια ως ιδανικό ασυμπίεστο ρευστό. . Αυτό είναι το παράδοξο χαρακτηριστικό της μοντελοποίησης - η ακρίβειά της, που ζωντανεύει από θεμελιωδώς ανακριβή, από την ίδια την ουσία της κατά προσέγγιση, κατάλληλη μόνο σε μια συγκεκριμένη περιοχή φαινομένων, μοντέλα ενός πραγματικού συστήματος.

Οι διαδικασίες λειτουργίας και η δομή του συστήματος μπορούν να περιγραφούν μέσω μαθηματικής μοντελοποίησης. Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι η διαδικασία δημιουργίας ενός μαθηματικού μοντέλου και δράσης βάσει αυτού προκειμένου να ληφθούν πληροφορίες για ένα πραγματικό σύστημα. Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων και σχέσεων μεταξύ τους που αντικατοπτρίζει επαρκώς τις πιο σημαντικές ιδιότητες του συστήματος. Μαθηματικά αντικείμενα - αριθμοί, μεταβλητές, πίνακες κ.λπ. Συνδέσεις μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων - εξισώσεις, ανισώσεις κ.λπ. Τυχόν επιστημονικοί και τεχνικοί υπολογισμοί είναι εξειδικευμένοι τύποι μαθηματικών μοντελοποιήσεων.

Ένα σύστημα είναι ένα σύνολο στοιχείων που συνδέονται φυσικά μεταξύ τους, σχηματίζοντας μια ενιαία ακεραιότητα, υποδεικνύοντας τους δεσμούς μεταξύ τους και τον σκοπό της λειτουργίας τους. Οι ιδιότητες ενός συστήματος διαφέρουν από το άθροισμα των ιδιοτήτων των στοιχείων του. Παραδείγματα: Μηχάνημα ¹ å (εξαρτήματα + συγκροτήματα); Ανθρώπινος ¹ å (εγκέφαλος + συκώτι + σπονδυλική στήλη).

Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων

Σύμφωνα με τη μέθοδο ανάλυσης, τα μαθηματικά μοντέλα χωρίζονται σε αναλυτικά, αλγοριθμικά και προσομοιωτικά.

Τα αναλυτικά μοντέλα μπορεί να είναι:

1) ποιοτική, όταν προσδιορίζεται η φύση της εξάρτησης των παραμέτρων εξόδου από τις παραμέτρους εισόδου, η ίδια η ύπαρξη της λύσης κ.λπ. Για παράδειγμα, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί η δύναμη κοπής με την αύξηση της ταχύτητας, είναι δυνατόν να κινηθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός κ.λπ. Η κατασκευή ενός τέτοιου μοντέλου είναι ένα απαραίτητο βήμα στη μελέτη ενός πολύπλοκου συστήματος.

2) Τα μοντέλα μέτρησης (αναλυτικά) είναι ρητές μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των χαρακτηριστικών εισόδου, εσωτερικών και εξόδου του συστήματος. Τέτοια μοντέλα είναι πάντα προτιμότερα, καθώς είναι τα πιο αποτελεσματικά στην ανάλυση των νόμων της λειτουργίας του συστήματος, της βελτιστοποίησης κ.λπ. Δυστυχώς, δεν είναι πάντα δυνατή η απόκτησή τους και μόνο με σημαντική απλοποίηση του υπό μελέτη συστήματος. Εκτός από τα υπολογιστικά (αναλυτικά) μοντέλα που έχουν δημιουργηθεί με βάση την κατανόηση των διεργασιών που συμβαίνουν στο σύστημα, αυτά μπορούν επίσης να είναι μοντέλα που έχουν δημιουργηθεί με βάση την ανάλυση των αποτελεσμάτων πειραμάτων με ένα "μαύρο κουτί". Ένα παράδειγμα είναι η εξάρτηση της δύναμης κοπής από την ταχύτητα, την τροφοδοσία και το βάθος κοπής.

