Ιστορία τετραγωνικών εξισώσεων. Εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα

Από το ιστορικό της εμφάνισης τετραγωνικές εξισώσεις

Η άλγεβρα προέκυψε σε σχέση με την επίλυση διαφόρων προβλημάτων χρησιμοποιώντας εξισώσεις. Συνήθως, τα προβλήματα απαιτούν την εύρεση ενός ή περισσότερων αγνώστων, ενώ γνωρίζουμε τα αποτελέσματα ορισμένων ενεργειών που εκτελούνται στις επιθυμητές και δεδομένες ποσότητες. Τέτοια προβλήματα καταλήγουν στην επίλυση μιας ή ενός συστήματος πολλών εξισώσεων, στην εύρεση των απαιτούμενων χρησιμοποιώντας αλγεβρικές πράξεις σε δεδομένες ποσότητες. Η Άλγεβρα μελετά τις γενικές ιδιότητες των πράξεων σε ποσότητες.

Μερικές αλγεβρικές τεχνικές για την επίλυση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων ήταν γνωστές πριν από 4000 χρόνια στο Αρχαία Βαβυλώνα.

Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο πρώτου, αλλά και δεύτερου βαθμού, ακόμη και στην αρχαιότητα, προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση των χώρων των οικοπέδων και με ανασκαφικές εργασίες στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και όπως και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι Βαβυλώνιοι μπόρεσαν να λύσουν τετραγωνικές εξισώσεις γύρω στο 2000 π.Χ. Χρησιμοποιώντας τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία, μπορούμε να πούμε ότι στα σφηνοειδή κείμενά τους υπάρχουν, εκτός από τα ημιτελή, όπως, για παράδειγμα, πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που ορίζεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής παρέχουν μόνο προβλήματα με λύσεις που παρουσιάζονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν. Παρά υψηλό επίπεδοανάπτυξη της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και γενικές μεθόδουςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Η αριθμητική του Διόφαντου δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, αλλά περιέχει μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από εξηγήσεις και λύνονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφορετικούς βαθμούς.

Όταν συνθέτει εξισώσεις, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια άγνωστα για να απλοποιήσει τη λύση.

Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του.

Πρόβλημα 2. «Βρείτε δύο αριθμούς, γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96».

Ο Διόφαντος αιτιολογεί ως εξής: από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι οι απαιτούμενοι αριθμοί δεν είναι ίσοι, αφού αν ήταν ίσοι, τότε το γινόμενο τους δεν θα ήταν ίσο με 96, αλλά με 100. Έτσι, ένας από αυτούς θα είναι μεγαλύτερος από το ήμισυ του αθροίσματος τους, δηλαδή .10 + x. Το άλλο είναι λιγότερο, δηλαδή 10 - x. Η διαφορά μεταξύ τους είναι 2x. Εξ ου και η εξίσωση:

(10+x)(10-x) =96,

Άρα x = 2. Ο ένας από τους απαιτούμενους αριθμούς είναι το 12, ο άλλος είναι το 8. Η λύση x = - 2 δεν υπάρχει για τον Διόφαντο, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς.

Εάν λύσετε αυτό το πρόβλημα επιλέγοντας έναν από τους απαιτούμενους αριθμούς ως άγνωστο, μπορείτε να καταλήξετε σε μια λύση στην εξίσωση:

Είναι σαφές ότι επιλέγοντας τη μισή διαφορά των απαιτούμενων αριθμών ως άγνωστο, ο Διόφαντος απλοποιεί τη λύση. καταφέρνει να αναγάγει το πρόβλημα στην επίλυση μιας ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία

Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία «Aryabhattiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Brahmagupta (7ος αιώνας), περιέγραψε γενικός κανόναςλύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε μια απλή κανονική μορφή:

ax2 + bx = c, a>

Στην εξίσωση (1), οι συντελεστές μπορεί επίσης να είναι αρνητικοί. Ο κανόνας του Brahmagupta είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον δικό μας.

Οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι στην Ινδία. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος σκιάζει τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι λόγιος άνθρωποςθα επισκιάσει τη δόξα μέσα λαϊκές συνελεύσεις, προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.

Αυτό είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Μπάσκαρ.

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι ο συγγραφέας γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές.

Η εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα 3 είναι:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

και, για να συμπληρώσετε την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε τετράγωνο, προσθέτει 322 και στις δύο πλευρές, και στη συνέχεια προκύπτει:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις του Al-Khwarizmi

Η αλγεβρική πραγματεία του Al-Khwarizmi δίνει μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας μετράει 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:

1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες», δηλαδή ax2 = bx.

2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλαδή ax2 = c.

3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. τσεκούρι = γ.

4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλαδή ax2 + c = bx.

5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλαδή ax2 + bx = c.

6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλαδή bx + c == ax2.

Για τον Αλ-Χουαρίζμι, που απέφευγε την κατανάλωση αρνητικούς αριθμούς, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσιμοι. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας σκιαγραφεί λύσεις τις παραπάνω εξισώσεις, χρησιμοποιώντας τις τεχνικές al-jabr και al-mukabala. Η απόφασή του βέβαια δεν συμπίπτει απόλυτα με τη δική μας. Για να μην αναφέρουμε ότι είναι καθαρά ρητορικό, πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνει μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου, ο Al-Khorezmi, όπως όλοι οι μαθηματικοί μέχρι τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση, μάλλον γιατί σε συγκεκριμένα πρακτικά δεν έχει σημασία σε εργασίες. Κατά την επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων του Al-Khwarizmi σε μερική αριθμητικά παραδείγματαπαραθέτει τους κανόνες επίλυσης και στη συνέχεια τις γεωμετρικές αποδείξεις τους.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.

Πρόβλημα 4. «Το τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες. Βρείτε τη ρίζα» (εννοεί τη ρίζα της εξίσωσης x2 + 21 = 10x).

Λύση: διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό, παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του, αφαιρείτε 21 από το γινόμενο, αυτό που μένει είναι 4. Πάρτε τη ρίζα από το 4, θα πάρετε 2. Αφαιρέστε 2 από το 5, θα πάρετε 3, αυτό θα είναι η ρίζα που ψάχνετε. Ή προσθέστε το 2 στο 5, που δίνει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.

Η πραγματεία του Al-Khorezmi είναι το πρώτο βιβλίο που έφτασε σε εμάς, το οποίο εκθέτει συστηματικά την ταξινόμηση των τετραγωνικών εξισώσεων και δίνει τύπους για τη λύση τους.

Τετραγωνικές εξισώσεις στην ΕυρώπηXII- XVIIV.

Οι μορφές για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων σύμφωνα με το μοντέλο του Αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο «Βιβλίο του Άβακα», που γράφτηκε το 1202. Ο Ιταλός μαθηματικός Leonard Fibonacci. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα κάποια νέα αλγεβρικά παραδείγματαεπίλυση προβλημάτων και ήταν η πρώτη στην Ευρώπη που εισήγαγε αρνητικούς αριθμούς.

Αυτό το βιβλίο συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από αυτό το βιβλίο χρησιμοποιήθηκαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 14ου-17ου αιώνα. Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή x2 + bх = с για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σημείων και συντελεστών b, c διατυπώθηκε στην Ευρώπη το 1544 από τον M. Stiefel.

Παραγωγή του τύπου για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης στο γενική εικόναΟ Βιέτ το έχει, αλλά ο Βιέτ το αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. λαμβάνουν υπόψη, εκτός από τα θετικά, και αρνητικές ρίζες. Μόλις τον 17ο αιώνα. χάρη στα έργα του Ζιράρ, του Ντεκάρτ, του Νεύτωνα και άλλων με τον τρόπο των επιστημόνωνΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή..

