Κινητική ενέργεια κατά την περιστροφή. Κινητική ενέργεια κατά την περιστροφική κίνηση

Κινητική ενέργειαείναι μια αθροιστική ποσότητα. Επομένως, η κινητική ενέργεια ενός σώματος που κινείται με αυθαίρετο τρόπο είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των n υλικά σημείαστο οποίο αυτό το σώμα μπορεί να χωριστεί διανοητικά:

Αν το σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα z με γωνιακή ταχύτητα, τότε η γραμμική ταχύτητα i-ο σημείο , Ri είναι η απόσταση από τον άξονα περιστροφής. Ως εκ τούτου,

Συγκρίνοντας και μπορεί να φανεί ότι η ροπή αδράνειας του σώματος I είναι μέτρο αδράνειας στο περιστροφική κίνηση, όπως η μάζα m είναι μέτρο αδράνειας στη μεταφορική κίνηση.

ΣΕ γενική περίπτωσηη κίνηση ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο κινήσεων - μεταφορικών με ταχύτητα vc και περιστροφικής με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον στιγμιαίο άξονα που διέρχεται από το κέντρο αδράνειας. Τότε η συνολική κινητική ενέργεια αυτού του σώματος

Εδώ Ic είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο αδράνειας.

Ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης.

Δυναμική περιστροφής

Ο βασικός νόμος της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης:

ή M=Je, όπου M είναι η ροπή της δύναμης M=[ r F ], J -ροπή αδράνειας είναι η ροπή ορμής του σώματος.

αν M(εξωτερική)=0 - ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής. - κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος.

περιστροφική εργασία.

Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής.

Η γωνιακή ορμή (ορμή) του υλικού σημείου Α σε σχέση με σταθερό σημείοΩ κάλεσε φυσική ποσότητα, που προσδιορίζεται από το διανυσματικό γινόμενο:

Όπου r είναι το διάνυσμα ακτίνας που σχεδιάζεται από το σημείο Ο στο σημείο Α, p=mv είναι η ορμή του υλικού σημείου (Εικ. 1). Το L είναι ένα ψευδοδιάνυσμα του οποίου η κατεύθυνση είναι ίδια με την κατεύθυνση κίνηση προς τα εμπρόςη δεξιά βίδα κατά την περιστροφή της από το r στο p.

Διανυσματικό μέτρο ορμής

όπου α είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r και p, l είναι ο ώμος του διανύσματος p ως προς το σημείο O.

Η γωνιακή ορμή γύρω από τον σταθερό άξονα z ονομάζεται βαθμωτό μέγεθος Lz, ίσο με την προβολή σε αυτόν τον άξονα του διανύσματος γωνιακής ορμής, που ορίζεται σε σχέση με αυθαίρετο σημείοσχετικά με αυτόν τον άξονα. Η γωνιακή ορμή Lz δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου O στον άξονα z.

Όταν ένα απολύτως άκαμπτο σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα z, κάθε σημείο του σώματος κινείται κατά μήκος ενός κύκλου σταθερής ακτίνας ri με ταχύτητα vi. Η ταχύτητα vi και η ορμή mivi είναι κάθετες σε αυτήν την ακτίνα, δηλαδή η ακτίνα είναι ο βραχίονας του διανύσματος mivi . Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι η γωνιακή ορμή ενός μεμονωμένου σωματιδίου είναι

και κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα προς την κατεύθυνση που καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιάς βίδας.

Η ορμή ενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με τον άξονα είναι το άθροισμα της ορμής των μεμονωμένων σωματιδίων:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο vi = ωri, παίρνουμε

Έτσι, η γωνιακή ορμή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν άξονα είναι ίση με τη ροπή αδράνειας του σώματος γύρω από τον ίδιο άξονα, πολλαπλασιαζόμενη με τη γωνιακή ταχύτητα. Ας διαφοροποιήσουμε την εξίσωση (2) ως προς το χρόνο:

Αυτός ο τύπος είναι μια άλλη μορφή της εξίσωσης της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα: η παράγωγος της γωνιακής ορμής ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν άξονα είναι ίση με τη ροπή των δυνάμεων γύρω από τον ίδιο άξονα.

Μπορεί να φανεί ότι ισχύει η διανυσματική ισότητα

Σε ένα κλειστό σύστημα η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων είναι M = 0 και από πού

Η έκφραση (4) είναι ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής: η γωνιακή ορμή ενός κλειστού συστήματος διατηρείται, δηλ. δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.

Ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής καθώς και ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας είναι ένας θεμελιώδης νόμος της φύσης. Συνδέεται με την ιδιότητα συμμετρίας του χώρου - την ισοτροπία του, δηλ. με την αναλλοίωτη φυσικούς νόμουςσχετικά με την επιλογή της κατεύθυνσης των αξόνων συντεταγμένων του συστήματος αναφοράς (σε σχέση με την περιστροφή ενός κλειστού συστήματος στο χώρο κατά οποιαδήποτε γωνία).

Εδώ θα δείξουμε το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής χρησιμοποιώντας τον πάγκο Zhukovsky. Άνδρας που κάθεται σε έναν πάγκο που γυρίζει γύρω κάθετος άξονας, και κρατώντας αλτήρες σε τεντωμένα χέρια (Εικ. 2), περιστρέφεται από έναν εξωτερικό μηχανισμό με γωνιακή ταχύτητα ω1. Εάν ένα άτομο πιέσει τους αλτήρες στο σώμα, τότε η στιγμή αδράνειας του συστήματος θα μειωθεί. Όμως η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίση με μηδέν, η γωνιακή ορμή του συστήματος διατηρείται και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω2 αυξάνεται. Ομοίως, ο αθλητής, ενώ πηδά πάνω από το κεφάλι του, τραβάει τα χέρια και τα πόδια του κοντά στο σώμα για να μειώσει τη ροπή αδράνειας του και έτσι να αυξήσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

Πίεση σε υγρό και αέριο.

Τα μόρια αερίου, που εκτελούν μια χαοτική, χαοτική κίνηση, δεν δεσμεύονται ή μάλλον ασθενώς δεσμεύονται από δυνάμεις αλληλεπίδρασης, γι' αυτό κινούνται σχεδόν ελεύθερα και, ως αποτέλεσμα των συγκρούσεων, διασκορπίζονται προς όλες τις κατευθύνσεις, ενώ γεμίζουν ολόκληρο τον όγκο που τους παρέχεται. δηλ. ο όγκος του αερίου προσδιορίζεται από το δοχείο όγκου που καταλαμβάνει το αέριο.