3) αριθμητική, όταν λαμβάνονται οι αριθμητικές τιμές των παραμέτρων εξόδου για τις δεδομένες τιμές εισόδου. Ένα παράδειγμα είναι οι υπολογισμοί πεπερασμένων στοιχείων. Τα αριθμητικά μοντέλα είναι καθολικά, αλλά δίνουν μόνο μερικά αποτελέσματα, από τα οποία είναι δύσκολο να εξαχθούν γενικευμένα συμπεράσματα.

Το αλγοριθμικό μοντέλο παρουσιάζεται με τη μορφή αλγορίθμου υπολογισμού. Σε αντίθεση με τα αναλυτικά μοντέλα, η πρόοδος του υπολογισμού εξαρτάται από τα ενδιάμεσα αποτελέσματα.

Η μοντελοποίηση προσομοίωσης βασίζεται σε μια άμεση περιγραφή του αντικειμένου που μοντελοποιείται. Κατά την κατασκευή ενός μοντέλου προσομοίωσης περιγράφονται οι νόμοι λειτουργίας κάθε στοιχείου ξεχωριστά και η μεταξύ τους σχέση. Σε αντίθεση με την αναλυτική, χαρακτηρίζεται από δομική ομοιότητα μεταξύ του αντικειμένου και του μοντέλου. Τις περισσότερες φορές, η μοντελοποίηση προσομοίωσης χρησιμοποιείται στη μελέτη πολύπλοκων τυχαίων διαδικασιών. Για παράδειγμα, τα κενά τροφοδοτούνται στην είσοδο ενός μοντέλου αυτόματης γραμμής (AL), οι διαστάσεις του οποίου έχουν τυχαία εξάπλωση. Ταυτόχρονα, το μοντέλο επεξεργασίας σε κάθε μηχανή AL είναι ευαίσθητο στις πραγματικές διαστάσεις του τεμαχίου εργασίας. Μετά την εικονική «επεξεργασία» εκατοντάδων χιλιάδων κενών, είναι δυνατό να βρεθεί ο συνδυασμός περιστάσεων στις οποίες το AL θα σταματήσει και θα το αποφύγει ακόμη και κατά τη διάρκεια του σχεδιασμού.

Ανάλογα με τη φύση της λειτουργίας και τον τύπο των παραμέτρων του συστήματος, τα μαθηματικά μοντέλα χωρίζονται επίσης σε

συνεχής και διακριτή.

στατική και δυναμική?

ντετερμινιστική και στοχαστική (πιθανολογική).

Στα συνεχή συστήματα, οι παράμετροι αλλάζουν σταδιακά, σε διακριτά συστήματα - απότομα, παρορμητικά. Για παράδειγμα, στο μοντέλο ενός εργαλείου τόρνευσης, η φθορά αυξάνεται συνεχώς και η θραύση (σχίσιμο του ενθέματος) συμβαίνει αμέσως - διακριτικά.

Στα στατικά μοντέλα, όλες οι παράμετροι που περιλαμβάνονται στο μοντέλο έχουν σταθερές τιμές και οι υπολογισμένες παράμετροι στην έξοδο του συστήματος αλλάζουν ταυτόχρονα με τις αλλαγές στις παραμέτρους στην είσοδο. Τέτοια μοντέλα περιγράφουν συστήματα με ταχέως αποσυντιθέμενα μεταβατικά.

Τα δυναμικά μοντέλα λαμβάνουν υπόψη την αδράνεια του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, η αλλαγή στην παράμετρο εξόδου υστερεί σε σχέση με την αλλαγή στην είσοδο. Τέτοια μοντέλα περιγράφουν με μεγαλύτερη ακρίβεια το πραγματικό σύστημα, αλλά είναι πιο δύσκολο να εφαρμοστούν.

Η έξοδος των ντετερμινιστικών συστημάτων καθορίζεται μοναδικά από την είσοδο και την τρέχουσα κατάστασή τους. Πιθανές τυχαίες αλλαγές στις παραμέτρους του συστήματος ή στις παραμέτρους εισόδου παραμελούνται. Στα στοχαστικά συστήματα, αντίθετα, λαμβάνεται υπόψη η πιθανολογική φύση της αλλαγής των παραμέτρων του συστήματος, οι οποίες λαμβάνουν τυχαίες τιμές σύμφωνα με κάποιο νόμο κατανομής.