Προέλευση αλγεβρικές μεθόδουςλύσεις σε πρακτικά προβλήματα που σχετίζονται με την επιστήμη αρχαίος κόσμος. Όπως είναι γνωστό από την ιστορία των μαθηματικών, σημαντικό μέρος των μαθηματικών προβλημάτων που επιλύθηκαν από Αιγύπτιους, Σουμερίους και Βαβυλώνιους γραφείς και αριθμομηχανές (XX-VI αιώνες π.Χ.) ήταν υπολογιστικής φύσης. Ωστόσο, ακόμη και τότε, κατά καιρούς, προέκυπταν προβλήματα στα οποία η επιθυμητή τιμή μιας ποσότητας καθοριζόταν από ορισμένες έμμεσες συνθήκες που απαιτούσαν, κατά τη γνώμη μας σύγχρονο σημείοόραμα, συντάσσοντας μια εξίσωση ή ένα σύστημα εξισώσεων. Αρχικά, χρησιμοποιήθηκαν αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Στη συνέχεια, άρχισαν να σχηματίζονται οι απαρχές των αλγεβρικών εννοιών. Για παράδειγμα, οι Βαβυλωνιακές αριθμομηχανές μπόρεσαν να λύσουν προβλήματα που μπορούν να μειωθούν από την άποψη σύγχρονη ταξινόμησησε εξισώσεις δεύτερου βαθμού. Δημιουργήθηκε μια μέθοδος λύσης προβλήματα λέξεων, που αργότερα χρησίμευσε ως βάση για την απομόνωση της αλγεβρικής συνιστώσας και την ανεξάρτητη μελέτη της.

Αυτή η μελέτη πραγματοποιήθηκε σε μια άλλη εποχή, πρώτα από Άραβες μαθηματικούς (VI-X αιώνες μ.Χ.), οι οποίοι προσδιόρισαν τις χαρακτηριστικές ενέργειες με τις οποίες οι εξισώσεις μειώθηκαν σε τυπική όψηφέρνοντας παρόμοιους όρους, μεταφέροντας όρους από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο με αλλαγή στο πρόσημο. Και μετά από Ευρωπαίους μαθηματικούς της Αναγέννησης, οι οποίοι, ως αποτέλεσμα μακράς αναζήτησης, δημιούργησαν τη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, τη χρήση των γραμμάτων, την εισαγωγή συμβόλων για αριθμητικές πράξεις, παρενθέσεις κ.λπ. Στο γύρισμα του 16ου 17ος αιώνας. Η άλγεβρα ως συγκεκριμένο μέρος των μαθηματικών, με δικό της αντικείμενο, μέθοδο και τομείς εφαρμογής, είχε ήδη διαμορφωθεί. Η περαιτέρω ανάπτυξή του, μέχρι την εποχή μας, συνίστατο στη βελτίωση των μεθόδων, στη διεύρυνση του πεδίου εφαρμογής, στην αποσαφήνιση των εννοιών και στη σύνδεσή τους με έννοιες άλλων κλάδων των μαθηματικών.

Λόγω λοιπόν της σημασίας και της απεραντοσύνης του υλικού που σχετίζεται με την έννοια της εξίσωσης, η μελέτη του σε σύγχρονες μεθόδουςτα μαθηματικά συνδέονται με τρεις κύριους τομείς προέλευσης και λειτουργίας τους.

Για να λύσετε οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση, πρέπει να γνωρίζετε:

τύπος για την εύρεση του διακριτικού.

· τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

· αλγόριθμοι επίλυσης εξισώσεων αυτού του τύπου.

· να λύσει ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

· να λύσει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις.

· να λύσει τις δεδομένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

· Βρείτε λάθη σε λυμένες εξισώσεις και διορθώστε τα.

· κάντε έναν έλεγχο.

Η λύση κάθε εξίσωσης αποτελείται από δύο κύρια μέρη:

· Μετατροπή αυτής της εξίσωσης στην απλούστερη.

· επίλυση εξισώσεων σύμφωνα με γνωστούς κανόνες, τύπους ή αλγόριθμους.

Η γενίκευση των μεθόδων δραστηριότητας των μαθητών κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων γίνεται σταδιακά. Τα ακόλουθα στάδια μπορούν να διακριθούν κατά τη μελέτη του θέματος «Τετραγωνικές Εξισώσεις»:

Στάδιο Ι – «Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων».

Στάδιο II - «Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων».

Στάδιο ΙΙΙ – «Επίλυση μειωμένων τετραγωνικών εξισώσεων».

Στο πρώτο στάδιο εξετάζονται ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Αφού στην αρχή οι μαθηματικοί έμαθαν να λύνουν ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις, αφού για αυτό δεν χρειαζόταν, όπως λένε, να εφεύρουν τίποτα. Αυτές είναι εξισώσεις της μορφής: ax2 = 0, ax2 + c = 0, όπου c≠ 0, ax2 + bx = 0, όπου b ≠ 0. Σκεφτείτε να λύσετε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:

1. Αν ax2 = 0. Εξισώσεις αυτού του τύπου λύνονται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1) βρείτε το x2.

2) βρείτε το x.

Για παράδειγμα, 5x2 = 0. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 5 προκύπτει: x2 = 0, από όπου x = 0.

2. Αν ax2 + c = 0, c≠ 0 Εξισώσεις αυτού του τύπου λύνονται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1) μετακινήστε τους όρους στη δεξιά πλευρά.

2) Να βρείτε όλους τους αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό c.

Για παράδειγμα, x2 - 5 = 0, Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x2 = 5. Επομένως, πρέπει να βρούμε όλους τους αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> και δεν έχει άλλες ρίζες.

3. Αν ax2 + bx = 0, b ≠ 0. Οι εξισώσεις αυτού του τύπου λύνονται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

1) μετακινήστε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

2) βρείτε τα x1, x2.

Για παράδειγμα, x2 - 3x = 0. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση x2 - 3x = 0 με τη μορφή x (x - 3) = 0. Αυτή η εξίσωση έχει προφανώς ρίζες x1 = 0, x2 = 3. Δεν έχει άλλες ρίζες, γιατί αν στο Αν αντικαταστήσετε οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν και το 3 αντί του x, τότε στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης x (x – 3) = 0 παίρνετε έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν.

Έτσι, αυτά τα παραδείγματα δείχνουν πώς λύνονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις:

1) αν η εξίσωση έχει τη μορφή ax2 = 0, τότε έχει μία ρίζα x = 0.

2) εάν η εξίσωση έχει τη μορφή ax2 + bx = 0, τότε χρησιμοποιείται η μέθοδος παραγοντοποίησης: x (ax + b) = 0; αυτό σημαίνει είτε x = 0 είτε ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> Στην περίπτωση που -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, δηλ. - = m, όπου m>0, η εξίσωση x2 = m έχει δύο ρίζες

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (στην περίπτωση αυτή επιτρέπεται η συντομότερη σημείωση =.

Έτσι, μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση μπορεί να έχει δύο ρίζες, μία ρίζα ή καμία ρίζα.

Στο δεύτερο στάδιο, πραγματοποιείται η μετάβαση στην επίλυση της πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης. Αυτές είναι εξισώσεις της μορφής ax2 + bx + c = 0, όπου a, b, c δίνονται αριθμοί και ≠ 0, x είναι ένας άγνωστος.

Οποιαδήποτε πλήρης τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί στη φόρμα , προκειμένου να προσδιορίσουμε τον αριθμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης και να βρούμε αυτές τις ρίζες. Εξετάζονται επόμενες περιπτώσειςλύσεις για ολοκλήρωση τετραγωνικών εξισώσεων: Δ< 0, D = 0, D > 0.

1. Εάν ο Δ< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Για παράδειγμα, 2x2 + 4x + 7 = 0. Λύση: εδώ a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Αφού ο Δ< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Αν D = 0, τότε η τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0 έχει μία ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο.

Για παράδειγμα, 4x – 20x + 25 = 0. Λύση: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Αφού D = 0, λοιπόν δεδομένη εξίσωσηέχει μία ρίζα. Αυτή η ρίζα βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Καταρτίζεται αλγόριθμος για την επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής ax2 + bx + c = 0.