Και το υγρό, έχοντας ορισμένο όγκο, παίρνει τη μορφή του δοχείου στο οποίο είναι κλεισμένο. Αλλά σε αντίθεση με τα αέρια στα υγρά, η μέση απόσταση μεταξύ των μορίων παραμένει σταθερή κατά μέσο όρο, επομένως το υγρό έχει σχεδόν σταθερό όγκο.

Οι ιδιότητες των υγρών και των αερίων είναι πολύ διαφορετικές από πολλές απόψεις, αλλά από πολλές απόψεις μηχανικά φαινόμεναΟι ιδιότητές τους καθορίζονται από τις ίδιες παραμέτρους και τις ίδιες εξισώσεις. Για το λόγο αυτό, η υδροαερομηχανική είναι ένας κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία και την κίνηση αερίων και υγρών, την αλληλεπίδραση μεταξύ τους και μεταξύ των στερεών σωμάτων που ρέουν γύρω τους, δηλ. εφαρμοσμένος ενιαία προσέγγισηστη μελέτη υγρών και αερίων.

Στη μηχανική, τα υγρά και τα αέρια θεωρούνται με υψηλό βαθμό ακρίβειας ως συνεχή, συνεχώς κατανεμημένα στο μέρος του χώρου που καταλαμβάνουν. Στα αέρια, η πυκνότητα εξαρτάται σημαντικά από την πίεση. Καθιερώθηκε από εμπειρία. ότι η συμπιεστότητα ενός υγρού και ενός αερίου μπορεί συχνά να παραμεληθεί και είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθεί μια ενιαία έννοια - η ασυμπίεση ενός υγρού - ένα υγρό με την ίδια πυκνότητα παντού, το οποίο δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.

Ας τοποθετήσουμε σε ένα λεπτό πιάτο σε ηρεμία, με αποτέλεσμα, μέρη του υγρού να βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό την πλάκα, θα ενεργήσει σε κάθε στοιχείο του ΔS με δυνάμεις ΔF, οι οποίες θα είναι ίσες σε μέγεθος και θα κατευθύνονται κάθετα στη θέση ΔS, ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό της θέσης, διαφορετικά η παρουσία εφαπτομενικών δυνάμεων θα έθετε τα σωματίδια του ρευστού σε κίνηση (Εικ. 1)

Καθορίζεται φυσική ποσότητα κανονική δύναμη, που ενεργεί από την πλευρά του υγρού (ή αερίου) ανά μονάδα επιφάνειας, ονομάζεται πίεση p / υγρό (ή αέριο): p=ΔF/ΔS.

Η μονάδα πίεσης είναι το pascal (Pa): 1 Pa είναι ίσο με την πίεση που δημιουργείται από μια δύναμη 1 N, η οποία κατανέμεται ομοιόμορφα σε μια επιφάνεια 1 m2 κάθετη προς αυτήν (1 Pa = 1 N/m2).

Η πίεση σε κατάσταση ισορροπίας υγρών (αερίων) υπακούει στο νόμο του Pascal: η πίεση σε οποιοδήποτε σημείο ενός ρευστού σε ηρεμία είναι ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις και η πίεση μεταδίδεται εξίσου σε ολόκληρο τον όγκο που καταλαμβάνει το ρευστό σε ηρεμία.

Ας διερευνήσουμε την επίδραση του βάρους ενός ρευστού στην κατανομή της πίεσης μέσα σε ένα ακίνητο ασυμπίεστο ρευστό. Όταν ένα υγρό βρίσκεται σε ισορροπία, η πίεση σε οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή είναι πάντα η ίδια, διαφορετικά δεν θα υπήρχε ισορροπία. Αυτό σημαίνει ότι η ελεύθερη επιφάνεια ενός ρευστού σε ηρεμία είναι πάντα οριζόντια (δεν λαμβάνουμε υπόψη την έλξη του ρευστού από τα τοιχώματα του αγγείου). Εάν ένα ρευστό είναι ασυμπίεστο, τότε η πυκνότητα του ρευστού είναι ανεξάρτητη από την πίεση. Στη συνέχεια στο διατομή S της υγρής στήλης, το ύψος h και η πυκνότητά της ρ βάρος P=ρgSh, ενώ η πίεση στην κάτω βάση: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

δηλαδή η πίεση αλλάζει γραμμικά με το υψόμετρο. Η πίεση ρgh ονομάζεται υδροστατική πίεση.

Σύμφωνα με τον τύπο (1), η δύναμη πίεσης στα κατώτερα στρώματα του υγρού θα είναι μεγαλύτερη από ό,τι στα ανώτερα, επομένως, μια δύναμη που καθορίζεται από το νόμο του Αρχιμήδη δρα σε ένα σώμα βυθισμένο σε ένα υγρό (αέριο): ανοδική άνωση δύναμη ίση με το βάρος του υγρού (αερίου) που εκτοπίζεται από το σώμα: FA = ρgV, όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού, V είναι ο όγκος του σώματος που βυθίζεται στο υγρό.

1. Εξετάστε την περιστροφή του σώματος γύρω ακίνητοςάξονας Ζ. Ας χωρίσουμε ολόκληρο το σώμα σε ένα σύνολο στοιχειωδών μαζών m Εγώ. Ταχύτητα γραμμήςστοιχειώδης μάζα m Εγώ– v i = w R Εγώ, όπου ο Ρ Εγώ– απόσταση μάζας m Εγώαπό τον άξονα περιστροφής. Επομένως, η κινητική ενέργεια Εγώ-η στοιχειώδης μάζα θα είναι ίση με . Ολική κινητική ενέργεια του σώματος: , εδώ είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής.

Έτσι, η κινητική ενέργεια ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι:

2. Αφήστε το σώμα τώρα περιστρέφεταιγύρω από κάποιο άξονα και ο άξονας κινείταιπροοδευτικά, παραμένοντας παράλληλα με τον εαυτό του.

ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Μια μπάλα που κυλάει χωρίς ολίσθηση κάνει μια περιστροφική κίνηση και το κέντρο βάρους της, από το οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής (σημείο "Ο") κινείται προς τα εμπρός (Εικ. 4.17).