1. Υπολογίστε τη διάκριση D χρησιμοποιώντας τον τύπο D = b2 – 4ac.

2. Εάν ο Δ< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Αν D = 0, τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει μία ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο

4..gif" width="101" height="45">.

Αυτός ο αλγόριθμος είναι καθολικός· μπορεί να εφαρμοστεί τόσο σε ημιτελείς όσο και σε πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις. Ωστόσο, οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις συνήθως δεν λύνονται χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο.

Οι μαθηματικοί είναι πρακτικοί, οικονομικοί άνθρωποι, γι' αυτό χρησιμοποιούν τον τύπο: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, έχοντας το ίδιο πρόσημο με το D..gif" width="89" height="49"> τότε η εξίσωση (3) έχει δύο ρίζες ;

2) αν αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες που συμπίπτουν.

3) αν αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ένα σημαντικό σημείο στη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων είναι η εξέταση του θεωρήματος του Vieta, το οποίο δηλώνει την ύπαρξη σχέσης μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Το θεώρημα του Βιέτα. Το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται από αντίθετο σημάδι, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Με άλλα λόγια, αν x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 + px + q = 0, τότε

Αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι του Vieta προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού F. Vieta (), ο οποίος εισήγαγε ένα σύστημα αλγεβρικών συμβόλων και ανέπτυξε τα θεμέλια της στοιχειώδους άλγεβρας. Ήταν από τους πρώτους που δήλωναν τους αριθμούς με γράμματα, γεγονός που ανέπτυξε σημαντικά τη θεωρία των εξισώσεων.

Για παράδειγμα, η δεδομένη εξίσωση x2 - 7x +10 = 0 έχει ρίζες 2 και 5. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 και το γινόμενο είναι 10. Μπορεί να φανεί ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Το θεώρημα είναι επίσης αληθές: αντίστροφο του θεωρήματος Vieta.

Αντίστροφο θεώρημα στο θεώρημα του Βιέτα. Εάν οι τύποι (5) ισχύουν για τους αριθμούς x1, x2, p, q, τότε x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 + px + q = 0.

Το θεώρημα του Vieta και το αντίστροφό του χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων.

Για παράδειγμα. Ας γράψουμε την παρακάτω τετραγωνική εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί 1 και -3.

Σύμφωνα με τους τύπους του Βιέτα

– p = x1 + x2 = - 2,

Επομένως, η απαιτούμενη εξίσωση έχει τη μορφή x2 + 2x – 3 = 0.

Η δυσκολία κατάκτησης του θεωρήματος του Βιέτα οφείλεται σε διάφορες περιστάσεις. Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η διαφορά μεταξύ των άμεσων και αντίστροφων θεωρημάτων. Το άμεσο θεώρημα του Vieta δίνει μια τετραγωνική εξίσωση και τις ρίζες της. στο αντίστροφο υπάρχουν μόνο δύο αριθμοί και η τετραγωνική εξίσωση εμφανίζεται στο συμπέρασμα του θεωρήματος. Οι μαθητές συχνά κάνουν το λάθος να δικαιολογήσουν τη συλλογιστική τους με εσφαλμένη αναφορά στο άμεσο ή αντίστροφο θεώρημα του Vieta.

Για παράδειγμα, όταν βρίσκετε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης με επιλογή, πρέπει να αναφερθείτε στο αντίστροφο θεώρημα Vieta και όχι στο άμεσο, όπως κάνουν συχνά οι μαθητές. Προκειμένου να επεκτείνουμε τα θεωρήματα του Vieta στην περίπτωση του μηδενικού διαχωριστή, πρέπει να συμφωνήσουμε ότι στην περίπτωση αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες. Η ευκολία μιας τέτοιας συμφωνίας γίνεται εμφανής όταν επεκταθούμε τετραγωνικό τριώνυμομε πολλαπλασιαστές.

Αρχική > Αναφορά

Δημοτικό εκπαιδευτικό ίδρυμα δευτεροβάθμια εκπαίδευση με το όνομα Ηρώων Σοβιετική Ένωση
Sotnikova A.T. και Shepeleva N. G. χωριό Uritskoye

Έκθεση για το θέμα:

«Ιστορία προέλευσης

τετραγωνικές εξισώσεις"

Προετοιμάστηκε από:Ιζότοβα Γιούλια,
Ampleeva Elena,
Shepelev Nikolay,

Ντιατσένκο Γιούρι.

Ω μαθηματικά. Για αιώνες είσαι καλυμμένος με δόξα,

Το φωτιστικό όλων των γήινων φωτιστών.

Είσαι η μεγαλειώδης βασίλισσα

Δεν είναι περίεργο που το βάφτισε ο Γκάους.

Αυστηρό, λογικό, μεγαλειώδες,

Λεπτός στην πτήση, σαν βέλος,

Η ασίγαστη δόξα σου

Στο πέρασμα των αιώνων, κέρδισε την αθανασία.

Επαινούμε το ανθρώπινο μυαλό,

Τα έργα των μαγικών χεριών του,

Η ελπίδα αυτού του αιώνα,

Βασίλισσα όλων των γήινων επιστημών.

Θέλουμε να σας πούμε σήμερα

Ιστορία προέλευσης

Τι πρέπει να γνωρίζει κάθε μαθητής -

Ιστορία τετραγωνικών εξισώσεων.

Ευκλείδης, τον 3ο αιώνα π.Χ μι. αφαίρεσε γεωμετρική άλγεβραστις «Αρχές» του ολόκληρο το δεύτερο βιβλίο, όπου συγκεντρώνεται όλο το απαραίτητο υλικό για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Ευκλείδης (Ενκλειδηζ), αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, συγγραφέας της πρώτης θεωρητικής πραγματείας για τα μαθηματικά που έφτασε μέχρι εμάς

Οι γνώσεις για τον Ευκλείδη είναι εξαιρετικά σπάνιες. Το μόνο που μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστο είναι ότι αυτός επιστημονική δραστηριότηταέγινε στην Αλεξάνδρεια τον 3ο αιώνα π.Χ. μι. Ευκλείδης - ο πρώτος μαθηματικός Αλεξανδρινό σχολείο. Του κύρια εργασίαΤο "Principles" (σε λατινοποιημένη μορφή - "Στοιχεία") περιέχει μια παρουσίαση επιπεδομετρίας, στερεομετρίας και έναν αριθμό ερωτήσεων στη θεωρία αριθμών. σε αυτό συνόψισε την προηγούμενη εξέλιξη των ελληνικών μαθηματικών και δημιούργησε το θεμέλιο περαιτέρω ανάπτυξημαθηματικά. Ερωδιός - Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός πρώτος στην Ελλάδα τον 1ο αιώνα μ.Χ. δίνει έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο επίλυσης μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ήρων της Αλεξάνδρειας; Ερωδιός, 1ος αιώνας n. ε., Έλληνας μηχανικός και μαθηματικός. Ο χρόνος της ζωής του είναι αβέβαιος, είναι γνωστό μόνο ότι παρέθεσε τον Αρχιμήδη (που πέθανε το 212 π.Χ.), και ο ίδιος αναφέρθηκε από τον Πάππο (περίπου 300 μ.Χ.). Επί του παρόντος, επικρατεί η άποψη ότι έζησε τον 1ο αιώνα. n. μι. Σπούδασε γεωμετρία, μηχανική, υδροστατική, οπτική. εφηύρε μια πρωτότυπη ατμομηχανή και όργανα ευθυγράμμισης ακριβείας. Οι πιο δημοφιλείς ήταν αυτόματες μηχανές όπως αυτόματο θέατρο, σιντριβάνια κ.λπ. Ο Γ. περιέγραψε τον θεοδόλιθο, βασιζόμενος στους νόμους της στατικής και της κινητικής, και έδωσε μια περιγραφή του μοχλού, του μπλοκ, της βίδας και των στρατιωτικών οχημάτων. Στην οπτική διατύπωσε τους νόμους της ανάκλασης του φωτός, στα μαθηματικά - μεθόδους μέτρησης των πιο σημαντικών γεωμετρικά σχήματα. Σημαντικά έργα G. is Etrica, Pneumatics, Automatopoetics, Mechanics (γαλλικά· το έργο σώζεται εξ ολοκλήρου στα αραβικά), Catoptics (η επιστήμη των κατόπτρων· σώζεται μόνο σε Λατινική μετάφραση) και άλλοι Ο Γ. χρησιμοποίησε τα επιτεύγματα των προκατόχων του: Ευκλείδη, Αρχιμήδη, Στράτο από τη Λάμψακο. Το στυλ του είναι απλό και ξεκάθαρο, αν και μερικές φορές είναι πολύ λακωνικό ή αδόμητο. Το ενδιαφέρον για τα έργα του Γ. εκδηλώθηκε τον 3ο αιώνα. n. μι. Έλληνες, και στη συνέχεια Βυζαντινοί και Άραβες μαθητές σχολίασαν και μετέφρασαν τα έργα του.

Διόφαντος- Έλληνας επιστήμονας τον 3ο αιώνα μ.Χ., χωρίς να καταφύγει στη γεωμετρία, έλυσε κάποιες δευτεροβάθμιες εξισώσεις καθαρά αλγεβρικά και κατέγραψε την ίδια την εξίσωση και τη λύση της σε συμβολική μορφή

«Θα σας πω πώς ο Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος συνέθεσε και έλυνε τετραγωνικές εξισώσεις. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του:«Βρείτε δύο αριθμούς γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96».

1. Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι οι απαιτούμενοι αριθμοί δεν είναι ίσοι, γιατί αν ήταν ίσοι, τότε το γινόμενο τους δεν θα ήταν 96, αλλά 100.

2. Άρα ένα από αυτά θα είναι πάνω από το μισό του ποσού τους, δηλ. 10 + x, το άλλο είναι μικρότερο, δηλ. 10 – x.

3. Η διαφορά μεταξύ τους είναι 2x.

4. Εξ ου και η εξίσωση (10 + x) * (10 – x) = 96

100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0

5. Απαντήστε x = 2. Ένας από τους αριθμούς που ψάχνουμε είναι το 12,
άλλο - 8. Η λύση x = - 2 δεν υπάρχει για τον Διόφαντο, γιατί Τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς». Ο Διόφαντος ήξερε να αποφασίζει πολύ σύνθετες εξισώσεις, χρησιμοποιούσε χαρακτηρισμούς γραμμάτων για άγνωστα, εισήγαγε ένα ειδικό σύμβολο για υπολογισμούς και χρησιμοποιούσε συντομογραφίες λέξεων. Bhaskare – Ακαρία- Ινδός μαθηματικός τον 12ο αιώνα μ.Χ. ανακάλυψε μια γενική μέθοδο επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.

Ας δούμε ένα από τα προβλήματα των Ινδών μαθηματικών, για παράδειγμα, το πρόβλημα Bhaskara:

«Ένα κοπάδι πιθήκων διασκεδάζει: το ένα όγδοο του συνολικού αριθμού τους σε ένα τετράγωνο γλεντάει στο δάσος, οι υπόλοιποι δώδεκα ουρλιάζουν στην κορυφή του λόφου. Πες μου, πόσες μαϊμούδες υπάρχουν;»

Σχολιάζοντας το πρόβλημα, θα ήθελα να πω ότι το πρόβλημα αντιστοιχεί στην εξίσωση (x/8) 2 + 12 = x. Η Bhaskara γράφει ως x 2 – 64x = - 768. Προσθέτοντας το τετράγωνο του 32 και στις δύο πλευρές, η εξίσωση γίνεται:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

Μετά την εξαγωγή τετραγωνική ρίζαπαίρνουμε: x – 32 =16.

"ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση, λέει ο Bhaskara, «οι αρνητικές μονάδες του πρώτου μέρους είναι τέτοιες που οι μονάδες του δεύτερου μέρους είναι μικρότερες από αυτές, και επομένως το τελευταίο μπορεί να θεωρηθεί τόσο θετικό όσο και αρνητικό, και παίρνουμε Διπλό νόημαάγνωστο: 48 και 16."

Είναι απαραίτητο να καταλήξουμε στο συμπέρασμα: Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές.

Προτείνεται η επίλυση του αρχαίου ινδικού προβλήματος Bhaskara:

«Ένα τετράγωνο του ενός πέμπτου των πιθήκων, μειωμένο κατά τρεις, κρύφτηκε στο σπήλαιο, ένας πίθηκος σκαρφάλωσε σε ένα δέντρο και ήταν ορατός. Πόσες μαϊμούδες ήταν εκεί; πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η εργασίαμπορεί να λυθεί στοιχειωδώς, ανάγεται σε τετραγωνική εξίσωση.

Αλ - Χορεζμί - ένας Άραβας λόγιος που το 825 έγραψε το βιβλίο «The Book of Restoration and Opposition». Αυτό ήταν το πρώτο εγχειρίδιο άλγεβρας στον κόσμο. Έδωσε επίσης έξι τύπους τετραγωνικών εξισώσεων και για καθεμία από τις έξι εξισώσεις στο λεκτική μορφήδιατύπωσε ειδικό κανόνα για την επίλυσή του. Στην πραγματεία του Khorezmi, υπάρχουν 6 τύποι εξισώσεων, που τους εκφράζουν ως εξής:

1. «Τα τετράγωνα είναι ίσα με ρίζες», δηλ. αχ 2 = μέσα.

2. «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλ. τσεκούρι 2 = γ.

3. «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. αχ = s.

4. «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ = σε.

5. «Τα τετράγωνα και οι ρίζες ισούνται με αριθμούς», δηλ. τσεκούρι 2 + inx = s.

6. «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλ. σε + c = τσεκούρι 2.

Ας αναλύσουμε το πρόβλημα al-Khorezmi, το οποίο καταλήγει στην επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης. «Το τετράγωνο και ο αριθμός είναι ίσοι με τις ρίζες». Για παράδειγμα, ένα τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες του ίδιου τετραγώνου, δηλ. το ερώτημα είναι τι σχηματίζεται από ένα τετράγωνο, το οποίο, αφού προσθέσουμε 21 σε αυτό, γίνεται ίσο με 10 ρίζες του ίδιου τετραγώνου;

ΚΑΙ Χρησιμοποιώντας τον 4ο τύπο al-Khorezmi, οι μαθητές θα πρέπει να γράψουν: x 2 + 21 = 10x

Φρανσουά Βιέτ - Γάλλος μαθηματικός, διατύπωσε και απέδειξε ένα θεώρημα για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών μιας δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Η τέχνη που εκθέτω είναι νέα, ή τουλάχιστον έχει τόσο αλλοιωθεί από τον χρόνο και έχει παραμορφωθεί από την επιρροή των βαρβάρων, που θεώρησα απαραίτητο να της δώσω μια εντελώς νέα εμφάνιση.

Φρανσουά Βιέτ

Ο Iet Francois (1540-13.12. 1603) γεννήθηκε στην πόλη Fontenay-le-Comte της επαρχίας Poitou, κοντά διάσημο φρούριοΛα Ροσέλ. Έχοντας λάβει νομική εκπαίδευση, από τα δεκαεννιά του άσκησε με επιτυχία τη δικηγορία στο ιδιαίτερη πατρίδα. Ως δικηγόρος, ο Viet απολάμβανε εξουσία και σεβασμό μεταξύ του πληθυσμού. Ήταν φαρδύς μορφωμένο άτομο. Ήξερε την αστρονομία και τα μαθηματικά και τα πάντα ελεύθερος χρόνοςέδωσε σε αυτές τις επιστήμες.