Ταχύτητα Εγώ-ότι η στοιχειώδης μάζα του σώματος είναι ίση με , πού είναι η ταχύτητα κάποιου σημείου "Ο" του σώματος; – ακτίνα-διάνυσμα που καθορίζει τη θέση της στοιχειώδους μάζας σε σχέση με το σημείο «Ο».

Η κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας είναι ίση με:

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: το γινόμενο του διανύσματος συμπίπτει στην κατεύθυνση με το διάνυσμα και έχει συντελεστή ίσο με (Εικ. 4.18).

Λαμβάνοντας υπόψη αυτή την παρατήρηση, μπορούμε να γράψουμε ότι , όπου είναι η απόσταση της μάζας από τον άξονα περιστροφής. Στον δεύτερο όρο, κάνουμε μια κυκλική μετάθεση των παραγόντων, μετά την οποία λαμβάνουμε

Για να λάβουμε τη συνολική κινητική ενέργεια του σώματος, αθροίζουμε αυτήν την έκφραση σε όλες τις στοιχειώδεις μάζες, αφαιρώντας τους σταθερούς παράγοντες από το πρόσημο του αθροίσματος. Παίρνω

Το άθροισμα των στοιχειωδών μαζών είναι η μάζα του σώματος "m". Η έκφραση είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σώματος και του διανύσματος ακτίνας του κέντρου αδράνειας του σώματος (εξ ορισμού του κέντρου αδράνειας). Τέλος, - η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο "Ο". Επομένως, μπορεί κανείς να γράψει

Αν πάρουμε το κέντρο αδράνειας του σώματος «C» ως σημείο «Ο», το διάνυσμα ακτίνας θα είναι ίσο με μηδέν και ο δεύτερος όρος θα εξαφανιστεί. Στη συνέχεια, δηλώνοντας μέσω - την ταχύτητα του κέντρου αδράνειας, και μέσω - τη στιγμή αδράνειας του σώματος σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το σημείο "C", παίρνουμε:

(4.6)

Έτσι, η κινητική ενέργεια ενός σώματος κατά την επίπεδη κίνηση αποτελείται από την ενέργεια της μεταφορικής κίνησης με ταχύτητα, ίση ταχύτητατο κέντρο της αδράνειας και η ενέργεια περιστροφής γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο αδράνειας του σώματος.

Το έργο των εξωτερικών δυνάμεων κατά την περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος.

Βρείτε το έργο που κάνουν οι δυνάμεις όταν το σώμα περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό άξονα Ζ.

Αφήστε μια εσωτερική δύναμη και μια εξωτερική δύναμη να δράσουν στη μάζα (η δύναμη που προκύπτει βρίσκεται σε ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής) (Εικ. 4.19). Αυτές οι δυνάμεις κάνουν έγκαιρα dtδουλειά:

Έχοντας πραγματοποιήσει μια κυκλική μετάθεση παραγόντων σε μικτά προϊόντα διανυσμάτων, βρίσκουμε:

όπου , - αντίστοιχα, οι ροπές των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με το σημείο "Ο".

Αθροίζοντας όλες τις στοιχειώδεις μάζες, λαμβάνουμε τη στοιχειώδη εργασία που γίνεται στο σώμα κατά τη διάρκεια του χρόνου dt:

Το άθροισμα των ροπών των εσωτερικών δυνάμεων είναι ίσο με μηδέν. Στη συνέχεια, δηλώνοντας τη συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων μέσω , φτάνουμε στην έκφραση:

Είναι γνωστό ότι κλιμακωτό προϊόνδύο διανύσματα ονομάζονται βαθμωτές, ίσο με το γινόμενοτο μέτρο ενός από τα πολλαπλασιαζόμενα διανύσματα με την προβολή του δεύτερου στην κατεύθυνση του πρώτου, λαμβάνοντας υπόψη ότι, (οι διευθύνσεις του άξονα Ζ και συμπίπτουν), παίρνουμε

αλλά w dt=ρε j, δηλ. η γωνία μέσα από την οποία το σώμα περιστρέφεται στο χρόνο dt. Να γιατί

Το πρόσημο του έργου εξαρτάται από το πρόσημο του M z , δηλ. από το πρόσημο της προβολής του διανύσματος στην κατεύθυνση του διανύσματος .

Έτσι, όταν το σώμα περιστρέφεται εσωτερικές δυνάμειςδεν γίνεται καμία εργασία και το έργο των εξωτερικών δυνάμεων καθορίζεται από τον τύπο .

Εργάζονται για διάστημα λήξηςο χρόνος βρίσκεται με την ενσωμάτωση

Εάν η προβολή της προκύπτουσας ροπής των εξωτερικών δυνάμεων στην κατεύθυνση παραμένει σταθερή, τότε μπορεί να αφαιρεθεί από το ακέραιο πρόσημο:

, δηλ. .

Εκείνοι. το έργο μιας εξωτερικής δύναμης κατά την περιστροφική κίνηση ενός σώματος είναι ίσο με το γινόμενο της προβολής της ροπής της εξωτερικής δύναμης και της διεύθυνσης και της γωνίας περιστροφής.

Από την άλλη πλευρά, το έργο της εξωτερικής δύναμης που ασκεί το σώμα πηγαίνει στην αύξηση της κινητικής ενέργειας του σώματος (ή ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του περιστρεφόμενου σώματος). Ας το δείξουμε:

;

Ως εκ τούτου,

. (4.7)

Από μόνος του:

Ελαστικές δυνάμεις;

Ο νόμος του Χουκ.

ΔΙΑΛΕΞΗ 7

Υδροδυναμική

Γραμμές και σωλήνες ρεύματος.

Η Υδροδυναμική μελετά την κίνηση των υγρών, αλλά οι νόμοι της ισχύουν και για την κίνηση των αερίων. Σε μια σταθερή ροή ρευστού, η ταχύτητα των σωματιδίων του σε κάθε σημείο του χώρου είναι μια ποσότητα που είναι ανεξάρτητη από το χρόνο και είναι συνάρτηση των συντεταγμένων. Σε μια σταθερή ροή, οι τροχιές των σωματιδίων ρευστού σχηματίζουν μια γραμμή ροής. Το σύνολο των γραμμών ροής σχηματίζει έναν σωλήνα ροής (Εικ. 5.1). Υποθέτουμε ότι το υγρό είναι ασυμπίεστο, τότε ο όγκος του υγρού που ρέει μέσα από τα τμήματα μικρό 1 και μικρό 2 θα είναι το ίδιο. Σε ένα δευτερόλεπτο, όγκος ρευστού ίσος με

, (5.1)

όπου και είναι οι ταχύτητες ρευστού σε διατομές μικρό 1 και μικρό 2 , και τα διανύσματα και ορίζονται ως και , όπου και είναι οι κανονικές των τμημάτων μικρό 1 και μικρό 2. Η εξίσωση (5.1) ονομάζεται εξίσωση συνέχειας πίδακα. Από αυτό προκύπτει ότι η ταχύτητα του ρευστού είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη διατομή του τρέχοντος σωλήνα.