Το κύριο πάθος του Vieta ήταν τα μαθηματικά. Μελέτησε βαθιά τα έργα των κλασικών Αρχιμήδη και Διόφαντου, των πλησιέστερων προκατόχων του Cardano, του Bombelli, του Stevin και άλλων. Ο Viet όχι μόνο τους θαύμαζε, αλλά είδε ένα μεγάλο ελάττωμα σε αυτά, που ήταν η δυσκολία κατανόησης λόγω του λεκτικού συμβολισμού: Σχεδόν όλες οι ενέργειες και τα σημάδια ήταν γραμμένα με λέξεις, δεν υπήρχε κανένας υπαινιγμός για αυτούς τους βολικούς, σχεδόν αυτόματους κανόνες που τώρα χρήση. Ήταν αδύνατο να γράψουμε και, ως εκ τούτου, να ξεκινήσουμε σε μια γενική μορφή αλγεβρικές συγκρίσεις ή οποιαδήποτε άλλη αλγεβρικές εκφράσεις. Κάθε τύπος εξίσωσης με αριθμητικούς συντελεστές λύθηκε χρησιμοποιώντας ειδικός κανόνας. Ως εκ τούτου, ήταν απαραίτητο να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τέτοια γενικές ενέργειεςσε όλους τους αριθμούς που δεν εξαρτώνται από αυτούς τους ίδιους τους αριθμούς. Ο Viet και οι ακόλουθοί του διαπίστωσαν ότι δεν έχει σημασία αν ο εν λόγω αριθμός είναι ο αριθμός των αντικειμένων ή το μήκος του τμήματος. Το κύριο πράγμα είναι ότι μπορείτε να εκτελέσετε αλγεβρικές πράξεις με αυτούς τους αριθμούς και, ως αποτέλεσμα, να αποκτήσετε ξανά αριθμούς του ίδιου είδους. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να χαρακτηριστούν με κάποια αφηρημένα σημάδια. Ο Viet έκανε ακριβώς αυτό. Όχι μόνο εισήγαγε τον κυριολεκτικό λογισμό του, αλλά έκανε μια θεμελιωδώς νέα ανακάλυψη, θέτοντας ως στόχο να μελετήσει όχι αριθμούς, αλλά πράξεις σε αυτούς. Αυτή η μέθοδος εγγραφής επέτρεψε στον Viet να κάνει σημαντικές ανακαλύψειςκατά τη μελέτη γενικές ιδιότητες αλγεβρικές εξισώσεις. Δεν είναι τυχαίο ότι για αυτόν τον Βιέτα αποκαλείται ο «πατέρας» της άλγεβρας, ο ιδρυτής των συμβόλων γραμμάτων.

Πηγές πληροφοριών:

http :// μερικοί. fio. ru/ Πόροι/ Καρπουχίνα/2003/12/ Συγχαρητήρια%20 δουλειά/ Συναυλία/ δείκτης1. htm