Εξίσωση Bernoulli.

Θα εξετάσουμε ένα ιδανικό ασυμπίεστο ρευστό στο οποίο δεν υπάρχει εσωτερική τριβή (ιξώδες). Ας ξεχωρίσουμε έναν λεπτό σωλήνα ρεύματος σε ένα σταθερό ρέον υγρό (Εικ. 5.2) με διατομές S1Και S2κάθετα στις γραμμές ροής. στο τμήμα 1 σε μικρό χρονικό διάστημα tτα σωματίδια κινούνται σε απόσταση l 1, και στην ενότητα 2 - σε μια απόσταση l 2. Μέσα από τις δύο ενότητες στον χρόνο tθα περάσουν ίσοι μικροί όγκοι υγρού V= V 1 = V 2και να μεταφέρουν πολλά υγρά m=rV, Οπου rείναι η πυκνότητα του υγρού. Συνολική αλλαγή μηχανική ενέργειαόλου του υγρού στο σωλήνα ροής μεταξύ των τμημάτων S1Και S2, που συνέβη κατά τη διάρκεια του χρόνου t, μπορεί να αντικατασταθεί από την αλλαγή της ενέργειας όγκου V, που προέκυψε όταν μετακινήθηκε από την ενότητα 1 στην ενότητα 2. Με μια τέτοια κίνηση, η κινητική και δυναμική ενέργειααυτόν τον όγκο και τη συνολική αλλαγή στην ενέργειά του

, (5.2)

όπου v 1 και v 2 - ταχύτητα σωματιδίων ρευστού σε τομές S1Και S2αντίστοιχα; σολ- επιτάχυνση βαρύτητα; h1Και h2- ύψη του κέντρου των τμημάτων.

ΣΕ ιδανικό υγρόδεν υπάρχουν απώλειες τριβής, άρα η ενέργεια αυξάνεται DEπρέπει να είναι ίσο με το έργο που εκτελείται από τις δυνάμεις πίεσης στον εκχωρημένο όγκο. Ελλείψει δυνάμεων τριβής, αυτό λειτουργεί:

Εξισώνοντας τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων (5.2) και (5.3) και μεταφέροντας τους όρους με τους ίδιους δείκτες σε ένα μέρος της ισότητας, προκύπτει

. (5.4)

Τμήματα σωλήνων S1Και S2λήφθηκαν αυθαίρετα, επομένως μπορεί να υποστηριχθεί ότι η έκφραση είναι έγκυρη σε οποιοδήποτε τμήμα του τρέχοντος σωλήνα

. (5.5)

Η εξίσωση (5.5) ονομάζεται εξίσωση Bernoulli. Για οριζόντια γραμμή η = const,και η ισότητα (5.4) παίρνει τη μορφή

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

εκείνοι. η πίεση είναι μικρότερη σε εκείνα τα σημεία όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη.

Δυνάμεις εσωτερικής τριβής.

Το ιξώδες είναι εγγενές σε ένα πραγματικό υγρό, το οποίο εκδηλώνεται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε κίνηση υγρού και αερίου σταματά αυθόρμητα απουσία των αιτιών που την προκάλεσαν. Ας εξετάσουμε ένα πείραμα στο οποίο ένα υγρό στρώμα βρίσκεται πάνω από μια σταθερή επιφάνεια και μια πλάκα που επιπλέει πάνω του με μια επιφάνεια κινείται από πάνω του με ταχύτητα μικρό(Εικ. 5.3). Η εμπειρία δείχνει ότι για να μετακινήσετε το πιάτο με σταθερή ταχύτηταείναι απαραίτητο να δράσουμε σε αυτό με δύναμη. Εφόσον η πλάκα δεν δέχεται επιτάχυνση, σημαίνει ότι η δράση αυτής της δύναμης εξισορροπείται από μια άλλη δύναμη ίση με αυτήν σε μέγεθος και αντίθετα κατευθυνόμενη, η οποία είναι η δύναμη τριβής . Ο Νεύτων έδειξε ότι η δύναμη της τριβής

, (5.7)

Οπου ρε- πάχος του στρώματος υγρού, h - συντελεστής ιξώδους ή συντελεστής τριβής του υγρού, το σύμβολο μείον λαμβάνει υπόψη τη διαφορετική κατεύθυνση των διανυσμάτων F trΚαι vο. Εάν εξετάσουμε την ταχύτητα των σωματιδίων του ρευστού σε διαφορετικά σημεία του στρώματος, αποδεικνύεται ότι αλλάζει σύμφωνα με έναν γραμμικό νόμο (Εικ. 5.3):

v(z) = (v 0 /d) z.

Διαφοροποιώντας αυτή την ισότητα, παίρνουμε dv/dz= v 0 /ρε. Εχοντας αυτό κατά νου

ο τύπος (5.7) παίρνει τη μορφή

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Οπου h- συντελεστής δυναμικού ιξώδους. αξία dv/dzονομάζεται κλίση ταχύτητας. Δείχνει πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα προς την κατεύθυνση του άξονα z. Στο dv/dz= η διαβάθμιση σταθερής ταχύτητας είναι αριθμητικά ίση με τη μεταβολή της ταχύτητας vόταν αλλάζει zανά μονάδα. Βάζουμε αριθμητικά στον τύπο (5.8) dv/dz =-1 και μικρό= 1, παίρνουμε η = φά. αυτό υπονοεί φυσική έννοια η: ο συντελεστής ιξώδους είναι αριθμητικά ίσος με τη δύναμη που επιδρά σε ένα υγρό στρώμα μοναδιαίας επιφάνειας με κλίση ταχύτητας, ίσο με ένα. Η μονάδα ιξώδους SI ονομάζεται δευτερόλεπτο pascal (σημαίνει Pa s). Στο σύστημα CGS, η μονάδα ιξώδους είναι 1 poise (P), με 1 Pa s = 10P.

Μηχανική.

Ερώτηση 1

Σύστημα αναφοράς. Αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου-Αϊνστάιν.

σύστημα αναφοράς- αυτό είναι ένα σύνολο σωμάτων σε σχέση με τα οποία περιγράφεται η κίνηση ενός δεδομένου σώματος και το σύστημα συντεταγμένων που σχετίζεται με αυτό.

Σύστημα Αδρανειακής Αναφοράς (ISO)- ένα σύστημα στο οποίο ένα σώμα που κινείται ελεύθερα βρίσκεται σε ηρεμία ή ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου-Αϊνστάιν- Όλα τα φυσικά φαινόμενα σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράς συμβαίνουν με τον ίδιο τρόπο και έχουν το ίδιο μαθηματική μορφή. Με άλλα λόγια, όλα τα ISO είναι ίσα.

Ερώτηση 2

Η εξίσωση της κίνησης. Τύποι κίνησης συμπαγές σώμα. Το κύριο καθήκον της κινηματικής.

Εξισώσεις κίνησης υλικού σημείου:

- κινηματική εξίσωση κίνησης

Τύποι κίνησης ενός άκαμπτου σώματος:

1) Μεταφραστική κίνηση - κάθε ευθεία γραμμή που χαράσσεται στο σώμα κινείται παράλληλα με τον εαυτό της.

2) Περιστροφική κίνηση - οποιοδήποτε σημείο του σώματος κινείται σε κύκλο.

φ = φ(t)

Το κύριο καθήκον της κινηματικής- αυτό λαμβάνει τις χρονικές εξαρτήσεις της ταχύτητας V= V(t) και τις συντεταγμένες (ή ακτίνα-διάνυσμα) r = r(t) ενός υλικού σημείου από τη γνωστή χρονική εξάρτηση της επιτάχυνσής του a = a(t) και το γνωστό αρχικές συνθήκες V 0 και r 0 .

Ερώτηση #7

Σφυγμός (Αριθμός κίνησης) - διανυσματικό φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει το μέτρο μηχανική κίνησησώμα. Στην κλασική μηχανική, η ορμή ενός σώματος είναι ίσο με το γινόμενομάζες Μαυτό το σημείο στην ταχύτητά του v, η κατεύθυνση της ορμής συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας:

ΣΕ θεωρητική μηχανική γενικευμένη ορμήείναι η μερική παράγωγος του Lagrangian του συστήματος ως προς τη γενικευμένη ταχύτητα

Αν το Lagrange του συστήματος δεν εξαρτάται από κάποιους γενικευμένη συντεταγμένη, τότε λόγω Εξισώσεις Lagrange .

Για ένα ελεύθερο σωματίδιο, η συνάρτηση Lagrange έχει τη μορφή: , επομένως:

Η ανεξαρτησία του Lagrangian ενός κλειστού συστήματος από τη θέση του στο χώρο προκύπτει από την ιδιοκτησία ομοιογένεια του χώρου: για ένα καλά απομονωμένο σύστημα, η συμπεριφορά του δεν εξαρτάται από το πού στο χώρο το τοποθετούμε. Με Το θεώρημα του Noetherαυτή η ομοιογένεια συνεπάγεται τη διατήρηση κάποιου φυσικού μεγέθους. Αυτή η ποσότητα ονομάζεται ώθηση (συνηθισμένη, όχι γενικευμένη).

Στην κλασική μηχανική, πλήρης ορμήΣύστημα υλικών σημείων ονομάζεται διανυσματική ποσότητα ίση με το άθροισμα των γινομένων των μαζών των υλικών σημείων στην ταχύτητά τους:

Συνεπώς, η ποσότητα ονομάζεται ορμή ενός υλικού σημείου. Είναι μια διανυσματική ποσότητα που κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα του σωματιδίου. Η μονάδα ορμής σε διεθνές σύστημαμονάδες (SI) είναι κιλό μέτρο ανά δευτερόλεπτο(kg m/s)

Αν έχουμε να κάνουμε με ένα σώμα πεπερασμένου μεγέθους, για να προσδιορίσουμε την ορμή του, είναι απαραίτητο να σπάσουμε το σώμα σε μικρά μέρη, τα οποία μπορούν να θεωρηθούν υλικά σημεία και να αθροιστούν πάνω τους, με αποτέλεσμα να έχουμε:

Η ορμή ενός συστήματος που δεν επηρεάζεται από εξωτερικές δυνάμεις (ή αντισταθμίζονται), διατηρημένοεγκαίρως:

Η διατήρηση της ορμής σε αυτή την περίπτωση προκύπτει από τον δεύτερο και τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα: έχοντας γράψει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για καθένα από τα υλικά σημεία που απαρτίζουν το σύστημα και αθροίζοντας τον σε όλα τα υλικά σημεία που συνθέτουν το σύστημα, δυνάμει του τρίτου νόμου του Νεύτωνα νόμος παίρνουμε την ισότητα (*).

ΣΕ σχετικιστική μηχανικήη τρισδιάστατη ορμή ενός συστήματος υλικών σημείων που δεν αλληλεπιδρούν είναι η ποσότητα

Οπου m i- βάρος Εγώ-ο υλικό σημείο.

Για ένα κλειστό σύστημα υλικών σημείων που δεν αλληλεπιδρούν, αυτή η τιμή διατηρείται. Ωστόσο, η τρισδιάστατη ορμή δεν είναι ένα σχετικιστικά αμετάβλητο μέγεθος, αφού εξαρτάται από το πλαίσιο αναφοράς. Μια πιο ουσιαστική τιμή θα είναι μια τετραδιάστατη ορμή, η οποία για ένα υλικό σημείο ορίζεται ως

Στην πράξη, χρησιμοποιούνται συχνά οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ της μάζας, της ορμής και της ενέργειας ενός σωματιδίου:

Κατ' αρχήν, για ένα σύστημα υλικών σημείων που δεν αλληλεπιδρούν, αθροίζονται οι 4-στιγμές τους. Ωστόσο, για τα αλληλεπιδρώντα σωματίδια στη σχετικιστική μηχανική, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η ροπή όχι μόνο των σωματιδίων που αποτελούν το σύστημα, αλλά και η ορμή του πεδίου αλληλεπίδρασης μεταξύ τους. Επομένως, μια πολύ πιο σημαντική ποσότητα στη σχετικιστική μηχανική είναι ο τανυστής ενέργειας-ορμής, ο οποίος ικανοποιεί πλήρως τους νόμους διατήρησης.