http :// σελίδες. marsu. ru/ iac/ σχολείο/ μικρό4/ σελίδα74. html

Από την ιστορία των τετραγωνικών εξισώσεων Συγγραφέας: μαθήτρια 9ης τάξης «Α» Svetlana Radchenko Επιβλέπων: Alabugina I.A. δάσκαλος μαθηματικών MBOU «Δευτεροβάθμιο Σχολείο Νο. 5 του Γκουριέφσκ» Περιοχή Κεμέροβο Θέμα παρουσίασης: μαθηματικά Δημιουργήθηκε για να βοηθήσει τον δάσκαλο Σύνολο 20 διαφάνειες Περιεχόμενα Εισαγωγή……………………………………………………… ……………………………3 Από την ιστορία της εμφάνισης των τετραγωνικών εξισώσεων Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα………………………………….4 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία………………… …………………… ...... ... 5 τετραγωνικές εξισώσεις στο al-khwarizmi ............................................ ..... 7 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη Xll – XVll αιώνες……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………… .10 Μεθοδολογία για τη μελέτη των δευτεροβάθμιων εξισώσεων……………………………………………11 10 τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων………………………………… .12 Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών δευτεροβάθμιων εξισώσεων……………………………13 Αλγόριθμος επίλυσης πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης…………………………..14 Επίλυση των δεδομένων δευτεροβάθμιων εξισώσεων………………… ……………………15 4. Πρακτικές εφαρμογές δευτεροβάθμιων εξισώσεων για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων………………………………………………………………………………………… .16 5. Συμπέρασμα. ………………………………………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Κατάλογος αναφορών που χρησιμοποιήθηκαν…………………… ………………………………….19 2 Εισαγωγή Θεωρήστε δυστυχισμένη εκείνη τη μέρα ή εκείνη την ώρα κατά την οποία δεν μάθατε τίποτα καινούργιο, δεν προσθέσατε τίποτα στην εκπαίδευσή σας. Jan Amos Comenius 3 Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται το μεγαλειώδες οικοδόμημα της άλγεβρας. Χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών, παράλογων και υπερβατικών εξισώσεων και ανισώσεων. Οι τετραγωνικές εξισώσεις κατέχουν κεντρική θέση στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας. ηγετική θέση. Πολύς χρόνος στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών αφιερώνεται στη μελέτη τους. Βασικά, οι τετραγωνικές εξισώσεις εξυπηρετούν συγκεκριμένους πρακτικούς σκοπούς. Τα περισσότερα προβλήματα σχετικά με τις χωρικές μορφές και ποσοτικές σχέσειςο πραγματικός κόσμος καταλήγει σε μια απόφαση διάφοροι τύποι εξισώσεις, συμπεριλαμβανομένων των τετραγωνικών. Κατακτώντας τρόπους επίλυσής τους, οι άνθρωποι βρίσκουν απαντήσεις σε διάφορα ερωτήματα από την επιστήμη και την τεχνολογία. Από την ιστορία της εμφάνισης των τετραγωνικών εξισώσεων Αρχαία Βαβυλώνα: ήδη περίπου 2000 χρόνια π.Χ., οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν τετραγωνικές εξισώσεις. Οι μέθοδοι ήταν γνωστές για την επίλυση πλήρων και ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, στην Αρχαία Βαβυλώνα, λύθηκαν οι ακόλουθες τετραγωνικές εξισώσεις: 4 Ινδία Προβλήματα που λύθηκαν με τη χρήση τετραγωνικών εξισώσεων βρίσκονται στην πραγματεία για την αστρονομία "Aryabhattiam", που γράφτηκε από τον Ινδό αστρονόμο και μαθηματικό Aryabhatta το 499 μ.Χ. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Brahmagupta, περιέγραψε έναν καθολικό κανόνα για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης που ανάγεται στην κανονική της μορφή: ax2+bx=c; Επιπλέον, θεωρήθηκε ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτό, εκτός από το "a", θα μπορούσαν να είναι αρνητικοί. Ο κανόνας που διατύπωσε ο επιστήμονας ουσιαστικά συμπίπτει με τον σύγχρονο. 5 Τετραγωνικές εξισώσεις στο Al-Khorezmi: Στην αλγεβρική πραγματεία του Al-Khorezmi, δίνεται μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας μετράει 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής: «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες», δηλ. ax2 = bx.; «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλαδή ax2 = c; «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλαδή τσεκούρι = c; «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλ. ax2 + c = bx; "Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό", δηλ. ax2 + bx = c. «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλαδή bx + c = ax2. 6 Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυνε τετραγωνικές εξισώσεις: Ένας από τους πιο μοναδικούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ήταν ο Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια. Ούτε το έτος γέννησης ούτε η ημερομηνία θανάτου του Διόφαντου έχουν διευκρινιστεί. Πιστεύεται ότι έζησε τον 3ο αιώνα. ΕΝΑ Δ Από τα έργα του Διόφαντου το σημαντικότερο είναι η Αριθμητική, από τα οποία 13 βιβλία έχουν διασωθεί μόνο 6 μέχρι σήμερα. Η Αριθμητική του Διόφαντου δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, αλλά περιέχει μια σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και επιλύονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφόρων βαθμών. Όταν συνθέτει εξισώσεις, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια άγνωστα για να απλοποιήσει τη λύση. 7 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη τον 12ο-17ο αιώνα: Ο Ιταλός μαθηματικός Leonard Fibonacci ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που εισήγαγε αρνητικούς αριθμούς. Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή x2 + bх = с για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σημείων και συντελεστών b, c διατυπώθηκε στην Ευρώπη το 1544 από τον Michael Stiefel. 8 Francois Viet Γάλλος μαθηματικός F. Ο Viet (1540-1603), εισήγαγε ένα σύστημα αλγεβρικών συμβόλων, ανέπτυξε τα θεμέλια της στοιχειώδους άλγεβρας. Ήταν από τους πρώτους που δήλωναν τους αριθμούς με γράμματα, γεγονός που ανέπτυξε σημαντικά τη θεωρία των εξισώσεων. Η εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης σε γενική μορφή είναι διαθέσιμη από το Viète, αλλά ο Viète αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. 9 Τετραγωνικές εξισώσεις σήμερα Η ικανότητα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμεύει ως βάση για την επίλυση άλλων εξισώσεων και των συστημάτων τους. Η εκμάθηση επίλυσης εξισώσεων ξεκινά με τους απλούστερους τύπους τους και το πρόγραμμα καθορίζει τη σταδιακή συσσώρευση τόσο των τύπων τους όσο και ενός «ταμείου» πανομοιότυπων και ισοδύναμους μετασχηματισμούς, με τη βοήθεια του οποίου μπορείτε να αναγάγετε μια αυθαίρετη εξίσωση στην απλούστερη. Η διαδικασία ανάπτυξης γενικευμένων μεθόδων για την επίλυση εξισώσεων σε σχολικό μάθημαάλγεβρα. Σε ένα μάθημα μαθηματικών γυμνασίου, οι μαθητές έρχονται αντιμέτωποι με νέες κατηγορίες εξισώσεων, συστημάτων ή σε βάθος μελέτηήδη γνωστές εξισώσεις 10 Μεθοδολογία μελέτης τετραγωνικών εξισώσεων Με την έναρξη της μελέτης ενός μαθήματος συστηματικής άλγεβρας, η κύρια προσοχή δίνεται στις μεθόδους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, οι οποίες γίνονται ειδικό αντικείμενο μελέτης. Αυτό το θέμα χαρακτηρίζεται από το μεγάλο βάθος παρουσίασης και τον πλούτο των συνδέσεων που δημιουργήθηκαν με τη βοήθειά του στη διδασκαλία και τη λογική εγκυρότητα της παρουσίασης. Συνεπώς, κατέχει εξαιρετική θέση στη γραμμή των εξισώσεων και των ανισοτήτων. Ένα σημαντικό σημείο στη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων είναι η εξέταση του θεωρήματος του Vieta, το οποίο δηλώνει την ύπαρξη σχέσης μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης. Η δυσκολία κατάκτησης του θεωρήματος του Βιέτα οφείλεται σε διάφορες περιστάσεις. Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η διαφορά μεταξύ των άμεσων και αντίστροφων θεωρημάτων. 11 10 τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων: Παραγοντοποίηση της αριστερής πλευράς της εξίσωσης. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο. Επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο «ρίψης» Ιδιότητες των συντελεστών δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Γραφική λύση τετραγωνικής εξίσωσης. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με πυξίδα και χάρακα. 12 Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση νομογράμματος. Γεωμετρική μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Αλγόριθμος για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων 1) αν η εξίσωση έχει τη μορφή ax2 = 0, τότε έχει μία ρίζα x = 0; 2) εάν η εξίσωση έχει τη μορφή ax2 + bx = 0, τότε χρησιμοποιείται η μέθοδος παραγοντοποίησης: x (ax + b) = 0; Αυτό σημαίνει είτε x = 0 είτε ax + b = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες: x1 = 0; x2 = 3) αν η εξίσωση έχει τη μορφή ax2 + c = 0, τότε μετατρέπεται στη μορφή ax2 = - c και μετά x2.= Στην περίπτωση που -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, δηλ. - = m, όπου m>0, η εξίσωση x2 = m έχει δύο ρίζες.Έτσι, μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση μπορεί να έχει δύο ρίζες, μία ρίζα ή καμία ρίζα. 13 Αλγόριθμος επίλυσης πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης. Αυτές είναι εξισώσεις της μορφής ax2 + bx + c = 0, όπου a, b, c δίνονται αριθμοί και ≠ 0, x είναι ένας άγνωστος. Οποιαδήποτε πλήρης τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε μορφή προκειμένου να προσδιοριστεί ο αριθμός των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης και να βρεθούν αυτές οι ρίζες. Εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων: Δ< 0, D = 0, D >0. 1. Εάν ο Δ< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, τότε η τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0 έχει δύο ρίζες, οι οποίες βρίσκονται από τους τύπους: ; 14 Λύση ανηγμένων τετραγωνικών εξισώσεων Θεώρημα F. Vieta: Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Με άλλα λόγια, αν x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 +px + q = 0, τότε x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Το αντίστροφο θεώρημα στο θεώρημα του Vieta: Αν οι τύποι (*) ισχύουν για τους αριθμούς x1, x2, p, q, τότε x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 +px + q = 0. 15 Πρακτικές εφαρμογές τετραγωνικών εξισώσεων για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων Bhaskar (1114-1185) - ο μεγαλύτερος Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος του 12ου αιώνα. Ήταν επικεφαλής του αστρονομικού παρατηρητηρίου στο Ujjain. Ο Bhaskara έγραψε την πραγματεία "Siddhanta-shiromani" ("Crown of Teaching"), αποτελούμενη από τέσσερα μέρη: το "Lilavati" είναι αφιερωμένο στην αριθμητική, το "Bizhdaganita" στην άλγεβρα, το "Goladhaya" στη σφαίρα και το "Granhaganita" στη θεωρία του πλανητικές κινήσεις. Ο Bhaskara απέκτησε αρνητικές ρίζες των εξισώσεων, αν και αμφέβαλλε για τη σημασία τους. Κατέχει ένα από τα πρώτα σχέδια μιας μηχανής αέναης κίνησης. 16 Ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Bhaskara: Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι ο συγγραφέας γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές. 17 Συμπέρασμα Η ανάπτυξη της επιστήμης της επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων έχει διανύσει μια μακρά και ακανθώδη πορεία. Μόνο μετά τα έργα των Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes και Newton, η επιστήμη της επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων πήρε τη σύγχρονη μορφή της. Η σημασία των τετραγωνικών εξισώσεων δεν έγκειται μόνο στην κομψότητα και τη συντομία της επίλυσης προβλημάτων, αν και αυτό είναι επίσης πολύ σημαντικό. Είναι εξίσου σημαντικό ότι ως αποτέλεσμα της χρήσης τετραγωνικών εξισώσεων στην επίλυση προβλημάτων, συχνά ανακαλύπτονται νέες λεπτομέρειες, μπορούν να γίνουν ενδιαφέρουσες γενικεύσεις και διευκρινίσεις, οι οποίες προτείνονται από την ανάλυση των τύπων και των σχέσεων που προκύπτουν. Μελετώντας τη βιβλιογραφία και τους πόρους του Διαδικτύου που σχετίζονται με την ιστορία της ανάπτυξης των τετραγωνικών εξισώσεων, αναρωτήθηκα: «Τι παρακίνησε τους επιστήμονες που έζησαν σε μια τόσο δύσκολη εποχή να ασχοληθούν με την επιστήμη, ακόμη και υπό την απειλή του θανάτου;» Πιθανότατα, πρώτα απ 'όλα, είναι η διερευνητικότητα του ανθρώπινου μυαλού, που είναι το κλειδί για την ανάπτυξη της επιστήμης. Ερωτήσεις για την ουσία του Κόσμου, για τη θέση του ανθρώπου σε αυτόν τον κόσμο στοιχειώνουν τη σκέψη, τους περίεργους, έξυπνους ανθρώπους ανά πάσα στιγμή. Οι άνθρωποι πάντα προσπαθούσαν να κατανοήσουν τον εαυτό τους και τη θέση τους στον κόσμο. Κοιτάξτε μέσα σας, μήπως η φυσική σας περιέργεια να υποφέρει επειδή έχετε ενδώσει στην καθημερινότητα και την τεμπελιά; Η μοίρα πολλών επιστημόνων είναι 18 παραδείγματα προς μίμηση. Δεν είναι όλα τα ονόματα γνωστά και δημοφιλή. Σκεφτείτε το: πώς είμαι για τους κοντινούς μου ανθρώπους; Αλλά το πιο σημαντικό είναι πώς νιώθω για τον εαυτό μου, είμαι άξιος σεβασμού; Σκέψου το... Αναφορές 1. Zvavich L.I. “Algebra 8th grade”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. " εγκυκλοπαιδικό λεξικόνεαρός μαθηματικός», Μ., 1985. 3. Yu.N.Makarychev «Algebra 8th grade», M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Ευχαριστώ εσείς για προσοχή 20

Από την ιστορία των τετραγωνικών εξισώσεων.

α) Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο του πρώτου, αλλά και του δεύτερου βαθμού στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση περιοχών οικόπεδακαι με χωματουργικές εργασίες στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούσαν να λυθούν γύρω στο 2000 π.Χ. Βαβυλώνιοι. Χρησιμοποιώντας τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία, μπορούμε να πούμε ότι στα σφηνοειδή κείμενά τους υπάρχουν, εκτός από τα ημιτελή, όπως, για παράδειγμα, πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Παρά το υψηλό επίπεδο ανάπτυξης της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και τις γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Η Αριθμητική του Διόφαντου δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, περιέχει όμως μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφόρων βαθμών.

Όταν συνθέτει εξισώσεις, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια άγνωστα για να απλοποιήσει τη λύση.

Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του.

Πρόβλημα 2. «Βρείτε δύο αριθμούς, γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96».

(10+x)(10-x) =96,

100 -x 2 = 96.

Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία «Aryabhattiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Brahmagupta (7ος αιώνας), έθεσε έναν γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που έχουν περιοριστεί σε μια ενιαία κανονική μορφή

Ω 2 + σιx = γ, α > 0

Στην εξίσωση, οι συντελεστές εκτός ΕΝΑ, μπορεί να είναι αρνητικό. Ο κανόνας του Brahmagupta είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον δικό μας.

Οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι στην Ινδία. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι και ένας λόγιος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα του στις δημόσιες συνελεύσεις προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.

Αυτό είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Μπάσκαρ.

Εργασία 3.

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι ο συγγραφέας γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές.

Η εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα 3 είναι:

Ο Bhaskara γράφει υπό το πρόσχημα:

x 2 - 64x = - 768

και, για να συμπληρώσετε την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε ένα τετράγωνο, προσθέτετε 32 2 και στις δύο πλευρές, και στη συνέχεια λαμβάνετε:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

γ) Τετραγωνικές εξισώσεις του Al-Khorezmi

«Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες», δηλαδή τσεκούρι 2 = bx.
«Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλ. τσεκούρι 2 = γ.
«Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. τσεκούρι = γ.
«Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλαδή τσεκούρι 2 + c = bx.
«Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσα με τον αριθμό», δηλαδή τσεκούρι 2 + bx = c.
«Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλαδή bx + c == ax 2.

Για τον Al-Khwarizmi, ο οποίος απέφυγε τη χρήση αρνητικών αριθμών, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσιμοι. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας παρουσιάζει μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις τεχνικές του al-jabr και του al-mukabal. Η απόφασή του βέβαια δεν συμπίπτει απόλυτα με τη δική μας. Για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι είναι καθαρά ρητορικό, πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνει μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου, ο Al-Khorezmi, όπως όλοι οι μαθηματικοί μέχρι τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη το μηδέν λύση, μάλλον γιατί σε συγκεκριμένα πρακτικά δεν έχει σημασία σε εργασίες. Όταν λύνει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, ο Al-Khwarizmi καθορίζει τους κανόνες για την επίλυσή τους χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και στη συνέχεια τις γεωμετρικές τους αποδείξεις.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.

Λύση: διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό, παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του, αφαιρείτε 21 από το γινόμενο, αυτό που μένει είναι 4. Πάρτε τη ρίζα από το 4, θα πάρετε 2. Αφαιρέστε 2 από το 5, θα πάρετε 3, αυτό θα είναι η επιθυμητή ρίζα. Ή προσθέστε το 2 στο 5, που δίνει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.

δ) Τετραγωνικές εξισώσεις σε Ευρώπη XIII-XVIIαιώνες

Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων σύμφωνα με το μοντέλο του al-Khwarizmi στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο «Βιβλίο του Άβακα», που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο, το οποίο αντανακλά την επίδραση των μαθηματικών τόσο από τις ισλαμικές χώρες όσο και από Αρχαία Ελλάδα, διακρίνεται τόσο από πληρότητα όσο και από σαφήνεια παρουσίασης. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το Βιβλίο του Άβακα χρησιμοποιήθηκαν σχεδόν σε όλα τα ευρωπαϊκά εγχειρίδια του 16ου-17ου αιώνα. και εν μέρει XVIII.

Γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε μια ενιαία κανονική μορφή

x 2 + bx = c,

για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσήμων συντελεστών σι, Μεδιατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.

Η παραγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης σε γενική μορφή είναι διαθέσιμη στο Vieta, αλλά ο Vieta αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Εκτός από τα θετικά, λαμβάνονται υπόψη και οι αρνητικές ρίζες. Μόλις τον 17ο αιώνα. Χάρη στα έργα των Girard, Descartes, Newton και άλλων επιστημόνων, η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.

Η προέλευση των αλγεβρικών μεθόδων για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων συνδέεται με την επιστήμη του αρχαίου κόσμου. Όπως είναι γνωστό από την ιστορία των μαθηματικών, σημαντικό μέρος των προβλημάτων μαθηματικού χαρακτήρα, που επιλύθηκαν από Αιγύπτιους, Σουμερίους, Βαβυλώνιους γραφείς-αριθμομηχανές (XX-VI αιώνες π.Χ.), ήταν υπολογιστικής φύσης. Ωστόσο, ακόμη και τότε, κατά καιρούς, προέκυπταν προβλήματα στα οποία η επιθυμητή τιμή μιας ποσότητας καθοριζόταν από ορισμένες έμμεσες συνθήκες που, από τη σύγχρονη σκοπιά μας, απαιτούσαν τη σύνθεση μιας εξίσωσης ή ενός συστήματος εξισώσεων. Αρχικά, χρησιμοποιήθηκαν αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Στη συνέχεια, άρχισαν να σχηματίζονται οι απαρχές των αλγεβρικών εννοιών. Για παράδειγμα, οι Βαβυλωνιακές αριθμομηχανές μπόρεσαν να λύσουν προβλήματα που, από τη σκοπιά της σύγχρονης ταξινόμησης, μπορούν να αναχθούν σε εξισώσεις δεύτερου βαθμού. Δημιουργήθηκε μια μέθοδος επίλυσης προβλημάτων λέξεων, η οποία αργότερα χρησίμευσε ως βάση για την απομόνωση της αλγεβρικής συνιστώσας και την ανεξάρτητη μελέτη της.

Αυτή η μελέτη διεξήχθη σε μια άλλη εποχή, πρώτα από Άραβες μαθηματικούς (VI-X αιώνες μ.Χ.), οι οποίοι προσδιόρισαν χαρακτηριστικές ενέργειες με τις οποίες οι εξισώσεις ήρθαν σε μια τυπική μορφή: φέρνοντας παρόμοιους όρους, μεταφέροντας όρους από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο με αλλαγή του σημείου. Και μετά από Ευρωπαίους μαθηματικούς της Αναγέννησης, οι οποίοι, ως αποτέλεσμα μακράς αναζήτησης, δημιούργησαν τη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, τη χρήση των γραμμάτων, την εισαγωγή συμβόλων για αριθμητικές πράξεις, παρενθέσεις κ.λπ. Στο γύρισμα του 16ου 17ος αιώνας. Η άλγεβρα ως συγκεκριμένο μέρος των μαθηματικών, με δικό της αντικείμενο, μέθοδο και τομείς εφαρμογής, είχε ήδη διαμορφωθεί. Η περαιτέρω ανάπτυξή του, μέχρι την εποχή μας, συνίστατο στη βελτίωση των μεθόδων, στη διεύρυνση του πεδίου εφαρμογής, στην αποσαφήνιση των εννοιών και στη σύνδεσή τους με έννοιες άλλων κλάδων των μαθηματικών.