Ερώτηση #8

Ροπή αδράνειας- ένα κλιμακωτό φυσικό μέγεθος, ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος σε περιστροφική κίνηση γύρω από έναν άξονα, όπως η μάζα ενός σώματος είναι ένα μέτρο της αδράνειας του στη μεταφορική κίνηση. Χαρακτηρίζεται από την κατανομή των μαζών στο σώμα: τη ροπή αδράνειας ισούται με το άθροισμαγινόμενα στοιχειωδών μαζών με το τετράγωνο των αποστάσεων τους από το βασικό σύνολο

Αξονική ροπή αδράνειας

Αξονικές ροπές αδράνειας ορισμένων σωμάτων.

Η ροπή αδράνειας ενός μηχανικού συστήματοςσε σχέση με έναν σταθερό άξονα ("αξονική ροπή αδράνειας") ονομάζεται τιμή J αίσο με το άθροισμα των γινομένων των μαζών όλων nυλικά σημεία του συστήματος στα τετράγωνα των αποστάσεων τους προς τον άξονα:

m i- βάρος Εγώ-ο σημείο,
r i- απόσταση από Εγώ-ο σημείο προς τον άξονα.

Αξονικός στιγμή αδράνειαςσώμα J αείναι ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος σε περιστροφική κίνηση γύρω από έναν άξονα, όπως η μάζα ενός σώματος είναι ένα μέτρο της αδράνειας του στη μεταφορική κίνηση.

dm = ρ dV- μάζα ενός μικρού όγκου στοιχείου του σώματος dV,
ρ - πυκνότητα,
r- απόσταση από το στοιχείο dVστον άξονα α.

Αν το σώμα είναι ομοιογενές, δηλαδή η πυκνότητά του είναι ίδια παντού, τότε

Παραγωγή τύπου

dmκαι στιγμές αδράνειας DJ i. Επειτα

Κύλινδρος με λεπτό τοίχωμα (δακτύλιος, τσέρκι)

Παραγωγή τύπου

Η ροπή αδράνειας ενός σώματος είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας των συστατικών του μερών. Διαίρεση ενός κυλίνδρου με λεπτό τοίχωμα σε στοιχεία με μάζα dmκαι στιγμές αδράνειας DJ i. Επειτα

Δεδομένου ότι όλα τα στοιχεία ενός κυλίνδρου με λεπτά τοιχώματα βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον άξονα περιστροφής, ο τύπος (1) μετατρέπεται στη μορφή

Θεώρημα Steiner

Ροπή αδράνειαςενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με οποιονδήποτε άξονα εξαρτάται όχι μόνο από τη μάζα, το σχήμα και τις διαστάσεις του σώματος, αλλά και από τη θέση του σώματος ως προς αυτόν τον άξονα. Σύμφωνα με το θεώρημα Steiner (θεώρημα Huygens-Steiner), στιγμή αδράνειαςσώμα Jσε σχέση με έναν αυθαίρετο άξονα ισούται με το άθροισμα στιγμή αδράνειαςαυτό το σώμα Jcσε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος παράλληλα με τον εξεταζόμενο άξονα και το γινόμενο της μάζας σώματος Μανά τετραγωνική απόσταση ρεμεταξύ αξόνων:

Αν είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, τότε η ροπή αδράνειας ως προς έναν παράλληλο άξονα που βρίσκεται σε απόσταση από αυτό είναι ίση με

πού είναι η συνολική μάζα του σώματος.

Για παράδειγμα, η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το άκρο της είναι:

Περιστροφική ενέργεια

Κινητική ενέργεια περιστροφικής κίνησης- την ενέργεια του σώματος που σχετίζεται με την περιστροφή του.

Κύριος κινηματικά χαρακτηριστικάπεριστροφική κίνηση του σώματος - η γωνιακή του ταχύτητα (ω) και γωνιώδης επιτάχυνση. Τα κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά της περιστροφικής κίνησης είναι η γωνιακή ορμή γύρω από τον άξονα περιστροφής z:

Kz = Izω

και κινητική ενέργεια

όπου I z είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής.

Ένα παρόμοιο παράδειγμα μπορεί να βρεθεί όταν εξετάζουμε ένα περιστρεφόμενο μόριο με κύριους άξονες αδράνειας Ι 1, Ι 2Και Ι 3. Η περιστροφική ενέργεια ενός τέτοιου μορίου δίνεται από την έκφραση

Οπου ω 1, ω 2, Και ω 3είναι τα κύρια συστατικά της γωνιακής ταχύτητας.

Στη γενική περίπτωση, η ενέργεια κατά την περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα βρίσκεται με τον τύπο:

, Οπου Εγώείναι ο τανυστής αδράνειας.

Ερώτηση #9

στιγμή της παρόρμησης (στροφορμή, στροφορμή, τροχιακή στιγμή, στροφορμή) χαρακτηρίζει το μέγεθος της περιστροφικής κίνησης. Μια ποσότητα που εξαρτάται από το πόση μάζα περιστρέφεται, πώς κατανέμεται γύρω από τον άξονα περιστροφής και πόσο γρήγορα συμβαίνει η περιστροφή.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η περιστροφή εδώ νοείται ως ευρεία έννοια, όχι μόνο ως κανονική περιστροφή γύρω από έναν άξονα. Για παράδειγμα, ακόμα και όταν ευθύγραμμη κίνησησώμα πέρα από ένα αυθαίρετο φανταστικό σημείο που δεν βρίσκεται στη γραμμή κίνησης, έχει επίσης γωνιακή ορμή. Ίσως τον μεγαλύτερο ρόλο παίζει η γωνιακή ορμή στην περιγραφή της πραγματικής περιστροφικής κίνησης. Ωστόσο, είναι εξαιρετικά σημαντικό για μια πολύ ευρύτερη κατηγορία προβλημάτων (ειδικά αν το πρόβλημα έχει κεντρική ή αξονική συμμετρία, αλλά όχι μόνο σε αυτές τις περιπτώσεις).

Νόμος διατήρησης της ορμής(νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής) - το διανυσματικό άθροισμα όλων των γωνιακών ροπών γύρω από οποιονδήποτε άξονα για ένα κλειστό σύστημα παραμένει σταθερό στην περίπτωση ισορροπίας του συστήματος. Σύμφωνα με αυτό, η γωνιακή ορμή ενός κλειστού συστήματος σε σχέση με οποιαδήποτε μη χρονική παράγωγο της γωνιακής ορμής είναι η ροπή δύναμης:

Έτσι, η απαίτηση κλεισίματος του συστήματος μπορεί να αποδυναμωθεί στην απαίτηση ότι η κύρια (συνολική) ροπή των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίση με μηδέν:

όπου είναι η ροπή μιας από τις δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα των σωματιδίων. (Αλλά βέβαια, αν δεν υπάρχουν καθόλου εξωτερικές δυνάμεις, πληρούται και αυτή η απαίτηση).

Μαθηματικά, ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής προκύπτει από την ισοτροπία του χώρου, δηλαδή από την αμετάβλητη του χώρου ως προς την περιστροφή μέσω μιας αυθαίρετης γωνίας. Όταν περιστρέφεται μέσα από μια αυθαίρετη απειροελάχιστη γωνία, το διάνυσμα ακτίνας του σωματιδίου με τον αριθμό θα αλλάξει κατά , και οι ταχύτητες - . Η συνάρτηση Lagrange του συστήματος δεν θα αλλάξει κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας περιστροφής, λόγω της ισοτροπίας του χώρου. Να γιατί

Τα κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά της περιστροφικής κίνησης είναι η γωνιακή ορμή γύρω από τον άξονα περιστροφής z:

και κινητική ενέργεια

Στη γενική περίπτωση, η ενέργεια κατά την περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα βρίσκεται με τον τύπο:

, όπου είναι ο τανυστής αδράνειας .

Στη θερμοδυναμική

Με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό όπως στην περίπτωση της μεταφορικής κίνησης, η εξισορρόπηση συνεπάγεται ότι σε θερμική ισορροπία η μέση περιστροφική ενέργεια κάθε σωματιδίου ενός μονοατομικού αερίου είναι: (3/2)κ Β Τ. Παρομοίως, το θεώρημα της ισοκατανομής επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσει τη γωνιακή ταχύτητα ρίζας-μέση-τετράγωνο των μορίων.

δείτε επίσης

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι η "Ενέργεια περιστροφικής κίνησης" σε άλλα λεξικά:

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Ενέργεια (έννοιες). Ενέργεια, Διάσταση ... Wikipedia

ΚΙΝΗΣΕΙΣ- ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Περιεχόμενα: Γεωμετρία Δ...................452 Κινηματική Δ...................456 Δυναμική Δ. ...................461 Κινητικοί μηχανισμοί ......................465 Μέθοδοι μελέτης Δ. ατόμου ..........471 Παθολογία Δ. ατόμου ............. 474 ... ... Μεγάλη Ιατρική Εγκυκλοπαίδεια

Η κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος, η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα κίνησης των σημείων του. Συχνά κατανέμουν την κινητική ενέργεια της μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης. Πιο αυστηρά, η κινητική ενέργεια είναι η διαφορά μεταξύ της συνολικής ... ... Wikipedia

Θερμική κίνηση του α πεπτιδίου. Η πολύπλοκη τρεμουλιαστή κίνηση των ατόμων που αποτελούν το πεπτίδιο είναι τυχαία και η ενέργεια ενός μεμονωμένου ατόμου κυμαίνεται σε μεγάλο εύρος, αλλά χρησιμοποιώντας τον νόμο της ισοκατανομής υπολογίζεται ως η μέση κινητική ενέργεια κάθε ... ... Wikipedia

- (Γαλλικά marées, γερμανικά Gezeiten, αγγλικά tides) περιοδικές διακυμάνσειςη στάθμη του νερού λόγω της έλξης της σελήνης και του ήλιου. Γενικές πληροφορίες. Η Π. είναι πιο αισθητή κατά μήκος των ακτών των ωκεανών. Αμέσως μετά την άμπωτη της μεγαλύτερης παλίρροιας, το επίπεδο του ωκεανού αρχίζει να ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικόΦΑ. Brockhaus και I.A. Έφρον

Σκάφος ψυγείου Ivory Tirupati η αρχική σταθερότητα είναι αρνητική Ικανότητα σταθερότητας ... Wikipedia

Σκάφος ψύξης Ivory Tirupati η αρχική σταθερότητα είναι αρνητική Σταθερότητα η ικανότητα ενός πλωτού σκάφους να αντιστέκεται εξωτερικές δυνάμεις, αναγκάζοντας το να κυλήσει ή να το κόψει και να επιστρέψει σε κατάσταση ισορροπίας στο τέλος του ενοχλητικού ... ... Wikipedia

Η κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των σωματιδίων του σώματος:

Η μάζα οποιουδήποτε σωματιδίου, η γραμμική (περιφερειακή) ταχύτητά του, ανάλογη με την απόσταση αυτού του σωματιδίου από τον άξονα περιστροφής. Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση και λαμβάνοντας τη γωνιακή ταχύτητα o κοινή για όλα τα σωματίδια από το πρόσημο του αθροίσματος, βρίσκουμε:

Αυτός ο τύπος για την κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος μπορεί να μειωθεί σε μια μορφή παρόμοια με την έκφραση για την κινητική ενέργεια της μεταφορικής κίνησης εάν εισαγάγουμε την τιμή της λεγόμενης ροπής αδράνειας του σώματος. Η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου είναι το γινόμενο της μάζας του σημείου και του τετραγώνου της απόστασής του από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας του σώματος είναι το άθροισμα των ροπών αδράνειας όλων των υλικών σημείων του σώματος:

Έτσι, η κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος προσδιορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

Ο τύπος (2) διαφέρει από τον τύπο που καθορίζει την κινητική ενέργεια ενός σώματος σε μεταφορική κίνηση στο ότι αντί για τη μάζα του σώματος, μπαίνει εδώ η ροπή αδράνειας I και αντί για την ταχύτητα, η ομαδική ταχύτητα

Η μεγάλη κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σφονδύλου χρησιμοποιείται στην τεχνολογία για τη διατήρηση της ομοιομορφίας του μηχανήματος κάτω από ένα ξαφνικά μεταβαλλόμενο φορτίο. Αρχικά, για να φέρει το σφόνδυλο με μεγάλη ροπή αδράνειας σε περιστροφή, το μηχάνημα απαιτεί σημαντική εργασία, αλλά όταν ένα μεγάλο φορτίο ενεργοποιείται ξαφνικά, το μηχάνημα δεν σταματά και λειτουργεί λόγω του αποθέματος κινητικής ενέργειας του σφονδύλου .