Λόγω λοιπόν της σημασίας και της απεραντοσύνης του υλικού που σχετίζεται με την έννοια της εξίσωσης, η μελέτη του στις σύγχρονες μεθόδους των μαθηματικών συνδέεται με τρεις βασικούς τομείς προέλευσης και λειτουργίας του.

Ιστορία της ανάπτυξης λύσεων σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις

Αριστοτέλης

D.I.Mendeleev

Βρείτε τις πλευρές ενός πεδίου που έχει σχήμα παραλληλόγραμμου αν το εμβαδόν του 12 , ΕΝΑ

Ας εξετάσουμε αυτό το πρόβλημα.

Έστω x το μήκος του πεδίου και μετά το πλάτος του,
– η περιοχή του.
Ας κάνουμε μια τετραγωνική εξίσωση:
Ο πάπυρος δίνει τον κανόνα για την επίλυσή του: «Διαιρέστε το 12 με».
12: .
Ετσι, .
«Το μήκος του χωραφιού είναι 4», αναφέρει ο πάπυρος.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση
όπου υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί.

Σε ένα από τα προβλήματα της Βαβυλωνίας, ήταν επίσης απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος ενός ορθογώνιου πεδίου (ας το υποδηλώσουμε) και το πλάτος του ().

Προσθέτοντας το μήκος και τα δύο πλάτη ενός ορθογώνιου πεδίου, παίρνετε 14 και το εμβαδόν του πεδίου είναι 24. Βρείτε τις πλευρές του.

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Από εδώ παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση.

Για να το λύσουμε, προσθέτουμε έναν συγκεκριμένο αριθμό στην παράσταση,

Αποκτώ Τέλειο τετράγωνο:

Ως εκ τούτου, .

Στην πραγματικότητα, μια τετραγωνική εξίσωση

Έχει δύο ρίζες:

ΔΙΟΦΑΝΤΗΣ
Ένας αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που υποτίθεται ότι έζησε τον 3ο αιώνα π.Χ. μι. Συγγραφέας του "Arithmetic" - ένα βιβλίο αφιερωμένο στην επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων.
Στις μέρες μας, «Διοφαντικές εξισώσεις» συνήθως σημαίνουν εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές, οι λύσεις των οποίων πρέπει να βρίσκονται μεταξύ ακεραίων. Ο Διόφαντος ήταν επίσης ένας από τους πρώτους που ανέπτυξε τη μαθηματική σημειογραφία.

«Βρείτε δύο αριθμούς γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96».

Ο ένας από τους αριθμούς θα είναι περισσότερο από το μισό του αθροίσματος τους, δηλαδή 10+, ενώ ο άλλος θα είναι μικρότερος, δηλαδή 10-.

Εξ ου και η εξίσωση ()()=96

Ας παρουσιάσουμε ένα από τα προβλήματα των διάσημων

Ο Ινδός μαθηματικός Bhaskara του 12ου αιώνα:

Ένα κοπάδι ζωηρών πιθήκων

Έφαγα με την καρδιά μου, διασκέδασα.

Το όγδοο μέρος αυτών σε τετράγωνο

Διασκέδαζα στο ξέφωτο.

Και δώδεκα κατά μήκος των αμπελιών...

Άρχισαν να πηδάνε, να κρέμονται...

Πόσες μαϊμούδες ήταν εκεί;

Πες μου, σε αυτό το πακέτο;

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές.
Η αντίστοιχη λύση της εξίσωσης

Ο Bhaskara γράφει με τη μορφή και, για να συμπληρώσουμε την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε ένα τετράγωνο, προσθέτουμε 32 2 και στις δύο πλευρές, παίρνοντας

«AL-JEBR» – ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – Ο AL-KHWAZMI ΟΝΟΜΑΣΕ ΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΡΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΙΣΩΝ ΟΡΩΝ, ΑΛΛΑ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ.

“AL-MUQABALAH” – ΑΝΤΙΘΕΣΗ – ΜΕΙΩΣΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ ΣΕ ΜΕΡΗ ΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ.

ΚΑΝΟΝΑΣ "AL-JEBR"

ΚΑΤΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΑΝ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ,

ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΙ

ΓΝΩΡΙΣΕ ΕΝΑ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΜΕΛΟΣ,

ΕΙΜΑΣΤΕ ΚΑΙ ΣΤΑ ΔΥΟ ΜΕΡΟΣ

ΘΑ ΔΩΣΟΥΜΕ ΕΝΑ ΙΣΟ ΜΕΛΟΣ,

ΜΟΝΟ ΜΕ ΑΛΛΟ ΣΗΜΑ,

ΚΑΙ ΘΑ ΒΡΟΥΜΕ ΘΕΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ.

1) τα τετράγωνα είναι ίσα με ρίζες, δηλαδή.

2) τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς, δηλαδή.

3) οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό, δηλαδή?

4) τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με ρίζες, δηλ.

5) τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσα με τον αριθμό, δηλ.

6) οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα, δηλ.

Εργο . Το τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες. Βρείτε τη ρίζα.

Λύση. Διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό - παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του,

Αφαιρέστε 21 από το γινόμενο, αφήνοντας 4.

Πάρτε τη ρίζα του 4 και θα πάρετε 2.

Αφαιρέστε 2 από 5 - παίρνετε 3, αυτή θα είναι η επιθυμητή ρίζα. Ή προσθέστε το στο 5, που δίνει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.

Ο Φιμπονάτσι γεννήθηκε στα ιταλικά εμπορικό κέντροτην πόλη της Πίζας, πιθανώς τη δεκαετία του 1170. . Το 1192 διορίστηκε να εκπροσωπήσει την εμπορική αποικία της Πιζάν Βόρεια Αφρική. Μετά από αίτημα του πατέρα του, μετακόμισε στην Αλγερία και σπούδασε μαθηματικά εκεί. Το 1200, ο Λεονάρντο επέστρεψε στην Πίζα και άρχισε να γράφει το πρώτο του έργο, Το Βιβλίο του Άβακα. [ . Σύμφωνα με τον ιστορικό των μαθηματικών A.P. Yushkevich Το Βιβλίο του Άβακα «υψώνεται απότομα πάνω από την ευρωπαϊκή αριθμητική-αλγεβρική λογοτεχνία του 12ου-14ου αιώνα με την ποικιλία και τη δύναμη των μεθόδων, τον πλούτο των προβλημάτων, τα στοιχεία της παρουσίασης... Οι μετέπειτα μαθηματικοί άντλησαν ευρέως από αυτό τόσο προβλήματα όσο και μεθόδους για την επίλυσή τους ».

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση

Η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω, αφού

2) Συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής

Μίλησε ο W. Sawyer :

«Συχνά είναι πιο χρήσιμο για έναν μαθητή της άλγεβρας να λύνει το ίδιο πρόβλημα σε τρία διαφορετικοί τρόποιπαρά να λύσουμε τρία ή τέσσερα διαφορετικά προβλήματα. Επίλυση ενός προβλήματος διάφορες μεθόδους, μπορείτε να μάθετε μέσω συγκρίσεων ποιο είναι πιο σύντομο και πιο αποτελεσματικό. Έτσι αναπτύσσεται η εμπειρία».

«Η πόλη είναι μια ενότητα ανομοιοτήτων»

Αριστοτέλης

«Ένας αριθμός που εκφράζεται ως δεκαδικό πρόσημο μπορεί να διαβαστεί εξίσου από έναν Γερμανό, έναν Ρώσο, έναν Άραβα και έναν Γιάνκη».