Ιδιαίτερα ογκώδεις σφόνδυλοι χρησιμοποιούνται σε ελασματουργεία που κινούνται από ηλεκτρικό κινητήρα. Ακολουθεί περιγραφή ενός από αυτούς τους τροχούς: «Ο τροχός έχει διάμετρο 3,5 m και ζυγίζει Σε κανονική ταχύτητα 600 rpm, η κινητική ενέργεια του τροχού είναι τέτοια που τη στιγμή της κύλισης ο τροχός δίνει στον μύλο μια ισχύ των 20.000 λίτρων. Με. Η τριβή στα ρουλεμάν περιορίζεται στο ελάχιστο από ένα παραμύθι υπό πίεση και για να αποφευχθεί η επιβλαβής επίδραση των φυγόκεντρων δυνάμεων αδράνειας, ο τροχός ισορροπεί έτσι ώστε το φορτίο που τοποθετείται στην περιφέρεια του τροχού να τον φέρει εκτός ηρεμίας.

Παρουσιάζουμε (χωρίς να κάνουμε υπολογισμούς) τις τιμές των ροπών αδράνειας ορισμένων σωμάτων (υποτίθεται ότι καθένα από αυτά τα σώματα έχει την ίδια πυκνότητα σε όλα τα τμήματα του).

Η ροπή αδράνειας ενός λεπτού δακτυλίου ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του (Εικ. 55):

Η ροπή αδράνειας ενός στρογγυλού δίσκου (ή κυλίνδρου) ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του (η πολική ροπή αδράνειας του δίσκου, Εικ. 56):

Η ροπή αδράνειας ενός λεπτού στρογγυλού δίσκου γύρω από έναν άξονα που συμπίπτει με τη διάμετρό του (ισημερινή ροπή αδράνειας του δίσκου, Εικ. 57):

Η ροπή αδράνειας της μπάλας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας:

Ροπή αδράνειας ενός λεπτού σφαιρικού στρώματος ακτίνας ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο:

Η ροπή αδράνειας ενός παχύ σφαιρικού στρώματος (μια κοίλη σφαίρα με ακτίνα εξωτερικής επιφάνειας και ακτίνα κοιλότητας) ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο:

Ο υπολογισμός των ροπών αδράνειας των σωμάτων πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Για να δώσουμε μια ιδέα για την πορεία τέτοιων υπολογισμών, βρίσκουμε τη ροπή αδράνειας της ράβδου σε σχέση με τον άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν (Εικ. 58). Αφήστε να υπάρχει ένα τμήμα της ράβδου, πυκνότητα. Ξεχωρίζουμε ένα στοιχειωδώς μικρό τμήμα της ράβδου, που έχει μήκος και βρίσκεται σε απόσταση x από τον άξονα περιστροφής. Τότε η μάζα του Εφόσον βρίσκεται σε απόσταση x από τον άξονα περιστροφής του, τότε η ροπή αδράνειας του Ολοκληρώνουμε από το μηδέν στο Ι:

Ροπή αδράνειας κυβοειδέςγύρω από τον άξονα συμμετρίας (Εικ. 59)

Ροπή αδράνειας του δακτυλιοειδούς δακτυλίου (Εικ. 60)

Ας εξετάσουμε πώς η ενέργεια περιστροφής ενός σώματος που κυλάει (χωρίς ολίσθηση) κατά μήκος του επιπέδου συνδέεται με την ενέργεια της μεταφορικής κίνησης αυτού του σώματος,

Η ενέργεια της μεταφορικής κίνησης ενός κυλιόμενου σώματος είναι , όπου είναι η μάζα του σώματος και η ταχύτητα της μεταφορικής κίνησης. Έστω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κυλιόμενου σώματος και η ακτίνα του σώματος. Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι η ταχύτητα της μεταφορικής κίνησης ενός σώματος που κυλάει χωρίς ολίσθηση είναι ίση με την περιφερειακή ταχύτητα του σώματος στα σημεία επαφής του σώματος με το επίπεδο (κατά τη διάρκεια που το σώμα κάνει μια περιστροφή, η Το κέντρο βάρους του σώματος κινείται σε απόσταση, επομένως,

Ετσι,

Ενέργεια περιστροφής

ως εκ τούτου,

Αντικαθιστώντας εδώ τις παραπάνω τιμές των ροπών αδράνειας, διαπιστώνουμε ότι:

α) η ενέργεια της περιστροφικής κίνησης του κυλιόμενου στεφάνου είναι ίση με την ενέργεια της μεταφορικής του κίνησης.

β) η ενέργεια περιστροφής ενός κυλιόμενου ομογενούς δίσκου είναι ίση με το ήμισυ της ενέργειας της μεταφορικής κίνησης.

γ) η ενέργεια περιστροφής μιας κυλιόμενης ομοιογενούς μπάλας είναι η ενέργεια της μεταφορικής κίνησης.

Η εξάρτηση της ροπής αδράνειας από τη θέση του άξονα περιστροφής.Αφήστε τη ράβδο (Εικ. 61) με το κέντρο βάρους στο σημείο C να περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα (ο γύρω από τον άξονα Ο, κάθετα στο επίπεδο του σχεδίου. Ας υποθέσουμε ότι σε μια ορισμένη χρονική περίοδο μετακινήθηκε από τη θέση Α Β στην και το κέντρο βάρους περιέγραψε ένα τόξο Αυτή η ράβδος κίνησης μπορεί να θεωρηθεί ότι η ράβδος πρώτα μετατοπικά (δηλαδή παραμένοντας παράλληλη με τον εαυτό της) μετακινήθηκε στη θέση και μετά περιστράφηκε γύρω από το C στη θέση Ας υποδηλώσουμε (την απόσταση του κέντρου του βαρύτητα από τον άξονα περιστροφής) κατά a και η γωνία κατά Όταν η ράβδος μετακινείται από τη θέση Και στη θέση, η μετατόπιση καθενός από τα σωματίδια της είναι ίδια με τη μετατόπιση του κέντρου βάρους, δηλαδή είναι ίση με ή να λάβουμε την πραγματική κίνηση της ράβδου, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και οι δύο αυτές κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα. γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το Ο μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο μέρη.